Ou seja, em que o caso de igualdade é quando todos são iguais (ou semelhantes). n n n. a 1 a 2...a n. α M(α) = 1 + a α a α n n
|
|
- Luiz Eduardo de Sá
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Desigualdades As desigualdades têm mudado um pouco de cara os últimos aos. O que eram aplicações aparetemete aleatórias das desigualdades cohecidas virou um mote de desigualdades com ovas ideias, para os quais aplicações diretas das desigualdades cohecidas ão fucioam. Mas isso ão quer dizer que você ão precisa domiar essas desigualdades.. As cohecidas Vamos separar as desigualdades de acordo com o caso de igualdade. Não é a ossa iteção demostrar ou mostrar todas, já que as demostrações estão bem documetadas em vários outros materiais... Uma desigualdade boba que ão deve ser desprezada Todo quadrado é ão egativo. Para todo x real, x 0.. Desigualdades que aproximam potos Ou seja, em que o caso de igualdade é quado todos são iguais (ou semelhates). Desigualdade das médias. Sedo a, a,...,a reais positivos, a a a a a...a a a a A igualdade ocorre quado a = a = = a. Desigualdade das médias poteciais. Sedo a, a,..., a reais positivos, defia ( a α M(α) = a α a α ) α Etão α < β = M(α) M(β) A igualdade ocorre quado a = a = = a. Desigualdade de Jese. Se f é uma fução covexa (para quaisquer dois potos A e B o gráfico da f, o gráfico da f etre A e B está debaixo do segmeto AB; caso f seja derivável duas vezes, f (x) > 0 para todo x o domíio da f) está etão, sedo E(y i ) a média aritmética dos úmeros y i, E(f(x i )) f(e(x i )) Se f é uma fução côcava (para quaisquer dois potos A e B o gráfico da f, o gráfico da f etre A e B está acima do segmeto AB; caso f seja derivável duas vezes, f (x) < 0 para todo x o domíio da f) etão E(f(x i )) f(e(x i )) Todas as desigualdades ateriores fucioam com médias poderadas.
2 Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Sedo a, a,..., a e b, b,..., b reais, (a a a )(b b b ) (a b a b a b ) A igualdade ocorre quado existem costates k, l reais tais que la i = kb i para todo i =,,...,. Desigualdade de Cauchy-Schwarz a forma de Egel. Sedo a, a,..., a e b, b,..., b reais positivos, a a a (a a a ) b b b b b b A igualdade ocorre quado existem costates k, l reais tais que la i = kb i para todo i =,,...,. Desigualdade de Hölder. Sedo a, a,...,a, b, b,..., b e c, c,..., c reais positivos, (a 3 a3 a3 )(b3 b3 b3 )(c3 c3 c3 ) (a b c a b c a b c ) 3 Desigualdade de Muirhead. Se a sequêcia de reais ão egativos (a, a,..., a ) majora a sequêcia de reais ão egativos (b, b,..., b ) (ou seja, a a i b b i para i < e a a = b b ) etão x a xa... xa x b xb...xb sym sym para todos x, x,..., x reais positivos, com igualdade quado x = x = = x ou as sequêcias são iguais. Desigualdades de Newto e Maclauri. Seja d k = σ k / ( k), em que σk é o k-ésimo poliômio simétrico das variáveis positivas x, x,..., x o termo em x k de (x x )(x x )...(x x ). Etão (Desigualdade de Newto) d k d k d k para k =,,..., (Desigualdade de Maclauri) d d / d / d /.3. Desigualdades que afastam potos Nem todas as desigualdades jutam potos. Algumas têm o caso de igualdade os extremos. Desigualdade do rearrajo. Sejam a a... a e b b... b reais. Etão, sedo c, c,..., c uma permutação da sequêcia b, b,..., b, os valores máximo e míimo de são respectivamete a c a c a c a b a b a b e a b a b a b Os casos de igualdade são um pouco mais complicados, especialmete se há úmeros iguais. Desigualdade de Chebyshev. Sejam a a... a e b b... b reais. Etão a a a b b b a b a b a b Se as sequêcias estiverem em ordem ivertida, a desigualdade se iverte também. Novamete, como essa desigualdade decorre de rearrajo, os casos de igualdade são complicados. Além disso, essa desigualdade ão é verdadeira para médias com pesos. Fuções covexas e côcavas. Se f(x) é uma fução covexa (côcava) em [a, b] etão seu máximo (míimo) esse itervalo é f(a) ou f(b); isso também vale para fuções de várias variáveis: basta checar os extremos e as froteiras. A próxima desigualdade é um meio-termo.
3 Desigualdade de Schur. Sedo x, y, z reais ão egativos e t real positivo, x t (x y)(x z) y t (y x)(y z) z t (z x)(z y) 0 com igualdade quado x = y = z ou quado dois dos úmeros x, y, z são iguais e o outro úmero é zero. A desigualdade é válida para todos x, y, z reais se t é um iteiro par. Para t = ela equivale a symx 3 xyz sym de modo que ela pode ser muito útil se aliada a Muirhead. x y,. Algumas técicas padrão.. Homogeizar desigualdades Uma desigualdade é homogêea quado ão se altera quado multiplicamos cada variável pelo mesmo úmero real t. Às vezes, é melhor trabalhar com desigualdades homogêeas (para, por exemplo, aplicarmos Muirhead); caso haja alguma codição sobre as variáveis, podemos substitui-la para obtermos desigualdades homogêeas. Às vezes, fazemos o camiho iverso, para cair, por exemplo, em uma desigualdade do tipo f C... Desigualdades simétricas Uma desigualdade é simétrica quado ão se altera ao permutarmos as variáveis. Caso ela se mateha só se trocarmos duas variáveis, digamos, x e y, ela é simétrica em x e y. No primeiro caso, podemos estabelecer uma ordem etre as variáveis; o segudo, podemos supor, sem perda de geeralidade, x y..3. Algumas substituições Vale a pea ficar de olho em possíveis substituições, como trigoométrica (x = tg α = x x = se α, por exemplo) ou geométricas ( a b e Pitágoras, a = x y, b = y z e c = z x para a, b, c lados de um triâgulo) ou simplesmete que simplificam deomiadores chatos (x = b c, y = c a e z = a b em a bc b ca c ab, por exemplo). 3. Novas dificuldades e ovas técicas A razão pela qual as desigualdades foram separadas em duas classes é a seguite: é importate saber quado jutar ou separar potos. Atigamete, praticamete todas as desigualdades tiham como caso de desigualdade todas as variáveis iguais, evolviam fuções covexas, e eram simétricas e homogêeas. Muitas aida matêm essa característica, mas outras têm ovos desafios. 3.. Os casos de igualdade são bizarros Tome, por exemplo, o seguite problema do baco da IMO 005: Exemplo 3.. (Baco IMO 005) Quatro úmeros reais p, q, r, s satisfazem pq rs = 9 e p q r s =. Prove que existe uma permutação (a, b, c, d) de (p, q, r, s) tal que ab cd. Primeiro, ote que ão é possível termos p = q = r = s. E a permutação a verdade é uma quimera: basta supor que p q r s, porque a melhor permutação é tomar p e q grades e r e s pequeos.
4 Mesmo assim, o caso de igualdade parece ser mais próximo de todos jutos do que de todos separados, porque precisamos aproximar pq de rs. De fato, ão é difícil otar que um caso de igualdade é p = 3 e q = r = s =. Pela quatidade de quadrados que aparecem e pela assimetria, parece iteressate dividir os úmeros em dois grupos: p, q e r, s. Começamos observado que pq rs = (p q) (p q ) (r s) (r s ) = (p q) (r s) Agora, ão parece que há muito o que fazer a ão ser abrir (p q r s) : (p r q s) = p q r s (pq rs pr qs ps qr) Como coseguirmos expressões ão simétricas? Usado rearrajo! Note que pq rs pr qs ps qr (a primeira desigualdade, cosidere (p, s) e (q, s); a seguda, (p, q) e (r, s)). Etão, substituido p q r s e p q r s e cosiderado essa desigualdade, 9 = (pq rs pr qs ps qr) 6(pq rs) = pq rs 0 Quase! Faltou só um sial! Mas temos pq rs = (p q) p q (r s) r s = (p q) (r s) de modo que, sedo S = p q, S (9 S) 0 S 9S 0 0 S 4 ou S 5 Como p q r s, S 9, de modo que p q 5. Logo pq rs = (p q) (p q ) (r s) (r s ) = (p q) (r s) 5 = Desigualdades do tipo f(x i ) C com fuções f em covexas em côcavas Desigualdades que saem direto com Jese têm dimiuído os últimos tempos (a úica dificuldade a mais que aparecia era os pesos que apareciam). Etão começaram a aparecer desigualdades com fuções f que ão são em côcavas em covexas em todo o itervalo. Nesse caso, há as seguites possibilidades para atacar os problemas: () Estudar a covexidade de f e dividir em casos, de acordo com os itervalos de covexidade; () Estimar f por retas ou outras curvas (veremos como fazer isso logo) (3) Uma combiação dos ateriores.
5 Exemplo 3.. Sedo a, b, c reais positivos, prove que (b c a) (c a b) (a b c) (b c) a (c a) b (a b) c 3 5. Como a desigualdade é homogêea, podemos supor, sem perda de geeralidade, que a b c = 3 (só para o caso de igualdade ser a = b = c = ). A desigualdade etão é equivalete a (3 a) (3 b) (3 c) (3 a) a (3 b) b (3 c) c 3 5. Seja etão f(x) = (3 x) (3 x) x. Note que f (x) = 8(x 3) (x 6x9) e f (x) = 08(x 6x3) (x 6x9), Note que f tem 3 duas raízes, 3± 3, ambas o itervalo [0, 3]. Ou seja, f ão é em côcava em covexa esse itervalo. Vamos usar a estatégia de passar reta tagete, etão. Vamos tetar ecotrar uma desigualdade do tipo f(x) mx em que o caso de igualdade é para x = (que é o caso de igualdade o osso problema). De cara, temos f() = m m = 5 Mas ão basta a reta cruzar f, porque aí o sial da desigualdade iverte em x = ; a reta deve tageciar o gráfico da f em x =. Logo f () = m m = 8 5 Logo = 3 5. Vamos verificar se f(x) 8x 3 5 : para isso é só abrir a cota e lembrar que x = é raiz dupla dessa equação (use isso para checar suas cotas!): 8x 3 f(x) 5 5(4x x 9) (8x 3)(x 6x 9) 36x 3 54x 8 0 (x ) (x ) 0, o que é verdade para todo x 0. Logo como queríamos demostrar. (3 a) (3 b) (3 c) (3 a) a (3 b) b (3 c) = f(a) f(b) f(c) c 8a 3 8b 3 8c (a b c) = = ,
6 Só para ilustrar, mostramos o gráfico da f e da reta: Nem sempre uma reta só resolve. Veja o próximo exemplo. Exemplo 3.3. Se a, b, c e d são úmeros reais positivos tais que a b c d =, prove que a (a ) b (b ) c (c ) d (d ) 6 5. x Seja f(x) = (x ). Note que, sedo f(x) = = f ( (x x) e f crescete em [0, ], podemos supor, x ) sem perda de geeralidade, que a, b, c, d. De fato, se por exemplo a > trocamos a por a < a, e a bcd <, de modo que f(a)f(b)f(c)f(d) = f ( a) f(b)f(c)f(d) < f(x)f(y)f(z)f(w), em que substituímos a, b, c, d por x, y, z, w tais que x mí(a, a ), y mí(b, b ), z mí(c, c ), w mí(d, d ) e x y z w =. Para cada x 0 cosidere a reta tagete ao gráfico de f em (x 0, f(x 0 )), ou seja, g(x) = f(x 0 )f (x 0 )(x x 0 ). Vejamos quado f(x) g(x). Notado que x = x 0 é raiz dupla de f(x) g(x), temos f(x) g(x) = x (x ) x 0 (x 0 ) x 0(x 0 ) x 0 x 0 (x 0 )3 (x x 0 ) = (x x 0)(xx 0 )(x x 0 )( xx 0 ) (x ) (x 0 x 0 x 3 0 ) (x 0 (x x 0) )3 x x 0 ( = (x (x ) (x 0 x0 )(xx 0 )( xx 0 )(x )3 0 ) x 0 ( x 0)(x ) ) = = (x x 0 ) ( ( x (x ) (x 0 x 0)(x )3 0 ) x 0 (x x 0 )(x 0x x ) ) (x x 0 ) ( (x ) (x 0 x0 ( x 0)x 3 x 0(3 x 0)x 4x 0 x 3x ) )3 0 O sial de f(x) g(x) é o mesmo que o sial de h(x) = x 0 ( x 0 )x3 x 0 (3 x 0 )x 4x 0 x 3x 0
7 Como estamos trabalhado somete com x 0 (0, ], todos os coeficietes de h, com a possível exceção de 3x 0, são egativos. O caso de igualdade o problema é a = b = c = d =, etão x 0 = é uma escolha atural. Nesse caso, g(x) = 4 5 ( ) 48 5 x e h(x) = 3 4 x3 6 x x 4. Note que h(x) 0 para x 8. Etão, se a, b, c, d 8 etão f(a) f(b) f(c) f(d) g(a) g(b) g(c) g(d) = ( a b c d 4 ) = Resta etão os casos em que um ou mais úmeros são meores do que 8. Note que, como abcd = e a, b, c, d etão o máximo dois úmeros são meores do que 8. Se dois úmeros são meores do que 8, como f é crescete etão f(a) f(b) f(c) f(d) f ( ) 64 f() = < 64 < 6 5 Se exatamete um úmero é meor do que 8, digamos a, etão tomamos x 0 = 3. Nesse caso, o termo idepedete de h(x) é 3 ( 3) < 0, o que quer dizer que h(x) < 0 para todo x [0, ]. Sedo g(x) = ( x 8), 3 f(a) f(b) f(c) f(d) f(a) ( 3 3 b c d 3 ) = f(a) a Sedo f (x) = (3x4 8x ) (x ) > 0 para 0 < x 4 8, f (x) é crescete esse itervalo, de modo que f (a) f ( ) 8 = 8 ( ( 8) ) (( 8) ) 3 = = <, = 537,6 3 3 < Logo o lado direito da última 3 desigualdade é crescete em a, de modo que f(a)f(b)f(c)f(d) f ( ) = < = < 6 5 A última desigualdade pode ser verificada otado que = e < < < 37 97, que é verdadeiro pois = 889 > > Desigualdades que parecem as cohecidas, mas ivertidas Como seria Cauchy-Schwarz ao cotrário? Exemplo 3.4. Sejam a, a,...,a e b, b,...,b reais positivos, e sejam m e M o míimo e o máximo de ai b i, i. Prove que (a a a )(b b b ) (M m) 4Mm (a b a b a b )
8 Como atacar um problema que parece ao cotrário? Pesado também ao cotrário: o lugar de pesar em desigualdades que jutam potos, vamos separar: primeiro, ote que (quado ocorre a igualdade?) ( ) ( ai m M a ) i 0 (M m)a i b i a i b i b Mmb i i Somado as desigualdades para i =,,..., obtemos (M m)(a b a b a b ) (a a a ) Mm(b b b ) Aplicado médias, (M m)(a b a b a b ) Mm(a a a )(b b b ) e é só elevar ao quadrado. O caso de igualdade fica a seu cargo, mas ote que as razões ai b i vão ser iguais a m ou M. Outra maeira de resolver problemas desse tipo é trabalhar com covexidade: fuções covexas têm máximos em extremos. Exemplo 3.5. Sejam a, a,..., a reais ão egativos. Prove que m a a a a a a ( )M, ode m = mí i<j { ( ai a j ) } e M = máx i<j { ( ai a j ) }. A primeira desigualdade é bem simples, a verdade: é só colocar o foco os ( a i a j ) : cada um deles é maior ou igual a m, e é igual a a i a j a i a j. Somado ciclicamete para (i, j) = (i, i ), sedo a = a, obtemos (a a a ) ( a a a a 3 a a ) m a a a a a a a 3 a a m Agora é só aplicar médias a seguda fração: a a a a 3 a a a a a a 3... a a = a a...a e somar as desigualdades. Note que se m > 0 e > a desigualdade é estrita, pois os dois casos de igualdade ão podem ocorrer. O outro lado é mais iteressate, porque é ao cotrário. Nesse caso, vamos usar covexidade. Para ão ter que lidar com raízes, seja a i = x i, de modo que a expressão agora é f(x, x,..., x ) = x x x x x... x
9 Supoha, sem perda de geeralidade, a = x x... x = b. Etão M = ( a a ) = (a b ). Agora, f é covexa (o produto some após duas derivadas e os outros coeficietes cotiuam ão egativos após derivar), de modo que assume valor máximo os extremos. Assim, algus x i s, digamos, k são iguais a a e os outros k, iguais a b. A expressão para esses valores é Agora, devemos provar que f(a, a,...,a, b, b,..., b ) = ka ( k)b a k b k }{{}}{{} k k ka ( k)b a k b k ( )(a b ) ka ( k)b a k b k ( )(a b ) ( )a b (( ) k)a (( ) ( k))b a k b k, que sai direto por médias (com os pesos certos, que teho certeza que você vai saber ecotrar). Aliás, o valor de k que maximiza f depede de a e b. Novamete, se M > 0 a desigualdade também é estrita Desigualdades com variáveis Muitas desigualdades têm variáveis e, pior aida, ão são em simétricas. Muitas vezes, a ideia é tetar estimar com uma telescópica ou qualquer outra soma fácil de calcular. Exemplo 3.6. (Baco IMO 00) Sejam x, x,..., x reais. Prove que x x x x x x x x x <. Primeiro, Cauchy (ou médias poteciais, ou quadrática-aritmética...) para aparecer quadrados: ( x x x x x x x x ( x ( x x ) ( x x ) x ) ( x x x ) x ) E agora, telescopamos (escolha um x qualquer): x (x x x ) (x x ) x (x x x ) < (x )(x x ) x (x x )(x x x 3 ) (x x )(x x ( ) ( ) ( ) ) = x x x x x x x x3 3 x x x x = x x <, x e é só substituir a origial e tirar a raiz. x
10 3.5. Desigualdades ão são mais simétricas Já vimos algumas desigualdades que ão são simétricas, mas vale a pea ver algumas desigualdades cíclicas com quatro variáveis a, b, c, d. Nessas desigualdades, você pode: Escolher qualquer uma das variáveis para ser a maior; Verificar se é possível supor, sem perda de geeralidade, a c e b d (esse caso, é claro, se você usou o item aterior, a ou b deve ser o maior); Utilizar a fatoração ab bc cd da = (a c)(b d). Exemplo 3.7. Sejam a, b, c, d reais positivos. Prove que a a b b c b b c c d c c d d a d d a a b a b c d Passado a, b, c, d para o primeiro membro, obtemos a a c b c b b d c d c c a d a d d b a b 0 Aqui, ifelizmete ão dá para supor que a c e b d ao mesmo tempo (mas dá para supor uma delas: é só trocar a por c e b por d ao mesmo tempo). Vamos esperar para ver se vamos precisar fazer alguma suposição do tipo. Mas dá para fatorar a c e b d: a a c b c b b d c d c c a d a d d b a b = (a c)(a ad bc c ) (b d)(ab b cd d ) (b c)(d a) (c d)(a b) O a c e o b d sugerem que dá para fatorar um pouco mais; mas e ad bc e ab cd? Para isso, usamos o truque que você já deve ter usado em teoria dos úmeros: ad bc = b(a c) a(b d) = d(a c) c(b d) e ab cd = b(a c) c(b d) = a(b d) d(a c): (a c)(a ad bc c ) (b c)(d a) = (a c) (a c d) (b c)(d a) (a c) (a c d) (b c)(d a) (b d)(ab b cd d ) (c d)(a b) (b d) (b d a) (c d)(a b) (b d) (b d a) (c d)(a b) (b d)(a c)d (c d)(a b) Vamos provar algo um pouco mais forte: provaremos que ( (a c)(b d) Utilizado médias, temos (a c) (a c d) (b c)(d a) (b d) (b d a) (c d)(a b) (a c)(b d)c (b c)(d a) d (c d)(a b) c (b c)(d a) (a c d)(b d a) (a c)(b d) (b c)(d a)(c d)(a b) E agora vemos que a vitória está próxima: a raiz quadrada parece ser maior do que os dois termos que queremos que sejam meores! De fato, (a c d)(b d a) (b c)(d a)(c d)(a b) d (c d)(a b) (a c d)(b d a)(c d)(a b) d (b c)(d a) )
11 e (a c d)(b d a) (b c)(d a)(c d)(a b) c (b c)(d a) (a c d)(b d a)(b c)(d a) c (c d)(a b) Agora, vale a pea supormos sem perda de geeralidade que a é o maior de todos. Aí a primeira desigualdade é verdadeira porque a c d > a d, b d a > b a b c, c d > d e a b > a d e a seguda é verdadeira porque a c d > c d, b d a > a b, b c > c e d a > a c. Note que as desigualdades são estritas a ão ser que a = c e b = d, que é o caso de igualdade. Outra dica que fucioa para qualquer desigualdade cíclica: se um produto x x... x é igual a, pode valer a pea substituir x = a a, x = a a 3,..., x = a a, ou x = a a, x = a3 a,..., x = a a (as duas substituições são diferetes). Exemplo 3.8. (Rússia) Sejam x, x,...,x reais positivos, > 3, tais que x x... x =. Prove que x x x x x x 3 x 3 x 3 x 4 x x x x x x > Sejam x = a a, x = a3 a,..., x = a a. Etão o termo típico do somatório é x i x i = ai a i ai a i ai a i = a i a i a i a i (sedo os ídices tomados módulo ; tete fazer a outra substituição para ver o que acotece) Aí fica fácil termiar: cada termo é maior do que ai S, sedo S = a a a. Assim, x x x > a a a S x x x 3 = x 3 x 3 x 4 x x x x x x Exercícios Os problemas ão estão em ehuma ordem específica, em em termos de dificuldade em de técica. 0. (IMO 008) (a) Prove que para todos os úmeros reais x, y, z, diferetes de, com xyz =. x (x ) y (y ) z (z ) ( ) (b) Prove que existe uma ifiidade de teros de úmeros racioais x, y, z, diferetes de, com xyz =, para os quais ocorre a igualdade em ( ). 0. (Baco IMO 006) Sedo a, a,...,a reais positivos, prove que i<j a i a j a i a j (a a a ) i<j a i a j.
12 03. (Baco IMO 009) Sejam a, b, c reais positivos tais que a b c = a b c. Prove que 04. Sedo x, y, z reais positivos, prove que (a b c) (a b c) (a b c) 3 6. (x y z) (y z x) (z x y) x (y z) y (z x) z (x y) (Baco IMO 004) Sejam a, b, c reais positivos tais que ab bc ca =. Prove que 3 a 6b 3 b 6c 3 c 6a abc. 06. (IMO 004) Seja 3 um iteiro. Sejam t, t,..., t úmeros reais positivos tais que ( > (t t t ) ). t t t Prove que t i, t j e t k são medidas dos lados de um triâgulo para quaisquer i, j, k com i < j < k. 07. (IMO 005) Sejam x, y, z reais positivos tais que xyz. Prove que x 5 x x 5 y z y5 y x y 5 z z5 z x y z (IMO 006) Determie o meor real M tal que a desigualdade é verdadeira para todos os reais a, b e c. ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c ) 09. (IMO 007) Sejam a, a,...,a úmeros reais. Para cada i ( i ) defiimos d i = máx{a j : j i} mí{a j : i j } e d = máx{d i : i }. (a) Prove que para quaisquer úmeros reais x x... x, máx{ x i a i : i } d. ( ) (b) Prove que existem úmeros reais x x x para os quais vale a igualdade em ( ). 0. (Baco IMO 007) Seja um iteiro positivo e x e y reais positivos tais que x y =. Prove que ( ) ( x k ) y k x 4k y 4k < ( x)( y). k= k=. (OBM 009) Seja > 3 um iteiro fixado e x, x,...,x reais positivos. Ecotre, em fução de, todos os possíveis valores reais de x x x x x x x x 3 x 3 x x 3 x 4 x x x x x x x x
13 . (CGMO 00) Sejam x, x,...,x reais tais que x x x =. Prove que k= Quado ocorre a igualdade? ( k i= ix i ) x k k ( ) x k k. k= 3. (Baco IMO 008) Sejam a, b, c, d reais positivos tais que abcd = e a b c d > a b b c c d d a. Prove que a b c d < b a c b d c a d. 4. (OBM 008) Sejam x, y, z reais tais que x y z = xy yz zx. Ecotre o valor míimo de x x y y z z. 5. (Baco IMO 006) Se a, b, c são lados de um triâgulo, prove que a b c a b c a b c a b c a b c a b c (Baco IMO 009) Sejam a, b, c reais positivos tais que ab bc ca 3abc. Prove que a b a b b c b c c a c a 3 ( a ) b b c c a. 7. (Baco IMO 007) Sejam a, a,...,a 00 reais ão egativos tais que a a a 00 =. Prove que a a a a 3 a 00a < (Baco IMO 008) Prove que, para todos reais positivos a, b, c, d, (a b)(a c) a b c (b c)(b d) b c d Determie quado ocorre a igualdade. (c d)(c a) c d a (d a)(d b) d a b 9. (Chia 0) Sejam a i, b i, i =,,..., reais ão egativos, 4, tais que a a a = b b b > Ecotre o máximo de i= a i(a i b i ) i= b i(a i b i ) 0. (Chia 0) Sejam a, a,...,a reais. Prove que a i a i a i i= i= sedo a = a, M = máx i a i, m = mí i a i. (M m). Sejam a, b, c, d reais tais que a b c d =. Prove que ab bc cd da 3.
14 . (Romaia Master 00) Para cada iteiro positivo, ecotre o maior real C com a seguite propriedade: dadas quaisquer fuções f (x), f (x),..., f (x) defiidas o itervalo fechado 0 x e que assumem valores reais, é possível ecotrar úmeros x, x,...,x, com 0 x i, tais que f (x ) f (x ) f (x ) x x x C. 3. (Tuymaada 00) Sejam a, b, c, d reais positivos tais que abcd =. Prove que ab a bc b cd c da d 4 4. (MEMO 007) Sejam x y z reais tais que xyyz zx =. Prove que xz <. É possível melhorar a costate?
FUNÇÕES CONTÍNUAS Onofre Campos
OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL III SEMANA OLÍMPICA Salvador, 19 a 26 de jaeiro de 2001 1. INTRODUÇÃO FUNÇÕES CONTÍNUAS Oofre Campos oofrecampos@bol.com.br Vamos estudar aqui uma ova classe de
Leia maisExponenciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares
Expoeciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Prelimiares Lembremos que, dados cojutos A, B R ão vazios, uma fução de domíio A e cotradomíio B, aotada por, f : A B,
Leia maisAula 4 - Desigualdades I
Murilo Vascocelos Adrade 7 de Fevereiro de 05 Itrodução A partir de agora partiremos para técicas meos gerais de resoluções de problemas. Etrado o mudo da álgebra, começamos com desigualdades. A razão
Leia maisNúmeros primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética
Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética
Leia maisDesigualdades Aritméticas
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves Desigualdades Aritméticas. Mostra que a + b a + b, para todos os úmeros reais a e b (desigualdade triagular). Quado é que se tem a igualdade? Geeraliza
Leia maisINTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP
Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros
Leia maisDessa forma, concluímos que n deve ser ímpar e, como 120 é par, então essa sequência não possui termo central.
Resoluções das atividades adicioais Capítulo Grupo A. a) a 9, a 7, a 8, a e a 79. b) a, a, a, a e a.. a) a, a, a, a 8 e a 6. 9 b) a, a 6, a, a 9 e a.. Se a 9 e a k são equidistates dos extremos, etão existe
Leia maisDesigualdades b n b ) n ( a
Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Álgebra - Nível 3 Prof Atoio Camiha Aula 2 Desigualdades 2 Esta aula é devotada ao estudo de outras desigualdades elemetares importates Para saber mais sobre o material
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 11
i Sumário 1 Esperaça de uma Variável Aleatória 1 1.1 Variáveis aleatórias idepedetes........................... 1 1.2 Esperaça matemática................................. 1 1.3 Esperaça de uma Fução de
Leia mais1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1
Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética
Leia maisUniversidade Federal Fluminense - UFF-RJ
Aotações sobre somatórios Rodrigo Carlos Silva de Lima Uiversidade Federal Flumiese - UFF-RJ rodrigouffmath@gmailcom Sumário Somatórios 3 Somatórios e úmeros complexos 3 O truque de Gauss para somatórios
Leia maisMatemática E Extensivo V. 1
Extesivo V. 0) a) r b) r c) r / d) r 7 0) A 0) B P.A. 7,,,... r a + ( ). a +. + 69 a 5 P.A. (r, r, r ) r ( r + r) 6r r r r 70 Exercícios 05) a 0 98 a a a 06) E 07) B 08) B 7 0 0; 8? P.A. ( 7, 65, 58,...)
Leia maisSolução Comentada Prova de Matemática
0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual
Leia maisDesigualdades Clássicas
Desigualdades Clássicas Márcio Nascimeto da Silva 9 de maio de 009 Resumo As desigualdades são de extrema importâcia as ciêcias. Sua utilização vai desde a estimativa de uma gradeza com um certo erro pré-defiido,
Leia maisFundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas
Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de
Leia maisS E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S. Prof. Benito Frazão Pires. Uma sequência é uma lista ordenada de números
S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S Prof. Beito Frazão Pires Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros a, a 2,..., a,... ) deomiados termos da sequêcia: a é o primeiro termo, a 2 é o segudo termo e assim
Leia maisA desigualdade de Jensen
A desiguadade de Jese Emaue Careiro - emauec@baydeet.com.br 5 de março de 004 Preimiares de Cácuo Coheceremos este capítuo uma das mais poderosas armas para o combate aos probemas de oimpíada: a desiguadade
Leia maispara Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Álgebra: É Necessário ter Ideias para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1. Fatoração é legal; fatoração é sua amiga 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA. As Diferentes Médias. Primeiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA As Diferetes Médias Primeiro Ao do Esio Médio Autor: Prof Atoio Camiha Muiz Neto Revisor: Prof Fracisco Bruo Holada Nesta aula, pausamos a discussão de Estatística
Leia maisXX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treinamento 5 Nível 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treiameto 5
Leia maisXIX Semana Olímpica de Matemática. Nível U. Algumas Técnicas com Funções Geratrizes. Davi Lopes
XIX Semaa Olímpica de Matemática Nível U Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes O projeto da XIX Semaa Olímpica de Matemática foi patrociado por: Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes
Leia maisSoluções dos Exercícios do Capítulo 6
Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +
Leia maisFundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais
Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,
Leia mais2.2. Séries de potências
Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise
Leia maisUniversidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros
3. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomial P, a variável x, é toda expressão do tipo: P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0, ode IN, a i, i = 0,,..., são úmeros reais chamados coeficietes e as parcelas
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br O PROBLEMA DA ÁREA O PROBLEMA DA ÁREA Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b,
Leia maisMatemática A Extensivo V. 6
Matemática A Etesivo V. 6 Eercícios 0) B Reescrevedo a equação: 88 00 8 0 8 8 0 6 0 0 A raiz do umerador é e do deomiador é zero. Fazedo um quadro de siais: + + + Q + + O que os dá como solução R 0
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b, 0 y f x Isso sigifica que S, ilustrada
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisNOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais Tarefa º. Desta figura, do trabalho da Olívia e da Susaa, retire duas sequêcias e imagie o processo
Leia maisProvas de Matemática Elementar - EAD. Período
Provas de Matemática Elemetar - EAD Período 01. Sérgio de Albuquerque Souza 4 de setembro de 014 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova
Leia maisElevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas),
A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Vol. Soluções. Progressões Aritméticas ) O aumeto de um triâgulo causa o aumeto de dois palitos.logo, o úmero de palitos costitui uma progressão aritmética de razão. a a +(
Leia mais26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia.
6//000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR 00- PROVA MATEMÁTICA Prova resolvida pela Profª Maria Atôia Coceição Gouveia RESPONDA ÀS QUESTÕES A SEGUIR, JUSTIFICANDO SUAS SOLUÇÕES QUESTÃO A
Leia maisSucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...
Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo
Leia mais3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por
Eercícios Espaços vetoriais. Cosidere os vetores = (8 ) e = ( -) em. (a) Ecotre o comprimeto de cada vetor. (b) Seja = +. Determie o comprimeto de. Qual a relação etre seu comprimeto e a soma dos comprimetos
Leia maisn ) uma amostra aleatória da variável aleatória X.
- Distribuições amostrais Cosidere uma população de objetos dos quais estamos iteressados em estudar uma determiada característica. Quado dizemos que a população tem distribuição FX ( x ), queremos dizer
Leia maisMatemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.
Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 22 DE JULHO 2016 GRUPO I
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 65) ª FASE DE JULHO 016 GRUPO I 1. Sabe-se que: P ( A B ) 0, 6 P A B P A Logo, 0, + 0, P A B Como P P 0, 6 P A B 1 0,
Leia maisInterpolação. Interpolação Polinomial
Iterpolação Iterpolação Poliomial Objetivo Iterpolar uma fução f(x) cosiste em aproximar essa fução por uma outra fução g(x), escolhida etre uma classe de fuções defiidas (aqui, usaremos poliômios). g(x)
Leia maisMétodo dos Mínimos Quadrados. Julia Sawaki Tanaka
Método dos Míimos Quadrados Julia Sawaki Taaka Diagrama de Dispersão iterpolação ajuste ou aproximação O Método dos Míimos Quadrados é um método de aproximação de fuções. É utilizado quado: Cohecemos potos
Leia mais(i) (1,5 val.) Represente na forma de um intervalo ou de uma união disjunta de intervalos cada um dos conjuntos seguintes:
Istituto Superior Técico Departameto de Matemática o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Versão A MEAero o Sem. 0/3 0//0 Duração: h30m RESOLUÇÃO. 3,0 val. i,5 val. Represete a forma de um itervalo
Leia maisAUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO I. 1. Assinale com V as proposições que considere verdadeiras e com F as que considere
AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO I. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. Sedo A e B cojutos disjutos, ambos majorados, os respectivos supremos ão podem coicidir
Leia maisITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma.
ITA 00. (ITA 00) Cosidere as afirmações abaixo relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I. A egação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s)
Leia maisCálculo Numérico Lista 02
Cálculo Numérico Lista 02 Professor: Daiel Herique Silva Essa lista abrage iterpolação poliomial e método dos míimos quadrados, e cobre a matéria da seguda prova. Istruções gerais para etrega Nem todos
Leia maisAnálise Matemática I 2 o Exame
Aálise Matemática I 2 o Exame Campus da Alameda LEC, LET, LEN, LEM, LEMat, LEGM 29 de Jaeiro de 2003, 3 horas Apresete todos os cálculos e justificações relevates I. Cosidere dois subcojutos de R, A e
Leia maisCAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE
CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas
Leia mais(def) (def) (T é contração) (T é contração)
CAPÍTULO 5 Exercícios 5 (def) (T é cotração) a) aa Ta ( ) Ta ( 0) aa0, 0 Portato, a a aa0 (def) (def) (T é cotração) b) a3a Ta ( ) Ta ( ) TTa ( ( ) TTa ( ( 0)) (T é cotração) Ta ( ) Ta ( ) 0 aa0 Portato,
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisInstituto de Matemática - UFRJ Análise 1 - MAA Paulo Amorim Lista 2
Istituto de Matemática - UFRJ Lista. Sejam (x ), (y ) sequêcias covergetes, com x y,. Mostre que se tem lim x lim y. Sabemos das aulas teóricas que se uma sequêcia z verifica z 0, etão lim z 0 (caso exista).
Leia mais. Mas m 1 e Ftv (, ) , ou seja, ln v ln(1 t) ln c, com c 0 e
CAPÍTULO 3 Eercícios 3 3 Seja a equação y y 0 B Como o Eercício ( item (e, yabl B y( Bl A 0 B B B B y(! y(! B 4 4 4 l A0! A( l A solução procurada é y ( l 4 l $ % 4 Pela ª Lei de Newto, m dv dt dv v dt
Leia mais= o logaritmo natural de x.
VI OLIMPÍ IEROMERIN E MTEMÁTI UNIVERSITÁRI 8 E NOVEMRO E 00 PROLEM [5 potos] Seja f ( x) log x 0 = o logaritmo atural de x efia para todo 0 f+ ( x) = f() t dt = lim f() t dt x 0 ε 0 ε Prove que o limite
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
Leia maisProbabilidade II Aula 12
Coteúdo Probabilidade II Aula Juho de 009 Desigualdade de Marov Desigualdade de Jese Lei Fraca dos Grades Números Môica Barros, D.Sc. Itrodução A variâcia de uma variável aleatória mede a dispersão em
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
Leia maisCÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição;
CÁLCULO I Prof Edilso Neri Júior Prof Adré Almeida Aula o 9: A Itegral de Riema Objetivos da Aula Deir a itegral de Riema; Exibir o cálculo de algumas itegrais utilizado a deição; Apresetar fuções que
Leia mais1 Formulário Seqüências e Séries
Formulário Seqüêcias e Séries Difereça etre Seqüêcia e Série Uma seqüêcia é uma lista ordeada de úmeros. Uma série é uma soma iita dos termos de uma seqüêcia. As somas parciais de uma série também formam
Leia maisMedidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov
Medidas, itegração, Teorema da Covergêcia Moótoa e o teorema de Riesz-Markov 28 de Agosto de 2012 1 Defiições de Teoria da Medida Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida: isto é, F é σ-álgebra sobre o cojuto
Leia maisExercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica
Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a
Leia maisA letra x representa números reais, portanto
Aula 0 FUNÇÕES UFPA, 8 de março de 05 No ial desta aula, você seja capaz de: Saber dizer o domíio e a imagem das uções esseciais particularmete esta aula as uções potêcias; Fazer o esboço de gráico da
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 5
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão 5 Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 22 DE JULHO 2016 GRUPO I
Associação de Professores de Matemática Cotactos: Rua Dr. João Couto,.º 7-A 1500-6 Lisboa Tel.: +51 1 716 6 90 / 1 711 0 77 Fa: +51 1 716 64 4 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Leia maisDefinição 1: Sequência é uma lista infinita de números reais ordenados.
Cálculo I Egeharia Mecâica. Sequêcias Defiição : Sequêcia é uma lista ifiita de úmeros reais ordeados. 2º termo º termo Nome (x ) = (x, x 2, x,..., x,...) º termo º termo N R x Observação: Podemos pesar
Leia maisESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS
ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r
Leia maisAplicações lineares. Capítulo Seja T: a) Quais dos seguintes vectores estão em Im( T )? 1 i) 4. 3 iii) ii)
Capítulo Aplicações lieares Seja T: R R a multiplicação por 8 a) Quais dos seguites vectores estão em Im( T )? i) ii) 5 iii) b) Quais dos seguites vectores estão em Ker( T)? i) ii) iii) c) Qual a dimesão
Leia maisx 1 + x x x = lim x x x 2 = lim x x = lim lim x x 2 limx x Exercício 3
Exercício Item p Esboço do algoritmo. É o seguite:. Fatorar a maior potêcia do umerador e do deomiador 2. Rearrajar a expressão. 3. Cocluir. Implemetação. Vejamos a implemetação. x + 3 x lim x x 2 + 3
Leia maisConsiderações finais
Cosiderações fiais Bases Matemáticas Defiições prelimiares Defiição 1 Dizemos que y é uma cota superior para um cojuto X se, para todo x X é, verdade que y x. Exemplo 1 os úmeros 2, 3, π e quaisquer outros
Leia maisAlguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:
Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum
Leia maisXXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO
XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Esio Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL ) E 6) C ) E 6) B ) D ) C 7) D ) C 7) A ) A ) B 8) B ) B 8) A ) B ) D 9) D ) A 9) B ) E 5) D 0) D 5) A
Leia maisBINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:
07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,
Leia maisBÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 1 a Edição
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 1 a Edição Rio Grade 2017 Uiversidade Federal do Rio Grade - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Leia mais1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz (1642-1716) e Seki Shisuke Kowa (1642-1708),
Leia maisSéquências e Séries Infinitas de Termos Constantes
Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates
Leia maisFICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões
. Observe a sequêcia das seguites figuras: FICHA DE TRABALHO º ANO Sucessões Vão-se costruido, sucessivamete, triâgulos equiláteros os vértices dos triâgulos equiláteros já existetes, prologado-se os seus
Leia mais. Dessa forma, quanto menor o MSE, mais a imagem
Uiversidade Federal de Perambuco CI / CCEN - Área II 1 o Exercício de Cálculo Numérico ( 18 / 06 / 2014 ) Aluo(a) 1- Questão 1 (2,5 potos) Cosidere uma imagem digital como uma matriz bidimesioal de dimesões
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA. Gabarito da Prova 2 a fase de 2008 Nível 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA XI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA SANTA CATARINA - UFSC Gabarito da Prova a fase de 008 Nível 3. Seja N a a a a
Leia maisAula 3 : Somatórios & PIF
Aula 3 : Somatórios & PIF Somatório: Somatório é um operador matemático que os permite represetar facilmete somas de um grade úmero de parcelas É represetado pela letra maiúscula do alfabeto grego sigma
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 1
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisProposta de teste de avaliação
Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 miutos Data: Cadero (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas,
Leia maisMatemática. Binômio de Newton. Professor Dudan.
Matemática Biômio de Newto Professor Duda www.acasadococurseiro.com.br Matemática BINÔMIO DE NEWTON Defiição O biômio de Newto é uma expressão que permite calcular o desevolvimeto de (a + b), sedo a +
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ao 08 - a Fase Proposta de resolução Cadero... Como P µ σ < X < µ + σ 0,94, logo como P X < µ σ P X > µ + σ, temos que: P X < µ σ 0,94 E assim, vem que: P X > µ σ P X
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I Resolução do 2 ō Teste - LEIC
Cálculo Diferecial e Itegral I Resolução do ō Teste - LEIC Departameto de Matemática Secção de Àlgebra e Aálise I.. Determie o valor dos seguites itegrais (i) e x se x dx x + (ii) x (x + ) dx (i) Visto
Leia maisGabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta
Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta Questão potos Serão laçados dois dados: um dado azul de 4 faces, umeradas de a 4, e um dado vermelho de 8 faces, umeradas de a 8 a Determie a probabilidade
Leia maisMATEMÁTICA. Determine o conjunto-solução da equação sen 3 x + cos 3 x =1 sen 2 x cos 2 x. Resolução: Fatorando a equação dada:
MATEMÁTICA 0000 Questão 0 Determie o cojuto-solução da equação se x + cos x = se x cos x Fatorado a equação dada: se x + cos x= se x cos x ( sex + cos x)( se x sexcos x+ cos x) = ( sexcos x) ( x x)( x
Leia maisAmostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença?
Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais Probabilidade e Estatística: afial, qual é a difereça? Até agora o que fizemos foi desevolver modelos probabilísticos que se adequavam a situações reais. Por
Leia maisMAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 2
MAE 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista Professor: Pedro Moretti Exercício 1 Deotado por Y a variável aleatória que represeta o comprimeto dos cilidros de aço, temos que Y N3,
Leia maisElementos de Análise - Verão 2001
Elemetos de Aálise - Verão 00 Lista Thomas Robert Malthus, 766-834, foi professor de Ecoomia Política em East Idia College e em seu trabalho trouxe à luz os estudos sobre diâmica populacioal. Um de seus
Leia maisSucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.
Sucessões Defiição: Uma sucessão de úmeros reais é uma aplicação u do cojuto dos úmeros iteiros positivos,, o cojuto dos úmeros reais,. A expressão u que associa a cada a sua imagem desiga-se por termo
Leia maisLista de Exercícios #4 Assunto: Variáveis Aleatórias Contínuas
. ANPEC 8 - Questão Seja x uma variável aleatória com fução desidade de probabilidade dada por: f(x) = x, para x f(x) =, caso cotrário. Podemos afirmar que: () E[x]=; () A mediaa de x é ; () A variâcia
Leia maisCapítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.
5. Defiição de fução de várias variáveis: campos vetoriais e. Uma fução f : D f IR IR m é uma fução de variáveis reais. Se m = f é desigada campo escalar, ode f(,, ) IR. Temos assim f : D f IR IR (,, )
Leia mais( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,...
Progressões Geométricas Defiição Chama se progressão geométrica PG qualquer seqüêcia de úmeros reais ou complexos, ode cada termo a partir do segudo, é igual ao aterior, multiplicado por uma costate deomiada
Leia maisAplicações Diferentes Para Números Complexos
Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferetes Para Números Complexos Capítulo I Cometário Iicial O artigo que aqui apresetamos ão tem como objetivo itroduzir ao leitor o assuto
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisInterpolação-Parte II Estudo do Erro
Iterpolação-Parte II Estudo do Erro. Estudo do Erro a Iterpolação. Iterpolação Iversa 3. Grau do Poliômio Iterpolador 4. Fução Splie em Iterpolação 4. Splie Liear 4. Splie Cúbica .Estudo do Erro a Iterpolação
Leia maisSequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Sequências de números reais 1
Matemática Essecial Sequêcias Reais Departameto de Matemática - UEL - 200 Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessecial/ Coteúdo Sequêcias de úmeros reais 2 Médias usuais 6 3 Médias versus progressões
Leia maisFunção Logarítmica 2 = 2
Itrodução Veja a sequêcia de cálculos aaio: Fução Logarítmica = = 4 = 6 3 = 8 Qual deve ser o valor de esse caso? Como a fução epoecial é estritamete crescete, certamete está etre e 3. Mais adiate veremos
Leia maisSéries e aplicações15
Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor
Leia maisSecção 1. Introdução às equações diferenciais
Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço
Leia maisEm linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres-
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO DE REFORÇO - EAD PROGRESSÕES Progressão Geométrica I) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Progressão Geométrica é uma sequêcia de elemetos (a, a 2, a 3,..., a,...) tais que, a partir
Leia maisAnálise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES
-. Calcule os seguites limites Aálise Ifiitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES a) lim + ) b) lim 3 + 4 5 + 7 + c) lim + + ) d) lim 3 + 4 5 + 7 + e) lim + ) + 3 f) lim + 3 + ) g) lim + ) h) lim + 3 i) lim +
Leia mais