Funções convexas ou côncavas desempenham um papel especial em áreas como a Termodinâmica, a Mecânica

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1 Capítulo 5 Fuções Covexas Coteúdo 5.1 Fuções Covexas. Defiições e Propriedades Básicas Fuções Covexas de uma Variável Fuções Covexas de Várias Variáveis Algumas Cosequêcias da Covexidade e da Covavidade A Desigualdade de Jese A Primeira Desigualdade de Youg Médias Geométricas, Aritméticas e Desigualdades Correlatas A Desigualdade de Mikowski Fuções covexas ou côcavas desempeham um papel especial em áreas como a Termodiâmica, a Mecâica Estatística, a Teoria das Probabilidades, a Teoria das Equações Difereciais, o Cálculo Variacioal e em diversas outras. Pretedemos este breve capítulo apresetar suas defiições e suas propriedades básicas para futuro uso e referêcia. Obtemos algumas desigualdades úteis evolvedo fuções covexas e côcavas, a mais relevate sedo, talvez, a desigualdade de Jese, apresetada a Proposição 5.1, págia 6. Nestas Notas faremos uso de propriedades de fuções covexas ou côcavas em diversos mometos, por exemplo, o tratameto da fução Gama de Euler o Capítulo 7, págia Fuções Covexas. Defiições e Propriedades Básicas Cojutos covexos em espaços vetoriais reais Seja V um espaço vetorial real. Um cojuto ão-vazio C V é dito ser um cojuto covexo se para todos x, y C e todo λ [, 1] valer λx+1 λy C. Se C V é covexo e z C, dizemos que uma expressão do tipo z = λx+1 λy com x, y C e λ [, 1] é uma decomposição covexa de z. Há três situações as quais uma tal decomposição covexa é trivial: quado x = y = z e λ [, 1] é arbitrário, quado x = z, λ = 1 e y C é arbitrário ou quado y = z, λ = e x C é arbitrário. Nesses casos a decomposição covexa é apeas z = z. Seja C V covexo. Dizemos que z C é um poto iterior de C se existirem x, y C com x y e λ, 1 tais que z = λx + 1 λy. Em outras palavras, z C é um poto iterior de C se admitir ao meos uma decomposição covexa ão-trivial. Dizemos que z C é um poto extremo ou poto extremal de C se ão existirem x, y C distitos e λ, 1 tais que z = λx + 1 λy. Em outras palavras, z C é um poto extremo de C se admitir somete decomposições covexas triviais, ou seja, se ão for um poto iterior de C. Exemplo 5.1 No caso em que V é o espaço R, um cojuto C R é covexo se e somete se o segmeto de reta coectado dois potos quaisquer de C estiver iteiramete cotido em C. Um triâgulo aberto ou fechado em R é um cojuto covexo. Se o triâgulo for aberto, todos os seus potos são iteriores e ão há potos extremos. Se o triâgulo for fechado todos os seus potos são iteriores, exceto seus três vértices, que são seus úicos potos extremos. Fuções covexas e côcavas em espaços vetoriais reais Seja V um espaço vetorial real e seja C V um cojuto covexo. Uma fução f : C R é dita ser uma fução covexa se para todos x, y C e todo λ [, 1] valer a desigualdade f λx+1 λy λfx+1 λfy

2 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 47/348 Uma fução f : C R é dita ser uma fução côcava se para todos x, y C e todo λ [, 1] valer a desigualdade f λx+1 λy λfx+1 λfy. 5. Uma fução f : C R é dita ser uma fução estritamete covexa se para todos x, y C com x y e todo λ, 1 valer f λx+1 λy < λfx +1 λfy. Uma fução f : C R é dita ser uma fução estritamete côcava se para todos x, y C com x y e todo λ, 1 valer f λx+1 λy > λfx+1 λfy. É elemetar costatar que uma fução f é côcavase e somete se f for covexa. Com isso, propriedadesde fuções côcavas podem ser facilmete derivadas de propriedades correspodetes de fuções covexas e, por isso, discutiremos majoritariamete as últimas. O mesmo vale para fuções estritamete côcavas e estritamete covexas. No que segue, estudaremos fuções covexas defiidas em cojutos covexos de R, de R e também de espaços vetoriais reais ormados ão ecessariamete de dimesão fiita Fuções Covexas de uma Variável No que segue, cosideraremos fuções defiidas em um cojuto covexo I R de iterior I ão-vazio. Podemos ter I = R, ou um itervalo aberto, semiaberto ou fechado, como [A, B], A, B, [A, B, A, B], [A,, A,,, A] ou, A, com < A < B <. I desiga o produto Cartesiao I I e I d desiga seu cojuto diagoal: I d := {x, x, x I} I. Uma fução f : I R é dita ser uma fução covexa se para todos x, y I e todo λ [, 1] valer f λx+1 λy λfx+1 λfy. 5.3 Uma fução f : I R é dita ser uma fução côcava se para todos x, y I e todo λ [, 1] valer f λx+1 λy λfx+1 λfy. 5.4 E. 5.1 Exercício. A oção de covexidade de cocavidade possui uma iterpretação geométrica muito simples para fuções de uma variável real. Uma fução f : I R é covexa respectivamete, côcava se e somete se dados dois potos quaisquer x < y de seu domíio o gráfico de f o itervalo x, y ficar abaixo respectivamete, acima da liha reta que coecta o par x, fx ao par y, fy, tal como expresso os gráficos da Figura 5.1, págia 47. Justifique essa afirmação com base as defiições. fy fy fx fx x y x y Figura 5.1: O gráfico de uma fução covexa à esquerda e de uma fução côcava à direita. Em ambos é idicado o segmeto de reta coectado par x, fx ao par y, fy. E. 5. Exercício. Seguido a defiição, mostre que fx = x e fx = x são fuções covexas em R. E. 5.3 Exercício fácil. Sejam f : R R e g : R R duas fuções covexas. Mostre que se f é ão-decrescete, etão f g é covexa.

3 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 48/348 Se f : I R é covexa, é muito fácil demostrar, usado idução fiita, que para todos N, todos x 1,..., x I e todos λ 1,..., λ [, 1] tais que λ 1 + +λ = 1 vale Se f é côcava, temos f λ 1 x 1 + +λ x λ1 fx 1 + +λ fx. 5.5 f λ 1 x 1 + +λ x λ1 fx 1 + +λ fx. 5.6 Provaremos apeas o caso covexo, pois o outro é aálogo. Supohamos a afirmação válida para 1, com 3. Podemos supor que haja ao meos dois λ s ão-ulos com λ 1,..., λ [, 1] tais que λ 1 + +λ = 1, pois se houver apeas um, esse deve valer 1 e os demais e ão haveria o que se demostrar. Sem perda de geeralidade, supohamos assim que λ 1 +λ >. Etão, como podemos escrever [ ] λ 1 x 1 +λ x λ 1 x 1 + +λ x = λ 1 x 1 + +λ x +λ 1 +λ λ 1 +λ temos, pela hipótese de idução, f [ ] λ 1 x 1 +λ x λ 1 x 1 + +λ x = f λ 1 x 1 + +λ x +λ 1 +λ λ 1 +λ λ 1 x 1 +λ x λ 1 fx 1 + +λ fx +λ 1 +λ f λ 1 +λ λ 1 fx 1 + +λ fx +λ 1 fx 1 +λ fx, sedo que, a última desigualdade, usamos a covexidade de f para obter λ 1 x 1 +λ x λ 1 λ f fx 1 + fx. λ 1 +λ λ 1 +λ λ 1 +λ Isso provou 5.5 para todo N. A desigualdade 5.5 ou sua forma côcava 5.6 é por vezes deomiada desigualdade de Jese 1. É importate mecioar que a desigualdade de Jese pode ser aida geeralizada e 5.5 é apeas sua versão mais simples discreta. Para uma forma mais geral, vide Proposição 5.1, págia 6, em especial, vide 5.9. Propriedades do cojuto de fuções covexas em I Se f : I R e g : I R são duas fuções covexas, etão para todos α, β [, a fução αf +βg é também covexa em I. A prova disso é elemetar. Essa propriedade afirma que o cojuto das fuções covexas em I é um coe covexo. Essas afirmações valem também para fuções côcavas. Seja f : I R, N uma sequêcia de fuções covexas que coverge potualmete a uma fução f : I R, ou seja, tal que para cada x I valha fx = lim f x. Etão, f é igualmete covexa. A prova dessa afirmação é elemetar e deixada ao estudate. Essa afirmação vale também para fuções côcavas. Seja {f ω : I R, ω Ω} uma família de fuções covexas defiidas em I tal que para cada x I exista fx := sup{f ω x, ω Ω}. Etão, f : I R é também covexa. A prova dessa afirmação é muito simples e deixada ao estudate. Para fuções côcavas valem as mesmas afirmações, com o supremo substituído pelo ífimo. Uma codição equivalete à de covexidade Para uma fução f : I R, cosidere-se a fução simétrica de duas variáveis R f R : I \I d dada por R f x, y Rx, y := fx fy x y, x y. 1 Joha Ludwig William Valdemar Jese A desigualdade de Jese, assim como outros trabalhos do mesmo sobre fuções covexas, data de 196. Para a referêcia origial, vide ota de rodapé 4 à págia 55. Para eteder essa omeclatura o estudate deve recordar que se C é um coe covexo em R 3, etão se v e u são vetores de C, segue que α v +β u é também um vetor de C para todos α, β [,.

4 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 49/348 A proposição que segue mostra que com a fução R podemos apresetar uma defiição alterativa de covexidade uma outra caracterização distita da oção de fução covexa será ecotrada a Proposição 5.4, págia 54. Proposição 5.1 Uma fução f : I R é covexa se e somete se para todos x, y, z I, distitos, com y < z valer Rx, y Rx, z, 5.7 ou seja, se e somete se, fixado um dos argumetos, R for mootoamete ão-decrescete o outro argumeto. No Exercício E. 5.4, págia 5, apreseta-se uma iterpretação geométrica da Proposição 5.1. Prova da Proposição 5.1. Parte I: supodo f covexa provamos 5.7. Para provarmos5.7 há três casos a se cosiderar: x < y < z, y < x < z e y < z < x. Caso 1: x < y < z. Como y fica etre x e z, podemos escrever y = λx+1 λz adotado para tal λ = z y z x otar que λ, 1. Da covexidade de f segue, etão, que fy λfx+1 λfz = z y y x fx+ x z z x fz. Subtraido fx de ambos os lados obtemos, após algus cômputos elemetares, ou seja, Rx, y Rx, z. fy fx y x fz fx z x Caso : y < x < z. Como x fica etre y e z, podemos escrever x = λy+1 λz adotado para tal λ = z x z y λ, 1. Da covexidade de f segue, etão, que Subtraido fx de ambos os lados, podemos escrever do que segue imediatamete que ou seja, Rx, y Rx, z. fx λfy+1 λfz = z x x y fy+ z y z y fz. z x x y fy fx + fz fx z y z y fy fx y x fz fx z x Caso 3: y < z < x. Como z fica etre y e x, podemos escrever z = λy+1 λx adotado para tal λ = x z x y λ, 1. Da covexidade de f segue, etão, que fz λfy+1 λfx = x z z y fy+ x y x y fx. Subtraido-se fx de ambos os lados, obtém-se após cômputos elemetares fy fx y x fz fx z x,,, otar que otar que ou seja, ovamete Rx, y Rx, z. Com isso, 5.7 está estabelecida em todos os casos possíveis em que y < z. Parte II: supodo 5.7 provamos que f é covexa. Por 5.7 sabemos que se y < z, etão fx fy x y fx fz x z para todo x, com x y e x z. Tomemos, em particular, x = λy +1 λz, com λ, 1. A última expressão fica f λy +1 λz fy 1 λz y f λy +1 λz fz λz y.

5 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 5/348 Cacelado-se o fator z y > de ambos os lados, obtemos f λy + 1 λz λfy + 1 λfz, provado a covexidade de f. E. 5.4 Exercício. A Proposição 5.1 possui a seguite iterpretação geométrica. Sejam x, y, z I três potos do domíio de defiição de uma fução f tais que y < z. Cosidere-se o segmeto de liha reta L 1 coectado o poto x, fx ao poto y, fy ambos o gráfico gráfico de f e cosidere-se o segmeto de liha reta L coectado o poto x, fx ao poto z, fz ambos também o gráfico de f. Etão, o que a Proposição 5.1 afirma é que f é covexa se e somete se a icliação de L 1 for meor ou igual à icliação de L. Vide o gráfico o lado esquerdo da Figura 5., págia 5. Justifique essa afirmativa com base a Proposição 5.1. Algumas desigualdades de iteresse Ates de prosseguirmos apresetemos um resultado que será futuramete evocado estas Notas. Lema 5.1 Seja f : I R covexa. Etão, para quaisquer w, x, y, z I com w < x < y < z valem as desigualdades e fw fx w x fw fx w x fx fy x y fy fx y x fy fz y z fz fx z x Prova. Pelas hipóteses e pela Proposição 5.1, págia 49, tem-se Rw, x Rx, y Ry, z, assim como Rx, w Rx, y Rx, z. Escrevedo-se explicitamete o que é a fução R, obtemos disso 5.8 e 5.9, respectivamete. O estudate deve atetar para as semelhaças e difereças etre 5.8 e 5.9. A primeira desigualdade em ambas é a mesma. A difereça está a seguda desigualdade. A desigualdade 5.8 é graficamete represetada o gráfico à direita da Figura 5., págia 5. A desigualdade 5.9 é graficamete represetada o gráfico à esquerda da Figura 5.. fz fz fw fy L fw fx L 1 fy fx w x y z w x y z Figura 5.: À esquerda: gráfico de uma fução covexa. As icliações dos segmetos de reta lá idicados são Rw, x, Rx, y e Rx, z. A figura deixa claro que Rw, x Rx, y Rx, z. À direita: gráfico de uma fução covexa. As icliações dos segmetos de reta lá idicados são Rw, x, Rx, y e Ry, z. A figura deixa claro que Rw, x Rx, y Ry, z. Covexidade e derivadas laterais Seja uma fução g : I R. Para x I defiimos as derivadas laterais que deotamos por g + x e g x por g + gx+ǫ gx x := lim ǫ ǫ ǫ> e g gx gx ǫ x := lim, ǫ ǫ ǫ>

6 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 51/348 caso esses limites existam. É relevate otar que caso ambos os limites existam, etão g é cotíua em x, pois teremos lim ǫ gx+ǫ gx = e lim ǫ gx gx ǫ =. É claro que g é difereciável em x se e somete se g + x e g + x ǫ> ǫ> existirem em forem iguais. O proposição que segue revela mais fatos básicos importates sobre fuções covexas. Proposição 5. Se f : I R é covexa, etão f é cotíua em I e possui em cada poto de I derivadas laterais à direita e à esquerda, as quais satisfazem a seguite desigualdade: f x f + x fx fx x x f x f + x 5.1 para todos x, x I com x < x. Isso diz que tato f quato f + são fuções mootoamete ão-decrescetes em I, sedo que f f + em todo I. Outra afirmação que disso pode ser extraída é que f é ão-difereciável em uma coleção o máximo eumerável de potos. Uma demostração mais geral da cotiuidade de fuções covexas o iterior do seu domíio de defiição será apresetada a Proposição 5.9, págia 58. ProvadaPropossição5.. Sejam w, x, y I comw < x < y. PelaProposição5.1, págia49,temosrx, w Rx, y. Fixemos w e x. Sabemos, também pela Proposição 5.1, que a fução y Rx, y defiida para y > x é decrescete quado y dimiui para x. Assim, o limite y x lim Rx, y existe, por ser decrescete e limitado iferiormete por Rx, w. y>x Sucede que, pela defiição de R, o limite y x lim Rx, y é precisamete a derivada lateral à direita f +x. y>x Fixemos x e y. Sabemos, também pela Proposição 5.1, que a fução w Rx, w defiida para w > x é crescete quado w cresce para x. Assim, o limite w x lim Rx, w existe, por ser crescete e limitado superiormete por Rx, y. w<x Sucede que, pela defiição de R, o limite w x lim Rx, w é precisamete a derivada lateral à esquerda f x. w<x Isso estabeleceu a existêcia dos limites laterais para todo poto de I e estabeleceu que f é cotíua em todo poto de I. Sejam agora w, x, y, w, x, y seis potos de I tais que w < x < y < w < x < y. Fazedo uso da Proposição 5.1, temos Rw, x Rx, y Ry, w Rw, x Rx, y, ou seja, fx fw x w fy fx y x Tomado-se em 5.11 os limites lim, lim que é 5.1. w x w<x y x y>x, lim w x fw fy w y fx fw x w fy fx y x. 5.11, lim e usado-se a cotiuidade de f, obtemos w <x y x y >x f x f + x fx fx x x f x f + x, Seja N I a coleção de todos os potos de I os quais f ão seja difereciável, ou seja, os quais f x f + x. 5.1 iforma-os que se x, x N com x < x, etão os itervalos f x, f +x e f x, f +x são itervalos disjutos de R. Agora, R pode o máximo admitir uma família eumerável de itervalos disjutos. Logo, N é o máximo eumerável. É istrutivo chamar a ateção do leitor para o fato de a cotiuidade a que se refere a Proposição 5. ser garatida apeas o iterior I do domíio de defiição I. As fuções f : [, 1] R defiidas por { { 1, x =, 1, x =, fx := x fx :=, x, 1],, x, 1], são covexas em todo o itervalo [, 1], mas ão são cotíuas em x =. A Proposição 5., págia 51, tem a seguite cosequêcia, que usaremos quado apresetarmos a demostração de uma forma geral da desigualdade de Jese a Proposição 5.1, págia 6:

7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 5/348 Corolário 5.1 Se f : I R é covexa, etão fy y xf ±x+fx 5.1 para todos x, y I. Esse corolário tem a seguite iterpretação geométrica: o gráfico de uma fução covexa está sempre acima das retas tagetes ao mesmo e isso é verdade mesmo em potos em que a derivada é descotíua, em cujo caso temos duas retas tagetes com icliações f e f +. Prova do Corolário 5.1. Para x > x temos de 5.1 as desigualdades f x f +x fx fx x x, que implicam que fx x xf ± x+fx, x x Icluímos acima o caso x = x devido à cotiuidade de f também demostrada a Proposição 5.. Também para x > x temos de 5.1 as desigualdades fx fx x x Trocado as letras x x, isso fica fx x x f ±x +fx, x > x. f x f +x, que implicam que fx x xf ±x+fx, x > x Cotemplado 5.13 e 5.14, vemos que estabelecemos que fx x xf ±x+fx para todos x, x I. A Proposição 5., págia 51, afirma que se uma fução é covexa, etão suas derivadas laterais são crescetes. Sob hipóteses adequadas é possível garatir a recíproca dessa afirmação. A proposição que segue mostra a forma mais simples dessa recíproca. Proposição 5.3 Seja f : I R cotíua em I e difereciável em I. Etão, uma codição ecessária e suficiete para que f seja covexa é que f seja mootoamete ão-decrescete, ou seja, que f x f y para todos x, y I com x y. Prova. Da Proposição5., págia 51, é evidete que covexidade e difereciabilidade implicam que f é mootoamete ão-decrescete, de modo que resta apeas provar a recíproca. Sejam x, x 1 I com x < x 1 e seja λ, 1. Defiamos x λ := λx +1 λx 1. É claro que x < x λ < x 1. Com as hipóteses, podemos evocar o Teorema do Valor Médio e afirmar que existem ξ x, x λ e ξ1 x λ, x 1 tais que valem fx λ fx = f ξ x λ x = 1 λx1 x f ξ, fx 1 fx λ = f ξ 1 x 1 x λ = λx1 x f ξ 1. Note-se que ξ < ξ 1 e, portato, f ξ f ξ 1. Temos, assim, fx λ λfx 1 λfx 1 = λ fx λ fx +1 λ fx λ fx 1 = λ1 λx 1 x f ξ f ξ 1, pois f ξ f ξ 1. Isso estabeleceu que f λx +1 λx 1 λfx +1 λfx 1 com λ, 1. Para λ {, 1} essa relação é trivial e isso demostra a covexidade de f. O seguite corolário é agora evidete e dispesa demostração. Corolário 5. Seja f : I R cotíua em I e duas vezes difereciável em I. Etão, uma codição ecessária e suficiete para que f seja covexa é que f x para todo x I.

8 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 53/348 Esse corolário permite cofortavelmete determiar se uma fução f cotíua e duas vezes difereciável em seu domíio de defiição I é covexa o que se dá caso f x para todo x I ou côcava o que se dá caso f x para todo x I. Exemplos 5. De posse do critério estabelecido o Corolário 5., é fácil demostrar os seguites fatos. A fução l x é côcava em,. As fuções e ±x são covexas em R. As fuções x com N par são covexas em R. As fuções x com N ímpar são covexas em [, e côcavas em, ]. A fução 1/1 x é covexa o itervalo 1, 1 e diverge para x ±1. A fução x+1/x é covexa em, e côcava em,. As fuções cosx e sex são côcavas os itervalos em que são positivas e covexas os itervalos em que são egativas. E. 5.5 Exercício fácil. Cosidere-se a fução s : [, 1] R dada por sx := {, se x =, xlx, se x, 1]. Costate que sx para todo x [, 1], que s é uma fução cotíua, duas vezes difereciável em, 1] e côcava. A Proposição 5.3 tem aida um outro corolário digo de ota: Corolário 5.3 Seja I R um itervalo covexo do tipo que aqui cosideramos e seja g : I R uma fução cotíua, e ão-decrescete. Etão, a fução h : I R defiida por com a I, fixo, é uma fução covexa da variável x. hx := x a gu du Prova. É claro que h é cotíua e que h x = gx para todo x I. Logo, h é estritamete crescete e, pela Proposição 5.3, págia 5, h é covexa. A codição do poto médio Vamos agora apresetar mais uma caracterização de fuções covexas e cotíuas, a qual possui diversas aplicações. O que mostraremos é que uma fução cotíua f : I R é covexa se e somete se satisfizer a desigualdade f x+y fx+fy para todos x, y I. Como cometaremos, foi essa caracterização que deu origem histórica à teoria das fuções covexas. Começamos com o seguite resultado, cuja demostração é assaz iteressate: Lema 5. Seja f : I R tal que para todos x, y I. Etão, vale para todo N e para todos x 1,..., x I. x+y f x1 + +x f fx+fy fx 1+ +fx Prova. A prova é feita seguido uma curiosa estratégia de idução 3 : primeiramete mostramos que se a proposição vale para, etão vale para todo úmero da forma k com k N idução para a frete!. Em seguida, provamos que se a proposição vale para m ela vale para m 1 idução para trás!. Com isso, todos os aturais são varridos pelo procedimeto idutivo. 3 Essa estratégia foi ivetada por Cauchy para demostrar 5.33 e foi empregada o presete cotexto por Jese para a referêcia origial, vide ota de rodapé 4 à págia 55. O texto origial de Cauchy é Cours d aalyse de l Ecole Royale Polytechique, premier partie, Aalyse algebrique, Paris 181.

9 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 54/348 Vamos assumir 5.16 válida para algum N ela vale para =, por hipótese. Sejam x 1,..., x I. Etão, x1 + +x f = f x1+x + + x 1+x hipótese 1 f x1 +x + +f x 1 +x 5.15 fx 1+ +fx. Assim, se 5.16 vale para, vale também para e, cosequetemete, para todo úmero da forma k com k N. Isso prova os passos idutivos para a frete. Vamosagoraassumirque5.16valhaparaalgum 4. Sejax 1,..., x 1 I edefia-sex := 1 1 x1 + +x 1. É evidete que x I e teremos, Verifique! Logo, x1 + +x 1 f 1 x 1 + +x = x 1 + +x 1 1 x1 + +x = f hipótese = fx 1 + +fx fx 1 + +fx f x1 + +x 1. 1 Passado o termo 1 f x1+ +x 1 1 para o lado esquerdo da desigualdade, obtemos imediatamete que x1 + +x 1 f 1 = fx 1+ +fx 1 1 provado que 5.16 vale para 1. Isso prova os passos de idução retrógrada e completa a demostração., O seguite resultado apreseta uma caracterização muito útil de fuções covexas: Proposição 5.4 Seja f : I R, cotíua. Etão, f é covexa em I se e somete se satisfizer x+y f fx+fy para todos x, y I Prova. Se f for covexa em I, 5.17 é um caso particular da defiição de covexidade tome-se λ = 1/. Vamos provar que se f é cotíua em I e lá satisfaz 5.17, etão f é covexa em I. Sejam a 1, a N dois úmeros aturais. Sejam também x 1, x I. É claro que a 1 x 1 + a x / a1 + a é um elemeto de I. Como a 1 x 1 +a x = x 1 + +x }{{} 1 +x + +x }{{ } a 1vezes a vezes é uma soma de a 1 + a elemetos de I, podemos evocar o Lema 5., págia 53, em particular, a relação 5.16 com = a 1 +a, e escrever a1 x 1 +a x f a 1 +a a { 1vezes a }}{{ vezes }}{ fx 1 + +fx 1 + fx + +fx = a 1fx +a fx a 1 +a a 1 +a

10 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 55/348 Afirmamos que isso implica que se r Q [, 1], etão f rx 1 +1 rx rfx1 +1 rfx É suficiete tomarmos r Q, 1. Como tal, r é da forma r = p/q com < p < q, sedo p, q N. Se defiirmos a 1 := p e a := q p, teremos a 1, a N e poderemos escrever r = a1 a 1+a e 1 r = a a 1+a. Com essas observações tora-se evidete que a validade de 5.19 segue de Em 5.19, façamos agora o racioal r covergir a λ [, 1], arbitrário. A cotiuidade da f implica que teremos f λx λx λfx1 + 1 λfx. Como isso é válido para qualquer λ [, 1] e quaisquer x 1, x I, a covexidade de f fica estabelecida. Nota histórica. A oção de fução covexa foi itroduzida por Jese 4 em 196. A defiição origial de Jese para fução covexa era a relação Assumido cotiuidade para f, Jese etão seguiu os passos que apresetamos a demostração da Proposição 5.4 e demostrou 5.3 assim como 5.5 que ficou cohecida como desigualdade de Jese. Cometamos, por fim, que a codição de cotiuidade ão pode ser dispesada da Proposição 5.4. Com o uso de bases de Hamel vide discussão à págia 138 e seguites e, em particular, vide a discussão que sucede a Proposição.6, págia 14 é possível costruir fuções ão-cotíuas em R satisfazedo 5.17 para todos x, y R mas que ão são covexas pois seu gráfico é deso em todo R!. Mais duas caracterizações de fuções cotíuas covexas O lema a seguir cotém uma iformação útil que será evocada adiate. Lema 5.3 Seja f : I R uma fução covexa. Etão, dado qualquer itervalo compacto [a, b] I com < a < b <, o máximo de f esse itervalo é alcaçado em um dos seus potos extremos, a ou b, ou seja, max{fx, x [a, b]} = max{fa, fb}. Prova. Para todo λ [, 1] tem-se, evidetemete, λfa + 1 λfb max{fa, fb}. Se x [a, b], etão x = λ a+1 λ b para algum λ [, 1]. Logo, fx = f λ a+1 λ b λ fa+1 λ fb max{fa, fb}. Claro é que essa desigualdade fx max{fa, fb} é uma igualdade se x for igual a a ou b. OestudatedeveotarquearecíprocadoLema5.3ãoéverdadeira: afuçãocosseorestritaaoitervaloi = [, π] é cotíua e satisfaz max{cosx, x [a, b]} = max{cosa, cosb} para todo compacto [a, b] [, π]. Mas a fução cosseo ão é covexa em [, π]. Em verdade, toda fução f defiida em um itervalo fechado [A, B], cotíua, sem ehum máximo local exceto, evetualmete, os potos A e B satisfaz max{fx, x [a, b]} = max{fa, fb} para todo [a, b] [A, B]. A proposição que segue, mecioada em [137], apreseta uma caracterização de covexidade para fuções cotíuas. Ela mostra o que é ecessário supor adicioalmete para que se obteha uma recíproca à afirmação do Lema 5.3. Proposição 5.5 Seja f : I R uma fução cotíua. Etão, f é covexa se e somete se para todo α R o máximo da fução φ α x := fx+αx em um itervalo compacto arbitrário [a, b] I for sempre assumido em um dos extremos do mesmo. Em outras palavras, f é covexa se e somete se para todo α R valer max{φ α x, x [a, b]} = max{φ α a, φ α b} em todo compacto [a, b] I. Prova. É trivial costatar que φ α x := fx+αx é covexa se e somete se f o for. Logo, pelo Lema 5.3, págia 55, os máximos da fução φ α em um itervalo compacto arbitrário [a, b] I são assumidos em um dos extremos do mesmo. Vamos agora supor a recíproca, ou seja, que os máximos da fução φ α em um itervalo compacto arbitrário [a, b] I são assumidos em um dos extremos do mesmo. Assim, temos fx + αx M para todo x [a, b], ode M := max{fa + αa, fb + αb}. Escrevamos x [a, b] a forma x = λa + 1 λb com λ [a, b]. Temos, portato, f λa+1 λb +α λa+1 λb M, ou seja, f λa+1 λb M α λa+1 λb. 4 Joha Ludwig William Valdemar Jese O trabalho origial de Jese é: J. L. W. V. Jese, Sur les foctios covexes et les iégalités etre les valeurs moyees, Acta Math. 3,

11 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 56/348 Subtraido λfa+1 λfb de ambos os lados dessa desigualdade, teremos f λa+1 λb λfa 1 λfb M λ fa+αa 1 λ fb+αb. Observe-se agora que essa desigualdade deve, por hipótese, ser verdadeira para todo α R e que seu lado esquerdo idepede de α. Se escolhermos α = fa fb /b a, teremos fa + αa = fb + αb = M. Nesse caso, o lado direito da desigualdade aula-se e cocluímos que f λa+1 λb λfa+1 λfb. Como a e b são arbitrários em I com a < b e λ [, 1] é igualmete arbitrário, isso estabeleceu que f é covexa em todo I. A proposição que segue, também mecioada em [137], apreseta mais uma codição equivalete à covexidade para fuções cotíuas. Proposição 5.6 Seja f : I R uma fução cotíua. Etão, f é covexa se e somete se satisfizer para todo x I e todo h > tal que x±h I. fx 1 h x+h x h ft dt. 5. Cometário.A Proposição 5.6 está a raíz da defiição das chamadas fuções sub-harmôicas, tema do qual ão trataremos aqui. Prova da Proposição 5.6. Se f é cotíua e covexa etão, por 5.15, vale fx 1 fx+t+fx t para todos x I e x±t I. Itegrado-se ambos os lados t a variável t com t o itervalo [, h], teremos hfx 1 h h fx+tdt, como facilmete se vê, e isso equivale a 5.. Vamos agora supor que f seja cotíua e satisfaça 5.. Seja α R. É elemetar costatar que para todo h > vale αx = 1 x+h h x h αt dt. Logo, φ α x 1 x+h φ α t dt, 5.1 h com φ α x := fx + αx. Seja [a, b] I um itervalo compacto e seja um itervalo [x h, x + h] [a, b] com as seguites propriedades: 1 o φ α y φ α x para todo y [x h, x + h] e o existe y [x h, x + h] tal que φ α y < φ α x. Como φ α é cotíua, teremos 1 x+h h x φ h αt dt < φ α x. Isso cotraria 5.1 e, portato, devemos ter φ α y φ α x para todo y [x h, x +h]. Como isso vale para todo itervalo [x h, x +h] [a, b], segue que max{φ α x, x [a, b]} = max{φ α a, φ α b}. Pela Proposição 5.5, págia 55, isso implica que f é covexa. x h A desigualdade de Hermite-Hadamard Proposição 5.7 Seja f : I R uma fução covexa. Etão, f satisfaz a+b f 1 b ft dt fa+fb b a para todos a, b I com a < b. a 5. A desigualdade 5. é cohecida como desigualdade de Hermite 5 -Hadamard 6, ou simplesmete como desigualdade de Hadamard. Prova da Proposição 5.7. Tomado h = b a/ e x = a+b/ em 5., obtemos a primeira desigualdade f a+b 1 b b a a de f, ft dt. Com a mudaça de variáveis t = λb a+a = λb+1 λa para λ [, 1], temos, pela covexidade b 1 ft dt = b a a completado a prova. 1 f λb+1 λa dλ covex. 1 [ ] fbλ+fa1 λ dλ = fa+fb, 5 Charles Hermite Jacques Salomo Hadamard

12 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 57/ Fuções Covexas de Várias Variáveis Fuções covexas em R No que segue, cosideraremos cojutos covexos C R que sejam também de dimesão, isto é, que sejam tais que o meor subespaço que cotém C seja R. Seja C R um cojuto covexo. Uma fução f : C R é dita ser uma fução covexa se para todos x, y C e todo λ [, 1] valer a desigualdade f λx+1 λy λfx+1 λfy. 5.3 Uma fução f : C R é dita ser uma fução côcava se para todos x, y C e todo λ [, 1] valer a desigualdade f λx+1 λy λfx+1 λfy. 5.4 É elemetar costatar que f é côcava se e somete se f for covexa, sedo, portato, suficiete estudar propriedades gerais de fuções covexas. Mais adiate, o Corolário 5.4, págia 59, provaremos que se f : C R é covexa ou côcava, etão f é cotíua em C, o iterior de C. Se f : C R é uma fução covexa, etão ela é uma fução covexa de cada uma de suas variáveis idividualmete: tomemos, por exemplo, x, y C a forma x x 1, x,..., x e y y 1, x,..., x. Etão, a covexidade de f implica que f λx 1 +1 λy 1, x,..., x λf x1, x,..., x +1 λf y1, x,..., x, que correspode à afirmação que f é covexa equato fução de sua primeira variável. Para as demais variáveis idividualmete tem-se o mesmo. A recíproca, porém, ão é ecessariamete verdadeira: se f é covexa em cada uma de suas variáveis idepedetemete, ela ão é ecessariamete covexa equato fução de suas variáveis. Como cotraexemplo, tome-se a fução f : R R dada por fx 1, x := x 1 x. É fácil ver que f é covexa como fução de x 1 e de x separadamete, mas ela ão pode satizfazer 5.3 se, por exemplo, tomarmos x 1 >, x =, y 1 =, y > e λ, 1. Verifique! O exercício a seguir mostra uma maeira de se obter uma fução covexa em +1 variáveis a partir de uma fução covexa de variáveis. E. 5.6 Exercício. Seja C um cojuto covexo em R e seja f : C R uma fução covexa de variáveis em C. Seja gx, t := tft 1 x uma fução de +1 variáves defiida em D := { x, t R +1 t > e t 1 x C } R +1. Mostre que D é um cojuto covexo em R +1 em verdade, um coe covexo em R +1 e mostre que g é uma fução covexa de +1 variáveis em D, ou seja, mostre que g λx, t+1 λx, t g λx+1 λx, λt+1 λt λg x, t+1 λg x, t para todos x, t, x, t D e λ [, 1]. Sugestão: Use o fato que 1 λx+1 λx = λt+1 λt λt λt+1 λt 1 1 λt 1 t x+ λt+1 λt t x, ote que a soma dos termos etre parêteses do lado direito vale 1 e use a covexidade de C e de f. E. 5.7 Exercício. Mostre que toda semi-orma em um espaço vetorial real é uma fução covexa sobre o mesmo. Nocasoem quef : C R éduasvezesdifereciável, aproposiçãoquesegueforececodiçõesecessáriasesuficietes à covexidade. Proposição 5.8 Seja C R um cojuto covexo e seja f : C R uma fução cotíua e duas vezes difereciável o iterior C de C. Etão, f é covexa se e somete se f x ai a j 5.5 x i x j i, j=1 para todo x C e para todo a 1,..., a j R.

13 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 58/348 Nota. A codição 5.5 é satisfeita se e somete se todos os auto-valores da matriz Hessiaa 7 H ij x := f x i x x, i, j {1,..., }, forem j ão-egativos. Prova da Proposição 5.8. Para x, y C defia-se a fução de uma variável g x,y t := f x+ty x, t [, 1]. Para t 1, t [, 1] temos g x,y λt1 +1 λt = f λ x+t 1 y x +1 λ x+t y x, g x,y t 1 = f x+t 1 y x, g x,y t = f x+t y x, para todo λ [, 1]. Dessas três relações prova-se facilmete que f é covexa em C se e somete todas as fuções g x,y, x, y C, forem fuções covexas de uma variável. A fução g é duas vezes difereciável, pois f o é. Assim, pelo Corolário 5., págia 5, f é covexa se e somete se para todos x, y C valer g x,y. Agora, pela regra da cadeia, g x,yt = i, j=1 Logo, teremos g x,y para todos x, y C se e somete se f x i x j x+ty x yi x i y j x j. i, j=1 para todo x C e para todo a 1,..., a j R. f x i x j x ai a j Fuções covexas em espaços vetoriais ormados e sua cotiuidade Vamos agora cosiderar uma importate geeralização da ossa discussão para espaços vetoriais reais ormados. A leitura do que segue requer oções de topologia de espaços métricos, como espaços vetoriais ormados, temas tratados em capítulos posteriores. O pricipal resultado é: Proposição 5.9 Seja V um espaço vetorial real dotado de uma orma, seja C V covexo, com iterior C ão-vazio, e seja f : C R uma fução covexa em C. Se f for limitada superiormete em C, ou seja, se possuir um majorate superior fiito S := sup{fx, x C} <, etão f é cotíua em C, o iterior de C. Se f : C R côcava em C e limitada iferiormete em C, ou seja, tal que I := if{fx, x C} >, etão, f é cotíua em C, o iterior de C. Prova. Provaremos apeas a afirmação para fuções covexas, pois a afirmação para fuções côcavas decorre imediatamete da mesma trocado-se f por f. Vamos supor que existe z C tal que f ão seja cotíua em z. Etão, existe ǫ > tal que para cada δ > é possível ecotrar um x V tal que z x < δ mas com fz fx > ǫ cotrariamete, f seria cotíua em z. Como z C e C é um cojuto aberto, existe r > tal que a bola aberta de raio r cetrada em z, Br, z := { y V y z < r }, está iteiramete cotida em C : Br, z C. Vamos escolher λ, 1] tal que 7 Ludwig Otto Hesse λ λ > S fz ǫ. 5.6

14 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 59/348 Que uma tal escolha sempre é possível segue do fato que a imagem da fução, 1] λ λ 1 1 é [,, como se vê facilmete. Segue de 5.6 que ǫ > S fz+ǫ, λ 5.7 relação que usaremos adiate. Tomemos δ = rλ. Etão, pelo que afirmamos acima, existe x V tal que x z < δ = rλ mas fz fx > ǫ. Note-se que, como λ, 1], tem-se que δ r e, portato, x Br, z C. Como fz fx > ǫ, há duas situações possíveis: situação a: fx > fz+ǫ e situação b: fx < fz ǫ. Situação a: fx > fz+ǫ. Seja y V dado por y := 1 1 λ x λ λ z. Teremos y z = 1 λ x z < δ λ = r, de modo que y Br, z C. Porém, temos x = λy +1 λz e como f é covexa, temos fx λfy+1 λfz. Logo, fy 1 1 λ fx λ λ fz > 1 1 λ fz+ǫ λ λ fz = fz+ ǫ λ 5.7 > S+ǫ. Assim, obtivemos, fy > S+ǫ > S, o que cotraria a defiição de S, mostrado que a situação a é impossível. Situação b: fx < fz ǫ. Seja y V dado por y := 1 λ z 1 λ λ x. Teremos y z = 1 λ λ x z < 1 λδ λ = 1 λr < r, de modo que y Br, z C. Porém,temos z = λy+1 λx e como f é covexa, temos fz λfy+1 λfx. Logo, fy 1 1 λ fz λ λ fx > 1 1 λ fz fz ǫ = fz+ǫ1 λ λ λ λ 5.6 > S. Assim, obtivemos, fy > S, oque ovametecotrariaadefiiçãodes, mostradoque asituaçãobtambéméimpossível. A resolução dessas cotradições é que um tal poto z C ode f é descotíua ão pode existir. Cometários à Proposição 5.9 Se V for um espaço vetorial real ormado e f : V R for um fucioal liear em V, etão f é uma fução covexa e côcava o cojuto covexo V. Se V ão for um espaço de dimesão fiita, liearidade ão ecessariamete faz de f uma fução cotíua. Há exemplos bem cohecidos de fucioais lieares descotíuos de um espaço ormado em R ou C, como o fucioal delta de Dirac discutido à págia 56. Assim, podem existir fuções covexas ou côcavas ão-cotiuas em espaços ormados de dimesão ifiita 8 e aí reside a relevâcia de resultados como os da Proposição 5.9. É de se otar também que a codição de limitação superior iferior listada a Proposição 5.9 é suficiete, mas ão é ecessária para que uma fução covexa côcava seja cotíua o iterior do seu domíio covexo de defiição. Segudo a Proposição 41.1, págia 55, se V é um espaço vetorial ormado, um fucioal liear f : V R é cotíuo se e somete se sup{ fx, x V, x = 1} <. Fucioais lieares f : V R que satisfaçam essa codição de cotiuidade ão são limitados em superior em iferiormete em V segudo a defiição que usamos acima. Cotiuidade o caso de dimesão fiita No caso em que V é um espaço vetorial real ormado de dimesão fiita como R, a codição de uma fução f : V R covexa côcava ser limitada superiormete iferiormete é dispesável para a cotiuidade: Corolário 5.4 Seja C R, covexo, e seja f : C R uma fução covexa ou côcava em C. Etão, f é cotíua em C, o iterior de C. 8 Todo o Capítulo 4, págia 39, é dedicado a operadores lieares ão-cotíuos.

15 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 6/348 Prova. Cosideramos apeas o caso em que f é covexa, pois o outro é aálogo. Seja a C. Etão, é possível ecotrar r > talquebr, a, abolaabertaderaior cetradaema, estáiteirametecotidaemc. Detrodessabolaépossível ecotrar um cojuto fiito v 1,..., v +1 de potos tais que o cojuto C := {λ 1 v 1 + +λ +1 v +1, λ 1,... λ +1 [, 1] com λ λ +1 = 1} é uma vizihaça covexa de a. Pela covexidade de f, temos para todo poto x = λ 1 v 1 + +λ +1 v +1 de C que fx λ 1 fv 1 + +λ +1 fv +1 max{fv 1,..., fv +1 }. Logo, f é limitada superiormete o covexo C e, pela Proposição 5.9, págia 58, f é cotíua em C e, em particular em a. Como a é um poto arbitrário de C a demostração está completa. 5. Algumas Cosequêcias da Covexidade e da Covavidade Da propriedade de covexidade ou cocavidade de fuções é possível obter desigualdades muito úteis das quais faremos uso em outros mometos estas Notas. Nesta Seção apresetaremos e demostramos algumas delas, como a importate desigualdade de Jese, a primeira desigualdade de Youg e algumas outras desigualdades decorretes da cocavidade da fução logaritmo ou da covexidade da fução expoecial. Todas essas desigualdades são relevates e possuem aplicações diversas da Mecâica Estatística e Termodiâmica à Aálise Fucioal A Desigualdade de Jese Vamos agora apresetar uma importate geeralização da desigualdade 5.5. Por simplicidade, cosideraremos aqui fuções covexas f : R R defiidas em todo R, mas é fácil perceber que é possível também cosiderar fuções covexas defiidas em itervalos meores, desde que as devidas restrições sejam feitas às demais fuções evolvidas. Proposição 5.1 Desigualdade de Jese Seja f : R R covexa. Seja p : R [, uma fução positiva e itegrável, ou seja, tal que P := ptdt <. Seja g : R R uma fução itegrável a medida ptdt, ou seja, tal que gt ptdt <. Etão, vale P f gtptdt f P gt pt dt. 5.8 Essa desigualdade é deomiada desigualdade de Jese. Um caso particular importate é aquele o qual a fução p represeta uma distribuição de probabilidades e temos P = 1. Nele, a desigualdade de Jese assume a forma f gtptdt f gt pt dt. 5.9 O estudate deve perceber que5.5 é um caso particular de 5.9. O estudate mais avaçado deve também perceber ao logo da demostração que 5.8 permacece válida se ptdt for substituida por qualquer medida positiva e fiita dµ em R com P := dµ e que 5.9 permaece válida se ptdt for substituida por qualquer medida de probabilidade R dµ em R. Prova da Proposição 5.1. A desigualdade 5.1, págia 5, afirma que, para todo y R podemos escrever fy α x y +β x, ode α x := f ± x e β x := fx xf ± x, sedo x R, arbitrário. Tomado-se y Pgt, temos Logo, como p é ão-egativa, temos também f Pgt α x Pgt+β x. f Pgt pt α x Pgtpt+β x pt.

16 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 61/348 Itegrado-se, obtemos f Pgt pt dt α x P gtpt dt+β x P = f ±xp gtpt dt +Pfx Pxf ±x, com x R, arbitrário. Tomado-se e x gtptdt, o primeiro e o terceiro termo do lado direito cacelam-se e obtemos, fialmete, f Pgt pt dt Pf gtptdt, que é a desigualdade de Jese A Primeira Desigualdade de Youg Nosso resultado a correte seção será uma desigualdade útil que deomiamos primeira desigualdade de Youg 9. Proposição 5.11 Primeira Desigualdade de Youg Sejam dois itervalos [, α e [, β, ode < α e < β e seja F : [, α [, β uma fução cotíua, ão-egativa, crescete, bijetora e satisfazedo F =. Etão, para todos x [, α e x [, β vale xy x Fs ds+ Essa desigualdade é deomiada aqui primeira desigualdade de Youg. y F 1 t dt. 5.3 A desigualdade 5.3 tem uma iterpretação geométrica muito simples, que descrevemos a Figura 5.3, págia 6. Para geeralizações da desigualdade 5.3, vide e.g. [137]. Prova da Proposição Como F : [, α [, β uma fução cotíua, ão-egativa, crescete, bijetora e satisfaz F 1 =, sua iversa F 1 : [, β [, α é igualmeete cotíua, ão-egativa, crescete, bijetora e satisfaz F 1 =. Defia-se, para x [, α e y [, β as fuções Ax := x Fs ds e By := y F 1 t dt. A e B são cotíuas e difereciáveis com A x = Fx e B y = F 1 y e, pelo Corolário 5.3, págia 53, ambas são covexas, já que F e F 1 são crescetes. Afirmamos que vale a idetidade By = Cy para todo y [, β, ode Cy := F 1 y y Fs ds. De fato, C é cotíua e difereciável pois F 1 é cotíua e tem-se 1 C y = y F F 1 y F 1 y + y Fs ds = y F 1 y ds = F 1 y = B y, e como B = e C = pois F 1 =, segue que By = Cy para todo y [, β. 9 William Hery Youg Aqui, usa-se a idetidade prove-a! d dy hy Jy, s ds = J y, hy hy J + y, s ds, y válida para hy cotíua e Jy, s cotíua e difereciável, com Jy, s cotíua. y

17 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 6/348 Agora, a idetidade By = Cy permite escrever B Fx = C Fx = Estabelecemos, portato, que F 1 Fx para todo x [, α, relação que logo usaremos. Fx Fs ds = Da covexidade estrita de B e do Corolário 5.1, págia 5, segue que para todos y, y [, β. Tomado-se y = Fx, teremos x Fx Fs ds = xfx Ax. xfx = Ax+B Fx 5.31 By y y F 1 y +By By > y Fx x+b Fx 5.31 = xy B Fx Ax+B Fx e, portato, provamos que para todos x [, α e y [, β. xy Ax+By F 1 F y Figura 5.3: O gráfico de uma fução cotíua, bijetora, positiva e crescete F, com F =. A área em ciza claro vale x Fs ds. A área em ciza escuro vale y F 1 t dt. O retâgulo de lados x e y é represetado em lihas tracejadas e sua área xy é claramete meor ou igual à soma das duas áreas acizetadas, que vale x Fs ds+ y F 1 t dt. Essa é a iterpretação geométrica da Primeira Desigualdade de Youg 5.3. x E. 5.8 Exercício. Tomado-se Fx = e x 1 em 5.3, obteha a desigualdade 1+x1+y e x +1+yl1+y, x, y. Demostre alterativamete sua validade estudadoos míimos da fução e x +1+yl1+y 1+x1+y pelo método covecioal.

18 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 63/348 Na desigualdade 5.3, o lado esquerdo é uma fução simétrica de x e y, mas o lado direito ão é. Isso pode ser remediadosimetrizado-seo lado direito o itervalocomum a F e F 1, a saber, [, γ, ode γ = mi{α, β}. Obtem-se, etão, esse itervalo xy 1 x Fs ds+ y Fs ds + 1 x F 1 t dt+ y F 1 t dt Médias Geométricas, Aritméticas e Desigualdades Correlatas A desigualdade etre média geométrica e média aritmética Acocavidadedafuçãolxtem algumascosequêciasrelevates. Para N, sejamx 1,..., x úmerospositivos e sejam λ 1,..., λ [, 1] tais que λ 1 + +λ = 1. Como lx é côcava, 5.6 garate-os que lλ 1 x 1 + +λ x λ 1 lx 1 + +λ lx = l x λ1 1 xλ. Tomado-se a expoecial dessa desigualdade, obtemos x λ1 1 xλ λ 1 x 1 + +λ x. 5.3 Note-se que se λ 1,..., λ, 1 essa desigualdade é válida mesmo que algus x k s sejam ulos. A expressão λ 1 x λ x é deomiada média aritmética poderada do cojuto de úmeros ão-egativos {x 1,..., x } poderada pelos fatores λ 1,..., λ e a expressão x λ1 1 xλ é deomiada média geométrica poderada do cojuto {x 1,..., x }. A desigualdade 5.3 afirma, portato, que a média geométrica poderada de um cojuto fiito de úmeros ão-egativos é sempre meor que a sua média aritmética poderada. Em [137] o leitor poderá ecotrar diversas outras demostrações da desigualdade 5.3. Sejam x 1,..., x úmeros ão-egativos. Defiimos suas médias geométrica e aritmética simples por 1 x 1 x, respectivamete. Elas correspodem ao caso em que λ 1 = = λ = 1. Temos de 5.3, portato, e x1+ +x x1 x 1 x 1 + +x, 5.33 ou seja, a média geométrica de uma coleção fiita de úmeros ão-egativos é sempre meor ou igual à média aritmética da mesma coleção. Esse resultado é origialmete atribuido a Cauchy 11 e pode ser provado de diversas formas. Cauchy obteve-o, ão usado a cocavidade do logaritmo, como fizemos, mas por idução para uma tal prova, vide e.g. [137]. A desigualdade de Youg Na demostração da chamada desigualdade de Hölder em espaços L p assuto discutido as Seções e , págias1339e153,respectivametefaz-seusodeumadesigualdadeelemetarcohecidacomodesigualdade de Youg 1. Como a desigualdade de Youg tem iteresse por si só e algumas outras aplicações, vamos apresetar sua demostração. Como já discutimos, a fução logaritmo é côcava como fução do itervalo, sobre R. Assim, para todos a, b, e todo λ [, 1] tem-se l λa+1 λb λla+1 λlb = l a λ b 1 λ. Tomado-se a expoecial de ambos os lados, obtemos a λ b 1 λ λa+1 λb Note-se que se λ, 1, etão 5.34 é também válida caso a = e/ou b =. A desigualdade 5.34 é por vezes deomiada desigualdade de Youg. Como se vê, trata-se meramete de um caso particular de 5.3 para =. Por vezes a desigualdade de Youg é apresetada de forma ligeiramete diferete. Sejam p e q ambos tais que 1 < p < e 1 < q <, mas tais que 1 p + 1 = 1. Etão, por 5.34, temos para a, b [,. q a 1/p b 1/q a p + b q, Augusti Louis Cauchy William Hery Youg

19 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 64/348 sedo que a igualdade só é válida caso a = b isso segue do fato de o logaritmo ser estritamete côcavo. Vide, porém, ota logo abaixo. A desigualdade dita de Youg 5.35 é bastate elemetar, mas ela foi origialmete provada a partir do resultado mais geral e ão-trivial expresso a primeira desigualdade de Youg, a desigualdade 5.3 da Proposição 5.11, págia 61. E. 5.9 Exercício. Tomado Fs = s p 1 com 1 < p <, para s, obteha da primeira desigualdade de Youg 5.3 a desigualdade Há aida uma terceira desigualdade para produtos de covolução também deomiada desigualdade de Youg e que é vagamete relacioada às desigualdades 5.35 e 5.3. Vide, e.g., [16]. Nota.Por completeza, apresetemos uma seguda demostração de 5.35 sem uso da cocavidade. Notemos, em primeiro lugar, que se a = ou b = a 5.35 acima é trivialmete satisfeita, pois o lado esquerdo é sempre zero, equato que o lado direito é sempre maior ou igual a zero. Vamos, etão, supor que a e b sejam ambos ão-ulos. Tudo o que queremos é provar que a 1/p b 1/q + a p + b q t α +αt+ 1 q igual a zero. Podemos escrever a última expressão como b equato que t. Note-se que a fução fx = x α +αx+ 1 q, é sempre maior ou, ode α = 1/p e t = a/b. Como 1 < p <, temos que < α < 1 é cotíua para x [, e que, para x >, tem-se f x = α 1 x α 1 e f x = α1 αx α >. Assim, fx tem um úico míimo local em x = 1, ode f1 = verifique. Fora isso, f = 1 q > e lim fx = +. Desses fatos cocluímos facilmete que fx para x todo x, a igualdade só se dado caso x = 1. Isso fecha o que queríamos provar. E. 5.1 Exercício. Mostre que o caso < p < 1 a desigualdade 5.35 se reverte deve ser substituído por. Nesse caso q <. Desigualdades evolvedo somas de potêcias As desigualdades apresetadas a seguite proposição são muito úteis, especialmete para o propósito de demostrar que os cojutos de sequêcias l p são espaços vetoriais vide Seção 7.5.1, págia 1339, o mesmo se dado com os cojutos de fuções L p M, dµ dos quais trataremos o Capítulo 33, págia Proposição 5.1 Sejam a e b dois úmeros reais ão-egativos. I. Para todo p tal que < p < 1 tem-se II. Para todo p tal que p 1 tem-se p 1 a p +b p a+b p a p +b p a p +b p a+b p p 1 a p +b p Prova. Apresetamos separadamete as demostrações para os casos I e II. Caso I. Tomemos < p < 1 fixo. Vamos primeiramete provar a seguite desigualdade: para quaisquer a, b vale a+b p a p +b p Para a = isso é óbvio. Seja, etão, a >. Nesse caso, podemos fatorar a p e a desigualdade acima ficaria, 1+ a b p p b 1+. a Para provar isso, tudo o que desejamos é provar que fx := 1+x p 1 x p satisfaz fx para todo x. De fato, tem-se, ] f x = px [1 p p x

20 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 65/348 Como 1+ 1 x 1 e 1 p >, segue que f x para todo x. Com isso, provamos que f é ão-crescete. Como f =, segue que fx para todo x. Isso provou Vamos agora provar que p 1 a p +b p a+b p. 5.4 Para x e < p < 1 a fução ϕx = x p é côcava. Portato, para qualquer λ com λ 1, tem-se λϕa+1 λϕb ϕλa+1 λb. Para λ = 1/, isso fica ap +b p a+b p, que é 5.4, e a prova de 5.36 está completa. Caso II. Para o caso p = 1 a desigualdade 5.37 é evidete. Tomemos, etão, p > 1 fixo. Vamos primeiramete provar a seguite desigualdade: para quaisquer a, b vale a p +b p a+b p Para a = isso é óbvio. Seja, etão, a >. Nesse caso, podemos fatorar a p e a desigualdade acima ficaria, 1+ a b p p b 1+. a Para provar isso, tudo o que desejamos é provar que fx := 1+x p 1 x p satisfaz fx para todo x. Agora, por 5.39, f x = px [1 p ] p 1. x Como 1+ 1 x 1 e p 1 >, segue que f x para todo x. Com isso provamos que f é crescete. Como f =, segue que fx para todo x, provado o que queríamos. Vamos agora provar que a+b p p 1 a p +b p. 5.4 Para x e p > 1 a fução ϕx = x p é covexa. Portato, para qualquer λ com λ 1, tem-se ϕλa+1 λb λϕa+1 λϕb. Para λ = 1/, isso fica a+b p a p +b b, que é 5.4, e a prova de 5.37 está completa. Um corolário útil é: Corolário 5.5 Para < q < e para todos z, w C vale Para q e para todos z, w C vale z +w q + z w q z q + w q z +w q + z w q q 1 z q + w q O Corolário 5.5 pode ser usado para obter-se certas geeralizações da idetidade do paralelogramo a forma de desigualdades em espaços l p, com p 1. Vide relações 7.49 e 7.5, págia Prova do Corolário 5.5. Para z, w C e com < p < 1, tomemos a = z +w e b = z w a primeira desigualdade em Obtemos, z +w p + z w p 1 p z +w + z w p. Agora, z +w + z w = z + w. Assim, z +w p + z w p 1 p p z + w p.

21 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de dezembro de 17. Capítulo 5 66/348 Agora, tomemos a = z e b = w a seguda desigualdade em Teremos z + w p z p + w p. Assim, estabelecemos que z +w p + z w p 1 p p z p + w p que é 5.43 com q = p. Provemos agora Para z, w C e com p 1, tomemos a = z +w e b = z w a primeira desigualdade em Obtemos, z +w p + z w p z +w + z w p = p z + w p. Agora, adotemos a = z e b = w a seguda desigualdade em Obtemos, z + w p p 1 z p + w p. Assim, temos z +w p + z w p p 1 z p + w p. Tomado-se q = p essa é a desigualdade A Desigualdade de Mikowski Uma importate desigualdade empregada do estudo de espaços métricos e a Aálise Fucioal é a chamada desigualdade de Mikowski 13. Apresetaremos adiate demostrações dessa degualdade am algumas istâcias, fazedo uso cetral da covexidade da fução fx = x p a região x >, sedo p 1. Outras demostrações dessa desigualdade podem ser ecotradas a Seção 7.5.1, págia 1339, e a Seção , págia 153. A estratégia que seguimos a presete seção provém de [74]. Proposição 5.13 Desigualdade de Mikowski para sequêcias fiitas Seja p 1. Para N, sejam, a k C e b k C, k = 1,...,. Etão, vale a desigualdade [ 1/p [ 1/p [ ak +b k p] 1/p ak p] + bk p], 5.45 cohecida como desigualdade de Mikowski para sequêcias fiitas. Prova. Se todos os a k s forem ulos ou se todos os b k s forem ulos, etão 5.45 é evidete. Vamos, etão, supor que A := [ 1/p [ 1/p a k p] e B := a k p]. É claro que a k +b k a k + b k e, portato, a k +b k p a k + b k p. Assim, podemos escrever que a k +b k p a k + p b k = A+B p A A+B ak A + B A+B p bk A Agora, como A+B + B A+B = 1, com ambos os termos positivos, vemos que A a k A+B A + B b k A+B B é uma combiação liear covexa dos úmeros a k A e b k B. Como a fução fx = xp é covexa a região x > quado p 1, segue que A ak A+B A + B p bk A+B B Retorado com isso a 5.46, ficamos com A A+B ak A p + B A+B ak +b k p A+B p 1 [ A 1 p ak p +B 1 p bk p ]. B p bk. B 13 Herma Mikowski