Dinâmica Estocástica Aula 6

Transcrição

1 Dinâica Esocásica Aula (coninuação) 1) Deslocaeno quadráico édio ) Energia & Poência 1

2 dv v F() (1) Equação de ovieno da parícula (ovieno e ua diensão) assa da parícula v velocidade da parícula coeficiene de ario v força de ario (proporcional à velocidade da parícula) F() força aleaória ou fluuane caracerísica do ovieno browniano

3 dv 1 v F( ), () F( ) 0 (3-a) B F( ) F( ) ( ) (3-b) 3

4 dv v () (4) ( ) F( ) (4-a) (4-b) ( ) 0 (5) ( ) ( ) ( ) (6) B (6-a) 4

5 Obiveos na aula passada 5

6 valor édio da velocidade Liie de epos longos 1 v( ) v0 exp( ) (A-1) 1 exp( ) 0 v( ) 0 (A-) variância da velocidade v ( ) v( ) (1 exp( )) (A-3) 1 exp( ) 0 v ( ) v( ) (A-4) 6

7 Liie de epos longos 1 Velocidade quadráica édia no liie de epos longos Porano, a parir das equações () e (3) eos: 1 v ( ) (A-5) 7

8 v / Liie de epos longos 1 (A-6) A parir do eorea da equiparição de energia eos: v / k B T / (A-7) kb consane de Bolzann T eperaura absolua Porano: 1 ( / ) 1 k B T E, k B T (A-8) 8

9 Vaos agora ober ua expressão para o deslocaeno quadráico édio Deslocaeno quadráico édio Obenção de: x ( ) 9

10 Obenção de: x ( ) Obiveos na úlia aula que a posição x() pode ser expressa coo: x( ) 1 0 ( ) 1 exp( ( '' )) ' ' (7) Porano: x ( ) 1 0 ( ) 1 exp( ( '' )) '' ( ') 1 exp( ( ' )) ' 0 (8) 10

11 Obenção de: x ( ) x ( ) 1 0 ( ) 1 exp( ( '' )) '' ( ') 1 exp( ( ' )) ' 0 (8) x ( ) ( ') ( ) 1 exp( ( ' )) 1 exp( ( '' )) ' ' ' (9) 11

12 Obenção de: x ( ) x ( ) ( ') ( ) 1 exp( ( ' )) 1 exp( ( '' )) ' ' ' (9) 1 x ( ) ( ') ( ) exp( ( ' )) 1 exp( ( '' )) ' ' ' (10) 1

13 Obenção de: x ( ) 1 x ( ) ( ') ( ) exp( ( ' )) 1 exp( ( '' )) ' ' ' (10) Mas, ( ) ( ) ( ) (6) x ( ) ( ' '') exp( ( ' )) 1 exp( ( '' )) ' ' ' (11) 13

14 Obenção de: x ( ) x ( ) ( ' '') exp( ( ' )) 1 exp( ( '' )) ' ' ' (11) Inegrando e : 0 ( ' '') 1 exp( ( '' )) '' 1 exp( ( ' )) x ( ) 0 1 exp( ( ' )) 1 exp( ( ' )) ' (1) x ( ) 0 1 exp( ( ' )) ' (13) 14

15 Obenção de: x ( ) x ( ) 0 1 exp( ( ' )) ' (13) x ( ) 0 1 exp( ( ' )) exp( ( ' )) ' (14) 15

16 Obenção de: x ( ) x ( ) 0 1 exp( ( ' )) exp( ( ' )) ' (15) x ( ) ' exp( ( ' )) ' exp( ( ' )) ' (16) exp( ) x ( ) 1 exp( ) exp( ) 1 exp() (17) 16

17 Obenção de: x ( ) exp( ) x ( ) 1 exp( ) exp( ) 1 exp() (17) x ( ) 1 1 exp( ) 1 exp( ) (18) 17

18 x ( ) ) 1 1 exp( ) 1 exp( (19) x ( ) exp( ) 1 exp( ) (0) 1º º 3º Coporaeno para epos longos 1 (0-a) o 1º ero do lado direio da Eq. (19) é proporcional a. E, porano, doina sobre o º e o 3º ero no liie de epos longos 18

19 x Coporaeno para epos longos 1 ( ) exp( ) 1 exp( ) (0) 1º º 3º º e 3º eros para 1 º ero 3 (1 exp( )) 3 cons. pois, exp( ) 0 1 (0-b) 3º ero (1 exp( )) cons. pois, exp( ) (0-c) 19

20 Coporaeno para epos longos 1 A parir das equações (0), (0-a), (0-b) e (0-c) eos: x ( ) (1) Variância x ( ) x () pois, x 0 0

21 Coporaeno para epos longos Variância associada à posição x ( ) x () D Seja: (*) B (3) x ( ) x D (4) (*) B (4-a) (6-a) D B B 1

22 Coporaeno para epos longos Variância associada à posição x ( ) x D (5) D B (3) Mas, já obiveos que k B T (A-8) D kbt D kbt coeficiene de difusão (6)

23 Coporaeno para epos longos Variância associada à posição x ( ) x D (5) Coeficiene de difusão D kbt (6) Generalização para 3 diensões Podeos verificar que os resulados (49) e (50) (obidos aqui para 1 diensão) vale para 3 diensões Parícula esférica de raio iersa e u líquido viscoso de coeficiene de viscosidade Lei de Sokes a 6a D kbt 6a Relação de Suherland - Einsein (7) 3

24 D kbt 6a Relação de Suherland Einsein (1905) (7) Se conheceos:,a,t e D enão obeos: kb consane de Bolzann Jean Perrin (1908) obeve a consane de Bolzann dessa aneira, quando observou o ovieno browniano de parículas iersas e u líquido viscoso. 4

25 Sugesão de leiura sobre ovieno browniano e relação de Suherland-Einsein. Silvio R. A. Salinas, Einsein e a eoria do ovieno browniano, Revisa Brasileira de Ensino de Física 7, 63 (005). hp:// Suil é o Senhor, A. Pais, Ediora Nova Froneira, S. Chandrasekhar e Noise and sochasic processes, N. Wax (edior), Dover, A. Einsein, Invesigaions on he Brownian oveen, ediado por R. Fürh, Dover,

26 ) Energia & Poência 6

27 Energia & Poência Choque co as oléculas do fluído ransferência de energia cinéica para a parícula A parícula dissipa energia devido ao ario co o fluído 7

28 dv v F() (1) assa da parícula v velocidade da parícula v força de ario viscoso coeficiene de ario F() força aleaória 8

29 Energia & Poência dv v F() (1) Muliplicando abos os ebros da equação de Langevin (1) por v: dv v v F( ) v (8) Mas, v dv 1 dv v dv d v (9) 9

30 Energia & Poência Subsiuindo a expressão (9) na expressão (8) obeos: d v v vf (30) Porano, d v vf ario vf (31) F ario v 30

31 Energia & Poência d v vf ario vf (3) Porano, d v vf ario vf (33) 31

32 Energia & Poência d v vf ario vf (33) d v d E cin axa de variação da energia cinéica édia vf ario P diss poência dissipada Fv P poência ransferida 3

33 Liie de epos longos 1 1 v ( ) (A-5) Porano, 1 d v ( ) 0 (34) 33

34 Liie de epos longos v já vios Alé disso, v / k B T / (A-7) kb consane de Bolzann T eperaura absolua Porano: k B T v kb T (A-8) 34

35 Energia & Poência Pdiss vfario v Liie de epos longos v kb T (A-5) vfario v k B T Poência dissipada vfario k B T / (35) 35

36 Energia & Poência Liie de epos longos Esado esacionário d v F ario vf (33) d v 0 (34) k B T / vf (36) P diss F ario kbt (35) 36

37 Energia & Poência Liie de epos longos esado esacionário P vf kb T / poência ransferida P=<vF> para a parícula (36) Porano, no esado esacionário a poência ransferida é dissipada Pois, Pdiss Fario kbt / (37) 37

38 FIM 38