A desigualdade de Jensen

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1 A desiguadade de Jese Emaue Careiro - emauec@baydeet.com.br 5 de março de 004 Preimiares de Cácuo Coheceremos este capítuo uma das mais poderosas armas para o combate aos probemas de oimpíada: a desiguadade de Jese. Para compreeder esta desiguadade e saber caracterizar suas hipóteses o eitor precisará de um prévio cohecimeto de cácuo. Apeas agumas oções topoógicas (cojutos abertos, fechados, compactos,...), fuções cotíuas, imites e derivadas. Pricipamete saber derivar quaquer fução dada, e para isso é ecessário treio exaustivo da regra da cadeia. É a derivação que vai os idicar quado e como usar a desiguadade de Jese. Se você ão sabe ada de cácuo, ão se desespere, peça a um amigo para he dar umas dicas básicas e tete er as próximas págias. Garato que o seu esforço será recompesado. Seja f : (a, b) R uma fução difereciáve. Um poto t (a, b) é dito ser um máximo oca de f (resp. míimo oca de f) se f(t) (x) (resp. f(t) f(x)) para quaquer x em um itervao aberto cotedo t. Um poto t é dito ser um extremo oca de f se é um poto de máximo ou míimo oca. Podemos ecotrar os extremos de f pea caracterização abaixo: Proposição. Se t é um extremo oca de f, etão f (t) = 0. Podemos também embrar como a primeira derivada pode os dar iformações sobre a fução f. Proposição. Examiado o sia de f (x) podemos dizer que: (i) f (x) > 0 em (a, b) f é crescete em (a, b); (ii) f (x) 0 em (a, b) f é ão-decrescete em (a, b); (iii) f (x) < 0 em (a, b) f é decrescete em (a, b); (iv) f (x) 0 em (a, b) f é ão-crescete em (a, b); Acho que agora estamos aptos a cohecer a desiguadade de Jese. No capítuo Apicações do cácuo às desiguadades apresetaremos outras formas de usar as técicas do cácuo para abordar desiguadades.

2 A desiguadade de Jese Segue abaixo a versão mais simpes e mais utiizada desta desiguadade. Teorema (Desiguadade de Jese). Seja f : (a, b) R duas vezes difereciáve. Se f (x) 0 (fução covexa) em todo o itervao (a, b) etão, para quaisquer x, x,..., x (a, b) vae: f(x ) + f(x ) f(x ) x + x x Se, por outro ado, f (x) 0 (fução côcava) em todo o itervao (a, b), vaerá: f(x ) + f(x ) f(x ) x + x x f Prova: Vamos fazer a prova para o primeiro caso, ode f 0. A demostração para o segudo caso é aáoga e será deixada como exercício. A prova será por idução sobre. O caso = ão oferece resistêcia. Supoha etão que a desiguadade vaha para quaisquer reais o itervao (a, b). Façamos etão o passo idutivo para. Iiciamete fixe x, x,..., x e chame x = x. Façamos x + x x = e f(x ) + f(x ) f(x ) = k. Queremos provar que: k + f(x) + x para quaquer x (a, b) Defia etão a fução: g(x) = k + f(x) + x f Derivado obtemos: g (x) = f (x) f + x Se x = +x x = teremos g (x) = 0. Usado agora que f é ãodecrescete em (a, b) (embre-se que estamos supodo f > 0) podemos iferir que se x < teremos g (x) 0 e se x > teremos g (x) 0. Usado ossos cohecimetos de cácuo, cocuímos que x = é um poto de míimo goba para g(x) o itervao (a, b). Daí segue que: g(x) g = k ( )f 0 pois: k por hipótese de idução. As codições de iguadade depedem da fução f. No caso mais comum temos f > 0 estritamete o itervao a, b. Nesse caso, pea demostração acima podemos cocuir que a iguadade só ocorrerá

3 se x = x =... = x. Obs: Podemos apicar a desiguadade de Jese também em itervaos ifiitos, desde que estes sejam abertos e que a fução f seja covexa ou côcava em todo o itervao. Teorema (Desiguadade de Jese - geeraizada). Seja f : (a, b) R uma fução duas vezes difereciáve. Sejam x, x,..., x (a, b) e a, a,..., a reais quaisquer cuja soma é. Se f 0 em (a, b) temos: a f(x ) + a f(x ) a f(x ) (a x + a x a x ) Se, por outro ado, tivermos f 0 em (a, b) a desiguadade mudará de sia: a f(x ) + a f(x ) a f(x ) f(a x + a x a x ) Prova: A demostração da geeraização segue as mesmas idéias da prova apresetada acima e é deixada como exercício. Voto a saietar que, a maioria dos casos, usaremos a desiguadade em sua versão mais simpes, como veremos a seguir os exercícios. 3 Exercícios Resovidos Exempo 3. (Ídia/95). Sejam x, x,..., x reais positivos cuja soma é. x x x x x x Soução: Ohe para a fução f(x) = Derivado-a duas vezes obtemos: f (x) = ( x) 3 x x defiida o itervao (0, ). + 3x 4 ( x) 5 0 Logo, sedo f covexa o itervao (0, ), podemos apicar a desiguadade de Jese: f(x i ) i= x + x x Temos portato que: Setiram o poder? f(x i ).f i= 4 Exercícios Propostos = 3

4 Probema Sejam a, b, c reais positivos tais que a + b + c =. Cacue o míimo vaor para: ( a + a) 0 ( + b + ) 0 ( + c + ) 0 b c Probema Sejam α, β, γ os âguos de um triâguo. (i) se α + se β + se γ 3 3 (ii) cos A + cos B + cos C 3 (iii) se α.se β.se γ 8 (iv) cotg α + cotg β + cotg γ 3 Cuidado: Nem todas as fuções acima são côcavas ou covexas em todo o domíio. Probema 3 Derive a desiguadade MA MG: a + a a a a...a ode os a i são reais ão-egativos, a partir da desiguadade de Jese. Probema 4 (USAMO/74) Sejam a, b, c reais positivos, prove que: a a b b c c (abc) a+b+c 3 Probema 5 (Baco IMO/00) Sejam a, a,..., a reais positivos tais que a +a +...+a <. a a...a [ (a + a a )] (a + a a )( a )( a )...( a ) + Probema 6 Sejam a, a,..., a reais positivos, cada um dos quais é maior ou igua a. a + + a a + a a...a + Probema 7 Se f é uma fução covexa e x, x, x 3 estão o domíio de f, etão: x + x + x 3 f(x )+f(x )+f(x 3 )+f 4 [ ] x + x x + x 3 x + x 3 f + f + f 3 3 4

5 Probema 8 (Vietã/98) Sejam e x, x,..., x reais positivos que satisfazem: x x x = 998 x x...x 998 Obs: Novamete, cuidado com a ão-covexidade em todo o domíio. Probema 9 (IMO/0) Prove que, para quaisquer reais positivos a, b, c temos: a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab 5