AULA DEMONSTRATIVA RACIOCÍNIO LÓGICO. Professor Guilherme Neves. Aula 00 Aula Demonstrativa

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1 AULA DEMONSTRATIVA RACIOCÍNIO LÓGICO Professor Guilherme Neves Aula 00 Aula Demonstrativa Professor Guilherme Neves 1

2 Aula Demonstrativa Apresentação Sistemas de Numeração... 4 Bases... 4 Exercícios Propostos... 7 dos Exercícios Propostos Gabaritos Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Sejam bem vindos ao curso de Raciocínio Lógico para o concurso da ALERS. Toda a teoria será vista em detalhes no material em PDF e resolveremos também muitos exercícios. Ademais, teremos vídeos complementares para que você possa aprofundar os seus conhecimentos. Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística há mais de 10 anos. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). Professor Guilherme Neves 2

3 No nosso curso, além de ter acesso à teoria completa e muitos exercícios resolvidos, você poderá tirar as suas dúvidas no nosso fórum. Nesta aula, que é demonstrativa, estudaremos os sistemas de numeração. Esta aula, por ser demonstrativa, será bem mais curta que as posteriores. Nossas aulas terão uma média de 60 páginas. Professor Guilherme Neves 3

4 1. Sistemas de Numeração É provável que a maneira mais antiga de contar se baseasse em algum método de registro simples, utilizando o princípio da correspondência biunívoca. Para uma contagem de cavalos, por exemplo, podia-se separar uma pequena pedra para cada animal. O processo de contagem teve de ser sistematizado quando se tornou necessário realizar contagens mais extensas. Isso foi feito dispondo os números em grupos básicos, sendo a ordem de grandeza desses grupos determinada em grande parte pelo processo de correspondência empregado. Os dedos do homem já constituíam um dispositivo de correspondência adequado. Não é de estranhar que o 10 fosse escolhido com frequência para ser a base de contagem. Bases Nosso sistema de numeração é decimal posicional. Decimal significa que para escrever todos os números bastam 10 algarismos. Dez unidades simples constituem uma dezena, dez dezenas uma centena e assim por diante. Posicional significa que os números os números são escritos na forma de sequências finitas dos dez algarismos e que o valor de um algarismo na sequência depende de sua posição. Assim, em 453, o valor de 3 é efetivamente 3 unidades, o de 5 é 50 e o de 4 é 400. Em suma, nosso próprio sistema de numeração (base dez ou decimal) é um exemplo de um sistema de numeração posicional. Neste sistema, depois de escolher uma base b (por exemplo, 10), adotam-se b símbolos básicos. No nosso caso, do sistema decimal, adotamos os símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. No sistema binário, ou seja, de base 2, há apenas dois símbolos: 0,1. No sistema de base 5, há cinco símbolos utilizados: 0,1,2,3,4. Novamente, o que significa 324 no nosso sistema decimal? Professor Guilherme Neves 4

5 Significa ou, equivalentemente, 324 = = Vejamos outro exemplo ainda na base 10. O número significa Ou seja, = Em suma, qualquer número na base 10 é uma soma de forma que cada parcela é igual ao dígito da posição vezes uma potência de dez. E qual o expoente da base 10? Justamente a posição, de forma que o algarismo das unidades tem posição 0, o algarismo das dezenas tem posição 1, o algarismo das centenas tem posição 2 e assim sucessivamente. 4231= E esse fato será verdadeiro em qualquer base de numeração, mudando portanto apenas a base das potências convenientemente. Por exemplo, o número 324 (3) (o índice (3) significa que o número está representado na base 3) será escrito da seguinte forma no sistema decimal: 221 (3) = (3) = = 25. O número 221 na base 3 é igual a 25 no sistema decimal. Observe que no sistema de base 3, apenas utilizamos 3 algarismos 0,1,2. No sistema de base 4, apenas utilizamos 4 algarismos 0,1,2,3. No sistema de base 10, utilizamos 10 algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a base 3, devemos efetuar sucessivas divisões por 3, de acordo com o seguinte algoritmo Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Ou seja, 25 (10) = 221 (3). Os números na base 10 não necessitam de índice, por convenção. Ou seja, 25 (10) = Professor Guilherme Neves 5

6 01. (MEC 2008/FGV) No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos nessa base como mostrado: De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser representado na base cinco, corresponderá a: (A) 111 (B) 1011 (C) 1101 (D) 1110 (E) 1111 Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a base 5, devemos efetuar sucessivas divisões por 5, de acordo com o seguinte algoritmo Professor Guilherme Neves 6

7 Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Desta forma, 151 (10) = 1101 (5) Letra C 02. (AFRE-PB 2006 FCC) O sistema básico de registro de informações em um computador é o binário. Sendo assim, o número binário corresponde ao decimal (A) 301. (B)) 221. (C) 201. (D) 121. (E) 91. O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e (2) = (2) = (2) = = 221. Letra B Exercícios Propostos 01. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, Qual é o número que corresponde ao binário ? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) (TTN 1997/ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente Professor Guilherme Neves 7

8 de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 2 3 ) + (0 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) (TCE-RO 2007/CESGRANRIO) No sistema binário de numeração, só se utilizam os algarismos 0 e 1. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos na base binária como mostrado: De acordo com esse padrão lógico, o número 15 na base decimal, ao ser representado na base binária, corresponderá a: (A) 1000 (B) 1010 (C) 1100 (D) 1111 (E) (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considere a sequência de figuras apresentada a seguir. Essa sequência de figuras segue o padrão lógico de um sistema de numeração. De acordo com esse padrão, a próxima figura será Professor Guilherme Neves 8

9 05. (TCE-SP 2008/FCC) O número , do sistema binário de numeração, no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que (A) 0<x<26 (B) 25<x<51 (C) 50<x<75 (D) 74<x<100 (E) x> (TRT 4ª Região 2011/FCC) No Brasil, o sistema monetário adotado é o decimal. Por exemplo: 205,42 reais = ( ) reais Suponha que em certo país, em que a moeda vigente é o mumu, o sistema monetário seja binário. O exemplo seguinte mostra como converter certa quantia, dada em mumus, para reais: 110,01 mumus = ( ) reais = = 6,25 reais Com base nessas informações, se um brasileiro em viagem a esse país quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia que ele receberá, em mumus, é: a) ,11 b) ,1 c) ,11 d) ,1. e) , (TRF 4ª Região 2010/FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = a n.10 n + a n-1.10 n-1 + a n-2.10 n a a a , em que 0 a i < 10, para todo 0 i n. Nesse sistema, por exemplo, = Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o delta. Após ter gasto deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) Professor Guilherme Neves 9

10 (D) 143. (E) (CBM-AC 2012/FUNCAB) Determine o número que se obtém ao se escrever o número 3 no sistema de numeração de base 2. a) (111) 2 b) (101) 2 c) (10) 2 d) (01) 2 e) (11) (Pref. de Anápolis 2015/FUNCAB) A alternativa que expressa o número 151 do sistema decimal, escrito no sistema de numeração de base 2 é: a) ( ) 2 b) ( ) 2 c) ( ) 2 d) ( ) 2 e) ( ) (Pref. de São Luís Prof. de Matemática 2017/CESPE-UnB) O sistema de numeração babilônico é conhecido por ser um sistema de números na base 60. Considerando-se o sistema de numeração de base 10, mais comumente usado, pode parecer estranho que eles utilizassem um sistema com uma base tão grande. No entanto, o sistema babilônico de numeração é ainda utilizado no cotidiano para a medida de tempo e ângulos. Um exemplo de notação moderna para um número de base 60, ou sexagesimal, é A,B,C;D,E,F. Nesse exemplo, as vírgulas separam as posições sexagesimais e o ponto e vírgula separa a parte inteira do número de sua parte fracionária. Assim, a relação entre A,B,C;D,E,F, na forma babilônica, e na forma decimal é: A, B, C; D, E, F = A 60! + B 60! + C 60! + D 60! + E 60! + F 60! Nesse sentido, o número sexagesimal 12,7;15,36 corresponde, na forma decimal, ao número A) 728,86. B) 1.288,60. C) 727,26. D) 128,86. E) ,60. Professor Guilherme Neves 10

11 11. (Pref. de Cascavel 2016/CONSULPLAN) Os computadores são sistemas digitais, significando que eles trabalham com números binários, ou seja, os computadores só armazenam e manipulam dois tipos de algarismos somente, que são o 0 e o 1, também conhecidos como bits. Todas as instruções que são executadas pelo computador estão em binário, o que quer dizer que tudo o que é digitado no teclado, quando o computador for processar essas informações, ele somente entenderá 0 e 1. O sistema de numeração que normalmente usamos é o decimal, ou seja, a base é 10 (vai de 0 a 9), já o sistema binário utiliza base 2, ou seja, vai de 0 a 1 somente. Assinale a alternativa correta que apresenta o respectivo correspondente, em binário, do numeral 23. a) b) c) d) e) Professor Guilherme Neves 11

12 dos Exercícios Propostos 01. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, Qual é o número que corresponde ao binário ? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62 O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e (2) = = = 59. Gabarito: A 02. (TTN 1997/ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 2 3 ) + (0 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16 Número Binário = 1011 Número Decimal = = = 11 Professor Guilherme Neves 12

13 Número Binário = 101 Número Decimal = = = 5 Gabarito: E Resposta: = (TCE-RO 2007/CESGRANRIO) No sistema binário de numeração, só se utilizam os algarismos 0 e 1. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos na base binária como mostrado: De acordo com esse padrão lógico, o número 15 na base decimal, ao ser representado na base binária, corresponderá a: (A) 1000 (B) 1010 (C) 1100 (D) 1111 (E) Para transformar o número 15 da base 10 para a base 2, devemos efetuar sucessivas divisões por 2, de acordo com o seguinte algoritmo Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Desta forma, 15 (10) = 1111 (2) Gabarito: D Professor Guilherme Neves 13

14 04. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considere a sequência de figuras apresentada a seguir. Essa sequência de figuras segue o padrão lógico de um sistema de numeração. De acordo com esse padrão, a próxima figura será O padrão lógico segue o sistema de numeração de base 3. Como assim? As figuras funcionam como um ábaco, aquele instrumento que as crianças utilizam para aprender a contar. Como o nosso sistema de numeração é o de base 10, este ábaco possui em cada linha 10 peças. E como funciona este ábaco? Uma peça vermelha vale 10 peças azuis. Uma peça amarela vale 10 peças vermelhas. Uma peça verde vale 10 peças amarelas. E finalmente, 1 peça azul clara, vale 10 peças verdes. O ábaco utilizado na questão possui 3 peças em cada linha. Isto significa que uma peça da linha do meio vale 3 peças da linha inferior. Uma peça da linha superior vale 3 peças da linha intermediária. Resumindo: cada peça na linha inferior vale 1, cada peça na linha intermediária vale 3 e cada peça na linha superior vale 9. Professor Guilherme Neves 14

15 Zero Um Dois Poderíamos agora colocar 3 peças na linha inferior. Mas como uma peça da linha do meio vale por 3 peças da linha inferior, a próxima figura é a seguinte. Três 3+1= =5 3+3= = =8 O próximo número a ser representado é o número 9. Como cada peça na linha superior vale 9, colocaremos apenas uma peça na linha superior. Gabarito: C 05. (TCE-SP 2008/FCC) O número , do sistema binário de numeração, no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que (A) 0<x<26 (B) 25<x<51 Professor Guilherme Neves 15

16 (C) 50<x<75 (D) 74<x<100 (E) x>99 Número Binário = Número Decimal = = = 75 Gabarito: D 06. (TRT 4ª Região 2011/FCC) No Brasil, o sistema monetário adotado é o decimal. Por exemplo: 205,42 reais = ( ) reais Suponha que em certo país, em que a moeda vigente é o mumu, o sistema monetário seja binário. O exemplo seguinte mostra como converter certa quantia, dada em mumus, para reais: 110,01 mumus = ( ) reais = = 6,25 reais Com base nessas informações, se um brasileiro em viagem a esse país quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia que ele receberá, em mumus, é: a) ,11 b) ,1 c) ,11 d) ,1. e) ,11 Queremos transformar o número 385,5 (10) para a base 2, ou seja, queremos escrever o número 385,5 em uma soma de potências de 2. Vamos começar transformando a parte inteira. Para tanto, vamos efetuar sucessivas divisões por 2. Professor Guilherme Neves 16

17 Raciocínio Lógico para ALERS 𝟏 𝟎 2 12 𝟎 2 6 𝟎 Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Assim, 385(10) = (2). Com isso já poderíamos marcar a alternativa B. Vamos à casa decimal: 0,5 = 1/2 = 1 2!!. Desta maneira, temos uma casa decimal na representação binária. 385,5(10) = ,1(2). Gabarito: B 07. (TRF 4ª Região 2010/FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2.10n a a a0.100, em que 0 ai < 10, para todo 0 i n. Nesse sistema, por exemplo, = Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o delta. Após ter gasto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) Professor Guilherme Neves 17

18 (D) 143. (E) 134. Benivaldo gastou 2014 (6) deltas. Vamos calcular quanto ele gastou em reais (6) deltas = = = 442 reais. Como ele possuía R$ 500,00, então ele receberá de troco R$ 58,00. Vamos agora converter este número para deltas, ou seja, para o sistema de base 6. Para transformar o número 58 da base 10 para a base 6, devemos efetuar sucessivas divisões por 6, de acordo com o seguinte algoritmo Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Assim, Benivaldo receberá 134 deltas de troco. Gabarito: E 08. (CBM-AC 2012/FUNCAB) Determine o número que se obtém ao se escrever o número 3 no sistema de numeração de base 2. a) (111) 2 b) (101) 2 c) (10) 2 d) (01) 2 e) (11) Professor Guilherme Neves 18

19 Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Desta forma, 3 (10) = 11 (2) Gabarito: E 09. (Pref. de Anápolis 2015/FUNCAB) A alternativa que expressa o número 151 do sistema decimal, escrito no sistema de numeração de base 2 é: a) ( ) 2 b) ( ) 2 c) ( ) 2 d) ( ) 2 e) ( ) 2 Para transformar o número 151 da base 10 para a base 2, devemos efetuar sucessivas divisões por 2, de acordo com o seguinte algoritmo Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Assim, (151) 10 = ( ) 2. Gabarito: A 10. (Pref. de São Luís Prof. de Matemática 2017/CESPE-UnB) O sistema de numeração babilônico é conhecido por ser um sistema de números na base 60. Considerando-se o sistema de numeração de base 10, mais comumente usado, pode parecer estranho que eles utilizassem um sistema com uma base tão grande. No entanto, o sistema babilônico de numeração é ainda utilizado no cotidiano para a medida de tempo e ângulos. Um exemplo de notação moderna Professor Guilherme Neves 19

20 para um número de base 60, ou sexagesimal, é A,B,C;D,E,F. Nesse exemplo, as vírgulas separam as posições sexagesimais e o ponto e vírgula separa a parte inteira do número de sua parte fracionária. Assim, a relação entre A,B,C;D,E,F, na forma babilônica, e na forma decimal é: A, B, C; D, E, F = A 60! + B 60! + C 60! + D 60! + E 60! + F 60! Nesse sentido, o número sexagesimal 12,7;15,36 corresponde, na forma decimal, ao número A) 728,86. B) 1.288,60. C) 727,26. D) 128,86. E) ,60. De acordo com a regra definida no enunciado, basta multiplicar os números à esquerda do ponto e vírgula pelas sucessivas potências de 60 e dividir os números à direita do ponto e vírgula pelas sucessivas potências de 60. Em seguida, devemos somar os resultados. Assim, Gabarito: C 12,7; 15,36 = 12 60! ! ! ! = = = ,25 + 0,01 = 727, (Pref. de Cascavel 2016/CONSULPLAN) Os computadores são sistemas digitais, significando que eles trabalham com números binários, ou seja, os computadores só armazenam e manipulam dois tipos de algarismos somente, que são o 0 e o 1, também conhecidos como bits. Todas as instruções que são executadas pelo computador estão em binário, o que quer dizer que tudo o que é digitado no teclado, quando o computador for processar essas informações, ele somente entenderá 0 e 1. O sistema de numeração que normalmente usamos é o decimal, ou seja, a base é 10 (vai de 0 a 9), já o sistema binário utiliza base 2, ou seja, vai de 0 a 1 somente. Assinale a alternativa correta que apresenta o respectivo correspondente, em binário, do numeral 23. a) Professor Guilherme Neves 20

21 b) c) d) e) Para transformar da base 10 para a base 2, vamos efetuar sucessivas divisões por Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Portanto, 23!" = 10111!. Gabarito: A Professor Guilherme Neves 21

22 Gabaritos 01. A 02. E 03. D 04. C 05. D 06. B 07. E 08. E 09. A 10. C 11. A Professor Guilherme Neves 22