Análise de Erro Estacionário

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1 Análise de Erro Estacionário Sistema de controle pode apresentar erro estacionário devido a certos tipos de entrada. Um sistema pode não apresentar erro estacionário a uma determinada entrada, mas apresentar um erro a uma outra entrada. O erro que um sistema apresenta a uma dada entrada depende do tipo de sua função de transferência de malha aberta. Geralmente, os sistemas de controle são classificados de acordo com sua habilidade em seguir os sinais de entrada degrau, rampa e parábola. 1 of 14

2 Fato Numa situação ideal de um sistema de controle, excitamos o sistema através de um sinal de entrada r(t); esse sinal é conhecido como sinal de referencia, e desejamos que a saída y(t) se aproxime o máximo possivel de tal sinal. processo r(t) entrada Se definimos o erro como G(s) e(t) = r(t) y(t) y(t) saída então o erro estacionário, ou seja aquele erro que permanece no sistema após decorrido muito tempo é dado por 2 of 14 e e = lim e(t) = lim se(s) = lim s(r(s) Y(s)) e e 0 e 0

3 Exemplo r(t) entrada processo G(s) y(t) saída Suponha que G(s) = 1/(s +5) e que aplicamos um degrau-unitário em r(t), ou seja R(s) = 1/s. Então Y(s) = G(s)R(s) = 1 (s +5)s Logo ( ) 1 e e = lim se(s) = lim s(r(s) Y(s)) = s e 0 e 0 s 1 = 4/5 (s +5)s Note que o erro estacionário e e não se anula. Será que se consideramos uma malha fechada melhoramos tal erro? 3 of 14

4 Considere o sistema com realimentação unitária abaixo com a seguinte função de transferência de malha aberta: G(s) = K (T as +1)(T b s +1) (T m s +1) s j (T 1 s +1)(T 2 s +1) (T p s +1) G(s) tem um polo com multiplicidade j na origem. O sistema é tipo 0, 1, 2,..., se j é igual a 0, 1, 2,..., respectivamente. A função de transferência de malha fechada é dada por: 4 of 14 T(s) = Y(s) R(s) = G(s) 1+G(s)

5 O erro é dado por: Substituindo-se T(s), tem-se: B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil E(s) = R(s) Y(s) E(s) Y(s) = 1 R(s) R(s) E(s) R(s) = 1 1+G(s) E(s) = 1 1+G(s) R(s) Aplicando o teorema do valor final, o erro estacionário será: e e = lim e(t) = lim se(s) t s 0 sr(s) = lim s 0 1+G(s) 5 of 14

6 Entrada degrau R(s) = R/s Defina K p = lim s 0 G(s) Então s R e ss = lim s 0 1+G(s) s = R 1+K p 1. Sistema tipo 0, i.e., j = 0, tem-se: K (T a s +1) (T m s +1) K p = lim = K e e = R s 0 (T 1 s +1) (T p s +1) 1+K 2. Sistema tipo 1 ou maior, tem-se: K p = lim s 0 K (T a s +1) (T m s +1) s j (T 1 s +1) (T p s +1) =, j 1 e e = 0 6 of 14

7 Entrada degrau 7 of 14

8 Entrada rampa R(s) = R/s 2 Defina K v = lim s 0 sg(s) Então e ss = lim s 0 1. Sistema tipo 0, i.e., j = 0, tem-se: s R 1+G(s) s 2 = R K v sk (T a s +1) (T m s +1) K v = lim = 0 e e = s 0 (T 1 s +1) (T p s +1) 2. Sistema tipo 1, tem-se: K v = lim s 0 sk (T a s +1) (T m s +1) s j (T 1 s +1) (T p s +1) = K, j = 1 e e = R K 3. Sistema tipo 2 ou maior, tem-se: 8 of 14 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil K v = lim s 0 sk (T a s +1) (T m s +1) s j (T 1 s +1) (T p s +1) =, j 2 e e = 0

9 Um erro devido a entrada rampa significa que, após o transitório, a entrada e a saída se movem na mesma velocidade, mas com uma diferença finita e constante entre si. 9 of 14

10 Entrada parabólica R(s) = R/s 3 Considere uma entrada parabólica r(t) = Rt2 2 u(t). Defina K a = lim s 0 s 2 G(s) Então s R e ss = lim s 0 1+G(s) s 3 = R K a 1. Sistema tipo 0 ou tipo 1, i.e., j = 0,1, tem-se: s 2 K (T a s +1) (T m s +1) K a = lim s 0 s j = 0 e e = (T 1 s +1) (T p s +1) 2. Sistema tipo 2, tem-se: s 2 K (T a s +1) (T m s +1) K a = lim s 0 s j = K, j = 2 e e = R (T 1 s +1) (T p s +1) K 3. Sistema tipo 3 ou maior, tem-se: 10 of 14 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil s 2 K (T a s +1) (T m s +1) K a = lim s 0 s j =, j 3 e e = 0 (T 1 s +1) (T p s +1)

11 11 of 14 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

12 12 of 14 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

13 Realimentação não-estacionária Na situação em que a realimentação é não-estacionária, então não há formula específica. R(s) + E(s) G(s) H(s) Y(s) Se consideramos o erro o sinal em E(s), então E(s) = R(s) H(s)Y(s) e Y(s) = G(s)E(s); logo E(s) = R(s) H(s)G(s)E(s) E(s) = R(s) 1+H(s)G(s) Portanto sr(s) e e = lim se(s) = lim s 0 s 0 1+H(s)G(s) 13 of 14

14 Exemplo Determine o erro estacionário do sistema da figura anterior supondo: (a) entrada degrau-unitário (b) entrada rampa-unitária (c) entrada parábola amplitude 2. G(s) = 1, H(s) = s +1. s +2 Solução: (a) (b) (c) s 1 s e e = lim s 0 1+ s+1 s+2 e e = lim s 1 s 2 s 0 1+ s+1 s+2 = 2 3 = 14 of 14 e e = lim s 1 s 3 s 0 1+ s+1 s+2 =

15 Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 15 of 14