Crescimento da dívida

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1 Valores em reais LOGARITMO CONTEÚDOS Logaritmo Propriedades dos logaritmos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Uma empresa que trabalha com empréstimo, cobra juros absurdos. Se o devedor atrasar o pagamento da parcela, a cada mês que passa, a dívida triplica. No gráfico a seguir, trazemos um exemplo, considerando um empréstimo inicial de apenas R$ 1, Crescimento da dívida ,5 1 1,5,5,5 Meses de atraso Veja que inicialmente, quando ainda não havia atraso, a dívida era de apenas R$ 1,00. Após um mês de atraso a dívida passou a ser de R$,00, com três meses, a dívida já era de R$ 7,00. Se a dívida permanecer por mais meses, chegando ao 6º mês de atraso, você saberia dizer qual será seu valor total? Uma maneira de encontrar essa resposta, é triplicar o valor da dívida, a cada mês, até chegar ao 6º mês. Mas, talvez você tenha observado que com esse gráfico, podemos fazer a seguinte relação:

2 Quantidade de meses em atraso Valor da dívida 0 0 =1 1 ¹ = ² = 9 ³ = 7 Você observou que podemos relacionar os meses e o valor com uma potência de base, sendo o expoente correspondente aos meses? Bom, se nosso objetivo é saber qual é o valor do sexto mês, temos a seguinte potência: 6 =... 6 = 79 E se fosse realizada a seguinte afirmação: Ao atrasar a dívida por um número x de meses, o valor ficou em R$ 6.561,00. Neste caso, você saberia dizer qual foi a quantidade de meses desse atraso? Uma maneira de chegar a esse valor é fazendo uso das equações exponenciais, conteúdo que já estudamos em capítulos anteriores. Assim, temos a seguinte equação: x = Para determinar o valor de x, vamos representar o número como uma potência de base = 8 Temos então: x = 8 x = 8 Portanto, se a dívida ficou em R$ 6.561,00, significa que o atraso foi de 8 meses.

3 Até aqui, sem novidades não é mesmo? Tudo que vimos foi possível resolver com a aplicação das equações exponenciais. Porém, chegou a hora de pensar sobre outro problema. Suponha que um empréstimo de R$ 1,00, após 1 mês de atraso, passou a ser de R$,00, com meses passou para R$ 0,00 e assim foi aumentado continuamente. Se a dívida chegou a R$ 00,00, quantos meses havia de atraso? Para buscar uma solução, vamos representar a situação apresentada como uma equação exponencial. x = 00 Porém, observa-se que neste caso, não é possível representar 00 como uma potência de base. Então, como saber qual a quantidade de dias que se passaram? Para determinar a quantidade de meses, faremos uso dos logaritmos. Vamos conhecê-los? Em síntese, definimos logaritmo da seguinte maneira: Sendo a e b números reais positivos, com a 1, a > 0 e b > 0. Denomina-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a, de modo que a potência obtida seja igual a b. Dada a definição, representa-se o logaritmo da seguinte forma: log a b = x a x =b Em log a b = x tem-se a identificação: a é base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo de b na base a. Por exemplo: log 0 = ² = 0 é a base 0 é o logaritmando é o logaritmo

4 Na situação colocada anteriormente, a qual iniciou nossas discussões sobre logaritmos, representamos o logaritmo da seguinte forma: log 00 = x. Esse logaritmo refere-se a um logaritmo decimal, isso porque sua base é. Saiba mais Para os logaritmos decimais, costuma-se não representar a base. Assim, para log 00 = x, podemos simplesmente escrever log 00 = x Antes de calcular o log 00 = x, vamos conhecer um pouquinho sobre os logaritmos decimais, considerando a definição já mencionada (log a b = x a x = b), temos: log 1 = 0 0 = 1 log = 1 ¹ = log 0 = ² = 0 log 00 = ³ = log = 6 6 = E assim por diante Se a definição de logaritmo, indica que os números a e b são números reais positivos, podemos ter, por exemplo, uma situação que exija o cálculo de log, o qual pode ser representado por x =. Observe que, neste caso, o logaritmando difere dos apresentados anteriormente. A potência x =, indica que precisamos saber qual o expoente que tem base e apresenta como resultado o valor. Sabe-se que neste caso, o expoente não será um número inteiro, já que 0 = 1 e ¹ =, assim, o valor desse expoente x será maior que zero que menor que 1.

5 Para calcular esse tipo de logaritmo, podemos fazer uma consulta a uma tabela de logaritmo decimal, como a apresentada a seguir: x log x 0 0,01 0,477 0,60 0,699 0,778 0,845 0,90 0,954 Conhecida a tabela, temos: log = 0,01 Agora, com todas essas informações, podemos calcular o log 00 = x. Para tanto, devemos lembrar que 00 é igual a.0. Além disso, vamos aplicar a propriedade operatória de logaritmo relacionada ao produto. De acordo com essa propriedade, temos: log a (b.c) = log a b + log a c (sendo a > 0, a 0, b > 0 e c > 0) Assim: log 00 = log (.0) log (.0) = log + log 0 log + log 0 = 0,01 + log + log 0 =,01 Portanto, log 00 =,01 Enfim, chegamos a uma resposta para nossa pergunta inicial: Se a dívida chegou a R$ 00,00, quantos meses havia de atraso? Se a dívida chegou a R$ 00,00, sabe-se que o atraso já ultrapassa um pouco mais que meses. Sendo um pouco mais preciso, e considerando,01, temos algo próximo de meses e 9 dias. Dica Sendo 1 mês igual a 0 dias, 0,0 de 0 dias refere-se a aproximadamente 9 dias.

6 Vamos conhecer um pouco mais sobre os logaritmos Propriedades dos logaritmos 1ª - log a 1 = 0 Exemplo: log 1 = 0 ª log a a = 1 Exemplo: log = 1 ª log a b = log a c b = c ( os logaritmos serão iguais, somente se os logaritmandos forem iguais) Exemplo: log x = log 00 log x = log ³ log x = = x x = Portanto: log x = log 00, sendo x = ª a log a b = b Exemplo: log 0 = 0 = 0 Propriedades operatórias dos logaritmos Uma das propriedades operatórias refere-se ao logaritmo de um produto, a qual vimos anteriormente, momento em que calculamos o log 00. Além dessa, temos o logaritmo do quociente e o logaritmo de uma potência, acompanhe: Logaritmo de um quociente O logaritmo, em qualquer base a (a >0 e a 1), de um quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa base, do dividendo e do divisor. Assim temos: log a c b = loga b log a c (sendo a > 0, a 1, b > 0 e c > 0)

7 Exemplo: log 4 = log 4 - log Sendo log 4 = 0,60 e log = 0,477, temos: log 4 = 0,60 0,477 log 4 = 0,15 Logaritmo de uma potência Em qualquer base a (a > 0 e a 1), o logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. De acordo com essa propriedade, temos: Exemplo: log a b m = m.log a b (sendo a > 0, a 1, b > 0 e m pertencente aos números reais) Vamos calcular log 1.000² log 1.000² = log Sendo log =, temos: log 1.000² =. log 1.000² = 6 O logaritmo na resolução de problemas O acompanhamento de uma plantação, permitiu observar que devido as questões inadequadas do solo, a cada ano, há uma redução de % da área de plantio. Se

8 inicialmente a área tinha m², considerando essa redução anual, em quanto tempo, aproximadamente, a área de plantio representará apenas metade da área inicial? Para solucionar o problema, vamos pensar da seguinte maneira: Se a cada ano há uma redução de % da área inicial, ao final de um ano a área será de 90%, representando exatamente m². Ao final do segundo ano, a área terá a redução de % de m², totalizando m². Acompanhe na tabela, como podemos representar essa redução por meio de uma potência. Após 1 ano 0, = m² Após anos 0,90² = m² Após anos 0,90³ = 4.74 m² Após 4 anos 0, =.96,6 m² Após 5 anos 0, =.54,9 m² Dando continuidade ao cálculo, é possível encontrar o tempo, em anos, que levará para a área de plantio representar apenas.000 m². Ou seja, após x anos, a área atingirá os.000 m². Assim, podemos fazer a seguinte representação: 0,90 x =.000 Simplificando essa igualdade por 6.000, temos: 0,90 x = ,90 x = 1 Aplicando logaritmo, obtemos: log0,90 x = log 1

9 Para resolver esse logaritmo, vamos aplicar algumas propriedades, acompanhe: 90 1 x.log = log 0 x.(log 90 log 0) = log 1 log Lembre-se: 90 = 9. x.[(log 9.) (log 0)] = log 1 log x. [( log 9 + log) log 0) = log 1 log x. [(0, ) ] = 0 0,01 x.[1,954 ] = - 0,01 x. (- 0,046) = - 0,01 0,01 x = 0,046 x 6,54 Portanto, em aproximadamente 6 anos e meio, a área do plantio chegará a metade da área inicial. ATIVIDADES 1. Consultando a tabela de logaritmos e aplicando algumas propriedades, quando necessário, determine: a) log 0 b) log 4 c) log 1,5

10 . O crescimento de uma colônia de bactérias é acompanhado pela função Q = t, onde Q representa a quantidade de bactérias e t o tempo em dias. Sendo Q igual a 1.000, qual o tempo necessário para a colônia atingir bactérias?. (ENEM 011) A escala Magnitude de Momento ( abreviada como MMS e denotada como M w), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M w e M 0 se relacionam pela fórmula: M w = -,7 + log (Mo ) Onde M o é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimentação da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M w = 7, Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M 0 do terremoto do Kobe (em dina cm)? a) -5, b) -0,7 c) 1,00 d) 1,65 e) 7,00

11 4. (ENEM 016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 00º C e diminui 1% de sua temperatura a cada 0 min. Use 0,477 como aproximação para log () e 1,041 como aproximação para log (11). O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 0ºC é mais próximo de a). b) 50. c) 0. d) 00. e) 400. LEITURA COMPLEMENTAR O logaritmo teve a sua origem no século XVII, no ano de O conceito foi criado por John Napier, o responsável pela elaboração da primeira tábua de logaritmo, que era uma tabela com números que apresentava o valor das mantissas (parte decimal do logaritmo). Outro estudioso muito importante para a formalização do logaritmo foi Joost Burgi. Ele desenvolveu os seus estudos paralelamente aos de Napier, mas divulgou os seus resultados tardiamente, pois somente em 160 que publicou suas tábuas. Nessa época, as tábuas de Napier já estavam difundidas por todo o continente europeu. A palavra logaritmo é formada pela junção das palavras gregas lógos e arithmós, que significam razão e número, respectivamente. A primeira vez que esse termo apareceu na língua portuguesa foi no livro Via Astronômica, no ano de O logaritmo surgiu para facilitar os cálculos relacionados com a trigonometria. A ideia inicial era substituir contas mais elaboradas, como divisões por subtrações, multiplicação por soma, potenciação por multiplicação e radiciação por divisão (expoente fracionário). O uso do logaritmo neperiano ou logaritmo natural apresentava algumas dificuldades relacionadas com a operacionalização dos cálculos. Isso porque utilizava como base 1/e, que é um número irracional e tem valor aproximado de, Houve, então, a necessidade de se ter uma base em que as operações com logaritmos fossem realizadas mais facilmente. Por esse motivo, Henry Briggs adaptou a base de logaritmos criada por Joost Burgi, tornando-a uma base decimal.

12 Formulação do logaritmo O logaritmo nos dias de hoje possui a sua formulação bem definida e estruturada, que é dada por: Sejam a e b dois números reais positivos (a 1, b > 0 e a > 0), denomina-se logaritmo de a na base b o expoente x (log a b = x ), sendo b x = a: log b a = x b x = a a = logaritmando b = base do logarítmo x = logaritmo Disponível em: < Acesso em: 07 nov INDICAÇÕES Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre os logaritmos. Podcast História dos logaritmos Disponível em: Acessando o link você poderá ouvir um podcast que aborda a história dos logaritmos. Logaritmos Disponível em : Acessando o link você encontrará uma série de vídeos que abordam os logaritmos. REFERÊNCIAS INEP. ENEM 011 Prova Amarela. Disponível em: >. Acesso em: 8 out h. SILVA, Claudio Xavier. Filho, Benigno Barreto. Matemática: Aula por Aula. 1ª série. ª ed. São Paulo: FTD, 005. p. 45 5

13 SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Giovanni; JUNIOR, Giovanni. Matemática no Ensino Médio. v.1. 6º ed. São Paulo: Saraiva, 0. p GABARITO a) Aplicando a propriedade operatória do produto, temos: log(.) = log + log log (.) = 0, log (.) = 1,01 b) 0,60 c) Aplicando a propriedade operatória do quociente, temos: 15 log 1,5 = log 15 log = log 15 log Devemos lembrar que 15 = 5³ Aplicando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos: 15 log = log 5³ - log 15 log =.log 5 log 15 log =.0, log =, log = 1,097. Para resolução da situação colocada, devemos fazer a seguinte relação: = 0 t log1.000 = log0 t

14 Pela propriedade de potência de um logaritmo, temos: log1.000 = t.log 0 = t.1 t = 1 t = Portanto, para atingir bactérias, serão necessários dias.. A alternativa correta é a letra E. Sendo M w = 7,, temos: 7, = -,7 + log (Mo ) 7, +,7 = log (Mo ) 18 = log (Mo ) 18. = log (M ) 54 = log (M ) 54 log (M o o o ) 7 = log (M ) Se log a b = x a x =b o Temos: 7 = M 0 4.A alternativa correta é a letra D. Para determinar quanto tempo passará até a liga atingir 0º C. Podemos fazer a seguinte consideração: Se há uma redução de 1%, a cada trinta minutos, significa que a liga é reduzida por 0,99 a cada trinta minutos.vamos identificar como n a quantidade de minutos necessários para liga atingir 0º C, assim temos: 0,99 n.000 = 0

15 0,99 n = ,99 n = 0 Aplicando o logaritmo, temos: 1 log0,99 n = log 0 99 n.log = log 1 log 0 0 ². 11 n.log = 0 0 n.( log² + log11 ) log 0 = - n.[(.log + log 11) log 0] = - n.[ (. 0, ,041) - ] = - n.[ 1,995 - ] = - n.(-0,005) = - n = 0,005 n = 400 Sendo n igual a 400 para saber quantas horas serão necessárias, basta dividir por. Assim, serão necessárias 00 h para a temperatura atingir os 0 C.