Aula 07 Análise no domínio do tempo Parte II Sistemas de 2ª ordem

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1 Aula 07 Aálise o domíio do tempo Parte II Sistemas de ª ordem

2 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput S output Sistema de seguda ordem do tipo α G(s) as + bs + c

3 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput S α as + bs + c output Sistema de seguda ordem do tipo α G(s) as + bs + c

4 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Sistemas de seguda ordem: α ou seja: iput Y(s) R(s) as + bs + as + α bs Y(s) R(s) + c c s + output α a b s a + c a K o ω ζω ω

5 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output K o gaho do sistema ζ coeficiete de amortecimeto ω frequêcia atural a fução de trasferêcia: Y(s) R(s) s + K o ζω ω s + ω

6 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output K o gaho do sistema ζ coeficiete de amortecimeto ω frequêcia atural Além destes 3 parâmetros acima, temos também ω d frequêcia atural amortecida ( dampig frequecy ) ω d ω 1 ζ 0 < ζ 1

7 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Exemplo 1: Y(s) R(s) 4s 3 + 1s K o 3 ζ 3 ω 0,5 + 1 pólos: s,914 s 0,086 polos reais e distitos Exemplo : Y(s) R(s) s + 3 s + 1 polos: s 1 (duplo) K o 3 ζ 1 ω 1 ω d 0 polos reais e duplos

8 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Exemplo 3: Y(s) R(s) s K o 1,5 ζ 0,5 ω s + ω d 0,866 polos: s 0,5 ± 0,866j polos complexos cojugados Exemplo 4: Y(s) R(s) s polos: s ± j (imagiários puros) K o 3 ζ 0 ω ω d 1 polos complexos cojugados

9 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Equação característica: p(s) s + ζω s + ω 4 ζ ω 4 ω 4 ω (ζ 1) > 0 (ζ 1) > 0 ζ > 1 ζ > 1 0 (ζ 1) 0 ζ 1 ζ 1 < 0 (ζ 1) < 0 ζ < 1 ζ < 1 ζ > 1 polos reais e distitos ζ 1 polos reais e duplos 0 < ζ < 1 polos complexos cojugados

10 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output Etrada degrau uitário Qual é a resposta ao degrau? (step respose)

11 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output Y(s) e como r(t) degrau uitário: Y(s) K oω + ζω + ω s s ω o + ζω + ω R(s) K 1 s s s

12 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output y(t) L 1 [ Y(s) ] a resposta ao degrau uitário depede do valor de ζ a) 0 < ζ < 1 b) ζ 1 c) ζ > 1

13 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output y(t) L 1 [ Y(s) ] Logo, o caso de 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau uitário é: y(t) ode ω ζω K o 1 t ζ e cos ωdt + se ωdt, t > 1 ζ d ω 1 ζ frequêcia atural amortecida ( dampig frequecy ) 0

14 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s resposta ao degrau uitário: y(t) K o 1 e ζω t cos ω d t + output ζ 1 ζ se ω d t

15 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem a resposta ao degrau uitário é: y(t) K o 1 e ζω t cos ω d t + ζ 1 ζ se ω d t

16 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output y(t) L 1 [ Y(s) ] No caso de ζ 1, a resposta ao degrau uitário é: y(t) K [ ( )] 1 e ζω t 1+ ω t, t 0 o >

17 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output resposta ao degrau uitário: y(t) K o [ ( )] 1 e ζω t 1+ ω t

18 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário é: y(t) K o [ ( )] 1 e ζωt 1+ ω t

19 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput K ω o + ζω + ω s s output No caso de ζ > 1, a resposta ao degrau uitário é: ode y(t) y(t) L 1 [ Y(s) ] p1t p t ω e e K o 1 +, t > 1 p1 p ζ ( ) ζ ± ζ 1 p1, ζω m ω ζ 1 ω 0 Sistema tem polos reais

20 resposta ao degrau uitário: ζ ω + t p 1 t p p p 1 1 K y(t) 1 o e e o K s s ω + ζω + ω output iput Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

21 resposta ao degrau uitário: ζ ω + t p 1 t p p p 1 1 K y(t) 1 o e e Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

22 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário ζ 1 ζ

23 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário ζ 4 ζ 1

24 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem No caso 0 < ζ < 1, A resposta ao degrau uitário y(t) ζω K o 1 t ζ e cos ωdt + se ωdt, t > 1 ζ 0 pode ter muitas formas diferetes, depededo dos valores de ζ (coeficiete de amortecimeto), ω (frequêcia atural) e K o (gaho) Observe que ω d ω depede de ζ e ω d ω 1 ζ frequêcia atural amortecida (dampig frequecy)

25 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário ζ 0,13 ω 0,57 ζ 0,1 ω

26 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário ζ 0,5 ω 1 ζ 0,5 ω 0,

27 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário ζ 0,65 ω ζ 0,7 ω 0,8

28 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem resposta ao degrau uitário ζ 0,8 ω 1,4 ζ 0,85 ω 0,7

29 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem ζ 0 ω 0, resposta ao degrau uitário

30 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Agora vamos os cocetrar este caso 0 < ζ < 1 e calcular algus parâmetros.

31 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Vamos calcular algus parâmetros/variáveis para y(t) a resposta ao degrau uitário do sistema de ª ordem.

32 resposta em estado estacioário ( steady state output ) y ss

33 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem y ss resposta em estado estacioário ou saída em regime permaete ( steady state output ) K o ω Y(s) s + ζω s + ω R(s) R (s) 1 s y ss lim y(t) t lim s o s Y(s) lim s 0 K o s + K o ω ζω s s + ω 1 s y ss K o

34 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem y K ss o

35 tempo de subida ( risig time ) t r

36 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t r tempo de subida ( risig time ) tempo ecessário para que a resposta ao degrau, y(t), atija o valor fial y ss K o pela primeira vez.

37 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t r tempo de subida ( risig time ) é o istate em que y(t) atige o valor fial K o pela primeira vez. y(t r ) K 1 e ζω t r ζ cosω t + se ω t 1 ζ o d r d r K o 1 ζω e t ζ r cos ωdt r + se ωdt r 1 ζ 0 tg( ω d t r ) 1 ζ ζ ω ζω d

38 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t r tempo de subida ( risig time ) depede dos valores de ζ ( coeficiete de amortecimeto ), e de ω ( frequêcia atural ) t r ω arctg ζω ω d d arctg 1 ζ ζ ω d t r arctg( ω d /ζω ) / ω d

39 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t r arctg ω ω ζω d d

40 istate de pico ( peak time ) t p

41 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t p istate de pico ( peak time ) é o istate em que a reposta ao degrau y(t) atige o primeiro pico.

42 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem istate de pico ( peak time ) y ss K o ( gaho ) ζ ( coeficiete de amortecimeto ), ω ( frequêcia atural ) y dy dt K o ζω e ζω t cos ω d t r + ζ 1 ζ se ω d t r + e ζω t ω d seω d t r + ζ ω d 1 ζ cos ω d t r ω

43 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem istate de pico ( peak time ) dy dt K o e ζω t ζω + ω d cos ω seω d d t + ζ t ζω 1 ζ ω cos se ω d t) ω d t + K o e ζω t se ω d t ζ ω 1 ζ + ω (1 ζ 1 ζ ) t ω K o e ζω se ωdt 1 ζ 0

44 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem istate de pico ( peak time ) dy dt 0 se ω d t 0 ω d t 0, π, π, 3π, L π t p ω d t p π / ω d

45 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t p π ω d

46 overshoot ( sobressial máximo ) M p

47 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

48 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

49 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

50 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem M p overshoot ( sobressial máximo ) é a percetagem acima do valor fial y ss que o primeiro pico atige.

51 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem O overshoot M p pode ser expresso como um valor etre 0 e 1.

52 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem ou também pode ser expresso como um valor etre 0% e 100%.

53 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem 0 overshoot M p 1 ou 0% overshoot M p 100%

54 o o ζ 1 t o p K K ) se ( ζ ) ( cos 1 K M p ζ π π ω e overshoot ( sobressial máximo ) ss ss max p y y y M o o p p K K ) y(t M ou ( ) o o / o o p K K K K M d ζ + ω π ω e 1 0 y ss K o ( gaho ) ζ ( coeficiete de amortecimeto ), ω ( frequêcia atural ) Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

55 o o p K K M ζ 1 π ζ e p ζ 1 π ζ M e M p depede apeas de ζ ( coeficiete de amortecimeto ) overshoot ( sobressial máximo ) Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem

56 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem overshoot ( sobressial máximo ) M p depede apeas de ζ ( coeficiete de amortecimeto ) M p 1 ζπ e ou ζ ζ π M p e 1 ζ 100%

57 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem M p e 1 ζ π ζ

58 tempo de acomodação ( settlig time ) t s

59 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t s tempo de acomodação ( settlig time ) é tempo ecessário para a reposta ao degrau y(t) alcaçar e permaecer detro de uma pequea faixa em toro do valor fial y ss.

60 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem esta faixa pode ser de 5% para cima e 5% para baixo do valor fial y ss.

61 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem ou de % para cima e % para baixo do valor fial y ss.

62 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem O tempo de acomodação (settlig time) é obtido a partir das equações de y e (t), as curvas evoltórias de y(t). y e (t) K [ ] ζω t 1 ± e, t 0 o >

63 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem O tempo de acomodação (settlig time) t s é obtido fazedo y e (t s ) 1,05 K o para o caso de t s com 5% de tolerâcia, e y e (t s ) 1,0 K o para o caso de t s com % de tolerâcia. Os valores que se obtém são: t s (5%) 3 ζω t s (%) 4 ζω

64 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem tempo de acomodação ( settlig time ) Note que o tempo de acomodação t r é iversamete proporcioal a ζω, que é a distâcia da parte real dos polos à origem. portato: e t t s s (5%) (%) 3 ζω 4 ζω t s (5%) 3 / ζω t s (%) 4 / ζω

65 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t s (5%) 3 ζω

66 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem t s (%) 4 ζω

67 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem Observe que vimos aqui os casos em que 0 < ζ < 1 ζ 1 ζ > 1 ou seja: ζ > 0 Etretato, se ζ < 0 etão: o sistema é istável

68 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem ζ < 0 sistema istável (um exemplo)

69 Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem ζ < 0 sistema istável (outro exemplo)

70 Obrigado! Felippe de Souza

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