Análise e previsão das taxas da população ocupada em Fortaleza, Ceará, de setembro de 1991 a dezembro de 2008

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1 Análise e previsão das taxas da população ocupada em Fortaleza, Ceará, de setembro de 1991 a dezembro de 2008 Daniela Bandeira, Paulo Germano, Filipe Formiga e Jeremias Leão Universidade Federal do Piauí Campus Ministro Petrônio Portella - Teresina Resumo O objetivo desse trabalho é avaliar estratégias de modelagem e previsão das taxas de ocupação da cidade de Fortaleza entre setembro de 1991 à dezembro de 2008, fazendo previsões 1, 3 e 5 passos à frente. No desenvolvimento do trabalho utilizamos o algoritmo de alisamento exponencial de Holt-Winters aditivo e multiplicativo, a metodologia de Box- Jenkins com os modelos sazonais autoregressivos integrados de médias móveis, SARIMA. Palavras-Chave Métodos de Alisamento, Metodologia Box- Jenkins, Previsões. I. INTRODUÇÃO A análise de séries temporais tem como principais objetivos: (i) identificar a natureza do fenômeno representado pela sequência de observações e (ii) previsão (predizer valores futuros da variável estudada). Ambos os objetivos exigem que o padrão observado da série temporal de dados seja mais ou menos identificados e descritos formalmente. Depois que o padrão for estabelecido, podemos interpretar e integrá-lo com outros dados. Independentemente da profundidade da nossa compreensão e da validade da nossa interpretação (teoria) do fenômeno, podemos extrapolar o padrão identificado para predizer eventos futuros. Abordagens detalhadas dos métodos de análises de séries temporais podem ser encontradas em [1], [3], entre outros. A série analisada compõe um dos indicadores tradicionais que dão expressão ao comportamento típico de um mercado de trabalho estruturado, com grande disponibilidade de mãode-obra e dinamizado por uma estrutura produtiva heterogênea, cuja descrição não se esgota na dicotomia emprego/desemprego, é uma informação de fundamental importância na comparabilidade com os indicadores produzidos em outros países. A série estudada é referente à taxa da população ocupada em Fortaleza, com um total de 208 observações (dados mensais), de setembro de 1991 a dezembro de A série foi obtida por pesquisa direta realizada no SINE/IDT em Fortaleza, Ceará. Os dados são referentes apenas a Fortaleza, contudo a pesquisa continua sendo realizada, porém para todos os municípios da Região Metropolitana de Fortaleza (RMF) em parceria com o DIEESE/SEAD. II. METODOLOGIA Considerando-se um processo (ou fenômeno) que seja observado ao longo do tempo, de modo que para cada tempo seja associada uma variável. Costuma-se explicar o comportamento desta variável através da decomposição desta nas componentes [4]: tendência, movimento contínuo dos dados numa determinada direção; sazonalidade, movimento recorrente de periodicidade interanual; erro, uma componente puramente aleatória de uma série; ciclo, movimento oscilatório em torno da tendência, que se verifica durante um período de tempo maior que um ano. A série pode ser gerada da combinação de todas as quatro componentes ou de um subconjunto das mesmas.

2 (3) Modelos de alisamento exponencial Os métodos de previsão se baseiam na ideia de que as observações contêm informações sobre o comportamento padrão da série. Os métodos de suavização exponencial são bastante populares em análise de séries temporais devido à simplicidade, à eficiência computacional e razoável precisão. É uma classe de algoritmos ad hoc de previsão. Seja uma série temporal, nosso objetivo é construir previsões para. Existem diversos tipos de alisamento, tais como: alisamento exponencial simples, alisamento exponencial de Holt e alisamento exponencial de Holt-Winters (aditivo e multiplicativo), estes dependem de algumas características da série estudada. Dessa forma, descrevermos de maneira sucinta apenas o método que empregamos à série estudada neste trabalho. Alisamento exponencial de Holt-Winters Como os demais métodos de alisamentos citados anteriormente, este método, também, considera características observáveis da série em estudo. Dessa forma, o método de alisamento de Holt-Winters baseia-se em três equações com constantes de suavização, que estão associadas às componentes do padrão da série, que são: nível, tendência e sazonalidade, ver [3], [2]. Neste caso, consideremos uma série em que as observações são mensais e sejam, e o níıvel, a tendência e o índice sazonal no tempo. Dessa maneira é o aumento ou redução esperada por mês no nível atual da série. Suponha que no tempo os termos sejam conhecidos. Assim, após observar os termos são atualizados via alisamento exponencial. Existem duas maneiras de usarmos o alisamento exponencial de Holt-Winter, ou seja, considerando a sazonalidade multiplicativa, ou seja, com amplitudes que tendem a crescer ao longo do tempo. E, também, podemos considerar a sazonalidade aditiva. Diante das duas formas que podemos usar para a componente sazonal descreveremos brevemente a sazonalidade multiplicativa a seguir, para maiores detalhes [2], [3]. As equações de atualização na forma de recorrência são dadas por Previsões períodos a frente são dadas por, (4) Temos que, e são as constantes de suavização para cada componente da série que são em geral escolhidos no intervalo e podem ser escolhidos minimizando-se a soma de quadrados dos erros de previsão. Estes parâmetros não dependem da escala das observações, mas sim das propriedades temporais do nível, tendência e sazonalidade da série. Modelagem de Box-Jenkins Uma das metodologias mais usadas na análise de modelos de séries temporais é conhecida como a abordagem de Box-Jenkins, detalhes em [1]. Tal metodologia consiste em ajustar modelos auto-regressivos integrados de médias móveis, ARIMA a um conjunto de dados, ver [3]. A estratégia da construção do modelo é baseada em um ciclo iterativo. Os estágios do ciclo são: (1) uma classe geral de modelos é considerada (especificação); (2) a identificação de um modelo, com base na análise de autocorrelações, autocorrelações parciais e outros critérios; (3) a próxima fase é a de estimação, na qual os parâmetros do modelo são estimados; (4) por fim, há a verificação ou diagnóstico do modelo ajustado, através da análise de resíduos, para saber se este é adequado para os fins de previsão, por exemplo. Após o passo (4), considerarmos que o modelo não seja adequado, o ciclo é repetido, voltando-se à fase de identificação. A fase crítica desse procedimento é a identificação, é possível que vários pesquisadores identifiquem modelos diferentes para a mesma série temporal. Há algumas classes de modelos abordados por [1], como por exemplo, modelos autoregressivos (AR), médias móveis (MA), modelos autoregressivos e médias móveis (ARMA), cada um com características particulares que podem ser encontradas em [1], [3] e [4], entre outros. (1) (2)

3 Modelo SARIMA Em [1] é generalizado os modelos ARIMA para lidar com sazonalidade, para isso os autores definiram o modelo ARIMA sazonal multiplicativo, denominado SARIMA, dado por por se tratar de um indicador da conjuntura do mercado de trabalho suspeitamos, também, da existência de componente sazonal nos dados., (5) em quem, Este modelo é chamado SARIMA multiplicativo de ordem e parece extremamente complicado à primeira vista mas na prática os valores de e em geral não serão maiores do que 1 e um número pequeno de coeficientes será suficiente. Por exemplo, com temos que O que significa que depende de. A série é formada a partir da série original tomando-se diferenças simples para remover a tendência e diferenças sazonais para remover a sazonalidade. Ao ajustar um modelo sazonal aos dados a primeira tarefa é especificar os valores de e que tornam a série (aproximadamente) estacionária e remove a maior parte da sazonalidade (estes valores raramente serão maiores do que 1). Em seguida os valores de,, e devem ser especificados com base nas funções de autocorrelação e autocorrelação parcial da série diferenciada. III. RESULTADOS E DISCUSSÕES Fig. 1. Série histórica das taxas da população ocupada de Fortaleza. A distribuição de frequência das taxas de população ocupada de Fortaleza pode ser vista através do histograma apresentado na Figura 2. O gráfico de autocorrelação amostral pode definir a ordem de um processo MA(q). Para isto, é necessário que haja um corte no lag q na função de autocorrelação amostral, o que é equivalente a todas as autocorrelações amostrais permanecerem dentro do intervalo assintótico a partir desse lag ( é o tamanho da série). Como podemos verificar na Figura 3 do lado esquerdo, não existe um ponto a partir do qual todas as autocorrelações fiquem dentro do intervalo mencionado anteriormente. No que diz respeito ao gráfico de autocorrelação parcial, é necessário que além do corte ocorra um padrão crescente ou decrescente para que um processo AR(p) seja utilizado. A análise da Figura 3 (lado direito) torna evidente que, além de não existir um padrão, não existe um corte. Podemos concluir que a série não segue um processo AR(p) puro. Nesta seção apresentamos a análise dos dados, objeto de estudo, que são as taxas da população ocupada na cidade de Fortaleza, Ceará, observadas no período de setembro de 1991 a dezembro de Usamos o Erro Quadrático Médio para comparar o desempenho das previsões dos modelos ajustados. A Figura 1 apresenta as observações da série temporal em estudo, podemos perceber na série indícios de tendência, e

4 Fig. 2. Histograma e Kernel da densidade estimada. Fig. 4. Funções de autocorrelação e autocorrelação parcial amostral da série, com as diferenças simples e sazonal. Utilizamos os algoritmos de Holt-Winters aditivo e multiplicativo e os modelos SARIMA. Avaliamos seis modelos distintos para os modelos SARIMA e escolhemos aquele que cumpriu todas as pressuposições teóricas e que forneceu melhores previsões. Nas Tabelas I e II temos as previsões obtidas pelos algoritmos de Holt-Winters aditivo e multiplicativo e pelo modelo SARIMA considerado. Podemos notar que temos boas previsões, isso é notável, também, por conta de EQM s baixos em todos os passos de previsão. Tabela I Previsões a 1, 3 e 5 passos obtidas com os algoritmos de Holt-Winters aditivo e multiplicativo. Mês/Ano Valor real Aditivo Multiplicativo Fig. 3. Funções de autocorrelação e autocorrelação parcial amostral. Através da Figura 3 podemos concluir que a série temporal analisada não é estacionária e dessa forma temos que tomar diferenças simples e diferenças sazonais para tornar a série (aproximadamente) estacionária. A Figura 4 apresenta as funções de autocorrelação e autocorrelação parcial da série depois de tomadas às diferenças simples e sazonal com Agosto 45,770 45,725 45,751 Setembro 44,980 45,828 45,835 Outubro 44,270 44,338 45,032 44,238 44,943 Novembro 42,870 43,402 44,124 43,191 43,910 Dezembro 42,870 42,126 42,562 43,292 42,042 42,288 42,991 EQM 0,553 0,127 0,610 0,686 0,148 0,456

5 Tabela II Previsões a 1, 3 e 5 passos obtidas usando-se a metodologia Box-Jenkins. Mês/Ano Valor real SARIMA Agosto 45,770 45,485 Setembro 44,980 45,432 Outubro 44,270 44,571 45,343 Novembro 42,870 44,016 45,303 Dezembro 42,870 42,829 44,461 45,375 EQM 0,002 1,311 2,726 SARIMA se mostraram eficazes, no que diz respeito a capacidade preditiva. Trabalhos futuros podem ser implementados com metodologias alternativas, i.e. modelos ARFIMA e Redes Neurais. Particularmente os modelos ARFIMA caracterizamse por sua longa dependência e por possuírem o parâmetro do modelo ARIMA (grau de diferenciação) assumindo valores fracionários. REFERÊNCIAS III. OBSERVAÇÕES FINAIS Neste trabalho tivemos como objetivo central avaliar as algumas das diferentes estratégias univariadas de modelagem e previsão das taxas da população ocupada de Fortaleza. Utilizamos algoritmos de alisamento exponencial de Holt- Winters aditivo e multiplicativo e modelos SARIMA. [1] Box, G. E. P. e Jenkins, G. M., Time series analysis: forecasting and control. San Francisco: Holden Day, [2] Ehlers, R.S. (2009) Análise de Séries Temporais, ehlers/stemp/stemp.pdf. Acesso em 03/09/2012 [3] Morettin, P. A. e Toloi, C. M. C., Análise de Séries Temporais. São Paulo: Editora Edgar Blucher, [4] Vasconcellos, M. A. S. e Alves, D., Manual de Econometria. São Paulo: Editora Atlas, A principal conclusão da análise apresentada ao longo da seção anterior é a seguinte: Os algoritmos de alisamento exponencial de Holt- Winters aditivo e multiplicativo e o modelo