ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS

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1 1 Definição e representação ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS Uma série temporal é um conjunto de observações tomadas em intervalos de tempo comumente iguais (ano a ano, mês a mês, semana a semana, etc.). Exemplos: Índices de preços, tomados mês a mês, durante 1 anos; vendas de automóveis em uma concessionária, tomadas semanalmente, durante 5 anos; eletrocardiograma, Audiência de um programa de TV, tomada semana a semana, durante 3 anos, etc.. Para que serve analisar uma série temporal? Para determinar se os dados apresentam algum padrão não-aleatório e a partir daí fazer predições quanto ao futuro. Por exemplo, previsão de vendas na esperança de se encontrar algo útil para a previsão da demanda futura. Outras vezes para constatar a ausência de padrões não-aleatórios, sendo estes encarados comoum sinal de que determinado sistema está fora de controle. Como representar uma série temporal? Em linguagem matemática, chamando os intervalos de tempo de t 1, t, t 3,..., t n (mês 1, mês, mês 3,...mês n) e os valores dos dados de Y 1, Y, Y 3,..., Y n (Preço 1, Preço, Preço 3,..., Preço n). Graficamente, colocando os valores t 1, t, t 3,..., t n no eixo das abiscissas e os valores Y 1, Y, Y 3,..., Y n nos eixos das ordenadas, como na figura abaixo com dados mensais entre os anos de 1997 e Y 3 1 Ano de Número do mês Figura 1. Representação de uma série temporal qualquer O modelo clássico decompõe uma série temporal em: Do que se compõe uma série temporal? 1. Movimento de longo prazo ou tendência: direção geral, segundo a qual parece o gráfico se desenvolver, ao longo do tempo. Na Figura 1, os valores de Y tendem a crescer a longo prazo.. Movimentos ou variações cíclicas: oscilações a longo prazo, comumente consideradas superiores a um ano, em torno da tendência. Na Figura 1 estes movimentos não estão claros. 3. Movimentos sazonais ou por estações: padrões idênticos, ou quase, que uma série temporal parece obedecer, durante os mesmo meses do ano. Na Figura 1, a cada ano, o meio do ano apresenta uma queda nos valores de Y (Ver o ano de, por exemplo). 4. Movimentos irregulares ou aleatórios. Estes somente são vistos quando removemos os demais. Todos eles estão representados nas figuras abaixo.

2 Figura. Modelo clássico.

3 3 Modelos de decomposição de uma série temporal: multiplicativo e aditivo Admite-se que a variável Y é composta de: Tendência (T), Variações cíclicas (C), Sazonalidade (S) e Movimentos irregulares (I). Pelo modelo multiplicativo, Y se relaciona com as demais por: Y = T. C. S. I Pelo modelo aditivo, Y se relaciona com as demais por: Y = T + C + S + I. Este texto se detém somente no modelo multiplicativo. Média móvel A média móvel é utilizada para decompor uma série temporal, pois ela regulariza ou suaviza a série temporal, ou seja, filtra os dados, removendo alguns movimentos indesejáveis. Dado um conjunto de números Y 1, Y, Y 3,..., Y n, a média móvel de ordem n é obtida pela seguinte sequência de médias aritméticas: Y + Y +... n 1 + totais móveis. Y n, Y + Y Yn+ 1 n, Y3 + Y Yn+ n,... os numeradores são chamados de Exemplo 1: Calcular as médias móveis de ordem 3 para os seguintes dados:, 6, 1, 5, 3, 7,. Observando a tabela abaixo, é como se uma janela percorresse os dados, a cada 3, calculando a média destes 3 números que ela estivesse mostrando. Na mesma tabela, a janela (em cor cinza) que mostra os números 1, 5 e 3 fornece a média de 3. Esta média é colocada na mesma linha do 5, que é o número do meio da janela (1, 5, 3). 7 7 Dados Totais móveis Médias móveis =9 9/3= =1 1/3= =9 9/3= =15 15/3= =1 1/3= Figura 3. Exemplo Dados Médias móveis Exemplo : Calcular as médias móveis de ordem 4 para os mesmos dados do exemplo 1. Quando o número de dados é par, não dá pra colocar a média móvel no centro dos dados; há um passo intermediário. Por exemplo, a janela em cinza calcula a média móvel de 6, 1, 5 e 3. Como são 4 números, não há um que fique exatamente no meio. Então, coloca-se o resultado 15 na mesma linha do 5. Na coluna seguinte, faz-se a soma de dois valores da coluna : o correspondente ao número 5, que é o 15, e o número abaixo do 15, que é o 16. Na última coluna, calcula-se a média de 8 números e não mais de 4 números. Dados Totais móveis de ordem 4 Totais móveis de ordem (Totais móveis centrados de ordem 4) Médias móveis centradas de ordem = =9 9/8 = 3, = =31 31/8 = 3, = =33 33/8 = 4, =17 Figura 4. Exemplo

4 4 Como utilizar um modelo de decomposição? Os passos abaixo podem ser utilizados para decompor uma série temporal: 1) Coletar dados: é bom que os dados sejam, pelo menos mensais; ) Representar graficamente, procurando já observar alguns elementos da série; 3) Obter um índice por estação: pode ser utilizado um procedimento chamado Método da média móvel percentual ou da relação entre as médias móveis. 4) Desestacionalizar os dados: remoção da sazonalidade 5) Remover a tendência: média móvel de 1 meses, regressão linear, semimédias, etc. 6) Remover as variações irregulares: média móvel de 3, 5 ou 7 meses. 7) Previsão O fluxograma abaixo ilustra os passos. Passos 1 e : Y = T. C. S. I Passos 3: determinar S Passos 4: Y/S = T. C. I Passos 5: Y/(S. T) = C. I Passos 5: Y/(S. T. I) = C Passos 7: Previsão Exemplo 3: Decompor a série de dados abaixo, que trata de valores de lucros mensais de uma empresa (em milhares de reais) no período entre janeiro de 1997 e dezembro de 4. Faça a previsão para agosto de 5. Passo 1: os dados já foram coletados e listados na tabela abaixo Tabela 1. Dados originais mês-ano Lucro (mil reais) mês-ano Lucro (mil reais) mês-ano Lucro (mil reais) mês-ano Lucro (mil reais) Jan Jan Jan-1 4 Jan Feb Feb Feb Feb-3 44 Mar Mar-99 3 Mar-1 37 Mar-3 49 Apr-97 5 Apr Apr Apr May May May May-3 37 Jun Jun Jun-1 96 Jun Jul-97 3 Jul Jul-1 35 Jul Aug Aug Aug-1 33 Aug Sep Sep Sep Sep Oct-97 3 Oct Oct Oct Nov Nov Nov-1 4 Nov Dec Dec Dec-1 45 Dec Jan Jan- 39 Jan- 453 Jan-4 59 Feb Feb- 349 Feb- 41 Feb Mar Mar- 34 Mar- 398 Mar Apr Apr- 311 Apr- 36 Apr-4 43 May May- 9 May- 341 May Jun Jun- 73 Jun- 3 Jun-4 38 Jul-98 4 Jul- 8 Jul- 335 Jul Aug-98 6 Aug- 35 Aug- 359 Aug Sep Sep- 38 Sep- 39 Sep Oct Oct- 364 Oct- 47 Oct Nov Nov- 389 Nov- 454 Nov-4 56 Dec Dec- 417 Dec- 483 Dec-4 56 Passo : a representação gráfica está na figura abaixo. Na metade de cada ano parece haver uma redução nos lucros, havendo uma recuperação no final de cada ano. Isto pode indicar uma sazonalidade. Não parece haver movimentos cíclicos definidos. A tendência é bem visível, ou seja, os lucros estão aumentando a cada ano.

5 5 Passo : Representação gráfica 6 Lucros mensais (milhares de reais) Passo 3: Obter índices por estação Número do mês Figura 5. Exemplo 3, passo. Para se utilizar do procedimento chamado de Método da média móvel percentual ou da relação entre as médias móveis, faz-se o seguinte: Calculam-se as médias móveis centradas de 1 meses (como foi feito no exemplo ). Elas estão na coluna 4 da tabela abaixo. Depois, calculam-se as médias móveis de meses da coluna 4, colocando o resultado na coluna 5. Depois, na coluna 6, calculam-se os índices mensais, dividindo a média móvel da coluna 5 pelo dado original da coluna 3 e multiplicando por 1. Por exemplo, observe o conjunto de linhas em cinza da coluna 3. Estes dados são utilizados para calcular a média móvel 73,75. Seguindo adiante, calculam-se as demais médias 75,75; 78,8; etc. A janela cinza vai andando para baixo, preenchendo a coluna 4. Para a coluna 5, a janela, indicada pelos traços mais espessos, vai percorrendo de dois em dois a coluna 4 e calculando a média móvel de meses ou a média centrada de 1 meses. No final desta etapa, tem-se vários valores do índice para todos os meses de janeiro, vários valores para todos os meses de fevereiro, vários valores para os meses de março, etc. Calcula-se então a média de todos os valores de janeiro, e faz-se o mesmo com fevereiro, março, etc. O resultado é mostrado na tabela 3. Na tabela 3 há uma coluna chamada ajuste. Isto acontece porque a soma dos valores dos índices têm que ser 1% (como se todos os meses do ano tivessem um índice de 1%). O ajuste então é feito como mostrado, ou seja, divide-se 1 pela soma da coluna. Este fator é utilizado para multiplicar os valores da coluna, resultando no que se espera ser os índices por estação ou índices médios mensais. Qual o significado desses índices? Significa dizer que, por exemplo, no mês de janeiro, os lucros são, em média, 19,6 % maiores que o lucro médio e que no mês de abril os lucros são, em média, 6,65 % mais baixos que o lucro médio.

6 6 Tabela. índices por mês Col 1 Col Col 3 Col 4 Col 5 Col 6 = 1*Col 5 / Col 3 Data No mês dado MM 1 meses MM meses (centrada de 1 meses) Índice por mês (%) Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep

7 7 Col 1 Col Col * (1/soma Col) Mês Índice por estação (%) Ajuste (%) Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total índices (%) Índice por estação Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Meses Figura 5. Exemplo 3, passo 3. Passo 4: Tomam-se os dados originais e removem-se as sazonalidades através dos índices obtidos no passo 3, ou seja, da equação Y = T. C. S. I, determinamos S, e ficamos com Y = T C I. Como fazer S isto? Tomam-se os dados originais e divide cada dado pelo índice mensal correspondente, como mostra a tabela 3. Por exemplo, no mês, o dado original é 318 mil reais. Como se trata do mês de janeiro, divide-se 318 pelo índice relativo a janeiro que, segundo a Figura 5 do passo 3, é 119,63%, ou seja, Y S = ,63 1 = 65,83. O resultado do passo 4 está representado na Tabela 3 e na Figura 6. Passo 4: Desestacionalização dos dados 6 5 Lucro (milhares de reais) Número do mês dado Desestacionalizados Figura 6. Exemplo 3, passo 4.

8 8 Tabela 3. Dados desestacionalizados. Col 1 Col Col 3 = Col1 / (Col/1) dado Índices (%) Desestacionalizados

9 9 Passo 5: Remoção da tendência. No passo anterior removemos a sazonalidade, originando os dados desestacionalizados. Agora, vamos remover a tendência T e ficamos com variações cíclicas e os movimentos aleatórios. Y = C I S T, sobrando as Tomando os dados desestacionalizados (coluna 3 da Tabela 3), verificamos se há correlação linear entre o número do mês e o valor do lucro mensal, usando o programa Statdisk, como mostrado nas Figuras 7, e 8. Figura 7. Exemplo 3, passo 5. Correlação e regressão. Passo 5: Representação gráfica dos dados desestacionalizados e tendência Y Desestacionalizados e Tendência Desestacionalizados Número do mês Figura 8. Exemplo 3, passo 5. Tendência - Regressão Na Tabela 4, tomaram-se os valores da coluna 3 da Tabela 3 e calcularam-se as diferenças percentuais em relação à reta de regressão ou tendência. O gráfico resultante está na Figura 9. Este gráfico mostra que, no

10 1 mês de número 1 (janeiro de 1998), C. I é,44 % maior que é,77 % menor que Y S T. Y S T e no mês 46 (novembro de ), C. I Tabela 4. Variações cíclias e irregulares Col 1 Col Col 3 = 1 * (Col1/Col - 1) Desestacionalizados Tendência - Regressão CI

11 11 Passo 5: remoção da tendência dos dados desestacionalizados pelo método Multiplicativo variações cíclicas e irregulares (CI) Número do mês Figura 9. Exemplo 3, passo 5. Variações cíclicas e irregulares CI. Passo 6: este passo significa remover o I da equação, sobrando Y = C S T I, que são as variações cíclicas a fim de indentificarmos efeitos que possam ser periódicos. Como fazer isto? Tomam-se os dados do passo 6, mais precisamente da coluna 3 da Tabela 4 e aplica-se uma média móvel. No gráfico da Figura 1 é mostrado o resultado da média móvel de 7 meses. Passo 6: Remoção das variações irregulares pelo método Multiplicativo variações cíclicas (C) Número do mês C (MM 7 meses) CI Figura 1. Exemplo 3, passo 6. Comparação entre o gráfico da Figura 9 e a remoção de I. O gráfico mostra que parece haver uma periodicidade. Contudo, isto pode ser verificado com mais anos de dados. Na prática, no mínimo anos de dados são necessários para tentar se verificar periodicidade. Passo 7: será feita uma previsão para agosto de 5. Para isto, tomar-se-á a reta de regressão do passo 5. Sabendo que agosto é o mês de número 13, coloca-se 13 na reta, e se chega ao resultado de 48,17 mil reais. Aplicando agora o índice da Figura 5 relativo ao mês de agosto, no passo 3, de 89,37% chega-se a 89,37 48,17 = 49,15 mil reais. Não foram aplicados: variações cíclicas e irregulares. 1

12 1 Bibliografia MURRAY R. SPIEGEL Estatística. Coleção Schaum. McGraw Hill do Brasil, LTDA. STEVENSON, W. J Estatística Aplicada à Administração. São Paulo:Harbra.

13 13 Questões para serem entregues no dia da prova, valendo 1, na nota qualitativa. Máximo 3 alunos. Arranque esta folha. ALUNOS: 1) Quais dos exemplos abaixo se trata de uma série temporal? Marque um X. a) ( ) Vários valores de população em vários bairros de uma cidade. b) ( ) Vários valores de população em uma cidade a cada mês. c) ( ) Número de gols marcados por um clube de futebol no campeonato brasileiro a cada ano. d) ( ) Vários valores do dólar durante o dia, a cada hora. ) Sobre o uso da análise de séries temporais, é certo dizer que: a) ( ) se trata de uma maneira de se remover movimentos indesejáveis, como os aleatórios, para se fazer uma previsão sem levar em conta estes termos indesejáveis. b) ( ) se trata de uma maneira de se estimar a média no futuro. c) ( ) Pode ser usada também, não só para prever o futuro, mas para verificar se o processo estudado está fora de controle no histórico do mesmo, ou seja, se há muito ruído ou termos aleatórios. d) ( ) se trata de uma maneira de se estimar a proporção no futuro. 3) O modelo clássico de análise de séries temporais admite que: a) ( ) uma série temporal é composta de uma tendência, de sazonalidade, de movimentos cíclicos e de movimentos regulares. b) ( ) uma série temporal é composta de uma tendência, de sazonalidade, de movimentos cíclicos e de movimentos irregulares, também chamados de aleatórios. c) ( ) uma série temporal é composta de um termo aditivo e um termo multiplicativo. d) ( ) nenhuma das respostas. 4) Com o modelo clássico, uma série temporal pode ser decomposta em seus elementos através de: a) ( ) uma suposição de que Y = T. S. C. I, chamado de modelo multiplicativo, somente, ou seja, esta é a única maneira. b) ( ) uma suposição de que Y = T + S + C + I, chamado de modelo aditivo, somente, ou seja, esta é a única maneira. c) ( ) as duas maneiras anteriores podem ser usadas. d) ( ) uso da curva normal. 5) Calcule as médias móveis de ordem 5 dos dados abaixo. Dado Totais móveis de ordem Médias móveis de ordem 5

14 14 6) Abaixo estão anos de dados mensais na tabela e os índices por estação no gráfico em colunas, para cada mês, no gráfico. Desestacionalize os dados, ou seja, remova a sazonalidade, como foi feito na Tabela 3 do passo 3. Mostre os cálculos na coluna em branco. Ano Mês N o do mês Dados Dados desetacionalizados Jan 3, Fev 1 3,6 Mar 3,9 Abr 3 4, Mai 4 4, 1 Jun 5 4, Jul 6 3, Ago 7 5, Set 8 6, Out 9 6,5 Nov 1 5, Dez 11 4, Jan 1 3,3 Fev 13 5,4 Mar 14 5,9 Abr 15 6, Mai 16 6, Jun 17 6,5 Jul 18 6,3 Ago 19 7, Set 8, Out 1 7,9 Nov 7,5 Dez 3 7,!"#$

15 15 7) Com o resultado da questão anterior, foi ajustada uma reta de regressão y =,1776. x + 3,1834, como mostra a figura. Use esta equação da reta para remover a tendência, como foi feito no passo 5 do exemplo 3, na tabela 4. %!&!'(()*!+!,',-.!&!')!!/! " #$%&'()*+,! Ano Mês N o do mês Dados desetacionalizados CI Jan,61 Fev 1 3,7 Mar 3,71 Abr 3 4, Mai 4 4,1 1 Jun 5 4,44 Jul 6 3,53 Ago 7 5,56 Set 8 6, Out 9 5,4 Nov 1 4, Dez 11 3,64 Jan 1,87 Fev 13 4,91 Mar 14 5,57 Abr 15 6, Mai 16 6,3 Jun 17 7, Jul 18 7,41 Ago 19 7,78 Set 8, Out 1 6,58 Nov 6, Dez 3 6,36

16 16 ARRANQUE ESTA FOLHA E FAÇA SUAS CRÍTICAS E SUGESTÕES DA DISCIPLINA, PARA QUE ELA MELHORE COM O PASSAR DOS SEMESTRES. NÃO PRECISA ASSINAR! DOBRE BEM E ENTREGUE AO PROFESSOR. MUITO OBRIGADO PELA COMPREENSÃO, BOA SORTE NO CURSO E NA PROFISSÃO, MARLLUS