Polinomiais e Séries de Fourier

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1 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 83/349 Capítulo 38 Aproximação de Fuções. Aproximações Poliomiais e Séries de Fourier Coteúdo N 38. Noções de Covergêcia para Sequêcias de Fuções Importâcia da Covergêcia Uiforme Troca de Ordem etre Limites e Itegrais Troca de Ordem etre Limites e Derivadas Troca de Ordem etre Derivadas e Itegrais Sequêcias Delta de Dirac Aproximação de Fuções por Poliômios O Teorema de Weierstrass O Teorema de Taylor Aproximação de Fuções por Poliômios Trigoométricos Prelimiares A Série de Fourier de Fuções Periódicas de Período T Poliômios Trigoométricos e Fuções Cotíuas e Periódicas Covergêcia de Séries de Fourier Séries de Fourier em Seos ou Cosseos para Fuções Defiidas em Itervalos Compactos Revisitado a Aproximação Uiforme de Fuções Cotíuas e Periódicas por Poliômios Trigoométricos Séries de Fourier e o Espaço de Hilbert L [, π], dx O Teorema de Stoe-Weierstrass Exercícios Adicioais APÊNDICES A Prova do Teorema de Weierstrass Usado Poliômios de Berstei B A Demostração de Weierstrass do Teorema de Weierstrass a Física e também em diversas áreas da Matemática Aplicada, estamos muitas vezes iteressados em resolver problemas cuja solução ão pode ser obtida exatamete. No caso de equações difereciais, por exemplo, são muito raras as situações as quais uma solução pode ser expressa em termos de fuções elemetares, tais como poliômios, expoeciais, logaritmos, seos, cosseos ou combiações fiitas das mesmas. Na grade maioria dos casos apresetam-se métodos de solução em termos de aproximações que, sob hipóteses adequadas, podem estar tão próximas quato se queira da solução correta. É, portato, uma questão importate desevolver métodos de aproximar fuções com certas propriedades e é disso, basicamete, que trataremos este capítulo. Não pretedemos aqui esgotar o assuto, o que ademais seria impossível, dada a sua extesão, mas tratar de dois tipos fudametais de aproximações de fuções: as aproximações por poliômios e as aproximações por poliômios trigoométricos. Este último tópico é o domíio das chamadas séries de Fourier e suporemos que o leitor já possua alguma familiaridade com seus aspectos mais elemetares e suas aplicações. Como veremos, aproximações por poliômios e por poliômios trigoométricos são dois assutos relacioados. Ambos os métodos de aproximação estão também a raiz de muitos outros desevolvimetos, comoa teoriados espaçosde Hilbert, e mesmo em temas mais abstratos, comoa Álgebrade Operadores. Sua utilização prática é eorme e ambos os assutos têm domiado boa parte das aplicações da Matemática a problemas de Física e de Egeharia desde o século XVIII. 38. Noções de Covergêcia para Sequêcias de Fuções Em beefício do estudate, vamos recordar brevemete a correte seção algumas das oções e resultados básicos sobre covergêcia de sequêcias de fuções defiidas em R ou em subcojutos de R, oções e resultados esses que utilizaremos o que segue. Presumimos que o estudate já teha sido exposto a esses temas e um tratameto mais detalhado que o osso pode ser ecotrado em quaisquer bos livros de Cálculo ou Aálise real. Algumas das oções aqui tratadas são também desevolvidas com muito mais detalhe o Capítulo 7, págia 33, mas a leitura prévia desse capítulo, aida que útil, é dispesável para o que segue. Seja D um subcojuto de R. As seguites oções de covergêcia são de fudametal importâcia: a. Covergêcia potual. Diz-se que uma sequêcia de fuções f : D C, defiidas em D, coverge potualmete a uma fução f : D C se para cada x D valer lim fx fx. b. Covergêcia uiforme. Diz-se que uma sequêcia de fuções f : D C coverge uiformemete a uma fução f : D C se lim sup f x fx x D. Se uma sequêcia f coverge potualmete a uma fução f, etão f é dita ser o limite potual da sequêcia f. Se uma sequêcia f coverge uiformemete a uma fução f, etão f é dita ser o limite uiforme da sequêcia f. Além da covergêcia uiforme e potual, há diversas outras oções de covergêcia para sequêcias de fuções, das quais destacamos as duas seguites. Sejam a e b R com < a < b <. c. Covergêcia o setido de L [a, b], dx b. Seja f : [a, b] C uma sequêcia de fuções tais que f x dx < a b para todo N. Seja também f : [a, b] C com fx dx <. Dizemos que a sequêcia f coverge a f a o setido de L [a, b], dx b se lim f x fx dx. a d. Covergêcia o setido de L [a, b], dx b. Seja f : [a, b] C uma sequêcia de fuções tais que f x dx < a b para todo N. Seja também f : [a, b] C com fx dx <. Dizemos que a sequêcia f coverge a a f o setido de L [a, b], dx b se lim f x fx dx. a Defiições aálogas existem para o caso de sequêcias defiidas, ão em um itervalo fiito [a, b], mas em itervalos ão-fiitos, como a reta real R ou a semirreta R +. Ates de falarmos sobre a importâcia da covergêcia uiforme, apresetemos um critério importate para que se teha covergêcia uiforme de séries de fuções. O teste M de Weierstrass Em muitas situações lidamos com séries de fuções, ou seja, com sequêcias da forma s x f kx, N, k ode f k são fuções reais defiidas em um certo domíio comum D R. É muito importate esses casos ter em mãos critérios que permitam saber se a sequêcia s coverge uiformemete em D a alguma fução. De particular utilidade esse cotexto é um pequeo resultado devido a Weierstrass, cohecido como teste M de Weierstrass, o qual forece codições suficietes para a covergêcia uiforme de uma série: Proposição 38. Teste M de Weierstrass Seja D R, D ão-vazio, e seja f : D C uma sequêcia de fuções defiidas em D e tais que para cada k exista uma costate M k tal que f kx M k para todo x D. Etão, se a Karl Theodor Wilhelm Weierstraß

2 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 83/349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 série M k for covergete, a sequêcia de fuções s x : f kx coverge uiformemete em D. k Prova. Como a série M k é covergete, a sequêcia de somas parciais M : M k é uma sequêcia de Cauchy e, k k portato, para cada ǫ > existe Nǫ N tal que M M m ǫ sempre que e m forem maiores que Nǫ. Como os M k s são positivos, para m < tem-se M M m M M m M k. Assim, vale M k ǫ sempre que e m forem maiores que Nǫ. k km+ km+ Provemos primeiramete que a sequêcia s coverge potualmete. Fixemos x D e cosideremos, para m <, a difereça s x s mx f kx. Naturalmete, vale s x s mx f kx M k ǫ sempre km+ km+ km+ que e m forem maiores que Nǫ. Isso provou que a sequêcia s x é uma sequêcia de Cauchy de úmeros reais e, portato, coverge a um úmero que deotamos por sx. Como isso se dá para cada x D, cocluímos que existe uma fução s : D C à qual a sequêcia s coverge potualmete. Provemos agora que a sequêcia s coverge uiformemete a essa fução s. Para cada x D vale, como vimos, s x s mx ǫsemprequeemforemmaioresquenǫ. Logo,tomadoessadesigualdadeolimite, teremos sx s mx ǫ sempre que m > Nǫ. Como isso vale para qualquer x D, cocluímos que sup x D sx s mx ǫ sempre que m > Nǫ e isso estabelece que a sequêcia s coverge uiformemete a s em D. O leitor pode facilmete perceber que a Proposição 38. e sua demostração se deixam geeralizar sem problemas para séries de fuções complexas defiidas em domíios complexos D C. Em verdade, a Proposição 38. e sua demostração se deixam facilmete geeralizar aida mais para séries de fuções defiidas em D C assumido valores em um espaço de Baach Importâcia da Covergêcia Uiforme Vamos discutir brevemete algumas das razões da importâcia da oção de covergêcia uiforme. Como cosequêcia dessa discussão, obteremos uma série de resultados muito úteis que garatem codições suficietes para que se possa trocar a ordem de operações evolvedo a tomada de limites, o cálculo de derivadas e o cálculo de itegrais defiidas, trocas essas empregadas amiúde em maipulações em Física e Matemática. Covergêcia uiforme e outras covergêcias É evidete que em qualquer D a covergêcia uiforme de uma sequêcia f a uma fução f implica a covergêcia potual dessa sequêcia à mesma fução. No caso de itervalos [a, b] fiitos, a covergêcia uiforme implica também a covergêcia o setido de L [a, b], dx, pois vale, evidetemete, b a f x fx dx sup f x fx b a 38. x [a, b] e aalogamete para a covergêcia o setido de L [a, b], dx. A recíproca dessas duas afirmações, porém, ão é ecessariamete verdadeira. Por exemplo, a sequêcia de fuções defiidas o itervalo [, ] por x f x :,, < x, para, coverge à fução ula o setido de L [a, b], dx e o setido de L [a, b], dx justifique!, mas ão coverge uiformemete a essa fução justifique!. Limites uiformes de fuções cotíuas em itervalos compactos Um importate resultado que mecioamos é uma propriedade de grade relevâcia de limites uiformes de fuções cotíuas: Proposição 38. Seja D R, ão-vazio, e seja f : D C uma sequêcia de fuções cotíuas que coverge uiformemete a uma fução f : D C. Etão, f é também cotíua. Prova. Para x, y D quaisquer e N qualquer, podemos escrever fx fy fx f x + f x f y + fy fy, do que se extrai fx fy fx fx + fx fy + fy fy. Como a sequêcia f coverge uiformemete a f, existe para cada ǫ > um Nǫ/3 N tal que fx fx < ǫ/3 e fy fy < ǫ/3 desde que escolhamos com > Nǫ/3. Tomemos um tal. Como a fução f é cotíua, existe δǫ/3 tal que f x f y < ǫ/3 desde que x y < δǫ/3. Assim, para cada ǫ > existe δǫ/3 tal que fx fy < ǫ desde que x y < δǫ/3, provado a cotiuidade de f. Resultados aida mais fortes são demostrados a Proposição 7.7, págia Troca de Ordem etre Limites e Itegrais No caso de itervalos fiitos [a, b], a oção de covergêcia uiforme é importate por forecer codições suficietes para garatir a iversão de ordem de limites e itegrais. Mais especificamete, tem-se a seguite afirmação: Proposição 38.3 Seja uma sequêcia f : [a, b] C de fuções cotíuas defiidas em um itervalo compacto [a, b] R que coverge uiformemete esse itervalo a uma fução f : [a, b] C a qual, pela Proposição 38., é também cotíua, etão vale a a lim f xdx b b ou seja, é possível iverter o limite pela itegral defiida. lim fx dx a fx dx 38. b Prova. A demostração segue facilmete da observação que b b fx fx dx a f 38. b a x fx dx sup f x fx, a x [a, b] b b o que implica que lim f xdx fxdx a a se lim sup f x fx x [a, b] Fazemos otar que a codição de covergêcia uiforme da sequêcia f é suficiete, mas ão ecessária para validar a iversão de limites em itervalos compactos descrita em 38.. Citamos o importate exemplo de séries de Fourier de fuções periódicas, cotíuas e difereciáveis por partes. De acordo com o Teorema 38.3, págia 87, as codições do Teorema de Fourier Teorema 38., págia 87 são suficietes para que a iversão de 38. seja válida para uma série de Fourier, mesmo que ão impliquem em covergêcia uiforme dessa série. A troca de limites por itegrais defiidas é uma operação frequetemete realizada em maipulações matemáticas e, ão raro, coduz à solução de diversos problemas em Física. É, portato, útil cohecermos codições sob as quais tal iversão seja permitida. Algus dos teoremas mais fortes essa direção com a itegração etedida o setido de Lebesgue são o Teorema da Covergêcia Moótoa e o Teorema da Covergêcia Domiada, que apresetamos e demostramos a Seção , págia 56. Cotraexemplos a se ter em mete Caso a sequêcia de fuções ão seja uiformemete covergete, etão ão é sempre possível garatir a validade da iversão etre a itegral defiida e a tomada do limite e essa iversão pode, em algus casos, ser falsa. Um exemplo bem.

3 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 cohecido é o da sequêcia de fuções cotíuas x, x, f x : x+, x,, x, com, fuções essas defiidas o itervalo [, ]. Vide Figura 38., págia 834. É fácil costatar que para cada x [, ] vale lim fx, sedo que esse limite ão é uiforme, já que f/ para cada. Ocorre, porém, a a que f xdx para todo. Logo, lim f xdx lim fx dx, pois o lado esquerdo vale e o lado b b direito vale Troca de Ordem etre Limites e Derivadas A Proposição 38.3 tem uma outra cosequêcia útil referete à possibilidade de iversão de limites por derivadas. Proposição 38.4 Seja f : R C, N, uma sequêcia de fuções cotíuas e difereciáveis com derivadas f também cotíuas. Supohamos que a sequêcia f covirja potualmete a uma fução f : R C e que a sequêcia de derivadas f covirja uiformemete em cada itervalo compacto [a, b] R a uma fução g : R C. Etão, g é cotíua e f é difereciável, com f g. Assim, em outras palavras, vale, sob as hipóteses acima, lim df dx x d lim dx fx. Nota.Observamos que as coclusões da Proposição 38.4 podem ser obtidas com hipóteses aida meos restritivas. Vide, e.g., [9]. Provada Proposição A sequêcia de fuções cotíuas f coverge uiformemete a g em cada itervalo compacto [a, b] R e, assim, pela Proposição 38., g é cotíua em todos esses itervalos e, portato, é cotíua em todo R. Tomemos um itervalo compacto [a, x] R, com x a, b]. Como a sequêcia de fuções cotíuas f coverge x uiformemete esse itervalo à fução g, vale pela Proposição 38.3 que lim a f ydy x gydy. A itegral do a lado esquerdo é f x f a. Como a sequêcia f coverge potualmete à fução f, teremos que lim fx f a fx fa. Assim, estabelecemos que x gydy fx fa. O lado esquerdo é cotíuo e difereciável a em x em todo itervalo [a, b], a derivada sedo a fução cotíua gx pelo Teorema Fudametal do Cálculo. Logo, o lado direito é também cotíuo e difereciável em x e sua derivada é f x gx Troca de Ordem etre Derivadas e Itegrais / / Figura 38.: Gráfico de uma fução f defiida em Observe que a área do triâgulo vale para todo. A hipótese feita a Proposição38.3 de que a sequêciaf covergeuiformemete em um itervalo compacto também ão é gratuita, como mostra o seguite cotra-exemplo: Seja f : R R a sequêcia de fuções defiidas por f x :, x, 38.4, de outra forma, com. Etão,f covergeuiformemeteemtoda Ràfuçãoideticameteulajustifique!, mas para todo, mostrado que lim f xdx lim fx dx. f xdx E. 38. Exercício. Cosidere a sequêcia de fuções fx e x/, com N, defiidas o itervalo [,. Mostre que essa sequêcia de fuções coverge uiformemete à fução que é ideticamete ula o itervalo [,. Mostre que vale lim fxdx lim fx dx. Aida que difiram, os limites lim fxdx e lim fx dx são fiitos o exemplo acima. Cosidere, porém, o que ocorre o caso da sequêcia de fuções fx e x/, com N, defiidas o itervalo [,. Mostre que essa sequêcia de fuções também coverge uiformemete, à fução ideticamete ula, mas costate que, esse caso, o limite lim fxdx sequer existe. Tato a Física quato a Matemática em geral, é muito comum ecotrarmos situações as quais temos uma fução φx, t sedo itegrada a variável x em um certo domíio, digamos de e +, resultado em uma fução apeas da variável t, e desejarmos calcular a derivada dessa fução resultate da itegral em relação à variável t, usado para tal a expressão d φ φx, tdx x, tdx, a qual, em um setido formal, a derivação a variável t é trocada dt t de ordem com a itegração em x. Tal troca de ordem é por vezes de grade utilidade em maipulações, por exemplo, a teoria das equações difereciais ordiárias e parciais. Na proposição que segue apresetaremos codições suficietes para garatir que tal troca seja válida. Proposição 38.5 Seja φ : R R C cotíua e supohamos que a derivada parcial x, t R R e seja igualmete cotiua. φ t x, t exista para todos Parte I. Para todo itervalo compacto [a, b] R a fução de t defiida por b φx, tdx é difereciável e vale a b b d dt φx, t dx a Parte II. Vamos adicioalmete supor que valham as seguites hipóteses: a φ x, t dx t a. φx, t dx existe para todo t R; b. φ x, t t dx existe para todo t R; c. a sequêcia de fuções F t : φ x, t x > t dx coverge quado à fução ideticamete ula, uiformemete para t em qualquer itervalo compacto [a, b] R.

4 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 Etão, a fução de t defiida por φx, tdx é difereciável e vale d φ φx, t dx x, t dx. dt t 38.6 Prova da Parte I. Para evitar cofusões a otação, vamos o que segue deotar a derivada parcial φ x por φ e a derivada parcial φ t por φ. Como φ x, t é cotíua, podemos escrever t b b t φ x, τdx dτ φ x, τdτ dx, a a trocado a ordem das itegrais. Agora, t φx, τdτ t φ t x, τdτ φx, t φx, e o lado direito claramete vale b a φx, tdx b a φx, dx. Com isso, estabelecemos que b t φx, tdx Φτdτ +C, 38.7 a ode b b Φτ : φ x, τdx e C : φx, dx. a a Note-se que C é costate, ou seja, idepedete de t. É importate agora provarmos que Φ : R C é cotíua. Vamos provisoriamete restrigir τ ao itervalo compacto [ T, T] para algum T >. Por hipótese, a fução φ x, τ é cotíua e, portato, uiformemete cotíua o domíio compacto [a, b] [ T, T] R. Logo, para todo ǫ > existe δx tal que φ x, τ φ x, τ < ǫ sempre que x x < δǫ e τ τ < δǫ. Em particular, vale que φ x, τ φ x, τ < ǫ sempre que τ τ < δǫ. Logo, se τ τ < δǫ, valerá Φτ Φτ b b b φ x, τdx φ x, τ dx a a φ x, τ φ x, τ dx < b aǫ, a o que prova que Φ : [ T, T] C é cotíua. Como T > é arbitrário, cocluímos que Φ : R C é cotíua, como desejávamos. A cotiuidade de Φ permite afirmar que t Φτdτ é difereciável como fução de t e de 38.7 cocluímos que b φx, tdx é também difereciável como fução de t e vale a d b b φ φx, tdx Φt x, tdx, dt a a t como queríamos estabelecer. Isso termia a prova da Parte I. Prova da Parte II. A hipótese a garate a existêcia da fução f : R C defiida por ft : φx, tdx. Para N, defia-se também a sequêcia de fuções f t : φx, tdx. Se provarmos que f coverge potualmete a f e que f é difereciável e a sequêcia de derivadas f φ coverge uiformemete a x, tdx para t em compactos t [a, b] sedo queessa itegral existe pela hipótese hipótese b, etão poderemos evocar a Proposição 38.4, págia 835 e obter que lim φx, tdx é difereciável como fução de t e que vale d φ lim φx, tdx x, tdx, dt t ou seja, d φ φx, tdx x, tdx, dt t como desejamos. Provemos etão que f coverge potualmete a f. Tem-se f t ft x > φx, tdx x > φx, t dx. Pela hipótese a, tem-se para cada t que lim x > φx, t dx doutra forma φx, t dx ão existiria, provado que para cada t vale lim f t ft, o que diz que f coverge a f potualmete. Por fim, provemos que f é difereciável e a sequêcia de derivadas f coverge uiformemete a φ t x, tdx para t em compactos [a, b]. Que cada f é difereciável é garatido pela Parte I, que garate também que f t φ t x, tdx. Assim, φ f t x, tdx t φ x, tdx x > t φ x, t x > t dx. Agora, pela hipótese c, x > φ dx t x, t coverge a zero uiformemete em compactos quato. Logo, f t φ t x, tdx coverge a zero uiformemete em compactos quato, completado a prova. 38. Sequêcias Delta de Dirac Uma oção importate para o estudo de certas aproximações de fuções é a oção de sequêcia delta de Dirac pois, como será ilustrado em diversos exemplos o que segue, muitos aproximates de fuções são produzidos por tais sequêcias ou por sequêcias aálogas. Sequêcias delta de Dirac são muito usadas em Física, assim como a Teorias das Distribuições vide Capítulo 39, págia 9 e o estudo de equações difereciais. Dirac itroduziu essas sequêcias o cotexto da Mecâica Quâtica, mas a ideia subjacete já podia ser ecotrada a demostração origial de Weierstrass, datada de 885, do teorema que leva seu ome sobre aproximação poliomial de fuções cotíuas em itervalos compactos Teorema 38.3, págia 843, assim como o trabalho de Fejér 3 de 9 sobre o problema de covergêcia uiforme de poliômios trigoométricos associados a fuções cotíuas e periódicas vide Teorema 38.9, págia 865. Essas ideias origiam-se provavelmete do trabalho de Dirichlet 4 de 88, também sobre o problema de covergêcia das séries de Fourier vide Proposição 38.9, págia 867. Sequêcias delta de Dirac. Defiição formal e propriedades A oção de sequêcia delta de Dirac, que itroduziremos agora, é de importâcia cetral a discussão de métodos de aproximação de fuções. Isso será explicitado quado apresetarmos e demostrarmos o Teorema 38. à págia 84. A oção de sequêcia delta de Dirac é também itimamete ligada à oção de medida delta de Dirac vide págia 43 e à oção de distribuição delta de Dirac vide págia 955. Defiição 38. Sequêcias delta de Dirac Uma sequêcia de fuções K : R R, N, é dita ser uma sequêcia delta de Dirac em R cetrada em se satisfizer. Para cada N, a fução K é itegrável, ou seja, K x dx <.. Existe uma costate K > tal que para todo N vale K x dx K Paul Adrie Maurice Dirac Lipót Fejér Joha Peter Gustav Lejeue Dirichlet

5 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo / Para todo N, vale K x dx Para todo δ > vale [ δ ] lim K x dx+ K x dx. 38. δ Uma sequêcia de fuções R R é dita ser uma sequêcia delta de Dirac em R cetrada em x R se for da forma T x K, ode K é uma sequêcia delta de Dirac em R cetrada em. Aqui, T x é o operador de traslação por x, o qual associa a cada fução f : R R à fução T x f defiida por Tx f x : fx x 38. para todo x R. As fuções K de uma sequêcia delta de Dirac são também deomiadas úcleos de Dirac. As codições 3 e 4 exigem que as fuções K torem-se mais e mais cocetradas em toro do poto à medida em que cresce, evetualmete com lim K. O estudate deve atetar, porém, que esse último limite em sempre é verdadeiro, pois podemos ter lim K e mesmo lim K! Essas diversas situações são ilustradas os exemplos que seguem. Exemplos de sequêcias delta de Dirac Vamos a algus exemplos elemetares ilustrativos de sequêcias delta de Dirac segudo a defiição A sequêcia delta de Dirac Gaussiaa. Este é talvez o exemplo mais importate e mais ecotrado a prática. Seja a família de fuções Gaussiaas dadas por vide g x : π e x 38. para N. É bem sabido que gxdx itegral de Laplace. Como g é positiva e simétrica i.e. g x g x para todo x resta provar, para mostrar que g forma uma sequêcia delta de Dirac segudo a defiição 38., que para todo δ > vale lim g xdx. De fato, para todo α δ e, portato, para todo δ > vale e x dx yx α π α e y+α dy π e α e y αy dy π e α e y dy π sy e α α e s ds e π δ e x dx e π δ É iteressate otar que para x tem-se lim gx mas para x o limite ão existe diverge, pois g π. Esse exemplo será geeralizado mais abaixo.. Uma sequêcia tipo degrau. Um exemplo mais elemetar é dado pela sequêcia, se x K x,,, de outra forma, 38.5 com N. Todas as propriedades da defiição 38. são evidetes esse caso. É iteressate otar que para x tem-se lim Kx mas para x o limite ão existe diverge, pois K. 3. Outra sequêcia tipo degrau. Esse exemplo difere ligeiramete do aterior. Seja a sequêcia, se x,, K x, de outra forma, com N. Todas as propriedades da defiição 38. são evidetes esse caso. É iteressate otar que, em cotraste com os exemplos ateriores, vale para todo x R que lim Kx. 4. Mais uma outra sequêcia tipo degrau. Esse exemplo difere ligeiramete do aterior. Seja a sequêcia, se x 3K x, +,, de outra forma, com N. Todas as propriedades da defiição 38. são evidetes esse caso. É iteressate otar que, em cotraste com os exemplos ateriores, o poto x ão faz parte do suporte de 3K. Também vale aqui que lim 3Kx para todo x R. 5. Sequêcias obtidas por re-escaloameto de fuções de suporte compacto. Seja ϕ : R R uma fução itegrável, cujo suporte seja compacto e tal que ϕsds. Seja, para cada N, 4K x : ϕx. ϕsds É fácil provar que 4K satisfaz as propriedades da defiição 38. faça!. A propriedade 38.8, por exemplo, é / satisfeitacom K ϕs ds, ϕsds a propriedade38.9éevidete pela defiiçãoeapropriedade 38. segue do fato de o suporte de 4K ser compacto, sedo igual ao suporte de ϕ re-escaloado/ por um fator / por exemplo, se suppϕ [a, b] etão supp 4K [a/, b/]. Note que 4K ϕ ϕsds. Portato, 4K pode ser positivo e ou egativo ou até mesmo ulo!. Note que o suporte de ϕ ão precisa ecessariamete coter o poto x!. Esse exemplo geeraliza o das sequêcias K e K, acima. 6. Sequêcias obtidas por re-escaloameto de fuções de Schwartz. Seja f : R R com f SR para a defiição das fuções de Schwartz, vide Seção 39., págia 9 e tal que fsds. Seja, para cada N, 5K x : fx. fsds Éfácilprovarque 5K satisfazaspropriedadesdadefiição38.exercício!. Noteque 5K f / fsds. Portato, como o caso da sequêcia 4K, o valor de 5K pode ser positivo e ou egativo ou até mesmo ulo. O caso da sequêcia Gaussiaa g, acima, é o caso particular ode fx e x SR.

6 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 84/349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 84/349 Aproximado fuções através de sequêcias delta de Dirac O fato importate sobre as sequêcias delta de Dirac é o seguite teorema: Teorema 38. Seja f : R C uma fução satisfazedo as seguites codições:. f é uiformemete cotíua 5 em todo R, ou seja, para cada ǫ > existe δǫ > tal que fz fz ǫ sempre que z z δǫ.. f é limitada em todo R, ou seja, sup{ fx, x R} <. Seja K uma sequêcia delta de Dirac cetrada em em R. Defia-se, para cada N, F x : K yfx y dy K x yfy dy. Etão, a sequêcia F é uma sequêcia de fuções uiformemete cotíuas e coverge uiformemete a f em R: lim f F lim sup fx F x. x R Ates de provarmos o teorema, façamos algus cometários. A codição de cotiuidade uiforme implica, evidetemete, a cotiuidade da fução f. Uma codição suficiete para que f seja uiformemete cotíua é que f satisfaça a codição de Hölder 6 : existem costates C > e γ > tais que para todos x e y R vale fx fy C x y γ Dela estabelece-se facilmete a cotiuidade uiforme tomado δǫ C ǫ γ. É útil mecioar que se f for difereciável em todo R e f for limitada, ou seja, sup{ f x, x R} <, etão f satisfaz a codição de Hölder 38.6 com γ esse caso, f é dita ser Lipschitz 7 -cotíua. De fato, esse caso, para x y, arbitrários, vale x x { } fx fy f s ds f s ds sup f s, s R x x, y y desigualdadeessatambém válidase x y. Portato, vale a codiçãode Hölder38.6 com γ e C sup{ f s, s R}. Com isso vemos que as fuções do espaço de Schwartz SR vide Seção 39., págia 9 satisfazem as hipóteses do Teorema 38.. Para certas sequêcias delta de Dirac específicas é possível efraquecer algumas restrições sobre as fuções f mecioadas o Teorema 38., evetualmete com perda da uiformidade da covergêcia da sequêcia F à fução f. Por exemplo, para a sequêcia de fuções Gaussiaas de que formam uma sequêcias delta de Dirac, como veremos mais adiate a restrição que f seja limitada pode ser substituída pela restrição de que f ão cresça mais rápido o ifiito do que algum poliômio. Nesse caso F aida covergirá evetualmete de forma ão-uiforme à f. Deixamos a prova dessa afirmação como exercício ao leitor. Prova do Teorema 38.. Observemos primeiramete que, como f é limitada, defiido C : sup{ fx, x R}, teremos K yfx y dy K y fx y dy C K y dy 38.8 C K. Isso mostra que as itegrais que defiem as fuções F estão bem defiidas. Que cada F é uiformemete cotíua prova-se da seguite forma. Usado a cotiuidade uiforme de f, sabemos que para cada ǫ > existe δǫ tal que fz fz < ǫ sempre que z z < δǫ. Seja, etão ǫ > e x, x R 5 A oção de cotiuidade uiforme de fuções em espaços métricos é tratada com mais detalhe a págia 593 e seguites. 6 Otto Ludwig Hölder Rudolf Otto Sigismud Lipschitz quaisquer tais que x x < δǫ. Teremos, F x F x K y fx y fx y dy K y fx y fx y dy ǫ K y dy 38.8 ǫk, pois x y x y x x < δǫ. Como isso vale para todo ǫ > e δǫ idepede de x, estabeleceu-se a cotiuidade uiforme de F. Vamos agora escrever, usado 38.9, fx F x fx fx y Ky dy. Para cada δ > podemos quebrar a última itegral em três itervalos: δ δ fx fx y Ky dy + fx fx y Ky dy + fx fx y Ky dy 38.7 δ e deomiaremos essas itegrais I, II e III, respectivamete. Comecemos estudado a itegral II. Para cada ǫ > teremos pela cotiuidade uiforme fx fx y ǫ sempre que y δǫ e, portato, escolhedo δ δǫ δ δ fx fx y Ky dy fx fx y Ky dy δ δ δ δ ǫ K y dy ǫ K y dy 38.8 Kǫ. δ Passemos agora às itegrais I e III. Como f é limitada, vale para a itegral I, δ δ fx fx y Ky dy δ fx fx y Ky dy C K y dy e, aalogamete, para a itegral III, fx fx y Ky dy C K y dy, δ δ Logo, por 38., podemos obter δ fx fx y Ky dy + fx fx y Ky dy δ ǫ escolhedo grade o suficiete, digamos > Nǫ, idepedete de x. Dessa forma, jutado as estimativas para as itegrais I, II e III cocluímos que fx F x +Kǫ para > Nǫ, idepedete de x. Logo, f F sup{ fx F x, x R} + Kǫ para > Nǫ. Como isso vale para ǫ > arbitrário a demostração está completa. E. 38. Exercício fácil. Seja K a sequêcia delta de Dirac defiida em 38.5 e seja fx sex. Mostre que [ Fx : Kx y sey dy cos x cos x+ ] sex se. Usado o fato bem-cohecido que limǫ seǫ, mostre explicitamete que essa sequêcia de fuções ǫ F coverge uiformemete em R à fução seo quado.

7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 84/349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 Geeralização para mais dimesões As ideias acima podem ser facilmete estedidas para mais dimesões. Defiição 38. Sequêcias delta de Dirac em R m Uma sequêcia de fuções K : R m R, N, é dita ser uma sequêcia delta de Dirac em R m cetrada em R m se satisfizer. Para cada N, a fução K é itegrável, ou seja, K x d m x <. R m. Existe uma costate K > tal que para todo N vale 3. Para todo N, vale 4. Para todo δ > vale R m K x d m x K R m K x d m x lim K x d m x, 38. R m \Bδ ode B δ : {x R m, x < δ} é a bola aberta de raio δ > cetrada em R m. Teorema 38. Seja f : R m C uma fução satisfazedo as seguites codições:. f é uiformemete cotíua em todo R m, ou seja, para cada ǫ > existe δǫ > tal que fz fz ǫ sempre que z z δǫ.. f é limitada em todo R m, ou seja, sup{ fx, x R m } <. Seja K uma sequêcia delta de Dirac cetrada em em R m. Defia-se, para cada N, F x : K yfx y d m y R m K x yfy d m y. R m Etão, a sequêcia F é uma sequêcia de fuções uiformemete cotíuas e coverge uiformemete a f em R m : lim f F lim sup fx F x. x R m Prova do Teorema 38.. Observemos primeiramete que, como f é limitada, defiido C : sup{ fx, x R m }, teremos K yfx y d m y K y fx y d R R m y C K y d m y 38.8 C K. m m R m Isso mostra que as itegrais que defiem as fuções F estão bem defiidas. Que cada F é uiformemete cotíua prova-se da seguite forma. Usado a cotiuidade uiforme de f, sabemos que para cada ǫ > existe δǫ tal que fz fz < ǫ sempre que z z < δǫ. Seja, etão ǫ > e x, x R m quaisquer tais que x x < δǫ. Teremos, F x F x K y fx y fx y d m y K y fx y fx R R y d m y m m ǫ K y d m y 38.8 ǫk, R m pois x y x y x x < δǫ. Como isso vale para todo ǫ > e δǫ idepede de x, estabeleceu-se a cotiuidade uiforme de F. Vamos agora escrever, usado 38.9, fx F x fx fx y Ky d m y. R m Para cada δ > podemos quebrar a última itegral em duas regiões: fx fx y Ky d m y + fx fx y Ky d m y 38. R m \Bδ e deomiaremos essas itegrais I, II, respectivamete. Comecemos estudado a itegral II. Para cada ǫ > teremos pela cotiuidade uiforme fx fx y ǫ sempre que y δǫ e, portato, escolhedo δ δǫ fx fx y Ky d m y fx fx y Ky d m y Bδ Bδ ǫ Bδ Bδ K y d m y ǫ Bδ K y d m y 38.8 Kǫ. Passemos agora à itegral I. Como f é limitada, vale para a itegral I, fx fx y Ky d m y R fx fx y Ky d m \Bδ R m y C K y d m y. m \Bδ R m \Bδ Logo, por 38., podemos obter fx fx y Ky d m y R ǫ m \Bδ escolhedo grade o suficiete, digamos > Nǫ, idepedete de x. Dessa forma, jutado as estimativas para as itegrais I e II cocluímos que fx F x + Kǫ para > Nǫ, idepedete de x. Logo, f F sup{ fx F x, x R m } + Kǫ para > Nǫ. Como isso vale para ǫ > arbitrário a demostração está completa Aproximação de Fuções por Poliômios O Teorema de Weierstrass Um dos teoremas fudametais da Aálise é o chamado Teorema de Weierstrass 8 que afirma que toda fução cotíua defiida em um itervalo fechado e limitado [a, b] da reta real pode ser uiformemete aproximada esse itervalo por poliômios, ou seja, para todo ǫ > podemos ecotrar um poliômio p ǫ tal que p ǫx fx ǫ para todo x [a, b]. Neste texto, fazemos uso desse importate teorema em diversas ocasiões. Para futura referêcia euciamos o teorema da seguite forma: Teorema 38.3 Teorema de Weierstrass Seja f uma fução real ou complexa, cotíua em um itervalo fechado e limitado [a, b] R. Etão, f pode ser aproximada uiformemete por poliômios esse itervalo, ou seja, para todo ǫ > existe um poliômio p ǫ tal que p ǫ f sup p ǫx fx ǫ. x [a, b] [73]. 8 Karl Theodor Wilhelm Weierstraß O Teorema de Weierstrass data de 885. A referêcia origial pode ser ecotrada em

8 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 Há iúmeras demostrações do Teorema 38.3 a literatura. No Apêdice 38.A, págia 894, apresetamos uma prova usado os chamados aproximates de Berstei, dados, para uma fução cotíua f, defiida o itervalo [, ], pelos poliômios de grau b [] f x : p f x p x p p [ k p ] k p p f x k. 38. p k k O estudate pode iteressar-se em saber que os aproximates de Berstei para fuções cotíuas e os poliômios de Berstei que defiiremos o Apêdice 38.A, págia 894 estão itimamete ligados às curvas de Bézier 9 e às splies de Bézier, de ampla aplicação atual em Computação Gráfica as fotes que produziram as letras que o caro leitor lê este mesmo mometo foram geradas com tais curvas. No Apêdice 38.B, págia 898, apresetamos outra demostração istrutiva do Teorema 38.3 e que segue as ideias origiais de Weierstrass. Também muito iteressate é a demostração ecotrada em [3], talvez a mais elemetar, e que aparetemete é devida a Lebesgue. Vide também [36]. Na referêcia [93] diversas demostrações do Teorema 38.3 podem ser ecotradas. Como discutiremos a Proposição 38.8, págia 867, o Teorema de Weierstrass é equivalete a um outro Teorema importate, o Teorema de Fejér Teorema 38.9, págia 865, o qual é fudametal para a Teoria das Séries de Fourier e afirma que fuções cotíuas e periódicas podem ser aproximadas uiformemete por poliômios trigoométricos. Muito importate também é o fato de o Teorema 38.3 poder ser geeralizado aida mais, a saber, de itervalos compactos da reta como [a, b] R para subcojutos compactos da reta como os cojutos de Cator, discutidos a Seção 3.3, págia 46. Esse é o coteúdo do Teorema 38.8, págia 885 o qual é cosequêcia do importate Teorema de Stoe-Weierstrass, Teorema 38.6, págia 88, que também geeraliza fortemete o Teorema A Seção 38.5, págia 88, é dedicada ao Teorema de Stoe-Weierstrass e suas algumas de suas cosequêcias. O Teorema 38.3 também é válido para fuções cotíuas de várias variáveis. Vide Teorema 38.5, págia 848. No que segue, iremos provar uma forma mais forte do Teorema 38.3, a saber: Teorema 38.4 Teorema de Weierstrass Seja f uma fução real ou complexa, cotíua em um itervalo fechado [a, b] R e tal que suas k primeiras derivadas existam e sejam cotíuas esse itervalo. Etão, f pode ser aproximada uiformemete por poliômios esse itervalo e suas k primeiras derivadas podem ser aproximadas uiformemete pelas derivadas desses poliômios, ou seja, para todo ǫ > existe um poliômio p ǫ tal que p l ǫ f l sup p l ǫ x f l x ǫ x [a,b] para todo l k. Como o leitor pode perceber essa geeralização do Teorema 38.3 afirma que ão apeas é possível aproximar uiformemete fuções cotíuas em itervalos compactos por poliômios mas, o caso de a fução ser k vezes difereciável, é possível ecotrar aproximates poliomiais cujas k primeiras derivadas também aproximam uiformemete as respectivas derivadas da fução a ser aproximada. Adiate, apresetaremos uma prova do teorema mais geral, Teorema Seguiremos muito proximamete a demostração apresetada em [73], demostração essa aparetemete devida a Ladau mas, para a facilidade do estudate, acrescetaremos algus detalhes. Ates de iiciarmos a prova do Teorema 38.4 precisamos fazer um cometário sobre um fato que usaremos a respeito de extesões cotíuas de fuções. 9 Pierre Étiee Bézier Heri Léo Lebesgue Edmud Georg Herma Ladau Nossa prova é também ligeiramete mais precisa que a de [73], pois lá o parâmetro δ vide abaixo é tomado a forma < δ < mas, para evitar problemas em certos limites de itegração, o correto é tomá-lo como faremos adiate. Certas extesões cotíuas de fuções Seja f uma fução cotíua defiida em um itervalo fechado limitado [a, b] assumido valores reais ou complexos e que teha suas k primeiras derivadas igualmete cotíuas esse itervalo. Seja um itervalo fechado limitado [α, β] que cotém [a, b] o seu iterior, ou seja, com < α < a < b < β <. Etão, existe pelo meos uma fução f defiida em [α, β] com as seguites propriedades:. f coicide com f o itervalo [a, b].. f e suas k primeiras derivadas são cotíuas em [α, β]. 3. f e suas k primeiras derivadas aulam-se os extremos α e β do itervalo [α, β]. A fução f é, assim, uma extesão de cotíua de f ao itervalo [α, β] cujas k primeiras derivadas são extesões cotíuas das respectivas k primeiras derivadas de f ao itervalo [α, β]. Além disso, f e suas k primeiras derivadas aulam-se os extremos do itervalo [α, β] em que estão defiidas. Há ifiitas fuções f com tais propriedades. Uma maeira de costruir uma tal fução é escolhê-la de modo que seja idêtica a f o itervalo [a, b], seja ifiitamete difereciável os itervalos [α, a e b, β] mas de modo que lim x a fl x f l a o itervalo [α, a e lim x b fl x f l b o itervalo b, β], para todo l k. Exemplo 38. Uma possível escolha de uma fução f com as propriedades acima é a seguite: fx, a x b k f k a fx x a Fα, l ax, α x < a l! l k f k b x b Fb, l βx, b < x β l! l ode, para u < v, a fução Fu, v : [u, v] [, ] é defiida por x Fu, vx : exp Nu, v u y u dy, u x v, y v Nu, v sedo a costate de ormalização v Nu, v : exp u y u dy. y v Essa fução Fu, v é cotíua, estritamete crescete, ifiitamete difereciável o itervalo u < x < v e satisfaz lim Fu, vx, lim x u Fu, vx, e lim x v x u Fl u, vx lim F u, l x v vx, l. Com isso, é fácil ver que f satisfaz as propriedades requeridas: é cotíua e k-vezes difereciável em [α, β] e satisfaz além de, obviamete, ser uma extesão de f. fα fβ, fl α f l β, l, f l a f l a e fl b f l b, l k,, 38.3 E Exercício. Verifique as afirmações feitas acima.

9 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 Paraoquesegue,aformaespecíficade f, comoaqueladoexemploacima,ãoserárelevate,apeassuaspropriedades. Prova do Teorema de Weierstrass, Teorema 38.4 Daqui por diate, cosideraremos sem perda de geeralidade que [a, b],, ou seja, tomamos < a b <, e cosideraremos f uma extesão de f a todo o itervalo [, ] com as propriedades acima adotado α e β. Com uma tal fução podemos defiir os poliômios p x : fu [ u x ] du 38.4 D com x [a, b], ode, para γ [, ], defiimos [ D γ : v ] dv. γ A expressão D pode ser calculada explicitamete repetido-se o procedimeto de itegração por partes vide 5.69, págia 698 e tem-se D!! +!!, 38.5 mas ão faremos uso dessa expressão aqui. Uma outra prova de 38.5, por uma mudaça de variáveis e com uso do biômio de Newto, pode ser ecotrada em 38.79, págia 865. [ ] x A sequêcia de fuções K x, defiidas o itervalo [, ], ão forma exatamete uma sequêcia D delta de Dirac como a Defiição 38., págia 837, mas a demostração que segue é muito próxima à do Teorema 38., págia 84. Os p são claramete poliômios de grau meor ou igual a. Como veremos, esses poliômios aproximam f com as propriedades requeridas. Para mostrar isso, fixemos x [a, b] e comecemos observado que com p x fu [ u x ] vu x du D A : δ fv +x [ v ] dv, A : D x x fv +x [ v ] dv A +A +A 3, D x A 3 : δ fv +x [ v ] dv, D δ x fv +x [ v ] dv, D δ 38.6 ode δ satisfaz < δ < mi{a, b} e será coveietemete fixado mais adiate 3. Vamos tratar de estimar cada uma das três expressões A j acima. Como f é cotíua o itervalo [, ], seu módulo assume um valor máximo, que deotaremos por F, ou seja, em símbolos, F : sup fx. Com isso podemos escrever que x [, ] x A 3 fv +x [ v ] F x [ dv v ] dv D δ D δ F D δ [ v ] dv F D δ D, 38.7 ode, a última desigualdade, usamos que x. De forma totalmete aáloga, prova-se que vale também A F Dδ D Como < δ < mi{a, b} e x [a, b], segue que δ > x e δ < x. Assim, os três itervalos de itegração em 38.6 são crescetes. O termo A pode ser maipulado da seguite forma. Usado a idetidade D δ [ ] D v δ [ ] dv +Dδ δ v dv +Dδ, D D escrevemos A : δ fx fx + fv +x [ v ] dv D δ Dδ fx fx D + δ [ v fv +x fx ] dv. D δ De 38.7, 38.8 e 38.9 extraímos, assim, que para x [a, b], p x fx FDδ fx D + D δ D + δ fv +x D fx [ v ] dv. δ Como x [a, b], podemos substituir f por f o lado esquerdo. Fora isso, fx F e, assim, chegamos a p x fx F Dδ D + δ fv +x D fx [ v ] dv. δ Observemos este poto que uma fução que seja cotíua em um itervalo compacto, como f, é uiformemete cotíua esse itervalo Teorema 34., págia 594. Assim, para cada ǫ > dado podemos ecotrar um δ >, pequeo o suficiete e idepedete de x de forma que fv +x fx < ǫ desde que v < δ. Temos, portato, p x fx F Dδ D + ǫ δ [ v ] dv D δ F Dδ D + ǫ δ [ v ] dv D F Dδ D + ǫ D D Dδ F ǫ Dδ D +ǫ F Dδ D +ǫ. Para fechar a demostração dessa parte, precisamos agora mostrar que para qualquer δ fixo com < δ a razão D δ/d pode ser feita tão pequea quato se queira, fazedo-se crescer. Como em [73], otamos que para v [, ] vale v < v. Assim, D v dv v dv +, calculado explicitamete a última itegral. Paralelamete, D v dv δ dv δ δ δ δ δ e, portato, D δ D + δ. 38.9

10 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo /349 Como < δ <, o limite para do lado direito, acima, é zero. Assim, cocluímos que para grade o suficiete, idepedete de x, tem-se p x fx ǫ. Isso estabelece que a sequêcia de poliômios p coverge uiformemete a f o itervalo [a, b]. Com isso provou-se o Teorema Vamos provar agora que para cada l com l k as derivadas p l também covergem uiformemete às derivadas f l quado. Notemos que, pela defiição de p, p l x fu l [ u x ] du. D x l Agora, devido ao fato de a fução [ u x ] ser simétrica pela troca u x, vale Assim, l x l [ u x ] l l u l [ u x ]. p l x l fu l [ u x ] du D u l [ u x ] u u l } {{ u }, pois f f it. por partes l fu l + l f u l [ u x ] du. D u l Repetido-se l vezes o processo de itegração por partes e usado o fato que f e suas derivadas aulam-se em e em, por costrução, obtemos, p l x f l u [ u x ] du. D Já vimos, porém, que essa igualdade implica que p l coverge uiformemete a f l o itervalo [a, b] para. Isso completa a prova do Teorema de Weierstrass, Teorema O Teorema de Weierstrass em várias variáveis O Teorema 38.4 pode ser estedido para fuções cotíuas defiidas em retâgulos compactos em R m em verdade, em qualquer cojuto compacto em R m. Faremos uso desse fato mais adiate. A demostração é muito semelhate à do Teorema 38.4 mas há algumas passages delicadas e, por isso, reproduzimos a demostração com certo detalhe. Teorema 38.5 Teorema de Weierstrass Seja f : R m C uma fução real ou complexa, cotíua em um retâgulo fechado R : [a, b ] [a m, b m] R m e tal que suas K primeiras derivadas parciais existam e sejam cotíuas esse retâgulo. Etão, f pode ser aproximada uiformemete por poliômios esse retâgulo e suas K primeiras derivadas parciais podem ser aproximadas uiformemete pelas derivadas desses poliômios, ou seja, para todo ǫ > existe um poliômio p ǫ tal que para todo -multi-ídice α com α K vale D α p ǫ D α f sup D α p ǫx D α fx ǫ. x R Prova. Daqui por diate, cosideraremos sem perda de geeralidade que R : [a, b ] [a m, b m], m, ou seja, tomamos < a k b k < para cada k, e cosideraremos f uma extesão de f a todo o retâgulo [, ] m com a propriedade de aular-se juto com suas K primeiras derivadas parciais a froteira de [, ] m. Geeralizado 38.4, defiimos os poliômios em m variáveis p x,..., x m : m [ fu,..., u m uk x k ] du du m k m D m x xm f m [ ] v +x,..., v m +x m v k dv dv m x xm k m D m 38.3 com D defiido como a prova do Teorema 38.4, com x,..., x m R, ode a seguda liha fizemos a óbvia mudaça de variáveis v k u k x k para todo k. } Tomado um δ > pequeo o suficiete δ < mi {a,..., a m, b,..., b m, a ser precisado adiate, podemos escrever a última expressão em 38.3 a forma A +A ode A δ δ e A é a mesma itegral, mas o cojuto complemetar R A pode ser majorada por δ f [ ] v +x,..., v m +x m v [ ] v m dv dv m δ m D m A F R [ x, x ] [ x m, x m] \[ δ, δ] m. A itegral [ v ] [ v m ] dv dv m m D m, ode F : sup x [, ] m fx. A itegral em R pode ser quebrada como soma de produtos de itegrais uidimesioais, algumas da forma xk [ ] xk v k dvk D xk [ ] v k dvk + [ ] xk v k dvk D xk [ ] v k dvk D δ [ v e sempre ocorrerá ao um fator da forma k] dvk δ [ v D ou k] dvk D as quais podem ser estimadas por Dδ D, como provamos a demostração do Teorema 38.4, acima vide Assim, sedo K uma costate depedete apeas da dimesão m. xk A KF Dδ 38.9 KF+ δ D O termo A pode ser maipulado aalogamete à demostração do Teorema A δ δ δ δ f m [ ] v +x,..., v m +x m v k dv dv m f x,..., x m Dδ m D + δ δ k m D m δ f v +x,..., v m +x m f m [ ] x,..., x m v k dv dv m δ k m D m. 38.3

11 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 85/349 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 8 de maio de 8. Capítulo 38 85/349 Por 38.9, sabemos que Dδ D para e, portato, para qualquer ǫ > podemos achar grade o suficiete para que tehamos f x,..., x m f x,..., x m Dδ m ǫ. D Uma fução que seja cotíua em um cojuto compacto, como f, é uiformemete cotíua esse itervalo Teorema 34., págia 594. Assim, para cada ǫ > dado podemos ecotrarum δ >, pequeo o suficiete e idepedete de x de forma que f v+x,..., v m+x m f x,..., x m < ǫ desde que vk < δ para todo k. Assim, a itegral do lado m direito de 38.3 pode ser majorada por ǫ D Dδ ǫ. Cocluímos disso que p x,..., x m f x,..., x m KF+ δ +ǫ. Como δ <, isso completa a demostração de que f é uiformemete aproximável por poliômios. Vamos provar agora que para cada -multi-ídice α, com α K, as derivadas D α p também covergem uiformemete às derivadas D α f quado. Notemos que, pela defiição de p, fu,..., u md α [ x uk x k ] du du m D α p x,..., x m k m D m Agora, devido ao fato de a fução [ u x ] ser simétrica pela troca u x, vale Assim, Dx α [ uk x k ] α Du α [ uk x k ]. k k D α p x,..., x m α m D m fu,..., u mdu α [ uk x k ] du du m. k Repetido-se α vezes o processo de itegraçãopor partes e usado o fato que f e suas derivadas aulam-seas froteiras da itegral múltipla acima, obtemos, D α p x,..., x m m D m Du α f u,..., u m [ uk x k ] du du m. Já vimos, porém, que essa igualdade implica que D α p covergeuiformemete a D α p f o itervalo [a, b] para. Isso completa a prova do Teorema de Weierstrass, Teorema O Teorema de Taylor Nesta seção apresetaremos o Teorema de Taylor, um dos teoremas básicos do Cálculo Diferecial, o qual eucia codições que permitem aproximar certas fuções ifiitamete difereciáveis por séries de potêcias absoluta e uiformemete covergetes em itervalos limitados da reta real. Se a fução que estamos iteressados em aproximar ão for ifiitamete difereciável ou ão satisfizer as codições euciadas abaixo, tem-se como alterativa o Teorema de Weierstrass, que garate a possibilidade de se obter uma aproximação uiforme por poliômios. O Teorema de Weierstrass é estudado a Seção 38.3., págia 843. A demostração do Teorema de Taylor segue de um simples raciocíio iterativo que ora iiciamos. Seja f : R C uma fução K-vezes difereciável, com K >. Pelo Teorema Fudametal do Cálculo podemos escrever x fx fx + f s ds, 38.3 x k para todos x e x R. Para K > vale também para f s a mesma relação f s f x + temos x x x fx fx +x x f x + x s x f s ds ds s x f s ds. Daí, x fx +x x f x + x tf t dt, pois, ivertedo a ordem das itegrais, x s x x x f s ds ds f s ds ds x s f s ds. Usado idução, esse resultado pode ser geeralizado, coduzido ao seguite teorema: x Teorema 38.6 Teorema de Taylor Se f : R C é uma fução K vezes difereciável K em um domíio coexo Ω R, etão para todo N < K vale N x x a x fx f a x + a! a x para todos x e x Ω. Essa expressão pode ser reescrita a forma fx N x x a f a x + x xn+ a! N! a As relações e são deomiadas idetidades de Taylor. Os poliômios N x x a T N[f]x, x f a x a! a s x x x t N f N+ t dt, N! s N f N+ x +sx x ds são deomiados poliômios de Taylor de ordem N cetrados em x da fução f e a expressão x x t N R N[f]x, x f N+ t dt x xn+ s N f N+ x +sx x ds N! N! x é deomiada resto da expasão de Taylor de f, ou fórmula do resto da expasão de Taylor de f. Supohamos agora que f seja ifiitametedifereciável e que existaum itervalo compacto Ix, β [x β,x +β], β, tal que existem costates M, C > e γ com γ <, tais que para todo y Ix, β e todo k valha f k y M C k k! γ Etão, para todo x Ix, β tem-se x x a fx f a x, a! a sedo que a série do lado direito coverge absoluta e uiformemete em Ix, β. A série é deomiada série de Taylor real de f cetrada em x. As origes do Teorema 38.6 remotam aos trabalhos de Taylor 4 os primórdios do Cálculo Diferecial e Itegral. Taylor descobriu a série que leva seu ome etre 7 e 75, mas a importâcia desse resultado só foi recohecida por Lagrage 5 em 77. A expressão série de Taylor para desigar a expasão data de 786, tedo sido cuhada 4 Brook Taylor Joseph-Louis Lagrage