Análise Espectral de Processos Estocásticos

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1 Análise Espectral de Processos Estocásticos Airlane Pereira Alencar 21 de Março de 2019 Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

2 Índice 1 Objetivos 2 Pré-requisitos 3 Espectro 4 Propriedades 5 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine 6 Referência Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

3 Objetivos Espectro x FAC. Caracterização do proc. estacionário a partir da FAC e espectro. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

4 Pré-requisitos Já vimos Processos estocásticos; Estacionariedade; Exemplos; Função de autocovariância: propriedades e estimação; Análise Harmônica. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

5 Espectro Espectro: Heurística (Ondas) Seja {X(t), t T } processo estacionário (pode ser complexo) com E(X(t)) = 0 e T= R. X(t) é agora uma realização do processo (não aleatória). { X(t), se T t T ; Y (t) = 0, se t > T. Y (t) é de quadrado integrável e definimos a transf.de Fourier (p. 27): F Y (λ) = 1 Y (t)e iλt dt F(λ) 2 dλ: contribuição da frequência em (λ, λ + dλ) à energia total do sinal x(t) pois pelo T. Parseval: x(t) 2 dt = 1 F(λ) 2 dλ Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

6 Espectro Espectro J (T ) (λ) = F Y (λ) 2 2T representa a f. densidade de potência de Y(t) lim T F Y (λ) 2 2T descreveria X(t) pois T. Como X(t) é só uma série, consideramos a média quando o limite existir. f (λ) = lim T E[J(T ) (λ)] f (λ) é dita f. densidade espectral de X(t) e representa a média das contribuições das freq. em [λ, λ + dλ] à potência total. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

7 Espectro Espectro E F f (λ) = lim Y (λ) 2 T 2T lim T lim T lim T 1 2T E T [ 1 T T T 2T 2T T ( 1 τ 2T ] [ 1 ] Y (t)e iλt dt Y (s)e iλs ds E[Y (t)y (s) ]e iλ(t s) dt ds ) γ(τ)e iλτ dτ Uma condição suficiente para que o limite exista é γ(τ) dτ < Variáveis mais afastadas são menos correlacionadas! Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

8 Espectro Espectro Então, o espectro é a TF da FAC f (λ) = 1 γ(τ)e iλτ dτ A transformada inversa é γ(τ) = f (λ)e +iλτ dλ Para τ = 0, temos a decomposição da variância γ(0) = f (λ)dλ Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

9 Espectro Espectro tempo discreto: t Z Se k= γ k <, temos o espectro f (λ) = 1 A transformada inversa é γ k = π π γ k e iλk, π < λ < π f (λ)e +iλk dλ, k = 0, 1,... Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

10 Espectro Prova de que vale essa transf. inversa Exercício Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

11 Propriedades Propriedades da densidade espectral Teorema 1 O espectro f (λ) = 1 k= γ k e iλk, é limitado, não negativo, uniformemente contínuo, par e periódico de período. f (λ) = 1 γ k e iλk 1 γk < ; Não negativo, só quando mostrarmos que a esperança do periodograma (não negativo) converge para f (λ); Uniformemente contínuo f (λ + ω) f (λ) 1 k= e i(λ+ω)k e iλk γ k = 1 2 k= e iλk e iωk 1 γ k ω 0 0 Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

12 Propriedades Propriedades do Espectro f (λ) = 1 k= γ k e iλk γ k = γ k (estac) e para u = k: f (λ) = 1 u= γ ue +iλu = f ( λ) f (λ) tem período, pois e iλk = cos(λk) isen(λk) tb tem. Para t = R f (λ) = 1 γ(τ)e iλτ dτ f (λ) tem as mesmas propriedades, exceto que não tem período. f (λ) não é f (λ + ) pois e i(λ+)τ = e iλτ só para τ Z. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

13 Propriedades Espectro: parametrizações e simplificações Tempo discreto (prática) Como f (λ) é par e de período, basta visualizar f (λ), 0 < λ < π. Se considero a frequência ω = λ (λ = ω), tenho ω [0, 1/2] e o período é 1/ω (=12 meses). (SS) f (λ) = 1 k= γ k e iλk = 1 k= γ k cos(λk) Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

14 Propriedades Exemplos: Encontre f (λ) X = {X(t), t Z } processo estacionário X t é ruído branco, então γ j = 0, j 0 f (λ) = 1 k= k= γ k < γ k e iλk = γ 0 Todas as frequências estão presentes no espectro, como na luz branca. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

15 Propriedades Exemplos: Encontre f (λ) MA centrado Y t = 1 3 (X t 1 + X t + X t+1 ), X t RB 3σ 2 /9, se k = 0; 2σ γ k = 2 /9, se k = 1; σ 2 /9, se k = 2; 0, se k > 3; f (λ) = 1 = 1 k= [ 3σ 2 γ k e iλk = ] 9 + 2σ2 9 (e iλ + e iλ ) + σ2 9 (e iλ2 + e iλ2 ) = 1 σ 2 [3 + 4 cos(λ) + 2 cos(2λ)] 9 Alencar, curve((1/9)*(1/(2*pi))*(3+4*cos(x)+2*cos(2*x)), A.P. (IME-USP) Análise espectral 0, 21pi) de Março de / 24

16 Propriedades Exemplos: Encontre f (λ) MA centrado Y t = 1 3 (X t 1 + X t + X t+1 ), X t RB f (λ) = 1 σ 2 [3 + 4 cos(λ) + 2 cos(2λ)] 9 curve((1/9)*(1/(2*pi))*(3+4*cos(x)+2*cos(2*x)), 0, pi) Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

17 Cossenos e Senos Propriedades Já estudamos Análise Harmônica X t = q A k cos(ω k t) + B k sen(ω k t) k=1 A k e B k variáveis não correlacionadas com média 0 e variância σ 2 k e ω k frequências distintas. γ(h) = q σk 2 cos(ω kh) k=1 Não vale k= γ k <. Não temos a f. densidade espectral mas temos representação espectral. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

18 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine Teorema Bochner-Wiener-Khintchine X = {X(t), t R} processo estacionário real, de média zero e FACv γ(τ) contínua τ. γ(τ) é FACv de processo estacionário γ(τ) = e iλτ df λ, τ R onde F(λ) é função real, não decrescente e limitada. Prova: Ondas p. 116 A.3 Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

19 Observações Teorema Bochner-Wiener-Khintchine Dividindo por γ(0), temos ρ(τ) = eiλτ dg(λ); F(λ) é definida a menos de uma constante e podemos fixar F( ) = 0 e F( ) = γ(0) γ(0) = df(λ), F (λ) é chamada de distribuição espectral de X(t) sobre o eixo das frequências Como F(λ) parece f. dist. pode ser decomposta nas componentes discreta, contínua e singular em F(λ) = a 1 F d (λ) + a 2 F c (λ) + a 3 F s (λ) com a 1 + a 2 + a 3 = 1 Na prática nem considera a singular e temos mistura de função escada e contínua γ(τ) = j= e iλ j τ p(λ j ) + e iλτ f c (λ)dλ Se temos k= γ k <, temos só a parte contínua como nos processos ARMA e proc. linear geral. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

20 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine Teorema Herglotz - Tempo discreto X = {X(t), t Z} processo estacionário real, de média zero e FACv γ k. γ k é FACv de processo estacionário γ k = π π e iλk df λ, k Z onde F(λ) é função real, não decrescente e limitada. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

21 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine Exemplo: Um Harmônico SS2016 p. 181 X t = U 1 cos(ω 0 t) + U 2 sen(ω 0 t) ω 0 conhecido, U 1 e B = U 2 variáveis não correlacionadas com média 0 e variância σ 2. Cov(X t, X t+h ) = Cov[U 1 cos(ω 0 t) + U 2 sen(ω 0 t), U 1 cos(ω 0 (t + h)) + U 2 sen(ω 0 (t + h))] = = σ 2 [cos(ω 0 t)cos(ω 0 (t + h)) +sen(ω 0 t)sen(ω 0 (t + h))] = cos(ω 0 t (ω 0 (t + h))) = cos(ω 0 h) = γ(h) O processo tem média zero e é estacionário. Não vale k= γ k <. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

22 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine Exemplo: Um Harmônico γ(h) = σ 2 cos(ω 0 h) = σ2 2 e iω 0h + σ2 2 eiω 0h Representação espectral com F saltitante 0, ω ω 0 ; F(ω) = σ 2 /2, ω 0 < ω < ω 0 ; σ 2, se ω ω 0 Integração Riemann-Stieltjes γ(h) = = 1/2 1/2 e iωh df(ω) = [ ] σ e iω0h + ] [σ 2 σ2 e +iω 0h 2 Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

23 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine Teorema Cramér - Tempo contínuo X = {X(t), t R} processo estacionário real com FACv contínua. Então existe proc. estac. {Z (λ), λ R} de incrementos ortogonais tal que X(t) = e itλ dz (λ), t R onde Z (λ) tem incrementos ortogonais: E(dZ (λ)) = 0, λ E dz (λ) 2 = df(λ), λ Tem equivalente para tempo discreto. X(t) pode ser aproximado por soma de componentes harmônicas de amplitutes aleatórias. Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24

24 Referência Referências All Time series analysis Morettin e Toloi Shumway and Stoffer Wei Alencar, A.P. (IME-USP) Análise espectral 21 de Março de / 24