Uso de séries temporais na análise da temperatura média mensal da cidade de Mossoró, RN

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1 Uso de séries temporais na análise da temperatura média mensal da cidade de Mossoró, RN Ben Dêivide de Oliveira Batista 1 2 Tales Jesus Fernandes 2 Thelma Sáfadi 2 Wesley de Oliveira Santos 3 1 Introdução As mudanças climáticas terão grande influência nos sistemas naturais até 2023 e seus resultados serão expressos, principalmente, por meio do aumento da temperatura global. Os impactos gerados pelas mudanças climáticas significarão novos comportamentos em relação ao tema e será maior a pressão para a conservação e o manejo racional dos recursos ambientais no processo produtivo, inclusive com normas ambientais mais rígidas (EMBRAPA, 2008). Nas últimas décadas houve um progresso significativo no campo da previsão de tempo. Dentre essas previsões probabilísticas, os modelos de séries temporais da classe ARIMA (autorregressivo integrado de médias móveis) possuem grande destaque. Define-se uma série temporal como um conjunto de observações ordenadas em intervalo de tempo. A análise de séries temporais tenta procurar alguma relação de dependência temporal entre os dados, identificando o mecanismo gerador da série com o objetivo de extrair periodicidades relevantes nas observações, bem como, descrever o seu comportamento e fazer previsões (BAYER e SOUZA, 2010). No presente estudo, analisou-se uma série de temperatura média mensal da cidade de Mossoró, RN, com o objetivo de realizar a análise e a previsão da série temporal, por meio do modelo SARIMA (BOX e JENKINS, 1976). Também será verificado se o ruído branco, com média zero, tem variância constante ou condicionada ao longo do tempo. Caso tenha variância condicionada (volatilidade), será modelada pelo processo ARCH (MORETTIN e TOLOI, 2006). 2 Material e métodos Os dados de temperatura média usados neste trabalho são valores médios mensais coletados pela Estação Meteorológica da Universidade Federal Rural do Semiárido, a 1,5m de altura da superfícies, cujas coordenadas de posição são: latitude S; longitude ben.deivide@gmail.com 2 DEX - UFLA. Agradecimentos a CAPES e FAPEMIG pelo apoio financeiro. 3 DCAT - UFERSA 1

2 W e altitude 40,5m acima do nível do mar, estando localizado a apenas 40 km do Atlântico Norte. A série estudada compreende o período de janeiro de 1970 a junho de 2008, totalizando 38 anos e seis meses de observações. De acordo com a classificação climática de Köppen, o clima de Mossoró é do grupo BSwh, isto é, tropical semiárido muito quente e com estação chuvosa ocorrendo no verão-outono, apresentando temperatura média de 27,4 C, precipitação pluviométrica anual muito irregular, com média de 673,9mm, e umidade relativa do ar de 68,9% (CARMO FILHO et. al., 1989). Inicialmente a série foi analisada graficamente e em seguida com o propósito de verificar a tendência utilizou-se o teste não paramétrico de Cox-Stuart. Para verificar a periodicidade, utilizou-se o teste de Fisher. Após identificar os componentes da série, utilizou-se o operador diferença para torná-la estacionária, já que é um pré-requisito para a utilização dos modelos Box e Jenkins. Foram ajustados os modelos do tipo autorregressivo integrado de médias móveis sazonal (SARIMA), em que a qualidade do ajuste foi verificado por meio do teste Box Pierce, com base na estatística Q da autocorrelação. O modelo SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) pode ser definido pela seguinte expressão: φ(b)φ(b 12 ) d D 12Z t = θ(b)θ(b 12 )a t, (1) em que φ(b) = 1 φ 1 B φ 2 B 2... φ p B p é o operador autorregressivo de ordem p; θ(b) = 1 θ 1 B θ 2 B 2... θ q B q é o operador de médias móveis de ordem q; Φ(B 12 ) = 1 Φ 1 B 12 Φ 2 (B 12 ) 2... Φ P (B 12 ) P é o operador autorregressivo sazonal de ordem P; Θ(B 12 ) = 1 Θ 1 B 12 Θ 2 (B 12 ) 2... Θ Q (B 12 ) Q é o operador de médias móveis sazonal de ordem Q; d é o operador diferença simples, d indicando o número de diferenças, e D é o operador diferença sazonal, D indicando o número de diferenças sazonais; a t é o ruído, que eventualmente, pode ser ruído branco; com a notação, tem-se que BZ t = Z t 1 e = 1 B. Os modelos ajustados foram avaliados por meio do critério de Akaike (AIC) para identificar o melhor modelo e o Critério do erro quadrático médio (EQM) para escolher o modelo que fornece as melhores previsões. Um processo a t diz-se um processo ARCH de ordem q se, a t = σ t ε t, com σ 2 t = α 0 + α 1 a 2 t α q a 2 t q, (2) em que σ t é uma sequência não negativa de variâncias aleatórias, ε t é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de valor médio nulo e variância unitária e os parâmetros α i têm de satisfazer um conjunto de condições (α > 0 e α i 0, i = 1,2,...,q) de forma a assegurar que a variância não condicionada é positiva. Quando σ t é constante ao longo do tempo então a t é um ruído branco. 2

3 3 Resultados e discussões Na Figura 1 é apresentado a série temperatura média mensal da cidade de Mossoró, RN, e com a análise visual se observa a existência da sazonalidade, e uma mudança no nível da série a partir de 1980, dando indícios de tendência. Pelo teste de Cox-Stuart, observou-se a presença da componente tendência na série. O teste Fisher detectou existência de sazonalidade de 12 meses na série, conforme em geral ocorre em séries de temperatura. Figura 1: Gráfico da série de temperatura média ( C) da cidade de Mossoró, RN de jan/1970 a jun/2008. Após tomar a primeira diferença, eliminou-se a tendência, e tomando uma diferença de doze para eliminar a sazonalidade, observou-se que ainda existem lags múltiplos de doze significativos na função de autocorrelação, indicando a existência da sazonalidade estocástica. Assim, se faz necessário utilizar os modelos do tipo SARIMA, pois será necessário acrescentar uma componente sazonal, no período máximo de 12 meses. Por meio da Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP) com uma diferença e uma diferença sazonal de doze, Figura 2, será sugerido a ordem dos modelos ajustados. Figura 2: Função de Autocorrelação e Função de Autocorrelação Parcial da série de temperatura média ( C) da cidade de Mossoró, RN de jan/1970 a jun/2008. Os modelos ajustados são apresentados na Tabela 1, com os critérios AIC, EQM, estatística Q e valor-p do teste Box-Pierce. Este último, confirma a qualidade do ajuste dos modelos, mostrando que seus resíduos são ruídos brancos. Verificou-se que o modelo mais bem ajustado, informado pelo menor valor critério AIC, e melhor para previsão, informado pelo menor valor do critério EQM, entre os três modelo escolhidos, foi um SARIMA(2,1,1)(0,1,1). Assim, para esse modelo, na Tabela 2 observam-se os valores estimados para os coeficientes, assim como os respectivos erros-padrão. 3

4 Tabela 1: Critério para o melhor modelo ajustado e o melhor modelo de previsão. Critério Teste Box Pierce Modelo AIC MSE Q valor-p SARIMA(1,1,1)(0,1,1) 635,0852 0, ,1730 0,7902 SARIMA(2,1,1)(0,1,1) 632,3582 0, ,4242 0,8770 SARIMA(0,1,1)(0,1,1) 657,9350 0, ,3533 0,3053 Tabela 2: Coeficientes do modelo SARIMA(1,1,1)(0,1,1) e respectivos erros-padrão. Coeficientes Estimativa Erro-padrão φ 1 0, , φ 2 0, , θ 1-1, , Θ 1-1, , Ainda para o modelo SARIMA(2,1,1)(0,1,1), será mostrado na Figura 3, a previsão e os valores reais de jan/2000 a jun/2008, bem como a previsão de julho a dezembro de 2008, Tabela 3, que não constaram no banco de dados, com o intervalo de confiança de 95% de probabilidade. Figura 3: Temperatura estimada e observada para o período de jan/2000 a jun/2008 Para identificar se o resíduo tem variância constante ou condicionada, pegou-se a função de autocorrelação do resíduo ao quadrado, Figura 4. Pode-se verificar que a variância não é constante, já que alguns lags estão fora do intervalo de confiança. Assim, com base na Figura 4, usou-se o modelo ARCH(1) para modelar a volatilidade, com as seguintes estimativas dos parâmetros α 0 = 0, e α 1 = 0,164911, sendo o modelo da variância σ t dado pela seguinte expressão: σ t = 0, ,164911at 1, 2 (3) e verificando agora o correlograma do modelo 3, Figura 4, verifica-se que é um ruído branco. Esse resultado mostra que esse tipo de modelo não se usa somente para séries financeiras, verificando que séries climatológicas também possuem comportamentos dinâmicos ao longo do tempo. 4

5 Figura 4: Fac e Facp do resíduo ao quadrado do modelo SARIMA(2,1,1)(0,1,1). Tabela 3: Temperatura média estimada pelo modelo SARIMA(2,1,1)(0,1,1) para o período de jul/2008 a dez/2008, com intervalo de confiança de 95% de probabilide. MÊS TEMP. ESTIMADA ERRO PADRÃO IC jul/08 26,00 0,4564 [25,11-26,90] ago/08 26,81 0,5472 [25,73-27,88] set/08 27,61 0,6005 [26,43-28,78] out/08 28,09 0,6313 [26,86-29,33] nov/08 28,32 0,6500 [27,05-29,60] dez/08 28,56 0,6614 [27,26-29,85] 4 Conclusões Os modelos SARIMA forneceram bons resultados quanto a previsão, reproduzindo a tendência e a periodicidade detectadas na série. Dos modelos ajustados quanto aos critérios AIC e EQM, o que se destacou foi o modelo SARIMA(2,1,1)(0,1,1), recomendado para prever a temperatura média de Mossoró, RN. Também, observou-se que séries climatológicas apresentam volatilidade como observada nas séries financeiras, ou seja, apresentam períodos de tempo em que se verificam grandes variações no seu comportamento e outros períodos em que não se verifica qualquer variação. Referências [1] EMBRAPA. Secretaria de Gestão e Estratégia. V Plano-Diretor da Embrapa: Brasília, DF: Embrapa p. [2] BAYER, F. M.; SOUZA, A. M. Wavelets e modelos tradicionais de previsão: um estudo comparativo. Revista Brasileira de Biometria. v. 28,n. 2, p , [3] BOX, G.; JENKINS, G. Time Series analysis, forecasting and control. 3ed. Prentice- Hall International, [4] CARMO FILHO, F. do; OLIVEIRA, O. F. de. Mossoró: um município do semiárido, caracterização climática e aspecto florístico. Mossoró: UFERSA, p. (Coleção Mossoroense, 672, série B). [5] MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. M. C. Análise de séries temporais. 2ed. São Paulo: Edgard Blüsher, p. 5