EEC4164 Telecomunicações 2

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1 Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores EEC4164 Telecomunicações (000/001) 1ª Parte Duração: 1 hora (sem consulta) 1ª chamada 5 de Janeiro de O que é o efeito de abertura na amostragem de sinais em banda base? Em que tipo de amostragem ocorre? De que depende? Mostre como deve recuperar um sinal amostrado nessas condições.. Na modulação delta de um sinal pode ocorrer distorção de declive. Exemplifique e indique as condições a que o sinal deve obedecer para que esse fenómeno não ocorra. Conclua a resposta comparando DM com PCM em termos de largura de banda ocupada. 3. a) Apresente um diagrama de blocos de um sistema de resposta parcial gerador de impulsos duobinários (deve ter o cuidado de prevenir a propagação de eventuais erros de decisão no receptor). b) Qual é a largura de banda de impulsos duobinários modificados correspondentes a dados gerados à cadência de 100 kbits/s? 4. Considere um gerador de sequências pseudo aleatórias de comprimento máximo. R() a) calcule o valor da função de autocorrelação de uma sequência de comprimento 17. b) uma sequência PN é gerada pelo polinómio 5 h( x) = x + x + 1. Desenhe o circuito respectivo. c) Qual é o período máximo de uma sequência PN gerada por um polinómio de grau 6? 5. a) recorra ao majorante da união para deduzir uma expressão da probabilidade de símbolo errado em MPSK. b) apresente, justificando, uma relação entre essa probabilidade de erro e a probabilidade de bit errado, admitindo que o mapeamento de símbolos obedece à codificação de Gray. c) mostre que BPSK e QPSK apresentam a mesma probabilidade de bit errado para a mesma relação E b N Compare as modulações digitais M QAM e MPSK. Refira se a aspectos como a probabilidade de erro, a eficiência espectral e a largura de banda, pelo menos. Para o mesmo número de bits por símbolo e a mesma relação E b N 0 qual das modulações preferiria?

2 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores EEC4164 Telecomunicações Segunda Parte Duração: 1 hora (sem consulta) 1 a chamada 5 de Janeiro de Osinalx(t) = 1 3 cos(103 πt)+ 1 sin(10 πt) é amostrado àtaxadenyquist equantizadoem 18 níveis por um quantizador uniforme, com uma gama dinâmica de intervalo [ 1, 1]. (a) Determine o débito do sinal PCM binário resultante da amostragem e quantização do sinal x(t). (b) Obtenha a relação sinal-ruído de quantização ( ) S. N Q (c) Admita que o débito binário vale 10 kbit/s. Determine as larguras de banda necessária mínima, B min,emáxima, B max para transmitir o sinal PCM se se usarem filtros do tipo cosseno elevado. Um sinal rectangular unipolar de amplitude V é presente a um dispositivo de decisão que atribui, na ausência de ruído, os níveis lógicos 0 e 1 às tensões de entrada 0 V e V, respectivamente. Suponha que o sinal se encontra contaminado por ruído aditivo com função densidade de probabilidade f(u) =ke u, onde k éumaconstantereal. (a) Calcule o valor da constante k. (b) Independentemente do resultado que obteve na alínea anterior, considere k = 1. Obtenha a probabilidade de bit errado se o limiar de decisão for γ =1V. (c) Admitindo que a relação das probabilidades dos símbolos binários é P 1 =P 0,verifique que o limiar de decisão óptimo é dado por γ opt =1 1 ln(). 4 3 Os sinais s 1 (t) es 0 (t) = s 1 (t) associados aos símbolos binários 1 e 0, respectivamente, são transmitidos através de um canal AWGN e detectados com um filtro adaptado. O sinal s 1 (t) estárepresentadonafiguraseguinte: s 1 (t) 1 T T t (a) Sendo a densidade espectral de potência unilateral do ruído N 0 =10 6 W/Hz e T =15µs, calcule a probabilidade de bit errado, P b. (b) Esboçe a resposta impulsional do filtro adaptado aos sinais s 1 (t) es 0 (t). (c) Se se usar impulsos rectangulares antipodais com amplitudes ±A em vez de s 1 (t) e s 0 (t), qual deverá ser o valor de A de modo a manter a probabilidade de bit errado P b?

3 4 A ligação à Internet de uma ilha remota faz-se através de um satélite geoestacionário. As características das ligações ilha satélite (uplink) e satélite continente (downlink) estão tabeladas a seguir: Parâmetro Uplink Downlink Modulação FSK QPSK com mapeamento de Gray Receptor Quadratura Coerente Débito binário (R) 100 kbit/s 100 kbit/s Potência de emissão (S) 16 dbw PSD unilateral do ruído (N 0 ) 10 dbw/hz 10 dbw/hz Atenuação do canal (L) 170 db 170 db (a) Determine a potência de emissão mínima no uplink, S u, de modo a que a probabilidade de erro nessa ligação seja no máximo P u =0,01. (b) Calcule a probabilidade de bit errado, no downlink, P d. (c) Supondo que P d =10 3, qual deve ser o valor máximo de P u para que a taxa de erros na ligação ilha satélite continente seja inferior a 300 erros/s?

4 Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores EEC4164 Telecomunicações (000/001) 1ª Parte Duração: 1 hora (sem consulta) ª chamada de Janeiro de Um sinal em banda base g(t) de duração T e energia E é transmitido através de um canal linear ideal que introduz ruído gaussiano branco com densidade espectral de potência N 0/. a) Qual deve ser a resposta impulsional e a respectiva função de transferência do filtro do receptor que maximiza a relação sinal ruído no instante de amostragem? b) Determine essa relação sinal ruído.. Apresente o critério de Nyquist (nos tempos e nas frequências) para eliminação da interferência intersimbólica. Relacione o, se for possível, com o teorema da amostragem e a frequência de Nyquist. 3. O mapeamento dos símbolos no espaço de sinal de um modulador QPSK é o seguinte: Cada símbolo tem a duração T e a energia E s. Esboce as formas de onda das componentes em fase e em quadratura do sinal QPSK se à entrada se tiver a sequência binária Um sistema de comunicações usa a modulação 4 FSK ortogonal com um mapeamento de símbolos { s1, s, s3, s4} correspondente à ordenação binária crescente de dibits {00, 01, 10, 11}. O débito binário é de 4 kbits/s e a potência do sinal no receptor coerente, à entrada do decisor, é de 9,03 dbm. a) Devido ao ruído, num determinado intervalo de amostragem o sinal à entrada do decisor é 3 [ ] representado por r( t) = ψ 1( t) + ψ ( t) 3ψ 3 ( t) + ψ 4 ( t) 10 Qual o dibit que terá sido transmitido? num espaço de sinal ortonormado. b) Verificou se que a probabilidade de símbolo errado é de Quanto vale a probabilidade de bit errado? 5. Apresente os diagramas de blocos de um modulador e de um desmodulador de 64 QAM.

5 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores EEC4164 Telecomunicações Segunda Parte Duração: 1 hora (sem consulta) a chamada de Janeiro de Osinalx(t) = 1 cos(8000πt) é amostrado à taxa de Nyquist e quantizado, usando-se um quantizador uniforme com uma gama dinâmica de Va +V. (a) Determine o número mínimo de bits, n, que deve usar por amostra para ter uma relação sinal ruído de quantização (S/N) Q 30 db. (b) Supondo que se usam 8 bits/amostra, estime a largura de banda do sinal se se usar o código de linha bifásico. (c) Paraasequência binária indicada apresente a forma de onda correspondente àcodificação HDB À entrada de um decisor, e na ausência de ruído, recebe-se um sinal quaternário com símbolos equiprováveis e níveis de tensão ±1 V e ±3 V. Este sinal é afectado por ruído aditivo, gaussiano de média nula e branco, com uma densidade espectral de potência unilateral N 0 =10 6 W/Hz. (a) Supondo que o ruído na entrada do decisor é limitado por um filtro passa-baixo ideal de largura de banda 6,5 khz, calcule a probabilidade de símbolo errado, P s,seosníveis de decisão forem { V,0V,+V}. (b) Recalcule a probabilidade de erro se os níveis de decisão passarem a ser { 1,8 V,0V,+1,8 V}. (c) Suponha agora que P s =10 3. Considere uma cascata de três sistemas idênticos com igual valor de P s. Verifique que a probabilidade P de se receberem quaisquer símbolos errados num conjunto de três símbolos enviados é expressa por P 7Ps. 3 Um radar de impulsos é usado para detectar a aproximação de mísseis. Os impulsos enviados têm a forma sinusoidal, potência S e duração T. Os impulsos reflectidos na estrutura do míssil chegam ao receptor atenuados por um factor L e contaminados por ruído AWGN (sinal r(t)). O diagrama de blocos do receptor do radar está representadonaseguintefigura: r(t) q T cos(πfct) q T sin(πfct) Z T dt 0 t = T z I () p () z? γ decisor Alarme de mísseis Z T dt 0 t = T z Q () (a) Mostre que para um impulso recebido sem ruído, z = sofridopeloimpulso. ST L qualquer que seja o atraso

6 (b) Naausência de impulsos recebidos, sabe-se que Z = ZI + Z Q éumavariável aleatória com função distribuição cumulativa (CDF) de Rayleigh expressa por: CDF(z) =P (Z z) = { 1 e z σ, z 0 0, z < 0 em que σ éavariância das variáveis aleatórias Z I e Z Q. Calcule a probabilidade de falso alarme (P fa ), isto é, a probabilidade do radar indicar a presença de um míssil quando este não existe, para o limiar de decisão γ =4σ. (c) Quando um impulso é recebido, admita que a PDF de z é aproximadamente gaussiana com variância σz. Determine o valor de γ de modo que a probabilidade de detecção de um míssil, P d, seja de 99%. 4 Uma sonda espacial foi lançada com o objectivo de explorar Júpiter. A sonda está equipada com um transmissor de dados de telemetria. Para simplificar a desmodulação, juntamente com o sinal modulado é enviado um resíduo da portadora. As características dos sistemas de transmissão e recepção estão apresentados na tabela a seguir: Parâmetro Valor Modulação BPSK com portadora residual Comprimento de onda da portadora (λ) 3cm Débito binário (R b ) 100 bit/s Potência do emissor da sonda (P t ) 10 dbw Potência da portadora residual 0% Ganho da antena da sonda (G t ) db Ganho da antena da estação terreste (G r ) 68 db Atenuação do canal (L) L =+0log 10 (d/λ) db PSD do ruído no receptor (N 0 /) 13 dbw/hz (a) Calcule a distância máxima que a sonda pode alcançar de modo a que a probabilidade de erro no receptor instalado na Terra seja inferior a 0,05 (P b < 0,05). (b) Supondo que em vez de BPSK se tivesse usado 8-PSK sem portadora residual, qual a potência que o emissor da sonda deveria ter para que a probabilidade de bit errado em BPSK (P BPSK ) fosse 50% mais elevada que a probabilidade de bit errado em 8-PSK (P 8 PSK )?

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8 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores EEC4164 Telecomunicações Segunda Parte Duração: 1 hora (sem consulta) 3 a chamada 5 de Fevereiro de A sequência binária { } é aplicada a um codificador duobinário modificado com pré-codificação. (a) Supondo que o registo do pré-codificador é inicializado a zero, escreva as sequências obtidas na saída do pré-codificador e na saída do codificador duobinário modificado. (b) Devidoaoruído presente no canal de transmissão, os níveis do 3 o e4 o dígitos recebidos na entrada do receptor são, respectivamente, 0 V e V. Obtenha a sequência de saída do receptor, identificando os erros cometidos. (c) Seosinalbinário aplicado ao codificador tiver um débito de 1 kbit/s, calcule a largura de banda ocupada pelo sinal codificado. Num determinado código de linha o símbolo binário 1 é representado por um impulso rectangular de duração igual ao tempo de bit T b =10µs e amplitude A, enquanto o símbolo 0 é representado por um impulso de relógio de bit com transição ascendente a meio do tempo de bit e amplitudes A e+a. (a) Supondo que os símbolos são transmitidos por um canal com densidade espectral de potência unilateral de valor N 0 = 30 dbm/hz, calcule o valor de A para que a probabilidade de bit errado seja P b = (b) Esboce a resposta impulsional do filtro adaptado ao conjunto dos dois sinais usados neste código. (c) Estime a largura de banda ocupada por este código. 3 Pretende-se transmitir um stream de audio digital usando, como equipamento, um sistema de difusão comercial de FM monofónico, segundo o esquema apresentado a seguir: R b Codificador Modulador B m Modulador Desmod. B m Desmod. R c Descod. R b MP3 56 QAM FM FM 56 QAM MP3 áudio digital enviado R c As características relevantes do sistema estão apresentadas na tabela seguinte: áudio digital recebido Parâmetro Valor Modulação digital 56 QAM com filtro de cosseno elevado Factor de roll-off do filtro RC (α) 1/ Débito binário do stream de áudio (R b ) 70 kbit/s Largura de banda máx. do sinal modulador (B m ) 15 khz Desvio de frequência máx. do sinal FM ( f) 75 khz ( ) (S/N) Figura de mérito do desmodulador FM f (C/N) 10 B m (db)

9 (a) Ostream de áudio digital é gerado a partir de dois canais de áudio analógico, cada um com largura de banda B = 15 khz, amostrados à taxa de Nyquist e quantizados. Calcule a relação sinal-ruído de quantização ( ) S resultante, sabendo que a gama de N Q entrada dos quantizadores é[ 1 V, +1 V] e que a densidade espectral de potência unilateral dossinaisdeáudio é expressa por: { 1 f p(f) = 10 e 10, 0 f B 0, f > B em que f está expresso em khz. (b) Mostre que a taxa de compressão de débito exigida ao codificador MP3 é R b /R c =9. (c) Determine a relação portadora-ruído C/N à entrada do desmodulador de FM de modo que a probabilidade de bit errado no stream de áudio seja P b < (d) Ostream codificado é organizado em tramas de 36 bits. Determine a taxa de tramas erradas FER (Frame Error Rate), nas condições da alínea anterior. Exprima o resultado em tramas erradas por hora. 4 A modulação UQPSK é usada para transmitir duas sequências binárias independentes, x {0, 1} e y {0, 1} com probabilidades de erro desiguais. A constelação UQPSK está representada na figura abaixo onde é feita a correspondência entre o par (x, y) e o ponto da constelação. (1, 0) φ Q d (x, y) =(0, 0) 3d 3d φ I d (1, 1) (0, 1) (a) Faça um esboço, adequadamente detalhado, do diagrama de blocos do modulador com entradas x e y, e do desmodulador com saídas x e ŷ, paraestamodulação. As alíneas seguintes destinam-se apenas aos alunos de melhoria de classificação com nota não inferior a 14 valores (b) Determine as expressões da probabilidade de erro para as sequências x e y, P x e P y, respectivamente. Verifique também que P y P x quando P x,p y 1. (c) Mostre que a probabilidade de erro ( associada ao símbolo formado pelo par (x, y) é dada, E aproximadamente, por P xy Q s 5N 0 ),emquee s é a energia do símbolo UQPSK.

10 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores EEC4164 Telecomunicações Segunda Parte Correcção 1 a chamada 5 de Janeiro de Osinalx(t) = 1 3 cos(103 πt)+ 1 sin(10 πt) éamostradoàtaxadenyquist e quantizado em 18 níveis por um quantizador uniforme, com uma gama dinâmica de intervalo [ 1, 1]. (a) Determine o débito do sinal PCM binário resultante da amostragem e quantização do sinal x(t). Amáxima frequência de x(t) é f max = 103 π π = 500 Hz. Portanto, a frequência de amostragem de Nyquist será: f s =f max = 1000 Hz. Onúmero de bits de um quantizador de L = 18 níveis é: n = log L = 7 bits. Portanto são necessários 7 bit para representar cada amostra do quantizador. Odébito binário éentão R b = nf s =7kbit/s. (b) Obtenha a relação sinal-ruído de quantização ( S N A potência do ruído de um quantizador uniforme com L níveis e gama dinâmica [ m max,m max ]é expressa por N = mmax 1, em = L é o degrau do quantizador. Arelação anterior assume que o erro de quantização encontra-se uniformemente distribuído no intervalo [, ] e que não existe clipping do sinal (e neste caso não existe porque max x(t) < <m max). Assim, N Q = ( ) ,9 dbv Apotência média de um sinal sinusoidal de amplitude A vale A. A potência média de x(t) éentão S = (1/3) Arelação pedida é: ( S N ) + (1/) = 13 ) Q. 7 7,4 dbv. Q = S(db) N Q(db) 7,4+46,9 = 39,5 db. Arelação sinal-ruído poderia ser igualmente calculada por: ( ) S N P éapotência média do sinal de entrada; m max é a gama de entrada ( V neste caso); L éonúmero de níveis do quantizador (18). Como tal, ( S N ) Q = = ,5 db. Q = 3P m max L em que: (c) Admita que o débito binário vale 10 kbit/s. Determine as larguras de banda necessária mínima, B min,emáxima, B max para transmitir o sinal PCM se se usarem filtros do tipo cosseno elevado. Quando se usa um filtro do tipo cosseno elevado para a formatação de impulsos, a largura de banda ocupada por estes passa a ser: B = R (1 + α), em que α éofactorderoll-off do filtro (0 α 1). Assim: B min = R =5kHz(α =0) B max = R =10kHz(α =1)

11 Um sinal rectangular unipolar de amplitude V é presente a um dispositivo de decisão que atribui, na ausência de ruído, os níveis lógicos 0 e 1 às tensões de entrada 0 V e V, respectivamente. Suponha que o sinal se encontra contaminado por ruído aditivo com função densidade de probabilidade f(u) =ke u, onde k é uma constante real. (a) Calcule o valor da constante k. Sendo f(u) uma função densidade de probabilidade, terá que se verificar + f(u)du =1. Como f(u) épar,então + 0 f(u)du = 1 k + 0 e u du k = 1 k =1. (b) Independentemente do resultado que obteve na alínea anterior, considere k = 1. Obtenha a probabilidade de bit errado se o limiar de decisão for γ =1V. A expressão geral para a probabilidade de erro de um sistema binário é: P e = P e (0)P 0 + P e (1)P 1. Neste caso, dada a simetria de f(u), pode afirmar-se que P e (0) = P e (1) e assim P e = P e (0)(P 0 + P 1 )=P e (0). Portanto, segundo a figura abaixo, P e = P e (0) = + γ f 0 (u)du = + γ f(u)du = + 1 e u du = 1 e. 1 f 0 (u) f 1 (u) γ u (c) Admitindo que a relação das probabilidades dos símbolos binários é P 1 =P 0,verifiqueque o limiar de decisão óptimo é dado por γ opt =1 1 4 ln(). A expressão P 0 P 1 = f 1(γ opt) f 0 (γ opt) pode ser usada para determinar o valor de γ opt. Como f 0 (u) =f(u) =e u = e u (u>0) e f 1 (u) =f(u ) = e u =e ( u) =e u 4 (u<) então a expressão inicial fica: P 0 P 1 = eγ opt 4 P e γ 0 opt P 1 =e 4γopt 4 γ opt = ln ( P0 P 1 ) =1 1 4 ln(). 3 Os sinais s 1 (t) es 0 (t) = s 1 (t) associados aos símbolos binários 1 e 0, respectivamente, são transmitidos através de um canal AWGN e detectados com um filtro adaptado. O sinal s 1 (t) está representado na figura seguinte: s 1 (t) 1 T T t (a) Sendo a densidade espectral de potência unilateral do ruído N 0 =10 6 W/Hz e T =15µs, calcule a probabilidade de bit errado, P b. Sendo os impulsos antipodais e a detecção( efectuada por um filtro adaptado, a probabilidade de erro é dada por: P b = Q /N 0. Sendo E b = E 0+E 1 Eb ) e como E 0 = E 1 então E b = E 0 = E 1 = T 0 s 1 (t)dt = T ( t ) 0 T dt = T 3 V s. Assim, ) P b =Q( T 3N 0 =Q ( 10 ) (b) Esboçe a resposta impulsional do filtro adaptado aos sinais s 1 (t) es 0 (t). A resposta impulsional do filtro óptimo para o sinal s 1 (t) é dada por h 1 (t) =s 1 (T t) =s 1 (t). O mesmo acontece para s 0 (t) em que h 0 (t) =s 0 (T t)=s 0 (t) = s 1 (t). A resposta impulsional de um filtro adaptado simultaneamente aos dois sinais será h(t) =h 1 (t) h 0 (t) =s 1 (t).

12 (c) Se se usar impulsos rectangulares antipodais com amplitudes ±A em vez de s 1 (t) es 0 (t), qual deverá ser o valor de A de modo a manter a probabilidade de bit errado P b? Para que a probabilidade de erro seja mantida, E b deve ser o mesmo nas duas situações. O valor de E b para o caso dos impulsos rectangulares é E b = A T = E b A T = T 3 A = 1 3 V. 4 A ligação à Internet de uma ilha remota faz-se através de um satélite geoestacionário. As características das ligações ilha satélite (uplink)esatélite continente (downlink)estão tabeladas aseguir: Parâmetro Uplink Downlink Modulação FSK QPSK com mapeamento de Gray Receptor Quadratura Coerente Débito binário (R) 100 kbit/s 100 kbit/s Potência de emissão (S) 16 dbw PSD unilateral do ruído (N 0 ) 10 dbw/hz 10 dbw/hz Atenuação do canal (L) 170 db 170 db (a) Determine a potência de emissão mínima no uplink, S u, de modo a que a probabilidade de erro nessa ligação seja no máximo P u =0,01. Tratando-se de FSK com um receptor de quadratura, não-coerente portanto, a expressão da probabilidade de bit errado é P b = 1 E b e N 0. Assim 1 e E b N 0 = P u E b N 0 =ln(p u ) S sat T b = N 0 ln(p u ) S sat = R b N 0 ln(p u )= ln( 0,01) 0,78 fw -151 dbw Na ilha, a potência emitida terá quesers u = S sat (db) + L(db) = 19 dbw que é aproximadamente igual a 78 W. (b) Calcule a probabilidade de bit errado, no downlink, P d. A probabilidade de bit errado em QPSK com detecção coerente é igual àdamodulação PSK e vale P b =Q( Eb N 0 ). ( ) SL Assim, P d =Q 1 T 3dB ) b N 0 =Q( + S(dB) L(dB) R(dB) N0 db = Q ( 3dB + 16dB 170dB 50dB + 10dB ) ( 9dB ) =Q Q ( 8 ) 0,003. (c) Supondo que P d =10 3,qualdeveserovalormáximo de P u para que a taxa de erros na ligação ilha satélite continente seja inferior a 300 erros/s? A probabilidade de erro na ligação ilha satélite continente, P l,é a soma das probabilidades de haver erro em apenas uma das ligacões (já que se houver erro simultaneamente no uplink enodownlink, a ligação completa fica isenta de erro). Deste modo P l = P u (1 P d )+P d (1 P u )=P u + P d P u P d P u + P d,jáquep u,p d 1. Para que a taxa de erros seja inferior a BER = 300 erros/s, P l < BER R = Portanto, P u <P l P d = 10 3.

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