Álgebra. Universidade Eduardo Mondlane. Unidade 1. Números Complexos. Operações Algébricas. Interpretação geométrica

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1 Uiversidade Eduardo Modlae Faculdade de Ciêcias. Departameto de Matemática e Iformática Álgebra Para Estudates do Esio à Distâcia do Curso de Liceciatura em Matemática, ao 01 Uidade 1. Números Complexos. Operações Algébricas. Iterpretação geométrica Aexo 1. Teoria. Texto de Apoio 1.1. Noção de um úmero complexo. Iterpretação geométrica Módulo e argumeto de um úmero complexo. Forma trigoométrica e forma expoecial Operações algébricas sobre úmeros complexos Algumas relações sobre úmeros complexos Raízes de úmeros complexos Método de cálculo das raízes quadráticos de úmeros complexos Bibliograa Desigações utilizadas o Módulo: N = {1,, 3,...} cojuto de todos os úmeros aturais; Z = {0, ±1, ±,...} cojuto de todos os úmeros iteiros; Q = { m : m Z, N} cojuto de todos os úmeros racioais; R cojuto de todos os úmeros aturais; R espaço vectorial -dimesioal (veja Álgebra Liear); C cojuto de todos os úmeros complexos (veja deição o parágrafo 1.1). 1.1 Noção de um úmero complexo. Iterpretação geométrica Deição 1.1. Um úmero complexo z é expressão da forma z = x + iy (1) ode x e y são úmeros reais e i é uidade imagiária que satisfaz a codição i = 1. Deição 1.. A forma (1) chama-se forma algébrica do úmero complexo z. Em (1) x e y chamam-se parte real e parte imagiária do úmero complexo z, respectivamete, e desigam-se x = Re z, y = Im z. Se Im z = 0 etão z = x é um úmero real. Etão, os úmeros reias pode-se cosiderar como caso particular dos úmeros complexos. Deição 1.3. puro. Deição 1.4. z = x + iy. Se Re z = 0, etão o úmero complexo z = iy chama-se úmero imagiário O úmero complexo z = x iy chama-se cojugado do úmero complexo 1

2 É claro que Re z = Re z e Im z = Im z. Deição 1.5. Os úmeros complexos z 1 = x 1 + iy 1 e z 1 = x 1 + iy 1 chamam-se iguais se x 1 = x e y 1 = y Qualquer úmero complexo z = x + iy pode ser desehado o plao OXY (chamada plao complexoou plao de Agrad) como poto M com coordeadas (x, y) ou como vector OM com iício o poto O(0, 0) e extremidade o poto M(x, y) (veja Fig.1). Fig.1. Ó úmero complexo z = x + iy = ρe iφ. O cojuto dos úmeros complexos desiga-se por C. Existe correspodêcia biuívoca etre C e R deida pela relação cuja iterpretação geométrica é clara da Fig.1. z = x + iy C (x, y) R, Deição 1.6. O elemeto (x, y) do R (geometricamete, o poto M o plao complexo) chama-se axo do úmero complexo z = x + iy, e o vector OM chama-se axo vectorial de z. É claro que R C, e o plao complexo os aos úmeros reais correspodem axos o eixo OX do plao complexo. Por isto o eixo OX chamam eixo real e desigam os desehos por Re. Aos úmeros imagiários puros correspodem axos o eixo OY. Por isto o eixo OY chamam eixo complexo e desigam os desehos por Im. Também, é evidete, que os axos dos úmeros complexos cojugados z e z são simétricos em relação ao eixo real (veja Fig.) Fig.. Os úmeros: real, imagiário puro 1.5i e cojugados z e z.

3 1. Modulo e argumeto de um úmero complexo. Forma trigoométrica e forma expoecial Deição 1.7. O comprimeto ρ do axo vectorial OM de um úmero complexo z = x + iy (veja Fig.1) chama-se módulo de z e desiga-se z, tal que ρ = z = x + y. Deição 1.8. O âgulo φ formado do axo vectorial OM de um úmero complexo ão ulo z = x+iy (veja Fig.1) e do semi-eixo real Re, chama-se argumeto do úmero complexo z = x+iy e desiga-se Arg z. Arg z dea-se ão uicamete, mas com precisão do somado múltiplo de π: Arg z = arg z + πk, k Z, ode arg z é argumeto pricipal de z, isto é um dos valores de Arg z que satisfaz π < arg z π. É claro que para qualquer z C \ {0} o argumeto pricipal dea-se uicamete, mais aida, como é fácil deduzir da trigoometria por meio da Fig.1, arcta y x se x > 0 π + arcta y x se x < 0, y 0 arg(x + iy) = π + arcta y x se x < 0, y < 0 () π se x = 0, y > 0 π se x = 0, y < 0 Para todo o umero complexo z = x + iy diferete de 0 são válidas as seguites igualdades: ta(arg z) = y x, cos(arg z) = x x + y, se(arg z) = y x + y. Dois úmeros complexos z 1 e z são iguais quado se cumpre uma das codições a) ou b): a) z 1 = z = 0; b) z 1 0, z 0, os módulos dos úmeros são iguais e os argumetos dos úmeros ou são iguais ou são diferetes em somado múltiplo de π, i.e. z 1 = z, Arg z 1 = Arg z + πk, k Z. Para o úmero z = 0 dizem que Arg z ão existe, ou Arg z é arbitrário. Exemplo 1.1. Achar o módulo e o argumeto do úmero complexo z = se π 8 i cos π 8. Resolução. É claro que x = Re z = se π 8 e y = Im z = cos π 8. Etão, z = x + y = se π 8 + cos π 8 = 1. Para achar Arg z pode-se propor dois métodos diferetes. 1 0 método (aalítico). Temos x < 0 e y < 0. Calculemos arg z pela fórmula (): ( arg z = π + arcta cot π ) ( ( π = π + arcta ta 8 π )) = π + 3π 8 8 = 5π 8. 3

4 Etão, Arg z = 5π 8 + πk, k Z. 0 método (geométrico). Esboçamos axo do z o plao complexo, usado que x = se π ( π 8 = cos π ) = cos 3π 8 8, y = cos π 8 = se 3π 8. Da Fig.3 é claro que arg z = π + 3π 8 = 5π 8. Fig.3. Os úmeros z = se π 8 i cos π 8. Para qualquer úmero complexo z = x + iy diferete de 0 são válidas as relações: x = ρ cos φ, y = ρ se φ, ode ρ = z, φ = Arg z. Etão, z pode-se escrever a forma z = ρ(cos φ + i se φ), que tem chamada forma trigoométrica do úmero complexo z. Itroduzamos a desigação e iφ = cos φ + i se φ. Usado esta desigação, qualquer úmero complexo z 0 pode-se escrever a forma z = e iφ, ode ρ = z, φ = Arg z. Esta forma chama-se forma expoecial do úmero complexo z. É claro que e iφ+iπk = e iφ (φ R, k Z). Exemplo 1.. Escrever o úmero complexo z = 1 i 3 a forma expoecial. Resolução. Temos ρ = z = ( 1) + ( ) 3 3 =, ta φ = 1 = 3 φ = π + πk, k Z, 3 e sabedo que axo de z está o terceiro quadrate do plao complexo, temos φ = π 3 π = π 3. Etão, z = ρe iφ = e πi/3. 4

5 1.3 Operações algébricas sobre úmeros complexos Sejam dados dois úmeros complexos z 1 = x 1 + iy 1 e z = x + iy. 1. A soma z 1 + z de úmeros z 1 e z é um úmero complexo deido pela fórmula z 1 + z = (x 1 + x ) + i(y 1 + y ).. A difereça z 1 z de úmeros z 1 e z é um úmero complexo deido pela fórmula z 1 z = (x 1 x ) + i(y 1 y ). 3. O produto z 1 z de úmeros z 1 e z é um úmero complexo deido pela fórmula z 1 z = (x 1 x y 1 y ) + i(x 1 y + x y 1 ). 4. O quociete z 1 z de divisão do úmero z 1 por úmero z 0 chama-se o úmero complexo z que satisfaz a equação zz = z 1. Para achar a fórmula para quociete, multipliquemos a equação por z e usado a igualdade z z = z (veja o parágrafo 1.4) temos zz z = z 1 z z z = z 1 z z = 1 z z 1z. Etão, temos, usado a fórmula do produto z 1 z : z 1 z = z 1z z = (x 1x + y 1 y ) x + y + i x y 1 x 1 y x +. y Observação 1.1. As operações a soma e a multiplicação de um umero complexo por um úmero real correspodem as operações correspodetes sobre axos, i.e. as operações do espaço vectorial R. Por exemplo, o axo vectorial de z 1 + z é soma dos axos vectoriais de z 1 e z, veja Fig,4. Fig.4. Iterpretação geométrica de z 1 + z e de.5z 1. No etato, as operações do produto e do quociete dos úmeros complexos ão podem ser iterpretados os termos das operações aturais de R. Pode-se dizer, que estrutura algébrica de C é mais a, ou mais rica do que estrutura do espaço vectorial R. A iterpretação geométrica do produto dos úmeros complexos será mais visível, quado vamos cosiderar esta operação a forma trigoométrica e a forma expoecial. 5

6 Observação 1.. No calculo do produto z 1 z e do quociete z 1 z é cómodo em vez de fórmulas escritas em cima usar técica de simplicação dos poliómios, icluido leis de associação e de distribuição e a regra i = 1 (veja Exemplo 1.3 em baixo). Exemplo 1.3. Para z 1 = + 3i, z = 1 i calcule z 1 + z, z 1 z, z 1 z e z 1 z. Resolução. z 1 + z = ( + 3i) + (1 i) = ( + 1) + i(3 1) = 3 + i, z 1 z = ( + 3i) (1 i) = ( ) + i(3 + ) = 5i, z 1 z = ( + 3i)(1 i) = + 3i i 3i = + i 3( 1) = 5 + i, z 1 = + 3i ( + 3i)(1 + i) + 3i + i + 3i 1 + 5i = = z 1 i (1 i)(1 + i) 1 i = = i. No cálculo do quociete os utilizaram um método techical, tal como a multiplicação do umerador e do deomiador por úmero complexo cojugado do deomiador. Por meio desta operação é possível, usado a fórmula de difereça dos quadrados, obter o deomiador uma gradeza real. Sejam os úmeros complexos z 1 e z são dadas a forma trigoométrica, i.e. z 1 = ρ 1 (cos φ 1 + i se φ 1 ) e z = ρ (cos φ + i se φ ). O produto z 1 z calcula-se pela fórmula z 1 z = ρ 1 ρ (cos(φ 1 + φ ) + i se(φ 1 + φ )). Etão, o módulo do produto é igual ao produto dos módulos, e o argumeto do produto é igual à soma dos argumetos, i.e. z 1 z = z 1 z, Arg(z 1 z ) = Arg z 1 + Arg z. Aalogamete, o caso z 0, o quociete z 1 z calcula-se pela fórmula z 1 z = ρ 1 ρ (cos(φ 1 φ ) + i se(φ 1 φ )). Etão, o módulo do quociete é igual o quociete dos módulos, e o argumeto do quociete é igual à difereça dos argumetos, i.e. z 1 = z 1 z, Arg z 1 = Arg z 1 Arg z. z z Sejam os úmeros z 1, z C são dadas a forma expoecial z 1 = ρ 1 e iφ 1 e z = ρ e iφ. Se realizar cálculo formal pelas regras elemetares de operações com potêcias, cosideradas a escola o caso dos úmeros reais, obtemos z 1 z = ρ 1 e iφ 1 ρ e iφ = ρ 1 ρ e i(φ 1+φ ), z 1 z = ρ 1e iφ1 ρ e iφ = ρ 1 ρ e i(φ 1 φ ), o que correspode as fórmulas do produto e do quociete a forma trigoométrica! Exemplo 1.4. Para z 1 = 1 + i 3, z = 4 cos π 8 4i se π 8 calcule z 1z e iz expoecial. z 1 usado forma 6

7 Resolução. Primeiro, escrevemos os úmeros z 1 e z a forma expoecial: Etão, z 1 = =, arg z 1 = arcta 3 = π z 1 = e iπ/3, 3 ( ( z = 4 cos π ) ( + i se π )) = 4e iπ/ z 1 z = e iπ/3 4e iπ/8 = 4e i( π 3 π 8 ) = 8e 5iπ/4, iz = eiπ/ 4e iπ/8 z 1 e iπ/3 = e i( π π 8 π 3 ) = e iπ/4. Para um úmero complexo z e para qualquer úmero atural deemos z pela formula z = } z z {{... z}. Se z = ρ(cos φ + i se φ), etão, segudo a fórmula do produto temos i.e. z = ρ (cos φ + i se φ), z = z, Arg z = Arg z + πk, k Z. (3) Daqui implica, em particular, a fórmula de Moivre: (cos φ + i se φ) = cos φ + i se φ. Notemos, que se z é dado a forma expoecial z = ρε iφ, etão Exemplo 1.5. Calcule (i 1) 0. z = ρ e iφ. Resolução. Seja z = i 1. Etão, z = = e arg z = 3π 4 (achar arg z é mais fácil, esboçado axo do úmero z, que está a bissectriz do segudo quadrate). Temos z = e 3iπ/4. Portato, (i 1) 0 = ( ) 0 e 0 3πi/4 = 10 e 15πi = 104e iπ = 104. Exemplo 1.6. Expresse se 5φ por graus de cos φ e se φ. Resolução. Pela fórmula de Moivre temos (cos φ + i se φ) 5 = cos 5φ + i se 5φ. De outro lado, usado a fórmula de Biómio de Newto, temos (cos φ + i se φ) 5 = cos 5 φ + 5i cos 4 φ se φ + C 5i cos 3 φ se φ +C 3 5i 3 cos φ se 3 φ + 5i 4 cos φ se 4 φ + i 5 se 5 φ = cos 5 φ + 5i cos 4 φ se φ 10 cos 3 φ se φ 10i cos φ se 3 φ + 5 cos φ se 4 φ + i se 5 φ = (cos 5 φ 10 cos 3 φ se φ + 5 cos φ se 4 φ) + i(5 cos 4 φ se φ 10 cos φ se 3 φ + se 5 φ). Igualado as partes imagiárias das expressões as partes direitas das igualdades, obtemos se 5φ = 5 cos 4 φ se φ 10 cos φ se 3 φ + se 5 φ. 7

8 1.4 Algumas relações para úmeros complexos Relações sobre úmeros cojugados Proposição 1.1. Para qualquer úmeros complexos z, z 1, z são válidas as seguites relações: Re z = Re z, Im z = Im z, z = z, arg z = arg z (z 0), z = z, z z = z, z 1 ± z = z 1 ± z, z 1 z = z 1 z, z = z, z 1 /z = z 1 /z (z 0). A maioria destas relações implicam directamete das deições, ou por meio das trasformações simples que implicam das deições. Demostremos, por exemplo, a relação para a soma e para o produto. Nas desigações z 1 = x 1 + iy 1 e z = x + iy temos z 1 + z = x 1 + iy 1 + x + iy = (x 1 + x ) + i(y 1 + y ) = (x 1 + x ) i(y 1 + y ) = (x 1 iy 1 ) + (x iy ) = z 1 + z. Em desigações z 1 = ρ 1 e iφ 1 e z 1 = ρ e iφ temos z 1 z = ρ 1 ρ e i(φ 1+φ ) = ρ 1 ρ e i(φ 1+φ ) = ρ 1 e iφ 1 ρ e iφ = z 1 z. Demostremos também a fórmula z z = z : z z = (x + iy)(x iy) = x i y = x + y = z Relações sobre módulos dos úmeros complexos Proposição 1.. Para qualquer úmeros complexo z, z 1, z são válidas as seguites relações: z = z, z z = z, z = z, z 1 z = z 1 z, z 1 /z = z 1 / z (z 0), Re z z, Im z z, z 1 + z z 1 + z, z 1 z z 1 z. 1.5 Raízes de úmeros complexos Deição 1.9. A raiz de ídice ( N) de um úmero complexo z dea-se como solução complexa da equação w = z (ode w é icógito). O cojuto de todas as raízes de ídice do úmero z desiga-se z. É evidete que 0 = 0. Para raízes dos úmeros diferetes de zero a situação é mais iteressate. Teorema 1.1. Para qualquer z = ρe iφ = ρ(cos φ + i se φ) C \ {0} e para qualquer úmero atural a raiz de ídice do úmero z tem exactamete valores complexos diferetes, deidos pela fórmula ( z = ρ cos φ + πk + i se φ + πk ) = ρ e i(φ+πk), k = 0, 1, (4) Demostração. Seja w = z, tal que, segudo Deição 1.9, w = z. Pelas fórmulas (3), w = z = ρ w = ρ e φ = Arg w = Arg w + πk, k Z Arg w = φ + πk, k Z. 8

9 É suciete demostrar que a última igualdade temos exactamete valores diferetes de arg w. Os valores de φ+πk para k = 0, 1,..., 1 estão detro de um itervalo do comprimeto π, etão, geram os argumetos diferetes etre si. De outro lado, tomemos algum m Z. É claro que existem k {0, 1,..., 1} e j Z tal que m = k + j (veja Teoria dos Números). Etão, Arg φ + πm ( ) φ + πk + πj φ + πk = Arg = Arg + πj = Arg φ + πk. Portato, m Z o argumeto de φ+πm {0, 1,..., 1}. coicide com argumeto de φ+πk para algum k Da fórmula (4) implica directamete a seguite corolário (iterpretação geométrica das raízes dos úmeros complexos) Corolário 1.1. Seja N. Qualquer úmero complexo ão ulo z tem exactamete raízes de ídice, cujos axos se dispõem sobre uma circuferêcia de raio z com argumetos sucessivamete espaçados de π. De outras palavras, os axos de z são vértices do polígoo regular de grau, que estão a circuferêcia de raio z (veja Fig.5). Fig.5. Iterpretação geométrica de z para = 8. z k = z e i(φ+πk), k = 0, 1,..., 7. Deição Para z 0 o valor de z, deido por ( z = z cos arg z + i se arg z ) = z e i(arg z)/, (5) i.e. um dos valores deidos por (4), quado φ é argumeto pricipal de z e k = 0, chama-se valor pricipal de z. Exemplo 1.7. Calcule a) 1, b) 3 8i, c) 4 1 e esboce axos. Resolução. a) 1 = e iπ = e i(π/+πk), k = 0, 1. Etão, 1 = ±i. b) 3 8i = 3 8e iπ/ = e i(π/6+πk/3), k = 0, 1,. Etão, 3 8i são ( z 1 = cos π 6 + i se π ) = 3 + i, 6 ( z = cos 5π 6 + i se 5π ) = 3 + i, 6 ( z 3 = cos 3π + i se 3π ) = i. 9

10 c) 4 1 = 4 e 0i = e iπk/, k = 0, 1,, 3. Etão, 4 1 são z 1 = 1, z = i, z 3 = 1, z 4 = i. Fig.6. Axos de: a) 1, b) 3 8i, c) 4 1. Seja z = ρe iφ = ρ(cos φ + i se φ) um úmero complexo ão ulo. A raiz Exemplo 1.8. Calcule 4 1 i. Ache valor pricipal de 4 1 i. Resolução. Represetemos o úmero 1 i a forma trigoométrica: 1 i = ( ( cos π ) ( + i se π )). 4 4 Pela fórmula (4), 4 1 i = 8 ( π/4 + πk cos + i se 4 ) π/4 + πk, k = 0, 1,, 3. 4 Tomado k = 0, 1,, 3 temos quatro valores de 4 1 i: (k = 0) z 1 = 8 ( cos π 16 i se π ), 16 (k = 1) z = 8 ( cos 7π ) 7π + i se, (k = ) z 3 = 8 ( cos 15π ) 15π + i se, (k = 3) z 4 = 8 ( cos 3π ) 3π + i se Segudo Deição 1.10, o valor pricipal de 4 1 i é z Método de cálculo das raízes quadráticos de úmeros complexos Como sabemos, raízes de úmeros complexos calculam-se a partir da forma trigoométrica ou expoecial dos úmeros, pela fórmula (4). Segudo Corolário 1.1 para qualquer úmero complexo z diferete de zero existe, exactamete, dois valores de z, cujos axos são simétricos em relação à origem das coordeadas o plao complexo. Etão, z = ±w ode w é valor pricipal de z. Calculemos, por exemplo, 3 + 4i, usado este facto e a fórmula (5). Temos z = 5 e arg z = π arcta 4 3. Etão, 3 + 4i = ±5 (cos π arcta(4/3) + i se π arcta(4/3) ) ( = ±5 se arcta(4/3) + i cos arcta(4/3) 10 ). (6)

11 Etão, os valores de 3 + 4i são dados os termos dos valores das fuções trascedetes. É atural a perguta, se possível escrever valores de z, quado forma algébrica é relativamete simples, mesmo que z = 3 + 4i, os termos mais cómodos, usado somete os úmeros reais e expressões com radicais (sem valores das fuções trascedetes)? A resposta é positiva. Existe um método especíco (fórmula) de cálculo das raízes quadráticos de úmeros complexos, diferete de (4), que usa forma algébrica do úmero complexo z = x + iy. Vamos deduzir esta fórmula. Seja z = x + iy 0. Temos x + iy = ±(u+iv) (u+iv) = x+iy { u v = x uv = y { u 4 u v + u 4 = x 4u v = y. (7) Adicioamos as equações do último sistema, obtemos u 4 + u v + u 4 = x + y (u + v ) = z u + v = z. Adicioamos a igualdade u + v = z com igualdade u v = x (veja (7)) multiplicado por ±1, obtemos u = x + z, v x + z =. (8) De quatro valores de par (u, v) diferetes, obtidos a partir destas igualdades escolhemos só um, associado ao valor pricipal de z, que desigemos por w. Se y 0, etão arg z [0, π], e segudo (5) temos arg w = 1 arg z [0, π/]. Etão, em suposição w = u + iv temos u 0 e v 0. Se y < 0, etão arg z ] π, 0], e segudo (5) temos arg w = 1 arg z ] π/, 0[. Etão, em suposição w = u + iv temos u > 0 e v < 0. Aalisado as coclusões os casos y 0 e y < 0, juto com (8), temos x + z x + z u =, v = sig(y). Veriquemos, agora que, de facto, w = u + iv é valor de z, i.e. w = z. Temos w = (u + iv) = u v + iuv = x + z x + z x + z x + z + i sig(y) z = x + i sig(y) x = x + i sig(y) y 4 = x + i sig(y) y = x + iy = z. Etão, os demostramos o seguite teorema. Teorema 1.. Seja z = x + iy 0. Etão, x + iy = ±(u + iv), ode u e v calculam-se palas fórmulas x + z x + z u =, v = sig(y). (9) Exemplo 1.9. Calcular 3 + 4i. Resolução. Temos z = 5 e sig(im z) = sig 4 = 1. Segudo Teorema 1., 3 + 4i = ±(u + iv), ode u = = 1, v = =. Etão, 3 + 4i = ±(1 + i). 11

12 Observação 1.3. É claro, que a forma ±(1 + i) dos valores de 3 + 4i, obtida o Exemplo 1.9 por meio do Teorema 1. é melhor do que forma (6) obtida ates por meio da formula geral (4). Etão, o Teorema 1. da-os um método de cálculo das raízes quadráticos dos úmeros complexos, que os muitos casos é mais favorável do que método geral do Teorema 1.1. Etretato, ifelizmete este método especíco ão admite a geeralização para raízes de qualquer grau, e em geral, para cálculo de z é preciso usar a fórmula (4). Bibliograa [1] M.L. Krasov, A.L. Kiselev, G.I. Makareko, Fuctios of a Complex Variable, Operatioal Calculus, ad Stability Theory, Hardcover, 376 p. [] A. Machado, Números Complexos, Uiv. de Lisboa, 004, 33 p. [3] Mário, Números Complexos, Poliómios e Equações Algébricas, 008, 13 p. cm060011_umeros_complexos_poliomios_equacoes_algebricas.pdf [4] A.G. Kurosh, Lectures o geeral algebra, Chelsea, New York, 1963, 335 p. Fim! 1