Gabarito - Lista de Exercícios 1

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1 Gabarito - Lista de Exercícios Teoria das Filas Modelo M/M/. Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com tempo médio entre chegadas de 0 minutos. O barbeiro gasta em média 5 minutos com cada cliente. a. Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido? b. Qual o número esperado de clientes no salão de barbeiro? e na fila?. c. Quanto tempo em média, um cliente permanece no salão? d. Quanto tempo em média, um cliente espera na fila? e. Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no salão? f. O barbeiro está considerando a possibilidade de colocar um segundo barbeiro desde que o tempo de permanência médio de cada cliente no salão passe,5 s. Para quanto teria que aumentar a taxa de chegada para que o segundo barbeiro ficasse justificado?. Solução: O tempo médio entre duas chegadas é: E( X ) 0 minutos = 3 clientes Em conseqüência, a taxa de chegada é: 3 O tempo médio de atendimento é: E( S) 5 minutos = 4 clientes Em conseqüência, a taxa de serviço é: 4 a) Probabilidade do cliente não ter que esperar para ser atendido? É igual a probabilidade do sistema estar vazio: P0 b) Número esperado de clientes no salão e na fila? 3 L 3 clientes ( ) 4 3 L q 9, 5 clientes ( ) 4() c) Quanto tempo em média um cliente permanece no salão? W = ( ) 0, 5 4

2 d) Quanto tempo em média um cliente espera na fila? W q 3 0,75 s = 45 minutos 44 3 e) (Correção.- T. Diurna.- Nesta questão devemos considerar o tempo de espera no sistema: tempo na fila + tempo em serviço, assim corrigimos o parâmetro usado na distribuição exponencial de, taxa de serviço, para (µ-), taxa de espera no sistema) Observe que como E( W ) W é o tempo médio de espera no sistema, logo, (µ-) é o número médio de clientes que espera no sistema/unidade de tempo. O tempo de espera assim como o tempo de serviço tem distribuição exponencial, assim: P( W t) e -( - )t P W -(4-3)(0,5) -0,5 ( 0,5) e e 0, 6065 f) Para quanto deverá aumentar o número de clientes, taxa de chegada, de maneira que o tempo médio de permanência no salão, aumente para W =,5 s, justificando a contratação de um segundo barbeiro? W,5, , 5, 5 clientes Assim, 3,. Em um sistema de uma fila e um canal, mediu-se o número médio de clientes na fila, encontrando-se o valor 3,. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é de 0,5 h, pede-se calcular a probabilidade de que o número de clientes no sistema seja inferior a 6. Solução: Temos como dados: L q Pede-se calcular P(n<6)? 3, clientes () e W 0,5 s () Para isso, calculamos e µ, a partir de () e (). Manipulando () temos: + (3) 0,5 Substituindo (3) em () temos:

3 L q ( ) 4 3, 3,,8 6, 4 6, 4,8 = 0 B B 4AC Resolvendo a equação de segundo grau A 6, 4 (6, 4) 4()(,8) 6, 4 9, 6 8 (4) () temos: Substituindo (4) em (3) temos: u 0 (5) Podemos calcular P(n<6) de duas maneiras: (i) P(n<6) = P 0 + P + P + P 3 + P 4 + P 5 Sabemos que: P 0 = - e P 0 = (-) n, calculamos assim: P 0 = - (0,8) = 0, P = (0,)(0,8) = 0,6 P = (0,)(0,8) = 0,8 P 3 = (0,)(0,8) 3 = 0,04 P 4 = (0,)(0,8) 4 = 0,085 P 5 = (0,)(0,8) 5 = 0,0655 Logo temos que: P(n<6) = 0,7378. (ii) Usando a seguinte formula: P( n k) k+, que é deduzida no Anexo. 8 P( n 6) P( n 5) P( n 5) = 0, Em um sistema de uma fila e um servidor (canal), foram medidos os seguintes dados: Pede-se: Solução: a. Taxa de ocupação do sistema: 0,8. b. Tempo médio gasto na fila: 5 min. a. Qual a probabilidade de que ocorram 0 chegadas por? b. Qual a probabilidade de que ocorram atendimentos por? c. Qual a probabilidade de haver 0 clientes no sistema? 6 3

4 Temos como dados: = 0,8 Pede-se calcular: W q () e 5 minutos = 0,5 s () a) b) 0 e P( nc 0)? 0! e P( na )?! P( n 0) P? c) 0 Onde: n C : número de clientes que chegam/; n A : número de clientes atendidos/ e; n : número de clientes no sistema. m k e m Sabemos que n C e n A têm distribuição Poisson P( n k), com parâmetro m= e k! m=µ, respectivamente. Para isso, calculamos e µ, a partir de () e (). De () temos: 0,8 e substituindo em () temos: W q 0,8 0, 8 0, 5 0, 5 6 0,8 0, Logo,8 Substituindo os valores de e µ em a), b) e c) temos: a) b),8 0 e,8 P( nc 0) 0, ! 6 e 6 P( na ) = 0,066! P( n 0) P = (- ) (0, )(0,8) 0, 05 n 0 c) 0 4. Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada pessoa gasta em média 0 segundos para comprar um ingresso. a. Se uma pessoa chega minutos antes do jogo começar e se ela gasta exatamente,5 minutos para chegar a seu lugar após comprar o seu ingresso, ela estará sentada antes do jogo começar? b. Qual a probabilidade de uma pessoa do item a), estar sentada antes do jogo começar? c. Com que antecedência a pessoa deve chegar para ter 99% de certeza de estar sentada antes do jogo começar? 4

5 Solução: pessoa Temos como dados: A taxa de chegada: O tempo médio de atendimento é: E( S) 0 segundos = minuto 3 pessoas Em conseqüência, a taxa de serviço é: 3 minuto a) Se uma determinada pessoa chega minutos antes do jogo e gasta,5 minutos para chegar a seu lugar, após comprar seu ingresso, estará sentada antes do jogo começar?. Fazemos a análise pelo tempo médio de espera no sistema: W 0,5 minuto 3 Como o tempo médio de espera é de 0,5 minutos, que é justamente, o tempo disponível para que a pessoa compre seu ingresso, em média, a pessoa que chega minutos antes do jogo começar deverá estar sentada quando o jogo começar. b) (Correção.- T. Diurna.- Nesta questão devemos considerar o tempo de espera no sistema: tempo na fila + tempo em serviço, assim corrigimos o parâmetro usado na distribuição exponencial de, taxa de serviço, para (µ-), taxa de espera no sistema). A probabilidade de que uma pessoa, que chega minutos antes do jogo, estar sentada antes do jogo começar é igual à probabilidade de que o tempo de permanência no sistema seja menor que 0,5. P( W t) e -( - )t P W -(3-)(0,5) - ( 0,5) e e 0,3678 0, 63 Ou seja, existem 63,% de chances que a pessoa, que chega minutos antes do jogo, este sentada quando o jogo começa. c) (Correção.- T. Diurna.- Mesma correção no parâmetro do item b)) Neste caso queremos determinar qual é o tempo de permanência na compra de ingressos que garante probabilidade de 99% de que a pessoa esteja sentada quando o jogo começar. P( W t) e -( - )t P W t t -t -t ( ) e 0, 99 e 0, 0 ln(0, 0) ln(0, 0) t t,3 minutos Como a pessoa gasta,5 minutos para achar seu lugar, ela deve chegar,5+,3=3,8 minutos antes do jogo começar, para ter 99% de chances de estar sentada. 5

6 5. Uma empresa de mineração mediu o tempo médio que os caminhões gastam para descarregar no britador de minérios, tendo encontrado 0, h como sendo o tempo gasto no sistema. Por outro lado, a taxa de ociosidade do britador é de 0%. Sabendo-se que o custo de permanência ário CE = $00 por e que o custo de atendimento ário CA =$0 por caminhão, pede-se: Solução: a. Qual é a taxa de atendimento que o britador deveria oferecer de modo a minimizar o custo total? b. Considerando-se que uma ampliação do britador para atender a esse número achado custaria $8.000,00 por mês, deseja-se saber se esse investimento se justificaria. Considere que o sistema opera dias úteis de 8 s cada, por mês. Temos como dados: O tempo médio que os caminhões gastam no sistema: W 0, s () A taxa de ociosidade do britador que é de 0% ( ou igual a 0,); O custo de permanência ário: CE = $00/; O custo de atendimento ário: CA = $0/caminhão; Como a taxa de ociosidade é o complemento da taxa de ocupação, temos que: Taxa de ociosidade: - 0, e Taxa de ocupação: = 0,8, assim: = 0,8 () Calculamos os valores de e µ, a partir das expressões () e (), temos assim que: 0 e u 5 O custo total médio do sistema, CT, (em unid. monetárias/unid. tempo) é definido como: CT = CE + CA Onde, CE: È o custo de espera médio, definido como: CA: É o custo de atendimento médio, definido como: Temos assim a expressão para CT em termos de e µ: CT = CE + CA u - (3) CE = CE x L CA = CA x d CT O custo mínimo para o sistema de filas é obtido calculando = 0 d De onde obtemos a taxa de atendimento ótima, µ *, que minimiza o custo (ver Anexo): 6

7 *. CE u = + (4) CA a) Calculamos a taxa de atendimento ótima, µ *, substituindo em (4) os valores de, CE e CA, temos assim: * u = ,4 34,4 0 b) Primeiro, calculamos o valor do custo atual, CT Atual, (em $/), substituindo os valores de, µ, CE e CA, temos assim: 0 CTAtual CEx + CA x u CTAtual 00 x + 0 x 5 u 5 0 CT $ 650 Atual Logo calculamos, o valor do custo mínimo, CT Mín (em $/), substituindo os valores de, CE e CA e a taxa de atendimento ótima µ *. CT Min é o menor custo de operação do sistema de filas que possível atingir após melr ao máximo a capacidade de atendimento. O valor do custo mínimo é: 0 CT CE x CA x u CT x x u 34,4 0 CT $ 48,84 Min * Min ,4 * Min Considerando que o sistema opera dias por mês, 8 s cada dia, calculamos os custos mensais atual e mínimo, CTM Atual e CTM Mín como segue: CTM CTM Atual Min $ 650 x (x8) $ mes mes $ 48,84 x (x8) $ ,84 mes mes O investimento na ampliação do britador se justificaria uma vez que a economia de mensal é $9.40,6, enquanto que o custo da ampliação do britador é de $ Anexo: ) Deduzimos: P( n k) k+ Sabemos que: P( n k) Pk Pk Pk 3... Pk i = ( ) Logo temos que: i i k i e como i i i0 P( n k) ( ) k k Temos que: P( n k) ( ) k i 7

8 ) Mostramos que: Se T tem distribuição exponencial com parâmetro α: P( T t) e t t x x t t 0 0 P( T t) e dx e e Lembre que: x d e x e e dx d e dx x e x d CT 3) Calculamos e obtemos µ * d CT para = 0 : d d Dado que: CT = CE + CA, temos que: u - d CT = CE CA d d CT Fazendo = CE CA 0 obtemos: d. CE CA 0 CA. CE. CE. CA CE CA Assim: u = +. CE CA * 8