REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS

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1 Análise Matemática MIEC /4 REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS INEQUAÇÕES Uma das propriedades das inequações mais vezes ignorada é a que decorre da multiplicação de ambos os membros por um valor negativo. No caso das equações mantém-se a igualdade, mas nas inequações deve alterar-se o sinal da desigualdade. No caso mais frequente da multiplicação por, a que corresponde mudança de sinal em ambos os membros, temos a equivalência f ( ) g () f ( ) g (). Desta propriedade decorre, por eemplo, a equivalência quando ambos os membros são multiplicados por. Uma outra propriedade que é pouco usada refere-se à possibilidade de uma inequação poder ser lida no sentido corrente da leitura (da esquerda para a direita) ou no sentido contrário, lendo ao contrário o sinal de desigualdade. Assim a inequação 4 (4 maior doque ) equivale a 4 ( menor doque4). Ao fim e ao cabo, usou-se apenas a equivalência elementar a b b a. Muitas inequações envolvem produtos ou quocientes de polinómios, sendo o método mais recomendável a passagem a zero do segundo membro e a factorização (decomposição em factores simples) do polinómio no primeiro membro. Os zeros desses factores deitam regiões de sinal constante da epressão conjunta do polinómio e permitem assim a determinação do intervalo de R que verifica a inequação.

2 Análise Matemática MIEC /4 Considere-se, por eemplo, a determinação de um conjunto S de R que verifica a inequação - Para e, as fracções são reduzidas ao mesmo denominador e obtém-se as epressões equivalentes ( ) ( ) O sinal da última fracção obtida, produto e quociente de polinómios do.º grau, pode ser estudado usando um quadro com os diferentes zeros ordenados: ( ) SS SS De acordo com este quadro, a equação verifica-se quando a epressão da última linha é estritamente positiva, ou seja para o conjunto S ], [ ], [ { R: }. Sugestão: resolva o eercício e) do capítulo Funções da coletânea de eercícios. MÓDULO DE FUNÇÕES O módulo de uma função f(), que se indica por f ( ), é definido por f ( ) f f ( ) se f ( ) ( ) se f ( )

3 Análise Matemática MIEC /4 No caso particular da função f (), o respectivo módulo é dado por se se Um equívoco corrente é observar o termo do primeiro ramo, -, como se fosse negativo. De facto não é assim, já que - só está definido para e é portanto positivo. O efeito gráfico do operador módulo é o da refleão, para cima, dos pontos do gráfico de f abaio de O, o que se eemplifica abaio para. y O desdobramento do módulo de uma função numa função por ramos é uma técnica adequada cujo uso evita alguns erros comuns, designadamente a tentação de derivar ou integrar a direito funções deste tipo. Este procedimento deve ser usado, por eemplo, na resolução de equações e inequações. Considere-se a determinação dos valores de R que verificam a inequação - muda de sinal quando -, ou seja, para. A inequação deve então escrever-se em dois ramos separados por.

4 Análise Matemática MIEC /4 4 se se O problema está assim definido por duas inequações, cada uma delas com um conjunto de soluções que serão reunidos para a obtenção da solução final. Teremos então, para a inequação do.º ramo, e para o.º ramo A solução da inequação é então dada pela reunião dos valores que satisfazem as duas equações e pode ser escrita na forma do conjunto ] [ ] [,, Este resultado tem uma interpretação gráfica simples, verificando-se que são os valores inferiores a e superiores a que verificam a condição de y ser maior do que y. y y y

5 Análise Matemática MIEC /4 Sugestão: resolva o eercício.b) do capítulo, Funções, da coletânea de eercícios. POTÊNCIAS E RAÍZES Com alguma frequência se encontram estudantes com dificuldades na manipulação de epressões que envolvem potências, raízes, os casos notáveis da multiplicação e as consequentes simplificações de epressões. Por vezes manipulações simples das epressões reduzem significativamente o grau de dificuldade das operações posteriores. Eemplos disso são as duas propriedades que referimos de seguida. Quando numa fracção o denominador é uma potência pode ser vantajoso passar essa potência para o numerador, recorrendo à propriedade -k, que é válida para qualquer k R. k O tratamento de raízes, no caso de dúvidas, pode ser tratado colocando-as na forma de potências. Tenha-se para tal em conta a igualdade b a eemplo em operações de derivação. Como se verá, para derivar k raiz na forma k. a b, que é de grande utilidade, por é preferível escrever esta Considere-se, por eemplo, a simplificação 5.. Pode ser colocada na forma de potência fazendo 5 5. A colocação de potências no eterior da raiz requer que o radicando no interior da raiz esteja factorizado (na forma de produto) e que o epoente seja maior do que o índice de radical, etraindo a parte inteira da respectiva divisão. Procurando ilustrar estas regras, observe-se a simplificação da epressão 5

6 Análise Matemática MIEC /4 6 5 A eventual etracção da raiz de uma parte da epressão está fora de causa se e enquanto não for possível factorizar o polinómio. De facto a raiz de uma soma não é equivalente à soma das raízes. Neste caso, contudo, é possível pôr em evidência no radicando, escrevendo ( ) 4. Temos uma factorização mas nenhum dos epoentes dos factores ( em ambos os casos) é igual ou superior a (índice do radical). O segundo factor contudo é um caso notável da multiplicação e passamos a ter ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Com dois factores com potência é possível escrever ( ) ( ) ( )( ) 5 Considere agora a simplificação da epressão ( ), como corolário destas regras simples e identifique os passos seguidos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 CÁLCULO DE ALGUNS LIMITES DE FUNÇÕES RACIONAIS O cálculo de ite de funções é um assunto etenso e recorre a várias técnicas, algumas já conhecidas do ensino secundário, outras a serem estudadas nas análises matemáticas.

7 Análise Matemática MIEC /4 A utilização bem sucedida de todas essas técnicas pode no entanto ser prejudicada se não estiverem consolidadas as técnicas mais elementares, em particular as que envolvem as chamadas funções racionais, isto é, fracções com polinómios no numerador e no denominador. Vamos distinguir duas situações:. aquelas em que a variável se faz tender para ou ;. outras em que a variável tende para um valor real. Situação. A situação ( ou ) pode ser escrita de um modo geral como ± P() Q() Para estes tipos de ites, tem-se inicialmente uma indeterminação do tipo /, ultrapassada muitas vezes com alguma manipulação algébrica. O método geral consiste em dividir ambos os termos da fracção pela maior potência da variável no denominador. À partida situações básicas podem ocorrer:. grau de P maior do que o grau de Q ite ou ;. grau de P igual ao grau de Q ite finito e (assíntota horizontal);. grau de P menor do que o grau de Q ite igual a (assíntota horizontal recta de O). Vejamos os seguintes eemplos: Situação.. 7

8 Análise Matemática MIEC /4 O numerador é um infinitamente grande positivo, que divide por um valor positivo. Não há portanto dúvidas de que o ite é. Alterando alguns dos dados teríamos, por eemplo: ou Situação.. O ite é neste caso determinado pela razão dos coeficientes de maior grau em cada polinómio. Também não depende de os valores de irem para ou. De facto essa alteração levaria a Situação

9 Análise Matemática MIEC /4 Neste caso não há dúvidas que a recta de O é uma assíntota horizontal. Pode no entanto interessar saber se o gráfico da função se aproima da assíntota por valores superiores ou inferiores. Neste caso, para valores de grandes positivos, tem-se 4 4, indicando que a função se aproima de por valores negativos. Se dirigíssemos para, teríamos Assim, o mesmo gráfico da função, para valores grandes negativos, aproima-se da assíntota por valores superiores a. Situação. A segunda situação ( a) poderia ser mais detalhada se, para cada caso, se estudasse os ites laterais, isto é, com a ou a. Mas vamos deter-nos em a, com os respectivos ites a poderem ser escritos de um modo geral como P() a. Q() No cálculo destes ites, podem ocorrer vários casos assim sistematizados: Situação.. a Q() e o ite é finito e igual a a P() ; a Q() 9

10 Situação.. Análise Matemática MIEC /4 a P() e a Q(). O quociente destes dois ites é então da forma c, com c R \ {}. Temos em a uma assíntota vertical, o ite é, podendo ser ou conforme os sinais de c no numerador e do no denominador. Situação.. a P() a Q(). Temos o que se designa por uma indeterminação do tipo /. Tratando-se de uma função racional, tal significa que a é um zero de cada um dos polinómios, pelo que a indeterminação pode ser removida dividindo ambos por a, mais do que uma vez se a determinação se mantiver. Para tal pode usar-se a regra de Ruffini ou a divisão clássica de polinómios. Eemplo: Ambos os polinómios são divisíveis. Para recordar os dois métodos, vamos usar a regra de Ruffini para o polinómio do numerador e a divisão clássica para o polinómio do denominador. Para 6, a regra de Ruffini assume a forma e temos 6 ( ) ( )

11 Análise Matemática MIEC /4 Para o outro polinómio donde ( )( ). Temos assim ( )( ) ( ) ( )