Subtemas: Função Composta, Função Inversa, Qualidades

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1 PLANO DE AULA 1)Escola de Educação Básica Bulcão Viana Município: Praia Grande/SC Disciplina: Matemática Série: 1º ano Nível: Ensino Médio Turma: Única Professora: Mariani Constante de Jesus Tempo previsto: 3h.a. 2)Tema: Funções Subtemas: Função Composta, Função Inversa, Qualidades 3) Justificativa O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc. por meio de funções (DANTE, 2012). As funções correspondem a uma lei de proporcionalidade entre grandezas. Quando é possível relacionar mais de duas grandezas através de uma mesma função, por exemplo, a altura que a lava e o vapor atingem em um vulcão em erupção é obtida em função da pressão dos gases no interior do Vulcão e da Terra. Contudo, essa pressão depende da temperatura atingida pela atividade vulcânica (OLIVEIRA, 2013). 4) Objetivos: Definir função composta; Resolver problemas que envolvem função composta; Classificar funções quanto ao seu crescimento ou decrescimento; Analisar e construir gráficos de funções crescentes e decrescentes; Classificar funções em pares ou ímpares; Esboçar gráficos de funções pares e ímpares;

2 Identificar funções em injetora, bijetora, sobrejetora, por meio de diagrama de flechas e gráficos; Determinar a inversa de uma função bijetora; Construir (desenvolver) gráficos de funções inversas. 5) Conteúdos envolvidos Função por meio de conjuntos, domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função, construção de gráficos de funções. 6) Estratégias: 6.1- recursos: Quadro, projetor de slides, software matemático técnicas: Aula expositiva e dialogada. 7) Procedimentos: 7.1- Problematização: Problema I: Você já ouviu falar dos Direitos do Trabalhador? Uma boa parte das relações trabalhistas no Brasil é regida pela Consolidação das Leis do Trabalho, cuja sigla é CLT. É importante que todos os trabalhadores como também os empregadores conheçam quais são os direitos de cada trabalhador, evitando assim problemas gerados pela falta de conhecimento. Como exemplo, vamos citar alguns itens que constam na CLT. GARANTIAS E BENBEFÍCIOS: Assistência gratuita aos filhos e dependentes desde o nascimento até 6 anos de idade em creches e pré-escolas; Redução dos riscos inerentes ao trabalhado, por meio de normas de saúde, higiene e segurança; Seguro contra acidentes de trabalho, a cargo do empregador, sem excluir a indenização a que está obrigado; Proibição de trabalho noturno, perigoso ou insalubre a menores de 18 anos e de qualquer trabalho a menores de 16 anos, salvo na condição de aprendiz, a partir de 14 anos.

3 IGUALDADE: Proibição de diferença de salários, de exercício de funções e de critérios de admissão por motivo de sexo, idade, cor ou estado civil; Proibição de qualquer discriminação no tocante a salário e critérios de admissão do trabalhador portador de deficiência. Sabemos que são inúmeros os problemas que ainda existem em relação ao nãocumprimento das leis, entretanto, uma maneira de diminuir tais problemas, antes de mais nada, é a tomada de consciência. Mesmo sendo este material didático de Matemática, ele também deve ter preocupações com as questões de cidadania. Por falar nisso, vamos discutir agora uma situação relacionada a salário, a desconto. O salário de um trabalhador, que recebe por hora, depende do número de horas trabalhadas. Da mesma forma, o desconto referente ao Imposto de Renda que ele tem que pagar depende do salário que recebe. Temos aqui a ideia de três funções: Salário é uma função do número de horas S = f(n): Desconto é uma função do salário d = g(s): e, como consequência dessas duas, Então: Desconto é uma função do número de horas d = h(n): S: salário f é função n: nº de oras d: desconto g é função s: salário d: desconto é função n: nº de oras Qual o salário do trabalhador por 110 horas trabalhadas? Qual o desconto referente a 110 horas trabalhadas? Obtenha a lei de formação d = h(n) que expressa o desconto em função do número de horas trabalhadas.

4 Problema II: Em uma determinada loja de roupas, o salário mensal de uma vendedora é dado por: R$ 975,00 referente ao salário comercial mais 0,41% referente as vendas que realizou durante o mês. Utilizando a ideia de função composta, responda: Quanto receberá a vendedora no fim do mês se vender um total de R$ 28000? Sabendo que é descontado 5% referente ao INSS. SOLUÇÃO: S(x) = ,41 % x I(S) = 5% S I(S(x)) I = 5% ( ,41% ) I = 5% ( ,8) I = 5%. 1089,8 I = 54,49 Salário = 1089,8 54,49 Salário = 1035, Historicização Segundo Dante (2012), o conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI séc. XVII) veio revolucionar a Matemática. Foi Leibniz ( ) quem primeiro usou o termo função em 1673 no manuscrito Latino Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus. Leibniz usa o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as subtangentes e subnormais. Introduziu igualmente a terminologia de constante, variável e parâmetro.

5 Como consequência da evolução do estudo das funções surge numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações procuravam uma fórmula (uma função), para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis Operacionalização da aula Crescimento e decrescimento de uma função Vamos analisar as seguintes situações: O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a Neste gráfico podemos perceber que a população está aumentando em função do aumento do tempo (anos), logo a curva é denominada crescente. Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b). Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado.

6 Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento de tempo (minutos), portanto a curva é decrescente. Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b). Função Constante os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo aumentando os valores da variável independente. Construindo e Analisando os gráficos I. Seja a função real dada por f(x) = 2x + 1. Para analisar se essa função é crescente ou decrescente, vamos representá-la graficamente.

7 Atribuindo a x alguns valores reais e substituindo na função dada, obtemos suas respectivas imagens. x f(x) = 2x + 1 y -2 f(-2) = 2. (-2) f(-1) = 2. (-1) f(0) = f(1) = Podemos notar que, ao aumentarmos os valores atribuídos a x, os valores das imagens correspondentes em y também aumentam. Nesse caso, dizemos que a função f é crescente em R. II. Veja o gráfico da função de R em R dada por f(x) = - x². x f(x) = - x² y -2 f(-2) = - (-2)² -4-1 f(-1) = - (-1)² -1 0 f(0) = - (0)² 0 1 f(1) = - (1)² -1 2 f(2) = - (2)² -4 Nesse gráfico podemos perceber que: Para x 0, essa função é crescente; Para x 0, essa função é decrescente; Para x = 0, f(x) = 0; para x 0, temos f(x) < 0. Por isso, dizemos que x = 0 é o ponto de máximo a função. III. Observe o gráfico da função de R em R dado por f x = x, se x 3 3, se x > 3.

8 x y Veja que: Para x 3, essa função é crescente; Para x > 3, essa função e constante; Para x < 0, f(x) < 0; Para x = 0, f(x) = 0; Para x > 0, f(x) > 0. Função Par - Função Ímpar Função Par: f é função par se, e somente se, f(x) = f(-x), para qualquer x ϵ D, em que o domínio é simétrico em relação à origem. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Consideremos a função f: R R, definida por f(x) = x². Temos o seguinte gráfico:

9 Observe que: f 1 = 1² = 1 f 1 = 1 2 = 1 f 2 = 2² = 4 f 2 = 2 2 = 4 f(1) = f(-1), ou seja, 1 e -1 têm a mesma imagem f(2) = f(-2), ou seja, 2 e -2 têm a mesma imagem Função Ímpar: f é função ímpar se, e somente se, f(-x) = -f(x), para qualquer x ϵ D, onde o domínio é simétrico em relação a origem e o gráfico também é simétrico em relação a origem O. Veja o gráfico da função f: R R, definida por f(x) = x³. Analisando o gráfico temos que: f 1 = 1³ = 1 f 1 = 1 3 = 1 f 2 = 2³ = 8 f 2 = 2 3 = 8 f(1) = -f(-1), ou seja, 1 e -1 têm imagens opostas f(2) = -f(-2), ou seja, 2 e -2 têm imagens opostas Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora Função Injetora: Diz-se que f é injetora se, e somente se, para quaisquer x 1 e x 2 ϵ A, com x 1 x 2, se tivermos f(x 1 ) f(x 2 ).

10 O diagrama ao lado representa a função f : A B, definida por f(x) = x +1. Veja que f associa elementos distintos de A a elementos distintos de B. Portanto f é injetora. Função Sobrejetora: Uma função f : A B é sobrejetora quando, para qualquer elemento y ϵ B, pode-se encontrar um elemento x ϵ A tal que f(x) = y. Ou seja, Im = CD. O diagrama ao lado representa a função f : A B, definida por f(x) = x². Im = {0, 1, 4} e CD = {0, 1, 4} Função Bijetora: Diz-se que f é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora simultaneamente. Considere o diagrama que representa a função f : A B, definida por f(x) = 2x + 1.De acordo com o que vimos anteriormente, a função f é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Trata-se, portanto, de uma função bijetora. Função inversa Dada uma função f : A B, bijetora, denomina-se função inversa de f a função g : B A tal que, se f(a) = b, então g(b) = a, com a ϵ A e b ϵ B.

11 Para representar a função inversa de f, utilizamos o símbolo f -1. Exemplificando no diagrama de flechas: f : A B g : B A De modo geral, se f é bijetora, temos: em que g : B A é a função inversa da função f : A B, uma vez que se tem: g(y) = g(f(x)) = x para todo x ϵ A e f(g(y)) = y para todo y ϵ B. Determinando a função inversa e construindo seu gráfico Caso a função seja bijetora, e, portanto, invertível, é possível determinar a sua inversa. Para isso trocamos a variável x por y na lei que define a função e em seguida isolamos o y, obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar cuidado com o domínio da nova função obtida. Vejamos o exemplo: 1. Obter a lei da função inversa da função f dada por y = x + 2. Resolução: y = x + 2 x = y + 2 trocando y por x e x por y y = x 2 isolando y Então, y = x 2 é a lei da função inversa da função dada por y = x + 2.

12 Vamos agora construir os gráficos das funções f e f -1 coordenadas: num mesmo sistema de x f(x) x f -1 (x) Determinar a função inversa da função g(x) = x+5 2x 3, cujo domínio é D = R Resolução: Temos a função y = x+5 y+5, trocando as variáveis temos: x = 2x 3 2y 3 x(2y 3) = y + 5 2xy 3x = y + 5 2xy y = 3x + 5 y(2x 1) = 3x + 5 y = 3x+5 2x 1 ; 2x 1 0 x 1 2 Logo, g -1 (x): R 1 2 R 3 2 3x+5 dada por y = é a função inversa procurada. 2x 1 Função Composta Para resolver o problema I, podemos considerar que: Um trabalhador recebe 15 reais por hora. Assim, se o número de horas que ele trabalha durante um mês é o n, o seu salário é: S = f(n) S = 15. n Imagine que a Receita Federal adote a seguinte fórmula para o cálculo do desconto referente ao imposto: d = g(s) d = 1/6. (S 450) Podemos então, escrever o seguinte esquema:

13 f g n 15n 1/6(15n 450) h A função h, que relaciona o desconto em função do número n de horas trabalhadas é dita composta de g com f: h = g composta com f h = g(f(n)) = gof f n f(n) g(f(n)) g h = g(f(n)) Definição: Dadas as funções f: A B e g: B C, denomina-se função composta de g e f, nessa ordem, a função gof: A C definida por (gof) (x) = g(f(x)) para x ϵ A. Exemplos: 1. Dados os conjuntos A = {2; 4; 6; 8}, B = {5; 9; 13; 17} e C = {25; 81; 169; 289} considere as funções f: A B definida por f(x) = 2x + 1 e g: B C definida por g(x) = x². a) Obtenha g(f(2)); g(f(4)); g(f(6)) e g(f(8)). b) Obtenha a lei de formação da função composta gof. 2. Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f(x) = x + 1 e g(x) = 2x² - 3. Determine: a) f(g(x)) e g(f(x)) b) Os valores de x para que se tenha f(g(x)) = g(f(x)) 8) Avaliação Os alunos serão avaliados pela realização das atividades propostas em sala de aula, onde mostrarão o entendimento do conteúdo apresentado.

14 8.1 - Instrumentos de avaliação A partir do desenvolvimento e compreensão dos conceitos estudados, será realizado uma avaliação individual com os seguintes exercícios de aplicação do tema: 1. Classifique as seguintes afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F) justificando as alternativas que julgar falsas. ( ) f é função par se, e somente se, f(x) = f(-x), para qualquer x ϵ D, em que o domínio é simétrico em relação à origem. ( ) Uma função f : A B é sobrejetora quando Im CD. ( ) Diz-se que g é decrescente, se para a < b, então f(a) < f(b). ( ) Uma função é constante se os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo aumentando os valores da variável independente. 2. A inversa da função f x = x+3, cujo D = R - {-2} e CD = R - {1} é: x+2 a) f 1 (x) = 3+2x x 1 b) f 1 x = 3 2x x 1 c) f 1 x = 3 2x x+1 d) f 1 (x) 3+2x x+1 e) f 1 (x) 3 2x x 2 3. Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f(x) = x² + 2x e g(x) = 1 3x. Determine f(g(x)) e g(f(x)). 4. Fundamentados em nossos estudos em sala de aula some as alternativas verdadeiras. 01 O diagrama representa uma função f: A B, que não admite inversa

15 02 Sejam as funções f(x) = x² - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1. A função f(g(1)) = O gráfico abaixo é de uma função crescente. 08 A função inversa de f(x) = 3x + 4 é y = x+4 3. SOMA = 9) Referências DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações. Volume 1 Ensino Médio. São Paulo: Ática, OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Função Composta. Disponível em: Acesso em 25 Ago GIOVANI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 1ª série Ensino Médio. São Paulo: FTD, DESAFIOS DO CONHECIMENTO. Curitiba: Posigraf, v. 4, p.20.