(5.1.1)

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1 Capítulo 5 Sucessões e Séries 5. Defiições Básicas Ocupamo-os este capítulo de um problema que à primeira vista pode parecer impossível de resolver: o de defiir e calcular somas com um úmero ifiito de parcelas, somas essas a que chamaremos séries. Trata-se o etato de uma questão muito atiga, já discutida há mais de aos por filósofos e matemáticos da Atiguidade Clássica, e a teoria costruída em toro desta ideia é hoje uma ferrameta com grade impacto a Matemática e as suas aplicações. Zeão de Eleia, um filófoso grego do século V A.C., é recordado em particular por um cojuto iteressate de problemas que evolvem somas ifiitas, e que o seu autor apresetava como paradoxos. Num dos seus exemplos mais simples, Zeão cosiderou a soma (5..) , ode usamos as reticêcias como termiação à direita para sugerir que a soma ão tem fim, ou seja, iclui como parcelas os iversos de todas as potêcias aturais de 2. Esta soma é usualmete iterpretada a forma do Paradoxo do Corredor: Um corredor desloca-se do poto A para o poto B, que estão separados por uma distâcia uitária d =. O corredor movese a uma velocidade costate e também uitária v =, e portato o tempo ecessário à deslocação é T = d/v =. Por outro lado, o corredor demora /2 do tempo a percorrer a primeira metade do percurso, /4 do tempo a percorrer metade do percurso restate, /8 do tempo a percorrer metade do restate, e assim sucessivamete, pelo que o tempo total da sua deslocação pode ser represetado pela soma ifiita idicada em 5... Zeão cocluía desta observação que, se a soma de um úmero ifiito de parcelas positivas só pode ser ifiita, etão o corredor uca chegaria ao seu destio, o que é maifestamete absurdo! 99

2 200 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Em alterativa, e é essa a iterpretação actual, cocluímos deste exemplo queasomadeum úmeroifiitodeparcelas positivas podeem certos casos ser fiita. No exemplo de Zeão, é atural esperar que (5..2) = A Teoria das Séries, cujo estudo vamos agora iiciar, permite efectivamete atribuir um total fiito a algumas somas com um úmero ifiito de parcelas, e em particular sustetar a idetidade que acabámos de apresetar. Observamos primeiro que a otação que já usámos para represetar somatórios se adapta facilmete à represetação de séries. Por exemplo, para represetar a soma ifiita (a série) em 5..2 escrevemos: k= 2 k = Claro que a variável k é muda, e pode ser desigada por qualquer outro símbolo. A título de ilustração, temos k= 2 k = 2 = Podemos também alterar o domíio de variação da variável k sem alterar a série em causa. Por exemplo, tomado = k ou i = k +, obtemos k= 2 k = i= 2 + = i=2 2 i 2 i Qualquer série é a soma dos termos de uma dada sucessão de termo geral a k, ou seja, é da forma a +a 2 + +a k + = a k. Dizemos igualmete que a k é o termo geral da série. Podemos por isso dizer que o exemplo de Zeão é a série de termo geral a k = 2 k, com k <. k= Para decidir se uma dada série tem soma ou ão, começamos por adicioar apeas um úmero fiito de termos da referida série, para calcular o que chamamos deuma soma parcial dasérie. Dada uma série qualquer k= a k, existe uma soma parcial para cada valor de, ou seja, as somas parciais da série formam uma sucessão, desta vez com termo geral: S = a +a 2 + +a = k= a k

3 5.. DEFINIÇÕES BÁSICAS 20 No exemplo de Zeão, temos (5..3) S = k= 2 k = , ou seja, S = 2, S 2 = 3 4, S 3 = 7 8, S 4 = 5 6, S 5 = 3 32, Neste caso específico, é fácil apresetar uma represetação mais simples para as somas S, porque cohecemos a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica. Como vimos o exemplo.4.8.4, temos ( (5..4) S = 2 2 ) 2 + = 2 O setido a dar à idetidade em 5..2 é fácil de compreeder em termos da oção de limite, que Zeão aturalmete descohecia. A soma em 5..2 é defiida como o limite da soma fiita S, quado, ou seja, (5..5) k= 2 k = lim k= ( 2 k = lim S = lim ) 2 Esta coclusão ada tem de surpreedete, porque sabemos que 2 quado, e portato 2 0. Temos mais geralmete Defiição 5.. (Soma de uma série, série covergete). A série k= a k é covergete se e só a sucessão das somas parciais, de termo geral S = k= a k, tem limite S R quado +. Dizemos este caso que a série tem soma S, e escrevemos a k = S. k= Caso cotrário, a série diz-se divergete. Exemplos () A série de Zeão k= é covergete e tem soma, porque 2 k ( S = ) 2, quado + (2) A série de termo geral costate a k = é divergete, porque S = =. k= (3) A série k= ( )k é divergete, porque {, se k é ímpar, e S = 0, se k é par =

4 202 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Usamos muitas vezes a expressão atureza (de uma série) para os referirmos à sua propriedade de ser covergete ou divergete. Por exemplo, a atureza da série de Zeão é covergete. Veremos adiate que, quado estudamos uma dada série, é frequetemete possível determiar a sua atureza sem calcular explicitamete a sua soma. O próximo resultado é fudametal a teoria das séries, e permite idetificar com facilidade muitos exemplos de séries divergetes. Teorema Se a série a coverge etão a 0 quado. Demostração. Cosideramos as somas parciais S m = m a, e supomos que a série tem soma S R, ou seja, S m S quado m. Defiimos aida T m = S m, tomado para este efeito S 0 = 0. A sucessão de termo geral T m resulta de atrasar a sucessão S m de um termo, e é claro que temos igualmete T m S quado m +.( ) Como a = S S = S T, é claro que a S S = 0. Exemplos () A série (2) A série (3) A série + é divergete, porque é divergete, porque a = ( ) k k 2 é divergete, porque a k = ( ) k k 2 ão tem limite. k= É absolutamete essecial eteder que uma dada série a pode satisfazer a codição a 0, e mesmo assim ser divergete, o que bem etedido ão cotradiz a afirmação em Por outras palavras, a codição a 0 é ecessária, mas ão suficiete, para garatir a covergêcia da série em causa. O próximo exemplo é uma clássica ilustração deste facto, e será repetidamete referido o que se segue. Exemplo A série harmóica é a série /. É óbvio que o seu termo geral satisfaz a = / 0, mas a série é a realidade divergete, um facto que ão é certamete evidete. Para o recohecer, basta-os otar que, por razões geometricamete evidetes (ilustradas a figura 5.. para o caso m = 4), a soma parcial S m satisfaz a desigualdade: A título de ilustração, o exemplo de Zeão temos S,S 2,S 3,S 4, = 2, 3 4, 7 8, 5 6, e T,T 2,T 3,T 4, = 0, 2, 3 4, 7 8,

5 5.. DEFINIÇÕES BÁSICAS 203 (5..6) S m = m m+ > dx = log(m+). x Na verdade, S m é a soma superior da fução f(x) = /x para a partição P = {,2,,+}. Como o itegral em causa é log(m+), e log(m+) +, podemos cocluir que S m +. Dito doutra forma, a série harmóica é divergete Figura 5..: log5 < 4 O exemplo de Zeão com que iiciámos esta secção é apeas um caso particular do que chamamos uma série geométrica, e veremos que estas séries, apesar da sua simplicidade, têm um papel fudametal a teoria. Em geral, uma série diz-se geométrica quado os seus termos formam uma progressão geométrica, tal como defiida em Mais precisamete, Defiição 5..6 (Série Geométrica). Uma série é geométrica se e só se é da forma a r = a r = a+a r +a r 2 + = a (+r +r 2 + )

6 204 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES OexemplodeZeãoéasériegeométrica obtidapelaescolhaa = r = /2, e é muito iteressate recohecer que o processo que usámos para calcular a sua soma é aplicável a qualquer série geométrica. Basta otar que, sedo S a soma parcial da série geométrica em 5..6, temos ovamete que: S r S = k= ( a r k a r k) = a a r = a ( r ), dode ( r) S = a ( r ) e se r etão S = a r r. A determiação da soma da série geométrica é agora imediata. Teorema A série r coverge se e só se r <. Neste caso, r = r. Demostração. Se a série coverge etão r 0, pelo teorema 5..3, e portato r 0. É fácil calcular o limite de r, e temos lim r = ão existe, se r 0, se r <, se r = +, se r > Cocluímos que se a série coverge etão r 0 e r <. Por outro lado, se r < etão r 0, dode S = r r r É um exercício muito simples mostrar, a partir da defiição, as seguites operações algébricas sobre séries covergetes: Proposição Sejam k= a k e k= b k séries covergetes e c R. Etão, as séries k= (a k +b k ) e k= (ca k) também são covergetes e (a k +b k ) = k= k= a k + b k, k= (c a k ) = c a k. k= k=

7 5.. DEFINIÇÕES BÁSICAS 205 Exemplo ( 2 Cosideramosa série ) Comovimos, as sériesgeométricas de razão /2 e /3 são covergetes, e temos 3 = /3 = 3 2, 2 = /2 = 2. Cocluímos assim que a série iicial é covergete, e ( ) 2 = (2) 3 +(5)(2) = 3. 2 Exemplo A represetação de úmeros reais por dízimas ifiitas é uma aplicação da oção de série. Quado escrevemos, por exemplo, x = 0,a a 2 a 3 a 4 a 5, ode os a são algarismos da represetação de x a base decimal usual (e portato a é um iteiro etre 0 e 9), estamos simplesmete a dizer que x = a 0 Veremos adiate que a série acima é sempre covergete, e portato efectivamete represeta um úmero real, mas podemos desde já mostrar que, o caso de uma dízima ifiita periódica, a série coverge para um úmero racioal, que é aliás fácil de determiar. Ilustramos esta afirmação com um exemplo, mas deve ser claro que o argumeto é aplicável a qualquer dízima periódica. Cosidere-se etão x = 0, 2323 (subetededo aqui que os algarismos 23 se repetem idefiidamete). Note-se que x = 0,23+0, = = A série acima é claramete a série geométrica com a = e r =.000, dode = = = Note-se de passagem que um dado úmero real pode ter duas represetações decimais distitas, o que ocorre sempre que tem uma represetação com um úmerofiitodealgarismos. Temosporexemploque =,000 = 0,9999, porque 0,999 = 0,9+0,09+0,009+ = = 0 0 = = É especialmete surpreedete recohecer que muitas das fuções que já referimos podem ser represetadas, e em particular calculadas, usado séries

8 206 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES de um tipo muito específico, ditas séries de potêcias. Um exemplo particularmete simples desta realidade resulta mais uma vez da série geométrica, porque a idetidade (5..7) x = x = +x+x 2 +, para x < é certamete uma represetação da fução f dada por f(x) = x por uma série de potêcias de x. Repare-se que o domíio da fução f, que é D f = { R : x }, é distito do cojuto o qual a soma da série coicide com a fução dada, porque este cojuto é como vimos o itervalo ],+[. É fácil obter mais exemplos de fuções represetadas por séries deste tipo por substituições simples de x em Substituido x por x, ou por x 2, temos imediatamete (5..8) +x = ( x) = ( x) = ( ) x, para x < (5..9) +x 2 = ( x 2 ) = ( x 2 ) = ( ) x 2, para x < Ituitivamete, as séries de potêcias geeralizam a oção de poliómio, e podem ser imagiadas como poliómios com um úmero de termos que pode ser ifiito, ou com grau que pode ser ifiito. Como veremos, estas séries de potêcias podem ser difereciadas e primitivadas como se fossem somas fiitas. Por exemplo, a primitivação das séries acima coduz a (5..0) log( + x) = ( ) x+ + = ( ) x, para x < (5..) arcta(x) = ( ) x2+, para x < 2+ Estas últimas idetidades são aliás também válidas quado x =, o que ão é óbvio das idetidades iiciais em 5..0 e 5... Por exemplo, a idetidade5..reduz-separax = àsérieditadegregory, efoidescoberta aida o século XVII. (5..2) arcta() = π 4 = ( ) 2+ =

9 5.2. SUCESSÕES 207 Aalogamete, a série 5..0 quado x = coduz a outra idetidade iteressate: (5..3) log(2) = ( ) + = Sucessões O estudo das séries é, em larga medida, uma parte da teoria mais geral das sucessões. É claro que qualquer sucessão ão passa de uma fução real de variável real com domíio D = N, e portato as ideias e resultados sobre limites que estudámos o Capítulo 2 aplicam-se a sucessões como se aplicam a quaisquer outras fuções. Exactamete por isso, o caso de uma sucessão só faz setido cosiderar o seu limite quado, porque só defiimos lim f(x) quado a é poto de acumulação do domíio de f. x a Sedo u uma sucessão, desigamos o seu limite por um qualquer dos seguites símbolos: É fácil cocluir da defiição que Proposição lim u = limu = lim u() (a) lim u = a R se e só se ε > 0 N N > N u a < ε. (b) lim u = + se e só se ε > 0 N N > N u > ε. (c) lim u = se e só se ε > 0 N N > N u < ε. É também fácil mostrar que Proposição Se a fução f : R R tem limite quado x a, u a e u a quado + etão lim f(u ) = lim f(x) + x a Em particular, se u = f() e existe o limite de f quado x + etão Exemplos lim u = lim f(x) + x + () Paramostrarqueu = 0usadoapeasaproposição5.2., supomos dado um ε > 0 arbitrário. Existe por razões óbvias um atural N N tal que N > ε, ou seja, tal que 0 < N < ε. É imediato verificar que > N 0 < ε, ou seja, lim = 0

10 208 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES (2) Para calcular o limite de u = ( + ), cosideramosa fução dada por f(x) = ( + x) x para x > 0, dode u = f(). Observamos que ( lim + ( = lim + + ) x = lim x + x) x + exlog(+/x) = e = e, porque temos, da regra de Cauchy, que log(+y) /(+y) lim xlog(+/x) = lim = lim = x + y 0 y y 0 (3) Se u = se(/) etão lim u sey = lim se(/) = lim xse(/x) = lim = + + x + y 0 y (4) Seja 0 < a <, dode loga < 0. Temos etão lim a = lim x + ax = lim x + exloga = lim y ey = 0 Sedo certo que os limites de sucessões são casos especiais de limites de fuções, é igualmete verdade que os limites de fuções se podem reduzir a limites de sucessões, através do seguite resultado: Teorema Seja f : D R R uma fução. Etão, lim x a f(x) = b sse limf(u ) = b para qualquer sucessão real (u ) D tal que u a e u a. Demostração. A implicação ( ) foi referida a proposição Para mostrarmos ( ), supohamos por absurdo que lim f(u ) = b, para toda a sucessão (x ) D com u a, mas que b ão é o limite de f(x) quado x a. Etão, existe um ε > 0 tal que para todo o δ > 0 existe um x D tal que: 0 < x a < δ e f(x) b > ε. Tomado δ =, obtemos para cada N um úmero x tal que 0 < x a < e f(x ) b > ε. A primeira codição garate que x a e a seguda codição garate que b ão é limite de f(x ), o que cotradiz a ossa hipótese. Esta proposição é por vezes uma forma prática de mostrar que a fução f ão tem limite em a dado, determiado para isso sucessões u,v a, mas tais que f(u ) e f(v ) têm limites distitos. Exemplo

11 5.2. SUCESSÕES 209 Seja f(x) = si( x ) e a = 0. Cosiderem-se as sucessões u = 2π e v = 2π+π/2 É claro que u 0 e v 0, e temos f(u ) = si(2π) = 0 e f(v ) = si(2π+ π 2 ) =. Pelo Teorema 5.2.4, cocluímos que lim x 0f(x) ão existe, porque f(u ) 0 e f(v ). As seguites defiições são já cohecidas: Defiição Seja (u ) uma sucessão real. Etão: (a) (u ) diz-se crescete (resp. estritamete crescete) se u u + (resp. u < u + ) para todo o N. (b) (u ) diz-se decrescete (resp. estritamete decrescete) se u u + (resp. u > u + ) para todo o N. (c) (u ) diz-se majorada se existir M R tal que u M para todo o N. (d) (u ) diz-se miorada se existir m R tal que u m para todo o N. Uma sucessão diz-se moótoa (resp. estritamete moótoa) se for crescete ou decrescete (resp. estritamete crescete ou decrescete). Uma sucessão diz-se limitada se for majorada e miorada. Proposição Qualquer sucessão (u ) covergete é limitada. Demostração. Se u a etão existe um atural N tal que > N a < u < a+ É claro que o cojuto {u : > N} é limitado, porque está cotido o itervalo de a a a+, e o cojuto {u : N} é limitado, porque é fiito. Cocluímos assim que o cojuto de todos os termos da sucessão é igualmete limitado. Sedo certo que qualquer sucessão covergete é limitada, é muito fácil exibir sucessões limitadas que ão são covergetes. Por exemplo, a sucessão -, +, -, +,, de termo geral u = ( ), é claramete limitada, mas ão é covergete. No etato, temos a seguite equivalêcia válida para sucessões moótoas: Teorema Qualquer sucessão real moótoa é covergete se e só se é limitada. Em particular,

12 20 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES (a) Se (u ) é crescete e majorada etão u sup{u : N}, e (b) Se (u ) é decrescete e miorada etão u if{u : N}. Demostração. Já vimos que qualquer sucessão covergete (moótoa ou ão) é limitada. Mostramos apeas que qualquer sucessão crescete e majorada coverge para o supremo dos seus termos, porque o caso duma sucessão decrescete e miorada é iteiramete aálogo. Seja (u ) uma sucessão crescete e majorada, e α = sup{u : N}. Passamos a provar que, para qualquer ε > 0, Existe p N : ( > p u α < ε). Como α = sup{u : N}, existe algum u p V ε (α), ou seja, tal que α ε < u p a. Como (u ) é crescete, cocluímos que > p = u p u α = α ε < u α = u a < ε 5.3 Séries de Termos Não-Negativos Séries de termos ão-egativos (STNN) são séries da forma a k, com a k 0, k N. k= O teorema é aplicável a estas séries, porque a sucessão das somas parciais de uma STTN é claramete crescete. Portato, ou é covergete e limitada, ou diverge, e este último caso diverge para +. Proposição Uma STNN k a k é covergete se e só se a sua sucessão de somas parciais (s ) for majorada. Demostração. Por defiição, a série é covergete se e só se a sucessão das somas parciais s = k= a k for covergete. Como s + s = a + 0, a sucessão (s ) é moótoa crescete. Na prática, pode ser difícil descobrir se a sucessão das somas parciais de uma dada STNN é ou ão majorada. Os diversos critérios de covergêcia que passamos agora a estudar são técicas específicas criadas para determiar a atureza de STNN s com base a proposição aterior. Começamos por cosiderar um critério a que aludimos quado estabelecemos a atureza divergete da série harmóica.

13 5.3. SÉRIES DE TERMOS NÃO-NEGATIVOS Critério de Comparação Quado 0 a b para qualquer dizemos que a série b domia a série a. Neste caso, é ituitivamete evidete que a = a +a 2 + +a + b +b 2 + +b + = b, sedo que se a soma da série à direita é fiita, é-o também a soma da série à esquerda, e se a soma da série à esquerda é ifiita, é-o também a soma da série à direita. É esse o coteúdo do próximo teorema: Teorema (Critério de Comparação para STNN). Sejam (a ) e (b ) duas sucessões reais tais que 0 a b, N. Etão: b coverge a diverge a coverge; b diverge. Demostração. Sejam (s ) e (t ) as sucessões de somas parciais das séries dadas, i.e. s = a k e t = b k. k= É evidete que s t para qualquer N. Usado a Proposição 5.3., podemos etão cocluir que: k b k coverge (t ) majorada (s ) majorada k a k coverge. k= k a k diverge s + t + k b k diverge. Exemplos () A série de Zeão é covergete, e 2 =. Segue-se que qualquer série com termo geral 0 a 2 é igualmete covergete, e tem soma. A título de exemplo, as seguites séries (que ão são geométricas) são todas covergetes, e todas têm soma iferior a, porque os respectivos termos gerais ão excedem /2 : +2, 3 +2, 2 ( 2 +)

14 22 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES (2) A série harmóica é divergete, ou seja, = +. Portato, qualquer série com termo geral b é igualmete divergete. A título de exemplo, as seguites séries são todas divergetes, porque os respectivos termos gerais excedem /: +2, (+), /2 (3) Se α < etão α e portato / α /. Cocluímos assim que A série diverge quado α. α As séries da forma dizem-se séries de Dirichlet, e veremos a α seguir que são covergetes quado α >. É iteressate observar que podemos aplicar o critério de comparação desde que a desigualdade a b seja válida apeas para todos os valores de suficietemete grades, ou seja, Teorema (Critério de Comparação para STNN). Sejam (a ) e (b ) duas sucessões reais, e supoha-se que existe m N tal que 0 a b para qualquer m. Etão: b coverge a coverge; a diverge Demostração. Defiimos ã = b diverge. { 0, se < m a, se m e aalogamete b = { 0, se < m b, se m Podemos aplicar o teorema às séries ã e b, dode b coverge = ã coverge; ã diverge = Resta-os verificar que ã coverge b coverge b diverge. a coverge; b coverge.

15 5.3. SÉRIES DE TERMOS NÃO-NEGATIVOS 23 Cosiderado a série de termo a, defiimos c = a ã e otamos que a série de termo geral c é obviamete covergete, porque a sua soma é uma soma fiita. Observamos da proposição 5..8 que ã coverge = a coverge, porque a = ã + a coverge = ã coverge, porque ã = a c c Critério Itegral A técica que usámos para estabelecer a divergêcia da série harmóica (exemplo 5..5) é aplicável a qualquer série de termo geral a = f(), ode f : R + R é uma fução decrescete. Basta-os observar que f(k) é uma soma iferior de f(x)dx, e k=2 f(k) é uma soma superior de k= f(x)dx. f() f(2) f(3) f(4) Figura 5.3.: f(k) k=2 f(x)dx f(k). k= Escrevedo como é usual f(x)dx = lim y y f(x)dx,

16 24 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES obtemos um resultado particularmete simples e fácil de aplicar. Teorema (Critério Itegral para STNN). Seja f : [, [ R uma fução positiva decrescete. Etão a série f() coverge se e só se existe e é fiito o limite: f(x) dx = lim b + Demostração. Primeiro supomos que Temos etão f(x) dx = lim b + f(k) k=2 b f(x)dx b f(x) dx. f(x) dx < + f(x) dx, e segue-se da proposição 5.3. que a série k=2f(k) é covergete, dode é óbvio que k=f(k) é igualmete covergete. Supodo agora que a série é covergete, temos f(x) dx f(k) k= f(k), dode k= f(x) dx f(k). k= Exemplos Vimos que a série de Dirichlet é divergete, quado α. α O Critério Itegral esclarece facilmete a atureza da série para α >. Neste caso, temos b [ dx = lim dx = lim xα b + xα b + (α )b α + ] = α α Segue-se do teorema que a série de Dirichlet é covergete quado α >. 2. A ideia subjacete ao teste itegral permite também obter estimativas para o erro cometido quado substituímos a soma de uma dada série por uma sua soma parcial. Nas codições do teorema 5.3.5, é fácil mostrar que S S = f(k) f(k) = f(k) f(x)dx k= k=+ k= k=+ A título de ilustração, cosidere-se a série de Dirichlet com α = 2. Estimamos a difereça S S como se segue S S = k 2 < x 2dx = dode S < S < S +

17 5.3. SÉRIES DE TERMOS NÃO-NEGATIVOS 25 Tal como observámos para o critério de comparação em 5.3.4, o critério itegral pode ser formulado mais geralmete como se segue: Teorema (Critério Itegral para STNN). Seja f : [, [ R uma fução positiva decrescete para x α. Etão a série f() coverge se e só se existe e é fiito o limite: Exemplo f(x) dx = lim b + b f(x) dx. Cosidere-se a série k= ke k/2. A fução dada por f(x) = xe x/2 é decrescete para x 2 e temos b xe x/2 dx = 2(x+2)e x/2 b Cocluímos que a série em questão é covergete. 6e / Critério do Limite A verificação das desigualdades referidas em pode ser substituída pelo cálculo do limite da razão a /b, se esse limite existir. Teorema (Critério do Limite para STNN). Se (a ) e (b ) são sucessões reais de termos positivos tais que a /b L, ode 0 < L < +, etão as séries a e b são da mesma atureza. Demostração. Existe m N tal que > m L L 2 < a b < L+ L 2 L 2 b < a < 3L 2 b. Basta agora aplicar o Critério Geral de Comparação do Teorema a estas desigualdades. O argumeto aterior pode ser adaptado para mostrar que: Se L = 0 e a série b coverge etão Se L = + e a série Exemplos a coverge, e a coverge etão b coverge.

18 26 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES O critério do limite requer a utilização de séries com atureza cohecida, por exemplo, séries geométricas ou séries de Dirichlet. () Para determiar a atureza da série 3 2. éaturalcompará-lacomasériegeométrica /3, queécovergete,porque a sua razão é r = /3. De facto, com a = 3 2 e b = /3 temos lim a b = lim = lim = lim ( ) 2 = 0 =. 3 Cocluímos do Teorema que as séries são da mesma atureza, ou seja, a série 3 2 também coverge. (2) Paradetermiar a atureza da série 2+, observamos primeiro que, (+) quado é grade, temos 2+ (+) 2 2 2, o que sugere a utilização do critério do limite com a = 2+ (+) e b =. Neste caso, obtemos lim a b = lim 2+ (+) = lim 2+ (+) = lim 2+/ +/ 2 = 2. Como / diverge, segue-se que a série 2+ diverge igualmete. (+) Critérios da Raíz e da Razão Os critérios da raíz e da razão permitem determiar a atureza de uma STNN a pelo cálculo dos limites de, respectivamete, a e a + /a. Em ambos os casos, reduzem-se essecialmete à comparação da série dada com uma série geométrica coveietemete escolhida. Teorema 5.3. (Critério da Raíz). Seja a uma série umérica com a > 0 e tal que a r R. Etão: (a) se r < a série a coverge. (b) se r > a série a diverge. Demostração. Se r <, tomamos s tal que r < s <, e otamos que existe p N tal que a < s quado p.

19 5.3. SÉRIES DE TERMOS NÃO-NEGATIVOS 27 É evidete que a s para p. Como a série geométrica s coverge, cocluímos do Critério Geral de Comparação (5.3.4) que a série k a k também coverge. Se r >, existe p N tal que: a > quado p. É claro que a > quado p e portato a sucessão a ão coverge para zero e a série k a k diverge de acordo com o teorema Exemplos () Para determiar a atureza de a = 2, otamos que(2 ) 2 2. Cocluímos pelo Critério da Raíz (5.3.) que a série dada é covergete. (2) O critério da raíz é icoclusivo quado r =, ou seja, se r = a série em questão tato pode ser covergete como divergete. Observe-se que A série A série é divergete e a =. 2 é covergete e a = 2. O critério da razão, ou de d Alembert, tem um euciado aálogo. Teorema (Critério da Razão ou de d Alembert). Seja a uma série umérica com a > 0 e tal que a + /a r R. Etão: (a) se r < a série a coverge. (b) se r > a série a diverge. Demostração. Cosideramos primeiro o caso r < : tomamos um qualquer s tal que r < s <, e otamos que existe p N tal que a + a < s quado p. É muito simples estabelecer por idução que a p+k a p s k para k N. Tomado c = a p s p, podemos igualmete escrever 2 Recorde que = e log/ e 0 =. a c s, para qualquer p.

20 28 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Como s < a série geométrica c s coverge e cocluímos do Critério Geral de Comparação (5.3.4) que a série k a k também coverge. Cosideramos agora o caso r > : Neste caso, existe p N tal que: a + a > quado p. Obtemos facilmete desta desigualdade que a > a p > 0 quado p e portatoasucessãoa ãopodecovergir parazero, easérie k a k diverge de acordo com o teorema Exemplos () Para determiar a atureza de 2, otamos que! a + = 2+ /(+)! a 2 = 2+ /! 2! (+)! = <. Cocluímos pelo Critério da Razão (Teorema 5.3.3) que a série dada é covergete. (2) O critério da razão é também icoclusivo quado r =. Mais uma vez, A série A série é divergete e a +/a = /(+). 2 é covergete e a +/a = 2 /(+) 2. Os critérios da razão e da raíz têm muitos potos em comum, mas ão são exactamete equivaletes. A este respeito, é iteressate registar que Observações Se a + /a r etão a r, em particular, sempre que o critério da razão é aplicável é também aplicável o da raíz. A demostração deste facto é simples, mas algo trabalhosa, e omitimo-la aqui. 2. É possível que a r e a razão a + /a ão teha limite, ou seja, o critério da raíz é, em pricípio, mais geral do que o da razão. Em termos práticos, o etato, é muitas vezes mais difícil calcular o limite da raíz do que o limite da razão. Para um exemplo ilustrativo simples, cosidere-se a série de termo geral a, ode a = 2, se é par, e a = 3 2, se é ímpar. A série a é covergete por razões elemetares (é uma soma de séries geométricas), mas em qualquer caso o limite de a + /a ão existe, equato que a /2.

21 5.4. OUTRAS SÉRIES NUMÉRICAS Para defiir o limite superior de uma sucessão umérica a, cosideramos a sucessão auxiliar b = sup{a k : k }. A sucessão b é decrescete e cocluímos por isso que tem limite a recta acabada. Defiimos limsupa = limsup{a k : k } = limb Note-se igualmete que, quado existe lima, temos lima = limsupa. Utilizado esta oção, o critério da raíz toma a seguite forma, que é muito geral porque ão supõe a existêcia do limite da raíz: Teorema (Critério da Raíz). Seja a uma série umérica com a > 0 e r = limsup a R. Etão: (a) se r < a série a coverge. (b) se r > a série a diverge. A respectiva demostração, que também omitimos, é uma adaptação relativamete simples da de Outras Séries Numéricas Quado a sucessão a assume valores positivos e egativos, os critérios referidos a secção aterior ão permitem determiar directamete a atureza da série a, que ão é uma STNN, mas podem ser usados para estudar a série dos módulos a, que é certamete uma STNN. Veremos adiate que podemos ter a covergete e a divergete, masacovergêcia de a implicasempreacovergêcia de a, de acordo com o seguite resultado: Teorema Se a coverge, etão a também coverge e a a. Demostração. Se a R é um úmero real, defiimos a + = max{a,0} = a +a 2 a = max{ a,0} = a a 2 é a parte positiva de a, é a parte egativa de a. É imediato verificar que a = a + a, a = a + +a. Temos em particular a desigualdade: 0 a +,a a.

22 220 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Cocluímos do critério geral de comparação que a covergete = a + e a covergetes, dode a = ( a + a ) = a + a é covergete. A respectiva soma pode ser estimada como se segue: a = a + a a + + a = ( a + +a ) = a. Usaremos a este respeito a seguite termiologia: Defiição Uma série a diz-se (i) absolutamete covergete se a correspodete série de módulos a é covergete e portato a é também covergete. (ii) simplesmete covergete se é covergete, mas a correspodete série de módulos a é divergete.( 3 ) Exemplos () Observamos que ( ) é absolutamete covergete, porque 2 2 é covergete. Asériedemóduloscorrespodeteéasériede Dirichlet 2 quecoverge. Pelo Teorema 5.4., cocluímos que a série origial coverge. (2) Temos também se( 2 ) 2 se( 2 ) 2 absolutamete covergete, porque 2 e 2 coverge. Dizemos que uma série é alterada se e só se os seus termos cosecutivos têm siais algébricos diferetes. Escrevemos ormalmete uma série alterada a forma ( ) + a ou ( ) a, com a > 0, ode o primeiro caso os termos egativos são os pares, e o segudo caso são os ímpares. Neste caso, se a sucessão a é decrescete é muito fácil estabelecer a sua atureza e mesmo estimar a sua soma com erro arbitrariamete pequeo. 3 Também se usa a expressão codicioalmete covergete.

23 5.4. OUTRAS SÉRIES NUMÉRICAS 22 Teorema (Critério de Leibiz). Se a sucessão a é decrescete etão ( ) a coverge se e só se a 0. Neste caso, se S é a sua soma e S é a correspodete soma parcial, temos S S a +. Demostração. Se a série é covergete etão o seu termo geral tede para zero, e portato a 0. Supomos agora que a é decrescete e a 0, dode em particular a a + > 0. Sedo S o termo geral da sucessão das suas somas parciais, temos: () S 2 = S 2 +( ) 2 a 2 = S 2 +a 2 > S 2, (2) S 2+ = S 2 +( ) 2+ a 2+ = S 2 a 2+ < S 2, (3) S 2+2 = S 2 a 2+ +a 2+2 < S 2, e (4) S 2+ = S 2 +a 2 a 2+ > S 2. Por outras palavras, sedo c = S 2 e d = S 2, temos que c d, c é decrescete, d é crescete e c d = a 2 0. Cocluímos que d < S < c Notamos emparticularqueassomasparciaisparess 2 sãoaproximações por excesso des equatoqueassomasparciaisímparess 2 sãoaproximações por defeito de S. Mais exactamete, a 2+ > S 2 S > 0 e a 2 > S S 2 > 0 /2 +/3 /4 +/5 /6 s 2 s 4 s 6 s 5 s 3 s = Figura 5.4.: Covergêcia da série harmóica alterada.

24 222 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Exemplos Como / ց 0, cocluímos que a chamada série harmóica alterada ( ) + = é covergete (figura 5.4.). Esta série é simplesmete covergete, porque a correspodete série dos módulos é a série harmóica, que é divergete. 2. A série de Dirichlet ( ) + α é simplesmete covergete se 0 < α <. Os seguites dois resultados ilustram bem a difereça etre o comportameto das séries absoluta ou simplesmete covergetes. O teorema em especial revela que as séries simplesmete covergetes têm propriedades pouco aturais de um poto de vista ituitivo. Teorema Qualquer série obtida por reordeação dos termos de uma série absolutamete covergete é também absolutamete covergete, com soma igual à soma da série origial. Teorema (Riema). Sejam b uma série simplesmete covergete e β R arbitrário. Etão, existem séries obtidas por reordeação de b com soma igual a β. Omitimos a demostração destes resultados. 5.5 Séries de Taylor Quado o termo geral de uma série evolve uma variável (ou mais), temos o que chamamos de uma série de fuções, de que as seguites são exemplos x ou cos(x) 2 A primeira é evidetemete a série geométrica de razão x, e é o que chamamos de uma série de potêcias por razões óbvias, e a seguda é uma série trigoométrica, a realidade uma série de Fourier, que é um istrumeto idispesável a represetação matemática de todo o tipo de feómeos oscilatórios. O estudo de séries de fuções levata diversas questões técicas delicadas que ão ecotramos o caso das séries uméricas, em particular Como determiar o domíio de covergêcia da série, ou seja, o cojuto de valores da variável para a qual a série é covergete, e

25 5.5. SÉRIES DE TAYLOR 223 Supodo que esse domíio é D, e portato a série determia uma fução f defiida em D, como podemos estabelecer, por exemplo, a difereciabilidade e/ou itegrabilidade de f, e como podemos calcular a respectiva derivada e/ou itegral? Estas são questões e desafios mais difíceis, e também muito iteressates do poto de vista matemático, de que aqui poderemos dar apeas uma primeira abordagem. Exemplos A série x coverge se e só se x <. Portato, a fução dada por f(x) = está defiida o domíio de covergêcia D =],[. Claro que este caso sabemos que f(x) = /( x). 2. A série cos(x) é absolutamete covergete para qualquer x R, ou 2 seja, o seu domíio de covergêcia é D = R, porque x cos(x) 2 2 e 2 < + A título de curiosidade, a sua soma é a fução periódica de período 2π tal que g(x) = cos(x) 2 = x2 4 πx 2 + π2 6 para 0 x 2π, mas aturalmete ão dispomos aida dos istrumetos ecessários para suportar esta afirmação. Estudamos esta secção as séries de potêcias, ditas também séries de Taylor por razões que expomos adiate, e para as quais as questões acima têm respostas razoavelmete simples. Defiição Chama-se série de potêcias (cetrada em a R) a qualquer série da forma (5.5.) a (x a) = a 0 +a (x a)+a 2 (x a) 2 +. O seu domíio de covergêcia é o cojuto { } D = x R : a (x a) é covergete

26 224 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Exemplo Cosidere-se a série de potêcias 2 (x ). Esta é uma série geométrica de razão r = (x )/2 e é por isso absolutamete covergete quado x 2 < x < 2 x ],3[, e divergete quado x 2 x 2 x ], ] [3,+ [. O domíio de covergêcia desta série é portato D = ],3[. Aliás, e como a série é geométrica, sabemos que a respectiva soma é 2 (x ) = (x )/2 = 2 3 x Mais uma vez, a série de potêcias e a fução acima são iguais o domíio de covergêcia da série, mas têm domíios de defiição distitos, porque a fução à direita está defiida para qualquer x 3, ão apeas para x ],3[. O domíio de covergêcia de uma série de potêcias ão é um cojuto arbitrário, e para esclarecer esta questão começamos por demostrar um lema auxiliar: Lema Se a série de potêcias a x coverge em x = c 0 etão é absolutamete covergete para qualquer x R com x < c. Demostração. De acordo com o teorema 5..3 temos a c 0, e portato existe p N tal que p = a c <. Logo, para p temos que a x = a c x < x. c c Assumido x < c, a série geométrica de razão r = x/c < é covergete. Cocluímos, pelo critério de comparação, que a série a x é covergete, i.e., a x é absolutamete covergete. Teorema Dada uma série de potêcias a (x a), existe R 0, que pode ser +, dito raio de covergêcia da série, tal que:

27 5.5. SÉRIES DE TAYLOR 225 (a) a série é absolutamete covergete quado x a < R, e (b) a série é divergete quado x a > R. Demostração. Substituido (x a) por x, podemos assumir que a = 0. Cosideremos etão o cojuto A R + defiido por { } A = Observamos que: r R + : r = x e se A = : é evidete que R = 0; se A : Dado x R, otamos que a x é covergete () Se x < supa etão existe r = y A tal que r > x e a série a y coverge. Segue-se que a série a x coverge absolutamete pelo lema Por outras palavras, o raio de covergêcia da série é pelo meos R = supa. (2) Se x > supa (o que só é possível se supa < + ) etão x A, e portato a série a x diverge.. divergete absolutamete covergete divergete a R a a+r Figura 5.5.: Itervalo de covergêcia de uma série de potêcias. Ilustramos este resultado com algus exemplos simples, ode o raio de covergêcia pode ser sempre calculado com recurso ao critério da razão. Exemplos No caso da série de potêcias x 3, temos x + 3 (+)3+ x = + x 3 x 3. Asérieéabsolutametecovergetequado x /3 <, ou seja, quado x < 3, e diverge quado x > 3. Cocluímos que o itervalo de covergêcia tem extremos 3 e 3, e o raio de covergêcia é R = 3. A atureza da série os extremos do itervalo de covergêcia é fácil de determiar:

28 226 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES Quado x = 3 a série reduz-se à série harmóica, que é divergete: 3 3 = Quado x = 3 a série reduz-se à série harmóica alterada, que é simplesmete covergete: ( 3) 3 = ( ) O domíio de covergêcia desta série é D = [ 3,3[. sedo a série absolutamete covergete em ] 3,3[. 2. No caso da série de potêcias x + /(+)! x /! x!, temos = x + (+)!! x = x + 0. A série é portato absolutamete covergete para qualquer x R, ou seja, o domíio de covergêcia é D = R e o raio de covergêcia é R = +. Registe-se de passagem que, para qualquer x R, temos x /! 0 quado No caso da série de potêcias! x, temos (+)! x +! x = (+) x + se x 0. A série diverge para qualquer x 0, o domíio de covergêcia reduz-se a D = {0} e o raio de covergêcia é R = No caso da série de potêcias (x 3), temos 2 x 3 + /(+) 2 x 3 / 2 = x ( ) 2 (+) 2 x 3 = x 3 x 3. + A série de potêcias é absolutamete covergete quado x 3 < e o seu domíio de covergêcia é um itervalo com extremos 3 ± = 2 e 4. Em particular, o raio de covergêcia é R =. Neste caso, a série é também absolutamete covergete os extremos 2 e 4, porque (4 3) 2 = 2 e (2 3) 2 = ( ) 2, e estas séries são absolutamete covergetes, como sabemos. O domíio de covergêcia (sempre absoluta) desta série é D = [2, 4].

29 5.5. SÉRIES DE TAYLOR 227 Registe-se que o teorema ão iclui quaisquer coclusões sobre a atureza da série quado x a = R, i.e., quado x = a ±R. Os exemplos ilustram diversas possibilidades, mas a realidade a atureza da série de potêcias os potos x = a±r é iteiramete arbitrária. É claro que qualquer série de potêcias a (x a) com um raio de covergêcia R > 0 determia uma fução f : D R, ode D é um dos itervalos com extremos a R e a+r: (5.5.2) f(x) := a 0 +a (x a)+a 2 (x a) 2 + = a (x a), (x D). As fuções defiidas por séries de potêcias têm, como veremos, propriedades bastate especiais, e é especialmete relevate estabelecer a sua difereciabilidade, cotiuidade e itegrabilidade. Estas são o etato questões tecicamete mais sofisticadas, e omitiremos algus dos detalhes ecessários ao seu completo esclarecimeto. Começamos por itroduzir duas séries obtidas de por um processo, por equato iteiramete formal, i.e., sem qualquer suporte teórico, de difereciação o caso de e de primitivação o caso de (5.5.3) a +2a 2 (x a)+ = a (x a) = (+)a + (x a), (5.5.4) a 0 x+ a 2 (x a)2 + = a + (x a)+ = a (x a). É algo surpreedeterecohecer que, apesar determos a / < a < a para >, é sempre verdade que Lema As seguites séries têm o mesmo raio de covergêcia: () a x,(2) a x e (3) a x Demostração. Sedo R k o raio de covergêcia da série (k), otamos como óbvio que R R 2 R 3. É claro que R = R 2 quado R 2 = 0, e supomos agora que R 2 > 0 e x < R 2. Existe y tal que x < y < R 2 e, como quado, temos para suficietemete grade que a x = a x a y. Segue-se do usual critério de comparação que a série () é absolutamete covergete quado x < R 2 eportator R 2. CocluímosqueR = R 2, e deve ser evidete que R 2 = R 3.

30 228 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES As séries do lema aterior ão são exactamete as séries em e 5.5.4, mas é um exercício fácil verificar que têm exactamete o mesmo raio de covergêcia. O resultado seguite é bastate mais difícil de estabelecer, e omitimos para já a sua demostração, que faremos mais adiate com recurso à oção de covergêcia uiforme de uma sucessão de fuções. Teorema Seja f(x) = a (x a) uma série de potêcias com raio de covergêcia R, D o respectivo itervalo de covergêcia (que tem extremos a R e a+r), e I =]a R,a+R[. Temos etão (a) f é cotíua em D( 4 ), (b) F(x) = a + (x a)+ é a primitiva de f em I com F(a) = 0. O seguite corolário é particularmete útil Corolário Seja f(x) = a (x a) uma série de potêcias com raio de covergêcia R e I =]a R,a+R[. Temos etão que f é difereciável em I, ode f (x) = a (x a) Demostração. Cosideramos a série de potêcias () g(x) = a (x a), que tem raio de covergêcia R, de acordo com o lema Aplicamos o teorema à série (), para cocluir que G(x) = a (x a) = a (x a) é uma primitiva de g. Como f(x) = a 0 +G(x), é evidete que f (x) = G (x) = g(x). Exemplos Sabemos do osso estudo da série geométrica que () x = x = +x+x 2 +x 3 + (I = D =],[). Podemos usar esta série de potêcias para obter outras séries, sem grades dificuldades, como aludimos o iício deste Capítulo, a propósito das idetidades 5..8 a 5..3: 4 Quado o itervalo de covergêcia iclui algum dos seus extremos, a cotiuidade de f os extremos em questão é um caso particular do chamado Teorema de Abel.

31 5.5. SÉRIES DE TAYLOR Substituido x por x em (), obtemos (2) +x = ( x) = ( ) x (I = D =],[) 3. Substituido x por x em (2), obtemos (3) x = ( ) (x ) (I = D =]0,2[) 4. Substituido x por x 2 em (2), obtemos (4) +x 2 = ( ) x 2 (I = D =],[) 5. Difereciado (2), obtemos (5) (+x) 2 = ( ) x (I = D =],[) 6. Primitivado (2), e observado que as duas primitivas abaixo se aulam em x = 0, temos (6) log(+x) = ( ) + x+ = ( ) É iteressate observar este exemplo que, sedo aturalmete o raio de covergêcia R =, de acordo com o teorema 5.5.8, o itervalo de covergêcia é agora ],], porque a série de potêcias em x = se reduz à série harmóica alterada, que é simplesmete covergete. Portato, e usado o teorema 5.5.8, podemos calcular a soma da série harmóica alterada: x (6 a) ( ) = log(2) 7. Primitivado (4), e como mais uma vez as duas primitivas abaixo se aulam em x = 0, temos ( ) (7) arcta x = 2+ x2+ Tal como o exemplo aterior, a série é agora simplesmete covergete em x = pelo critério de Leibiz das séries alteradas, ou seja, temos I =],[ e D =],]. Observamos igualmete que (7 a) ( ) 2+ = arcta() = π 4, que é a série de Gregory referida em 5..3.

32 230 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES 8. A utilização astuciosa do teorema e do corolário permite obter muitas outras séries de potêcias. A título de ilustração, cosideramos a fução +x f(x) = log x = 2 (log(+x) log( x)) Temos etão, usado () e (2), f (x) = ( 2 +x + ) ( = ) ( ) x + x = x 2 Como f(0) = 0, cocluímos que +x f(x) = log x = 2+ x2+, para x < 9. Podemos igualmete somar séries uméricas como as que vimos em (6 a) e (7 a). Usado a série em (6) com x = /2, obtemos log(/2) = log2 = ( ) ( ) 2 = 2 x 2 Um mometo de reflexão mostra que o corolário se podeaplicar sucessivamete, e revela que qualquer fução dada por uma série de potêcias tem derivadas de qualquer ordem: Corolário Seja f(x) = a (x a) uma série de potêcias com raio de covergêcia R, I =]a R,a+R[ e k N. Temos etão que a derivada f (k) existe em I, ode () f (k) (x) = (+k)! a +k (x a).! A série () tem raio de covergêcia R e a = f() (a), i.e.,! f () (a) f(x) = (x a)! Demostração. Basta-os proceder por idução em k, desde o caso iicial óbvio k = 0: (+0)! a +0 (x a) = a (x a) = f(x) = f (0) (x)! Supodo a afirmação verdadeira para k, aplicamos o corolário para cocluir que f (k+) (+k)! (x) = a +k (x a) (+k)! =! ( )! a +k(x a),

33 5.5. SÉRIES DE TAYLOR 23 ode a série à direita tem raio de covergêcia R. Na última série, tomamos m =, dode +k = m+k+, para obter (+k)! ( )! a +k(x a) (m+k+)! = a m+k+ (x a) m, i.e., m! f (k+) (x) = m=0 (+k +)! a +k+ (x a)! Aplicado () em x = a, a série reduz-se ao termo com = 0, e obtemos f (k) (a) = k! a k = a k = f(k) (a) k! Repare-se em particular que as somas parciais de uma série de potêcias são da forma f (k) (a) S (x) = p (x) = (x a) k, k! k=0 ou seja, são sempre poliómios de Taylor( 5 ). Por esta razão, as séries de potêcias dizem-se igualmete séries de Taylor. Dada uma qualquer fução f defiida uma vizihaça V ε (a), e desde que f teha derivadas de qualquer ordem o poto a, podemos itroduzir Defiição (Série de Taylor de f em a). Se f : D R é uma fução com derivada de qualquer ordem em a D. A série de Taylor de f em a é a série de potêcias f () (a) (x a).! Também usamos a expressão série de Maclauri quado a = 0. Exemplos Se f(x) = e x, etão f () (x) = e x para qualquer 0 e f () (0) =. A série de Maclauri da expoecial é portato: 2. Se f(x) = sex, as derivadas f () (x) formam a sucessão sex, cosx, sex, cosx, sex,. A sucessão f () (x) é assim 0,,0,,0, e a série de Maclauri, que só tem termos ímpares, é 5 Recorde a defiição ( ) (2 )! x2 = x! ( ) (2+)! x2+

34 232 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES 3. De forma iteiramete aáloga, a série de Maclauri de cosx é ( ) (2)! x2 Vimos já que a sérieem () éabsolutametecovergeteparaqualquerx R,e segue-se por comparação que as séries (2) e (3) são também absolutamete covergetes, mas claro que aida ão estabelecemos que a respectiva soma é a fução origial. Na realidade, a idetidade referida em 5.5., ou seja, f(x) = f () (a) (x a),! pode falhar para x a tato porque a série coverge para uma soma que é diferete de f(x), como porque a série é divergete, apesar de ão ser particularmete simples ilustrar esta última situação com exemplos específicos. Exemplos Recorde-se a fução do exemplo 3.7.8, cujo gráfico está esboçado a figura A fução é dada por {e x f(x) = 2, se x 0 0, se x = 0 e vimos que tem derivadas de qualquer ordem em todos os potos x R, mas f (k) (0) = 0. Segue-se que a série de Maclauri de f (i.e., a série de Taylor de f em a = 0) é ula, e portato coverge em toda a parte para a fução ula. 2. A série trigoométrica e cos( 2 x) é absolutamete covergete para qualquer x R, porque e cos( 2 x) e e e é covergete (e.g., pelo critério da raíz). Ultrapassaum pouco o âmbito deste texto a verificaçãodos seguites factos:( 6 ) A fução dada por f(x) = e cos( 2 x) é de classe C em R, e A série de Maclauri de f diverge para qualquer x É igualmete verdade que a série!x, referida o exemplo , é a série de Maclauri de uma fução f de classe C em R, e como vimos diverge para qualquer x 0, mas mais uma vez a defiição de f é tecicamete difícil. 6 Os exemplos (2) e (3) são apresetados e discutidos o clássico Couterexamples i Aalysis, de Gelbaum e Olmsted, de 964, reeditado pela Dover em 2003.

35 5.5. SÉRIES DE TAYLOR 233 A questão da covergêcia da série de Taylor para a fução que lhe está associada, ou seja, a validade da igualdade em 5.5., pode ser estudada com o teorema (Fórmula de Taylor com resto de Lagrage) ou resultados aálogos. Recorde-se que, se a fução f tem derivada de ordem uma vizihaça V ε (a), etão existe para qualquer x V ε (a) um poto itermédio θ, i.e., tal que a < θ < x ou a > θ > x e f(x) = k=0 f (k) (a) k! (x a) k + f() (θ) (x a).! Coforme observámos o exemplo , temos sempre (x a) /! 0, e portato é relativamete fácil mostrar que a série de Taylor de algumas fuções usuais coverge para a própria fução em itervalos coveietemete escolhidos. Exemplos Para as fuções trigoométricas se e cos, as derivadas são limitadas em valor absoluto e em toda a recta real por, e portato temos f(x) k=0 f (k) (a) (x a) k = k! f () (θ) (x a) x a 0!! É portato claro que para estas fuções, como aliás para qualquer fução com todas as derivadas limitadas por uma mesma costate, temos f(x) = k=0 f (k) (a) (x a) k. k! 2. A fução expoecial e todas as suas derivadas são iguais. Supodo a,x < b, temos θ < b e f(x) k=0 f (k) (a) k! (x a) k = f() (θ) (x a) = f(θ) (x a)!! A expoecial é crescete, dode f(θ) < f(b) e 0 f(x) f (k) (a) (x a) k f(b) x a k!! k=0 Como f(b) x a! 0 quado, segue-se que f(x) = k=0 f (k) (a) (x a) k para qualquer x < b. k! Fialmete, e dado que b é arbitrário, a idetidade aterior é válida para qualquer x R.

36 234 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES E SÉRIES 3. O caso da fução logaritmo é também iteressate. É fácil calcular as derivadas de f(x) = logx, que são dadas por f () (x) = ( ) ( )( )! x, para qualquer N A série de Taylor de logx em x = a é assim g(x) = loga+ ( ) ( ) a (x a) = loga+ ( ) ( ) ( ) x a. a Um cálculosimplesmostraqueoraiode covergêciadestasérieér = a. Para calcularasuasoma,emostrarqueg(x) = logxoseudomíiodecovergêcia, é mais simples determiar a derivada g (x), que é uma série geométrica, logo de soma cohecida: g (x) = ( ) ( ) a (x a) = a ( ) a x = a a ( a x a ) = x Como f (x) = g (x) para x a < a e f(a) = g(a) = loga, cocluímos que g(x) = logx o seu itervalo de covergêcia, que é a realidade ]0,2a]. Em muitos casos, o cálculo de séries de Taylor e do respectivo raio de covergêcia ão deve ser feito a partir da defiição 5.5.2, mas sim a partir de outras séries já cohecidas. Exemplos Para calcular a série de Taylor de coshx = ex +e x 2 recordamos que as seguites expasões são válidas para qualquer x R: e x = x!,e x = ( x) = ( ) x!! Temos portato, para qualquer x R, ( coshx = ) x 2! + ( ) x +( ) =! 2 x! = x 2 (2)! 2. Para calcular a série de Taylor de uma fução como f(x) = e x2, deve simplesmete proceder-se por substituição a série cohecida da expoecial: ( ) x 2 ( ) e x2 = = x 2!! 3. O cálculo da série de Taylor de f(x) = sex x é também uma simples maipulação algébrica: sex x = x ( ) (2+)! x2+ = ( ) (2+)! x2