MODELOS DETERMINÍSTICOS DE SUCESSÕES CRONOLÓGI- CAS (Métodos Tradicionais ou Ingénuos)

Transcrição

1 MODELOS DETERMINÍSTICOS DE SUCESSÕES CRONOLÓGI- CAS (Métodos Tradicionais ou Ingénuos) 1. Sucessões cronológicas Uma sucessão cronológica é um conjunto de observações tomadas em instantes de tempo determinados em geral com intervalos iguais. Exemplos de sucessões cronológicas são: a produção total anual de aço nos Estados Unidos, durante um certo número de anos, o valor diário de encerramento de uma determinada acção na Bolsa de Valores, as temperaturas horárias anunciadas pelo serviço meteorológico de uma cidade, o total mensal das vendas de uma loja de departamentos Matematicamente, uma sucessão cronológica é definida pelos valores Y 1, Y 2, de uma variável Y (que pode ser temperatura, valor de encerramento de uma acção, etc.), nos instantes t 1, t 2,. Portanto, Y é uma função de t simbolizada por Y = F(t). 2. Representação gráfica das sucessões cronológicas Uma sucessão cronológica que envolve uma variável Y é representada, ilustrativamente, por meio da construção de um gráfico de Y em função de t. O gráfico da Fig. 1, representa os valores anuais de uma sucessão cronológica relativa ao rebanho animal dos Estados Unidos, entre 1870 e Fig. 1 1

2 3. Movimentos característicos das sucessões cronológicas È interessante imaginar que o gráfico de uma sucessão cronológica, como o representado na Fig. 1, pode ser descrito por um ponto que se move ao longo do tempo, de alguma forma análogo à trajectória de uma partícula material que se desloca sob a influência de forças físicas. No entanto, o movimento pode ser provocado, em vez de forças físicas, por uma combinação de forças económicas, sociológicas, psicológicas e outras (Note-se que não há aqui considerações de tipo probabilístico). Experiências realizadas com muitos exemplos de sucessões cronológicas (portanto de forma inteiramente empírica) revelaram certos movimentos ou variações características, alguns dos quais, ou todos, estão presentes em graus diversos. A análise desses movimentos é de grande valor em vários casos, um dos quais é o problema da previsão de movimentos futuros. Em consequência, não deve constituir surpresa o facto de muitas indústrias e sectores governamentais estarem profundamente interessados neste assunto. 4. Classificação dos movimentos das sucessões cronológicas Os movimentos característicos das sucessões cronológicas podem ser classificados em quatro tipos principais, frequentemente denominados componentes de uma sucessão cronológica: 4.1. Os movimentos de tendência. Referem-se à direcção geral segundo a qual parece que o gráfico da sucessão cronológica se desenvolve, num intervalo de tempo longo. No gráfico da Fig. 1, por exemplo, esse movimento secular ou, como é por vezes denominado, variação ou tendência secular, está indicado pela curva de tendência, representada em linha tracejada. Para algumas sucessões cronológicas, pode ser adequada uma recta de tendência. A determinação dessas rectas e curvas de tendências, pode ser efectivada através de regressão linear. Outros métodos serão também examinados Os movimentos ou variações cíclicas, referem-se às oscilações a longo prazo ou a desvios em torno da recta ou da curva de tendência. Esses ciclos, como são frequentemente denominados, podem ser ou não periódicos, isto é, podem ou não seguir padrões exactamente análogos ao longo de intervalos de tempo iguais. Nas actividades económicas e comerciais, os movimentos só são considerados cíclicos quando ocorrem com intervalos de tempo superiores a um ano. Exemplos importantes de movimentos cíclicos são os denominados ciclos de negócios, que representam intervalos de prosperidade, recessão, depressão e recuperação. Na Fig. 1, os movimentos cíclicos em torno da curva de tendência são perfeitamente visíveis Os movimentos ou variações por estações (sazonalidade), referem-se a padrões idênticos, ou quase, a que uma sucessão cronológica parece obedecer durante os mesmos meses, ou períodos ( trimestres, quadrimestres, semestres), de anos sucessivos. 2

3 Esses movimentos são resultantes de movimentos periódicos que ocorrem anualmente, como, por exemplo, o aumento das vendas de uma loja de departamentos antes do Natal. Na Fig. 1, não aparecem movimentos por estações, porque, na obtenção do gráfico, foram utilizados apenas dados anuais. Embora os movimentos por estações se refiram, geralmente, à periodicidade anual dos negócios ou das teorias económicas, as ideias neles implicadas podem ser generalizadas, para incluir a periodicidade relativa a qualquer intervalo de tempo, como a diária, a horária, a semanal etc., conforme o tipo dos dados disponíveis Os movimentos irregulares ou aleatórios, referem-se aos deslocamentos esporádicos das sucessões cronológicas, provocados por acontecimentos casuais, como cheias, greves, eleições, etc. Embora, ordinariamente, se admita que esses acontecimentos produzem variações sómente durante um curto período, é concebível que elas sejam tão intensas que acarretem novos movimentos cíclicos ou de outra natureza. 5. Análise das sucessões cronológicas A análise das sucessões cronológicas consiste numa descrição (geralmente matemática) dos movimentos componentes que se apresentam. Como exemplificação dos processos implicados nessa descrição, considerem-se os três painéis da Fig. 2, que se referem a uma sucessão cronológica ideal. A Fig. 2(a) representa o gráfico de uma recta de tendência a longo prazo ou secular (poder-se-ia, também, ter usado uma curva de tendência). A Fig. 2(b) apresenta essa linha de tendência a longo prazo com a sobreposição de um movimento cíclico (considerado periódico). A Fig. 2(c) mostra a sobreposição de um movimento por estações, ou sazonal, ao gráfico da Fig. 2(b). Se fossem sobrepostos ao gráfico da Fig.2(c) alguns movimentos aleatórios ou irregulares, o resultado apresentaria ainda maior semelhança com as sucessões cronológicas que se observam na prática. Fig. 2 As ideias acima apresentadas proporcionam uma técnica possível para a análise das sucessões cronológicas. Admita-se que a variável Y de uma sucessão cronológica é 3

4 um produto das variáveis T, C, S e I, que produzem, respectivamente, os movimentos de tendência, cíclicos, por estações (sazonais) e irregulares. Simbolicamente temos: Y = T C S I = TCSI (1) A análise das sucessões cronológicas consiste numa investigação dos factores T, C, S e I, e é frequentemente classificada como a decomposição de uma sucessão cronológica nos seus movimentos componentes básicos. Dever-se-ia mencionar que alguns autores preferem considerar Y como a soma das componentes básicas envolvidas: Y = T + C + S + I (2) Embora seja essencialmente adoptada, nos métodos a expor, a decomposição do tipo multiplicativo, procede-se de modo análogo no caso da decomposição aditiva. Na prática, a decisão acerca do método de decomposição que deve ser admitido depende do grau de sucesso alcançado com a aplicação da hipótese. 6. Médias móveis. Regularização das sucessões cronológicas Dado um conjunto de números: Y 1, Y 2, Y 3, (3) define-se uma média móvel de ordem N, que é obtida pela sequência das médias aritméticas, como Y1 + Y2 + + YN Y2 + Y3 + + YN + 1 Y3 + Y4 + + YN + 2,,, N N N (4) As somas dos numeradores de (4) são denominadas totais móveis de ordem N. Exemplo 1. Dados os números 2, 6, 1, 5, 3, 7, 2, uma média móvel de ordem 3 será dada pela sequência ,,,, (5) isto é: 3, 4, 3, 5, 4. Costuma-se localizar cada número da média móvel na sua posição apropriada em relação aos dados originais. Neste exemplo escrever-se-ia: Dados originais 2, 6, 1, 5, 3, 7, 2 Médias móveis de ordem 3 3, 4, 3, 5, 4 4

5 cada número da média móvel sendo a média dos 3 dados imediatamente acima dele. Se os dados forem fornecidos anualmente ou mensalmente, as médias móveis de ordem N são denominadas, respectivamente, média móvel de N anos ou de N meses. Por conseguinte, referem-se a médias móveis de 5 anos, de 12 meses, etc. É claro que pode ser usada qualquer outra unidade de tempo. As médias móveis têm a propriedade de tenderem a reduzir o total da variação que se apresenta num conjunto de dados. No caso das sucessões cronológicas, essa propriedade é frequentemente usada para eliminar flutuações indesejáveis e o processo é denominado regularização das sucessões cronológicas. Se nas expressões (4) forem usadas as médias aritméticas ponderadas, sendo os pesos especificados antecipadamente, a sequência resultante é denominada média móvel ponderada de ordem N. Exemplo 2. Se forem utilizados, no Exemplo 1, os pesos 1, 4, 1, a média móvel ponderada de ordem 3 vem dada pela sequência: 2(1) + 6(4) + 1(1) 6(1) + 1(4) + 5(1) 1(1) + 5(4) + 3(1),,, (1) + 3(4) + 7(1) 3(1) + 7(4) + 2(1), 6 6 (6) ou seja: 4,5; 2,5; 4; 4; 5,5. 7. Avaliação da tendência A avaliação da tendência pode ser feita de várias maneiras: 7.1. O método dos mínimos quadrados, pode ser usado para determinar a equação de uma recta ou curva de tendência apropriada. Pode-se calcular, por meio dessa equação, os valores T da tendência O método a sentimento, que consiste no ajustamento de uma recta ou curva de tendência, mediante a simples inspecção do gráfico, pode ser adoptado para a avaliação de T. Este método tem a desvantagem evidente de depender consideravelmente do critério ou juízo de valor individual (subjectividade) O método das médias móveis. Mediante o emprego de médias móveis de ordem apropriada, podem ser eliminadas as variações cíclicas, estacionais (sazonalidade) e irregulares, isolando-se, dessa forma, apenas o movimento de tendência. Uma desvantagem deste método é que desaparecem os dados do início e do fim da série. Dessa forma, nos exemplos 1 e 2 acima, parte-se de uma série com 7 números e, 5

6 tomando-se uma média móvel de ordem 3, fica-se apenas com 5 números na série das médias móveis. Outra desvantagem é que as médias móveis podem gerar movimentos cíclicos, ou de outra natureza, que não existam nos dados originais. Uma terceira desvantagem é que as médias móveis são fortemente afectadas por valores extremos. Para superar de certo modo essa desvantagem, usa-se, por vezes, uma média móvel ponderada, com pesos apropriados. Nesses casos, ao valor (ou valores) central é atribuído o maior peso e aos valores extremos os menores O método das semimédias, consiste em separar os dados em duas partes (de preferência iguais) e calcular a média de cada uma delas, obtendo-se, dessa forma, dois pontos do gráfico das sucessões cronológicas. É desenhada, então, uma recta de tendência entre esses dois pontos e os valores da tendência podem assim ser determinados. Os valores da tendência podem também ser determinados directamente, sem o emprego de um gráfico (ver o Probl. 5). Embora este método seja de aplicação simples, ele pode conduzir a resultados medíocres, quando usado indiscriminadamente. Deve aplicar-se apenas quando a tendência é linear ou aproximadamente linear, embora possa ser generalizado aos casos em que os dados são agrupados em várias partes, sendo em cada uma delas a tendência linear. 8. Avaliação das variações por estações. Índice por estação (sazonalidade) Para determinar o factor por estação, S, da Eq. (1) deve-se avaliar de que maneira os dados de uma sucessão cronológica variam de mês a mês, através de um ano padrão. Um conjunto de números que mostre os valores relativos de uma variável durante os meses do ano é denominado índice por estação da variável. Se, por exemplo, se sabe que as vendas, durante os meses de Janeiro, Fevereiro, Março, etc., foram 50, 120, 90,... % da média mensal de todo o ano, os números 50, 120, 90,... proporcionam um índice anual por estação e são às vezes designados por números índices por estação. O índice médio por estação (a média) correspondente ao ano completo é 100%, isto é, a soma dos números índice mensais seria 1200%. Existem vários métodos para o cálculo dos índices por estação (sazonalidade): 8.1. Método da percentagem média. Neste método, os dados de cada mês são expressos em percentagem da média anual. As percentagens dos meses correspondentes dos diferentes anos são equilibradas mediante o emprego de uma média ou mediana. Se for adoptada a média, convém evitar os valores extremos que possam ocorrer. Este problema não ocorre utilizando-se a mediana. As 12 percentagens resultantes dão os índices por estação ou índices de sazonalidade. Se a sua média não for de 100% (isto é, se a soma não for 1200%), elas devem ser acertadas, mediante a sua multiplicação por factores convenientes. 6

7 8.2. Método da tendência ou relação percentual. Neste método, os dados de cada mês são expressos em percentagem dos valores da tendência mensal (e não da média anual). Uma média adequada das percentagens dos meses correspondentes dá, então, os índices desejados. Tal como no método anterior, eles são ajustados quando a média não for de 100%. Note-se que a divisão de cada valor mensal, Y, pelo correspondente valor da tendência, T, produz o valor Y/T = CSI da Eq. (1). A média subsequente dos valores de Y/T produz os índices por estação (sazonalidade) que podem incluir variações cíclicas e irregulares, especialmente quando elas são grandes. Esse facto pode representar uma desvantagem importante deste método Método da média móvel percentual ou da relação entre médias móveis. Neste método, calcula-se uma média móvel de 12 meses. Como os resultados assim obtidos caem entre meses sucessivos, em vez de no meio de um deles, como ocorre com os dados originais, calcula-se a média móvel de 2 meses daquela de 12 meses. O resultado é frequentemente denominado média móvel centrada de 12 meses. Depois disso, os dados originais de cada mês são expressos em percentagem da média móvel centrada de 12 meses correspondente. Calcula-se, então, a média das percentagens dos meses correspondentes, que dá o índice desejado. Como anteriormente, eles serão ajustados quando não apresentarem uma média de 100%. Note-se que o raciocínio lógico em que se baseia este método, provém da Eq. (1). Uma média móvel centrada de 12 meses dos valores de Y presta-se para eliminar os movimentos por estação (sazonais) e irregulares, S e I, e é, portanto, equivalente aos valores dados por TC. Então, a divisão dos dados originais por TC produz os valores de SI. As médias subsequentes para os meses correspondentes prestam-se para eliminar a irregularidade I e, dessa forma, conduz a um índice S conveniente O método dos elos relativos. Neste método, os dados de cada mês são expressos em percentagem dos dados do mês anterior. Essas percentagens são denominadas elos relativos, porque elas encadeiam cada mês ao precedente. Toma-se, então, uma média adequada dos elos relativos referentes aos meses correspondentes. Desses 12 elos relativos médios podem ser obtidas as percentagens relativas de cada mês, reportadas à de Janeiro, que é considerada de 100%. Depois disso feito, verifica-se, usualmente, que o próximo Janeiro tem uma percentagem acumulada superior ou inferior a 100%, dependendo de ter havido, ou não, acréscimo ou decréscimo da tendência. Ao empregar este método, as várias percentagens obtidas podem, então, ser ajustadas para essa tendência. As percentagens finais, ajustadas de modo a apresentarem a média de 100%, proporcionam o índice por estação (sazonalidade) desejado. 9. Desestacionalização (dessazonalização) dos dados Se os dados mensais originais são distribuídos de acordo com os números índices por estações correspondentes, diz-se que os dados resultantes estão desestacionalizados 7

8 ou ajustados à variação por estações. Esses dados incluem ainda os movimentos de tendência, cíclicos e irregulares. 10. Avaliação das variações cíclicas Depois dos dados serem desestacionalizados, eles podem também ser ajustados à tendência, mediante a sua simples divisão pelos valores de tendência correspondentes. De acordo com a Eq. (1), o processo de ajustamento à variação por estação e à tendência corresponde à divisão de Y por ST, o que dá CI, isto é, as variações cíclicas e irregulares. Uma média móvel apropriada, de duração de uns poucos meses (3, 5 ou 7 meses, por exemplo, de modo que a centralização subsequente não seja necessária) serve, então, para atenuar as variações irregulares I e deixar apenas as cíclicas. Uma vez isoladas, elas podem ser estudadas detalhadamente. Se ocorrer a periodicidade (ou periodicidade aproximada) dos ciclos, podem ser idealizados índices cíclicos, de modo muito semelhante ao dos índices por estações. 11. Avaliação das variações irregulares ou aleatórias A avaliação das variações irregulares ou aleatórias pode ser realizada mediante o ajustamento dos dados às variações da tendência, por estação e cíclicas. Isso obriga a dividir os dados originais Y por T, S e C, o que, de acordo com a Eq. (1), produz I. Na prática, verifica-se que os movimentos irregulares tendem a ser de pequena amplitude e que eles, frequentemente, tendem a seguir o padrão de uma distribuição normal, isto é, aquela na qual os pequenos desvios ocorrem com grande frequência e os grandes desvios ocorrem com pequena frequência. 12. Comparabilidade dos dados Deve-se ser sempre cuidadoso na comparação dos dados, quando essa providência é justificada. Por exemplo, ao comparar os dados de Março com os de Fevereiro, deve-se recordar que Março tem 31 dias, enquanto que Fevereiro tem 28 ou 29 dias. De modo semelhante, ao comparar os meses de Fevereiro de anos diferentes, deve-se lembrar que, nos anos bissextos, Fevereiro tem 29 em vez de 28 dias. O número de dias de trabalho de vários meses do mesmo, ou de anos diferentes, podem, também, ser diferentes por causa de férias, greves, licenças, etc. Na prática, nenhuma regra definida é seguida para efectuar os ajustamentos devidos a essas variações. A necessidade desse ajustamento é deixada ao arbítrio do investigador. Mais concretamente, ao bom senso (que não se ensina, apenas se pratica). 13. Previsão As ideias acima apresentadas podem ser usadas como auxílio no problema da previsão de sucessões cronológicas. Entretanto, deve-se compreender que o tratamento 8

9 matemático dos dados não resolve, isoladamente, todos os problemas. Conjugando o bom senso com a experiência, a habilidade e o bom julgamento do investigador, essa análise matemática pode, não obstante, ser valiosa para a previsão tanto a longo como a curto prazo. 14. Sumário das etapas fundamentais na análise das sucessões cronológicas 1. Coleccionar os dados das sucessões cronológicas, fazendo todo o esforço para assegurar que os dados são fidedignos. Na colheita dos dados deve-se ter sempre em mente a finalidade eventual da análise das sucessões cronológicas. Por exemplo, se se deseja prever uma certa sucessão cronológica, pode ser conveniente a obtenção de sucessões cronológicas correlatas, bem como outras informações. Se for necessário, ajustam-se os dados para comparação, isto é, ajustam-se os anos bissextos, etc. 2. Representar graficamente a sucessão cronológica, assinalando-se qualitativamente a presença da tendência a longo prazo e as variações cíclicas e por estações (sazonalidade). 3. Construir a curva ou a recta de tendência a longo prazo e obter valores adequados da tendência mediante o emprego de um dos métodos: mínimos quadrados, a sentimento, médias móveis ou semimédias. 4. Se houver variações por estações, obter um índice por estação e ajustar os dados àquelas variações, isto é: desestacionalizar os dados. 5. Ajustar os dados desestacionalizados à tendência. Os dados resultantes contêm (teóricamente) apenas as variações cíclicas e irregulares. Uma média móvel de 3, 5 ou 7 meses pode ser usada para remover as variações irregulares e revelar as cíclicas. 6. Representar graficamente as variações cíclicas obtidas na etapa 5, anotando quaisquer periodicidades (ou periodicidades aproximadas) que possam ocorrer. 7. Mediante a combinação dos resultados das etapas de 1 a 6, e utilizando qualquer outra informação disponível, fazer uma previsão (se for desejada) e, se possível, discutir as fontes de erro e a grandeza deste. 9

10 Problemas Resolvidos Movimentos característicos das sucessões cronológicas 1. A que movimento característico de uma sucessão cronológica está fortemente associada cada uma das seguintes ocorrências? (a) Um incêndio numa fábrica, atrasando a produção em 3 semanas. (b) Uma era de prosperidade. (c) Uma venda posterior à Páscoa, numa loja de um shopping. (d) A necessidade de aumentar a produção de trigo devido ao acréscimo constante da população. (e) Os valores mensais de precipitação numa cidade, durante um período de 5 anos. Soluções: (a) Irregular (b) Cíclico (c) Por estação ou sazonal (d) Tendência a longo prazo (e) Por estação ou sazonal Médias móveis 1. A Tabela 1 relaciona a produção média mensal norte-americana de carvão betuminoso, em milhões de toneladas, durante os anos de 1948 a Construir uma (a) média móvel de 5 anos; (b) média móvel de 4 anos; (c) média móvel centrada de 4 anos. Tabela 1 Anos Produção média mensal de carvão betuminoso 50 36, ,5 38,9 38,1 32,6 38,7 41,7 41,1 33,8 (milhões de toneladas) Fonte: Survey of Current Business 10

11 Soluções: (a) Refere-se à Tabela 2. Tabela 2 Anos Dados Movimento total de 5 anos Média móvel de 5 anos , , ,0 212,9 42, ,5 201,0 40, ,9 197,1 39, ,1 192,8 38, ,6 190,0 38, ,7 192,2 38, ,7 187,9 37, , ,8 O primeiro total móvel, 212,9 da coluna 3 é a soma da 1.ª até a 5.ª casa da coluna 2. O segundo total móvel, 201, é a soma da 2.ª até a 6.ª casa da coluna 2, e assim sucessivamente. Na prática, depois de se obter o primeiro total móvel, 212,9 o segundo será facilmente obtido mediante a subtração de 50 (1.ª casa da coluna 2) e a soma de 38,1 (6.ª casa da coluna 2), obtendo-se o resultado 201. Os totais móveis sucessivos são obtidos de modo semelhante. Dividindo-se cada total móvel por 5, obtém-se a média móvel desejada. (b) Refere-se à Tabela 3. Os totais móveis de 4 anos são obtidos como em (a), excepto que são somadas 4 casas da coluna 2, em vez de 5. Note-se que os totais móveis estão centrados entre anos sucessivos de modo diferente de (a). Este será sempre o caso quando for considerado um número par de anos para a média móvel. Considerando-se que 1949 por exemplo, se refere a 1 de Julho, o primeiro total móvel de 4 anos está centrado em 1 de Janeiro de 1950 ou em 31 de Dezembro de O valor obtido pode ser colocado na célula correspondente a 1949 ou a As médias móveis de 4 anos são obtidas dividindo-se os totais móveis de 4 anos por 4. 11

12 Tabela 3 Anos Dados Movimento total de 4 anos Média móvel de 4 anos , ,5 174,0 43, ,0 162,9 40, ,5 164,5 41, ,9 154,1 38, ,1 148,3 37, ,6 151,1 37, ,7 154,1 38, ,7 155,3 38, , ,8 (c) Primeiro método: Refere-se à Tabela 4. Calcula-se, primeiramente, a média móvel de 4 anos, como em (b). Esses valores estão centrados entre anos sucessivos, como foi mostrado. Tabela 4 Anos Dados Movimento móvel de 4 anos Movimento total de 2 anos da coluna 3 Média móvel centrada de 4 anos (coluna 4 : 2) , ,5 43, ,0 40,7 84,2 42, ,5 41,1 81,9 40, ,9 38,5 79,7 39, ,1 37,1 75,6 37, ,6 37,8 74,9 37, ,7 38,5 76,3 38, ,7 38,8 77,4 38, , ,8 Se agora se calcular o total móvel de 2 anos do movimento móvel de 4 anos, os resultados estarão centrados nos anos desejados. Dividindo-se os resultados da coluna 4 por 2, obtém-se as médias móveis centradas de 4 anos desejadas. 12

13 Segundo método: Refere-se à Tabela 5. Calcula-se primeiramente, um total móvel de 4 anos, como em (b). Esses valores estão centrados entre anos sucessivos, como foi demonstrado. Se agora se calcular um total móvel de 2 anos desses 4 anos, os resultados tornar-seão centrados nos anos desejados. Dividindo os resultados da coluna 4 por 8 (2 4), obtém-se a média móvel desejada. Tabela 5 Anos Dados Movimento total de 4 anos Movimento total de 2 anos da coluna 3 Média móvel centrada de 4 anos (coluna 4 : 8) , ,5 174, ,0 162,9 336,9 42, ,5 164,5 327,4 40, ,9 154,1 318,6 39, ,1 148,3 302,4 37, ,6 151,1 299,4 37, ,7 154,1 305,2 38, ,7 155,3 309,4 38, , , Dados originais Média móvel a 4 anos Média móvel a 5 anos Média móvel centrada a 4 anos 13

14 Note-se como as médias móveis regularizaram o gráfico dos dados originais, indicando claramente a linha de tendência. Uma desvantagem das médias móveis é que são excluídos os dados do início e do fim da sucessão cronológica. Isso pode ser importante, quando o número de observações não for muito grande. 2. Mostrar que a média móvel centrada de 4 anos do Problema 2(c) é equivalente a uma média móvel ponderada de 5 anos, com os pesos, 1, 2, 2, 2, 1, respectivamente. Solução: Sejam Y 1, Y 2, Y 11 os valores correspondentes aos anos de 1948, 1949,..., 1958, respectivamente. Procedendo-se como no segundo método de 2(c), obtém-se a Tabela 6. Tabela 6 Anos Y Movimento total de 4 anos Movimento total de 2 anos da coluna 3 Média móvel centrada de 4 anos (col. 4 8) 1948 Y Y 2 Y1 + Y2 + Y3 + Y Y 3 Y2 + Y3 + Y4 + Y5 Y1 2Y2 2Y3 2Y4 Y Y 4 Y3 + Y4 + Y5 + Y6 Y2 2Y3 2Y4 2Y5 Y ( ) 8 Y Y Y Y Y Y + Y + Y + Y + Y ( ) Y 11 De acordo com a última coluna, segue-se que a média móvel centrada de 4 anos é a ponderada de 5 anos com os pesos respectivos iguais a 1, 2, 2, 2, 1. Note-se que 8 é a soma desses pesos. Este método pode ser usado para obter os resultados do Problema 2(c). Por exemplo, a primeira casa (correspondende a 1950) é: ( 1)( 50) + ( 2)( 36,8) + ( 2)( 43) + ( 2)( 44,5) + ( 1)( 38,9) 8 = 42,1 Avaliação da tendência 3. Obter os valores da tendência para os dados do Problema 2, empregando o método das semimédias, em que os valores médios adoptados são: (a) a média e (b) a mediana. 14

15 Solução: (a) Distribuem-se os dados em duas partes iguais (omitindo o ano médio, 1953), como está indicado. Calcula-se a média dos dados de cada parte. Tabela 7 Anos Dados Anos Dados Variação total Variação anual , , , , , , , , , ,8 Total 212,9 187,9 Média 42, , ,0-0,83 Mediana 43, , ,3-0,86 De acordo com os resultados obtidos, conclui-se que, em 6 anos (de 1950 a 1956), houve um decréscimo de 5 milhões de toneladas, ou seja, 5/6 = 0,83 milhões de toneladas por ano. A partir daqui, podem ser calculados os valores da tendência. Dessa forma, os valores da tendência em 1951 e em 1952 são, respectivamente, 42,6 0,83 = 41,7 e 42,6 2 0,83 = 40,9 e por aí adiante, como indicado na Tabela 8. Tabela 8 Anos Valor da tendência Média 44,2 43,4 42,6 41,7 40,9 40,1 39,2 38,4 37,6 36,7 35,9 Mediana 44,7 43,9 43,0 42,1 41,3 40,4 39,6 38,7 37,8 37,0 36,1 Os resultados podem ser também obtidos, mediante o desenho do gráfico de uma recta que ligue os pontos (1950; 42,6) e (1956, 37,6) e a leitura, nesse gráfico, dos valores da tendência. (b) As medianas de cada uma das duas partes na Tabela 7 são 43 e 38,7, respectivamente, em 1950 e Dessa forma, há um decréscimo de (43 38,7)/5 = 0,86 milhões de toneladas por ano e os valores da tendência estão indicados na última linha da Tabela 8. Quando se utilizam as medianas, o método é frequentemente denominado das semimedianas. Se não for especificado o tipo de valor médio adoptado, fica implícito de que se trata da média. 4. Descrever como seriam utilizados os métodos (a) a sentimento e (b) das médias móveis para o cálculo dos valores da tendência dos dados do Problema 2. 15

16 Solução: (a) Neste método, construir-se-ia, simplesmente, no gráfico do Problema 2, uma recta ou curva que se aproximasse estreitamente dos dados fornecidos. Nesse gráfico seriam lidos, então, os valores da tendência. (b) Mediante o uso de uma média móvel de 5 anos, viu-se no Problema 2 que os dados da sucessão cronológica foram consideravelmente regularizados. Podem ser usadas as médias obtidas para os valores da tendência nos anos de 1950 a Através deste método, contudo, não se dispõe dos valores da tendência para os anos de 1948, 1949, 1957 e Se eles forem necessários, podem ser obtidos por extrapolação, no gráfico do Problema (a) Usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma recta aos dados do Problema 2, e (b) a partir do resultado da alínea anterior, determinar os valores da tendência. Solução: (a) Como há número ímpar de anos, temos Tabela 9 Anos X (tempo) Y (dados) X 2 XY , , , , , , ,5 4-89, ,9 1-38, ,1 0 0, ,6 1 32, ,7 4 77, , , , , , ,0 Soma 0 438, ,4 Então, a recta dos mínimo quadrado desejada é: XY Y = Y + X 2, ou seja, X 438,9 84,4 Y = + X = 39,9 0,767 X , em que a origem X = 0 corresponde ao ano de 1953, e a unidade de X é 1 ano. 16

17 (b) Fazendo X = 5, 4, 3,, 4, 5, na equação dos mínimos quadrados determinada em (a), obtém-se os valores da tendência, apresentados na Tabela 10. Tabela 10 Anos Valor da tendência MMQ 43,7 43,0 42,2 41,4 40,7 39,9 39,1 38,4 37,6 36,8 36, Mínimos quadrados Semimédias Semimedianas Note-se que os resultados obtidos pelo método dos mínimos quadrados são muito semelhantes aos obtidos pelo método das semimédias e das semimedianas, indicando claramente a linha de tendência. 17

18 Avaliação da variação por estação. Índice de estação 8. A Tabela 12 apresenta a energia eléctrica, em milhões de kilowatt-hora, consumida mensalmente para a iluminação de ruas e estradas, nos Estados Unidos, durante os anos de 1952 a (a) Construir um gráfico dos dados. (b) Obter os índices de estação, mediante o emprego do método das percentagens médias. Tabela Solução: (a) Fig. 4 (b) Os totais e médias mensais (média aritmética), para os anos de 1951 a 1958, são as que se seguem (Tabela 13). Dividindo-se os dados mensais fornecidos pelas médias mensais correspondentes a cada ano e exprimindo o resultado em percentagem. Obtém-se as casas da Tabela 14. Por exemplo, a primeira casa da tabela é dada por 318/273,7 = 116,2%. Tabela Totais

19 Médias Mensais 273,7 293,5 315,0 336,8 364,4 394,8 424,4 458,7 A percentagem média de cada mês é apresentada na última linha da Tabela 14. O total dessas percentagens é 1200,1%, que está tão próximo do desejado, 1 200%, que não é necessário nenhum ajustamento. Então, os números da última linha representam os índices de estação desejados. Tabela ,2 102,7 101,6 91,3 84,4 78,9 81,5 89,5 98,3 110,3 118,7 126, ,5 105,3 101,9 91,3 84,8 80,4 82,5 89,3 98,1 109,4 116,5 124, ,5 104,1 101,6 91,1 85,4 79,7 82,2 90,2 98,1 109,5 116,5 125, ,4 103,6 101,5 92,3 86,1 81,1 83,7 90,6 97,4 108,1 115,5 123, ,3 103,7 101,5 91,7 86,2 81,2 83,7 90,6 97,7 108,7 115,8 124, ,7 104,4 100,8 91,7 86,4 81,6 84,9 90,9 99,3 108,2 115,0 122, ,8 103,7 101,1 92,6 87,2 81,8 84,2 91,5 97,8 107,7 115,7 121, ,3 104,0 100,9 92,2 86,8 82,8 84,8 91,3 97,7 107,5 114,7 122,1 Total 925,7 831,5 810,9 734,2 687,3 647,5 667,5 723,9 784,4 869,4 928,4 989,7 Média 115,7 103,9 101,4 91,8 85,9 80,9 83,4 90,5 98,1 108,7 116,1 123,7 9. Obter um índice por estação para os dados do Probl. 8, mediante o emprego do método da tendência percentual ou da relação da tendência. Ao aplicar esse método, usar o dos mínimos quadrados para a obtenção dos valores mensais da tendência. Solução: De acordo com os dados reais do Probl. 8(a), parece que a tendência a longo prazo pode ser convenientemente ajustada, por meio de uma linha recta. Em vez de obter essa recta por meio de dados mensais fornecidos, fá-lo-emos das médias mensais dos anos de 1951 a 1958, apresentadas na Tabela 15 e reproduzidas da Tabela 13 do Probl. 8(b). Tabela 15 Anos Média Mensal 237,7 293,5 315,0 336,8 364,4 394,8 424,2 458,7 Admitindo-se que os dados mensais fornecidos correspondem ao meio do mês, as médias dessa tabela referem-se a 30 de Junho ou 1 de Julho do ano correspondente. Tabela 16 Anos X Y 2 X XY 19

20 , , , , , , , , , , , , , , , ,9 Y = 2861, 1 2 X = 168 XY = 2215, 5 A recta dos mínimos quadrados desejada é XY 2861,1 2215,5 Y = Y + X = + X = 357,6 + 13,188 X, 2 X em que X é medido em meios anos, com origem em 31 de Dezembro de 1954 ou 1 de Janeiro de Face a essa equação, conclui-se que os valores Y aumentam de 13,188, depois de cada meio ano, ou de 13,188/6=2,20 cada mês. Portanto, para X = 0 (1 de Janeiro de 1955), Y = 357,6. Meio mês depois (15 de Janeiro de 1955), o valor de Y é 357,6 + 1 (2,20) = 358,7, que é o valor da tendência correspondente a Janeiro de Adicionando-se, sucessivamente, 2,20 a 358,7, determinam-se os valores da tendência em Feve- 2 reiro de 1955, Março de 1955, etc., que são 358,7 + 2, ,9; 360,9 + 2, ,1 etc. De modo semelhante, subtraindo-se sucessivamente 2,20 de 358,7, determinam-se os valores da tendência em Dezembro de 1954, Novembro de 1954, etc., que são 358,7 2,20 = 365,5; 356,5 2,20 = 354,3 etc. Dessa maneira, são obtidos os valores da tendência apresentados na Tabela 17. Tabela ,1 255,3 257,5 259,7 261,9 264,1 266,3 268,5 270,7 272,9 275,1 277, ,5 281,7 283,9 286,1 288,3 290,5 292,7 294,9 297,1 299,3 301,5 303, ,9 308,1 310,3 312,5 314,7 316,9 319,1 321,3 323,5 325,7 327,9 330, ,3 334,5 336,7 338,9 341,1 343,3 345,5 347,7 349,9 352,1 354,3 356, ,7 360,9 363,1 365,3 367,5 369,7 371,9 374,1 376,3 378,5 380,7 382, ,1 387,3 389,5 391,7 393,9 396,1 396,3 400,5 402,7 404,9 407,1 409,3 Tabela 17 (cont.) ,5 413,7 415,9 418,1 420,3 422,5 424,7 426,9 429,1 431,3 433,5 435,7 20

21 ,9 440,1 442,3 444,5 446,7 448,9 451,1 453,3 455,5 457,7 459,9 462,1 Dividem-se, agora, cada um dos valores mensais, apresentados na Tabela 12 do Probl. 8, pelos valores de tendência correspondentes, encontrados na Tabela 17. Os resultados, expressos em percentagem, estão lançados na Tabela 18. Por exemplo, a primeira casa da tabela é dada por 318/253,1 = 125,6%. Tabela ,6 110,1 108,0 96,3 88,2 81,8 83,7 91,2 99, ,1 125, ,4 110,0 105,3 93,7 86,4 81,2 82,7 88,8 96,9 107,3 113,4 119, ,0 106,5 103,1 91,8 85,5 79,2 81,2 88,4 95,5 105,9 111,9 119, ,0 104,3 101,6 91,8 85,0 79,5 81,6 87,7 93,7 103,4 109,8 117, ,1 104,7 101,9 91,4 85,4 80,1 82,0 88,2 94,6 104,6 110,8 118, ,6 106,4 102,2 92,4 86,6 81,3 84,1 89,6 97,3 105,5 111,5 118, ,3 106,4 103,1 94,0 88,0 82,1 84,1 90,9 96,7 106,0 113,3 118, ,8 108,4 104,7 95,2 89,1 84,7 86,2 92,4 98,3 107,7 114,4 121,2 Média 119,2 106,2 103,1 93,0 86,5 81,2 83,2 89,2 96,8 106,0 112,6 118,9 Para obter a percentagem média de cada mês dos vários anos, foram adoptadas as medianas, que estão indicadas na última linha da tabela, por causa da presença de valores extremos. Como a soma dessas medianas é 1 196,1, elas são ajustadas, por meio da multiplicação por 1 200/1 196,1, de modo que a soma seja Dessa maneira, são obtidos os índices por estação desejadas, apresentados na Tabela 19. Tabela 19 Índice por estação 119,6 106,7 103,4 93,3 86,8 81,5 83,5 89,5 97,1 106,3 É interessante assinalar que, para os primeiros sete meses, os números índices por estação são constantemente maiores do que os obtidos no Probl. 8, enquanto que, para os cinco últimos, eles são constantemente menores. O índice por estação pode também ser obtido mediante o emprego da média, em vez da mediana, na última linha da Tabela 18. Nesse caso, os valores extremos de cada coluna seriam eliminados ao ser calculada a média. 10. Obter um índice por estação, para os dados do Probl. 8, mediante o emprego do método da média móvel percentual ou relação das médias móveis. Solução: Obtém-se, primeiramente, uma média móvel centrada de 12 meses, mediante o emprego do segundo método do Probl. 2(c), que está apresentada na Tabela

22 Divide-se, agora, cada um dos valores reais mensais pela média móvel centrada de 12 meses correspondente e exprime-se cada resultado em percentagem. Tabela 20 Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. 3 Média móvel centrada de 12 meses (col ) Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. 3 Média móvel centrada de 12 meses (col ) Jan. 318 Jan ,1 Fev. 281 Fev ,7 Mar. 278 Mar ,5 Abr. 250 Abr ,4 Mai. 231 Mai ,5 Jun. 216 Jun ,7 Jul ,7 Jul ,0 Ago ,9 Ago ,0 Set ,0 Set ,7 Out ,6 Out ,7 Nov ,1 Nov ,5 Dez ,7 Dez , Jan ,3 Jan ,2 Fev ,8 Fev ,0 Mar ,8 Mar ,7 Abr ,9 Abr ,3 Mai ,4 Mai ,0 Jun ,8 Jun ,9 Jul ,5 Jul ,0 Ago ,4 Ago ,4 Set ,0 Set ,7 Out ,7 Out ,9 Nov ,3 Nov ,8 Dez ,8 Dez , Jan ,7 Jan ,6 Fev ,7 Fev ,7 Mar ,9 Mar ,9 Tabela 20 (cont.) Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. Média móvel centrada de 12 meses (col. 22 Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. Média móvel centrada de 12 meses (col.

23 ) ) Abr ,4 Abr ,1 Mai ,1 Mai ,9 Jun ,0 Jun ,8 Jul ,8 Jul ,9 Ago ,6 Ago ,2 Set ,2 Set ,2 Out ,5 Out ,8 Nov ,8 Nov ,2 Dez ,0 Dez , Jan ,3 Jan ,5 Fev ,8 Fev ,1 Mar ,5 Mar ,8 Abr ,3 Abr ,7 Mai ,9 Mai ,6 Jun ,5 Jun ,9 Jul ,2 Jul Ago ,8 Ago. 419 Set ,3 Set. 448 Out ,9 Out. 493 Nov ,4 Nov. 526 Dez ,6 Dez. 560 Por exemplo, correspondendo a Julho de 1951, obtém-se 223/274,7 = 81,2%. Os resultados estão apresentados na Tabela 21. Note-se que não se dispõe, por esse método, das casas dos seis primeiros meses de 1951 e dos últimos seis de Para obter a percentagem média de cada mês dos vários anos, foram adoptadas as medianas que estão indicadas na Tabela 21, por causa da presença de valores extremos em alguns casos (exemplo: Novembro, Dezembro). Poderia, também, terem sido usadas as médias, mas, os valores extremos de cada coluna seriam eliminados. A soma das medianas, 1 199,8, é tão próxima da desejada, 1200, que não é necessário nenhum ajustamento. Os índices por estação desejados são, portanto, os apresentados na última linha da Tabela 21. Tabela ,2 88,5 96,4 107,6 115,2 122, ,9 107,7 103,7 92,4 85,4 80,6 82,2 88,4 96,6 107,1 113,5 120,2 Tabela 21(cont.) ,7 107,3 104,1 92,8 86,4 80,0 82,0 89,3 96,7 107,2 113,4 121, ,8 106,1 103,4 93,6 86,8 81,3 83,4 89,6 95,7 105,5 112,2 119, ,8 107,2 104,3 93,5 87,2 81,5 83,4 89,5 95,9 106,0 112,3 119, ,1 107,6 103,2 93,2 87,2 81,8 84,6 90,0 97,7 105,7 111,7 118,2 23

24 ,6 106,6 103,4 94,2 88,1 82,1 83,8 90,4 96,0 105,1 112,3 117, ,5 107,2 103,4 93,9 87,7 83,2 Mediana 119,8 107,2 103,4 93,5 87,2 81,5 83,4 89,5 96,4 106,0 112,3 119,6 Os resultados concordam muito bem com os do Probl Obter um índice por estação para os dados do Probl. 8, mediante o emprego do método dos elos relativos. Solução: Primeiramente, exprimem-se os dados de cada mês em percentagem dos do mês anterior, como está indicado na Tabela 22. Cada uma dessas percentagens é denominada um elo relativo. Por exemplo, para obter as casas correspondentes a Fevereiro e Março de 1951, tem-se, a partir dos dados do Probl. 8, valordefev elo relativo de Fevereiro de 1951 = = = 88,4%; valordejan valordemarço elo relativo de Março de 1951 = = = 98,9%. valordefev Tabela ,4 98,9 89,9 92,4 93,5 103,2 109,9 109,8 112,3 107,6 106, ,6 90,4 96,8 89,6 92,9 94,8 102,5 108,3 109,9 111,5 106,5 106, ,8 89,4 97,6 89,7 93,7 93,3 103,2 109,7 108,8 111,7 106,4 107, ,5 89,0 98,0 90,9 93,2 94,1 103,3 108,2 107,5 111,0 106,9 107, ,7 90,0 97,9 90,3 94,0 94,3 103,0 108,2 107,9 111,2 106,6 107, ,2 90,9 76,6 91,0 94,2 94,4 104,0 107,2 109,2 108,9 106,3 106, ,8 90,3 97,5 91,6 94,1 93,8 102,9 108,7 107,0 110,1 107,4 105, ,5 90,2 97,1 91,4 94,1 95,5 102,4 107,7 106,9 110,0 106,7 106,5 Mediana 100,7 90,1 97,6 90,6 93,8 94,2 103,1 108,2 108,4 111,1 106,6 106,6 Os valores médios dos elos relativos de vários meses (no caso, as medianas) estão representadas na última linha da Tabela 22. Pode-se, também, usar a média (veja o Probl. 12). Considera-se que Janeiro tem o valor 100% (veja a Tabela 23). Como a média dos elos relativos de Fevereiro é 90,1 (da Tabela 22), os dados referentes a Fevereiro são, em média, 90,1% dos de Janeiro, isto é, 90,1% de 100 = 90,1: De modo semelhante, a média dos elos relativos de Março é 97,6% da de Fevereiro, isto é, 97,6% de 90,1 = 87,9 etc. 24

25 Desse modo, obtém-se a Tabela 23, cujas casas são frequentemente denominadas relativas em cadeia. Tabela 23 Jan. 100,0 90,1 87,9 79,6 74,7 70,4 72,6 78,6 85,2 94,7 101,0 107,7 108,5 Na Tabela 23, os resultados do segundo mês de Janeiro (última coluna) é 108,5 com um acréscimo de 8,5 sobre os do primeiro. Esse aumento é devido à tendência a longo prazo dos dados. Para ajustá-lo a essa tendência, deve-se subtrair (11/12)(8,5) = 7,8 do valor de Dezembro, (10/12)(8,5) = 7,1 do valor de Novembro etc. Os valores ajustados à tendência estão lançados na Tabela 24. Rigorosamente falando, dever-se-iam multiplicar as casas da direita para a esquerda, por ( 100 /108,5) 11/ 12 etc. Isso, entretanto, conduz, praticamente aos mesmos resultados que os Tabela 24. Tabela ,0 89,4 86,5 77,5 71,9 66,9 68,4 73,6 79,5 88,3 93,9 99,9 Como o total dessas percentagens é 995,8, elas são ajustadas mediante sua multiplicação por 1 200/995,8, para a obtenção dos índices por estação da Tabela 25. Tabela 25 Índice por estação 12. Resolver o Probl. 11, adoptando a média dos elos relativos, em vez da mediana. 120,5 107,7 104,2 93,4 86,6 80,6 82,4 88,7 95,8 106,4 113,2 120,4 Solução: A média dos elos relativos está indicada na Tabela 26. Tabela 26 Média 100,4 89,8 97,6 90,5 93,6 94,2 103,1 108,5 108,4 110,8 106,8 106,6 Considerando-se que Janeiro tem o valor 100% o de Fevereiro é 89,8% de 100 = 89,8, o de Março 97,6% de 89,8 = 87,6 etc., como na Tabela

26 Tabela 27 Jan. 100,0 89,8 87,6 79,3 74, ,1 78,2 84,8 94,0 100,4 107,0 107,4 Neste caso, o resultado para o último Janeiro é de 107, 4, com um aumento, devido à tendência, de 7,4 sobre o do primeiro. Para fazer o ajustamento, subtrai-se (12/12)(7,4) = 7,4 da casa da última coluna, (11/12)(7,4) = 6,8 da de Dezembro, (10/12)(7,4) = 6,2 da de Novembro etc., de modo que os valores são os apresentados na Tabela 28. Tabela ,0 89,2 86,4 77,5 71,7 66,8 68,4 73,9 79,9 88,4 94,2 100,2 Como a soma das casas da última linha da Tabela 28 é 996,6, elas são ajustadas mediante sua multiplicação por 1 200/996,6 e obtêm-se os índices por estações constantes da Tabela 29. Tabela 29 Índice por estação 120,4 107,4 104,0 93,3 86,3 80,4 82,4 89,0 96,2 106,4 113,4 120,7 Desestacionalização dos dados 13. Ajustar os dados do Probl. 8 à variação por estação, isto é, desestacionalizálos. Tabela

27 Solução: Para ajustar os dados à variação por estação, deve-se dividir cada casa dos dados originais do Probl. 8 pelo índice por estação do mês correspondente, determinado por qualquer um dos métodos anteriores. Se, por exemplo, forem usados os índices por estação do Probl. 10, dividindo-se todos os valores de Janeiro por 119,8% (isto é, 1,198), todos os de Fevereiro por 107,2% (isto é, 1,072) etc. Então, os dados desestacionalizados são os apresentados na Tabela (a) Representar, graficamente, os dados desestacionalizados obtidos no problema anterior. (b) Comparar esse gráfico com o do Probl. 8(a). Solução: (a) Fig. 5 (b) O gráfico dos dados ajustados por estação indica claramente a tendência a longo prazo que, desprezadas as flutuações secundárias, se aproxima estreitamente de uma linha recta, embora haja uma ligeira tendência para cima. Representando-se os dados do Probl. 8 por Y = TCSI, o gráfico do item (a) é o da variável Y / S = TCI, localizada em relação ao tempo t e, portanto, contém os movimentos de tendência a longo prazo, cíclicos e irregulares. O factor correspondente aos componentes cíclicos e irregulares, deve ser, praticamente, 100% (ou seja: estes componentes não são praticamente detectados nesta sucessão). Este facto é confirmado no Probl. 16. Avaliação das variações cíclicas e irregulares 15. Ajustar os dados do Probl. 13 à tendência. Solução: 27

28 Para tornar os dados do Probl. 13 independentes da tendência, divide-se cada casa pelo valor da tendência mensal correspondente, calculado por qualquer dos métodos considerados. Usar-se-ão, neste caso, os valores mensais da tendência obtidos, no Probl. 10, pelo método das médias móveis. Os resultados estão indicados na Tabela 31. Para obter, por exemplo, o valor correspondente a 267, primeira casa da oitava coluna da Tabela 30,divide-se por 274,7 (primeira casa da coluna 5 da Tabela 20), o que dá 267/274,7 = 97,2%. As outras casas são obtidas de maneira semelhante. Uma desvantagem deste método, como de todos os que envolvem as médias móveis, é que desaparecem os dados de ambas as extremidades das sucessões cronológicas. Tabela ,2 99,0 100,0 101,6 102,4 102, ,9 100,4 100,2 99,0 98,1 99,0 98,5 97,8 100,3 101,1 101,2 100, ,6 100,1 100,5 99,2 98,9 98,2 98,4 99,7 100,4 101,0 101,1 101, ,9 99,1 100,1 100,2 99,7 99,7 100,0 100,2 99,2 99,4 99,8 100, ,1 100,1 100,9 100,0 100,0 100,0 100,1 100,1 99,4 100,1 100,1 100, ,4 100,3 99,9 99,7 100,0 100,4 101,5 100,6 101,4 99,8 99,4 98, ,1 99,3 100,0 100,7 101,0 100,8 100,5 101,1 99,5 99,1 100,0 98, ,9 100,0 100,0 100,3 100,5 102,0 16. (a) Representar, gráficamente, os dados obtidos no Probl. 15. (b) Explicar o significado do gráfico. Solução: (a) convém subtrair 100% dos dados do problema anterior e representar, gráficamente, os devios resultantes. O gráfico obtido, mediante a adopção de uma escala vertical grandemente ampliada, está representado na Fig. 6. (b) Os dados originais são representados por Y = TCSI. Ajustados à variação por estação, como foi feito no Probl. 13, importa para a sua interpretação dividir ambos os membros daquela equação pelo índice por estação S, obtendo-se Y / S = TCI. O ajustamento subsequente à tendência corresponde à divisão por T, obtendo-se Y / ST = CI. A subtracção de 100% conduz a Y / ST 100 = CI 100. por conseguinte, a variável dependente da Fig. 6 é Y / ST 100 e a independente é o tempo t. 28

29 O gráfico é composto, teoricamente, apenas de movimentos cíclicos e irregulares, representados pelos factores correpondentes C e I, respectivamente. Note-se que o produto CI varia entre 97 e 103%, o que confirma a exposição feita no fim do Probl. 14. Fig a) Obter as médias móveis de 3 e de 7 meses, para os dados do Probl. 15. (a) Construir os gráficos das médias móveis do item (a). (c) Interpretá-los. Solução: (a) As médias móveis desejadas estão lançadas na Tabela 32. Tabela 32 Ano e Mês Dados Movimento total de 3 meses Média móvel de 3 meses Movimento total de 7 meses Média móvel de 7 meses 1951 Jul 97,2 Ago. 99,0 296,2 98,7 Set. 100,0 300,6 100,2 Out. 101,6 304,0 101,3 702,3 100,3 Nov. 102,4 306,2 102,1 705,5 100,8 Dez. 102,2 304,5 101,5 706,7 101,0 Tabela 32 (cont.) Ano e Mês Dados Movimento total de 3 meses 29 Média móvel de 3 meses Movimento total de 7 meses Média móvel de 7 meses