PROGRESSÕES, LOGARITMOS E MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 PROGRESSÕES, LOGARITMOS E MATEMÁTICA FINANCEIRA Martha Salerno Monteiro Departamento de Matemática CAEM - IME-USP A primeira parte desta apostila contém um resumo do conteúdo da referência [1] que conta a história do logaritmo. Acrescentamos atividades que têm como objetivo ajudar a compreender as idéias envolvidas na criação dos logaritmos. Na segunda parte relacionamos essa teoria à matemática financeira e ao número e. Uma idéia importante sobre as progressões A tabela a seguir mostra uma Progressão Geométrica (PG) colocada ao lado de uma Progressão Aritmética (PA), de modo que o número 1 na PG corresponda ao número 0 na PA. PG PA 1/9-4 1/ Nessa tabela notamos, por exemplo, que o número 27, na primeira coluna, corresponde ao número 6 na segunda; o número 243 corresponde ao número 10; e o produto = 6561 corresponde à soma (confira!). Notamos também que = 1 corresponde a = 0, que = 81 corresponde a 10 + ( 2) = 8, e ainda que 3 4 = 81 corresponde a 2 4 = 8. Você não fica curioso em saber se: (a) é coincidência? (b) valeriam resultados análogos com outros números quaisquer da tabela? (c) valeriam as mesmas propriedades em outras tabelas com diferentes progressões? Para tentar responder, façamos a atividade abaixo. 1

2 Atividade Invente uma nova tabela com termos consecutivos de uma PG na primeira coluna e de uma PA na segunda, fazendo corresponder ao número 1 da PG o número 0 na PA. 2. Para essa nova tabela, experimente calcular vários produtos de termos da PG e a soma dos termos correspondentes na PA. Verifique se os resultados se correspondem. 3. Verifique se seus colegas chegaram à mesma conclusão e responda à pergunta (c) acima. A conclusão à qual você deve ter chegado na Atividade 2 foi percebida em meados do século XVI. De fato, em 1554, Michael Stifel, em seu livro Arithmetica Integra, colocou lado a lado uma progressão geométrica e uma aritmética, e estabeleceu as seguintes relações (embora usando outra terminologia): produto na primeira corresponde a adição na segunda; quociente na primeira corresponde a diferença na segunda; potência na primeira corresponde a produto na segunda; raiz na primeira corresponde a quociente na segunda. Para os padrões atuais é exigido maior rigor para que seja aceito um fato como verdade. Vamos provar o primeiro dos resultados acima enunciados na seguinte atividade. Os demais resultados podem ser provados de forma análoga. Atividade Escreva o termo geral a n de uma P.G. com termo inicial igual a Escreva o termo geral b n de uma P.A. com termo inicial igual a Calcule a n a m e escreva o resultado em forma de uma única potência. 4. Calcule b n + b m e escreva o resultado em forma de um único produto. 5. Com base no resultado obtido nos itens anteriores, como você responde a questão (a) acima? Tudo leva a crer que esta maneira de relacionar as progressões tenha inspirado a criação dos logaritmos. Conside agora a Tabela 2 a seguir. Trata-se de uma tabela de logaritmos de base 2. A cada número à esquerda corresponde um número à direita, chamado seu logaritmo. Por exemplo, dizemos que o logaritmo de 512 na base 2 é 9. Para obtermos o produto de dois números que estão na coluna da esquerda primeiramente somamos seus logaritmos. O resultado dessa soma é o logaritmo 2

3 do produto. Para achar o produto, basta ler na tabela, da direita para a esquerda, qual o número que tem aquele logaritmo. Por exemplo, calculemos o produto : (1.024) 10 Note que deixamos de fazer diretamente a multiplicação e, em vez disso, efetuamos uma adição. Repare que a maneira como escolhemos para indicar o que foi feito não é a convencional, mas acreditamos que seja sugestiva. Na notação usual (e rigorosa) de logaritmos, escreveríamos: Como log 2 (8 128) = log log = = 10 = log concluímos que = Tabela 2 P.G. P.A Atividade 3. Calcular as operações indicadas sem efetuá-las diretamente, mas usando a tábua de logaritmos. 3

4 (i) = (ii) = (iii) = (iv) = (v) = (vi) 64 3 = (vii) = (viii) = (ix) = (x) = Atividade 4. Use a tábua anterior para verificar que a média aritmética dos números 5 e 9 (na coluna da direita) corresponde à média geométrica dos números correspondentes na coluna da esquerda. Será que foi coincidência ou é um fato geral? Mais questões intrigantes. Seja a n um termo genérico da PG da tábua acima. 1. Escreva a n na forma de potência da base. 2. Determine o valor de log 2 (a n ). 3. Quanto é 2 log 2 (an)? 4. Qual o valor de log 2 (2 k )? Uma tábua de logaritmos de base b qualquer (b > 0, b 1), é uma tabela em que se colocam uma PG ao lado de uma PA de modo que os números 1 e b na PG correspondem respectivamente aos números 0 e 1 da PA. Qual o valor de log b (b n )? São conhecidas as seguintes propriedades (exclusivas) dos logaritmos: log b (xy) = log b x + log b y (1) log b ( x y ) = log b x log b y (2) log b (x k ) = k log b x (3) log b ( k x) = 1 k log b x (4) que valem para qualquer número natural k 0, qualquer base b tal que b > 0, b 1, e quaisquer números reais x > 0 e y > 0. Os alunos, em geral, decoram-nas sem conseguir fornecer um argumento que explique porque elas são verdadeiras. Devemos ter consciência de que as demonstrações dessas propriedades em toda sua generalidade exige raciocínio bastante abstrato e, portanto, de difícil compreensão. Entretanto, a demonstração pode ser simples e acessível em alguns casos especiais, e vale à pena ser feita com os alunos para que eles aproveitem a oportunidade de desenvolver esse tipo de habilidade. Vamos ver como fica a demonstração da primeira propriedade dos logaritmos no caso em que x = b n e y = b m. 4

5 Notemos primeiramente que log b (b n ) = n e, portanto teremos que log b x + log b y = log b b n + log b b m = n + m. Assim, log b (x y) = log b (b n b m ) = log b (b n+m ) = n + m = log b x + log b y Atividade 5. Demonstre a validade das propriedades 2 a 4 acima no caso especial em que x = b n e y = b m, sendo m e n números naturais. Questões para reflexão: (a) Em qualquer tabela de logaritmo, a média aritmética de dois termos quaisquer da PA corresponde à média geométrica dos termos correspondentes na PG. Por quê? (b) Qual a base do logaritmo que aparece na tabela 1? Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade de criar, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta. George Polya Em nossas aulas, é importante que proporcionemos ao aluno a oportunidade de fazer descobertas por si só, tanto para soluções de problemas, como na construção de significados e compreensão dos conceitos. Quando o próprio aluno consegue perceber sozinho uma determinada propriedade, ela passa a fazer sentido para ele, a fazer parte de seu repertório de conhecimento, a ser usada com naturalidade, em vez de ser apenas algo a ser decorado e nunca lembrado. As atividades até aqui tiveram esse objetivo: dar significado às propriedades do logaritmo. O que é logaritmo? Os logaritmos foram inventados, de maneira independente, por John Napier ( ), barão escocês, teólogo e matemático, e por Jost Bürgi ( ), suíço, matemático e fabricante de instrumentos astronômicos. Sem que nenhum tivesse conhecimento do outro, tabelas de logaritmos foram publicadas por Napier em 1614 e por Bürgi em Ambos procuravam resolver o problema de simplificar as longas operações de multiplicação e divisão que os recentes desenvolvimentos da Astronomia e da Navegação vinham exigindo, tanto envolvendo números muito grandes como frações muito pequenas. É importante saber que, no final do século XVI, não havia a notação de potências para abreviar produtos repetidos de mesmo valor. Vamos tentar compreender a idéia que eles tiveram. Vocês devem ter notado que a tabela 2 acima é bastante incompleta, já que com ela só conseguimos calcular operações envolvendo os números que lá estão, que são apenas os da forma 2 n com n natural. 5

6 Para que a tabela seja útil, temos que fazê-la muito maior, de modo que possamos calcular qualquer produto como, por exemplo, A idéia de Napier e de Bürgi foi justamente a de tornar a tabela mais completa, de modo que se pudesse calcular vários produtos e não apenas os produtos de potências naturais da base. Em outras palavras, eles conseguiram escrever qualquer número x como potência (não necessariamente inteira) da base b. Iremos agora conhecer um pouquinho de como o problema foi resolvido, para que possamos entendê-lo e apreciá-lo. Isto requer considerar potências com outros expoentes além dos naturais: expoentes fracionários, negativos ou até irracionais. Não faremos aqui um estudo sobre potências com tais expoentes, mas iremos usá-los a partir daqui. O leitor interessado em aprofundar o esse tópico poderá encontrar no capítulo 2 de [2] um texto bastante completo sobre potências. Também será necessário usar um processo de aproximações sucessivas. Trata-se de um procedimento que envolve idéias muito ricas, bastante usadas em resoluções de problemas numéricos importantes. Napier publicou três tabelas que, juntas, calculavam com precisão até a sétima casa decimal, os logaritmos dos números , 4034 a Ele trabalhou 20 anos para produzir esse trabalho. Briggs ( ), um professor de matemática em Oxford, empolgado com a idéia de Napier quis conhecê-lo pessoalmente, sugeriu algumas modificações e continuou o trabalho de Napier, produzindo tabelas de logaritmo na base 10 com precisão de 15 casas decimais. Reproduzimos abaixo um pequeníssimo trecho da tabela de Briggs, copiando os valores apenas até a sexta casa decimal. a log 10 a 1 0 1, , , , , , , , , , Atividade 6. O objetivo desta atividade é calcular log 10 1, 5 (o logaritmo decimal de 1, 5). É de se esperar que o resultado seja um número não inteiro (por quê?). Por isso, iremos achar algumas aproximações desse valor. Acompanhe o raciocínio responda às perguntas formuladas no caminho. Olhando a primeira coluna da tabela acima, percebemos que 1, 5 se encaixa entre os números 1, e 1, , cujos logaritmos são dados. Precisamente, temos que 1, < 1, 5 < 1, (5) Concluímos que o logaritmo de 1, 5 deve estar entre 0, e 0, e escrevemos < log(1, 5) < (6) 6

7 ou também (em frações): < log(1, 5) < 1 4. (7) Seja q 1 o número racional obtido fazendo a média aritmética dos dois logaritmos conhecidos da linha (3). Então q 1 = Verifique, usando uma calculadora, que 10 q1 é aproximadamente 1, Como q 1 é a média aritmética de dois elementos do lado direito da tabela, então 10 q1 é a média geométrica dos números correspondentes à direita. Você sabe por que? A tabela agora cresceu um pouquinho. Veja: a. log a. 1, , , Como 1, 5 está entre 1, e 1, , concluímos que log(1, 5) está entre 1 = 0, e 8 3 = 0, Com isso já sabemos que a primeira casa decimal do número procurado é 1! 16 Em outras palavras, uma aproximação, com uma casa decimal de precisão, para log(1, 5) é 0, 1. Ainda não conhecemos a segunda casa decimal. Só podemos perceber que deve estar entre 2 e 8. Para aumentar a precisão, basta repetir o processo. Vamos lá: vemos, na tabela, que então 1, < 1, 5 < 1, (8) 1 3 < log(1, 5) < 8 16 Escolho o racional q 2 tomando a média aritmética dos racionais conhecidos na linha acima e verifico que 10 q2 é aproximadamente igual a 1, Como 1, < 1, 5 < 1, , (10) 7 (9)

8 concluímos que < log(1, 5) < (11) Note que a segunda casa decimal ainda não estabilizou. Por isso, temos que continuar o processo. Fica como informação e incentivo a continuar os cálculos, saber que temos que usar o processo mais duas vezes, encontrando q 3 = = 0, ; 10q 3 1, ; q 4 = = 0, ; 10q 4 1, Vamos conferir? Mãos à obra! Com isso, descobrimos que, como 1, 5 está entre 1, e 1, , o valor de log(1, 5) está entre 0, e 0, Mais precisamente, escrevemos 0, < log(1, 5) < 0, (12) Assim, temos certeza de que a segunda casa decimal de log(1, 5) é 7, ou seja, log(1, 5) 0, 17. Sobre a terceira casa temos uma imprecisão enorme: está entre 1 e 9, conforme mostra a última desigualdade acima. Você já tem uma idéia do trabalho que dá achá-la à mão. Devemos admirar e respeitar os matemáticos, navegadores, astrônomos do século XVII não só pela engenhosidade, mas também pela paciência com que dedicaram anos de suas vidas fazendo cálculos como os que mostramos acima para que a humanidade pudesse depois fazer outros cálculos mais rápida e facilmente. Durante quase 4 séculos que sucederam à descoberta dos logaritmos, sua utilidade revelou-se decisiva na Ciência e Tecnologia. Recentemente, com o uso cada vez mais comum de computadores e calculadoras, as tábuas de logaritmos não são mais úteis como instrumento de cálculo. Entretanto o estudo dos logaritmos é fundamental, pois o desenvolvimento da Matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversos fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos são modelados por funções logarítmicas e por funções exponenciais. Finalmente, devemos mencionar que a definição de logaritmo do modo como é ensinado hoje na escola (log b a = c b c = a) levou cerca de 200 anos para ser formulada. Todo esse tempo é certamente um sinal do grau de dificuldade que o conceito abarca. É muito importante que os alunos aprendam a usar as propriedades, que são exclusivas, dos logaritmos. Também é bastante útil o conhecimento das funções logaritmo e sua inversa, a função exponencial, e seus gráficos. Esse conhecimento permitirá que os estudantes compreendam melhor vários outros assuntos. Eles entenderão melhor biologia, química, física, além da própria matemática. A Relação com a Matemática Financeira e o número e. Existem duas modalidades bastante conhecidas de ganhos de juros sobre um capital. São chamados juros simples os valores obtidos na situação em que, ao longo do tempo, apenas o capital inicial 8

9 rende juros. Já nos juros compostos, após cada período de tempo a que se refere a taxa contratada, os juros ganhos são capitalizados (somados ao capital), passando a render juros também. A tabela abaixo mostra os montantes (total do capital inicial mais os juros ganhos) no final de cada período de duas aplicações, ambas com um capital inicial de R$ 1000,00 aplicados a uma taxa de 10% ao mês. Na terceira coluna estão os montantes do capital aplicado a juros simples e na segunda, os montantes do capital aplicado a juros compostos. Número de meses Montante (Juros Compostos) Montante (Juros Simples) 0 R$ 1000,00 R$ 1000,00 1 R$ 1100,00 R$ 1100,00 2 R$ 1212,00 R$ 1200,00 3 R$ 1331,00 R$ 1300,00 4 R$ 1464,10 R$ 1400,00 5 R$ 1610,51 R$ 1500,00 Observe que, na terceira coluna, o valor do montante apresentado em cada linha é a soma do valor anterior com 10% do valor da linha correspondente ao mês 0. Na segunda coluna, o valor do montante em cada linha é a soma do valor anterior com 10% desse valor anterior. Também podemos pensar que o valor do montante em cada linha da segunda coluna é o valor do montante da linha anterior multiplicado por 1,1. Logo, a seqüência de números na terceira coluna é uma Progressão Aritmética de razão 100, e na segunda coluna, é uma Progressão Geométrica de razão 1,1. Perguntas. 1. Se, em vez de 10% de juros, fossem 5%, ainda teríamos uma PG na segunda coluna? Em caso afirmativo, qual seria a razão? 2. Os valores dos montantes em juros simples formam sempre progressões aritméticas? Por quê? 3. Os valores dos montantes em juros compostos formam sempre progressões geométricas? Problema 7. Suponhamos que R$ 1000,00 sejam aplicados a juros compostos: (a) a uma taxa de 12% ao mês. Qual será o montante após um mês? (b) a uma taxa de 6 % a cada 15 dias. Qual será o montante após um mês? (c) a uma taxa de 4 % a cada 10 dias. Qual será o montante após um mês? (d) a uma taxa diária de 12 %. Qual será o montante após um mês? 30 Você deve ter reparado que o montante, ao final de 1 mês, aumenta, conforme aumenta a freqüência com que os juros são capitalizados. Será que, se subdividirmos mais e mais o período 9

10 de tempo, o montante crescerá indefinidamente? Ou seja, será que, se tivermos os juros capitalizados, a cada hora, ou a cada minuto, etc..., o montante irá crescer, tendendo a infinito, ou irá parar em algum valor máximo? Essa questão é histórica, tendo sido formulada pela primeira vez em 1683 por Jacob Bernoulli ( ) e respondida por Leonhard Euler ( ). Imagine que haverão n capitalizações ao mês com taxas (a juros compostos) de 1 % em cada n período. Temos que calcular, em função de n, qual o montante no final de um mês, e observar o que acontece quando n cresce indefinidamente. Para isso é necessário calcular o valor de (1 + 1 n )n, para valores crescentes de n. Usando a fórmula do binômio de Newton, é possível provar que, qualquer que seja o número n, esse valor está entre 2 e 3. Tente fazer isso! Exercício 8. Calcule (1+ 1 n )n para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esses valores encontrados são aproximações para o número e. O número e é definido como sendo e = lim n (1 + 1 n )n Euler provou que o número e é um número irracional e chegou a calcular uma aproximação com 18 casas decimais: e 2, O número e acima é a base do chamado logaritmo natural, usualmente indicado por ln, isto é, log e x = ln x. Por suas aplicações, e principalmente por causa do Cálculo Diferencial e Integral, a função y = ln x se tornou a função logaritmo mais importante no mundo científico. Referências 1. Druck, Iole de Freitas. Um pouco da História de Potências, Exponenciais e Logarítmos, Relatório Técnico do Departamento de Matemática RT-MAT 95-24, IMEUSP, Lima, Elon Lages. Logaritmos, SBM, Coleção Professor de Matemática, Maor, Eli. e: a história de um número, Editora Record,