Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções
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- Giovana Bernardes Gama
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1 Capítulo Funções Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função composta e determinar a função inversa; Aplicar funções em situações práticas Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda A procura de carne pelo consumidor, por eemplo, pode depender do seu preço atual no mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra Essas relações são matematicamente representadas por funções Sejam A e B dois conjuntos Uma função é uma relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B, e é indicada por f : A B A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação epressa na forma y = f () Glossário Função :Na Matemática, função significa uma relação (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, e y O objeto é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de é chamado imagem de pela f Função:Em Contabilidade, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema contábil Eemplo: função custo direto e função custo total Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos Dizemos que f é uma função ou aplicação, de conjunto A em conjunto B, se e somente se, todo elemento de A, está em correspondência com um único elemento de B Escrevemos f : A B definida por y = f ( ) onde y é o valor de f em Domínio: É o conjunto dos valores de tais que a função está definida Anotamos D( f ) = A ou Dom( f ) = A Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função CD( f ) = B Imagem: É o conjunto dos valores y B tais que y = f ( ) para algum Anotamos Im( f ) B
2 = Assim: e { } D( f ) = A y = f ( ) para algum y B, { } Im( f ) = y B A com y = f ( ) Por eemplo, seja f : A B definida por f ( ) =, onde A = {,,3 } e {,,4,6,7 } D f =, CD( f ) = {,,4,6,7 } e Im( ) {,4,6} Neste caso, ( ) {,,3 } B = f = Veja a figura abaio: A = D( f ) 3 f B CD( f ) Im( f ) Figura Uma função f : A B é dita função real de uma variável real se A e B Figura Normalmente, representamos por y = f ( ), A e y B Veja a seguir alguns eemplos de funções (i) f ( ) =,, D( f ) =
3 (ii) f ( ) (iii) f ( ) =, =,, D( f ) =, D( f ) = [ 0, ] (iv) f ( ) =,, D( f ) = { } (v) f ( ) =,, D( f ) = [, ] (vi) f ( ) = +,, D( f ) = (vii) 3 f ( ) =, 0,, D( f ) = = { 0} (viii) f ( ) =,, D( f ) = (i) f ( ) D( f ) = = / e Im( f ) = { } { } () f ( ) = / Neste caso, (i) f ( ) = 0 e { } D( f ) = / 3/ º Caso: 0 e + 3 > 0 e > 3 º Caso: 0 e + 3 < 0 e < 3 Assim, { ( ) U( )} D( f ) = /, 3, + Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Atividades de Auto Avaliação Determine domínio nas seguintes funções: (i) f ( ) = (ii) f ( ) = + + (iii) f ( ) = (iv) f ( ) = + + (v) f ( ) = + 3 (vi) f ( ) = 3 (vii) f ( ) = (viii) f ( ) = (i) f ( ) = + () f ( ) = (i) f ( ) = 4 (ii) f ( ) = 3
4 (iii) f ( ) = 3 3 (iv) f ( ) = Gráfico de uma Função É o subconjunto do plano formado pelos pontos (, f ( )),, quando percorre o campo de definição de função f : Im( f ) = G( f ) Eemplo Seja f ( ) =, D( f ) = e Im( f ) = Figura 3 Eemplo Seja f ( ) =, D( f ) = e Im( f ) + = Eemplo 3 Seja f : + +, f ( ) Figura 4 =, D( f ) + = e Im( f ) + =
5 Eemplo 4 Seja f ( ) Figura 5 =,, D( f ) = e Im( f ) + = Figura 6 Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e f ( ) = g( ), D( f ) Eemplo 5 f : A B, f ( ) = e Neste caso, f ( ) = g( ), A g( ) =, onde A = {,,3 } e B = { 0,,,3, 4,5} Eemplo 6 Sejam f, g : temos f ( ) = g( ), 4, pois = 4, definidas por f ( ) = e g( ) = Neste caso, Eemplo 7 Sejam f, g :, < 0 Eemplo 8 Sejam f ( ) { 0} = = e, f ( ) = e g( ) = Neste caso, f ( ) g( ), g( ) = são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é
6 Operações com Funções Dadas às funções f e g definidas Então valem as seguintes: (i) Soma de f e g : ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ; (ii) Diferença de f e g : ( f g)( ) = f ( ) g( ) ; (iii) Produto de f e g : ( f g)( ) = f ( ) g( ) ; (iv) Quociente de f e g : f ( ) = g f ( ) g( ), g( ) 0 Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de comuns ao das funções f e g, sendo que para f g, o domínio é interseção ecluídos os pontos tais que g( ) 0 Por eemplo, dadas às funções f ( ) = + e 3 g( ) =, então: (i) (ii) ( f + g)( ) = + +, 3 ( f g)( ) = +, 3 ( f g)( ) = +, 3 (iii) ( ) (iv) ( + ) ( ) ( + ) f ( ) g = = 3 3 D( f + g) = { } D( f g) = { } D( f g) = { } f = g, D { }, pois D( g ) = { } 3 Funções Definidas por Várias Sentenças São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos f Nos eemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções: : Eemplo 9, se < 0 f ( ) =, se 0 <, se Resolução: ( ) D f =, Im( ) {, } f =
7 , se < 0 Eemplo 0 f ( ) =, se 0 Figura 7 + Resolução: D( f ) =, Im( f ) = Figura 8 Eemplo, se 0 f ( ) =, se 3 5, se 3 Resolução: D( f ) + =, Im( ) (,] f =
8 Figura 9 Eemplo, se < 3 f ( ) = +, se 3 Resolução: D( f ) =, Im( f ) = Tipos de Funções Figura 0 (a) Funções monótonas (i) Função Crescente: A função y = f ( ) é crescente num intervalo de seu domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, e com, temos f ( ) f ( ) Por eemplo, y =, D( f ) =, Im( f ) =,, e f ( ) f ( ) (ii) Função Decrescente: A função y = f ( ) é decrescente num intervalo de seu domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, e com, temos f ( ) f ( ) Por eemplo, y =, D( f ) =, Im( f ) =,, f ( ) f ( ) e
9 Figura (b) Função Injetora Dizemos que f : A B é injetora se e somente se, dados e A com implica que f ( ) f ( ) ou se f ( ) = f ( ) então = Por eemplo, (i) f :, f ( ) = é injetora, pois, com f ( ) f ( ) (ii) f :, f ( ) = não é injetora, pois f ( ) f ( ), considerando = 3 e = 3, temos f ( 3) f (3) = 9 Figura (c) Função Sobrejetora Dizemos que f : A B é sobrejetora se e somente se Im( f ) Por eemplo, = B ou f ( A) = B (i) f :, f ( ) 3 = é sobrejetora, pois ( ) D f = e Im( f ) =
10 + + (ii) f :, f ( ) = é sobrejetora, pois D( f ) + = e Im( f ) + = (iii) f :, f ( ) = não é sobrejetora, pois ( ) D f = e Im( f ) + = (d) Função Bijetora Dizemos que f : A B é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é, f ( ) f ( ) e Im( f ) = B Por eemplo, (i) f :, f ( ) = ; (ii) f :, f ( ) 3 = ; (iii) f : + +, f ( ) = ; são funções bijetoras (e) Função Inversa Se f : A B é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa e indicamos por f Figura 3 Observação: (i) f : A B sendo bijetora, garante a eistência da função inversa (ii) (iii) ( ) = Im( ) = e ( ) D f f B f f é bijetora Eiste f Im f = D( f ) = A é equivalente dizer f é inversível f : B A e Por eemplo, (i)
11 Figura 4 A função dada acima na figura 4 é inversível (ii) Figura 5 A função dada acima na figura 5 é não inversível Regras práticas para o cálculo de função inversa Na função y = f ( ) trocamos por y e y por, obtendo = f ( y) Epressamos y em função de Por eemplo, (iii) Seja f :, y = 4 y = f ( ) = 4 = y 4 y = + 4
12 y = + = f f ( ) = + (iv) Seja f : y = = y y = ( ) + +, f : + +, y = f ( ) = Observação: Os gráficos de f e quadrante do plano cartesiano f são simétricos em relação à bissetriz do º e 3º Por eemplo, (i) f ( ) 3 =, f : f :, 3 f ( ) = Figura 6 (ii) f : + +, f ( ) = f ( ) =
13 Figura 7 3 Composição de Funções Sejam A, B e C três conjuntos Consideremos as funções f e g tal que f : A B e g : B C Associado com f e g eiste uma função L : A C denominada composição e definida por h( ) = ( g o f )( ) = g( f ( )), A Assim temos Figura 8 f : f ( ) = y Im( f ) B e g : y g( y) = z Im( g) C Observações: (i) g o f só está definida, quando CD( f ) = D( g) (ii) Em geral, g of f o g (iii) O domínio de f o g é o conjunto de todos os números no domínio D( f ) Eemplo 3 Sejam A = {,,3,4 }, B = { 0,,4,6,8,9 } e { 0, 4,6,36, 64,8,00} Consideremos f : A B : f ( ) = = y e : g B C : g( y) y z C = = = Então
14 h : A C : h( ) = ( g f )( ) = g( f ( )) = g( ) = 4 o Eemplo 4 Sejam f, g : definidas por f ( ) = + e g( ) = Então, e Agora, ( f g)( ) = f ( g( )) = f ( ) = + o, ( ) ( g o f )( ) = g( f ( )) = g( + ) = + = f og g o f Eemplo 5 Sendo f :, f ( ) = e g ( ) = + Calcular: (i) f ( g( )) = f ( + ) = ( + ) = (ii) g( f ( )) = g( ) = + = + (iii) f ( g()) = f (3) = 9 = 8 (iv) g( f (0)) = g( ) = + = Eemplo 6 Sendo f :, f ( ) = 3 e g ( ) = 4 + Calcular f o g, g o f, f o f e g o g (i) ( f og)( ) = f ( g( )) = f (4 + ) = 3 (4 + ) = (6 8 ) = = (ii) ( g o f )( ) = g( f ( )) = g (3 ) = + (4(3 ) ) = + 8 = (iii) ( f o f )( ) = f ( f ( )) = f (3 ) = 3 (3 ) = (9 4 ) = = + (iv) ( g og)( ) = g( g( ))
15 = g(4 + ) = (4(4 + ) + ) = = Funções Pares e Ímpares (a) Função Par Seja f : A B f é uma função par se e somente se f ( ) = f ( ), A Por eemplo, f ( ) =, é par, pois f ( ) f ( ) = =, Figura 9 (b) Função Ímpar Seja f : A B f é uma função par se e somente se f ( ) = f ( ), A Por eemplo, Observações: f ( ) 3 =, é ímpar, pois f ( ) f ( ) 3 = =, (i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio y (ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema cartesiano (iii) Eistem funções que nem são pares e nem ímpares Por eemplo, f ( ) = e e f ( ) = +,, nem são pares e nem são ímpares Verifique se são pares ou ímpares as funções: (i) y =
16 (ii) y =, 0 5 Funções elementares A seguir apresentaremos algumas funções elementares a) Função constante A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do contradomínio é chamada de função constante Eemplo 3 A função f :[0, ), f ( ) =, é uma função constante Seu Figura no 0, do seu domínio é o seguinte: intervalo [ ] Figura 0 b) Funções afim ou linear Chama-se função afim qualquer função dada por f ( ) = a + b onde os coeficientes a e b são números reais dados Quando b = 0, a função é chamada de linear O Figura da função afim com domínio e contradomínio é uma reta com coeficiente angular igual a a e que b intercepta os eios coordenados X e Y nos pontos, 0 a 0, b, respectivamente e ( ) Eemplo 3 O gráfico da função afim tomando-se a = e b =, ou seja, y = f ( ) =, no intervalo [, ], é mostrado abaio
17 Figura Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma apenas determinar a e b y = a + b Precisamos c) Função módulo É a função definida por, 0 f ( ) = =, < 0 O gráfico da função módulo é o seguinte: Figura d) Função quadrática Sejam a, b e c números reais quaisquer com a 0 A função f definida em e dada por y = f ( ) = a + b + c recebe nome de função quadrática
18 Eemplo 33 (i) y = f ( ) = a = ; b = 9; c = 4 (ii) y = f ( ) = a = 5; b = 5; c = 0 (iii) 3 3 y = f ( ) = + a = ; b = ; c = e) Função polinomial É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja, f ( ) = a a n n n + an + + a + 0, onde os coeficientes de f ( ) a,, 0, a an são números reais e n é número natural chamado de grau Eemplo 34 As funções afim e linear são eemplos de funções polinomiais de grau n = A função quadrática f ( ) = a + b + c, a 0, é uma função polinomial de grau n = A 4 3 função f ( ) = é uma função polinomial de grau n = 4 f) Função racional É toda função f cuja regra de associação é do tipo p( ) f ( ) =, q( ) onde p () e q () ( q( ) 0 ) são funções polinomiais Uma função racional está definida em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio q () Eemplo 35 Determine o maior domínio possível da função racional + + f ( ) = + Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto tal que + 0 Portanto, o maior domínio possível é o conjunto { }
19 Figura 3 6 Função eponencial e logarítmica a) Função eponencial de base a Seja a um número positivo e a A função f : (0, ), dada por f ( ) = a, é chamada de função eponencial de base a Os gráficos dessas funções são os seguintes: Gráfico da função eponencial quando a > Figura 4 Gráfico da função eponencial, quando 0 < a <
20 Figura 5 O conjunto imagem da função eponencial é o intervalo (0, + ) Apresentaremos, a seguir, as propriedades de eponenciação b) Propriedades da função eponencial As seguintes propriedades valem para quaisquer a, b,, y R com a > 0, b > 0 : P - P - P3 - P4 - P5 - a ( a b ) = ( ab) a a y + y a = a y = a y a a = b b y y y ( a ) = ( a ) = a A função eponencial mais comum em aplicações é a função eponencial de base a = e onde e =,788 é a constante de Euler, que é um número irracional A função, nesse caso, é chamada de função eponencial natural ou, simplesmente, função eponencial 7 Função logaritmo Seja a um número positivo e a A função definida por y = f ( ) = log a > 0, recebe o nome de função logarítmico de base a Vejamos os gráficos da função logarítmica: Figura 6
21 Figura 7 7 Propriedades da função logaritma Para todo, y > 0, valem as seguintes propriedades P Propriedade do produto: loga ( y) = log a + log a y P Propriedade do quociente: log a = log a log a y y P3 Propriedade da potenciação: log ( y ) = log y a a O logaritmo na base indicá-lo como ln a = e é chamado de logaritmo natural e é comum 39 Aplicações práticas das funções A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de eemplos a) Função receita Eemplo 35 Um bem é vendido por R$300,00 a unidade Sendo a quantidade vendida, a receita de vendas será 300 Podemos dizer que R( ) = 300 é uma função que fornece a quantidade vendida à receita correspondente Eemplo 36 Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade Seja a quantidade vendida a) obtenha a função receita R( ) ; b) calcule R (50) ;
22 c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$00,00? Resolução: a) R( ) = 6 b) R (50) = 6 50 = 300 c) Devemos ter 00 = 6 = 00 Logo, a quantidade vendida deve ser de 0 picolés b) Função custo e lucro do primeiro grau Seja a quantidade produzida de um produto O custo total de produção depende de, e a relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por C( ) Eistem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fio e indicamos por CF A parcela do custo que depende de chamamos de custo variável e indicamos por CV ( ) Logo, podemos escrever C( ) = CF + CV ( ) A função lucro L( ) é definida como a diferença entre a função receita R( ) e a função custo C( ) e temos L( ) = R( ) C( ) Por eemplo, o custo fio mensal de fabricação de um produto é R$6000,00 e o custo variável por unidade é R$ 5,00 Então a função custo total é dada por C( ) = Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de serão 0,,, Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de serão números reais positivos Eemplo 37 Um produto é vendido por R$0,00 a unidade (preço constante) A função receita será R( ) = 0 Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo C( ) = num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico abaio
23 Figura 8 Gráfico de R( ) = 0 e C( ) = no mesmo sistema de coordenadas A abscissa, c, do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico Note que: Se > c, então R( ) > C( ) e L( ) > 0 Se < c, então R( ) < C( ) e L( ) < 0 c) Função demanda Eemplo 38 O número de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se com o preço unitário ( p ) conforme a função demanda p = 0 0, 004 Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será 8 = 0 0, 004 0, 004 = 0 8 = 6 = 4000 O gráfico da função demanda p = 0 0,004 é dado abaio
24 d) Funções quadráticas receita e lucro Figura 9 Eemplo 39 A função de demanda de certo produto é p = 0, e a função custo é C( ) = 30 + onde é a quantidade demandada Determinar: a) a função receita e o preço que a maimiza b) a função lucro e o preço que a maimiza Resolução: a) Por definição de receita, temos R( ) = p = 0 = 0 ( ) Logo, a função receita é R( ) 0 = + Veja figura abaio Figura 30 De = +, temos a = ; b = 0; c = 0 R( ) 0 Logo, o valor de que maimiza R( ) = + 0 é a abscissa do vértice b 0 V = = = 0 para uma receita máima de a ( )
25 R (0) = ( 0) = = 00 Portanto, temos uma receita máima de R$00,00 para uma demanda de = 0 itens do produto b) A função lucro é L( ) = R( ) C( ) Assim, onde ( ) L( ) = + = = , a = ; b = 9; c = 30 Veja a figura de L( ) abaio Figura 3 O valor de que maimiza a função lucro L( ) = é a abscissa do vértice b 9 9 V = = = = 9,5 para um lucro máimo de a ( ) ( ) L (9,5) = 9, ,5 30 = 90, ,5 30 = 60, 5 Portanto, temos um lucro máimo de R$40,75 Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos ) Seja a função f ( ) = 4 3, calcular: a) f ( ) ; b) f ( a + ) ; Eercícios propostos
26 c) f ( + h) ; d) f ( ) + f ( h) ; e) f ( + h) f ( ), h 0 h ) Seja a função g( ) = 5 4, calcular: a) g( ) ; b) g 4 ; c) g( + h) g( ), h 0 ; h d) g ; e) g( ) g( ) 3) Seja a função f ( ) = 3, calcule: a) f ( ) ; b) f () ; c) f (3) ; d) f ; e) f ( ) 4) Faça o Figura da função f = +, com o ( ) { 3,,, 0,,,3} ( ) Dom f = 5) Obtenha o domínio das seguintes funções: a) y = f ( ) = 3 ; b) y = f ( ) = 3 ; c) y = f ( ) = 5 6) Esboce o Figura da função f, de domínio Dom( f ) 7) + Sejam as funções f ( ) = e a) f o g e Dom( f o g) b) g o f e Dom( g o f ) c) f o f e Dom( f o f ) +, se 0 f ( ) =, se < 0 g( ) =, determinar: =, dada por
27 8) O custo de fabricação de unidades de certo produto é dado pela função C( ) = a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades? b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas dezenove unidades? 9) Dada a função demanda p = 0 e a função custo C( ) = 5 +, determinar: a) O valor de que maimiza a receita b) O valor de que maimiza o lucro 0) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da função receita dada por R( ) = 4 e o Figura da função custo dada por C( ) = 50 + e determine o ponto de nivelamento ) Obtenha a função lucro do eercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal ) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$0,00 por unidade Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de cada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 50 a) Epressar o lucro mensal do fabricante como uma função de b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de venda for de R$35,00 cada f, y f ( ) 3) Seja :[0, ) [, ) = = Determine a inversa da função f 4) Determinar a função inversa da função demanda 0 p = 4 5) Indicando o custo médio correspondente a unidades produzidas por CM ( ), temos C( ) CM ( ) = onde C( ) é o custo de fabricação de unidades de um produto O custo de fabricação de unidades de um produto é C( ) = a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 00 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que aumenta?` Relembrando o Capítulo: Neste capítulo, você teve a oportunidade de estudar e compreender o que é uma função Você aprendeu operações com funções e esboçar gráfico de uma função Neste capítulo você também estudou funções elementares, tais como, a função afim, a função linear e a função quadrática Vimos também a função módulo, a função polinomial, a função racional, função par e função impar, a função eponencial de base a, a > 0 e a, a função logaritmo de base a, a > 0 e a, a função composta, funções crescentes e funções decrescentes e função inversa Você viu também aplicações práticas de funções Saiba Mais
28 Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte: MORETTIN, Pedro A, HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O Cálculo funções de uma e várias variáveis São Paulo: Saraiva, 005 SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis 3 ed São Paulo: Atlas, 988 A partir de agora passaremos a estudar limites e continuidade de uma função
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