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1 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE Brasil S.A. É roibida a rerodução, mesmo arcial, or qualquer rocesso, sem autorização or escrito dos autores e do detetor dos direitos autorais. I9 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 009. [Livro do Professor] 660. ISBN: Pré-vestibular.. Educação.. Estudo e Esio. I. Título. CDD 70.7 Discilias Lígua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Produção Autores Fracis Madeira da S. Sales Márcio F. Satiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D Ávila Dato Pedro dos Satos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Adrade Neto Reato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Atoio Noroha Vitor M. Saquette Edso Costa P. da Cruz Ferada Barbosa Ferado Pimetel Hélio Aostolo Rogério Ferades Jefferso dos Satos da Silva Marcelo Picciii Rafael F. de Meezes Rogério de Sousa Goçalves Vaessa Silva Duarte A. R. Vieira Eilso F. Veâcio Felie Silveira de Souza Ferado Mousquer Projeto e Desevolvimeto Pedagógico Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

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4 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

5 Aálise Combiatória: Permutação, Combiação e Biômio de Newto Permutações com reetições `` Exemlo : Quatas arrumações odem ser feitas com as seis letras b, a,, a,, a? Formaremos as arrumações escolhedo rimeiro as três osições em que os a s ficarão, isto é 6 0 = maeiras. Agora, vamos escolher as suas osições (etre as três remaescetes) em que os s ficarão, isto é = maeiras e, fialmete, a última osição fica o b. Dessa maeira, existem 0.. = 60 arrumações. Teorema: se existem objetos dos quais k são do tio, k são do tio,..., e k m são do tio m, ode k + k k m =, etão o úmero de arrumações destes objetos deotado or P(; k, k,..., k m ) é - k - k m = k -k - P(;k,k,...,k )... k k! = k!k!...k! m k... -km km Demostração: Além do argumeto utilizado o exemlo acima, escolhedo as osições ara um dos tios detre aquelas que restarão, odemos rovar o teorema aterior da seguite forma: Suohamos que ara cada tio dos k i objetos do tio i sejam dados ídices,,,..., m, torado-os distitos. Existem, esse caso! arrumações destes objetos distitos. Eumeremos! arrumações de objetos distitos, relacioado todas as P(; k, k,..., k m ) disosições (sem ídices) dos objetos e, etão, ara cada disosição são colocados os ídices de todos os modos ossíveis. Por exemlo, da disosição baaa os ídices odem ser colocados os a s de! maeiras: b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

6 Para cada uma dessas! formas de idexar os a s, existem! maeiras ara idexar os s. Em geral, uma disosição qualquer terá k! modos de idexar os k objetos do tio, k! modos ara o tio,..., k m modos ara o tio. Etão! = P(; k, k,..., km ). k!k!...k m! ou! P(; k, k,..., km ) = k! k!... km! Combiações com reetição ` ` Exemlo : de quatas formas diferetes odemos comrar seis cachorros-quetes, escolhedo etre três variedades distitas? Para resolver roblemas de escolhas com reetição, recisamos fazer uma corresodêcia com um roblema relacioado a uma escolha sem reetição. Suohamos que as três variedades sejam sem molho, com molho e comleto, e que a atedete teha aotado o seguite edido sem molho com molho comleto x xxxx x Se cada x rereseta um cachorro-quete, etão o edido acima sigifica um sem molho, quatro com molho e um comleto. Uma vez que todos os atedetes saibam que esta é a sequêcia dos edidos de cachorros-quetes (sem molho, com molho, comleto), odemos omitir os omes das variedades escrevedo aeas x xxxx x. Assim, qualquer edido de k cachorros-quetes cosiste uma sequêcia de k x s e dois s. Recirocamete, toda sequêcia de k x s e dois s rereseta um edido: os x s ates do rimeiro rereseta o úmero de cachorros sem molho: os x s etre os dois s rereseta o úmero de cachorros com molho e os x s fiais reresetam o úmero de cachorros comletos. Deste modo, existe uma corresodêcia um a um etre edidos e tais sequêcias, mas o úmero de ecadeameto de seis x s e dois s é simlesmete o úmero de escolhas de duas osições a ordem ara os s. Por isso, a 8 resosta é 8. = Teorema: o úmero de escolhas com reetição k + de k objetos detre tios de objetos é k Demostração: Como fizemos ateriormete, os x s ates do rimeiro cota o úmero de objetos do rimeiro tio, os x s etre o rimeiro e o segudo s cota o úmero de objetos do segudo tio,..., e os x s aós o ( ) ésimo cota o úmero de objetos do -ésimo tio ( traços são ecessários ara searar tios). O úmero de sequêcias com k x s e ( ) s é k + ( ) k Distribuições Geralmete um roblema de distribuição é equivalete a um roblema de arrumação ou de escolha com reetição. Problemas esecializados de distribuição devem ser divididos em subcasos que ossam ser cotados or itermédio de ermutações e combiações simles. Um roteiro geral ara modelar roblemas de distribuição é: distribuições de objetos distitos corresodem a arrumações e distribuições de objetos idêticos corresodem a escolhas. Dessa maeira, distribuir k objetos distitos em uras diferetes é equivalete a colocar os objetos em liha e atribuir o ome de cada uma das diferetes uras em cada objeto. Assim, existem = k distribuições. Se k i objetos devem ir k vezes ara a ura i, existem P(; k, k,..., k ) distribuições. Por outro lado, o rocesso de distribuir k objetos idêticos em uras distitas é equivalete a escolher um subcojuto (ão-ordeado) de k omes de uras, com reetição, etre as escolhas de uras. Assim, existem k + (k + )! = k distribuições. k!( )! Os roblemas de escolhas com reetição odem ser formulados de três formas equivaletes, a saber: ) O úmero de maeiras de escolhermos k objetos com reetição detre tios de objetos diferetes. ) O úmero de formas de distribuir k objetos idêticos em uras distitas. ) O úmero de soluções iteiras ão-egativas da equação x + x x = k. É imortate que sejamos caazes de reescrever um dado roblema euciado em uma das Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

7 formas acima sob as outras duas. Muitos acham a versão o meio coveiete de olhar ara tais roblemas em virtude de sua distribuição ser mais fácil de visualizar (a cabeça de alguém). Além disso, o argumeto origial com edido de cachorros- -quetes, que utilizamos ara deduzir fórmula ara escolhas com reetição, foi a realidade um modelo de distribuição. A versão é a mais geral (e mais abstrata) do roblema. Permutações circulares Cosideremos objetos distitos e disohamos esses objetos em toro de um círculo. Se >, odemos imagiar esses objetos situados os vértices de um olígoo, or exemlo um olígoo regular. O quadro abaixo areseta as disosições dos objetos A, B, C, D em toro de um círculo. Observamos, etão, que: A.ª colua do quadro foi obtida fixado-se o objeto A e ermutado-se os objetos B, C, D de todos os modos ossíveis, isto é,!=6 modos. Em cada liha uma disosição ode ser obtida de outra or uma rotação coveiete e dadas duas disosições em lihas diferetes, ehuma ode ser obtida da outra or qualquer rotação. Assim, chama-se ermutação circular de objetos distitos qualquer disosição desses objetos em toro de um círculo e duas ermutações circulares são idistiguíveis se, e somete se, uma ode ser obtida a artir da outra or uma rotação coveiete, como or exemlo duas ermutações quaisquer de uma mesma liha do quadro. Diremos aida que duas ermutações circulares são distiguíveis se, e somete se, uma ão ode ser obtida da outra or qualquer rotação como, or exemlo, duas ermutações quaisquer em lihas diferetes do quadro. Portato, o cálculo das ermutações circulares iteressa aeas a osição relativa dos objetos etre si, isto é, o úmero de ermutações circulares distiguíveis. O úmero de ermutações circulares de objetos, deotado or (PC ), é igual a!/, isto é! ( PC) = = ( )! Cosideremos o roduto idicado: (a + b + c)(m + )(x + y + z + w) Para se formar um termo do roduto idicado acima, devemos escolher uma arcela em cada um dos oliômios e efetuar o roduto das mesmas. Assim, or exemlo, escolhedo a arcela b o rimeiro oliômio, o segudo e z o terceiro, formado o termo bz, do desevolvimeto do roduto. Algus outros termos do desevolvimeto do roduto acima são: amx, aw, cmy etc. Desevolvimeto de (x + a) ; IN Cosideremos a igualdade: (x + a) = (x + a)(x + a)... (x +a) () Para se formar um termo do roduto (x + a).(x + a)... (x +a) devemos escolher uma arcela em cada um dos fatores x +a e efetuar o roduto das mesmas. Por exemlo, se escolhermos letras a em dos biômios, e letras x dos biômios restates, etão um termo geérico do desevolvimeto de (x + a) é da forma: a a...a x x... x = a x com = 0,,,..., () - O úmero de termo da forma () é, etão, igual ao úmero de modos de escolhermos letras a biômios, x +a, isto é, C. Por coseguite, reduzido todos os termos da forma a x, ecotramos um úico termo, a saber: C a x () Fialmete, fazedo em () variar de 0 até, ecotramos todos os termos (reduzidos) do desevolvimeto de (x + a). Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

8 (I) Etão, (x + a) = C = 0 a x Exadido o somatório acima, temos: (x + a) ou aida, = C a x + C a x + C a + C a x x + C x (x + a) = x + C a x + C a x C a x + a que é deomiada Fórmula de Newto. Termo geral do desevolvimeto de (x + a) Todos os termos do desevolvimeto de (x + a) são obtidos de C a x quado fazemos este termo, variar de 0 a. Por esse motivo, C a x é chamado de termo geral. Desigado o.º,.º,.º,... termos do desevolvimeto de (x + a) resectivamete or T, T, T,..., odemos observar que: 0 ara = 0 obtemos T = C a 0 x ara = obtemos T = C a x ara = obtemos T = C a x ara = obtemos T4 = Ca x Isto é, a ordem de cada termo é igual à taxa da combiação corresodete mais. Como a taxa da combiação do termo geral é, segue-se que este termo é de ordem +. Isto é, T + = Ca x (II) Desevolvimeto de (x a), IN Termo geral da (III) Para se obter o termo geral da (III), substituímos, em (II), a or a, obtedo: T + = ( ) C P a x -P (IV) Proriedades do desevolvimeto de (x + a).ª Proriedade O desevolvimeto de (x + a) tem + termos, ois é um oliômio cujos coeficietes são: 0 C, C, C,..., C.ª Proriedade Os coeficietes de dois termos equidistates dos extremos são iguais. De fato. Sejam T + e T q+ termos equidistates dos extremos, ode q deve ser determiado a artir de e. Cosideremos o esquema: (x + a) = x T T +...a + q+ Etão, q + + = + q = T q+ = T + Por coseguite, temos: coeficiete de = coeficiete de + C C T + = Mas, C = C (combiações comlemetares) e, ortato, os coeficietes de dois termos equidistates dos extremos são iguais. 4 Substituido-se, em (I), a or ( a), temos: (x - a) = x + C (- a) x + C (- a) x C (- a) x + (-a) Mas, tedo em vista que: ( a) P = (. a) P = ( ) P a P (x - a) = x + C (- a) x + C (- a) x C (- a) x + (-a) obtemos fialmete: a x C ( x a) = x C ax + C... + ( ) x+ ( ) (III) a Quado é ímar, + é ar e o desevolvimeto de (x +a) tem + ares de dois termos com coeficietes iguais. Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

9 .ª Proriedade A soma dos coeficietes de (x + a) é. De fato, fazedo em (x + a) = x + C C x... C a x a ax , x = a =, temos: (+ ) = + C + C C + ou C 0 C... C C + C = 4.ª Proriedade No desevolvimeto de (x + a) a soma dos coeficietes dos termos de ordem ímar é igual à soma dos coeficietes dos termos de ordem ar. De fato, fazedo em (x + a) = x + C ax C a x + Ca x + Ca x + C a x + a x = e a =, temos: 0 = ( ) = C + C C ( ) C + ( ) C + ( ) = C + C + C +... ( C + C + C...) Corolário + A soma dos coeficietes do desevolvimeto de (x a) é 0.. A figura abaixo rereseta o maa de uma cidade, a qual há sete aveidas a direção orte-sul e seis aveidas a direção leste-oeste. + ``. Solução: a) Para ir de A até B, deve-se adar ara a direita seis vezes e ara cima cico vezes. O úmero de ordes! em que isso ode ser feito é P 6,5 = = 46. 6!5! Outra Resosta: Para ir de A até B, deve-se adar ara a direita seis vezes e ara cima cico vezes, um total de assos. O úmero de ordes em que isso ode ser feito é o úmero de modos de escolher quais seis dos assos serão dados ara a direita,! C 6 = = 46. 6!5! b) Para ir de A até C, deve-se adar ara a direita qua- tro vezes e ara cima quatro vezes. O úmero de 4,4 ordes em que isso ode ser feito é P 8. Para ir de C até B, deve-se adar ara a direita duas vezes e ara cima uma vez. O úmero de ordes em que isso ode ser feito é P,. A resosta é 4,4 8 Outra Resosta: P., P = 70 x = 0. Para ir de A até C, deve-se adar ara a direita quatro vezes e ara cima quatro vezes. O úmero de ordes em que isso ode ser feito é o úmero de modos de escolher quais quatro dos 4 oito assos serão dados ara a direita, C 8. Para ir de C até B, deve-se adar ara a direita duas vezes e ara cima uma vez. O úmero de ordes em que isso ode ser feito é o úmero de modos de escolher quais dois dos três assos serão dados ara a direita, C. A resosta é 4 C 8. C = 70 x = 0. Quatos úmeros de sete dígitos, maiores que , odem ser formados usado aeas os algarismos,,6,6,6,8,8? a) Quatos são os trajetos de comrimeto míimo, ligado o oto A ao oto B? b) Quatos desses trajetos assam or C? `` Solução: 6! =!!!! P,,, 6 = 6! =!!!! P,,, 6 = 80 0 úmeros começados or 6 e úmeros começados or 8. A resosta é = 00.. Dada a equação x + x + x = 7, calcule: a) o úmero de soluções iteiras ositivas. o úmero de soluções iteiras ão-egativas. Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações b) 5

10 6 `` Solução: a) Podemos idetificar o roblema do cálculo do ú- mero de soluções iteiras ositivas dessa equação com o seguite roblema: Escrevedo-se em fila sete algarismos iguais a, de quatos modos odemos searar esses algarismos em três gruos, ode cada gruo cotém elo meos um algarismo? Observemos que etre os sete algarismos há seis esaços; se colocarmos elemetos de searação (como barras verticais) em dois desses esaços, obteremos uma disosição corresodete a uma solução da equação dada. Assim, or exemlo, a disosição: corresode à solução (, 4, ). Recirocamete, cada solução iteira ositiva da equação corresode a um modo de se colocar as duas barras em dois dos seis esaços. Por exemlo, a solução (,, ) corresode à disosição: Etão, o úmero de soluções iteiras ositiva da equação x + x + x = 7 é igual ao úmero de modos de se escolher dois dos seis esaços, ara se colocar as duas barras, isto é: 6 = 5 Um raciocíio aálogo ara a equação x + x x = k(k atural) os forece o úmero de soluções iteiras ositivas: k Com efeito, suodo escritos em fila algarismos iguais a, devemos seará-los em -gruos, tedo cada gruo elo meos um algarismo.... Basta, etão, escolher - dos k- esaços etre os algarismos ara se colocar as - barras, o que ode k ser feito de modos. 5. `` 4. `` Se = k, a equação x + x x = k ossui uma úica solução, e se > k a equação ão ossui solução iteira ositiva. b) Seja aida a equação x + x + x = 7 e determiemos, agora, o úmero de soluções iteiras ão- egativas, Isto é, soluções como (7, 0, 0), (5,, ), (4,, ), (0,, 5) etc. Suohamos escritas todas estas soluções em uma mesma colua, e somete uma uidade a cada iteiro dessas soluções, obtedo soluções iteiras ositivas de uma ova equação. x + x + x = 0 Quatos aagramas da alavra ARATACA começam or cosoate? Solução: Seja o esquema: P P P P4 P5 P6 P7 Acotecimetos A : escolha de uma cosoate ara ocuar a osição P A : ocuação das seis osições restates elas seis letras restates, aós ter ocorrido A. N.º de ocorrêcias 4.. P 6 Pelo ricíio multilicativo o úmero edido é: P 6! = 4!!! 4 6 = 90 De quatos modos cico meios e cico meias odem formar uma roda de cirada de modo que essoas de mesmo sexo ão fiquem jutas? Solução: Há (PC)5 = 4! modos de formar uma roda com as meias. Deois disso, os cico meios devem ser ostos os cico lugares etre as meias, o que ode ser feito de 5! modos. A resosta é 4! x 5! = 4 x 0 = 880 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

11 6. `` De quatos modos casais odem formar uma roda de cirada de modo que cada homem ermaeça ao lado de sua mulher? Solução: Há (PC) = ( )! modos de formar uma roda com as mulheres. Deois disso, ara cada um dos maridos há dois modos de etrar a roda: à direita ou à esquerda de sua mulher. A resosta é ( )!. `` Solução: Pela fórmula (III), temos: (x - y) = (x ) - C y(x ) + C y (x ) - C y (x ) C y (x )- y = x -80x y +80x y - 40x y +0x y - y b) Calcule o 5.º termo do desevolvimeto de x y x `` Solução: Neste caso, = 8 e + = 5.. = `` Uma ulseira deve ser cravejada com um rubi, uma esmeralda, um toázio, uma água-mariha, uma turmalia e uma ametista. De quatos modos isso ode ser feito, suodo: a) que a ulseira tem fecho e um relógio egasta- do o fecho; b) que a ulseira tem fecho; c) que a ulseira ão tem fecho e o braço só ode etrar a ulseira em um setido; d) que a ulseira ão tem fecho e o braço ode etrar a ulseira os dois setidos. Solução: a) As seis edras devem ser ostas em 6 lugares. A resosta é P6 = 6! = 70. b) Agora, a ulseira ode etrar o braço de dois modos dife retes, de modo que uma mesma ulseira ode, colocada o braço, aresetar edras a ordem ABCDEF ou FEDCBA. c) A resosta é 70/ = 60. Sem o fecho, a ulseira ode rodar o braço. A resosta é (PC)6 = 5! = 0. d) Agora, a ulseira ode etrar o braço de dois modos dife retes, de modo que uma mesma ulseira ode, colocada o braço, aresetar edras a ordem ABCDEF ou FEDCBA. A resosta é 0/ = 60. a) Desevolver (x y) 5 9. `` Termo geral: T Por coseguite, + = ( ) Ca x = ( ) C8 x y x y T = x 8 Calcule, sem desevolver, o termo ideedete de x 4 de x 4 x Solução: Termo geral: T + = ( ) C a x = ( ) C (x 4 ) 4 4 x = ( ) C.. 4.x = ( ) C.. 4.x Para que o termo seja ideedete de x, deve-se ter: 56 7 = 0 = 8 Logo, o termo edido é: = ( ) C4.. C4.. T = 0. (UFES-00) Uma agêcia bacária cadastra as cotas de seus clietes usado um úmero N de quatro algarismos, seguido de um dígito de cotrole, o qual é defiido como o resto da divisão de N or 7. Por exemlo, a cota 00-6, o algarismo de cotrole 6 é o resto da divisão de (00) or 7; isso ode ser comrovado escrevedo-se Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 7

12 00 = 7 x 86 - e, a seguir, utilizado o biômio de Newto ara desevolver a otêcia (7 x 86-). Por esse raciocíio, ou equivalete, o algarismo de cotrole da cota úmero 00 é igual a: a) b) c) d) 4 e) 5 ` ` Solução: A 00 = 7 x 86 + Pelo desevolvimeto do biômio de Newto o úico que ão é fator de 7 é o último, ou seja,.. De quatos modos casais odem formar uma roda de cirada de modo que cada homem ermaeça ao lado de sua mulher e que essoas de mesmo sexo ão fiquem jutas? 4. Usado as fórmulas, calcule os desevolvimetos das seguites otêcias: a) (x + a) b) (x a) 6 c) (x + a) 7 d) (x a) 5 e) (a + b) 7 f) (x y) 5. Usado as fórmulas (II) ou (IV), calcule: a) O 5.º termo de (x + y) b) O 4.º termo de ( x) c) O.º termo de 8. Quatas são as soluções iteiras ão-egativas de x + y + z + w =?. Quatas são as soluções iteiras ão-egativas de x + y + z + w < 6?. Quatas são as soluções iteiras ositivas de x + y + z = 0? 4. Quatas são as soluções iteiras ositivas de x + y + z < 0? 5. Quatas são as eças de um domió comum? 6. I = {,,..., m} e I = {,,..., }. Quatas são as fuções m f: I m I ão decrescetes? 7. De quatos modos odemos colocar em fila sete letras A, seis letras B e cico letras C de modo que ão haja duas letras B jutas? 8. Qual é o úmero máximo de termos de um oliômio homogêeo do grau com variáveis? 9. Qual é o úmero máximo de termos de um oliômio do grau com variáveis? 0. A fábrica X roduz oito tios de bombos, que são vedidos em caixas de 0 bombos (de um mesmo tio ou sortidos). Quatas caixas diferetes odem ser formadas?. De quatos modos odem ser itados seis objetos iguais usado três cores diferetes?. De quatos modos criaças odem formar uma roda de cirada de modo que duas dessas criaças ermaeçam jutas? E de modo que ( < ) dessas criaças ermaeçam jutas? d) e) f) O 5.º termo de O 6.º termo de O 5.º termo de 6. Alicado a Lei de formação dos termos, calcule o desevolvimeto dos seguites biômios: a) 5 b) (x + y) c) d) e) f) (a + ) 5 Determie o termo ideedete do desevolvimeto de Determie os termos médios do desevolvimeto de Calcule sem desevolver, o termo ideedete de x de. Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

13 0. Calcule, sem desevolver, o termo máximo de.. Calcule, sem desevolver, o termo máximo de Quatos úmeros iteiros etre e têm soma dos algarismos igual a 6? Quatas são as soluções iteiras ão-egativas de x + x + x + x 4 + x 5 + x 6 = 0 as quais exatamete três icógitas são ulas? Em quatas, elo meos três são ulas? Os úmeros iteiros comreedidos etre e são divididos em classes de modo que dois úmeros diferetes estão a mesma classe se, e só se, eles têm os mesmos algarismos, diferido aeas a ordem. Assim, or exemlo, 55 e 5 5 estão a mesma classe. Quatas classes são assim formadas? Quatas são as soluções iteiras ão-egativas de x + y + z + w = 0 as quais x > y? Quatos iteiros etre e , iclusive, têm a roriedade: cada dígito é meor ou igual ao seu sucessor? Uma ura cotém bolas, das quais devem ser escolhidas bolas. Determie: a) O úmero A de seleções ordeadas, se reetições P ão são ermitidas (essas seleções são deomiadas arrajos simles de classe das bolas); b) O úmero de seleções desordeadas (isto é, sele- ções que só diferem ela ordem são cosideradas iguais), se reetições ão são ermitidas; c) O úmero AR de seleções ordeadas, se reetições são ermitidas (essas seleções são chama- P das de arrajos comletos de classe das bolas. Também são usados os omes arrajos com reosição ou arrajos com reetição); d) O úmero de seleções desordeadas, se reeti- ções são ermitidas. Sejam A e B cojutos de úmeros aturais com #A = e #B = a) Quatas são as fuções f: A B? b) Quatas são as fuções ijetoras f: A B? c) Quatas são as fuções f: A B estritamete crescetes? d) Quatas são as fuções f: A B ão-decrescetes? e) Sugira uma defiição formal ara CP, CRP, AP, ARP. 8. Seja A um cojuto com #A =. a) Quatas são as fuções f: A A bijetoras? b) Sugira uma defiição formal ara P. 9. De quatos modos odemos escolher três úmeros, ão ecessariamete distitos, o cojuto {,,..., 50} de modo que a soma dos úmeros escolhidos seja divisível or? E se os úmeros devessem ser distitos? 0. Quatas ermutações de sete letras A e sete letras B, as quais ão há três letras A adjacetes, existem?. De quatas maeiras é ossível colocar seis aéis diferetes em quatro dedos?. São dados otos em círculo. Quatos -ágoos (ão e cessariamete covexos) existem com vértices esses otos?. De quatos modos cico mulheres e seis homes odem formar uma roda de cirada de modo que as mulheres ermaeçam jutas? 4. Quatos dados diferetes existem se a soma das faces oostas deve ser 7? 5. Calcule, sem desevolver, a soma dos coeficietes dos termos de (x - x y ) Determie o coeficiete de x o desevolvimeto de: (x ) 4 (x + ) 5 7. (CICE-70) Sejam, a = 0 50, b = Pode-se afirmar que: a) a > b b) a < b c) a = b 50 d) a = b e) N.R.A. 8. Calcule a soma dos coeficietes dos termos de ordem ímar e a soma dos coeficietes dos termos de ordem ar do desevolvimeto de: (x y). 9. Calcular o valor da seguite soma: 0.. Calcular o valor da seguite soma: Sedo ar, calcule o valor da seguite soma:. Se k é ar, calcule a soma:. Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 9

14 . Calcule a soma: 4. Prove que: a) b) 5. Calcule a soma: = 0 ( ) + C 6. Calcule a soma: 7. Calcule a soma: = 0 = 0 ( ) + C + + C 0 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

15 4. a) x + ax + a x + a b) x - ax + a x - a 6 c) x + 6ax 5 + 5a x 4 + 0a x + 5a 4 x + 6a 5 x + a 6 7 d) x 7ax 6 + a x 5a x 4 + 5a 4 x a 6 x + 7a 6 x a 7 5 e) (a) + 5(b)(a) 4 + 0(b) (a) + 0(b) (a) + 5(b) 4 (a) + (b) 5 7 f) x - 7(y)x 6 + (y) x 5-5(y) x 4 + 5(y) 4 x g) (y) 5 x + 7(y) 6 x - (y) 7 a) 5 80x 7 y b) 760x c) ( )! e!. ( )!, resectivamete.. ( )!. Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações d) e) f)

16 6. 7. a) 5 b) 4x + 80x 4 y + 080x y + 70x y + 40xy 4 + y 5 c) d) e) f) x y 4 e x9 y a) b) a) e) Sejam A e B cojutos ordeados com #A = e #B =. C é o úmero de fuções f : A B estritamete crescetes. CR é o úmero de fuções f : A B ão-decrescetes. A é o úmero de fuções f : A + B ijetivas. AR é o úmero de fuções f : A B. a)!. b) é o úmero de fuções bijetivas de um cojuto, cujo úmero de elemetos é, em si mesmo e 8 800, resectivamete !/() = x A ( )!., se ar. Observação: Se é ímar, 7. b) c) AR = d) a). b) c), d).. 4. ois o úmero de termos é ar e as arcelas equidistates dos extremos são simétricas. ou (demostração) + Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 5.

17 ( + ) + Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

18 4 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

19 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 5

20 6 Esse material é arte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações