M A R T I N L V T E R A cuja soma é 666.
|
|
- Jonathan Galindo Oliveira
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Tábuas logarítmicas babilônicas A primeira evidência histórica sobre os logaritmos encontra-se em antigos tabletes de argila encontrados na região da Mesopotâmia, atual Iraque e Oriente Médio. Sabe-se que os matemáticos babilônicos eram bastante hábeis na computação de seus dados devido a elaboração de vários tipos de tábuas contendo seqüências numéricas. Entre estas tábuas encontram-se tabelas contendo potências sucessivas de um dado número, semelhantes às nossas tábuas de logaritmos (ou antilogaritmos). Tabelas exponenciais (ou logarítmicas) foram encontradas em que são dadas as dez primeiras potências para as bases 9, 6,,0 e 3,5. Alguns problemas encontrados nestas tábuas assemelham-se ao nosso problema de elevar uma certa base a um expoente para resultar num certo dado. As principais diferenças entre as tábuas babilônicas e as atuais, além da linguagem e da notação sexagesimal, são: a não utilização de uma base sistemática para seus cálculos; as grandes lacunas apresentadas entre um resultado e outro; a utilização das tabelas restringia-se a fins específicos e não ao cálculo geral. Mesmo possuindo grandes lacunas os matemáticos babilônicos não hesitavam em interpolar por partes proporcionais para obter valores intermediários aproximados, fato comum na regra de três. Em certo problema referente a quanto tempo demora para certa quantia de dinheiro dobrar a 0% ao ano, o escriba deixa claro que para chegar ao resultado 3; 7, 3, 0 foi utilizado a interpolação linear entre os valores (; ) 3 e (; ), além da utilização de um processo que assemelharia a nossa fórmula para juros compostos J C i n. Depois desta evidência os logaritmos tiveram que aguardar muito tempo até um místico monge relacionar as idéias de progressão aritmética com a de progressão geométrica... Michael Stifel ( em 87 in Esslingen, Alemanha em 9 de Abril de 567 em Jena, Alemanha) Costuma-se apresentar Stifel como sendo o maior algebrista alemão do século XVI. Sua obra mais conhecida Arithmetica integra foi publicada originalmente em 553 é dividida em três partes dedicadas aos números racionais, aos números irracionais e à álgebra. Na primeira parte o matemático mostra as vantagens de associar uma progressão aritmética à uma geométrica, prenunciando um século antes aquilo que viria ser o conceito de logaritmo. Nessa parte ele também desenvolveu os coeficientes binomiais até o de ordem dezessete. A segunda parte do livro consiste, basicamente, numa apresentação algébrica do Livro X dos Elementos de Euclides, enquanto que a terceira parte se ocupa de equações. As raízes negativas de uma equação continuam sendo descartadas, mas usa-se os sinais de +, e e representa-se, as vezes, a incógnita de uma equação por uma letra. Originalmente Stifel ordenou-se monge mas acabou tornando-se um reformador fanático depois de convertido por Marinho Lutero. Por possuir um espírito visionário Stifel enveredou-se várias vezes ao misticismo (aritmografia) tanto que profetizou o fim do mundo para 3 e outubro de 533. O rebate falso fez com que Stifel buscasse refúgio numa prisão tamanha era a indignação entre os prejudicados. Outro exemplo referente ao seu misticismo foi profetizar que o papa Leão X era a besta mencionada no Apocalipse. Imbuído pela passagem Quem tem sabedoria que conte o número da besta: pois o número de um homem, e esse número é seiscentos e sessenta e seis., Stifel verificou que considerando apenas os algarismos romanos significativos de LEO DECIMVS, teríamos L, D, C, I, M, V. Acrescentou X pois Leo Decimvs possui dez letras, retirou M porque representa mysterium e reorganizou as letras para DCLXVI (666). Outros grandes matemáticos também enveredaram pelo caminho de Stifel para descobrir a identidade da besta do apocalipse. Napier, considerado como o inventor dos logaritmos, mostrou que a besta era o papa de Roma enquanto o padre Bongus, jesuíta da mesma época, concluiu que ele representava Martinho Lutero. Segue-se o raciocínio do padre Bongus: de A a I associa-se os números de a 9, de K a S relaciona-se de 0 a 90 (de dez em dez) e de T a Z temos de 00 a 500 (de cem em cem). No alfabeto latino não existe o j e o w e para maiúsculas o U figura como V. Desta forma obtemos: M A R T I N L V T E R A cuja soma é 666.
2 Durante a Primeira Guerra Mundial chegou-se a conclusão que 666 representava o número do cáiser Guilherme, do mesmo modo que depois mostrou ser o número de Hitler. Outras incursões na aritmografia mostraram que no alfabeto aramaico, em que foi escrito originalmente o Apocalipse, 666 se traduz numericamente com o nome de César Nero. John Napier (ou Neper) ( em 550 no Castelo de Merchiston, Edimburgo, Escócia em de Abril de 67 em Edimburgo, Escócia) Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são necessários como na astronomia, na navegação no comércio e na guerra mostram a urgência para cálculos cada vez mais precisos e rápidos. Quatro notáveis invenções vieram atendem estas crescentes necessidades: a notação indo-arábica, as frações decimais, a invenção do logaritmo e a criação dos modernos computadores. Chegou o momento de investigarmos a fundo o surgimento dos logaritmos no início do século XVII por um rico barão escocês. Napier nasceu quando seu pai tinha apenas dezesseis anos de idade e viveu a maior parte de sua vida na rica propriedade da família, o castelo de Merchiston próximo a Edimburgo na Escócia atribulado com controvérsias políticas e religiosas. Declaradamente anticatólico publicou vários libelos contra a Igreja de Roma propondo provar que o papa era o anticristo e que o Criador iria por fim ao mundo entre os anos de 688 e 700, tornando-se extremamente popular para sua época. Também idealizou o que viria a ser séculos depois a metralhadora, o submarino e o tanque de guerra. Tamanha era a imaginação de Napier que muitos acreditavam que ele fosse mentalmente desequilibrado chegando ao ponto de originar histórias infundadas a seu respeito. Uma delas diz respeito ao seu galo preto que teria informado ao dono quais de seus empregados não eram confiáveis. Um a um, cada empregado foi enviado a um quarto escuro com a tarefa de tocar no dorso do galo: aqueles que voltassem com a mão enegrecida seriam os culpados. Sem que soubessem, Napier cobriu o galo com uma fuligem para observar cada reação de honestidade. Outra ocasião conta que cansado com a algazarra que os pombos de seu vizinho faziam, Napier ameaçou a apreender os pombos caso seu dono não restringisse seus vôos. O vizinho não se fez de rogado, pensando que era improvável que alguém pudesse limitar o vôo dos pássaros liberou a possibilidade de prisão para Napier. Qual foi a surpresa do vizinho ao ver no outro dia o gramado repleto de pombos cambaleantes e Napier os recolhendo num saco. Simplesmente o matemático tinha embebido de conhaque várias ervilhas e dado aos pombos. Para se descontrair de suas disputas políticas e religiosas Napier dedicava tempo de seus estudos à matemática e à ciência. Dentre todos seus trabalhos mais notáveis destacam-se: a invenção dos logaritmos; um dispositivo mnemônico chamado regra das partes circulares utilizado para resolução de triângulos esféricos; pelo menos duas fórmulas trigonométricas conhecidas como analogias de Napier; a invenção de um instrumento conhecido como barras de Napier ou ossos de Napier usado para efetuar mecanicamente multiplicações, divisões e extrair raízes quadradas de números. Vejamos como Napier desenvolveu seu conceito de logaritmo...
3 Logaritmos 3 Atualmente sabe-se que o poder dos logaritmos como instrumento de cálculo repousa no fato de que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e subtração. Fórmulas trigonométricas como cos Acos B cos( A B) cos( A B) bem conhecida na época de Napier é visivelmente predecessora dessa idéia. Conhecidas como fórmulas de Werner em homenagem ao matemático alemão Johannes Werner (68 58) estas identidades trigonométricas eram amplamente utilizadas por astrônomos como um método de conversão de produtos em somas e diferenças. Este método ficou conhecido como método da prostaférese, a partir de uma palavra grega que significa adição e subtração e sabemos que Napier o conhecia. Porém para reduzir a quantidade de operações necessárias para seus cálculos Napier teve uma grande idéia associar uma progressão geométrica b, b, b 3, b,..., b m,..., b n,... aos termos de uma progressão aritmética,, 3,,..., m,..., n,... m n mn desta forma o produto b b b de dois termos da primeira seqüência está associado a soma m + n dos termos correspondentes da segunda progressão. Para manter os termos da progressão geométrica suficientemente próximos de modo que se possa usar interpolação para preencher lacunas entre os termos da correspondência precedente, deve-se escolher o número b bem próximo a. Com essa finalidade Napier tomou 0 7 = 0, para b. Para evitar números decimais, ele multiplicava cada potência por 0 7. Então, se L N 0 7 ( 0 7 ) ele chamava L de logaritmo do número N. Exemplificando a teoria dos logaritmos de Napier Tenha um pouco de calma e vamos recapitular passo-a-passo o raciocínio de Napier através de exemplificações. Napier tinha tomado conhecimento das associações feitas por Stifel com uma tabela ajeitada para substituir multiplicações e divisões por adições e subtrações. O que Napier chamava de logaritmos era uma tabela de duas colunas (ou duas linhas), colocando em correspondência os termos de uma progressão geométrica (potências de um certo número) com os de uma progressão aritmética. Abaixo temos um exemplo simples de uma tábua de logaritmos: Repare que esta tábua de logaritmos tem a seguinte estrutura: b 0 b b b 3 b b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 b 0 b b b 3 b sendo, no exemplo, b =. Para multiplicar, por exemplo, o número 3 por 56, procuramos na tabela os números correspondentes na segunda linha, que são 5 e 8. Somando-se 5 e 8 obtemos 3. Localizando a soma 3 na segunda linha, vemos que seu correspondente na primeira linha é 8 9. Concluímos que 3 x 56 = 8 9. Para dividir 08 por 8, tomamos os números correspondentes, e 7 e calculamos 7 =. O número da primeira linha correspondente a é 6. Portanto 08 : 8 = 6. O sucesso do método provém das conhecidas leis m n mn m n mn b b b e b : b b Assim, e 08 :8 : 6 O problema de nossa tábua é que ela nos permite um número restrito de multiplicações e divisões. Isto porque as potências de crescem muito rapidamente. Napier então pensou em considerar um número bem próximo a, cujas potências crescessem lentamente, proporcionando um grande número de produtos e quocientes instantâneos. Como àquela época, os valores numéricos que os astrônomos mais manipulavam eram valores de senos e cossenos, seria interessante, pensou Napier, uma tábua com grande quantidade de números entre 0 e.
4 A construção da primeira tábua de logaritmos Para construir a primeira tábua de logaritmos, Napier considerou as potências de um número bem próximo a, o número 0 7 = 0, Para simplificar os cálculos consideremos o número b como sendo b = 0 3 = 0,999, em lugar de 0 7. Indicaremos por Nap log b o logaritmo de b segundo Napier. Inicialmente Napier definiu Nap log0,999 Nap log 0,999 Nap log0, ,999 3 Nap log0, Nap log e assim por diante. Como o cálculo das potências de 0,999 através de multiplicações é trabalhoso Napier teve uma idéia simplificadora. Ele notou que b = 0,999 = 0 3, então: b b b b 0 3 b 0 3 b b b b b b b b 0 b b b e assim por diante. Como b = 0,999 e b / 000 = 0,000999, substituindo na expressão acima, temos: b = b b / 000 = 0, , = 0,99800 b 3 = b b / 000 = 0, , = 0, , Napier então calculou as potências de b = 0,999 de b até b 50, fazendo subtrações sucessivas. Logo, temos: Nap log0, Nap log 0,999 Nap log 0,999 Nap log 3 Nap log0, Nap log0, , Nap log0, Napier construiu uma tabela de logaritmos como a seguinte, emparelhando cada número com seu Nap log, a primeira tabela de logaritmos que se tem notícia na história.
5 A interpretação cinemática de Napier 5 Segundo Napier conta o trabalho da invenção dos logaritmos demorou durante vinte anos antes de publicar seus resultados em 6 no livro Minfici logarithmorum canonis descriptio (Descrição da Maravilhosa Lei dos Logaritmos), fato que colocaria suas idéias em aproximadamente 59. A explanação dos princípios de seu trabalho são estritamente geométrica como se segue. Considere um segmento de reta AB e uma semi-reta DE, de origem D, conforme a figura abaixo: Suponhamos que os pontos C e F se ponham em movimento simultaneamente a partir de A e D, respectivamente, ao longo dessas linhas. A velocidade de C será variável decrescendo proporcionalmente à sua distância de B enquanto que a velocidade de F é sempre constante e igual à velocidade inicial de C. Napier chamava a distância DF o logaritmo da distância CB. Apesar de sua interpretação geométrica, as tabelas feitas por Napier eram construídas numericamente. A princípio Napier chamou seus índices de potências números artificiais, mais tarde ele fez a composição de duas palavras gregas logos (λογος - razão) e arithmos (αριθμomicronς - números), ou seja, um número que indica a razão e a proporção. Historicamente é incorreto dizer que os atuais logaritmos neperianos (cuja base é o número transcendente e =,78...) foram os utilizados por Napier pois até mesmo o conceito de base de sistema de logaritmos não tinha sido formulado, nem o uso dos expoentes como hoje utilizamos havia sido instituído. As Barras de Napier Em 67 Napier publicou uma obra de grande sucesso intitulada Rabdologiae onde, entre outros tópicos apresentava um método mecânico para efetuar multiplicações e divisões. Os princípios desta invenção conhecida como barras de Napier ou ossos de Napier não difere do método árabe utilizado para efetuar multiplicações, contudo o processo de Napier é posto em prática com a ajuda de tiras de ossos, metal, madeira ou cartão, preparadas anteriormente. Para cada um dos 0 dígitos deve-se ter algumas tiras contendo os múltiplos do dígito. Como exemplo, efetuaremos a multiplicação de 65 por 365. coloque as tiras, 6, e 5 uma ao lado da outra nesta ordem; leia os resultados da multiplicação de 65 nas linhas 3, 6 e 5 (em alguns casos é necessário adicionar dígitos das diagonais); adicionamos os resultados das multiplicações iniciando pelo 5 (unidades), 6 (dezenas) e 3 (centenas) para encontramos o produto desejado.
6 Henry Briggs ( Fevereiro de 56 em Warleywood, Yorkshire, Inglaterra 6 de janeiro de 630, Oxford, Inglaterra) Certamente não era nada confortável uma viagem de Londres a Edimburgo no distante ano de 65. Em veículos puxados a cavalos, por estradas esburacadas e poeirentas, o percurso parecia interminável. Mas o eminente professor Henry Briggs, que ocupava no Gresham College de Londres a primeira cátedra de matemática criada na Inglaterra, valia a pena o sacrifício. Certa vez escreveu: espero ver Napier este verão, se Deus quiser, porque nunca encontrei um livro que mais me agradasse ou me despertasse maior admiração. Briggs estava se referindo ao Descriptio que Napier tinha publicado a apenas um ano onde divulgou a sua criação dos logaritmos. Foi durante esta visita que Napier e Briggs concordaram que as tábuas seriam mais úteis se fossem alteradas de modo que o logaritmo de fosse 0 e o logaritmo de 0 fosse uma potência de 0, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, os logaritmos dos dias atuais. Esses logaritmos, que são essencialmente os logaritmos da base 0, devem sua superioridade aos cálculos numéricos ao fato de que o nosso sistema de numeração é decimal. Briggs devotou todas as suas energias à construção de uma tábua com base na nova idéia, e em 6 (dez anos após a publicação de Napier) publicou sua Arithmetica logarithmica, que continha uma tábua de logaritmos comuns, com quatorze casas decimais, dos números de a e de a A lacuna entre e fora preenchida posteriormente pela ajuda de Adriaen Vlacq ( ) e Edmund Gunter (58 66), sendo superada apenas no século XX com novas tabelas com mais de vinte casas decimais. Em sua Arithmetica Briggs introduziu o termo mantissa, que é um termo latino de origem etrusca que significa inicialmente adição ou contrapeso. A palavra característica também foi sugerida por Briggs em sua obra e utilizada por Vlacq. Nas primeiras tábuas de logaritmos vinham expressas tanto as mantissas quanto as características dos logaritmos, somente a partir do século XVIII é que as tabelas tomaram a forma que conhecemos. Exemplificando a ajuda de Briggs à Napier Como hoje sabemos, cada número real positivo x pode ser escrito em notação científica, ou seja, na forma n x b 0, sendo b um número real satisfazendo b 0 e n um expoente inteiro positivo. São exemplos de notação científica: 3, 3,0 56,7,5670 0,05,5 0 n Briggs percebeu que, sendo x b 0 a representação de x > 0 em notação científica, chamado log x o logaritmo decimal de x, ou seja, o numero real log 0 x, teria n n log x log b0 logb log0 logb nlog0 logb n logb n n log b
7 7 sendo portanto suficiente conhecer os logaritmos dos números b satisfazendo b 0. Ao logaritmo do número b, b 0, Briggs chamou de mantissa do logaritmo de x. Ao expoente de 0 na notação científica de x, Briggs chamou de característica do logaritmo de x. Assim, ficou log x = característica + mantissa. Para construir uma tábua de mantissas, Briggs primeiramente considerou a seqüência de números reais calculando vários deles. Obteve a seguinte tabela 0, 0, 0 0,... Para calcular, por exemplo, log, Briggs procedeu da seguinte maneira: procurou na tabela acima a primeira raiz n -ésima de 0 imediatamente abaixo de, encontrando, ; calculou então :,7788 =,68; 3 procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo de,68, que é,076 0 ; calculou então,68 :,076 =,0659; 6 procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo de,0659, que é, ; calculou então,0659 :,03663 =,0096; 56 procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo de,0096, que é, ; calculou então,0096 :,0090 =,00056; 096 procurou na tabela a primeira raiz imediatamente abaixo ou igual à,00056, que é o próprio, recompôs seus cálculos assim:,7788,68,7788,076,0659,7788,076,03633,0096,7788,076,03633,0090,00056 substituiu os valores decimais por potências de dez com expoentes fracionários:,7788,076,03633,0090, aplicando a definição de logaritmo temos: log observando a quarta coluna da tabela verifica-se que as frações estão convertidas em números decimais: log0 0, ,0350 0,0565 0, ,000 log0 0,3005
8 Jobst Bürgi ( 8 de Fevereiro de 55 em Lichtensteig,Suíça 3 de janeiro de 63, Kassel, atual Alemanha) 8 O único rival de Napier quanto à propriedade da invenção dos logaritmos foi o suíço Jobst Bürgi, um construtor de instrumentos e relojoeiro. Bürgi concebeu e construiu uma tábua de logaritmos independente de Napier e publicou seus resultados em 60 com o título de Arithmetische und geometrisch Progress Tabulen, seis anos depois de Napier revelar sua descoberta ao mundo. Embora os dois tenham concebido a idéia de logaritmos antes de publicá-la, acredita-se geralmente que Napier teve a ideia primeiro. Enquanto a abordagem de Napier era geométrica, a de Bürgi era algébrica. Hoje em dia, um logaritmo é universalmente considerado como um expoente; assim, se n = b x, dizemos que x é o logaritmo de n na base b. Dessa definição, as leis dos logaritmos decorrem imediatamente da lei dos expoentes. Uma das incongruências da história da matemática é que os logaritmos foram descobertos antes de se usarem expoentes. O suíço Bürgi era um homem eclético: era versado em matemática e astronomia, tendo mesmo colaborado com Kepler em Praga. Provavelmente, vem deste fato sua preocupação em criar os logaritmos, embora fosse um exímio calculista. Também estimulado pelas idéias de Stifel, partiu de uma progressão aritmética de primeiro termo 0, razão 0 e último termo 3 000, cujos elementos chamou de números vermelhos (pela cor que os imprimiu). A progressão geométrica correspondente começa com 0 8 e sua razão é + 0 (notação atual) seus termos são chamados números negros. A partir daí, constrói o que na verdade é, na terminologia atual uma tábua de antilogaritmos: os números vermelhos (logaritmos) são escritos na primeira linha e na coluna da esquerda e os negros correspondentes distribuídos nas demais linhas e colunas. A escolha de,000 como razão da P.G. objetivava fazer com que suas potências ficassem muito próximas entre si; e começar essa progressão com 0 8 era um expediente para evitar os números decimais. Observe a primeira parte da tabela de antilogaritmos de Bürgi (logaritmos em vermelho e antilogaritmos em preto):
9 Bibliografia 9 BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 996, ª edição. EVES, Howard Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 995. IEZZI, Gelson e outros Fundamentos da Matemática Elementar vol. logaritmos. São Paulo, Editora Atual, 993. PEDROSO, Hermes Antônio História da Matemática - Notas de aula nº 03. São José do Rio Preto, Unesp, 995. SAMPAIO, João Carlos V. John Napier, Henry Briggs e a Invenção dos Logaritmos. São Carlos, UFSC. Sites utilizados University of St Andrews, Scotland - School of Mathematics and Statisttics Wikipedia A encyclopedia livre
CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS
CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS Michelly Bezerra de Oliveira Pinheiro (IFRN) pinheiro_michelly@hotmail.com Fabiana Tristão de Santana (IFRN) fabiana.santana@ifrn.edu.br
Leia maisLOGARITMOS. 1. Introdução Histórica
LOGARITMOS 1. Introdução Histórica No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação exigia longos e laboriosos cálculos aritméticos, que nos anos próximos de 1600, era um problema fundamental.
Leia maisGiovanna ganhou reais de seu pai pra fazer. sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no. entanto, resolveu abri mão da festa.
LOGARITMOS QUAL É O TEMPO? Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.
Leia maisFORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Matemática do 2º Ano 1º Bimestre / 2014 Plano de Trabalho LOGARITMOS
FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Matemática do 2º Ano 1º Bimestre / 2014 Plano de Trabalho LOGARITMOS Tarefa: 001 PLANO DE TRABALHO Cursista: CLÁUDIO MAGNO PAULANTI Tutor:
Leia maisQual é o tempo? INTRODUÇÃO
LOGARÍTMOS INTRODUÇÃO Qual é o tempo? Amanda ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.
Leia maisJOHN NAPIER, HENRY BRIGSS E A INVENC» ~AO DOS LOGARITMOS
Logaritmos e hist oria 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE S~AO CARLOS CENTRO DE CI^ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA JOHN NAPIER, HENRY BRIGSS E A INVENC» ~AO DOS LOGARITMOS Jo~ao Carlos
Leia maisLOGARITMOS K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T
LOGARITMOS K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T HISTÓRIA No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar
Leia maisDA ORIGEM DOS LOGARITMOS AO USO DA RÉGUA DE CÁLCULO NO ENSINO DE MATEMÁTICA. Palavras-Chave: História; Régua de cálculo; Atividades; Instrumento.
DA ORIGEM DOS LOGARITMOS AO USO DA RÉGUA DE CÁLCULO NO ENSINO DE MATEMÁTICA Maria Isabel da Costa Pereira UFRN bel.bellook.isabel@gmail.com José Damião Souza de Oliveira UFRN damiaomatematica@hotmail.com
Leia maisLogaritmos 10/03/2014. Antonio Carlos Brolezzi.
Logaritmos 10/03/2014 Antonio Carlos Brolezzi brolezzi@usp.br Existe uma operação matemática chamada potenciação ou exponenciação: a c = b Existe uma operação matemática chamada potenciação ou exponenciação:
Leia maisUMA INVESTIGAÇÃO HISTÓRICA SOBRE OS LOGARITMOS COM SUGESTÕES DIDÁTICAS PARA A SALA DE AULA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA EVANILDO COSTA SOARES UMA INVESTIGAÇÃO HISTÓRICA SOBRE
Leia maisLogaritmos. Antonio Carlos Brolezzi.
Logaritmos Antonio Carlos Brolezzi brolezzi@ime.usp.br Existe uma operação matemática chamada potenciação ou exponenciação: a c = b Existe uma operação matemática chamada potenciação ou exponenciação:
Leia maisPlano de Trabalho1 Função Logarítmica
Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 2º Ano 1º Bimestre/2013 Plano de Trabalho1 Função Logarítmica Cursista: Ângela Pereira Cerqueira Halfeld Tutora: Claudio Rocha
Leia maisQuadro de conteúdos MATEMÁTICA
Quadro de conteúdos MATEMÁTICA 1 Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de
Leia maisE.E SENADOR LUIZ NOGUEIRA MARTINS
6º A/B Decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de acordo com seu valor posicional. 79,31% FÁCIL Decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de acordo com seu valor
Leia maisJá parou para pensar sobre a utilização dos logaritmos? Para que eles servem?
UMA NOÇÃO SOBRE LOGARÍTMOS Já parou para pensar sobre a utilização dos logaritmos? Para que eles servem? Vejamos o seguinte: Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente.
Leia maisDA ORIGEM DOS LOGARITMOS AO USO DA RÉGUA DE CÁLCULO NO ENSINO DE MATEMÁTICA. Palavras-Chave: História; Régua de cálculo; Atividades; Instrumento.
DA ORIGEM DOS LOGARITMOS AO USO DA RÉGUA DE CÁLCULO NO ENSINO DE MATEMÁTICA Maria Isabel da Costa Pereira UFRN bel.bellook.isabel@gmail.com José Damião Souza de Oliveira UFRN damiaomatematica@hotmail.com
Leia maisOs logaritmos decimais
A UA UL LA Os logaritmos decimais Introdução Na aula anterior, vimos que os números positivos podem ser escritos como potências de base 10. Assim, introduzimos a palavra logaritmo no nosso vocabulário.
Leia maisFORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA TAREFA 3 MARCIA LEPSCH FERREIRA BARCELLOS. Matemática 2º ano - 1º Bimestre. Grupo: 4
FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA TAREFA 3 MARCIA LEPSCH FERREIRA BARCELLOS Matemática 2º ano - 1º Bimestre Grupo: 4 Tutor: Maria Cláudia Padilha Tostes Plano de trabalho: Função Logarítmica Introdução:
Leia maisRÉGUA DE CÁLCULO CIRCULAR: UMA BREVE DESCRIÇÃO HISTÓRICA E MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 1
na Contemporaneidade: desafios e possibilidades RÉGUA DE CÁLCULO CIRCULAR: UMA BREVE DESCRIÇÃO HISTÓRICA E MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 1 Verusca Batista Alves Universidade Estadual do Ceará verusca.alves@alunno.uece.br
Leia maisMAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas de pontos no plano cartesiano Distâncias entre pontos Sejam e dois pontos no plano cartesiano A distância entre e é dada pela expressão
Leia maisMATEMÁTICA Logaritmos Introdução. Professor Marcelo Gonsalez Badin
MATEMÁTICA Logaritmos Introdução Professor Marcelo Gonsalez Badin Você certamente já sabe calcular logaritmos! Por eemplo, resolva a equação: = 8 = 8 = 3 = 3 Logaritmo é apenas um nome que é dado ao epoente
Leia maisA HISTÓRIA DOS LOGARITMOS COMO CONTRIBUIÇÃO À MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO
A HISTÓRIA DOS LOGARITMOS COMO CONTRIBUIÇÃO À MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO Evanildo Costa Soares Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN nildo_23@hotmail.com Resumo: Esse texto apresenta como
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática
MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática Conteúdos I - Conjuntos:. Representação e relação de pertinência;. Tipos de conjuntos;. Subconjuntos;. Inclusão;. Operações com conjuntos;.
Leia maisE essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em
Leia maisCrescimento da dívida
Valores em reais LOGARITMO CONTEÚDOS Logaritmo Propriedades dos logaritmos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Uma empresa que trabalha com empréstimo, cobra juros absurdos. Se o devedor atrasar o pagamento da
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA - SPAECE MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL TEMAS E SEUS DESCRITORES
MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I INTERAGINDO COM OS NÚMEROS E FUNÇÕES D1 Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal. Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção
Leia maisXXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 2 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação
Leia maisTEMA I: Interagindo com os números e funções
31 TEMA I: Interagindo com os números e funções D1 Reconhecer e utilizar característictas do sistema de numeração decimal. D2 Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção de resultados na resolução
Leia maisLOGARITMOS Leia e descubra que eu não vim do além
LOGARITMOS Leia e descubra que eu não vim do além 1 A CRIAÇÃO DOS LOGARITMOS No início do século XVII, a astronomia, o comércio e a navegação atingiram um estágio de desenvolvimento que exigia cálculos
Leia maisNível II (6º ao 9º ano) Sistema de Recuperação 3º período e Anual Matemática
Nível II (6º ao 9º ano) Sistema de Recuperação 3º período e Anual Matemática Orientações aos alunos e pais A prova de dezembro abordará o conteúdo desenvolvido nos três períodos do ano letivo. Ela será
Leia maisNúmeros são números, letras são números e sinais de pontuação, símbolos e até mesmo as instruções do próprio computador são números.
Para o computador, tudo são números. Números são números, letras são números e sinais de pontuação, símbolos e até mesmo as instruções do próprio computador são números. O método ao qual estamos acostumados
Leia mais1 bases numéricas. capítulo
capítulo 1 bases numéricas Os números são representados no sistema decimal, mas os computadores utilizam o sistema binário. Embora empreguem símbolos distintos, os dois sistemas formam números a partir
Leia maisMATEMÁTICA 1ºANO Ementa Objetivos Geral Específicos
DADOS DA COMPONENTE CURRICULAR Nome da Disciplina: MATEMÁTICA Curso: Ensino Técnico Integrado Controle Ambiental Série: 1ºANO Carga Horária: 100h Docente Responsável: GILBERTO BESERRA Ementa Conjuntos
Leia maisMÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta
MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações
Leia mais1.0. Conceitos Utilizar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e Utilizar o algoritmo da divisão de Euclides.
Conteúdo Básico Comum (CBC) Matemática - do Ensino Fundamental do 6º ao 9º ano Os tópicos obrigatórios são numerados em algarismos arábicos Os tópicos complementares são numerados em algarismos romanos
Leia maisOrdenar ou identificar a localização de números racionais na reta numérica.
Ordenar ou identificar a localização de números racionais na reta numérica. Estabelecer relações entre representações fracionárias e decimais dos números racionais. Resolver situação-problema utilizando
Leia maisMatriz de referência de MATEMÁTICA - SAERJINHO 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL
17 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL Tópico Habilidade B1 B2 B3 ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO H01 H03 H04 H06 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras
Leia maisUM ESTUDO SOBRE LOGARITMOS E O USO DE CALCULADORA CIENTÍFICA E DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
0 KELEN PEREIRA LIMA DA SILVA UM ESTUDO SOBRE LOGARITMOS E O USO DE CALCULADORA CIENTÍFICA E DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Assis 2011 KELEN PEREIRA LIMA DA SILVA UM ESTUDO SOBRE LOGARITMOS E O USO DE CALCULADORA
Leia maisararibá matemática Quadro de conteúdos e objetivos Quadro de conteúdos e objetivos Unidade 1 Números inteiros adição e subtração
Unidade 1 Números inteiros adição e subtração 1. Números positivos e números negativos Reconhecer o uso de números negativos e positivos no dia a dia. 2. Conjunto dos números inteiros 3. Módulo ou valor
Leia maisPROGRESSÕES, LOGARITMOS E MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROGRESSÕES, LOGARITMOS E MATEMÁTICA FINANCEIRA Martha Salerno Monteiro Departamento de Matemática CAEM - IME-USP A primeira parte desta apostila contém um resumo do conteúdo da referência [1] que conta
Leia maisMATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo
I Ana Paula Figueiredo Números Reais IR O conjunto dos números Irracionais reunido com o conjunto dos números Racionais (Q), formam o conjunto dos números Reais (IR ). Assim, os principais conjuntos numéricos
Leia maisMAT A Matemática na Educação Básica
MAT54 - A Matemática na Educação Básica Departamento de Matemática IME-USP Sistema de Numeração dos Babilônios Mesopotâmia é o nome dado para a região entre os rios Tigre e Eufrates e que hoje corresponde
Leia maisConjuntos. Notações e Símbolos
Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas
Leia maisMatemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas
Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas 0. Softwares que podem ser úteis no estudo da disciplina: Geogebra gratuito, possui versões para windows e linux disponível em http://www.geogebra.org
Leia maisPLANO CURRICULAR DISCIPLINAR. MATEMÁTICA 7º Ano
PLANO CURRICULAR DISCIPLINAR MATEMÁTICA 7º Ano OBJETIVOS ESPECÍFICOS TÓPICOS SUBTÓPICOS METAS DE APRENDIZAGEM 1º Período - Multiplicar e dividir números inteiros. - Calcular o valor de potências em que
Leia maisESCOLA BÁSICA DE MAFRA 2016/2017 MATEMÁTICA (2º ciclo)
(2º ciclo) 5º ano Operações e Medida Tratamento de Dados Efetuar com números racionais não negativos. Resolver problemas de vários passos envolvendo com números racionais representados por frações, dízimas,
Leia maisà situação. à situação.
Unidade 1 Números naturais 1. Números naturais 2. Sistemas de numeração 3. Tabela simples Reconhecer os números naturais. Identificar o antecessor e o sucessor numa sequência de números naturais. Identificar
Leia maisIntrodução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :
Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo A solução pertence
Leia maisMatemática e suas tecnologias
Matemática e suas tecnologias Fascículo 1 Módulo 1 Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos Noção de conjuntos Conjuntos numéricos Módulo 2 Funções Definindo função Lei e domínio Gráficos de funções
Leia maisNotação e fórmula. O teorema do binômio de Newton se escreve como segue: são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
Introdução Em matemática, binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto
Leia maisSISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).
SISTEMA DECIMAL 1. Classificação dos números decimais O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para
Leia maisDISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série
DISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral.
Leia maisPalavras-chave: Logaritmo; Ensino da Matemática; Práticas Pedagógicas.
na Contemporaneidade: desafios e possibilidades REFLEXÃO DA PRÁTICA DE ENSINO DO LOGARITMO, NAS AULAS DE MATEMÁTICA DO ENSINO MEDIO, DO INSTITUTO FEDERAL DO ACRE. Francisca Iris Nunes da Silva Bezerra
Leia maisSistemas Numéricos - Aritmética. Conversão de Bases. Prof. Celso Candido ADS / REDES / ENGENHARIA
Conversão de Bases 1 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Desde os primórdios da civilização o homem adota formas e métodos específicos para representar números, para contar objetos e efetuar operações aritméticas.
Leia maisPrograma Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO
Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO Os conteúdos conceituais de Matemática estão distribuídos em 5 frentes. A) Equações do 1º e 2º graus; Estudo das funções; Polinômios; Números complexos; Equações algébricas.
Leia maisADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL 2018
ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL 018 ITEM 1 DA ADA Observe potência a seguir: ( ) O resultado dessa potenciação é igual a (A) 8 1. (B) 1 8. (C) 1 81 81 (D) 1 Dada uma potência
Leia maisSUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica
SUMÁRIO Unidade 1 Matemática Básica Capítulo 1 Aritmética Introdução... 12 Expressões numéricas... 12 Frações... 15 Múltiplos e divisores... 18 Potências... 21 Raízes... 22 Capítulo 2 Álgebra Introdução...
Leia maisHISTÓRIA DOS NÚMEROS
HISTÓRIA DOS NÚMEROS O número é um conceito fundamental em matemática que foi construído numa longa história. Existem evidências arqueológicas de que o homem, já há 50.000 anos, era capaz de contar. O
Leia maisEDITAL PROGRAMAS
EDITAL 2018 - PROGRAMAS 2º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ROSSI, Natércia et alii. Na ponta da língua, 1º ano. Rio de Janeiro: Ed. Access. Relações espaciais e temporais (em cima, embaixo, antes, depois etc.);
Leia maisFormação Continuada Nova Eja. Plano de Ação II INTRODUÇÃO
Nome: Armando dos Anjos Fernandes Formação Continuada Nova Eja Plano de Ação II Regional: Metro VI Tutor: Deivis de Oliveira Alves Este plano de ação contemplará as unidades 29 e 30. Unidade 29 I - Matrizes
Leia maisEDITAL PROGRAMAS
EDITAL 2017 - PROGRAMAS 2º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Testes de Língua Portuguesa e Matemática - Material: o candidato deverá trazer: lápis apontados, apontador, borracha e o Compreensão e interpretação
Leia maisCapítulo 1: Fração e Potenciação
1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.
Leia maisPlanificação Anual de Matemática 7º Ano
Temas transversais: Planificação Anual de Matemática 7º Ano Resolução de Problemas Resolver problemas usando números racionais, utilizando equações e funções em contextos matemáticos e não matemáticos,
Leia maisFLEXIBILIZAÇÃO CURRICULAR. Planificação Anual 7ºano Disciplina/Área disciplinar: MATEMÁTICA
FLEXIBILIZAÇÃO CURRICULAR Ano letivo 2018/2019 Planificação Anual 7ºano Disciplina/Área disciplinar: MATEMÁTICA Objetivos essenciais de aprendizagem, conhecimentos, capacidades e atitudes transversais
Leia maisCurso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas
Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas Disciplina: Calculo para Tecnologia (Equação de 1o e 2o graus, Porcentagem, razão e proporção. Regra de três, Logaritmo, Funções Trigométricas ) Prof. Wagner
Leia maisararibá matemática Quadro de conteúdos e objetivos Quadro de conteúdos e objetivos Unidade 1 Potências Unidade 2 Radiciação
Unidade 1 Potências 1. Recordando potências Calcular potências com expoente natural. Calcular potências com expoente inteiro negativo. Conhecer e aplicar em expressões as propriedades de potências com
Leia mais9º Ano do Ensino Fundamental II:
Conteúdos para III Simulado SDP/Outubro/2010 MATEMÁTICA 9º Ano do Ensino Fundamental II: CAPÍTULO I - NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA 1. Organizando os dados 2. Estudando gráficos 3. Estudando médias
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período
ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Números e
Leia maisAULA DEMONSTRATIVA RACIOCÍNIO LÓGICO. Professor Guilherme Neves. Aula 00 Aula Demonstrativa
AULA DEMONSTRATIVA RACIOCÍNIO LÓGICO Professor Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br Aula 00 Aula Demonstrativa www.pontodosconcursos.com.br Professor Guilherme Neves 1 Aula Demonstrativa Apresentação...
Leia maisFORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C.E.
FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C.E. Cardeal Arcoverde PROFESSORA: Janete Maria Jesus de Sá MATRÍCULA: 0825192-8 SÉRIE: 2ª série do Ensino Médio
Leia maisLinguagens matemáticas: sistemas de numeração
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DE ANGRA DOS REIS DISCIPLINA: LINGUAGEM MATEMÁTICA 2019.2 Linguagens matemáticas: sistemas de numeração Prof. Adriano Vargas Freitas A origem dos números...
Leia mais7º Ano. Planificação Matemática 2014/2015. Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano
7º Ano Planificação Matemática 2014/2015 Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais / Metas Números e Operações Números racionais - Simétrico da soma e da diferença
Leia maisFunções - Primeira Lista de Exercícios
Funções - Primeira Lista de Exercícios Vers~ao de 0/03/00 Recomendações Não é necessário o uso de teoremas ou resultados complicados nas resoluções. Basta que você tente desenvolver suas idéias. Faltando
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DO SARESP MATEMÁTICA 4ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL (EM FORMATO DE LISTA)
3.1.1. MATRIZ DE REFERÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DO SARESP MATEMÁTICA 4ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL (EM FORMATO DE LISTA) COMPETÊNCIA DE ÁREA 1 Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional,
Leia maisBinómio de Newton. De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o
Binómio de Newton Introdução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Se quisermos calcular,
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia maisFunção Logarítmica. Formação Continuada em Matemática. Matemática -2º ano do Ensino Médio Plano de trabalho - 1º Bimestre/2014
Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Função Logarítmica Matemática -2º ano do Ensino Médio Plano de trabalho - 1º Bimestre/2014 Tarefa 1 Cursista: Adriana Ramos da Cunha
Leia maisREVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
REVISÃO DE ÁLGEBRA 1ª. AULA CONJUNTOS BÁSICOS: Conjuntos dos números naturais: * + Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
Leia maisDessa forma pode-se transformar qualquer número em qualquer base para a base 10.
Sistemas de numeração e representação dos números Sistemas de Numeração e Somadores Binários I Base Numérica Um número em uma base qualquer pode ser representado da forma: N = An-1.B n-1 + An-2.B n-2 +...+
Leia maisDatas de Avaliações 2016
ROTEIRO DE ESTUDOS MATEMÁTICA (6ºB, 7ºA, 8ºA e 9ºA) SÉRIE 6º ANO B Conteúdo - Sucessor e Antecessor; - Representação de Conjuntos e as relações entre eles: pertinência e inclusão ( ). - Estudo da Geometria:
Leia maisREVISÃO DOS CONTEÚDOS
REVISÃO DOS CONTEÚDOS As quatro operações fundamentais As operações fundamentais da matemática são quatro: Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (* ou x ou.) e Divisão (: ou / ou ). Em linguagem comum,
Leia mais1.1. Numéricos. Conjuntos MATEMÁTICA. Conjunto dos Números Naturais (N) Conjunto dos Números Inteiros (Z)
CAPÍTULO 1 Capítulo 1 1.1 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais (N) Os números naturais são em geral associados à ideia de contagem, e o conjunto que os representa é indicado por N. N = {0,
Leia maisLOGARITMOS: se e somente se. Obs.: Temos que é a base do logaritmo, é o logaritmando e o logaritmo.
LOGARITMOS: Definição: Sejam números reais positivos com Chamase Logaritmo de na base o expoente ao qual se deve elevar a base de modo que a potência seja igual a, isto é: se e somente se Obs: Temos que
Leia maisPlanejamento Anual. Componente Curricular: Matemática Ano: 7º ano Ano Letivo: Professor(s): Eni e Patrícia
Planejamento Anual Componente Curricular: Matemática Ano: 7º ano Ano Letivo: 2016 Professor(s): Eni e Patrícia OBJETIVO GERAL Desenvolver e aprimorar estruturas cognitivas de interpretação, análise, síntese,
Leia maisREGRAS DE CÁLCULO COM NÚMEROS APROXIMADOS NÃO ACOMPANHADOS DE DESVIOS
REGRAS DE CÁLCULO COM NÚMEROS APROXIMADOS NÃO ACOMPANHADOS DE DESVIOS Com base no estudo com números acompanhados de desvio e lembrando a convenção já estabelecida de que um número, resultado de medida
Leia maisAULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES
MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS... 2 RETA NUMERADA... 2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS... 4 SUBCONJUNTOS DE Z... 5 NÚMEROS OPOSTOS... 5 VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO... 6 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS...
Leia maisProvas Seletivas 2018
Provas Seletivas 2018 Fundamental I Fundamental I 1 ano Escrita de numerais e quantificação; Ideia aditiva e subtrativa; Sequência Numérica. Escrita de palavra e frases a partir da visualização de imagem;
Leia maisCURSO: Licenciatura em Matemática TURMA: LM 2011/01_1ºSEM PROFESSOR: NÍCOLAS MORO MÜLLER PLANO DE ENSINO
CURSO: Licenciatura em Matemática TURMA: LM 2011/01_1ºSEM PROFESSOR: NÍCOLAS MORO MÜLLER PLANO DE ENSINO DISCIPLINA: 030152 Matemática Fundamental I DURAÇÃO: Semestral CARGA HORÁRIA TOTAL: 90 horas CARGA
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisPlanificação Anual Matemática 7º Ano
ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática 7º Ano Ano letivo 2018/2019 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 60 2º 60 3º 35 Total: 155 1º Período Total de
Leia maisFundamentos Tecnológicos
Fundamentos Tecnológicos Equações Algébricas e Equação de 1º Grau Início da aula 06 Equações Algébricas Expressões Algébricas - Definição Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam
Leia maisBRINCANDO COM LOGARITMOS: DO DESENVOLVIMENTO ÀS APLICAÇÕES
ISSN 2177-9139 BRINCANDO COM LOGARITMOS: DO DESENVOLVIMENTO ÀS APLICAÇÕES Sersana Sabedra de Oliveira sersana@hotmail.com Fundação Universidade Federal do Pampa, Campus Bagé, 96413-170 Bagé, RS, Brasil
Leia maisCircuitos Digitais. Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional
Circuitos Digitais Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional OBJETIVOS DA AULA : Relembrar os conceitos: - Sinais Analógicos e Digitais; - Sistemas de Numeração Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal;
Leia maisLOGARITMO. Log a = x 10 x = a
LOGARITMO - Introdução O pesquisador John Napier nasceu na Escócia (550 60). Ele, depois de 0 anos pesquisando logaritmo introduziu o seu conceito, que foi aperfeiçoado por Henry Briggs, pesquisador nascido
Leia maisSegue, abaixo, o Roteiro de Estudo para a Verificação Global 2 (VG2), que acontecerá no dia 03 de abril de º Olímpico Matemática I
6º Olímpico Matemática I Sistema de numeração romano. Situações problema com as seis operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Expressões numéricas
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia maisAno Letivo 2018/2019 TEMAS/DOMÍNIOS CONTEÚDOS APRENDIZAGENS ESSENCIAIS Nº DE AULAS AVALIAÇÃO
Matemática / 7º ano Página 1 de 5 Documentos Orientadores: PLANIFICAÇÃO ANUAL Programa, Metas de Aprendizagem, apoiado pelas novas Orientações de Gestão para o Ensino Básico S- DGE/2016/3351 DSDC e Aprendizagens
Leia maisMatemática Básica. Capítulo Conjuntos
Capítulo 1 Matemática Básica Neste capítulo, faremos uma breve revisão de alguns tópicos de Matemática Básica necessários nas disciplinas de cálculo diferencial e integral. Os tópicos revisados neste capítulo
Leia mais