Comentários sobre a oficina Abrindo problemas 4. Encontro da Revista do Professor de Matemática IME/USP 29 e 30 de maio de 2009

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1 Comentários sobre a oficina Abrindo problemas 4 Encontro da Revista do Professor de Matemática IME/USP 29 e 30 de maio de 2009 Seguem duas páginas com tarefas apresentadas aos participantes Introdução Roberto Ribeiro Paterlini Departamento de Matemática, UFSCar Todos os que lidam com o ensino da Matemática certamente já ouviram ou leram a expressão problema fechado Parece que uma das características desses problemas é que já trazem no enunciado o que deve ser provado Seguem dois exemplos de problemas que entendo serem do tipo fechado : 1 Que lugar da progressão aritmética 1, 6, 11, ocupa o número 131? 2 Prove que 8 é divisor de n 2 1 se e somente se n é ímpar, para todo inteiro n Os problemas fechados atendem objetivos como direcionar o trabalho do estudante para compreender determinados aspectos da teoria ou poupar tempo para atingir certos resultados Mas a implementação da escola renovada pede também o aporte dos chamados problemas abertos, em que o estudante tem mais autonomia na investigação Para o professor que está interessado em utilizar problemas abertos mas não os encontra com facilidade na literatura, sugerimos transformar em abertos alguns dos milhões de problemas fechados disponíveis Abrindo o problema 1 Uma possibilidade seria a seguinte: Consideremos os números naturais dispostos, em sua sequência natural, em linhas com cinco números em cada linha: Investigue regularidades nesse esquema (por exemplo, sobre a soma dos termos de cada linha, ou sobre os números que compõe a n-ésima linha Faça conjecturas e as demonstre Veja se seus resultados podem responder às seguintes perguntas: em que linha a soma dos termos é 665, e quais são os números que fazem parte dessa linha? Em que linha está 131? Abrindo o problema 2 Uma possibilidade seria a seguinte: Divida por 8 os números 3 2, 5 2, 7 2 e 9 2 Que regularidades você observa? Faça mais alguns testes para constatar se as regularidades permanecem com outros valores Transforme as regularidades em conjecturas gerais Use algum método considerado válido pela Matemática para verificar se as conjecturas são verdadeiras ou falsas Investigue as recíprocas de suas conjecturas

2 Atividades para essa oficina Trabalhando em grupo (de preferência com três componentes, no máximo 4, se precisar realize as tarefas propostas a seguir Cada grupo deve ter um relator para descrever as experiências e as conclusões do grupo Solicitamos que o texto produzido seja entregue ao Prof Roberto Faremos comentários gerais sobre essas tarefas que serão postados na internet no endereço ptlini/ no prazo de aproximadamente um mês Tarefa 1 Resolva um dos problemas abertos propostos acima Comente suas diferenças em relação à versão fechada do problema Outras sugestões de redação? Para quem fez o problema 1: o que aconteceria se na redação do problema aberto não fosse dada nenhuma dica e não fosse feita nenhuma pergunta específica, mas apenas Investigue regularidades nesse esquema? Tarefa 2 Abra alguns dos seguintes problemas: 3 Demonstre que n e n 5 têm a mesma unidade para todo número natural n 4 Prove que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n Demonstre que o segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento 6 Demonstre que, em um triângulo isósceles qualquer, o incentro, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro estão em uma mesma reta 7 Demonstre a relação de Stiffel ( ( n 1 n 1 + = p 1 p ( n p para 1 p n 1 8 Na figura abaixo determine o valor de α + β + γ + δ α γ δ β Tarefa 3 Esteja à vontade para fazer comentários adicionais Você pensou em outros exemplos? Acha importante o professor utilizar problemas abertos? Se for, em que tipo de situações? Referências [1] Barbosa, J L M, Geometria Euclidiana Plana Coleção do Professor de Matemática Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática, 2006 [2] htm Foi uma satisfação fazer esse trabalho Grato a todos Prof Roberto

3 Comentários sobre as tarefas Não foi pedido, mas vamos ver as soluções dos problemas fechados Problema 1 Que lugar da progressão aritmética 1, 6, 11, ocupa o número 131? Solução Sejam a n o n-ésimo termo da PA e r sua razão Então, usando a fórmula a n = a 1 +(n 1r temos 131 = 1+(n = (n 15 n 1 = 26 n = 27 Portanto 131 é o 27 termo Problema 2 Prove que 8 é divisor de n 2 1 se e somente se n é ímpar, para todo inteiro n Solução Suponhamos primeiro que 8 é divisor de n 2 1 Podemos escrever n 2 1 = 8t para algum inteiro t Mas então n 2 = 2(4t + 1, e n 2 é ímpar Logo n é ímpar Suponhamos agora que n seja ímpar Escrevemos n = 2t + 1, com t inteiro Então n 2 1 = (2t = 4t 2 + 4t = 4t(t + 1 Como t ou t + 1 é par, então t(t + 1 é par, digamos da forma 2s, e n 2 1 = 4 2s = 8s é divisível por 8 Tarefa 1: comentários sobre os problemas abertos propostos Problema 1 Comentários dos grupos Alguns grupos observaram que as somas das linhas são 15, 40, 65, e formam uma PA de razão 25 e primeiro termo 15 Aplicando a fórmula a n = a 1 + (n 1r temos 665 = 15 + (n 125 o que dá n = 27 Portanto a soma dos termos da linha 27 é 665 Alguns grupos observaram que o número 131 está na primeira coluna e que esses números formam uma PA de razão 5 e primeiro termo 1 Aplicando a fórmula a n = a 1 + (n 1r temos 131 = 1 + (n 15 do que vem n = 27 Portanto 131 é o primeiro número da linha 27 Um grupo observou que a linha n é formada pelos números 5n 4, 5n 3, 5n 2,5n 1 e 5n, e sua soma é 25n 10 Resolvendo 25n 10 = 665 vem n = 27 Resolvendo 5n 4 = 131 vem n = 27 Portanto 131 está na linha 27 e a soma dos termos dessa linha é 665 Outro grupo observou que 130 = 26 5, logo 130 é o último termo da linha 26 Então 131 é o primeiro termo da linha 27 Um grupo observou que se na redação do problema aberto 1 não fossem feitas perguntas mais específicas, os estudantes fariam apenas observações básicas As perguntas mais específicas ajudam a instigar a análise Outro grupo observou que o problema aberto 1 talvez seja uma boa estratégia para introduzir o assunto PA Comentários adicionais do professor responsável pela oficina Começamos com uma solução indutiva Somando os termos da primeira linha dá 15, que dividido por 5 dá o termo central da linha Somando os termos da segunda linha dá 40, que dividido por 5 dá o termo central da linha Induzimos que, em uma linha qualquer, se dividirmos a soma dos termos por 5 obteremos o termo central Portanto, se em uma linha a soma é 665, o termo central é 665/5=133 Então os números da linha procurada são 131, 132, 133, 134, 135 Notemos, por outro lado, que o último termo da primeira linha dividido por 5 dá 1, e o último termo da segunda linha dividido por 5 dá 2 Induzimos que, em uma linha

4 qualquer, se dividirmos o último termo por 5 obtemos a ordem da linha O último termo da linha encontrada é 135, que dividido por 5 dá 27 Portanto a linha encontrada tem a posição 27 Uma solução dedutiva: Sejam n, n + 1, n + 2, n + 3 e n + 4 os números da linha procurada Temos n + n n n n + 4 = 5n + 10 De 5n + 10 = 665 vem n = 131 Portanto a linha é 131, 132, 133, 134, 135 Para encontrar a ordem dessa linha, observamos que cada cinco números a partir de 1 formam uma linha, assim cada linha termina com um múltiplo de 5, sendo o fator de multiplicidade a ordem da linha Como 135/5 = 27, vemos que a ordem da linha acima é 27 É possível resolver o problema de várias maneiras, as mais comuns consistem em identificar progressões aritméticas Problema 2 Comentários dos grupos Apenas um grupo trabalhou com esse problema Uma conjectura diferente que o grupo fez foi a seguinte: tomando n = 3, 5, 7, 9 e dividindo n 2 por 8, as diferenças entre dois quocientes consecutivos formam a sequência 2, 3, 4, dos números naturais 2 Comentários adicionais do professor responsável pela oficina Examinando as regularidades de 3 2 = 9 = 1 8+1, 5 2 = 25 = 3 8+1, 7 2 = 49 = 6 8+1, etc, vemos que: o resto da divisão por 8 do quadrado de qualquer número ímpar 3 é sempre 1 Quanto aos quocientes, além da regularidade já observada, pode-se notar que eles formam a sequência dos números triangulares Estas afirmações podem ser verificadas algebricamente, uma parte disso foi feito mais acima A afirmação sobre os números triangulares pode ser verificada lembrando que essa sequência é dada por t n = n(n + 1/2 Fica difícil perceber as recíprocas dessas afirmações apenas pelo exame de regularidades Aqui entra o ensinamento: sempre que examinar uma afirmação, examine também a sua recíproca Que tal acostumarmos os nossos estudantes com isso? Problema 3 (composição de sugestões dos grupos Considere os seguintes eventos: 1 5 = = = = 1024 Que regularidades você observa? Faça mais alguns testes para constatar se as regularidades permanecem com outros valores Transforme as regularidades em conjecturas gerais Use algum método considerado válido pela Matemática para verificar se as conjecturas são verdadeiras ou falsas Observações Uma conjectura que pode aparecer é que a quantidade de dígitos de n 5 é n

5 Mas isso já falha com 5 5 = 3125 Outra é que n e n 5 têm a mesma unidade Esta vale Escrevamos n = b10 + a 0, sendo a 0 as unidades de n e b a quantidade de dezenas de n Temos n 5 = c10 + a 5 0, portanto a unidade de n5 é a mesma de a 5 0 O resultado segue então dos seguintes cálculos: a 0 = 0 a 5 0 = 05 = 0 portanto a unidade de n 5 é 0; a 0 = 1 a 5 0 = 15 = 1 portanto a unidade de n 5 é 1; a 0 = 2 a 5 0 = 25 = 32 portanto a unidade de n 5 é 2; a 0 = 3 a 5 0 = 35 = 243 portanto a unidade de n 5 é 3; a 0 = 4 a 5 0 = 45 = 1024 portanto a unidade de n 5 é 4; a 0 = 5 a 5 0 = 55 = 3125 portanto a unidade de n 5 é 5; a 0 = 6 a 5 0 = 65 = 7776 portanto a unidade de n 5 é 6; a 0 = 7 a 5 0 = 75 = portanto a unidade de n 5 é 7; a 0 = 8 a 5 0 = 85 = portanto a unidade de n 5 é 8; a 0 = 9 a 5 0 = 95 = portanto a unidade de n 5 é 9; Outra solução: Como n e n 5 têm a mesma paridade, então 2 divide n 5 n Pelo Pequeno Teorema de Fermat, 5 divide n 5 n Como 2 e 5 são relativamente primos, 2 5 = 10 divide n 5 n Problema 4 (composição de sugestões dos grupos As figuras mostram a soma dos ângulos internos de alguns polígonos convexos: Investigue se existe algum padrão Faça uma conjectura e justifique O que ocorre com polígonos não convexos? E quanto à soma dos ângulos externos? Problema 5 Desenhe vários triângulos e ligue, em cada um deles, os pontos médios de dois dos lados Estude as regularidades

6 Problema 6 Desenhe vários triângulos, de diversos tipos (equilátero, isósceles, escaleno acutângulo, escaleno obtusângulo, retângulo, e, em cada um, desenhe os pontos notáveis (incentro, circuncentro, baricentro e ortocentro Estude as regularidades Alguma demonstração? Problema 7 Vemos a seguir os números binomiais colocados em um arranjo especial, chamado triângulo de Pascal À esquerda os números estão na forma binomial, e à direita, com seus valores correspondentes Procure regularidades Escreva essas regularidades no formato de fórmulas gerais Alguma demonstração? ( 0 0 ( 1 0 ( 1 1 ( 2 0 ( 2 1 ( ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( Problema 8 Na figura abaixo, encontre propriedades dos ângulos Tarefa 3: comentários adicionais dos grupos Comentário de um grupo: É importante apresentar problemas abertos no início de um tema Achamos interessante fazer um problema aberto com PA ou PG, pois esses problemas necessitam de investigação e total empenho dos alunos Comentário de outro grupo: Os problemas abertos (quando sugeridos em aula levam o aluno a uma maior exploração das situações, a elaborar conjecturas, tirar conclusões O professor deve utilizá-los eventualmente, pensando na melhor estratégia: introdução de um assunto? fechamento de um assunto?