Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / Professor: Rubens Penha Cysne

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1 Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / 2010 Professor: Rubens Penha Cysne Lista de Exercícios 9 Crescimento com Inovações Verticais (Graus de Qualidade) - Modelos Schumpeterianos Data de Entrega do Exercício Asteriscado - Aula de monitoria da semana entre 22 e 29 de março Obs: Na ausência de de nição de alguma variável, utilize aquela vista em sala de aula. Crescimento Endógeno com Externalidades Economia Descentralizada 1) (BM, C. 7) Uma economia apresenta um grande número de rmas com função de produção: Y i = AL 1 i a NX ( X ~ ij ) a ; 0 < a < 1 j=1 X ij representa a quantidade de insumo j usado na produção do produto i, só que, agora, corrigido pela qualidade de mesmo. N é xo. A qualidade de cada um dos n insumos X j varia com potências de q (onde q>1): 1, 1, q 2 ; :::q k j : Tais variações se dão como resultado de esforços de pesquisa. O tempo entre cada aumento de qualidade é incerto. Para simpli car, considere a mão de obra total da economia medida em unidades tal que L = 1. Cada inventor de uma nova qualidade do insumo é um empresário diferente (e não o líder, ou seja, aquele responsável pela produção atual). Em função desta hipótese a competição entre os inovadores gera, neste modelo, a "destruição criativa" à qual se referiu Schumpeter: quando k j se eleva, o provedor do insumo j, estágio k j ; sai do mercado e perde a posição de monopolista e os lucros para o provedor do insumo j, estágio k j + 1. Isto porque 1

2 por hipótese apenas a melhor qualidade X j :=q k j X j de cada insumo é usada na produção. Segue daí que a produção pode ser dada por: Y i = AL 1 i a NX (q k j X ij ) a (1) a) Mostre que a otimização de lucro de cada rma i leva à função de demanda agregada pelo input X j : j=1 X j = L(Aaq ak j =P j ) 1=(1 a) (2) Observe que, fazendo-se k j = 0; obtém-se a mesma função de demanda pelo input X j obtida na lista de exercícios número 7. Tais rmas são responsáveis pelo produto nal da economia Y (Y = P i Y i). O produto nal é usado para consumo, para a produção de bens intermediários X e para a produção de pesquisa e desenvolvimento (setor responsável pelo aumento da qualidade de N). Admite-se que o custo para produzir um insumo uma vez descoberto seja uma unidade de produto (que tem o preço igual a 1). Logo, o lucro na produção de X j ; função de P j ; é dado por: onde X j é dado por (2). (k j ) = (P j 1)X j (3) b) Escolha P j de tal forma a maximizar este lucro da rma produtora do insumo j em cada ponto do tempo. Mostre que P j = 1=a (4) Observe também que o preço de venda de X j ; 1=a, supera o seu custo marginal 1. Isto implica uma oferta de X j inferior àquela socialmente ótima. A solução do planejador central, desta forma, deverá diferir desta solução descentralizada. 2

3 c) Substitua (4) e (2) em (3) para calcular (k j ) :=(k j ; L; parâmetros):faça := (0): Conclua que: (k j ) = A 1=(1 a) ( 1 a a )a2=(1 a) Lq k ja=(1 a) = q k ja=(1 a) onde = A 1=(1 a) ( 1 a a )a2=(1 a) L (6) Observe que tem a mesma expressão que o lucro na lista 7. d) Faça t kj representar o instante do tempo no qual surge a inovação k j : A inovação k j sobrevive entre t kj e t kj +1: Conclua que a receita do inventor da inovação k j em valor atual do instante t kj será (em função da variável estocástica t kj +1): V kj = Z tkj +1 t kj (k j )R tkj ;vdv onde R tkj ;v é de nido como o R t;v da lista anterior, trocando-se t por t R kj v (R tkj ;v = exp( t kj r x dx)): Mostre que para um taxa de juros r constante tem-se: V kj = (k j )(1 e T (kj) )=r (7) onde (k j ) é dado por (5). e) De na o índice de inovações Q: (5) Q := X N j=1 qk ja=(1 a) (8) Faça L = L i em (2) e use (4) para obter X i;j : Substitua esta expressão em (1) para obter Y i : Em seguida, some em i para mostrar a proporcionalidade entre Y e Q. Y = A a=(1 a) a 2a=(1 a) LQ Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que (como L é constante) a taxa de crescimento de Y é igual à taxa de crescmento de Q. f) Use (4) em (2) e agregue em j para obter: X = A 1=(1 a) a 2(1 a) LQ Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que (como L é constante) a taxa de crescimento de X é igual à taxa de crescmento de Q. 3

4 g) De na por p(k j ) a probabilidade de se criar um novo design quando o estado da arte (último design disponível) é k j :Calcule, em função de p(k j ); o valor esperado de V kj ; EV kj ; assumindo que as inovações sigam um processo de Poisson (use uma das duas deduções apresentadas em sala de aula para concluir que o tempo de espera do processo de Poisson tem distribuição exponencial). Use (5) para obter: E(V kj ) = qk ja=(1 a) r + p(k j ) (9) h) Tome um empresário que, quando o estado da arte é k j ; decide se vale a pena ou não investir recursos para lançar um novo design, k j + 1: Observe que tal novo design, se obtido, lhe permitirá obter lucros apenas entre t kj +1 e t kj +2; quando por de nição outro empresário deverá tomar o seu lugar (lançando a inovação k j + 2). O tempo t kj +2 no qual outra invenção surgirá não está sob controle deste empresário. Admite-se que o empresário consegue alterar a probabilidade de criar um novo design k j + 1 (tal probabilidade denota-se, como vimos, por p(k j ) 1 ) se ele investir recursos Z(k j ); de acordo com a função: p(k j ) = Z(k j )h(k j ) (10) onde Z 0 > 0 e h 0 pode ter qualquer sinal (inclusive ser zero). A função h traduz a possibilidade de novas inovações carem mais fáceis (h 0 > 0) ou mais difíceis (h 0 < 0) à medida em que avança o estado da arte k j. Assumindo-se livre entrada e um esforço de pesquisa de inúmeros potenciais entrantes no mercado, o lucro esperado deste empresário deve ir para zero de acordo com: Lucro Esperado = p(k j )E(V kj +1) Z(k j ) = 0 (11) Observe que na equação acima usamos E(V kj +1) ao invés de E(V kj ): Isto porque a probabilidade p(k j ) re ete a entrada no mercado no tempo t kj +1 e a saída do mercado no tempo t kj +2 : Ou seja, o primeiro termo em (11), p(k j )(E(V kj +1); traduz a probabilidade de o empresário conseguir, na data t kj +1; criar uma inovação e auferir as receitas esperadas (E(V kj +1); em moeda da data t kj +1); pela operação entre t kj +1 e t kj +2: O segundo termo, Z(k j ); re ete o custo incorrido, também em moeda da data t kj +1; para majorar a probabilidade de obter a inovação k j+1 na data t kj +1: Reescreva (9) trocando k j por k j +1: Em seguida, use esta nova expressão, (10) e o fato de estarmos considerando Z(k j ) > 0; para concluir que: r + p(k j + 1) = h(k j )q (k j+1)a=(1 a) 1 Uma forma alternativa de escrever tal probabilidade seria p(k j ; k j + 1): 4

5 i) De na h(k j ) de tal forma que h(k j ) = 1 dq (k j+1)a=(1 a) (12) Nesta expressão 2, a constante positiva d traduz uma medida do custo da inovação. Obtenha: r + p(k j + 1) = r + p = =d (13) Conclua, do fato de p(k j + 1) ser constante (e igual a p) em (13), e da equação (10), que sob tal especi cação os gastos de pesquisa Z(k j ) são mais elevados nos setores com maior k j. j) Use (10) para mostrar, agregando em j, que o gasto total de desenvolvimento de novos produtos se dá por: Z = q a=(1 a) ( rd)q Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que a taxa de crescimento dos gastos em pesquisa Z é igual à taxa de crescmento de Q. k) Neste modelo o PIB é igual a Y-X e iguala C+Z. Conclua, em função do que vimos anteriormente que, em um BGP no qual Q cresce à taxa constante ; Y, X, Z e C devem crescer a esta mesma taxa. Em particular: _C=C = _ Q=Q (14) Dada a usual otimização intertemporal do consumidor _C=C = (1=)(r ) (15) Logo, neste BGP r também deve ser constante ao longo do tempo. Resta agora apenas determinarmos p, r e em função dos parâmetros do modelo. Para determinarmos estas três incógnitas, precisamos de apenas uma equação adicional: a equação de determinação de E( _ Q=Q): Assumindo N grande o su ciente para tratar _ Q=Q de forma não estocástica e usando (13): _Q=Q = (=d r)(q a=(1 a) 1) (16) 2 De nindo-se h desta forma implica assumir que quanto mais elevado o design, mais difícil ca fazer uma inovação. Isto decorre de (10). 5

6 Use (15), (14), (16) para mostrar que: r = + d (qa=(1 a) 1) 1 + (q a=(1 a) 1) = (qa=(1 a) 1)(=d ) 1 + (q a=(1 a) 1) p = =d 1 + (q a=(1 a) 1) l) Interprete economicamente estes três resultados em relação a cada um dos parâmetros. Economia Centralizada 2- Analisemos agora o ótimo de Pareto do problema anterior, para isto considerando uma economia centralizada. O consumidor, como de costume, resolve: Z 1 max ( c1 c 1 )e t dt (17) 0 onde c = C=L, L xo. As mesmas hipóteses feitas anteriormente valem aqui: Assume-se a validade de (10) e (12). A equação que iguala a oferta nal de produtos à demanda agregada lê-se: X N X N AL 1 a (q k j X j ) a X j = C + X N j=1 j=1 j=1 Z(k j) := C + Z (18) a) Mostre que, tal como ocorria no modelo de variedades, a escolhe de cada X j pelo planejador central é superior à escolha descentralizada, o mesmo valendo para X = P N j=1 X j. Sugestão: a otimização intertemporal do consumo exige que, a cada ponto no tempo, a escolha de X j (cujo custo marginal de produção em unidades de produto é igual a 1) seja feita de forma a maximizar a produção. Conclua que X j = LA 1=(1 a) a 1=(1 a) q k ja=(1 a) (19) e que X = X N j=1 X j = LA 1=(1 a) a 1=(1 a) Q (20) Compare com o resultado obtido na primeira parte desta lista. 6

7 b) Mostre que, tal como ocorria no modelo de variedades, o produto Y determinado pelo planejador central é superior à escolha descentralizada. Sugestão: Após obter a escolha ótima de X j do planejador central em (a), substitua em (1) e calcule o produto Y determinado pelo planejador central. Mostre que: Y = LA 1=(1 a) a a=(1 a) Q (21) Compare com o resultado obtido na primeira parte desta lista. c) Calcule a esperança de Q usando a de nição de Q e (10). Aproxime _Q por tal esperança para mostrar que: _Q = Z(1 q a=(1 a) )=d (22) d) Resolva o problema de maximizar (17) sujeito a (1), (18) e (22). Sugestão: Use (20) e (21) e (22) em (18) para obter: c = LA 1=(1 a) a a=(1 a) (1 a)q _Q (1 q a=(1 a) )=d (23) Substitua (23) em (17) e use cálculo de variações para obter a taxa de crescimento de Q, X, Y, Z e C determinada pelo planejador central )( pl ): pl = 1 d LA1=(1 a) a a=(1 a) (1 q a=(1 a) ) A despeito do que você mostrou nos itens a e b acima, neste modelo a taxa de crescimento determinada pelo mercado pode ser superior à taxa de crescimento determinada pelo planejador central. Isto ocorre porque o empresário privado tem um incentivo para inovar superior ao incentivo social. Por exemplo, aquele que inova em t kj +1 visualiza apenas os seus ganhos da inovação. O planejador central, entretanto, subtrai de tais ganhos as perdas do incumbente em t kj +1 (ou seja, daquele que produzia anteriormente até a data t kj Na verade, o simétrico deste argumento se dará em t kj+2; quando aquele que inovou em t kj+1 perder seu negócio. Ele visualizará uma perda total. O planejador central, entretanto, visualizará um ganho líquido para a economia. Tal ganho se calcula pela soma da perda do empresário que invou em t kj+1 com o ganho do empresário que estará entrando no negócio em t kj+2. Ocorre que tal simétrico se dá, temporalmente, após o excesso do ganho do empresário privado sobre o ganho social descrito no corpo deste exercício. Como a condição de transversalidade do problema privado implica r > ; o que prevalece liquidadmente em valor atual, é o excesso do ganho privado sobre o social. A economia pode então crescer mais na solução privada porque tal ganho pode superar a perda decorrente da provisão de X no caso privado ser inferior à provisão de X no caso do planejador central. 7

8 3) Como você mediria inovações em uma economia? O número de patentes por ano seria uma proxy adequada? Sugestão: Faça uma procura nos bancos de dados JSTOR ou Science Direct usando as palavras "Innovation" e "Measuring". Há inúmeros artigos sobre o assunto 4. 4 ) Considere a Figura 1 a seguir: Figura Crescimento Médio do PIB Real (% de 1995 a 2008) , ,9 6, ,6 3,7 3,2 3, ,9 1,5 1, China Índia BRIC Sud. Asia Rússia Fonte: FMI, World Economic Outlook Database, April 2009 Am. Lat. OCDE Brasil US Alem. Japão Fato: A Figura mostra um crescimento do PIB (produto) real brasileiro de 1995 a 2008 inferior a vários países e inferior à média da América Latina. Pergunta-se: O modelo de inovação vertical visto neste lista pode lhe ser útil na explicação do fato acima? De que forma? Explique detalhadamente a sua resposta, provendo dados quantitativos (objeto de breve pesquisa individual) e, se for o caso, estimativas empíricas existentes na literatura. Explicite suas hipóteses. A originalidade na resposta é importante. 4 A discussao do New York Times em apresenta uma perspectiva mais losó ca desta questão. O que você acha do dito de Seth Godin: If we embrace the process, not the event, we win. Observe também a taxonomia "incremental, arquitetônica e geradora de descontinuidade" provida por John Brown. Em particular, sua aplicabilidade à inovação em ciência. 8