Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas. (Material de Nivelamentos,Conceitos de Limite, Diferencial e Integral)

Transcrição

1 Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas Disciplina Sistemas de Controle e Modelagem (Material de Nivelamentos,Conceitos de Limite, Diferencial e Integral) Prof. Wagner Santos C. de Jesus wsantoscj@gmail.com

2 Conceito de Limite 2

3 Definição Conceitual O limite de uma função (se ele existir) para algum valor de (x), tendo (a), é a altura da qual a função cada vez mais se próxima à medida que (x) se aproxima de (a) pela esquerda e pela direita. y a x 3

4 Ilustrando o conceito de f(x) = 3x+1 Limite a medida que x se aproxima de 2 x f(x) pela Esquerda a = 2 pela Direita A altura y se aproxima de 7. 4

5 Afirmação de limite Onde f(x) vem a ser a função pertencente ao domínio do problema, (x) os parâmetros de conformação do problema e (a) o valor de tendência das aproximações. a, vem ser um número real. 5

6 Exemplo Prático Considere, f(x) = 3x + 1 = 6

7 Exemplo 2 (Prático) 7

8 Conceito de Limite Lateral 8

9 Definição Lim. Lateral Limites lateral funcionam como limites bilaterais regulares com uma exceção, de que x, se aproximar do limite apenas pela esquerda ou pela direita. ou Esquerda Direita 9

10 Discussão de Limite Lateral

11 Definição formal Seja a f(x) uma função e a um número real; existirá limite se e somente se

12 Limites infinitos 12

13 Exemplo Limite Infinito 13

14 Exemplo Limite Infinito 14

15 Limite de uma função Exponencial

16 Limites para memorizar Limite de uma constante, será a própria constante. Limite, tende a zero + caminha para infinito. Limite, tende a zero caminha para (-) infinito. Limite tende a infinito caminha para zero. 16

17 Limites para memorizar 17

18 Problema (0) Considere um sistema de controle onde f(t) = [1:0.01:3]; encontre os pontos por onde f(t) irá passar considerando os limites tendendo a (1,2 e 3). Para a função: Esboce os eixos com t, f(t) e mostre onde seriam os pontos desta função regida por um sistema de controle. 18

19 Limites Algébricos 19

20 Conceito Limites Algébricos Quando a substituição não funciona na função original, geralmente devido ao intervalo aberto na função, usa-se álgebra para manipular a função até que a substituição funcione, isso funciona porque a manipulação preenche o intervalor aberto. 20

21 Exemplo Prático 21

22 Calculo Não existe limite, por substituição direta neste ponto. 22

23 Exemplo Prático Limite Algébrico 23

24 Exemplo por substituição x y Erro O valor se aproxima de

25 Exemplo Octave x = [4.998,4.999,5,5.001,5.002,5.003]; lim = (x.^2-25)./(x - 5); plot(x,lim,"linewidth",3,"k"); 25

26 Problema Exemplo (1) Observe o sistema de controle acima e responda, quais as alturas dos pontos da função representada neste sistema para x tendendo a [40,45,50]. 26

27 Conceito de Diferencial (Derivada) 27

28 Definição de Diferencial Define-se como diferencial de uma função, é o processo de encontrar a derivada, ou seja, encontrar a inclinação (declive) de uma reta ou de uma curva. 28

29 Relação Prática Derivada de x em relação a y. 3 Declive = 3 Inclinação = 3 29

30 Interpretação Prática Derivada O gráfico de uma função, desenhadas em preto, e uma linha tangente a essa função, elaborado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual a derivada da função no ponto marcado. 30

31 Exemplo Prático Ação da Derivada 31

32 Conceito Matemático de reta y = mx + b Onde (m) Coeficiente ângular em relação ao eixo x. se se m 1 m 1 Ângulo entre 0º e 45º com eixo x, o Coeficiente linear b dá o valor do eixo y. Ângulo entre 45º e 90º com eixo x. Dados dois pontos no plano P1 e P2, pode-se obter m e b da seguinte maneira. m y x 1 0 = 1 1 y x 0 (1) b = y 1 mx (2) 32

33 As equações (1) e (2) serão base para construir a de retas y 1 y 0 x x

34 Problema Exemplo (2) Mario vendia marmitex e detectou, no quinto mês, mais dois que o valor de seu produto era 22,00, no decimo mês de vendas mais dois, seu produto aumentou para 42,00 reais, de quantas vezes foi o respectivo aumento. x = Meses y = Preço do Produto f(x) = mx+b 34

35 Análise do problema f(x) = 4(5)+2 = 22 f(x) = 4(10)+2 = f(x) = mx+b 35

36 Descobrindo o coeficiente Linear da reta f(x) = 2x + b p1(5,22) p2(10,42) Descobrir o coeficiente de linearidade da função f(x) 5 10 b = => b = (22) (4*(5)) y mx 1 1 ; b = 2 36

37 Definição Prática de Derivada 37

38 Inclinação da reta (Quociente da Diferença) Existe um termo geral para expressar a fração geral da inclinação da reta. O conceito matemático representado acima é denominado de quociente da diferença. 38

39 Definição formal de derivada Basta substituir na equação do limite acima (x,f(x)), teremos uma definição geral de derivada como uma função de x. 39

40 Exemplo: seja f(x) = x h 40

41 Demonstração Derivada 41

42 Razão Instantânea A derivada de uma função f(x) em algum valor de x é a razão instantânea da mudança de f em relação à x naquele valor. 42

43 Onde a Derivada Não Existe 43

44 Conceito (Não existe) A derivada da função em dado ponto é a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então se não se pode desenhar a reta tangente não há derivada. Podem acontecer três casos onde a derivada não existe. 44

45 Caso-1 Não há uma reta tangente e assim não há derivada em nenhum tipo de descontinuidade: infinita, removível ou pulos. 45

46 Caso-2 Não há uma reta tangente e assim não há derivada no vértice de uma função. f(x) 46

47 Caso - 3 Onde a função tem um ponto de inflexão vertical ou horizontal, a inclinação é indefinida e assim a derivada não existe. f(x) g(x) 47

48 Problema Proposto (3) Sabe-se que em sistema de controle sua entrada é VE = 3, e sua saída VS = 9, qual o deslocamento do sistema sabendo que seu processo de controle vem a ser um fenômeno f(x) = x 2 3 f(x) 9 48

49 Resolução O deslocamento do sistema no ponto (3, 9) é 6, isto é, a saída (y) cresce seis vezes mais rápido, que a entrada em x e o sistema está indo para a direita. 49

50 Regras da Diferenciação (Derivada) 50

51 Observação sobre Definição Derivada As definições de conceitos anteriores baseados na matemática de técnicas envolvendo o limite do quociente da diferença, são primordiais para entender os conceito de diferencial, no entanto existem, regras diretas, para se conseguir o processo de derivação. 51

52 Regra da Constante Uma reta horizontal como uma inclinação igual zero e assim sua derivada é igual a zero. Qualquer número c se f(x) = c, então f (x) = 0. 52

53 Exemplo de derivada Constante Seja f(x) = 9; 53

54 Regra da potência 54

55 Exemplo Prático 55

56 Regra Diferenciação Regra do Múltiplo Constante 56

57 Conceito O Coeficiente continua onde está até o passo final quando se multiplica a resposta pelo coeficiente. 57

58 Regra da Soma Derivada de uma soma, e realizada pela soma das derivadas. Exemplo: 58

59 Exemplo de Regra da Soma Dada a função: encontrar a sua derivada: 59

60 Regra da Diferença Derivada de uma diferença, e realizada pela diferença das derivadas. Exemplo: 60

61 Exemplo de regra da Dada a função: diferença 61

62 Derivada de funções Trigonométricas 62

63 Derivadas das Três Funções Trigonométricas 63

64 Exemplo de Calculo de Derivadas 64

65 Exemplo Prático f '( x) = x = 1 f '( x) 3 2 = x + 2x + 5x + 3 = f '( x) = 4x = 4 f = 3x 2 + 4x + 5 '( x) = 3x + cos( x) = 3 2 f '( x) = 4x = 12x = 3 sen( x) f '( x) =10 = 0 f '( x) 4 = 3x + tan( x) = 65

66 Calculo Derivada de Polinômio Octave Função polyder() Calcula a derivada de um polinômio. Exemplo: f '( x) 3 2 = x + 2x + 5x + 3 x = [ ]; dx = polyder(p); dx =

67 Regra Base de posicionamento octave x 5 x 4 x 3 x 2 x c dx = 2x dx = 10x 4 dx = 12x 3 +4x dx = 5x 4 +5 dx = 3 Posicionamento no vetor, conforme a grandeza do polinômio, adota-se a ordem de grandeza da esquerda para direita. c Constante positiva ou negativa. 67

68 Exemplo 2 função polyder() 68