Capítulo 11 - Projeto de Testes e Escolha de Estruturas
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- Regina Rodrigues
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1 Capítulo 11 - Projeto de Testes e Escolha de Estruturas Prof. Samir Martins UFSJ-CEFET/MG Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL São João del-rei, 22 de novembro de / 38
2 Introdução O presente capítulo trata de questões referentes à coleta dos sinais necessários à identificação. Trata, também, sobre como proceder com a detecção de estruturas de modelos. Descrição de ferramentas que podem auxiliar em decisões que dizem respeito ao projeto de testes, escolha de estrutura e determinação da taxa de amostragem. 2 / 38
3 Introdução O presente capítulo trata de questões referentes à coleta dos sinais necessários à identificação. Trata, também, sobre como proceder com a detecção de estruturas de modelos. Descrição de ferramentas que podem auxiliar em decisões que dizem respeito ao projeto de testes, escolha de estrutura e determinação da taxa de amostragem. 2 / 38
4 Introdução O presente capítulo trata de questões referentes à coleta dos sinais necessários à identificação. Trata, também, sobre como proceder com a detecção de estruturas de modelos. Descrição de ferramentas que podem auxiliar em decisões que dizem respeito ao projeto de testes, escolha de estrutura e determinação da taxa de amostragem. 2 / 38
5 Introdução O presente capítulo trata de questões referentes à coleta dos sinais necessários à identificação. Trata, também, sobre como proceder com a detecção de estruturas de modelos. Descrição de ferramentas que podem auxiliar em decisões que dizem respeito ao projeto de testes, escolha de estrutura e determinação da taxa de amostragem. 2 / 38
6 Introdução O presente capítulo trata de questões referentes à coleta dos sinais necessários à identificação. Trata, também, sobre como proceder com a detecção de estruturas de modelos. Descrição de ferramentas que podem auxiliar em decisões que dizem respeito ao projeto de testes, escolha de estrutura e determinação da taxa de amostragem. 2 / 38
7 Introdução O presente capítulo trata de questões referentes à coleta dos sinais necessários à identificação. Trata, também, sobre como proceder com a detecção de estruturas de modelos. Descrição de ferramentas que podem auxiliar em decisões que dizem respeito ao projeto de testes, escolha de estrutura e determinação da taxa de amostragem. 2 / 38
8 Escolha e Coleta de Sinais Três aspectos fundamentais em Identificação de sistemas: 1. Onde excitar a planta? 2. Que tipo de sinais utilizar como entrada? 3. Como amostrar os dados gerados? 3 / 38
9 Escolha e Coleta de Sinais Três aspectos fundamentais em Identificação de sistemas: 1. Onde excitar a planta? 2. Que tipo de sinais utilizar como entrada? 3. Como amostrar os dados gerados? 3 / 38
10 Escolha e Coleta de Sinais Três aspectos fundamentais em Identificação de sistemas: 1. Onde excitar a planta? 2. Que tipo de sinais utilizar como entrada? 3. Como amostrar os dados gerados? 3 / 38
11 Escolha de Entradas e de Saídas Variáveis de entrada e saída precisam estar correlacionadas. Sinais aleatórios e pseudo-aleatórios são comumente aplicados à entrada. No caso de sistemas com multiplas entradas candidatas, as mesmas não devem estar correlacionadas entre si. Em identificação de sistemas não lineares, o perfil de amplitude também torna-se importante. 4 / 38
12 Escolha de Entradas e de Saídas Variáveis de entrada e saída precisam estar correlacionadas. Sinais aleatórios e pseudo-aleatórios são comumente aplicados à entrada. No caso de sistemas com multiplas entradas candidatas, as mesmas não devem estar correlacionadas entre si. Em identificação de sistemas não lineares, o perfil de amplitude também torna-se importante. 4 / 38
13 Escolha de Entradas e de Saídas Variáveis de entrada e saída precisam estar correlacionadas. Sinais aleatórios e pseudo-aleatórios são comumente aplicados à entrada. No caso de sistemas com multiplas entradas candidatas, as mesmas não devem estar correlacionadas entre si. Em identificação de sistemas não lineares, o perfil de amplitude também torna-se importante. 4 / 38
14 Escolha de Entradas e de Saídas Variáveis de entrada e saída precisam estar correlacionadas. Sinais aleatórios e pseudo-aleatórios são comumente aplicados à entrada. No caso de sistemas com multiplas entradas candidatas, as mesmas não devem estar correlacionadas entre si. Em identificação de sistemas não lineares, o perfil de amplitude também torna-se importante. 4 / 38
15 Exemplo - Escolha de Variáveis de Entrada Dados experimentais coletados na unidade de tratamento de águas ácidas de uma refinaria de petróleo. Ao todo, tem-se 991 observações de oito variáveis do processo. Objetivo final obtenção de um modelo que explicasse a temperatura no topo da torre (saída do modelo). As sete variáveis restantes se qualificam como entradas? Há redundância entre tais variáveis? 5 / 38
16 Exemplo - Escolha de Variáveis de Entrada Dados experimentais coletados na unidade de tratamento de águas ácidas de uma refinaria de petróleo. Ao todo, tem-se 991 observações de oito variáveis do processo. Objetivo final obtenção de um modelo que explicasse a temperatura no topo da torre (saída do modelo). As sete variáveis restantes se qualificam como entradas? Há redundância entre tais variáveis? 5 / 38
17 Exemplo - Escolha de Variáveis de Entrada Dados experimentais coletados na unidade de tratamento de águas ácidas de uma refinaria de petróleo. Ao todo, tem-se 991 observações de oito variáveis do processo. Objetivo final obtenção de um modelo que explicasse a temperatura no topo da torre (saída do modelo). As sete variáveis restantes se qualificam como entradas? Há redundância entre tais variáveis? 5 / 38
18 Exemplo - Escolha de Variáveis de Entrada Dados experimentais coletados na unidade de tratamento de águas ácidas de uma refinaria de petróleo. Ao todo, tem-se 991 observações de oito variáveis do processo. Objetivo final obtenção de um modelo que explicasse a temperatura no topo da torre (saída do modelo). As sete variáveis restantes se qualificam como entradas? Há redundância entre tais variáveis? 5 / 38
19 Exemplo - Escolha de Variáveis de Entrada Figura 1: Funções de correlação cruzada (a,b) entre a variável de saída e duas variáveis candidatas a serem entradas, (c) entre (outras) duas variáveis candidatas a serem entradas. 6 / 38
20 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Figura 2: Circuito oscilador de Duffing-Ueda. 7 / 38
21 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Este oscilador pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: sendo para o presente exemplo k = 0,1. ÿ + kẏ + y 3 = u(t), (1) Mesmo quando excitado por uma única frequência, o espectro do sinal de saída do sistema é bastante amplo. Em alguns casos, basta um sinal simples, mas de frequência e amplitude bem determinadas, para excitar um sistema não-linear razoavelmente bem. 8 / 38
22 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Este oscilador pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: sendo para o presente exemplo k = 0,1. ÿ + kẏ + y 3 = u(t), (1) Mesmo quando excitado por uma única frequência, o espectro do sinal de saída do sistema é bastante amplo. Em alguns casos, basta um sinal simples, mas de frequência e amplitude bem determinadas, para excitar um sistema não-linear razoavelmente bem. 8 / 38
23 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Este oscilador pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: sendo para o presente exemplo k = 0,1. ÿ + kẏ + y 3 = u(t), (1) Mesmo quando excitado por uma única frequência, o espectro do sinal de saída do sistema é bastante amplo. Em alguns casos, basta um sinal simples, mas de frequência e amplitude bem determinadas, para excitar um sistema não-linear razoavelmente bem. 8 / 38
24 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Este oscilador pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: sendo para o presente exemplo k = 0,1. ÿ + kẏ + y 3 = u(t), (1) Mesmo quando excitado por uma única frequência, o espectro do sinal de saída do sistema é bastante amplo. Em alguns casos, basta um sinal simples, mas de frequência e amplitude bem determinadas, para excitar um sistema não-linear razoavelmente bem. 8 / 38
25 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Figura 3: Diagrama de bifurcação do oscilador Duffing-Ueda, com entrada u(t) = Acos(t) e 4,5 A / 38
26 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Figura 4: Resposta do oscilador Duffing-Ueda, excitado por (a) u(t) = 11cos(t) e (b) saída y(t). 10 / 38
27 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Figura 5: Resposta do oscilador Duffing-Ueda, excitado por (a) u(t) onda quadrada com ω = 1rad/s, A = ±10, com sinal gaussiano de σ 2 e = 9, (b) saída y(t). 11 / 38
28 Exemplo - Sinais de Excitação para um Oscilador Não Linear Figura 6: Resposta do oscilador Duffing-Ueda, excitado por (a) u(t) onda quadrada com ω = 1rad/s e amplitude crescente, com sinal gaussiano de σ 2 e = 9, (b) saída y(t). 12 / 38
29 Escolha do Tempo de Amostragem Assumindo inicialmente que o sinal original y (k) foi registrado utilizando-se um tempo de amostragem muito pequeno. Tem-se, neste sentido, um sinal superamostrado. Qual a taxa pela qual o sinal observado y (k) deverá ser decimado de forma a gerar o sinal de trabalho y(k)?. Determinar N de forma que y(k) = y ( k). 13 / 38
30 Escolha do Tempo de Amostragem Assumindo inicialmente que o sinal original y (k) foi registrado utilizando-se um tempo de amostragem muito pequeno. Tem-se, neste sentido, um sinal superamostrado. Qual a taxa pela qual o sinal observado y (k) deverá ser decimado de forma a gerar o sinal de trabalho y(k)?. Determinar N de forma que y(k) = y ( k). 13 / 38
31 Escolha do Tempo de Amostragem Assumindo inicialmente que o sinal original y (k) foi registrado utilizando-se um tempo de amostragem muito pequeno. Tem-se, neste sentido, um sinal superamostrado. Qual a taxa pela qual o sinal observado y (k) deverá ser decimado de forma a gerar o sinal de trabalho y(k)?. Determinar N de forma que y(k) = y ( k). 13 / 38
32 Escolha do Tempo de Amostragem Assumindo inicialmente que o sinal original y (k) foi registrado utilizando-se um tempo de amostragem muito pequeno. Tem-se, neste sentido, um sinal superamostrado. Qual a taxa pela qual o sinal observado y (k) deverá ser decimado de forma a gerar o sinal de trabalho y(k)?. Determinar N de forma que y(k) = y ( k). 13 / 38
33 Escolha do Tempo de Amostragem Sejam as funções de autocovariância linear e não linear: em que a esperança matemática pode frequentemente ser substituídas pela média temporal. Sejam ainda seus primeiros mínimos τ y, τ y 2, respectivamente. 14 / 38
34 Escolha do Tempo de Amostragem Sejam as funções de autocovariância linear e não linear: em que a esperança matemática pode frequentemente ser substituídas pela média temporal. Sejam ainda seus primeiros mínimos τ y, τ y 2, respectivamente. 14 / 38
35 Escolha do Tempo de Amostragem Considere ainda τ m = min[τ y τ y 2]. Deseja-se escolher de forma que as funções de autocovariânci do sinal decimado y(k) = y ( k) satisfaçam: 10 τ m 20, (2) sendo que os limites inferior e superior podem ser relaxados para 5 e 25, respectivamente. 15 / 38
36 Escolha do Tempo de Amostragem Considere ainda τ m = min[τ y τ y 2]. Deseja-se escolher de forma que as funções de autocovariânci do sinal decimado y(k) = y ( k) satisfaçam: 10 τ m 20, (2) sendo que os limites inferior e superior podem ser relaxados para 5 e 25, respectivamente. 15 / 38
37 Escolha do Tempo de Amostragem Considere ainda τ m = min[τ y τ y 2]. Deseja-se escolher de forma que as funções de autocovariânci do sinal decimado y(k) = y ( k) satisfaçam: 10 τ m 20, (2) sendo que os limites inferior e superior podem ser relaxados para 5 e 25, respectivamente. 15 / 38
38 Escolha do Tempo de Amostragem Considere ainda τ m = min[τ y τ y 2]. Deseja-se escolher de forma que as funções de autocovariânci do sinal decimado y(k) = y ( k) satisfaçam: 10 τ m 20, (2) sendo que os limites inferior e superior podem ser relaxados para 5 e 25, respectivamente. 15 / 38
39 Exemplo - Escolha do Tempo de Amostragem Seja o circuito de Chua, descrito matematicamente por: com m 0 = 1/7, m 1 = 2/7, α = 9, β = 100/7 e T s = 0, / 38
40 Exemplo - Escolha do Tempo de Amostragem Figura 7: (a) circuito de Chua e (b) característica corrente-tensão medida para o diodo de Chua implementado. 17 / 38
41 Exemplo - Escolha do Tempo de Amostragem Figura 8: r y (τ) para o circuito de chua, calculada a partir das componentes (a) x, (c) y e (e) z; r y 2(τ) determinada a partir das componentes (b) x, (d) y e (f) z. 18 / 38
42 Exemplo - Escolha do Tempo de Amostragem Figura 9: r y (τ) para o circuito de chua, calculada a partir das componentes (a) x, (c) y e (e) z; r y 2(τ) determinada a partir das componentes (b) x, (d) y e (f) z. 19 / 38
43 Exemplo - Escolha do Tempo de Amostragem Figura 10: r y (τ) para o circuito de chua, calculada a partir das componentes (a) x, (c) y e (e) z; r y 2(τ) determinada a partir das componentes (b) x, (d) y e (f) z. 20 / 38
44 Seleção de Estruturas Critério de Informação de Akaike (AIC) definido como: AIC(n θ ) = N ln[σ 2 erro(n θ )] + 2n θ, (3) sendo N o tamanho do conjunto de dados, σ 2 erro a variância dos resíduos e n θ o número de parâmetros do modelo. 21 / 38
45 Seleção de Estruturas Critério de Informação de Akaike (AIC) definido como: AIC(n θ ) = N ln[σ 2 erro(n θ )] + 2n θ, (3) sendo N o tamanho do conjunto de dados, σ 2 erro a variância dos resíduos e n θ o número de parâmetros do modelo. 21 / 38
46 Seleção de Estruturas Há outros critérios de informação semelhantes: Erro Final de Predição (FPE) e Critério de Informação de Bayes (BIC): O uso de critérios de informação pressupõe que exista uma ordem predefinida para incluir os termos candidatos sequencialmente no modelo. 22 / 38
47 Seleção de Estruturas Em modelos lineares com integração (raiz em z = 1), pode-se mostrar que Σ y = 1. Isto pode ser utilizado como ferramenta auxiliar para detecção de estruturas. 23 / 38
48 Seleção de Estruturas Em modelos lineares com integração (raiz em z = 1), pode-se mostrar que Σ y = 1. Isto pode ser utilizado como ferramenta auxiliar para detecção de estruturas. 23 / 38
49 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento 1. De posse dos dados u(k) e y(k), k = 1, 2, 3,..., N, obter uma saída calculando-se: sendo ỹ(0) = 0; ỹ(k) = ỹ(k 1) + y(k 1), 2. Para n y = 1,..., n max (ordem do modelo), estimar parâmetros a partir dos dados u(k) e ỹ(k), k = 1, 2,..., N; 3. Determinar os coeficientes de agrupamento Σ y para os modelos estimados no passo 2. Ou seja, calcular Σ 1,1, Σ 2,2 nmax,nmax,..., Σ ; ỹ ỹ ỹ 24 / 38
50 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento 1. De posse dos dados u(k) e y(k), k = 1, 2, 3,..., N, obter uma saída calculando-se: sendo ỹ(0) = 0; ỹ(k) = ỹ(k 1) + y(k 1), 2. Para n y = 1,..., n max (ordem do modelo), estimar parâmetros a partir dos dados u(k) e ỹ(k), k = 1, 2,..., N; 3. Determinar os coeficientes de agrupamento Σ y para os modelos estimados no passo 2. Ou seja, calcular Σ 1,1, Σ 2,2 nmax,nmax,..., Σ ; ỹ ỹ ỹ 24 / 38
51 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento 1. De posse dos dados u(k) e y(k), k = 1, 2, 3,..., N, obter uma saída calculando-se: sendo ỹ(0) = 0; ỹ(k) = ỹ(k 1) + y(k 1), 2. Para n y = 1,..., n max (ordem do modelo), estimar parâmetros a partir dos dados u(k) e ỹ(k), k = 1, 2,..., N; 3. Determinar os coeficientes de agrupamento Σ y para os modelos estimados no passo 2. Ou seja, calcular Σ 1,1, Σ 2,2 nmax,nmax,..., Σ ; ỹ ỹ ỹ 24 / 38
52 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento 1. De posse dos dados u(k) e y(k), k = 1, 2, 3,..., N, obter uma saída calculando-se: sendo ỹ(0) = 0; ỹ(k) = ỹ(k 1) + y(k 1), 2. Para n y = 1,..., n max (ordem do modelo), estimar parâmetros a partir dos dados u(k) e ỹ(k), k = 1, 2,..., N; 3. Determinar os coeficientes de agrupamento Σ y para os modelos estimados no passo 2. Ou seja, calcular Σ 1,1, Σ 2,2 nmax,nmax,..., Σ ; ỹ ỹ ỹ 24 / 38
53 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento 4. Se o primeiro coeficiente de agrupamento que satisfaz Σ i,i ỹ 1 < γ, i = 1, 2,..., n max para Σ r,r (1 r n ỹ max ), sendo γ << 1, então uma ordem adequada para o modelo é n y = r / 38
54 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento A ordem indicada pelo procedimento acima é r 1 pelo fato de se ter adicionado, artificialmente, uma integração no primeiro passo. Se for conhecido que o sistema que gerou os dados tem uma integração, então o passo 1 torna-se desnecessário e a ordem do modelo, neste caso, será n y = r. Integração artificialmente inserida aumenta a robustez do método em relação ao ruído de média zero. 26 / 38
55 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento A ordem indicada pelo procedimento acima é r 1 pelo fato de se ter adicionado, artificialmente, uma integração no primeiro passo. Se for conhecido que o sistema que gerou os dados tem uma integração, então o passo 1 torna-se desnecessário e a ordem do modelo, neste caso, será n y = r. Integração artificialmente inserida aumenta a robustez do método em relação ao ruído de média zero. 26 / 38
56 Procedimento Usando o Coeficiente de Agrupamento A ordem indicada pelo procedimento acima é r 1 pelo fato de se ter adicionado, artificialmente, uma integração no primeiro passo. Se for conhecido que o sistema que gerou os dados tem uma integração, então o passo 1 torna-se desnecessário e a ordem do modelo, neste caso, será n y = r. Integração artificialmente inserida aumenta a robustez do método em relação ao ruído de média zero. 26 / 38
57 Exemplo - Determinação de Ordem Seja o modelo contínuo sendo m = 20, c = k = 5. mÿ(t) + cẏ(t) + ky(t) = u(t), (4) O modelo foi simulado usando-se uma rotina de integração RK de quarta ordem, "amostrados"com período T s. Séries com N = / 38
58 Exemplo - Determinação de Ordem Seja o modelo contínuo sendo m = 20, c = k = 5. mÿ(t) + cẏ(t) + ky(t) = u(t), (4) O modelo foi simulado usando-se uma rotina de integração RK de quarta ordem, "amostrados"com período T s. Séries com N = / 38
59 Exemplo - Determinação de Ordem Seja o modelo contínuo sendo m = 20, c = k = 5. mÿ(t) + cẏ(t) + ky(t) = u(t), (4) O modelo foi simulado usando-se uma rotina de integração RK de quarta ordem, "amostrados"com período T s. Séries com N = / 38
60 Exemplo - Determinação de Ordem Figura 11: Coeficiente de agrupamento Σỹ para ( ) 1/T s = 0,75Hz, (- -) 1/T s = 1Hz e ( ) 1/T s = 2Hz. 28 / 38
61 Exemplo - Determinação de Ordem Figura 12: (a) coeficiente de agrupamento Σỹ para ( ) sem ruído, (- -) SNR = 2,9 e ( ) SNR = 0,74. Para os demais gráficos: ( ) teste do determinante, (- -) função de erro, ( ) FPE, (-.-) AIC e (-o-) BIC, (b) sem ruído, (c) SNR = 2,9 e (d) SNR = 0, / 38
62 Exemplo - Determinação de Ordem Figura 13: (a) coeficiente de agrupamento Σỹ para ( ) sem ruído, (- -) SNR = 2,9 e ( ) SNR = 0,74. Para os demais gráficos: ( ) teste do determinante, (- -) função de erro, ( ) FPE, (-.-) AIC e (-o-) BIC, (b) sem ruído, (c) SNR = 2,9 e (d) SNR = 0, / 38
63 Exemplo - Determinação de Ordem O procedimento discutido nesta seção é mais robusto ao ruído. Todos os métodos, à exceção do método do determinante, indicam a ordem correta para dados sem ruído e com SNR = 2,9. Por outro lado, para SNR = 0,74 só o procedimento baseado em coeficiente de agrupamento indica o resultado correto. 31 / 38
64 Exemplo - Determinação de Ordem O procedimento discutido nesta seção é mais robusto ao ruído. Todos os métodos, à exceção do método do determinante, indicam a ordem correta para dados sem ruído e com SNR = 2,9. Por outro lado, para SNR = 0,74 só o procedimento baseado em coeficiente de agrupamento indica o resultado correto. 31 / 38
65 Exemplo - Determinação de Ordem O procedimento discutido nesta seção é mais robusto ao ruído. Todos os métodos, à exceção do método do determinante, indicam a ordem correta para dados sem ruído e com SNR = 2,9. Por outro lado, para SNR = 0,74 só o procedimento baseado em coeficiente de agrupamento indica o resultado correto. 31 / 38
66 Seleção da Estrutura de Modelos Não Lineares Taxa de redução de erro ERR; Critérios de informação AIC, FPE, BIC; Análise de agrupamento de termos. 32 / 38
67 Seleção da Estrutura de Modelos Não Lineares Taxa de redução de erro ERR; Critérios de informação AIC, FPE, BIC; Análise de agrupamento de termos. 32 / 38
68 Seleção da Estrutura de Modelos Não Lineares Taxa de redução de erro ERR; Critérios de informação AIC, FPE, BIC; Análise de agrupamento de termos. 32 / 38
69 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda A equação do oscilador de Duffing-Ueda foi integrada para obter 900 observações, com T s = π/30. Escolheu-se o grau de não linearidade e atrasos máximos como l = n y = n u = 3. Uma família de modelos foi identificada, com número crescente de termos selecionados pelo ERR. Coeficientes de agrupamentos constantemente monitorados após a inclusão de cada termo no modelo. 33 / 38
70 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda A equação do oscilador de Duffing-Ueda foi integrada para obter 900 observações, com T s = π/30. Escolheu-se o grau de não linearidade e atrasos máximos como l = n y = n u = 3. Uma família de modelos foi identificada, com número crescente de termos selecionados pelo ERR. Coeficientes de agrupamentos constantemente monitorados após a inclusão de cada termo no modelo. 33 / 38
71 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda A equação do oscilador de Duffing-Ueda foi integrada para obter 900 observações, com T s = π/30. Escolheu-se o grau de não linearidade e atrasos máximos como l = n y = n u = 3. Uma família de modelos foi identificada, com número crescente de termos selecionados pelo ERR. Coeficientes de agrupamentos constantemente monitorados após a inclusão de cada termo no modelo. 33 / 38
72 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda A equação do oscilador de Duffing-Ueda foi integrada para obter 900 observações, com T s = π/30. Escolheu-se o grau de não linearidade e atrasos máximos como l = n y = n u = 3. Uma família de modelos foi identificada, com número crescente de termos selecionados pelo ERR. Coeficientes de agrupamentos constantemente monitorados após a inclusão de cada termo no modelo. 33 / 38
73 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda Figura 14: O eixo das abscissas é o número de termos (regressores) no modelo. (a) Σ y, (b) Σ y 3, (c) Σ u e (d) Σ u / 38
74 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda O primeiro termo do agrupamento Ω u 3 entrou tardiamente no modelo (o décimo termo); Após o quinto termo os outros três agrupamentos já estavam representados nos modelos. O valor de Σ u 3 oscila em torno de zero e é pelo menos quatro ordens de grandeza inferior do que os demais coeficientes de termos. Discussão sugere que os coeficientes efetivos no presente caso são Ω y, Ω y 3 e Ω u. 35 / 38
75 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda O primeiro termo do agrupamento Ω u 3 entrou tardiamente no modelo (o décimo termo); Após o quinto termo os outros três agrupamentos já estavam representados nos modelos. O valor de Σ u 3 oscila em torno de zero e é pelo menos quatro ordens de grandeza inferior do que os demais coeficientes de termos. Discussão sugere que os coeficientes efetivos no presente caso são Ω y, Ω y 3 e Ω u. 35 / 38
76 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda O primeiro termo do agrupamento Ω u 3 entrou tardiamente no modelo (o décimo termo); Após o quinto termo os outros três agrupamentos já estavam representados nos modelos. O valor de Σ u 3 oscila em torno de zero e é pelo menos quatro ordens de grandeza inferior do que os demais coeficientes de termos. Discussão sugere que os coeficientes efetivos no presente caso são Ω y, Ω y 3 e Ω u. 35 / 38
77 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda O primeiro termo do agrupamento Ω u 3 entrou tardiamente no modelo (o décimo termo); Após o quinto termo os outros três agrupamentos já estavam representados nos modelos. O valor de Σ u 3 oscila em torno de zero e é pelo menos quatro ordens de grandeza inferior do que os demais coeficientes de termos. Discussão sugere que os coeficientes efetivos no presente caso são Ω y, Ω y 3 e Ω u. 35 / 38
78 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda Gerou-se um conjunto de termos candidatos tomados apenas dentre os agrupamentos efetivos. Procedeu-se à identificação de modelos exatamente como antes. O diagrama de bifurcação do modelo de 14 termos identificado é mostrado a seguir. Este diagrama é mais fiel que o do modelo que continha termos do agrupamento espúrio Ω u / 38
79 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda Gerou-se um conjunto de termos candidatos tomados apenas dentre os agrupamentos efetivos. Procedeu-se à identificação de modelos exatamente como antes. O diagrama de bifurcação do modelo de 14 termos identificado é mostrado a seguir. Este diagrama é mais fiel que o do modelo que continha termos do agrupamento espúrio Ω u / 38
80 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda Gerou-se um conjunto de termos candidatos tomados apenas dentre os agrupamentos efetivos. Procedeu-se à identificação de modelos exatamente como antes. O diagrama de bifurcação do modelo de 14 termos identificado é mostrado a seguir. Este diagrama é mais fiel que o do modelo que continha termos do agrupamento espúrio Ω u / 38
81 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda Gerou-se um conjunto de termos candidatos tomados apenas dentre os agrupamentos efetivos. Procedeu-se à identificação de modelos exatamente como antes. O diagrama de bifurcação do modelo de 14 termos identificado é mostrado a seguir. Este diagrama é mais fiel que o do modelo que continha termos do agrupamento espúrio Ω u / 38
82 Exemplo - Determinação de Estrutura de Duffing-Ueda Figura 15: Diagrama de bifurcação de modelo identificado com 14 termos, escolhidos a partir de agrupamentos efetivos. 37 / 38
83 Agradecimentos MUITO OBRIGADO! Prof. Samir Martins DEPEL/UFSJ 38 / 38
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