3 Metodologia. resenha de VAN DIJK et al. (2002). 12 Para uma exposição extensiva do uso do modelo STR aplicado a séries macroeconômicas, ver a

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1 3 Metodologia Como explicado acima, o modelo novo-keynesiano não fornece bases teóricas que motivem a existência de não-linearidades na CPNKH. Por isso, optamos por utilizar uma estratégia empírica flexível que permita capturarmos diferentes possíveis tipos de assimetria na CPNKH, o chamado Modelo de Regressão com Transição Suave (STR), cujo ciclo de modelagem foi consagrado pelo trabalho de TERÄSVIRTA (1994). O modelo STR nos fornece um método para testarmos a existência de nãolinearidades do tipo transição suave, que pertence à gama de modelos nãolineares para séries temporais conhecidos como state-dependent (dependente do estado das variáveis) ou regime-switching (de mudança no regime das variáveis). Essa metodologia vem sendo aplicada com sucesso para descrever o comportamento de diversas séries macroeconômicas. Por exemplo, TERÄSVIRTA e ANDERSON (1992) e SKALIN e TERÄSVIRTA (1999) utilizam-na para captar assimetrias no ciclo econômico, relacionando os regimes do modelo a recessões e momentos de expansão. Já MICHAEL et al. (1997) e SARANTIS (1999) fazem uso do modelo STR para estudar não-linearidades presentes na dinâmica da taxa de câmbio real. 12 Nessa dissertação, utilizaremos uma variante do modelo STR desenvolvida por AREOSA et al. (2010), que permite a estimação de parâmetros da equação não-linear mesmo quando há regressores endógenos. Tal procedimento nos permitirá levar em consideração o problema destacado na seção 2 da endogeneidade nas variáveis da CPNKH na equação a ser estimada, uma vez que não utilizaremos métodos de estimação de sistemas que levassem em conta as demais equações do modelo novo-keynesiano. 12 Para uma exposição extensiva do uso do modelo STR aplicado a séries macroeconômicas, ver a resenha de VAN DIJK et al. (2002).

2 26 A seguir, apresentaremos o modelo STR e descreveremos os testes de linearidade e o método de estimação que serão utilizados em nosso experimento empírico O Modelo de Regressão com Transição Suave (STR) O Modelo de Regressão com Transição Suave para a CPNKH assume a seguinte forma: = + ( ;, )+ (8) onde =(,, ), ( ; ; ) é uma função contínua em e é um termo de erro, que aparece na equação a ser estimada para representar possíveis erros de medida nas variáveis usadas ou um termo de choque inflacionário. 13 A função f é conhecida como a função de transição do modelo e deve ser contínua e limitada entre 0 e 1. Uma possibilidade interessante e freqüentemente usada é a função logística 14, dada por ( ; ; )= ( ). Com ela, a interpretação relevante para o modelo STR é que ele permite a transição entre dois diferentes regimes para a CPNKH, associados aos valores extremos da função de transição, ( ;,)=0 e ( ;,)=1, que ocorre de forma suave e é determinada por uma variável econômica. Essa variável, portanto, é denominada variável de transição, podendo ser uma variável exógena, endógena ou mesmo uma tendência linear, que daria origem a um modelo com parâmetros variáveis de forma suave. Na seção 4, explicitaremos que variáveis de transição utilizaremos como possíveis forçasmotrizes da não-linearidade na CPNKH. O parâmetro c, por sua vez, pode ser interpretado como um parâmetro de localização da transição, isto é, como o limiar entre um regime e outro, já que a função logística cresce monotonicamente de 0 a 1 conforme aumenta o valor da 13 Para a motivação do termo de erro como choque inflacionário, ver LINDE (2005, p. 1144). 14 Outra possibilidade seria a função exponencial, utilizada quando o objetivo da modelagem é associar os regimes a valores absolutos pequenos e grandes da variável de transição em relação ao parâmetro c. Para aplicações na modelagem da taxa de câmbio real, ver MICHAEL et al. (1997) e SARANTIS (1999).

3 27 variável de transição. Note que (;,)=0.5, o que lhe confere a noção de ponto onde ocorre a transição, ainda que essa se dê suavemente. Já, que determina a suavidade na mudança do valor da função logística, tem a interpretação de grau de suavidade da transição entre regimes: fazendo-se, tem-se que f tende à função indicadora e a mudança de 0 a 1 passa a ser abrupta em =; já quando 0, 1 e a equação (8) retoma sua forma linear original (4). Assim, a especificação STR engloba tanto o caso linear quanto o caso autorregressivo com limiar (TAR) como casos particulares 15, daí sua principal vantagem perante outros modelos não-lineares, a flexibilidade. Em suma, o modelo STR nos diz que o regime que ocorre em um dado período é determinado pelo valor da variável de transição e pelo valor associado da função de transição f. Resta-nos, entretanto, saber se o modelo mais adequado para descrever os dados é de fato não-linear. Para isso, a modelagem STR nos fornece um teste de linearidade, que tem poder contra qualquer tipo de não-linearidade na relação em questão. Abaixo, descreveremos como se dá esse procedimento Testando linearidade contra STR Testar linearidade constitui-se como primeiro passo na construção do modelo STR. A hipótese nula de linearidade pode ser expressa como : =0 no contexto da equação (8) acima. Ocorre que, sob, os parâmetros γ e c da função de transição não são identificados. Problema semelhante é verificado caso reespecifiquemos a hipótese nula em termos do parâmetro de suavidade, ou seja, fazendo : =0, que também faz o modelo voltar à forma linear. Nesse caso, o parâmetro é não-identificado sob. A principal conseqüência desse problema é que não há, sob, uma teoria estatística convencional para se obter a distribuição assintótica da razão de verossimilhança, do multiplicador de Lagrange e da estatística de Wald necessárias para realizarmos o teste. Como tais estatísticas passam a possuir distribuições não-convencionais devido à não-identificação de parâmetros sob a 15 Para uma apresentação do modelo TAR, ver TSAY (1989).

4 28 nula, torna-se necessário o uso de técnicas de simulação para se levantá-las, o que gera complicações adicionais ao procedimento de teste 16. A solução mais utilizada para este problema foi desenvolvida por LUUKKONEN et al. (1988) e consiste em substituirmos a função de transição f na equação de teste por uma aproximação de Taylor apropriada, o que dá origem a uma equação reparametrizada onde o problema de não-identificação sob não está mais presente, de modo que passamos a poder testar linearidade de maneira simples e direta, através de uma estatística LM com distribuição assintótica conhecida sob a nula. Este procedimento possui duas claras vantagens: primeiro, não requer que o modelo seja estimado sob a hipótese nula; segundo, já existe teoria assintótica convencional que nos permita obter valores críticos para a estatística de teste de maneira fácil, sem requerer o uso de rotinas de simulação. Dessa forma, no espírito do que foi descrito acima e seguindo AREOSA et al. (2010), utilizaremos uma expansão de Taylor de terceira ordem 17 da função logística na vizinhança da hipótese nula =0 na equação (8), obtendo a seguinte regressão auxiliar : = (9) onde = +( ;,), ( ;,) é o resto, = + = +, = e =., Temos em mãos, agora, um modelo não-linear nas variáveis, com o qual podemos formular uma nova hipótese nula de linearidade, que assume a forma : = = =0, sob a qual o modelo é identificado. Consideremos um vetor de variáveis instrumentais exógenas e definamos um vetor de instrumentos ( ) tal que =0. A matriz de instrumentos válidos é denotada por =(,, ). Os autores chamam a atenção de que instrumentos fortes no arcabouço linear podem ser fracos no contexto não-linear, uma vez que a condição de posto relevante é que os 16 VAN DIJK et al. (2002, p. 10). 17 A escolha da terceira ordem justifica-se por garantir ao teste poder contra a alternativa nãolinear mesmo quando a única diferença entre os regimes estiver na constante do modelo.

5 29 instrumentos Z têm que ser correlacionados com o gradiente da relação nãolinear, e não com o vetor de regressores endógenos. Seja ainda ( ; )= + + +, onde =,,,. Chamemos sua estimativa restrita de =,,, e a estimativa irrestrita de =,,,. Seja também =( ) a matriz de projeção de Z. Assim, o teste de linearidade torna-se equivalente a um teste F em uma regressão de variáveis instrumentais, e pode ser conduzido em três estágios: 1. Estimar (9) sob a hipótese nula e computar = ;. 2. Estimar o modelo irrestrito (9) e computar = ; 3. Computar a estatística = ( )/ ; /. Sob a hipótese nula, a estatística F tem distribuição assintótica F com k e graus de liberdade, onde k é o número de restrições testadas Estimando o modelo STR Após a definição da função e da variável de transição e da realização dos testes de linearidade, o passo seguinte é a estimação dos parâmetros do modelo STR, caso os testes tenham indicado a rejeição da hipótese nula de linearidade. Se, na relação de interesse, os regressores fossem exógenos para, isto é, se =0, poderíamos estimar os parâmetros do modelo por Mínimos Quadrados Não-Lineares. Entretanto, na CPNKH, a inflação esperada não é fracamente exógena, de modo que nossas estimativas seriam inconsistentes caso (, ) 0, onde é o gradiente da função em relação a. Para obtermos estimativas consistentes do parâmetro e, em conseqüência, dos parâmetros não-lineares de interesse, isto é,,, e c na presença de regressores endógenos, AREOSA et al. (2010) apresentam um estimador modificado de Variáveis Instrumentais Não-Lineares (VINLM) 18,, calculado da seguinte forma: 18 O estimador apresentado é baseado no estimador de Variáveis Instrumentais Não-Lineares Modificado (VINLM) de AMEMIYA (1974).

6 30 = argmin (,) 1 (,) (10) onde I é a matriz identidade, =(,, ) e = ( ). 19 Sob algumas hipóteses descritas pelos autores, como homocedasticidade nos erros, forma reduzida linear para o vetor de variáveis endógenas, estacionaridade das séries e satisfação de condições de ordem e de posto, o estimador VINLM é consistente para o parâmetro verdadeiro e tem distribuição assintótica normal. Na próxima seção, utilizamos a metodologia acima descrita para testar a hipótese de linearidade na CPNKH e estimar seus parâmetros. 19 A hipótese subjacente deste estimador é que os regressores e os instrumentos se relacionam de maneira linear, segundo a seguinte forma reduzida: = +, onde =0. Além disso, a estimação por VINLM é equivalente a um procedimento via GMM, ideal para grandes amostras. Ver AREOSA et al. (2010, p. 4).