POTÊNCIA CONTEÚDOS. Potência Propriedades de potência Notação científica AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

Transcrição

1 POTÊNCIA CONTEÚDOS Potência Propriedades de potência Notação científica AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Vamos retomar o conceito de potência. Para tanto, iniciaremos a análise da tabela a seguir. Observe na coluna da esquerda a multiplicação de n fatores iguais, o produto desses fatores é identificado como uma potência, e sua escrita pode ser representada conforme vemos na coluna da direita. x x x x x x 4 x x x x x x x x x 6 Em uma potência de a n,,tem-se: a n expoente base A base representa o fator que se repete, o expoente o número de vezes que ele se repete. Vejamos mais um exemplo: ³ expoente x x = 7 base

2 Para trabalhar com as potências, é importante conhecer as seguintes definições: Seja a um número real, tem-se: a 0 = ( sendo a 0) a¹ = a Exemplos: 0 = 0 ¹ = (- )¹ = - (- ) 0 = Para as potências de base real não nula e expoente inteiro negativo, define-se: n a n = a n a Exemplo: 6 - = 6 6 = 6 Para as potências de base real não nula e expoente inteiro, são válidas as seguintes propriedades: a m.a n = a m + n a a m n a mn (a n ) m = a n.m m a.b a m.b m a b m a b m m Acompanhe algumas aplicações dessas propriedades: ³. 4 = ³ ² ¹ (²)³ =. 6

3 Potências de base Para expressar algumas grandezas, é comum o uso das potências. Isso ocorre quando deseja-se escrever um número de muitos algarismos, como por exemplo o número Esse mesmo número pode ser representando da seguinte forma: ¹¹. Números como, 0,.000,.000, podem ser escritos como potências de base Veja como representar a potência para alguns decimais. 0, = 0,0 = 0,00 =.000 = - = - ¹ - 0 ² 0,00 =.000 0,000 = ,0000 = ,00000 =

4 Curiosidade A potência 0 0 foi batizada em 98. Neste ano, o matemático Edward Kasner pediu ao sobrinho de nove anos que pensasse em um nome para um número muito grande. Diante da missão, o garoto sugeriu ao tio que esse número tão grande fosse chamado de GOOGOL. Devido a sua ordem de grandeza, o nome dado a potência de 0¹ 00 foi inspiração para o nome da grande ferramenta de busca Google. Notação científica Em algumas ciências, é muito comum o estudo de dados que apresentam uma escrita muito extensa, de muitos algarismos. Como por exemplo, a distância entre a Terra e o Sol, algo em torno de de quilômetros. Figura - Distância Média entre a Terra e o Sol Fonte: Wikimedia Commons Para facilitar a escrita de números como esse, podemos fazer o uso da notação científica, ou seja, os números são escritos como uma potência de base, tornando a escrita menor. Utilizando a notação científica, podemos escrever um número considerando o seguinte modelo: x. y x deve ser um número menor que e maior ou igual a. y é um número inteiro No caso da distância média entre a Terra e o Sol,temos: = x =. 7

5 Para a notação cientifica, é necessário que o fator seja representado como um número menor que. Temos então:,.. 7, =,.. 7 = 8 A distância média entre a Terra e o Sol representada em notação científica, tem a seguinte escrita:,. 8 Vejamos outros exemplos de números representados em notação científica x x ³ x = =,4 x,4 x x = 6,. 6, x 7 0,00 x 0,00 0,00 = - x - 0,0000 x 0,0000 0,0000 = - x - Você já ouviu falar em átomo? Os átomos são partículas muito pequenas, um átomo é constituído de prótons, elétrons e nêutrons. Figura -Átomo Fonte: Wikimedia Commons Essas partículas possuem massa pouco significativas. Um próton, por exemplo, tem massa igual a 0, kg. Expressa em notação científica essa massa pode ser representada por,67 x -7

6 O coração de uma pessoa que viveu até aproximadamente os 80 anos, bateu, ao longo desses anos, aproximadamente de vezes Figura -Coração Fonte: Wikimedia Commons Esse número pode ser representado por, x 9. Observe algumas regularidades na representação de um número em notação científica. Vamos representar os números 0,06 e em notação científica. 0,06 = 6 x 0,00 0,00 = - 6 6, 6 = 6,.¹ 6, = - - = - 0,06 = 6, x = 6 x = 6 6,6 6 =,6., = = =,6. 7

7 Dica: Para representar um número em notação científica, você pode fazer uso das seguintes regras: No caso do decimal 0,06 observe que após a vírgula há três casas decimais. Porém é preciso considerar que para representá-lo em notação científica ele deve apresentar a seguinte estrutura x. y, onde x deve ser um número maior ou igual a e menor que. Neste caso, se o valor que ocupará o lugar da variável x deve ser seja menor que, vamos considerar o decimal 6,. Acompanhe: 0, ,. - casas decimais No caso do número observe que considerando apenas os algarismos diferentes de zero, temos o número 6, conforme já mencionado, para representar qualquer número em notação científica, é preciso considerar a estrutura x. y, se x deve ser maior ou igual a e menor que, devemos transformar o inteiro 6 no decimal,6. Agora, é hora de saber qual será o expoente da potência de base que multiplicará o decimal,6, acompanhe: ,6. 7 Para obter,6, basta dividir os por ATIVIDADES.Determine o valor das seguintes potências: a) ² b) 6³ c) d) -4

8 e) (0,)² f) (- )² g) ( - ) h). Aplique as propriedades de potência e escreva na forma de uma só potência.conforme exemplo. 4 : = 4 = a) 7. b) : 6 c) (8³)³ d) 4. e) ¹ f) ².. g). h) Transforme em notação científica. a) km b) 0,0 c) d) 0, (ENEM 0) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 0. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela lua em torno da Terra. Na figura, está indicado a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.

9 Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU passou da superfície da Terra é igual a a), x ² km. b), x ³ km. c), x 4 km. d), x km. e), x 6 km.. Leia os dados do IBGE sobre o Brasil. O Brasil está localizado no continente americano e ocupa a parte centro-oriental da América do Sul. É cortado pelo Equador e Trópico de Capricórnio. (...) (...)Com uma área de ,99 km², o Brasil configura-se como o maior País do Continente Sul-americano e, no mundo só é superado pela Rússia, Canadá e República Popular da China, se consideradas apenas as terras contínuas, e pelos Estados Unidos, levadas em conta as terras descontínuas. (...) Disponível em: < Acesso em: 6 jan h40. Considere a extensão territorial do Brasil como km² e representa-a em notação científica. 6. (FUVEST/PASUSP 008) As células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 8. 7 metros de diâmetro. O diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente. -4 metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se, como resultado, a) b) 0 c) 00

10 d) 00 e) 8000 LEITURA COMPLEMENTAR SÃO PAULO Dados territoriais O estado de São Paulo possui 64 municípios espalhados por uma área territorial de 48.09, km², o que representa,9% do território brasileiro. Figura 4 - São Paulo Fonte: Wikimedia Commons São Paulo é o estado brasileiro em área. O maior estado é o Amazonas, com uma área territorial de mais de, milhões de km². Com uma população estimada em de habitantes (04) a densidade demográfica de São Paulo é de 7,9 habitantes por km². 68,% da população vivem nas cidades que compõem as regiões metropolitanas do estado. Disponível em: < Acesso em: 6 jan. 06. h. A densidade demográfica é a relação entre o número de habitantes e o espaço territorial. No caso do estado de São Paulo, tem-se: Densidade demográfica = , Calculando a densidade: Utilize a calculadora, divida o número de habitantes pela extensão territorial. Você encontrará o número 7,9 aproximadamente. Ou seja, conforme já mencionado, o estado apresenta uma densidade demográfica de 7,9 hab/km².

11 Agora, sem o uso da calculadora, vamos utilizar a notação científica para representar esses valores e calcular, novamente, a densidade demográfica do estado. Para facilitar a manipulação dos dados, vamos considerar os seguintes valores: População do estado em 04: = = 4,6. 4,6.. = 4, = 4,6. 7 Área territorial = = 48.³ 48 =,48.,48.. =,48. Densidade demográfica = 4,6.,48. 7 = 4,6.,48 7,777. Densidade demográfica = 7,77 Considerando as aproximações, o resultado obtido, ao utilizar a notação científica foi muito próximo ao resultado real. INDICAÇÕES Para saber um pouco mais sobre as potências e a notação científica, consulte os materiais indicados a seguir. Livro: Matemática Mortífera. Col. Saber horrível Autor: Poskittkjartan Editora: Melhoramentos Jogo Potências. Disponível em:

12 REFERÊNCIAS CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias Módulo I/ Matemática. Rio de Janeiro, 0. FUVEST, PASUSP Disponível em: Acesso em: 7 jan. 06. h. IBGE. Mapa Físico do Brasil. Disponível em:< Acesso em: 6 jan h40. INEP, ENEM 0. Disponível em:< 0_dom_amarelo.pdf>. Acesso em: 6 jan h4. SÃO PAULO (Estado). Secretária da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < =Aluno>. Acesso em: 8 jan. 0. h. SÃO PAULO, Governo do Estado. Biblioteca Virtual. São Paulo: aspectos territoriais. Disponível em:< Acesso em: 6 jan. 06. h. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v : livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 0. p. -. WIKIMEDIA COMMONS, 008. Disponível em: < Pinheiros_(CENU-Globo).jpg>. Acesso em: 6 jan. 06. h40min. WIKIMEDIA COMMONS, 0. Disponível em: < Acesso em: jan. 06. h. WIKIMEDIA COMMONS. Disponível em: < Acesso em: 6 jan. 06. h0. GABARITO. a). = b) = 6 c).. 8 d)... e) 0,.0, = 0,06 f) ( -).(-) =

13 g) ( -).( -).( -) = - 8 h) a) 7+ = 8 b) -6 = 4 c)8. =8 9 d) e) +(-) +6 = f) ( ) 0 g) Para representar a expressão como uma única potência, o primeiro passo é transformar o número em uma potência de base. = ³. 4 h) Para representar a expressão como uma única potência, o primeiro passo é transformar os números 9, 7 e 8 em uma potência de base. 9 = ² 7 =³ 8= a) 68 x 68 = 6,8.¹ 6,8.. = 6,8. b) 0,0 =. - c) = 7. 6 d) =,06., =, Alternativa D..000 =. =,.,.. =, = 8,. 8,.. = 8,. 6

14 6. Alternativa A.. -4 : (-7) = 0,. 0, = 0,.³ 0,.00 =