Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números ordenados.

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1 . Sequêcia Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo Defiição : Sequêcia é uma lista ifiita de úmeros ordeados. º, º, º,...,º,... O do ídice, idicado a otação abaixo, é viculado com o úmero atural, associado com a posição que o termo está a sequêcia. (x ) = (,,,,,...) Sequêcia dos úmeros aturais (y ) = (0,,,,8,0,...) Sequêcia dos úmeros pares (z ) = (,,,7,,,...) Sequêcia dos úmeros primos x = º termo da sequêcia (x ) x = º termo da sequêcia (x ) y = º termo da sequêcia (y ) y = 8 º termo da sequêcia (y ) z = 7 º termo da sequêcia (z ) z = º termo da sequêcia (z ) Podemos muitas vezes associar a uma sequêcia uma lei, depededo de, pois relacioa a posição que o termo está com o seu valor. Exemplo: Determie os primeiros cico termos da sequêcia, cuja lei é: (a) x = (b) y = se Defiição : Sequêcia itada: A sequêcia (y ) do exemplo aterior é dita itada, pois existe costate k, tal que y < k. Defiição : Sequêcias moótoas: São ditas sequêcias moótoas sequêcias crescetes, ão crescetes, costates, decrescetes e ão decrescetes. IFRS CAMPUS RIO GRANDE 79

2 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo (x ) = (,,,,...) crescete e ão itada. (z ) = (,,,,...) costate e itada z <. (y ) =,,,,... decrescete e itada y <. (a ) =,,,,,,,,,,... ão crescete e itada a <. (b ) = (0,,0,,0,...) ão moótoa e itada b < (c ) = (0,-,-,-,-,...) decrescete e ão itada. Defiição : Subsequêcia: É qualquer sequêcia com ifiitos termos extraída de uma outra sequêcia. (,,7,8,9,...) é subsequêcia de (x ) = (,,,,...) (y ) =,,,,... é subsequêcia de (a ) =,,,,,,,,,,... (0,0,0,0,...) e (,,,,...) são subsequêcias de (b ) = (0,,0,,0,...). Covergêcia ou ite de uma sequêcia. A oção de ite de uma sequêcia é avaliar o comportameto da sequêcia quado aumeta idefiidamete, ou seja, a que valor se aproxima os x quado +. Se os x se aproximam de um mesmo úmero L, dizemos que a sequêcia é covergete e o ite é L. Se o ite existe, por isso ele é úico. Notação: x (a) (x )=,,,,,... (b) (y )=(,0,-,0,-,...) IFRS CAMPUS RIO GRANDE 80

3 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo Defiição : Limite de uma sequêcia: Uma defiição mais próxima de ite de uma sequêcia é: x = L Existe 0 tal que x 0 L é tão próximo de zero, quato queiramos. Se ão existe tal L, dizemos que a sequêcia diverge. Existem duas proposições que os ajudam a decidir a covergêcia ou a divergêcia de uma sequêcia. São as proposições abaixo: Proposição : Toda sequêcia moótoa e itada é covergete. São exemplos de sequêcias covergetes, (z ), (y ) e (a ) dos exemplos da defiição e. Ifelizmete, sabemos que são covergetes, mas a proposição ão iforma para que ite. Na verdade, (z ) = (,,,...), etão obviamete para qualquer que seja o, z =, se, z =, assim, este caso, podemos afirmar seguramete que: z. Proposição : Se uma sequêcia é covergete e seu ite é L, qualquer subsequêcia será covergete e terá o mesmo ite. Isso sigifica que se de uma sequêcia (x ) coseguirmos duas subsequêcias que covirjam para valores diferetes, podemos cocluir que a (x ) é divergete. Exemplo: (x ) = (0,0,0,0,...) e (y ) = (,,,,...) são subsequêcias de (b ) = (0,,0,,0,...), mas claramete x 0 e y, portato (b ) é divergete. Determiar o ite de uma sequêcia por defiição é um trabalho árduo, preferimos laçar mão de propriedades e dispositivos para chegarmos a resultados válidos e UM POUCO, BEM POUQUINHO, trabalhar com a ituição ou verificação. Para isso precisamos saber avaliar o ifiito. (a) (b) IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

4 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo (c) (d) (e) (f)! Se sabemos algus resultados básicos, podemos aplicar algumas propriedades dos ites que descreveremos abaixo: Proposição : Se x (a) x y L M (b) x y L M (c) (d) (e) x L L ; y M, desde que L 0 x L y, desde que M 0 M cx cl e c R, etão: IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

5 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo Calcule o ite das sequêcias abaixo: (a) (b) (c) (d) ² 7 (e) ² ³ 9² IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

6 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo Proposição : Seja p(x)= a mx m + a m-x m a x² + a x + a 0 um poliômio. Se x, etão px (p L). L Exemplo: ³ ² Proposição : Sejam (x ) e (y ) sequêcias tais que (x ) é itada e y 0, etão x y 0. Exemplo: cos. Limites ifiitos. Existem sequêcias divergetes que coseguimos prever o que acotece com os x quado, é quado quato maior o, maior o x em módulo. Dizemos que o ite é ifiito e aida podemos difereciar se é ifiito positivo, ou egativo. Já em algus casos o ite realmete ão pode ser defiido. (a) ² (b) (c) [ ] Também existe a álgebra dos ites ifiitos. Em determiadas circustâcias associar ites de sequêcias, assim como as sequêcias covergetes. IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

7 Proposição : Se (a) x (b) x y (c) cx (d) dx (e) x y Proposição 7: Se (a) x (b) x y (c) cx (d) dx (e) x y Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo x ; y ; c R + e d R, etão: x ; y ; c R + e d R, etão: Proposição 8: Se (a) x z (b) x w (c) y z (d) y w x (e) x y L > 0; y M < 0; z e w, etão: Proposição 9: Se x > 0, para todo, ou a partir de algum e x 0, etão. x Proposição 0: Se x < 0, para todo, ou a partir de algum e x 0, etão. x Proposição : x 0 x Observação: Quado formos usar o setido da proposição, devemos prestar ateção o sial do zero, se for zero, mas por valores positivos, ficaria o +, e se aproximar de zero, por valores egativos, ficaria o. Calcule os ites abaixo: (a) ² (b) IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

8 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo (c) log = (d) (e)!. Exercícios. Calcule o ite das sequêcias abaixo, se existirem ou se forem ifiitos. Caso cotrário defia como divergete: 9 - x 0- x y! ² 0 - y - x ² - z ² - x ² - x se - x se ³ - y 9 - ² x y ( )² ( z 7 w )² 7 ()². Respostas dos exercícios item. - x - w 7- z - (a) (b) + (c) (d) (e) (f) (g) 0 -! x(rad) x(º) 0 0º º 0º 90º 0º º 0º 80º 0º º 0º 70º 00º º 0º 0º IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

9 Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo cosx sex (a) V (b) F, cosx cosx (c) F cos9º=cosº (d) F, cosº > cos9º. No IQ, cosseo é decrescete. (e) F, cos8º > cos79º. No IIQ, cosseo é decrescete. (f) F, cos0º < cosº. No IIIQ, cosseo é crescete. (g) V, arcos cogruetes. (h) V, 80º - 7º = º. (i) F, cosº= - cos9º, 80º - º = 9º. (j) V, 0º - 8º= º. - (a) (b) + (c) (d) + - (a) seº= - seº (b) seº = seº (c) se8º = - se77º (d) se0º = - se9º (e) se0º = se0º (f) seº = seº (g) se0º = se0º (h) se0º = - se0º (i) seº = - seº (j) se0º = -se0º (k) se0º = - se0º (l) se00º= - se0º (m) seº = -seº () se0º = - se0º - (a) < (b) > (c) < (d) > (e) < (f) > (g) > (h) = (i) > (j) = (k) = 7- Amplitude frequêcia período Imagem (a) [-,8] (b) [0,] (c) [-,] 7 (d) 7 [-,] IFRS CAMPUS RIO GRANDE 80