ECONOMIA MONETÁRIA I: NOTAS DE AULA

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1 ECONOMIA MONETÁRIA I: NOTAS DE AULA Este documento consiste em notas de aula para o capítulo 4 de Mishkin (Moedas, Bancos e Mercados Financeiros. 5 ā edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2000). Introdução às Taxas de Juros Alguns Instrumentos do Mercado de Crédito. Empréstimo simples Exemplo: recebimento de R$ 000 hoje, pagamento de R$ 250 após um ano; desenhar o uxo de caixa. 2. Empréstimo com pagamento xo Exemplo: recebimento de R$ 000 hoje, doze pagamentos mensais de R$ 0; desenhar o uxo de caixa. 3. Bônus de cupom Exemplo: desembolso de R$ 00 hoje, n pagamentos mensais de R$ 0, pagamento nal de R$ 0; desenhar o uxo de caixa. 4. Bônus de desconto Exemplo: título que será resgatado por R$ 000 daqui a três meses que é vendido hoje por R$ 920; desenhar o uxo de caixa. Valor Presente e Valor Futuro Fora do livro. Comentário sobre a numeração das equações, expressões, guras etc

2 .,.2,.3...: objeto adicionado pelo professor., 2, 3...: existe objeto similar ou idêntico no livro (inclusive com o mesmo número). Este comentário é válido para os três primeiros tópicos. Figura. s e t: datas genéricas C s e C t : valores monetários Em um mundo sem risco, C s e C t são nanceiramente equivalentes se onde i é a taxa nominal de juros. C t = C s ( + i) t s, (.) Se t s =, então (.) se transforma em C t = C s (+i). Logo, C t = C s +ic s. ic s : juros É possível obter (.) a partir de um raciocínio recursivo simples ou por meio de indução matemática. Se s = 0 (data atual), então pode-se dizer que C 0 é o valor presente de C t e que C t é o valor futuro de C 0 na data t. A terminologia varia de autor para autor. valor presente descontado valor na data t Os conceitos subjacentes à equação (.) constituem um dos pilares deste tópico. Exemplos (i = 5%).. Valor presente de R$ 500,00 que serão recebidos em t = 2. (Desenhar o uxo de caixa.) C 0 = 500( + 0; 05) 2 ) C 0 = 453; 3 2. Valor em t = 7 (ou seja, estamos falando de valor futuro) de R$.200,00 que estão disponíveis hoje. (Desenhar o uxo de caixa.) C 7 = 200( + 0; 05) 7 ) C 7 = 688; 52 2

3 Importante: a taxa de juros precisa estar referenciada na mesma unidade em que se mensura o tempo. Em um curso de Matemática Financeira esse ponto seria discutido com mais detalhes. A menos que se a rme o contrário, assuma que isto ocorre. Valor Presente De volta para o livro. Suponha que um agente receberá, respectivamente, os pagamentos Q 0, Q, Q 2,..., Q n e Q n nas datas 0,, 2,..., n e n. Comentário sobre a notação: seria mais natural utilizar P ao invés de Q; contudo, mais à frente utilizaremos P para denotar preço de um título. Desenhar o uxo de caixa. O valor presente V 0 desse uxo de pagamentos é dado por V 0 = nx t=0 Q t ( + i) t, onde i é a taxa de juros. Problema: como selecionar i? Q t pode ser negativo ou nulo. Exemplos (i = 5%).. Q 0 = 0, Q = 00, Q 2 = 200, Q 3 = 300 Desenhar o uxo de caixa. V 0 = 00 ; ; ; 05 3 ) V 0 = 345; Q 0 = 50, Q 6 = 20, Q 2 = 40, pagamentos nulos nas demais datas. Desenhar o uxo de caixa. V 0 = ; ; 05 2 ) V 0 = 2; 80 3

4 O Rendimento até o Vencimento (YTM) O YTM (yield to maturity) de um título é a taxa de juros que iguala o valor presente dos seus pagamentos ao seu preço. De nição alternativa: o YTM é a taxa de retorno de um título que é comprado na data de hoje e carregado até o seu vencimento. Usualmente expresso em termos anuais. Notação: denotaremos o YTM por R. O autor do livro não adota este procedimento. Exemplos. Título cotado por 400 que paga 720 daqui a cinco anos. 400 = 720( + R) 5 ) ln 400 = ln 400 = ln ln( + R) ) 5 ln( + R) = ln(720=400) ) ln(+) = ln[(720=400) =5 ] ) + R = [(720=400) =5 ] ) R = 2; 4746% 2. Título cotado por 920 que paga 00 em t = e.00 em t = 2. Notação: x = + R. 920 = 00 + R + 00 ( + R) 2 920x 2 00x 00 = 0 x = 00 p ( 00) ( 00) x = ; x2 = ; 4956 Como R 00% (explicar), podemos descartar x. Conclusão: R = 4; 956%. Comentários: existência; unicidade; equações cúbica ou de ordem mais elevada. Matematicamente, o YTM e a IRR (internal rate of return, taxa interna de retorno em português) são conceitos equivalentes. A IRR é taxa de retorno que anula o valor presente de um uxo de caixa. 4

5 EUA: aparentemente, o YTM é utilizada somente para ativos nanceiros e a IRR é utilizada principalmente para projetos de investimento. Brasil: IRR é muito mais popular entre os autores. Fórmula geral (P é o preço do título): P = nx t= Q t ( + R) t A fórmula pode ser trivialmente generalizada n =. Calculando o YTM para os quatro instrumentos nanceiros discutidos no começo desta seção.. Empréstimo simples: nanciamento de R$ 00, i = 0%, quitado após um ano. Desenhar o uxo de caixa. 00 = 0 + R ) R = 0% = i 2. Empréstimo com pagamento xo: nanciamento de R$ 000, 25 pagamentos mensais e sucessivos de R$ 26, primeiro pagamento em t =. Desenhar o uxo de caixa. 000 = X25 t= 26 ( + R) t Poderíamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG para simpli- car a expressão acima. Contudo, ainda assim não conseguiríamos resolver algebricamente para R. Fato: R = ; 8302%. Resolução: HP2C, Excel, tabela nanceira ou métodos numéricos (utilizados pela HP2C e pelo Excel). 3. Bônus de cupom: suponha que o preço do título (P b ) é igual ao seu valor de face (F ), taxa de juros i. Figura.2. Hipóteses implícita: F > 0 (sem perda de generalidade; F = 0 não há o que analisar; se F < 0, então basta trabalhar com F ) e i 0 (se i < 0, então...). 5

6 Mostraremos, de duas formas distintas, que R = i. Forma Soma dos termos de uma PG: + q + q 2 + ::: + q n = qn+ q Para referência futura, vale lembrar que a fórmula acima implica que q + q 2 + ::: + q n = q Adicionalmente, se jqj <, então Agora, observe que F = " nx t= Por outro lado, F = " n X # if + ( + R) t = t= X t=0 qn+ q. q t = q. (.2) # if + ( + R) t ( + i)f ( + R) n ) (.3) F ( + R) = F nx n ( + R) + if n t= ( + R) t ) nx ( + R) + i n ( + R). (.4) t t= nx t= ( + R) = +R t (+R) n+ +R ) nx t= ( + R) = ( + R)n t ( + R) n R. Combine a última igualdade com (.4). Temos então = ( + R) + i( + R)n n ( + R) n R ) ( + R)n R = R i[( + R) n ] ) ( + R) n (R i) = R i. Claramente, R = i é uma solução. Utilize o fato que o lado direito de (.3) é estritamente decrescente em R para concluir que existe uma única solução. 6

7 Forma 2 Decomponha o nanciamento em n empréstimos simples. Ver gura.3 Observe que R = i para cada um dos uxos individuais. Logo, se trouxermos todos os valores lá representados para data 0 descontando a taxa i, então o valor presente total será nulo. Unicidade: utilizar o mesmo argumento. O que ocorre quando P b 6= F? Nesse caso, o YTM (denotado por R Pb ) satisfaz " Xn # P b = t= if ( + R Pb ) t Por outro lado, sabemos que " n # X if ( + i)f F = + ( + i) t ( + i). n t= + ( + i)f ( + R Pb ) n (.5) Suponha agora que P b < F. Como o lado direito de (.5) é estritamente decrescente em R Pb, podemos concluir que R Pb > i. Raciocínio similar estabelece que R Pb < i para P b > F. Lição importante: existe uma relação decrescente entre os preços dos ativos e a taxa de juros. Consol (perpetuidade) Figura.4 O YTM deve satisfazer P c = X t= C ( + R) t. Combine essa igualdade com (.2). Logo,! + R P c = C = C R +R R R P c = C R (4) R = C P c (5) 7

8 4. Bônus de desconto Exemplo A: título que será resgatado por 000 daqui a um ano é vendido hoje por 900. Desenhar uxo de caixa. 900 = R ) R = ; % Exemplo B: título que será resgatado na data n pelo valor C n é vendido hoje pelo preço P d. Desenhar uxo de caixa. P d = Outras Medidas de Taxas de Juros C n ( + R) n ) R = Cn P d =n O rendimento atual (denotado por i a, current yield em inglês) é a razão entre o cupom e o preço do título. i a = C P b Observe que o rendimento atual é igual ao YTM para um consol. No caso de um bônus com cupom, i a pode ser interpretado como uma aproximação do YTM. A aproximação será tão mais acurada quanto maior for valor de n. Exemplo: P b = 200, C = 0. Nesse caso, i a = 5%; adicionalmente, R = 2; 8446% para n = 30 e R = 4; 9605% para n = 00. O rendimento com desconto (denotado por i d ) das letras do Tesouro dos EUA é dado pela fórmula i d = F P d 360 P d n, onde F é o valor de resgate do título, P d é o seu preço e n é o número de dias até o vencimento. Simplicidade (não havia calculadoras) e tradição. 8

9 A Distinção entre Taxas de Juros e Retornos Considere o bônus de cupom ilustrado na gura.5. Suponha que você compre esse título em t = 2 (após o pagamento do cupom) por 000. Assim sendo, o seu YTM será igual a 0%. Agora, assuma que você revende o título por 200 em t = 3 (após o pagamento do cupom). A taxa de retorno (RET) da operação dada pela seguinte fórmula: RET = ( ) Desta forma, RET = 30%. Claramente, a RET será diferente do YTM calculado no momento da aquisição. De forma geral, a RET de um título carregado de t até t + é dada por P t RET = C + P t+. P t Observe que Denote a razão P t+ P t P t P t RET = C + P t+. P t P t por g (ganho de capital). Assim sendo, RET = i a + g. A Distinção entre Taxas de Juros Real e Nominal Considere os seguintes uxos de caixa (o primeiro é um uxo monetário e o segundo é um uxo real). Figura 6. + r = 0=P 00=P 0 ) + r = 0 00 P 0 P ) + r = + i + (.6) A variável r é a taxa real de juros. Observe que ela leva em consideração os efeitos da in ação sobre os valores monetários. O livro denota a taxa real por i r. 9

10 Evidentemente, a equação (.6) é equivalente à + i = ( + r)( + ). A igualdade acima é frequentemente substituída pela sua versão aproximada: Taxa real de juros: ex-ante vs. ex-post. ex-post: realizada ex-ante: esperada A equação de Fischer é dada por ou i = r +. i = i r + () i r = i. (2) O livro trata a equação de Fischer como uma mera de nição. Contudo, nem todos os autores procedem dessa forma. Taxas de Crescimento: Tempo Discreto vs. Tempo Contínuo Fora do livro. Tempo Discreto Seja X t > 0 uma variável econômica qualquer. Se então x é a taxa de crescimento de X t. Demonstração: X t = X 0 ( + x) t, X t+ X t = X 0( + x) t+ X 0 ( + x) t = + x ) X t+ X t X t = x Importante: existe um t subentendido. Faça uma analogia com com s =. s 0 X t+s X t X t

11 Sejam X t > 0 e Z t duas variáveis quaisquer. Elas crescerão a mesma taxa se e somente a razão X t =Z t é constante. X t+ Z t+ = X t Z t, X t+ X t = Z t+ Z t Evidentemente, X t cresce a uma taxa maior (menor) que Z t se e somente se a razão X t =Z t é crescente (decrescente). Os mesmos resultados são válidos em tempo contínuo. Tempo Contínuo Seja Y (t) > 0 uma variável econômica qualquer. Se Y (t) = Y 0 e yt, então y é a taxa de crescimento de Y (t). Demonstração: dy (t) dt = yy 0 e yt = yy (t) ) dy (t) dt Y (t) = y A soma de taxas de crescimento, que é somente uma aproximação em tempo discreto, é um procedimento exato em tempo contínuo. Por exemplo, sejam Y e P duas variáveis tais que Y (t) = Y 0 e yt e P (t) = P 0 e pt. Observe que Y (t)p (t) = Y 0 e yt P 0 e pt ) Y (t)p (t) = Y 0 P 0 e (y+p)t. Relação entre Taxas Discretas e Contínuas Suponha que x seja uma taxa de crescimento mensurada em tempo discreto. Qual é taxa contínua y equivalente à taxa x (ou seja, que gera o mesmo crescimento em um intervalo de um período)? Y (t + ) Y (t) = + x ) Y 0e y(t+) Y 0 e yt = + x ) e y = + x, y = ln( + x)

12 IRR: Existência e Unicidade Fora do livro. Considere o seguinte uxo de caixa abaixo. Figura 7. Q 0 + Q + R Q 2 ( + R) 2 = 0 ) Q 0( + R) 2 Q ( + R) + Q 2 = 0 De na x de forma que x = ( + R). Q 0 x 2 Q x + Q 2 = 0 = ( Q ) 2 4Q 0 Q 2 ) = Q 2 4Q 0 Q 2 Se < 0, então não existe IRR. Se > 0, então é possível que existam duas soluções. Exemplos. Q 0 = 50, Q = 50, Q 2 = 20 (saldo médio 50, empréstimo 00, i = 20%); = 500. Excel: #NUM; HP2C: Error 3 2. Q 0 = 25, Q = 0, Q 2 = 20 (saldo médio 0, cadastro/seguro 5, empréstimo 00, i = 20%); = 00. x = 2; 4; x 2 = 2 R = 40%; R 2 = 00% Excel: 00%; HP2C: Error 3 2

13 Figura Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7