CAPÍTULO III SUCESSÕES DE TERMOS REAIS

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1 CAPÍTULO III SUCESSÕES DE TERMOS REAIS. Geeralidades Chama-se sucessão de termos reais a qualquer aplicação de N em R. O real u que correspode ao atural é o primeiro termo da sucessão o real u que correspode ao atural é o segudo termo da sucessão em geral, o real u que correspode ao atural é o eésimo termo geral ou aida termo de ordem da sucessão. Os termos de uma sucessão dispõem-se por ordem crescete dos respectivos ídices (por ordem crescete dos aturais a que correspodem) : u, u,..., u,.... A forma mais comum de defiir em cocreto a prática uma sucessão é idicar uma epressão aalítica para o termo geral u, a qual permite obter qualquer termo particular por simples substituição de pelos sucessivos valores desta variável em certos casos porém a coveiete defiição de u requer duas ou mais epressões aalíticas. Os três seguites eemplos são elucidativos : /, par u = v = ( ) w =., ímpar Um outro modo meos usual de defiir uma sucessão cosiste em dar uma regra que permita o cálculo de cada termo à custa de um ou mais termos precedetes (defiição por recorrêcia), como os dois eemplos seguites: u = u, u = / v = v v, v = / v = -. Por vezes a epressão aalítica que defie o termo geral u só tem sigificado iiterruptamete para > k, com k atural fio, caso em que primeiro termo da sucessão se obtém com = k, o segudo com = k e assim por diate. Estes casos podem sempre recoverter-se à situação stadard fazedo v = u k, ou seja, v = u k, v = u k, v 3 = u k 3, etc. É o caso por eemplo de, u =, ( )( ) que só tem sigificado para > e que gera ou origia a mesma sucessão que o termo geral v = u = ( =,,,, ). ( ) Uma sucessão u, u,..., u,... de úmeros reais diz-se majorada se e só se eistir um k R tal que u k, qualquer que seja N diz-se miorada se e só se eistir um k R tal que u k, qualquer que seja N diz-se limitada se só se for majorada e miorada simultaeamete. 3

2 Uma sucessão diz-se crescete se e só se u u... u... e diz-se decrescete se e só se u u... u... geericamete, desigam-se por moótoas as sucessões crescetes ou decrescetes. No desevolvimeto da teoria desempeha papel sigificativo o chamado cojuto dos termos de uma sucessão. Trata-se do cojuto U = { : N : u = }, cojuto que, depededo da sucessão, pode ser fiito ou ifiito umerável. Por eemplo, para a sucessão u = / tem-se U = {, /, /3, } e para a sucessão u = (-) tem-se U = { -, }. Cada elemeto do cojuto U aparece pelo meos uma vez como termo da sucessão, mas ada impede que se repita um úmero fiito ou uma ifiidade de vezes, como acotece o caso da sucessão de termo geral u = [(-) ]./ em que se tem U = { 0,, /, /3, }, sedo que o zero se repete uma ifiidade de vezes a sucessão (são ulos todos os termos de ordem ímpar).. Coceito de limite. Teoremas fudametais Diz-se que lim u = u (fiito, ou - ) se só se : ε > 0, ε : > ε u V ε (u). Cosoate u seja fiito, mais ifiito ou meos ifiito, a codição u V ε (u) pode escrever-se respectivamete u u < ε, u > /ε ou u < - /ε. As sucessões com limite fiito dizem-se covergetes e as sucessões covergetes para zero dizem-se ifiitésimos. Tedo em cota a defiição de limite, coclui-se de imediato que u coverge para o real u se e só se a sucessão v = u u é um ifiitésimo. Coclui-se com facilidade que lim u = u (fiito) lim u = u esta implicação resulta de imediato do facto de ser u - u u - u, desigualdade sobre módulos cuja justificação se deia ao cuidado do leitor. Note-se, o etato, que pode eistir lim u sem que eista lim u, como mostra o eemplo da sucessão u = (-). No etato, tem-se que lim u = 0 equivale a lim u = 0, como facilmete se coclui recorredo à defiição de limite. Estudam-se seguidamete algus teoremas importates sobre limites. Teorema : Sedo lim u = u e v u ão pode ter-se lim u = v (uicidade do limite) Demostração : Com v u é possível, escolhedo ε > 0 suficietemete pequeo, ter duas vizihaças V ε (u) e V ε (v) sem elemetos comus (disjutas). Ora, sedo lim u = u tem-se u V ε (u) de certa ordem em diate ão podedo portato ter-se u V ε (v) de certa ordem em diate, ou seja, ão pode ter-se lim u = v. 33

3 Teorema : Sucessão com limite fiito é limitada Demostração : Sedo lim u = u (fiito), tem-se de certa ordem m em diate u V (u) =] u, u [, sedo portato a sucessão majorada por λ = Má { u, u,..., u m, u } e miorada por µ = Mi { u, u,..., u m, u }. Note-se que a iversa do teorema precedete ão é verdadeira como mostra o caso da sucessão limitada u = (-). Teorema 3 : Sedo u uma sucessão crescete, eiste sempre lim u, fiito se a sucessão for majorada, o caso cotrário. Sedo u uma sucessão decrescete, eiste sempre lim u, fiito se a sucessão for miorada, - o caso cotrário Demostração : Seja u, u,..., u,... uma sucessão moótoa crescete. Se a sucessão ão for majorada, tem-se que para qualquer ε > 0 eiste certo termo de ordem ε que ecede /ε dado tratar-se de uma sucessão crescete, tem-se etão, a partir da referida ordem ε, u > /ε, ou seja, lim u =. Se a sucessão for majorada, seja U o cojuto dos reais que são termos da sucessão claro que U é igualmete majorado e tem portato supremo, λ = Sup U. Vejamos que se tem precisamete lim u = λ. Fiado um qualquer ε > 0, eiste pelo meos um ε U tal que, λ - ε < ε λ, caso cotrário λ - ε seria um majorate de U iferior ao respectivo supremo esse ε será um certo termo da sucessão, seja ele o termo de ordem ε. Etão, devido à mootoia crescete da sucessão todos os termos a partir dessa ordem pertecem ao itervalo ] λ - ε, λ], ou seja, > ε u - λ < ε, o que implica lim u = λ. Tratado-se de uma sucessão moótoa decrescete, uma argumetação semelhate coduz às seguites coclusões: se a sucessão ão for miorada, tem-se lim u = - se for miorada, tem-se lim u = λ = If U, em que U desiga como o caso da mootoia crescete o cojuto dos reais que são termos da sucessão. As coclusões precedetes subsistem o caso da mootoia só ocorrer a partir de certa ordem, como facilmete se compreede, pelo que se pode euciar o seguite, Corolário : Sedo u uma sucessão crescete de certa ordem em diate, eiste sempre lim u, fiito se a sucessão for majorada, o caso cotrário. Sedo u uma sucessão decrescete de certa ordem em diate, eiste sempre lim u, fiito se a sucessão for miorada, - o caso cotrário Nos teoremas seguites itervém uma codição importate verificada por certas sucessões. Uma sucessão de úmeros reais verifica a codição de Cauch se e só se, 34

4 ε > 0, ε : > m > ε u - u m < ε. Prova-se com facilidade que as sucessões covergetes verificam a codição de Cauch. Teorema 4 : Sedo lim u = u (fiito), etão a sucessão u verifica a codição de Cauch Demostração : Por ser lim u = u (fiito), tem-se, Cosiderado > m > ε, temos etão, ε > 0, ε : > ε u - u < ε /. u - u m = u - u u - u m u - u u - u m < ε / ε / = ε, ficado assim provado que a sucessão verifica a codição de Cauch. No teorema seguite vamos ver que, iversamete, se uma sucessão verifica a codição de Cauch. etão tem limite fiito. Com vista a facilitar a demostração, vejamos dois resultados que ela serão utilizados: a) Se uma sucessão verifica a codição de Cauch, etão ela é limitada. Com efeito, fiado por eemplo ε =, eiste uma ordem tal que, > m > u - u m <, ou seja, fiado por eemplo m =, tem-se, para > m, u m - < u < u m como os termos até à ordem m (iclusivé) são em úmero fiito e os restates são miorados por u m - e majorados por u m, coclui-se que a sucessão é limitada. b) Se um cojuto X limitado tem dois quaisquer dos seus elemetos diferido em valor absoluto por meos de ε > 0, etão tem-se, 0 Sup X - If X ε. Com efeito, se fosse Sup X - If X > ε, tomado δ > 0 tal que Sup X - If X - δ > ε, ter-se-ia, e haveria elemetos, X tais que, dode resultaria, (Sup X - δ /) - (If X δ /) > ε, > Sup X - δ / e < If X δ /, - > (Sup X - δ /) - (If X δ /) > ε, o que seria cotrário à hipótese de quaisquer dois elemetos de X diferirem em valor absoluto por meos de ε. 35

5 Posto isto, podemos euciar e demostrar o, Teorema 5 : Se u verifica a codição de Cauch, etão eiste fiito lim u Demostração : Seja X o cojuto dos termos da sucessão com ordes de em diate (iclusivé o ). Como se disse a alíea a) das cosiderações que precedem o teorema, a sucessão é limitada (porque supostamete verifica a codição de Cauch) e daí decorre que os cojutos X são limitados. Por outro lado, tem-se X X... X... e etão, fazedo l = If X e L = Sup X, resulta : l l... l... e L L... L... eistem portato l = lim l e L = lim L (ver teorema 3) e claro que l L além disso, l e L são fiitos porque l e L são sucessões limitadas (tem-se l l L L ). A partir da ordem ε os cojutos X verificam a seguite propriedade: quaisquer dois dos seus elemetos diferem em valor absoluto por meos de ε, porque se trata de dois termos u p e u k com ordes maiores que ε e porque a codição de Cauch (supostamete verificada pela sucessão) garate que esse caso u p - u k < ε. Pelo que ficou dito a alíea b) das cosiderações que precedem o teorema, tem-se etão 0 L - l ε para > ε. Etão deverá ser 0 L - l ε dode resulta, devido à arbitrariedade do valor de ε, L = l. Vejamos agora que é precisamete lim u = L = l. Como para cada, pertece ao cojuto X, tem-se l u L e de lim l = l = L = lim L resulta etão por equadrameto (ver adiate) que também lim u = L = l, como se queria provar. O teorema está demostrado. Os teoremas que a seguir se demostram relacioam o coceito de limite de uma sucessão com algumas oções topológicas já estudadas. Teorema 6 : Sedo A R, a codição ecessária e suficiete para que a (a R, a = ou a = - ) seja poto de acumulação de A é que eista eista uma sucessão de elemetos de A, com ifiitos termos distitos de a, tal que lim = a Demostração : A codição é ecessária. Sedo a poto de acumulação de A, em qualquer V ε (a) eiste pelo meos um a pertecete a A. Tomado etão ε = /, tem-se que em V / (a) eiste um a pertecete ao cojuto A. Vejamos que se tem lim = a : dado um qualquer ε > 0, tem-se para > ε (com certa ordem ε ) que / < ε e portato, > ε V / (a) [ V / (a) V ε (a) ] V ε (a), assim se cocluido que lim = a. A codição é suficiete. Se eiste uma sucessão de elemetos de A com ifiitos termos distitos de a tal que lim = a, vejamos que a é poto de acumulação de A. Dada uma qualquer V ε (a) ela se ecotram todos os termos de certa ordem em 36

6 diate (por ser lim = a ) e portato, dado haver ifiitos termos da sucessão distitos de a, ela se ecotra pelo meos um elemeto de A distito de a, logo a é poto de acumulação do cojuto A, como se pretedia provar. Teorema 7 : Um real a é aderete de um cojuto A R se e só se eiste uma sucessão de elemetos de A tal que lim = a Demostração : Se a Ad A = A A, ou a A ou a A. No primeiro caso, a sucessão de termo geral = a A tem por limite o poto a o segudo caso, ou seja, se a A, o teorema 6 garate que eiste uma sucessão de elemetos de A que tem por limite o poto a. Iversamete, se eiste uma sucessão de elemetos de A que tem por limite o poto a, das duas uma: ou os termos da sucessão são todos iguais a a de certa ordem em diate e etão a A ou há ifiitos termos distitos de a e etão pelo teorema 6 tem-se a A em qualquer dos casos a Ad A = A A. Teorema 8 : Um cojuto A R é fechado se e só se, qualquer que seja a sucessão de elemetos de A com limite real, esse limite pertece ao cojuto A Demostração : Se A é fechado, etão A = Ad A. Seja uma qualquer sucessão de elemetos de A tal que a = lim (a R ) etão, pelo teorema 7, esse real a pertece a Ad A, logo pertece a A. Iversamete, se para qualquer sucessão de elemetos de A com limite real esse limite pertece a A, etão A = Ad A (ou seja, A é fechado). Basta provar que Ad A A, porque a iclusão cotrária é sempre verdadeira. Ora dado um qualquer a Ad A, o teorema 7 garate a eistêcia de uma sucessão de elemetos de A e com limite real a = lim e portato, por hipótese, a A. Fica assim provada a iclusão desejada. 3. Sublimites. Teoremas fudametais Dá-se o ome de subsucessão da sucessão u, u,..., u,... a qualquer sucessão uα, u,..., u,... α α em que os α costituem uma sucessão estritamete crescete de úmeros aturais. Claro que se lim u = u, também lim u α = u, porque se a partir de certa ordem ε se tem u V ε (u), a partir dessa mesma ordem tem-se também u α V ε (u), porque > ε α > ε. Note-se que esta propriedade é válida mesmo o caso mais geral em que α é uma sucessão de úmeros aturais, ão ecessariamete crescete, desde que lim α = : com efeito, sedo ε a ordem a partir da qual se tem u V ε (u) e sedo k ε a ordem a partir da qual se tem α > ε, resulta que > k ε α > ε u α V ε (u), assim se cocluido que lim u α = u. 37

7 Os limites das subsucessões de uma sucessão de chamam-se sublimites da sucessão origial. O teorema seguite tem grade utilidade prática a determiação dos sublimites de uma sucessão : Teorema 9 : Dada a sucessão u cosiderem-se as seguites subsucessões em úmero fiito : uα, u,..., u,... α α, com limite α uβ, u,..., u,... β β, com limite β. uω, uω,..., uω,..., com limite ω e admita-se que cada termo u da sucessão está uma e uma só das subsucessões cosideradas. Nessas codições, ehum λ α, β,, ω pode ser sublimite de u, ou seja, a sucessão apeas admite os sublimites α, β,, ω Demostração : Dado λ α, β,, ω fie-se ε > 0 suficietemete pequeo de tal forma que a vizihaça V ε (λ) ão teha potos em comum com ehuma das vizihaças V ε (α), V ε (β),, V ε (ω). Todos os termos de u α ecepto quado muito um úmero fiito deles pertecem a V ε (α) todos os termos de u β ecepto quado muito um úmero fiito deles pertecem a V ε (β) etc. Como as subsucessões são em úmero fiito e elas se ecotram todos os termos de u, pode cocluir-se que quado muito apeas um úmero fiito de termos u poderão pertecer a V ε (λ), o que eclui a possibilidade de λ ser sublimite da sucessão. Como aplicação do teorema aterior, cosidere-se a sucessão u = (-).. Nas duas subsucessões, u com limite e u - com limite 0, ecotram-se todos os termos da sucessão origial e, portato, esta apeas admite como sublimites 0 e. Note-se aida que o teorema aterior deia de ser válido se as subsucessões referidas o euciado forem em umero ifiito. Por eemplo, o caso da sucessão,,, /,, /, /3,, /, /3, /4,,, /,, /m,, cosiderado as subsucessões,,,,,,, com limite igual a /, /,, /,, com limite igual a / /3, /3,, /3,, com limite igual a /3. 38

8 /m, /m,, /m,, com limite igual a /m.. cada termo da sucessão origial figura uma e uma só das subsucessões o etato a sucessão dada admite também o sublimite 0 dado ser ulo o limite da seguite subsucessão da sucessão dada :, /, /3, /4,. Estudam-se seguidamete algus importates teoremas evolvedo o coceito de sublimite. Teorema 0 : Qualquer sucessão u de úmeros reais, admite uma subsucessão moótoa u α Demostração : Seja K o cojuto dos aturais α tais que > α u > u α. Se K for ifiito, sejam α < α <... < α <... os respectivos elemetos dispostos por ordem cres-cete como α K, tem-se p > α u p > u α e resulta etão, tomado p = α > α, uα > u α, o que prova ser u α uma subsucessão crescete de u. Caso K seja fiito, seja β = Má K se K e β = se K = como β K, resulta da defiição de K a eistêcia de um atural β > β tal que uβ u β (caso cotrário seria β K ) e como, por sua vez, β K, resulta igualmete a eistêcia de β 3 > β > β tal que uβ uβ u 3 β prosseguido deste modo, obtém-se uma subsucessão uβ moótoa decrescete. São corolários imediatos deste teorema: Corolário : Qualquer sucessão u de úmeros reais, admite uma subsucessão limite (fiito ou ifiito) u α com Demostração : Resulta imediatamete do teorema aterior, cojugado com o teorema 3. Corolário : Qualquer sucessão limitada u de úmeros reais, admite uma subsucessão u α com limite fiito Demostração : Resulta do corolário aterior cojugado com o facto de uma sucessão limitada ão admitir subsucessões com limites ifiitos. Teorema : Para que um certo b (b R, b = ou b = - ) seja sublimite de uma sucessão real é ecessário e suficiete que para qualquer V ε (b) e qualquer iteiro m, eista um iteiro k > m tal que k V ε (b) 39

9 Demostração : A codição é evidetemete ecessária. Vejamos que é igualmete suficiete. Supodo a codição verificada, defia-se a subsucessão de pela seguite codição: α 0 = e α é o meor iteiro maior que α - que faz α V / (b). Como / < ε a partir de certa ordem ε, tem-se α V / (b) V ε (b), a partir dessa mesma ordem, ou seja, b = lim α, logo b é sublimite de. Teorema : A codição ecessária e suficiete para que uma sucessão teha limite é que ão admita dois sublimites distitos. Demostração : Que a codição é ecessária ficou demostrado as cosiderações que imediatamete precedem o coceito de sublimite. Como se viu etão, se lim u = u, também lim u α = u, qualquer que seja a subsucessão u α. Vejamos que a codição é também suficiete. Admita-se etão que a (real, - ) é o úico sublimite da sucessão u. Caso a sucessão u ão tivesse a como limite, etão eistiria um certo ε > 0 tal que u V ε (a) para ifiitos valores de, sejam eles por ordem crescete α, α,..., α,... a correspodete subsucessão u α ão poderia evidetemete ter a como limite em como sublimite mas admitiria um sublimite (pelo corolário do teorema 0) o qual seria assim distito de a este sublimite seria também um sublimite da sucessão iicial u, cotrariado-se assim a hipótese assumida de a ser o úico sublimite desta sucessão. Teorema 3 : O cojuto S dos sublimites fiitos de uma sucessão é um cojuto fechado Demostração : Podemos supor que S, pois o caso de S ser vazio é obviamete fechado. Para provar que S é fechado bastará provar que S S. Dado a S, em qualquer V ε (a) eiste pelo meos um ε a pertecete a S, por defiição de poto de acumulação. Claro que esse ε, por pertecer a S, será limite de uma certa subsucessão de. Fazedo δ = ε - d( ε, a) > 0, tem-se que todos os termos de α α se ecotram em V δ ( ε ) de certa ordem ε em diate etão, dado um qualquer iteiro m, basta escolher 0 a verificar m, α α > m e 0 > ε para se ter, com k = 0 d( k, a) d( k, ε ) d( ε, a) < δ d( ε, a) = ε, α > 0 ou seja, k V ε (a) tal sigifica, de acordo com o teorema, que o poto a é sublimite da sucessão, ou seja, a S. Assim se prova que S S, ou seja, que o cojuto S é fechado. Estamos agora em codições de defiir os coceitos de limite míimo e limite máimo de uma sucessão real. Cosideremos os seguites casos : 40

10 a) Se a sucessão u é limitada, o cojuto dos seus sublimites é um subcojuto de R fechado (ver teorema 3) e obviamete limitado. Tal cojuto admite etão máimo e míimo e pode defiir-se : lim ma u = maior dos sublimites lim mi u = meor dos sublimites. b) Se a sucessão u ão é majorada mas é miorada, admite como sublimite e etão defie-se lim ma u =. Quato ao limite míimo, dois casos se podem dar : ou ão há sublimites reais, sedo o úico sublimite e esse caso também é lim mi u = ou há sublimites reais e etão o respectivo cojuto será fechado e miorado, tedo portato míimo, míimo esse que será precisamete lim mi u. c) Se a sucessão u é majorada mas ão miorada, admite - como sublimite e etão defie-se lim mi u = -. Quato ao limite máimo, dois casos se podem dar : ou ão há sublimites reais, sedo - o úico sublimite e esse caso também é lim ma u = - ou há sublimites reais e etão o respectivo cojuto será fechado e majorado, tedo portato máimo, máimo esse que será precisamete lim má u. d) Se a sucessão u ão é majorada em miorada, admite - e como sublimites e tem-se etão lim mi u = - e lim ma u =. Claro que lim mi u lim ma u e, para qualquer sublimite λ da sucessão, tem-se, lim mi u λ lim ma u. As cosiderações precedetes e o disposto o teorema permitem euciar : Teorema 4 : A codição ecessária e suficiete para que a sucessão u teha limite é que se verifique a igualdade lim mi u = lim ma u, sedo esse caso o valor comum o limite da sucessão 4. Regras elemetares para cálculo de limites 4. Soma, produto e quociete As regras básicas do cálculo de limites, bem como os casos de idetermiação a que as mesmas podem coduzir, são supostamete cohecidas. Assim: a) Limite da soma : lim (u v ) = lim u lim v, com as coveções seguites: a (± ) = (± ) a = ± ( a real) ( ) ( ) = (- ) (- ) = -. Casos de idetermiação : ( ) (- ) e (- ) ( ). b) Limite do produto : lim (u. v ) = lim u. lim v, com as coveções seguites: a. (± ) = (± ). a = ± ( a real positivo) a. (± ) = (± ). a = m ( a real egativo) ( ). ( ) = (- ). (- ) = ( ). (- ) = (- ). ( ) = -. Casos de idetermiação : (± ). 0 e 0. (± ). c) Limite do quociete : lim (u / v ) = lim u / lim v, com as coveções seguites: 4

11 a/(± ) = 0 (± )/a = ± ( a real positivo) (± )/a = m ( a real egativo). Casos de idetermiação : 0/0, (± )/(± ) e (± )/0. A título de eemplo demostraremos apeas a regra do limite do quociete, o caso em que lim u = u fiito e lim v = v fiito e diferete de zero, que é uma das que evolve maior dificuldade. Tem-se: u v u = v u v v u v v = u v u v u v v u v v = = u ( v v ) v ( u u) u. v v v. u u v v v v de lim v = v 0, resulta lim v = v > 0 e cosiderado um valor positivo α tal que v - α > 0, tem-se, 0 < v - α < v < v α, de certa ordem k em diate por outro lado, as sucessões u e v são limitadas ( por serem covergetes) e, portato, eiste um λ tal que u λ e v λ. Temse etão, u u λ. v v λ. u u, v v v.( v α) ou seja, u u β.( v v u u ), v v ( β costate ) da supracitada ordem k em diate e como lim u - u = lim v - v = 0, também lim β.( v v u u ) = 0 sedo, portato, u v u β.( v v u u ) < ε, v de certa ordem ε em diate, o que prova ser lim (u / v ) = u /v. 4. Potêcia de epoete atural Sedo lim u = u e k N, tem-se, aplicado a regra do limite do produto, 4

12 lim (u ) k = u k = ( lim u ) k, com as coveções seguites: ( ) k = (- ) k =, se k par (- ) k = -, se k ímpar. 4.3 Raiz de ídice atural Sedo lim u = u e k N, vejamos o que se passa com lim k u. Note-se que com k par deve ser u 0 com k ímpar, os termos de u podem ter qualquer sial. º Caso : u 0 para todos os. a) Quado seja u = 0, tem-se: ε > 0, ε : > ε u < ε k k u < ε lim k u = 0 b) Quado seja u =, tem-se u k u ou k u u, cosoate seja, u ou u. Em qualquer dos casos tem-se a desigualdade e etão, lim u = lim u - = 0 lim k u - u - k u - = 0 lim k u = c) Quado seja u > 0 e u, tem-se lim (u / u) = e etão aplicado o resultado obtido em b), lim k u / u = lim d) Quado seja u =, tem-se, k k u u = lim k u = k u ε > 0, ε : > ε u > /ε k k u > /ε lim k u =. Tem-se sempre, portato, lim alíea d) : k =. k u = k lim u desde que se covecioe quato à º Caso : u < 0 para todos ou algus dos. Neste caso k deve ser ímpar para se assegurar a eistêcia de Etão: k u o campo real. a) Quado seja u = 0, o argumeto da alíea a) do º caso aplica-se tal e qual 43

13 b) Quado seja u =, tem-se u 0 de certa ordem em diate e etão a desigualdade k u - u -, obtida a alíea b) do º caso, é válida dessa ordem em diate cocluido-se como etão que lim k u = c) Quado seja u > 0 e u, o mesmo argumeto que foi usado a alíea c) do º caso coduz a lim k = k u u d) Quado seja u =, lim k u = como a alíea d) do primeiro caso e) Quado seja u < 0, tem-se - u com limite - u > 0 e aplicado os resultados das alíeas b) e c), resulta lim k u = k u, dode resulta lim k u = k u. f) Quado seja u = -, tem-se, ε > 0, ε : > ε u < -/ε k k u < -/ε lim k u = -. Tem-se sempre, portato, lim alíeas: k = e k = - (k ímpar). k u = k lim u desde que se covecioe quato às 4.4 Potêcia de epoete racioal positivo Vejamos primeiro, como itrodução, a defiição de potêcia de epoete racioal positivo. Dado r Q sabe-se que r se pode represetar por uma fracção irredutível, r = p/q, com p, q N. É esta represetação que vai ser usada para defiir potêcia de epoete racioal positivo : a r = q a p. Com esta defiição a r ( r > 0 ) carece de setido quado seja q par e a < 0 ( repare-se que, sedo q par etão p tem de ser ímpar porque p/q é supostamete uma fracção irredutível ). Esta defiição de potêcia de epoete racioal positivo é coerete com a defiição relativa ao caso de epoete atural, ou seja, com r = atural tem-se r = / e, portato, a r = a = a = a. a..... a ( factores). Também facilmete se costata que as regras operatórias cohecidas sobre potêcias de epoete atural se estedem, com esta defiição, às potêcias de epoete racioal positivo. Assim, por eemplo, com r = p/q e s = m/, caso teham setido a r e a s, tem-se: a r. a s = q a p. a m = q a p. q a mq = q a p m q 44

14 caso q e p mq ão sejam primos etre si dividem-se ambos pelo respectivo máimo divisor comum k assim se obtedo os quocietes α e β que são úmeros aturais primos etre si : q = kα e p mq = kβ etão, a r. a s = q a p m q = α a β = a β/α = a r s, porque a fracção irredutível β /α represeta o racioal, β /α = (kβ) /(kα) = p mq q = (p/q) (m/) = r s. Note-se aida que ão se levatam problemas de eistêcia das sucessivas raízes evolvidas a argumetação precedete: se q ou são pares, deve ser a 0 e a eistêcia das sucessivas raízes fica assegurada se q e são ímpares, caso em que pode ser a < 0, q e α são ímpares e fica também assegurada a eistêcia das raízes em causa. Repare-se também que a igualdade, a p. a mq = a p mq, é justificada pela regra de multiplicação de potêcias da mesma base e epoete atural. Vejamos etão o caso do limite da sucessão (u ) r, com r Q. Sedo u o limite de u, admita-se que a represetação fraccioária irredutível de r é p/q. Caso seja u 0 para todos os, tem-se igualmete u 0 e etão, aplicado o eposto em 4. e 4.3 : lim (u ) r q p = lim u q p = lim u = q u p = u r = (lim u ) r, com a coveção ( ) r =. Caso seja u < 0 para todos ou algus, q deve ser ímpar e etão também, lim (u ) r q p = lim u q p = lim u = q u p = u r = (lim u ) r, com as coveções: ( ) r =, (- ) r = - se p for ímpar e (- ) r = se p for par. 4.5 Potêcia de epoete ulo No caso de epoete ulo, defie-se como se sabe a 0 =, a codição de ser a 0 ( ão se defie 0 0 ). Esta defiição coserva as propriedades operatórias das potêcias de epoete racioal positivo como facilmete se verifica. Tem-se etão sempre lim ( u ) 0 = idepedetemete do comportameto de u (eigido-se apeas que u 0 ) Potêcia de epoete racioal egativo 45

15 Vejamos primeiro, como itrodução, a defiição de a -r, com -r Q -. Como se sabe, defie-se este caso a -r = /a r, tedo a r (r > 0) o sigificado dado em 4.4. Nos casos em que a r (r > 0) careça de setido (vistos em 4.4), o mesmo acotece com a -r, acrescedo agora um ovo caso específico relativo ao epoete egativo : trata-se do caso em que a = 0, pois seria 0 -r = /0 r = /0 (veja-se em 4.4 que, com r > 0, 0 r = 0 ). Com esta defiição, as regras operatórias sobre potêcias de epoete racioal positivo ou ulo, trasmitem-se ao caso das potêcias de epoete racioal egativo, como facilmete se verifica. Sedo lim u = u, vejamos etão o que sucede com lim (u ) -r, quado seja -r racioal egativo. Supodo a eistêcia de (u ) -r, eiste também (u ) r e além disso u 0, efectuado-se portato o cálculo de lim ( u ) -r usado a relação, lim ( u ) -r = lim / (u ) r, cojugado o que se disse em 4.4 sobre lim (u ) r com a regra do limite do quociete. Quado seja lim u = u 0, coclui-se que, lim ( u ) -r = lim /(u ) r = / u r = u -r, com a coveção (± ) -r = 0. Fica idetermiado o caso em que lim u = 0, o qual eige uma aálise cuidada do modo como u tede para zero e do valor do epoete egativo -r o limite pode ser, - ou pura e simplesmete ão eistir. 5. Cálculo de limites por equadrameto Admita-se que u w v de certa ordem k em diate. É fácil cocluir que, sedo lim u = lim v = u R, também lim w = u. Com efeito, verificado-se u - u < ε e v - u < ε das ordes p ε e q ε em diate, respectivamete, tem-se, > p ε u - ε < u < u ε > q ε u - ε < v < u ε etão, a partir da ordem ε = Má { p ε, q ε, k}, tem-se, por ser u w v, que u - ε < w < u ε, dode resulta lim w = u. Por outro lado, sedo u w de certa ordem em diate e lim u =, também lim w =, como é evidete e sedo u w de certa ordem em diate e lim u = -, também lim w = -. Vejamos três eemplos de cálculo de limites por equadrameto : ) Cálculo de lim a (a > 0). Quado seja a >, tem-se b = a - > 0, dode a = b, com b > 0. Etão, a = ( b ) b, ou seja, 0 < b (a - )/, dode resulta de imediato por equadrameto que lim b = 0, ou aida, lim a =. 46

16 Visto o caso a >, o caso 0 < a < é imediato : tem-se /a >, logo lim /a e, portato, lim a = lim =. /a Quato ao caso a =, é óbvio que também lim a =. = ) Cálculo de lim ( a/ ), em que a R. Desigado por a o termo geral da sucessão, tem-se : a =. a ( )! a 4 ( )( ) a 3! 3 ( )... a! 6 = a a a = ( ) ( )( ) 3! 3! 3 ( )( ) ( ) a! etão, para > a, 3 0 a - a a a a = a a a a ( 3 ) = a = a a a e dado que, a lim = 0, a resulta por equadrameto, lim a - = 0, ou seja, lim a =. a = a a r 3) Cálculo de lim ( a/ r ), em que r é uma sucessão de úmeros racioais com limite e a R. Sedo p o maior iteiro que é meor ou igual a r, p r < p, tem-se por equadrameto que lim p = (dado que p > r -). Com a > 0, tem-se a partir de certa ordem (desde que r p > 0 ), p r ( a/ r ) p ( a/ p ) = ( a/ p ). ( a/ p ) por ser p uma sucessão de iteiros tal que lim p = e lim ( a/ ) eemplo ), coclui-se que, = (ver p lim ( a/ p ). ( a/ p ) =, 47

17 r dode, por equadrameto, lim ( a/ r ) =. Com a < 0, tem-se a partir de certa ordem (desde que r p > a ), p r ( a/ r ) p ( a/ p ) = ( a/ p ). ( a/ p ), e um argumeto semelhate ao utilizado o caso a > 0, permite cocluir que também o r caso em aálise, lim ( a/ r ) =. r Com a = 0, vê-se directamete que, lim ( a/ r ) =. 6. Epoecial de base atural. O úmero e de Neper 6. Itrodução Vamos mostrar que eiste limite fiito para a sucessão = ( /), com > 0. Tem-se, = ( )! ( )( ) 3 3! 3 ( )...! = 3 = ( ) ( )( )! 3! ( )( ) ( )!, e escrevedo estas igualdades para, podemos comparar com e cocluir que as parcelas que têm a mesma potêcia de são maiores em e, além disso, tem aida uma parcela positiva a mais o fial. Etão, <, ou seja, trata-se de uma sucessão estritamete crescete. Vejamos agora que se trata de uma sucessão majorada. Observado o desevolvimeto fial obtido para, coclui-se que, 3 <! 3!!, mas deverá otar-se que a soma do lado direito da desigualdade ão é o majorate pretedido para a sucessão porque o respectivo valor depede da ordem do termo da sucessão e o que se deseja é um valor real que majore todos os termos da sucessão (a realidade basta obter um úmero que majore todos os termos da sucessão de certa ordem 48

18 fia em diate, porque etão, como a sucessão é moótoa crescete, esse mesmo úmero majorará todos os termos da sucessão). Vejamos etão como obter um majorate dos termos de certa ordem fia em diate. Fiado um iteiro m, tem-se para > m, 3 m m <! 3! m! ( m )!! m m m! ( m ) ( m )( m ) ( m )( m )... = K m [ ] m m = m! ( m ) ( m ) ( m ) m < K m [ ] m = K m m m m! m, em que, K m = 3 m! 3! ( m )! atededo agora a que m >, tem-se a seguite majoração para os termos da sucessão : = < < K m m m! m. Em coclusão: Sedo > 0, a sucessão = ( /) é crescete e majorada, logo eiste fiito lim ( /). E dado que > 0, coclui-se que lim >. Podemos agora estudar da eistêcia de lim ( /), o caso em que < 0 ( o caso de ser = 0 é óbvio que o limite eiste e é igual à uidade). De < 0 resulta - > 0, eistido portato lim (- /). E como, ( /). (- /) = (- / ), obtém-se, ( /) = ( / ), ( / ) dode se coclui pela eistêcia de, lim ( /) = lim ( / ) (fiito), 49

19 dado que a sucessão do umerador tede para (coforme eemplo do poto 3.) e eiste sigificativo o limite do deomiador ( como vimos é maior que ). Portato, em resumo, eiste fiito lim ( /), qualquer que seja R. Este limite será retomado mais adiate para futuros desevolvimetos. Desigado-o provisoriamete por E(), das cosiderações precedetes resultam de imediato as seguites propriedades : ) Para qualquer R, tem-se E() = / E(-). Esta relação foi obtida para < 0, quado se provou a eistêcia de E() para valores egativos de para = 0 ela é obviamete válida dado ser E(0) = para > 0, tem-se - < 0, dode E(-) = / E() e esta relação é equivalete a E() = / E(-) ) Para > 0, tem-se como vimos E() > para < 0, dada a relação referida em ), tem-se E() <. 6. O úmero e de Neper Retome-se a sucessão = ( /) e cosidere-se =. Obtém-se assim a sucessão a = ( /) que como vimos tem limite fiito. Desigaremos esse limite pela letra e : e = lim ( /). Como a sucessão a = ( /) é estritamete crescete, os seus termos darão sempre valores meores que e. Aproveitado a majoração que se fez em 6. para a sucessão = ( /) (o caso > 0 ), podemos equadrar o úmero e de forma a calcular o seu valor com a aproimação que se deseje. Ora viu-se que os termos da sucessão (supodo > 0 ) são majorados por, m M m = K m, m! m com, 3 m K m =! 3! ( m )!, e em que m desiga um qualquer iteiro maior ou igual a. Como o caso em aálise =, podemos tomar um qualquer m para majorar os termos da sucessão. Assim, para m =,, 3, 4, 5 obtêm-se os majorates (deiam-se os cálculos ao cuidado do leitor): M = 3 M =,75 M 3 =,7... M 4 =,7875 M 5 =, Tem-se etão, tomado por eemplo m = 5, a < e, , o que permite, calculado os termos a para algus valores de, coseguir com facilidade um equadrameto satisfatório para o úmero e por eemplo, tomado = 5000, obtém-se a 5000,7800, assim se cocluido que,7800 < e,

20 Prova-se que o úmero e é irracioal, idicado-se a seguir a parte iicial da dízima que o represeta : e =, Para termiar esta apresetação do úmero e, vamos mostrar que, r e = lim ( / r ), em que r é uma qualquer sucessão de úmeros racioais com limite ou -. Vejamos primeiro o caso em que lim r =. Sedo p o maior iteiro que é meor ou igual a r, p r < p, tem-se lim r = lim p = porque p > r -. A partir de certa ordem (desde que seja r p > 0 ), tem-se etão, p p r r p p. Dado que, lim p p = lim p p = lim = e, por serem p e p sucessões de iteiros ambas com limite, obtém--se, lim p p = lim p p p = e / = e lim p p = lim p p. p = e. = e, dode se coclui por equadrameto que, lim r r = e. 5

21 Vejamos agora o caso em que lim r = -. Tem-se, r r. r r = r de lim r = - resulta lim (- r ) = e etão, r r r = r ( r ) r r r lim = e / = e, r pois como se viu o eemplo 3 do poto 5. a sucessão do deomiador tede para a uidade. O leitor mais ateto poderá este mometo pergutar: mas a argumetação precedete ão seria aplicável se r fosse uma sucessão de irracioais? Aparetemete sim, mas o problema é que este mometo do osso estudo ão defiimos aida o que sigifica uma r potêcia de epoete irracioal, ou seja, ( / r ) carece de setido quado r ão for racioal. O cohecimeto ituitivo que o leitor evetualmete teha sobre o sigificado de uma potêcia de epoete irracioal ão é suficietemete rigoroso para o osso estudo. Mais adiate defiiremos de forma rigorosa o coceito de potêcia de epoete irracioal e veremos que a defiição dada garate que, com r a teder para mais ou r meos ifiito, lim ( / r ) = e, mesmo que os r ão sejam racioais. 6.3 Defiição e propriedades da epoecial de base e (base atural) Retomamos aqui o lim ( /) estudado em 6.. Viu-se que tal limite eiste para todo o R, sedo etão tal limite represetado por E() e estudadas duas das suas propriedades. Vamos de seguida estudar de forma mais completa as propriedades de E(), começado pelas duas já vistas ateriormete. P : Tem-se E() = /E(-), qualquer que seja R P : Para > 0, tem-se E() > para = 0, tem-se E() = para < 0, tem-se E() < P3 : Tem-se E() > 0, qualquer que seja R Demostração : Basta provar a desigualdade do euciado para < 0, já que P a assegura os outros casos. Ora, de acordo com P, tem-se E() = /E(-) e como < 0 - > 0 E(-) >, obtém-se 0 < E() < para < 0. P4 : Sedo r uma sucessão de úmeros racioais com limite ou -, tem-se r E() = lim ( / r ) 5

22 Demostração : Para > 0 a demostração é tal qual a que foi efectuada em 6. para o caso particular = [ ote-se que, de acordo com a defiição dada para o úmero e, E() = e ]. Para = 0, o resultado é óbvio. Resta o caso < 0. Neste caso - > 0 e ote-se que se r se ecotra as codições do euciado (sucessão de racioais com limite mais ou meos ifiito), o mesmo acotece com -r etão, E() = / E(-) = lim r r = lim ( / r ) r, dado que a propriedade é válida para - > 0 com a sucessão -r as codições do euciado. P5 : Tem-se E( ) = E(). E(), quaisquer que sejam, R Demostração : Note-se que, ( /). ( /) = = = B B ( ) B! em que por comodidade de otação se fez, ( )... B! 4 0, B - j = j, para j = 0,,,...,. Uma vez que lim ( /). ( /) = E(). E() e lim B = E(), a propriedade ficará provada se demostrar que a sucessão, u = B ( ) B! ( )... B! 4 0, tede para zero. Tem-se, 0 u B e como, para j =,,...,, ( ) ( )... B B 4 0,!! 53

23 B - j = j j, podemos escrever, 0 u. [ ( )! ( )... 4! ] = =. ora, como se viu o eemplo do poto 5., tem-se, e, portato, lim lim =,. = E( ). 0 = 0, assim se cocluido por equadrameto que lim u = 0, ou seja, que lim u = 0, como se pretedia provar. P6 : Sedo r um úmero racioal qualquer, tem-se que E(r. ) = [E()] r Demostração : Com r = 0, a igualdade é óbvia. Com r 0, tem-se, E(r. ) = lim r = lim / r / r r = lim / r / r r = [E()] r, dado ser /r uma sucessão de racioais a teder para mais ou meos ifiito (cosoate o sial de r). P7 : Sedo r um úmero racioal qualquer, tem-se E(r) = e r Demostração : Trata-se de um corolário imediato da propriedade aterior. Com efeito, fazedo a igualdade da propriedade aterior = e atededo a que E() = e, obtém-se E(r) = E(r.) = [E()] r = e r. Estamos agora em codições de dar sigificado a e quado seja irracioal. Faz-se por defiição e = E(), qualquer que seja R. A propriedade P7 garate que, para 54

24 racioal, a igualdade dá a e o sigificado que resulta da defiição já cohecida de potêcia de epoete racioal para R - Q, a igualdade amplia a oção de potêcia de base e ao caso de epoete irracioal. Ou seja, para racioal e igualdade e = E() é um teorema (propriedade P7) para irracioal a mesma igualdade é uma defiição. Claro que as propriedades de E() são agora, com esta defiição, as propriedades de e assim, a) e = /e -, qualquer que seja o real ( P ) b) > 0 e > = 0 e = < 0 0 < e < ( P e P3 ) c) e r = lim ( / r ), com r sucessão de racioais com limite mais ou meos ifiito ( P4 ) d) e = e. e, quaisquer que sejam os úmeros reais e ( P5 ) e) e r = (e ) r, quaisquer que sejam o real e o racioal r ( P6 ). Vejamos agora algumas propriedades adicioais importates da epoecial e = E() abadoado-se e ora em diate o símbolo provisório E() que tihamos adoptado e passado a usar eclusivamete e. P8 : Dada uma sucessão de úmeros reais tal que lim = 0, tem-se lim e = Demostração : Admita-se primeiro que 0 de certa ordem em diate. Do estudo feito o poto 6. sobre o lim ( /) decorre que, com > 0, < e K m m m! m, com, 3 m K m =! 3! ( m )!, para m iteiro fio maior ou igual a sedo 0 de certa ordem em diate e lim = 0, tem-se, a partir de certa ordem, 0 <, e portato para m e >, com, < e K m, m m! m, 55

25 3 m K m, =! 3! ( m )! e como, m lim = 0 m fio lim [ K m, m! m ] =, obtém-se por equadrameto, lim e =. Sedo 0 de certa ordem em diate e lim = 0, tem-se, lim e = lim e =, porque etão - 0 de certa ordem em diate e lim (- ) = 0. Sedo lim = 0 com ifiitos 0 e ifiitos < 0, têm-se duas subsucessões e β (uma para cada caso) ambas com limite ulo. E daí resulta, α lim e α = lim e β =. P9 : Dada uma sucessão de úmeros reais tal que lim e =, tem-se lim = 0 Demostração : Se e de certa ordem em diate, tem-se dessa ordem em diate 0 e e dode resulta por equadrameto que lim ( ) =, ou seja, lim = 0. Sedo e, tem-se e, logo lim (- ) = 0, ou aida, lim = 0. Sedo, para ifiitos, e e para ifiitos, e <, têm-se duas subsucessões α e β (uma para cada caso) ambas com limite ulo utilizado o mesmo argumeto que a parte fial da demostração da propriedade P8, coclui-se que também este caso lim = 0. P0 : Dada uma sucessão de úmeros reais, tem-se lim e = e a se e só se lim = a Demostração : É uma cosequêcia quase imediata de P8, P9 e P5. Com efeito, lim e = e a e a. lim e = e a. e a = lim e a lim ( - a) = 0 lim = a. = P : Sedo <, tem-se e < e 56

26 Demostração : Fazedo z = - > 0, a propriedade P5 permite escrever, e = e z z = e. e > e, porque z > 0 e z >. P : Dada uma sucessão de úmeros reais, tem-se lim e = se e só se lim = e tem-se lim e = 0 se e só se lim = - Demostração : a) Caso do limite. Sedo lim =, tem-se > 0 de certa ordem em diate e etão, dessa mesma ordem em diate, tem-se que e >, desigualdade que permite cocluir que lim e =. Iversamete, se lim e =, dado ε > 0, determie-se a ordem ε a partir da qual e > e /ε para > ε tem-se etão > /ε (caso se tivesse /ε, a propriedade P obrigaria a ser e e /ε ), podedo portato cocluir-se que lim =. b) Caso do limite ulo. Tem-se: lim e = 0 lim e como se queria provar. lim = -, = ( porque e 0 ) lim (- ) = P3 : Dado um qualquer b R, eiste um e um só λ R tal que e λ = b Demostração : A propriedade P garate a possibilidade de e assumir valores arbitrariamete grades (basta para tal tomar valores de suficietemete grades) e valores positivos suficietemete próimos de zero (basta para tal tomar valores de egativos suficietemete grades em módulo). Etão dado b R, eistem valores µ e θ tais que e µ < b < e θ. Cosidere-se o cojuto X dos valores [µ, θ ] que fazem e < b : trata-se de um cojuto ão vazio (pelo meos µ pertece a X ) e majorado (θ é um majorate). Sedo λ = Sup X, tem-se portato µ λ θ. Vejamos que ão pode ter-se e λ < b, em e λ > b, o que permitirá cocluir que e λ = b. a) Não pode ser e λ < b. Esta desigualdade implicaria e λ < e θ, ou seja λ < θ ( λ θ e λ e θ, por P). Eistiria etão uma sucessão de valores ]λ, θ [ tal que lim = λ, o que implicaria ser lim e = e λ. Mas como estamos a cosiderar 57

27 que e λ < b, os termos da sucessão e verificariam a codição e λ < e < b de certa ordem em diate os correspodetes perteceriam etão a X (pois e < b e, por outro lado, ]λ, θ [ [µ, θ ] ) eistiriam assim em X úmeros maiores que o respectivo supremo λ ( ]λ, θ [ λ < ). b) Não pode ser e λ > b. Se fosse, ter-se-ia e < b < e λ para todos os X por ser λ = Sup X, eistiria para cada um úmero X tal que λ - / < λ (caso cotrário, λ - / seria um majorate do cojuto X meor que o respectivo supremo λ) claro que lim = λ e de e < b < e λ resultaria lim e = e λ b < e λ, ou seja, e λ < e λ o que é absurdo. Ficou assim provado que e λ = b. Vamos agora ver que λ é efectivamete o úico valor que verifica a igualdade, e = b. Se um outro valor β também fizesse e β = b = e λ, a propriedade P permitiria cocluir que ecessariamete β = λ ( porque β < λ e β < e λ e, por outro lado, β > λ e β > e λ ). 7. Logaritmos de base atural O estudo feito para a epoecial de base e vai agora permitir-os defiir logaritmo atural e demostrar as suas propriedades. Dado b R viu-se a propriedade P3 que eiste um e um só valor real λ tal que, e λ = b. A esse úmero λ chama-se logaritmo atural ou de base e do úmero positivo b e escreve-se, λ = log b. Das propriedades da epoecial de base e decorrem como muita facilidade as propriedades dos logaritmos aturais, a maioria das quais já são supostamete do cohecimeto do leitor. Assim: P4 : Sedo b >, tem-se log b > 0 sedo b =, tem-se log b = 0 sedo b <, tem-se log b < 0 Demostração : Basta otar que, por defiição de logaritmo atural, b = e log b e ateder a P. Vejamos só a título de eemplo o caso de ser b > : este caso tem-se b = e log b > dode resulta que log b > 0 (dado que, log b 0 e log b, pela propriedade P). P5 : Com b, c > 0, tem-se log ( b.c) = log b log c Demostração: Trata-se de uma cosequêcia imediata da propriedade P5: e log b log c = e log b. e log c = b. c log ( b.c) = log b log c. 58

28 P6 : Com b, c > 0, tem-se log ( b/c) = log b - log c Demostração : Trata-se de uma cosequêcia das propriedades P e P5 : e log b log c = e log b. e log c e log b = log c e = b/c log ( b/c) = log b - log c. P7 : Com b > 0 e r racioal qualquer, log b r = r log b Demostração : Basta ateder à propriedade P6: e rlogb = ( e log b ) r = b r. P8 : Dados, > 0, se < etão log < log Demostração : De = e log < = e log, resulta log < log pois, pela propriedade P, se fosse log log, seria e log e log. P9 : Sedo > 0, tem-se: a) lim = a > 0 lim log = log a b) lim = lim log = c) lim = 0 lim log = - Demostração : a) Tem-se, utilizado a propriedade P0, lim = lim e log = a = e log a lim log = log a b) Como em a), utilizado a propriedade P (caso do limite mais ifiito) c) Como em a), utilizado a propriedade P (caso de limite ulo). 8. Defiição e limites das potêcias de epoete irracioal Viu-se a propriedade P7 que, sedo b > 0 e r um úmero racioal qualquer, log b r = r log b. Desta igualdade decorre, por defiição de logaritmo atural, que, 59

29 b r = e rlogb. Quer dizer : a potêcia de base b > 0 e epoete racioal r qualquer, cujo sigificado já cohecemos, é dada pela igualdade precedete. Vamos precisamete usar essa igualdade, cujo segudo membro tem sigificado mesmo com r irracioal, para defiir potêcia de epoete qualquer (racioal ou irracioal) e base positiva. Com r R, racioal ou irracioal, e b > 0, b r = e rlogb. Claro que, como vimos, para r racioal, esta igualdade dá a b r o sigificado usual já ateriormete estudado. As propriedades das potêcias de epoete racioal e base positiva são coservadas com este alargameto da oção de potêcia. Assim, por eemplo, a) Com α e β reais e b real positivo, b α. b β = e α log b. e log b β log b log b = e α β = ( α β ) log b = e = b αβ b) Com α e β reais e b real positivo, ( b α ) β = ( e α log b ) β β log = e α e log b ( ) = e β α log b = b αβ, sedo as duas últimas igualdades justificadas pela defiição de logaritmo atural c) Com α real e b real positivo, b α = e α log b = e α log b = α b d) Com α real e b e c reais positivos, ) b < c α > 0 log b < log c α log b < α log c α log b e < e α log c b α < c α ) b < c α < 0 log b < log c α log b > α log c 60

30 α log b e > e α log c b α > c α e) Com α e β reais e b real positivo, α log b ) α < β b > α log b < β log b e b α < b β α log b ) α < β b < α log b > β log b e b α > b β. < e β log b > e β log b As restrições que por vezes tivemos que impor o estudo feito os potos 6. e 7. em virtude de ão estar aida defiido o coceito de potêcia de epoete irracioal, podem agora ser levatadas. Assim, r A) Quado demostramos que e = lim ( / r ), desde que o limite da sucessão r seja mais ou meos ifiito, codicioamos o resultado ao facto de os r serem racioais. A demostração apresetada serve, sem mais, para o caso em que r é uma sucessão de reais quaisquer a teder para mais ou meos ifiito : com efeito, todas as propriedades das potêcias de epoete racioal e base positiva que foram usadas a argumetação permaecem válidas para o caso geral de epoetes quaisquer. B) Também a igualdade igualdade, e r = lim ( / r ), válida desde que a sucessão r teda para mais ou meos ifiito, dispesa a restrição de os r terem de ser racioais, pela mesma razão que a eposta em A) e quato à igualdade e r = (e ) r, quaisquer que sejam o real e o racioal r, pode também ser dispesada esta última eigêcia, pois já se estabeleceu que ( b α ) β = b αβ para o caso geral (α e β reais e b real positivo). C) Fialmete, quato à igualdade log b r = r log b, com b > 0 e r racioal qualquer, a eigêcia de ser r racioal pode igualmete ser dispesada. Com efeito, com r racioal ou irracioal tem-se, por defiição de logaritmo atural. log b r = log e rlog b = r log b, Vejamos agora o cálculo de lim (u ) α, com u > 0 e α 0 qualquer (racioal ou irracioal). No caso particular de α ser racioal as coclusões a que vamos chegar deverão coicidir com as ateriormete obtidas (aplicadas ao caso particular de a base ser positiva). Note-se aida que quado seja α = 0, o limite da potêcia é sempre a uidade. Tedo em cota que, lim (u ) α α = lim e log u, 6

31 as propriedades da epoecial e logaritmo de base atural permitem tirar as seguites coclusões, em que u desiga lim u : α u, se u for fiito positivo, se u = e α > 0 lim (u ) α = 0, se u = e α < 0 0, se u = 0 e α > 0, se u = 0 e α < 0 tem-se portato lim (u ) α = ( lim u ) α, com as seguites coveções: ( ) α =, se α > 0 ( ) α = 0, se α < 0 0 α = 0, se α > 0 9. A epoecial de base b 0 α =, se α < 0. Sedo b > 0 e b, tem-se como vimos o poto 8. que b = e logb para todo o R. As propriedades da epoecial de base b são as que já foram estudadas o poto aterior o âmbito do alargameto da oção de potêcia de base positiva a um epoete qualquer (racioal ou irracioal). u Tedo em cota que lim b = lim e u log b e aplicado as propriedades relativas a limites da epoecial e logaritmo de base atural, coclui-se (desigado por u o limite u da sucessão u ) : lim b u = b, desde que se covecioe, b =, se b > b = 0, se b < b - = 0, se b > b - =, se b <. Pode igualmete defiir-se logaritmo de base positiva b : dado R, eiste um e um só θ tal que b θ = com efeito, por defiição de logaritmo atural e de potêcia de base positiva, tem-se, = e log e b θ = e θ log b, e etão a codição b θ = equivale a ser log = θ log b, a qual permite obter o θ desejado (úico) ao valor de θ tal que b θ = (cuja eistêcia e uicidade acaba de ser estabelecida) chama-se logaritmo de a base b e represeta-se por logb, calculado-se o seu valor pela igualdade, log log b = θ =, log b em que os logaritmos do segudo membro são os logaritmos aturais. 6

32 Para termiar o presete poto cosidere-se o cálculo de um limite do tipo, v lim ( u ), com u > 0 (Limite da epoecial potêcia). Este limite pode calcular-se usado a igualdade, v lim ( u ) log u = lim e v. Sedo u = lim u e v = lim v, tem-se em geral, v lim ( u ) = v lim v l im u, u = ( ) desde que se covecioe, 0 v = 0 e ( ) v =, se 0 < v 0 v = e ( ) v = 0, se - v < 0 u = e u - = 0, se < u u = 0 e u - =, se 0 u <. Há, o etato, a cosiderar os seguites casos de idetermiação, que resultam das idetermiações que podem surgir ao calcular lim v. log u e que são: 0 0, ( ) 0, e Fórmulas de Beroulli para o cálculo de limites Vão deduzir-se as fórmulas de Beroulli que se revelam úteis para levatameto de idetermiações o cálculo de limites evolvedo epoeciais e logaritmos. Retome-se a igualdade e = lim ( /), com R. Tem-se, ( /) = ( )! ( )( ) 3 3! 3 ( )...!, ( ) e desigem-se por ξ k os coeficietes, ( ) = ( )... ( k ) k = ( ) ( ) ξ k k =,,...,. ( ) Para cada k fio ξ k k ( é uma sucessão em e é óbvio que lim ξ ) k =. 63

33 Fie-se o atural m e separem-se o desevolvimeto de ( /) parcelas das - m restates, obtedo-se etão: as primeiras m m ( ) ( ) ( ) ( / ) =. ξ ξ ξ m! ( m )! m m! ξ m ξ m ξ m m ( m )( m )... ( ) ( ) ( ) ou seja, m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) =. ξ ξ ξ m ξ m ( ),! ( m )! m! em que, ( ξ ) m ( ) = ξ ( ) m m ξ ( ) m ξ ( ) m. ( m )( m )... Passado ao limite em ( m é fio) em ambos os membros, obtém-se o primeiro e e, o segudo, o bloco das m primeiras parcelas tede para, m! ( m )!, ( ) porque cada um dos ξ k ( k =,,..., m-) tede com se viu para a uidade. A parcela residual, m ( ) ξ m ( ), m! do segudo membro tem também de ter limite fiito (porque é a difereça de duas sucessões com limite fiito), o que permite cocluir que eiste também fiito o ( lim ξ ) m ( ) com efeito, com 0, m m m! 0 lim m! ( ) m ( ξ ( ) fiito lim ξ ) m ( ) fiito ( ) ( com = 0, ξ ) m ( ) = ξ m ( e claro que lim ξ ) ( m ( ) = lim ξ ) m =. ( Fazedo, ξ m ( ) = lim ξ ) m ( ), podemos etão escrever, como resultado da passagem ao limite em, e m m = ξ m ( ).! ( m )! m! ( Note-se agora que, por ser ξ ) ( k, a epressão que defie ξ ) m ( ) permite obter, 64

34 m m ( ξ ) ( m ( ) - ξ ) m m ( m ) ( m ) quado seja m >, tem-se portato: m ( ξ ) ( m ( ) - ξ ) m m ( m ) m m =, m m m a passado ao limite em obtém-se, ξ m ( ) -, para m >. m As cosiderações precedetes permitem-os demostrar com facilidade o seguite, Teorema 5 : Tem-se, e = m! ( m )! m m! ξ m ( ) e para cada sucessão de valores de que teda para zero, tem-se lim ξ m ( ) = Demostração : A igualdade do euciado foi já estabelecida as cosiderações que precedem o teorema, faltado apeas provar a seguda parte. Sedo lim = 0, tem-se a partir de certa ordem, < etão fiado um qualquer m N, será sempre m > ( a partir da ordem ) e, portato a desigualdade que precede o teorema permite escrever, ξ m ( ) -, para >, m daí resultado por equadrameto que lim ξ m ( ) =. A igualdade do teorema pode ser escrita com m =,, 3,..., coforme as coveiêcias de cálculo. E pode ser usada o cálculo de limites em que iterveha e e seja lim = 0. Assim por eemplo, com m =, e pode ser substituido por, ξ ( ), sedo que lim = 0 lim ξ ( ) = com m =, e pode ser substituido por, ξ ( ), sedo que lim = 0 lim ξ ( ) =.! Nos eemplos de aplicação em que ão haja perigo de cofusão sobre qual a sucessão evolvida, escreve-se ξ em vez de ξ ( ), ξ em vez de ξ ( ) e assim por diate, para ão sobrecarregar a otação. 65

35 Vejamos dois eemplos de aplicação. ) Cálculo de lim (e / - ).. Como lim / = 0, tem-se: lim (e / - ) = lim (. ξ - ). = lim ξ =. ) Cálculo de lim ( / - - /).. Como lim / = 0, tem-se: lim ( / - - /). = lim [e ( / ). log - - /]. = log log = lim ξ =! log = lim log ( ) ξ = -.! Com base o teorema 5 vão obter-se duas fórmulas aplicáveis aos limites dos logaritmos: Teorema 6 : Tem-se log ( ) = -. λ() e para cada sucessão de valores de que teda para zero, tem-se lim λ( ) = / Demostração : Cosidere-se a fução, λ() = log ( ), 0 /, = 0. Da defiição de λ() resulta que para 0 e para = 0, log ( ) = -. λ(). Cosidere-se agora uma sucessão de valores de com limite ulo. Se 0 de certa ordem em diate, tem-se a partir dessa ordem, λ( ) = log ( ) = log ( ) = ( ) log ( ) e log ( ) = log ( ) e [ ] aplicado a fórmula do teorema 5 (o umerador com m = e o deomiador com m = ), obtém-se: log ( ) log ( ) ξ log ( )! λ( ) = = ξ, ξ log ( ) ξ [ ] 66

36 e como, lim = 0 lim log ( ) = 0 lim ξ = lim ξ =, obtém-se, lim λ( ) = /. Se = 0 de certa ordem em diate, tem-se λ( ) = / a partir dessa ordem [ver defiição de λ()] e etão também lim λ( ) = /. Efim, se há ifiitos 0 e ifiitos = 0, há duas subsucessões α e β e, para cada uma delas, lim λ( α ) = / e lim λ( β ) = /, pelo que também este caso, lim λ( ) = /. Corolário : Tem-se log ( ) =. η() e para cada sucessão de valores de que teda para zero, tem-se lim η( ) = Demostração : Resulta imediatamete do teorema 6. Com efeito, log ( ) = -. λ() =. [ -. λ()] =. η(), com η() = -. λ(). Sedo lim = 0, coclui-se logo que lim η( ) =, como se pretedia provar. Corolário : Tem-se ( ) α = α..ζ () e para cada sucessão de valores de que teda para zero, tem-se lim ζ ( ) = Demostração : Tem-se, pelas fórmulas do teorema 5 e corolário do teorema 6, ( ) α = e α log( ) = ξ.α. log ( ) = ξ.α.. η(), em que ξ depede de α. log ( ), logo de. Fazedo, ζ ()= ξ.η(), obtém-se etão, ( ) α = α..ζ (). Sedo agora uma sucessão de valores de com limite ulo, tem-se que é ulo o lim log ( ) e portato lim ξ = por outro lado, lim η( ) =, assim se cocluido que lim ζ ( ) =. Tal como se disse a propósito do teorema 5, quado a aplicação do teorema 6 e seus corolários ão houver perigo de cofusão quato às sucessões evolvidas os cálculos, escreve-se λ em vez de λ( ), η em vez de η( ) e ζ em vez de ζ ( ). Vejamos algus eemplos de aplicação. ) lim. [ log ( /) - /] = lim. (/ - λ. 4/ - /) = = lim (-4λ) = -. 67

37 ) lim.[log ( ) - log ] = lim. log ( /) = lim (.η. /) =. 3) lim. ( / - ) = lim. [ ( /) / - ] = 3 = lim. [ (/).(/).ζ - ] = lim (/).ζ = /. 4) lim. [ log( / ) - ] = lim. [ (/3).log (/).ζ - ] = = lim. [ (/3). (/). η.ζ ] = lim (/3). η.ζ = /3.. Algus ifiitésimos e ifiitamete grades otáveis Estudam-se seguidamete algus ifiitésimos e ifiitamete grades otáveis. a) Com 0 a <, tem-se lim.a = 0. No caso de ser a = 0, a coclusão é evidete. Sedo a 0, tem-se 0 < a < e cosiderado um úmero b tal que, 0 < b < a, a tem-se, ( b). a <, ou seja, ( b). a < desta última desigualdade tira-se, Portato, ou seja, b ( )! b ( )! b 0 <. a < ( )... b! b a ( ) <,, a <. dode resulta de imediato por equadrameto, lim. a = 0, ou seja, lim. a = 0. b) A sucessão de termo geral u = a /! é um ifiitésimo. Supodo que a > 0 (para a = 0, o resultado é evidete), determie-se um m N tal que, Tem-se etão, a m < b < (com b fiado o itervalo ] 0, [ ). a! < m a m a m a a = a = a ( )... ( m ) ( m )... ( ) m como, 68

38 tem-se, a! a m < b < a m j < b < ( j =,,... ), m m m a < a. ( b. b... b) = a. b = b m b. Por ser, ( a / b) m costate e 0 < b <, coclui-se por equadrameto que, lim a! como se queria demostrar. = 0, ou seja, lim a! = 0, c) Sedo lim =, tem-se lim ( e α / ) = (a epoecial tede mais depressa para que qualquer potêcia positiva do respectivo epoete). Sedo lim =, tem-se > 0 de certa ordem em diate. Cosidere-se etão a igualdade, com certo m > α, e m m = ξ m( )! ( m )! m! revedo o sigificado de ξ m ( ) - ver poto 0. -, coclui-se que > 0 implica que ξ m ( )> 0. Etão, e > m ( m )!, para >, α e dividido ambos os membros desta desigualdade por (sempre para > ), obtém-se, e m α > α ( m )! ora, m > α implica que o limite do segudo membro da desigualdade é igual a (relembre-se que lim = ) e, portato, também, lim ( e α / ) =, como se queria provar. d) Sedo lim =, tem-se lim ( / log α ) = (os úmeros tedem mais depressa para que qualquer potêcia positiva dos respectivos logaritmos). É uma cosequê-cia imediata do resultado aterior : com efeito, se lim =, também lim log = e etão, log e lim = lim = α α log ( log ), pelo resultado obtido em e). 69

39 . Teoremas subsidiários O teorema seguite e seus corolários são de grade utilidade o cálculo prático de limites. Teorema 7 : Sedo estrictamete crescete com limite, etão, lim = k lim = k com k fiito, k =, ou k = - Demostração : a) Vejamos primeiro o caso do limite fiito. Fiado ε > 0, eiste uma ordem m = ε tal que, para > m, k - ε / < < k ε /. Para facilitar a demostração cosideraremos que a ordem m = ε é determiada de forma que > 0 para > m, o que sempre se cosegue por ser, por hipótese, lim =. Escrevedo a desigualdade precedete para os aturais m, m,..., - (com m ), obtém-se: k - ε / < m m m m < k ε / k - ε / < m 3 m m 3 m < k ε /.. k - ε / < < k ε / ou aida, em virtude de serem positivos os deomiadores ( é estritamete crescete), ( k - ε /).( m - m ) < m - m < ( k ε /). ( m - m ) ( k - ε /).( m3 - m ) < m3 - m < ( k ε /). ( m3 - m )... ( k - ε /). ( - - ) < - - < ( k ε /). ( - - ). Adicioado ordeadamete estas desigualdades e simplificado resulta, ( k - ε /). ( - m ) < - m < ( k ε /). ( - m ), e dividido por (é positivo), 70

40 m m m ( k ε / ).( ) < < ( k ε / ).( ) m m m ( k ε / ).( ) < < ( k ε / ).( ) Por ser, com m fio quado se fia ε, m. lim ( k ε / ).( m ) lim ( k ε / ).( m ) m m = k - ε / = k ε /, tem-se, de certas ordes p = ε e q = ε em diate, respectivamete, (k - ε /) - ε / < ( k ε / ).( m ) (k ε /) ε / > ( k ε / ).( m ) m m. Etão, a partir da maior das três ordes, m = ε, p = ε e q = ε, tem-se: ( k ε / ) ε / < < ( k ε / ) ε /, ou seja, k ε < < k ε, o que prova ser lim / = k. b) O caso k =, é tal qual como em a), mas partido da desigualdade, > /ε, válida a partir de certa ordem m = ε. Fica ao cuidado do leitor. c) O caso k = -, é tal qual como em b), mas partido da desigualdade, < - /ε, válida a partir de certa ordem m = ε. Fica ao cuidado do leitor. 7

41 O teorema precedete admite os seguites corolários imediatos: Corolário : Quado seja lim ( - ) = k (fiito ou ifiito), tem-se que também lim / = k Demostração : Basta aplicar o teorema 7 com =. Corolário : Sedo lim = k ( fiito ou ifiito ) e > 0, etão também lim = k Demostração : Dado que, lim = k lim log = log k lim ( log - log ) = log k, o corolário aterior permite cocluir que, dode resulta, lim log lim log = log k, = log k, ou aida, lim = k, como se queria provar. Note-se que os recíprocos do teorema 6 e seus corolários são falsos. Assim, por eemplo, sedo,, par =,, impar coclui-se com facilidade que lim = e, o etato, ão eiste, lim (há duas subsucessões com limites distitos). Vejamos dois eemplos de aplicação. ) Cálculo de lim ( /... /) /. com a sucessão = /... /, tem-se, lim ( - ) = lim /() = 0 lim ( /... /) / = 0. ) Cálculo de lim!. Tem-se, lim ( )!! = lim ( ) = lim! =. 7

42 3. Eercícios - Mostre que são limitadas as seguites sucessões: a) u = ( ) b) u = /... / c) u =, u = u d) u =, u = / u -. - Mostre que a sucessão de termo geral u = ( ) é miorada mas ão majorada. 3 - Mostre que a sucessão de termo geral u = (-). ão é majorada em miorada. 4 - Cosidere a sucessão cujo termo geral é dado por, u =, u = -/, u = u u a) Determie β de forma que o termo geral da sucessão possa ser dado pelas igualdades, u =, u = β. u - b) Determie uma epressão que permita o cálculo de u sem ter que calcular os termos ateriores. 5 - Cosidere sucessão de termo geral u =. a) Mostre que é limitada b) Mostre que o cojuto K = { k. : < k, N} tem ífimo e determie o respectivo valor. 6 - Cosidere sucessão de termo geral u =. a) Utilizado a defiição de limite, mostre que, lim u = b) Calcule a meor ordem a partir da qual os termos da sucessão verificam a codição, u - < 0, Cosidere sucessão de termo geral u =. a) Utilizado a defiição de limite, mostre que, lim u = 5 b) Calcule a meor ordem a partir da qual os termos da sucessão verificam a codição, u - 5 < 0,

43 8 - Utilizado a defiição de limite, mostre que: a) lim = b) lim = c) lim = d) lim g) lim = = - e) lim [( ) / ] = f) lim = / h) lim ( /) = i) lim log =. 9 - Dadas as sucessões, u = ( ) [ p ] e u = ( ) ( ). ( p N), mostre que a primeira ão tem limite e que a seguda só tem limite quado p seja ímpar. 0 - Determie os sublimites (reais ou impróprios) das sucessões com os seguites, termos gerais, idicado os respectivos limites máimo e míimo: a) u = /, = k, = k b) u = ( ). c) u = (-). cos (π) se [()π] d) u = (/) se (π /3) e) u = se (π /) (/). cos (π /) f) u = ( ) ( ). ( ) g) u = cos (π /3) (-). se (π /3) h) u = se (π /4) i) u = log cos ( ) π log [ (-) ]. 3 - Estude a eistêcia de limite para as sucessões: a) u = ( ).( ) ( ) ( ). [ p ] b) u = c) u =. se (π /) ( - ). cos (π /). 74

44 - Dê eemplos de uma sucessão cujo cojuto dos sublimites seja o cojuto: a) { 3, 4 } b) Z (cojuto dos iteiros egativos) c) [0, ] d) R. 3 - Sedo u e v sucessões limitadas, prove que: a) lim má ( - u ) = - lim mí u b) lim mí u lim mí v lim mí (u v ) lim má (u v ) c) Sedo u covergete (e v limitada), etão, lim má u lim má v lim má (u v ) = lim u lim má v lim mí (u v ) = lim u lim mí v. 4 - Utilize a codição de Cauch para provar a covergêcia ou divergêcia das seguites sucessões: a) u = / b) u = / /3... / c) u = - / / (-). /. 5 - Determie os limites das sucessões cujos termos gerais são: a) u = 3 b) u = 4 3 c) u = d) u = 3 e) u = ( ). 3 f) u = ( )( )( 3) ( )( )( 3 ) g) u = ( )( )... ( p ) ( )( )... ( q) ( p, q N ) h) u = a a b b (a,b R ) i) u = j) u = 4 ( ) k) u = 3 ( ). 6 - Calcule por equadrameto: a) lim p! ( p N) b) lim 75

45 c) lim [.(/).(/3).....(/)] d) lim e) lim f) lim 3 g) lim ( ) ( )( ) ( ). 7 - Com argumeto geométrico, demostre que 0 π / 0 se. A partir deste resultado mostre que, sedo lim = 0, com 0 de certa ordem em diate, etão lim se = 0. A partir daqui prove sucessivamete que: a) Sedo lim = 0, com 0 de certa ordem em diate, etão lim se = 0 b) Em geral, sedo lim = 0, etão lim se = 0 c) Sedo lim = a, etão lim se = se a d) Sedo lim = a, etão lim cos = cos a e) Sedo lim = a, com a (k)π / (k Z), etão lim tg = tg a. 8 - Com base um argumeto geométrico apropriado, demostre que se 0 < < π / 0 < cos < <. A partir deste resultado mostre que, sedo lim = 0, com > 0 de certa ordem em diate, etão se lim =. A partir daqui prove sucessivamete que: a) Sedo lim = 0, com < 0 de certa ordem em diate, etão se lim = b) Em geral, sedo lim = 0, com 0,etão, se lim =. 76

46 9 - Estude do poto de vista da mootoia e eistêcia de limite a sucessão, u u =, u =. u 0 - Sedo A R um cojuto majorado e s = Sup A, mostre que eiste uma sucessão de termos em A tal que lim = s. Prove aida que se s A, etão a sucessão pode ser escolhida de forma a ser estritamete crescete. - Sedo o termo geral de certa sucessão moótoa, o termo geral de certa sucessão limitada e admitido que N, - < /, prove em primeiro lugar que é limitada e depois que ambas as sucessões têm o mesmo limite. - Duas sucessões, uma crescete u e outra decrescete v, dizem-se cotíguas se e só se lim (u - v ) = 0. Prove que duas sucessões cotíguas são covergetes e têm limite comum. 3 - Calcule os seguites limites: a) lim 3 ( / ) b) lim c) lim 3 3 d) lim 3 e) lim ( / ) 3 f) lim ( ) / g) lim log a log h) lim ( ) / i) lim ( / ) / / j) lim( ) k) lim log log ( ) l) lim tag log m) lim ( ) / log ) lim (/) / o) lim ( se / ) / log p) lim ( / ) / se. 4 - Calcule os seguites limites: a) lim.( a ) (a > 0 ) b) lim a b (a, b > 0 ) c) lim log ( ) 3 d) lim log log 3 77

47 log e) lim f) lim.[ ( a/ )( b/ ) ] α α ( ) v g) lim ( u ), com lim u = 0 e lim u v = k h) lim ( ) α i) lim.( e / ) j) lim log k) lim ( ) ( ).. log ( / 3 ) 3 l) lim [ 3 5 log ]. ( / ) m) lim 3 e log ( / ) ) lim[. log ( / ) ( ). log ( / ).... log ( / )] o) lim. [ log ( ) log / ] 3 p) lim.( ) / q) lim ( ) log log ( ) log r) lim ( )( 3 ) s) lim. e α log 3 α log / (α > 0) t) lim [ ] 3 ( / ). log ( / ). u) lim cos ( / ) v) lim se log log ( ) log. 5 - Sedo lim u = e u v limitada, mostre que lim u v =. Aproveite este 3 ( / ) log resultado para calcular, lim ( ). Cofirme em seguida o resultado, calculado o limite em causa por um processo alterativo. 6 - Calcule os seguites limites: 78

48 a) lim b) lim ( log log ) log log 3 c) lim e. 7 - Utilizado os teoremas subsidiários calcule os seguites limites: a) lim b) lim d) lim g) lim se α se ( α / ) se ( α / 3)... se ( α / ) / / 3... / ( )( )... ( ) c) lim ( )! e) lim. log! log!! h) lim log ( )! log! k k k k f) lim e e e... e 3...! i) lim ( ) α α α α j) lim 3... ( α > -) k) lim log l) lim e α m) lim [ se α se ( α/ ) 3 se ( α / 3)... se ( α / ) ]. 8 - Mostre que em R, se X e Y são cojutos limitados e fechados, etão também é limitado e fechado o cojuto Z = { : X e Y }. RESPOSTAS: 4 - a) -/ b) u = (-/) b). 6 - b) b) lim má lim mí outros sublimites a) 0 Não há b) - Não há c) - - Não há d) 3/ - 3/ 0 e) - -/ e / f) -/3 Não há g) -/ - 3/ -/ 3/ h) - Não há i) log 3 -log log (3/) e 0. - a) Eiste limite apeas para = ±, sedo 0 o respectivo valor b) Com p par ão eiste limite, com p ímpar o limite é 0 c) O limite ão eiste qualquer que seja. 79

49 7 ( ) - a) u = b) -, -, -, -, -3, -, -, -3, -4,... c) Qualquer sucessão cujo cojuto dos termos seja [ 0, ] Q (ote-se que este cojuto é umerável) d) Qualquer sucessão cujo cojuto dos termos seja Q. 4 - a) Covergete b) Divergete c) Covergete. 5 - a) b) 0 c) / d) e) Não eiste f) g) 0 ( se q > p ), ( se q = p ), (se q < p ) h) 0 ( se 0 < a < ou 0 < b < ), ( se a > e b > ), ( se a = e b > ou a > e b = ), / ( se a = b = ) i) 0 j) 4 k). 6 - a) 0 b) c) 0 d) 0 e) f) g). 9 - Sucessão moótoa decrescete com limite ulo. 3 - a) e b) e 6/ 5 c) e -3 d) e 4 e) f) g) 0 h) e i) j) k) e l) m) ) o) e - p). 4 - a) log a b) ab c) d) 0 e) -/ f) (ab)/ g) e k h) α i) / j) k) 0 l) m) 3 ) 3/ o) p) e - / q) r) 5/ s) α t) /3 u) e v) a) b) 0 c). 7 - a) α b) 4/e c) (se k 0 ), 0 ( se k > 0 ) d) e) f) g) h) /e i) / j) /(α ) k) 0 l) m) α /. 80