CÁLCULO DOS TEMPOS DE PENETRAÇÃO E DESVIO DE CALOR DO MODELO X23

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1 POSMEC 015 Sipósio do Prograa de Pós-Graduação e Egeharia Mecâica Faculdade de Egeharia Mecâica Uiversidade Federal de Uberlâdia 18 e 19 de Novebro de 015, Uberlâdia - MG CÁCUO DOS TEMPOS DE PENETRAÇÃO E DESVIO DE CAOR DO MODEO X3 uís Herique da Silva Igacio, UFU, luisherique.ea@yahoo.co.br Aa Paula Ferades, UFU, aapaula@ecaica.ufu.br Gilar Guiarães, UFU, gguia@ecaica.ufu.br Resuo. Noralee os probleas práicos e codução de calor evolve odelos rasiees e ridiesioais. As soluções aalíicas obidas eses casos pode apresear cera coplexidade, requeredo ua habilidade específica para a sua ipleeação e uso. E algus casos, os probleas ridiesioais pode ser reduzidos a bi ou uidiesioais se perda de precisão. E ouros, probleas uidiesioais co geoeria fiia pode ser reduzidos a probleas de geoeria ais siples coo a sei-ifiia. Tais siplificações são realizadas edo coo base os valores dos epos de peeração e desvio de calor. Nese esudo fora calculados os epos de peeração e desvio de calor para o odelo X3 e várias posições. O objeivo do esudo é siplificar o odelo e u seiifiio, deoiado X0. As soluções direas dos odelos fora obidas usado Fuções de Gree. Palavras chave: epo de peeração de calor, epo de desvio de calor, X3, X0, Fuções de Gree. 1. INTRODUÇÃO O uso de soluções aalíicas e u papel exreaee iporae a aálise érica de diversas aplicações práicas, desde probleas de egeharia a aplicações e edicia. Por exeplo, a odelage de probleas éricos é sepre ecessária e vários processos de fabricação ode a geração de calor eseja presee. Nese exeplo ou a aioria dos processos reais os probleas são ulidiesioais e as codições de cooro são oralee ão hoogêeas. As soluções aalíicas obidas eses casos pode apresear cera coplexidade, requeredo ua habilidade específica para a sua ipleeação e uso (Ferades e al., 015). Todavia, vários probleas éricos ulidiesioais ou co geoerias coplexas pode ser siplificados, depededo da observação da ocorrêcia dos feôeos físicos presees o processo. E algus casos, probleas ridiesioais pode ser reduzidos a probleas bi ou uidiesioais se perda precisão. E ouros casos, probleas uidiesioais co geoeria fiia pode ser reduzidos a probleas de geoeria ais siples coo a sei-iifiia. A possibilidade física de aálise dessas codições perie a obeção de soluções siplificadas e co a esa cofiaça e precisão da forulação ais geral e coplexa. O poecial de uso dessas siplificações é grade e abragee podedo, por exeplo, ser aplicado a solução de probleas iversos, obedo-se esiaivas de fluxo de calor e regiões iacessíveis à isrueação uilizado soluções aalíicas suficieeee siples. Tais siplificações são realizadas edo coo base os valores dos epos de peeração e desvio de calor. O presee rabalho propõe calcular os epos de peeração e desvio de calor para várias posições e ua placa plaa co espessura, co u iposição do fluxo de calor iposo e x=0 e superfície oposa sujeia a u eio covecivo. O iuio do esudo é deeriar por quao epo o odelo X3 pode ser siplificado e u odelo X0.. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.1. Problea direo O problea direo relacioado ao problea e esudo é osrado a Fig. (1a). Ua placa plaa de espessura iicialee a ua eperaura de equilíbrio é subeida isaaeaee e u epo > 0 a u fluxo de calor q, e x = 0 equao a face oposa é exposa a u eio covecivo co u coeficiee de roca de calor, h = 5 [W/ K] e eperaura T = 5 C. Esse problea é descrio pelas Eq. (1), () e (3) da difusão de calor osradas a seguir. 1 = x x, 0, 0, (1)

2 uís Herique da Silva Igacio, Aa Paula Ferades, Gilar Guiarães Cálculo dos Tepos de Peeração e Desvio de Calor do Modelo X3 x x0 q x x h () x, 0 0 (3) Nas Eq. (1), () e (3) a variável θ é defiida coo θ(x,) = T(x,) - T. Os parâeros e α são, respecivaee, a coduividade e a difusividade érica do aerial e h é o coeficiee de rasferêcia de calor por covecção. O problea érico dado pelas Eq. (1), () e (3) pode ser resolvido usado o éodo das fuções de Gree (Cole e al., 010). Nesse caso a solução é dada pela Eq. (4). q x Gx, 0, d, (4) 0 Ode a G(x, x,τ ) é a fução de Gree, deoiada G X3, e é dada pela Eq.(5). G X 3 B / x, x', e cos x x' cos 1 B B (5) Sedo β os auovalores do problea, obidos aravés da solução da equação rascedeal osrada a Eq. (6). h a B, sedo B (6) Subsiuido a fução de Gree, osrada a Eq. (5), a Eq. (4) e cosiderado o fluxo de calor cosae, obe-se a solução aalíica do odelo X3, osrada a Eq. (7). cos x q 0 B / X 3 1 e (7) 1 B B Observa-se que a solução osrada a Eq. (7) evolve u soaório que é fução do úero de auovalores β. Eses auovalores, por sua vez deve ser calculados aravés da solução da equação rascedeal dada pela Eq. (6). Caso o problea real abordado evolva as rês diesões, a solução do capo de eperaura evolveria rês soaórios e o cálculo de rês equações rascedeais (Ferades e al., 015). Ua aleraiva é a abordage do problea cosiderado a placa fiia coo u eio sei-ifiio, ou seja, co espessura uio grade. A Figura (1.b) apresea u represeação desse odelo. Figura 1. Represeação dos odelos rabalhados. Obviaee, soee e deeriadas codições físicas e ou geoéricas e para deeriadas posições da placa a evolução de eperaura será a esa para os dois odelos. Nesas codições, coo o fluxo de calor iposo e x = 0 é o eso os dois odelos, o odelo sei-ifiio, aqui deoiado de odelo auxiliar, poderia ser usado para a esiaiva do fluxo de calor aplicado o problea origial. A fução de Gree para o odelo sei-ifiio do problea auxiliar é dada por Cole e al. (010) e é osrada a Eq. (8).

3 POSMEC 015 Sipósio do Prograa de Pós-Graduação e Egeharia Mecâica G X 0 x 1 4 4, x', e e (8) 4 ( xx') ( xx') Subsiuido a fução de Gree, osrada a Eq. (8), a Eq. (4) e cosiderado o fluxo de calor cosae, obe-se a solução aalíica do odelo X0, osrada a Eq. (9). X q0 4 ierfc x 4 0 (9).. Tepos de peeração e desvio de calor Observa-se que as soluções aalíicas dos odelos éricos da placa plaa (problea origial) e sei-ifiio (problea auxiliar), osradas as Eq. (7) e (9), represea soluções exaas de seus respecivos odelos. Todavia, o coporaeo dessas soluções é idêico e deeriadas codições físicas e/ou geoéricas u cero iervalo de epo. De fao, ua vez deeriadas esas regiões e ese iervalo, abas as soluções pode ser usadas idisiaee. Aida, ua vez ideificado esse coporaeo, cada solução a realidade verifica a oura. A ese ipo de verificação dá-se o oe de verificação iríseca (Cole e al., 014), pois cada solução exaa é obida e ipleeada uericaee de fora idepedee. Duas variáveis fudaeais para o esabelecieo físico desa verificação são dadas pelos chaados epos de peeração de calor e epo de desvio de calor que idica, respecivaee, a ifluêcia da codição de cooro aiva e da codição de cooro iaiva o ierior da placa plaa. Ou seja, esse rabalho, o epo de peeração de calor deeria quao epo leva para que ua deeriada posição x seja iflueciada pela pelo fluxo de calor q() = q 0, esse caso, o epo e que a eperaura e u deeriado poo coeça a udar e ua fração de 10 - e relação à eperaura e x = 0 (Cole e al., 014; de Moe e al., 008). Já o epo de desvio de calor represea o epo gaso para que o efeio da covecção de calor ifluecie e ua deeriada posição x, ou seja, o isae e que o odelo X3 diverge do X0. de Moe e al. (008) defie e seu rabalho ua relação para a obeção do epo de peeração de calor, a qual é osrada a Eq. (10). X 0 X 0 x, 0, 10 Noa-se que é a Eq. (10) é ua relação ere a eperaura a posição e que se deseja calcular o epo de peeração de calor e a eperaura e x = 0. Abas eperauras são calculadas pela expressão do odelo seiifiio, pois a defiição de epo de peeração de calor leva e cosideração apeas a codição de cooro aiva que é preservada por ese odelo. Nela é aplicada ua fração aceiável de udaça a eperaura a posição x aalisada e assi possa ser usada os cálculos. O expoee defie a diesão desa variação aceiável. Já para o epo de desvio de calor de Moe e al. (008) sugere e seu rabalho ua oura relação de eperaura, a qual é osrada a Eq. (11). X 3 x, X 0x, 0, X 0 10 Noa-se que o uerador desa relação é a difereça de eperaura ere os odelos fiio e sei-ifiio, por esa razão o epo de desvio de calor deeria o isae e que o odelo de placa plaa fiia diverge da placa seiifiia. Trabalha-se co θ(x,), pois para a aplicar a Eq. (11) a codição de cooro e x = deve ser hoogêea. De fora aáloga ao epo de peeração de calor, a Eq. (11) abé é aplicado u liie de orde decial aceiável, o qual e dieção defiido pelo expoee. O epo de desvio de calor será o prieiro valor de epo que aija o liie defiido aravés de al expoee. 3. RESUTADOS Os cálculos dos epos de peeração e desvio de calor fora realizados cosiderado dois aeriais: o Policloreo de Viila () e o Meal Duro ISO K10. Fora escolhidos eses aerias, pois eles apresea caracerísicas (10) (11)

4 uís Herique da Silva Igacio, Aa Paula Ferades, Gilar Guiarães Cálculo dos Tepos de Peeração e Desvio de Calor do Modelo X3 éricas oposas, sedo o u bo isolae e o Meal Duro u bo coduor. As propriedades éricas de abos aeriais são osradas a Tab. (1). Tabela 1. Propriedades éricas do e eal duro ISO K10. Propriedades Téricas Meal Duro Iso K10 α ( /s) 1.17 х (1) () 4.36 х 10 (W/K) (1) (1) Egqvis e al. (000) () Brio e al. (009) Cosiderou-se u placa plaa co coprieo =10. Os epos fora calculados para cico posições, espaçadas de e e coeçado e x=. Para o expoee fora aribuidos rês valores:, 4 e 10. Uilizado as Eq. (9) e (10) calculou-se os epos de peeração de calor para os aeriais aerioree apreseados, coo osrado a Tab. (). Tabela. Tepos de peeração de calor [s]. Meal Duro x() Ua vez deeriados os valores dos epos de peeração do calor, pode-se calcular os respecivos epos adiesioais de peeração de calor, defiidos por pe pe x, apreseados a Tab. (3). Tabela 3. Tepos adiesioais de peeração de calor. Meal Duro x() Noa-se que os epos adiesioais de peeração de calor são depedees apeas do valor do expoee, assi ele pode ser cosiderado coo u parâero do odelo uidiesioal de codução de calor. Já para o cálculo dos epos de desvio de calor fora uilizadas as Eq. (7), (9) e (11), os quais são apreseados a Tab. (4). Tabela 4. Tepos de desvio de calor [s]. Meal Duro x() x Os epos adiesioais de desvio de calor fora calculados aravés da equação osrados a Tab. (5). desv desv, e são

5 POSMEC 015 Sipósio do Prograa de Pós-Graduação e Egeharia Mecâica Tabela 5. Tepos adiesioais de desvio de calor. Meal Duro x() Os epos adiesioais de desvio de calor abé depede apeas do expoee e apresea valores iguais aos obidos para os epos adiesioais de peeração de calor. Toado coo exeplo a posição x= o e o expoee = pode-se afirar que de 0 a segudos as soluções X3 e X0 são seguraee equivalees e que o fluxo de calor leva segudos para aigir al posição. Maedo o eso aerial e o expoee, as udado para a posição x=10, oa-se que o epo de peeração e desvio são iguais, iso ocorre pois esa posição coicide co o coprieo da placa plaa, que é ode esá o cooro iaivo do odelo. 4. REFERÊNCIAS Brio, R.F., Carvalho, S.R., de ia e Silva, S.M.M. ad Ferreira, J.R., 009. Aálise érica e ferraea de eal duro revesida. V Cogresso Brasileiro de Egeharia de fabricação. Cole, K.D., Bec, J.V., Haji-Sheih, A. ad iouhi, B., 010. Hea Coducio Usig Gree s Fucios. Taylor & Fracis Group, Whashigo, d ediio. Cole, K.D., Bec, J.V., Woodbury, K.A. ad de Moe, F., 014. Irisic verificaio ad a hea coducio daabase.i. J. Hea ad Mass Trasfer, Vol. 78, pp de Moe, F., Bec, J.V. ad Aos, D.E., 008. Diffusio of heral disurbaces i wo-diesioal caresia rasie hea coducio. I. J. Hea ad Mass Trasfer, Vol. 51, pp Egqvis, H., Hogberg, H., Boo, G.A., Ederyd, S. ad Axé, N., 000. Tribofil foraio o ceeed carbides i dry slidig coforal coac. Wear, Vol. 39, pp Ferades, A.P., dos Saos, M.B. ad Guiarães, G., 015. A aalyical rasfer fucio ehod o solve iverse hea coducio probles. Applied Maheaical Modellig, pp.. 5. AGRADECIMENTOS Os auores agradece o apoio das agêcias de pesquisa goveraeais brasileiras CAPES, CNPq e FAPEMIG. 6. ABSTRACT Norally he pracical probles i hea coducio ivolve rasies ad hree-diesioal odels. The aalyical soluios obaied i hese cases ca prese cerai coplexiy, requirig a specific sill o iplee ad use. I soe cases, he hree-diesioal proble ca be reduced o a bi or oe-diesioal wihou loss of accuracy. I ohers, oe-diesioal probles wih fiie geoery ca be reduced o siple geoery probles as he seiifiie. Such siplificaios are realized based o he values of he hea peeraio ad deviaio ies. I his sudy was calculaed he hea peeraio ad deviaio ies of he X3 odel i ay posiios. The ai of he sudy is o siplify he odel i a sei-ifiie, called X0. The direc soluios of he odels were obaied usig Gree's fucios. 7. RESPONSABIIDADE PEAS INFORMAÇÕES Os auores são os úicos resposáveis pelas iforações icluídas ese rabalho.