( ) ( ) 3 a Lista de Exercícios MAT CÁLCULO I. d x. d t. x d x

Transcrição

1 a Lista de Eercícios MAT 0 - CÁLCULO I ) Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine as seguintes integrais definidas: ) I = 7 0 d ) I = d ) I = ) I = d t t + d ( 8 ) ( ) 5) I = d 6) I = d ( ) 7) I = t dt 8) I = d 9) I = d ) Encontre a área das regiões abaio. Trace a região do plano y: a)a região limitada por y = 0, y =, = e = 6. b) A região entre y = e y + = 0. c) A região entre y = - e y = -. d) A região entre y =, y = - e y = 0. e) A região entre + y = -, 7 y = 7 e y = - f) A região entre y = sen(), y = cos(), [0, π ]. ) Esboço de gráfico de f(), sabendo-se que: a), f(0) =0 (b) Pontos críticos: {-, } (c) Crescente [-, ] decrescente(-,-] [,+ ) (d) Máimo: (,); Mínimo (-,-) (e) côncava para cima [-,0] [,+ ) côncava para baio (-,-] [0,] (f) pontos de infleão: (,), (0,0), (-,-) (g) assíntota horizontal y = 0 c), f(0) =0 (b) Ponto crítico: {} (c) Crescente: (-,], decrescente [, + ) (d) Máimo: (, ) (e) côncava para cima: [,+ ) côncava para baio: (-, ] (f) ponto de infleão: (, ½) (g) assíntotas horizontal em y = 0 b) - {-,}, f(0) =0 (b) Ponto crítico: {0},0 ; decrescente[ 0, + ) (c) Crescente ( ] (d) Máimo (0,0) (e) côncava para cima (, ) (, + ) côncava para baio (-,) (f) não tem pontos de infleão (g) assíntotas verticais = e = - (h) lim f ( ) = ± d) - {-,}, f(0) =0 (b) Pontos críticos: {-, 0, } (c) Crescente (-,-] [,+ ) decrescente [-, ] (d) Máimo: (-, -); Mínimo (, ) (e) côncava para cima (-,0] (,+ ) côncava para baio (-,-) [0,) (f) ponto de infleão: (0, 0) (g) assíntotas verticais = - e =

2 ) Dado o gráfico da derivada de f() e sabendo-se que: f(0) = 0, f() = 5, f(-) = -6, f() = -6, f(-½) = -. f()= 0 e que os etremos de f () ocorrem em = -½ e em =, determine: a) pontos críticos de f; b) os intervalos de crescimento e decrescimento; c) os intervalos onde a f é côncava para cima e os intervalos onde a f é côncava para baio; d) o gráfico de f(). 5) O gráfico de uma função y = f() tem as seguintes características: D(f) = - {}, f(0) = 0, f() = lim + f ( ) = e lim f ( ) = - ; lim f ( ) = e lim f ( ) = Os gráficos das funções f () e de f () são dados abaio: f () f () Determine: (a) intervalos onde f é crescente e os etremos relativos de f, se eistirem. (b) intervalo onde f é côncava para cima e pontos de infleão, se eistirem. (c) as assíntotas horizontal e vertical, se eistirem. (d) o gráfico de f 6) Para cada uma das funções abaio determine: (a) O domínio de f e a interseção do gráfico de f com os eios coordenados, se eistirem. (b) Os pontos críticos de f. (c) O(s) intervalo(s) em que f é crescente e o(s) intervalo(s) em que f é decrescente. (d) Os etremos relativos de f, se eistirem. (e) O(s) intervalo(s) em que f é côncava para cima e o(s) intervalo(s) em que f é côncava para baio. (f) Os pontos de infleão do gráfico de f, se eistirem. (g) As assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f, se eistirem. (h) Faça o esboço do gráfico de f. A f ( ) = A A A f ( ) = + f ( ) = f ( ) = A5 f ( ) = e A6 f ( ) =

3 7) Determine os etremos absolutos das funções abaio, nos intervalos dados: 6 a) f ( ) = 5 6 ; [-,] c) f ( ) =, [-, ]. b) f ( ) = - ; [-,8] d) f ( ) =, [-, ]. 8) Resolva os seguintes problemas de otimização: a) (Campo cercado) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se eige cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa R$,00 por metro para os etremos e R$,00 por metro para o lado paralelo ao rio, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de R$80,00. b) (Lanchonete) No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se eistem lugares para 0 a 80 pessoas, o lucro semanal será de R$70,00 por lugar. Contudo, se a capacidade de assentos está acima de 80 lugares, o lucro semanal em cada lugar será reduzido em 50 centavos pelo número de lugares ecedentes. Qual deverá ser a capacidade de assentos para se obter o maior lucro semanal? c) (Companhia telefônica) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6km, rio abaio, de B. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por km de cabo é 5% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia? d) (Lata cilíndrica) Se uma lata fechada de estanho, de volume específico, deve ter a forma de um cilindro circular reto, encontre o quociente da altura pelo raio da base se em sua fabricação será usada a menor quantidade de material possível. e) (Mulher na ilha) Uma ilha está situada no ponto A, 8km de distância da praia medidos a partir do ponto B mais próimo num trecho reto de litoral. Uma mulher na ilha deseja ir ao ponto C, 9km praia abaio a contar do ponto B. A mulher pode alugar um barco por R$,00 o quilômetro e viajar por mar até um ponto P situado entre B e C, e daí tomar um tái a R$0,60 o quilômetro e viajar por uma estrada retilínea de P a C. Calcule a rota menos dispendiosa do ponto A ao ponto C. f) (Chalé) Um chalé tem a forma de um triângulo isósceles de m de altura e 9m de base. A iluminação na parede dos fundos é feita através de uma única janela retangular que vai até o chão. Ache as dimensões para que a área da janela seja a maior possível. g) (Canteiro) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 60m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máima? h) (Jardim retangular) Uma pessoa deseja construir e cercar um jardim retangular com 00m. Ela necessita saber a largura do terreno de tal forma que a quantidade de material para cercá-lo seja mínimo. i) (Retângulo) De todos os retângulos com área 0000 m, qual é o que tem menor perímetro? j) (Lata cilíndrica) De todas as latas cilíndricas de volume 00 m, qual a que pode ser fabricada com menor quantidade de material?

4 ) ) /5 ) 7/ ) ) ) 0 5) 5 6) 0/9 Gabarito 7) 85/ 8) 9) 8/ Gráfico Área Gráfico Área a) 6 d) b) 9 e) 6 c) 8 f) ) a) b) c) d)

5 ) 5) Considere f(0) = f() = 0 e f(-½) = - e que os etremos de f () ocorrem em =-½ e =. (a) Pontos críticos: {-,, } [,], + (b) Crescente: [ ) decrescente (, ] [,] (c) côncava para cima:, [, ) côncava para baio: (a) crescente: [, + ) mínimo (, ) [, ] (b) côncava para cima: (,0] (, ) pontos de infleão: (0, 0) (c) assíntota horizontal em y = 0. (d) 6) (b) Pontos críticos: {0, },0, + (c) Crescente ( ] [ ) decrescente (0,) (d) Máimo: (0,0); Mínimo: (,-) (e) côncava para cima [,+ ) côncava para baio (-,] (f) pontos de infleão: (,-). (g) não eistem assíntotas (b) Pontos críticos: {-, } (c) Crescente [-, ] decrescente(-,] [,+ ) (d) Máimo (,/) e Mínimo (-,-/) (e) côncava para cima [,0] [,+ ) côncava para baio (-, ] [0, ] (f) pontos de infleão: (g) assíntota horizontal y = 0,, (0,0), - {-,} (b) Pontos críticos: não tem (c) decrescente R - {-,} (d) Não eistem etremos relativos (e) côncava para cima (-,0] (,+ ) côncava para baio (-,-) [0,) (f) pontos de infleão: (0, 0) (g) assíntota horizontal y = 0 assíntotas verticais = e = -,

6 (a) D(f) = R, (b) Pontos críticos: {-, 0, } (c) Crescente (-,-] [,+ ) decrescente [-, ] (d) Máimo (-, -½), Mínimo (, ½ ) (e) côncava para cima (, 0] (,+ ) 5 6 côncava para baio (-, ) [0, (f) ponto de infleão: (0, 0) (g) assíntotas verticais (b) Ponto crítico: {} (c) Crescente: (-,] decrescente [, + ) (d) Máimo: (, e ) = e (e) côncava para cima: [,+ ) côncava para baio: (-, ] (f) ponto de infleão: (, e ) (g) assíntotas horizontal em y = 0 (b) Ponto crítico: {} (c) Crescente R (d) não tem etremos relativos (e) côncava para cima (-,] côncava para baio [,+ ) (f) pontos de infleão (,0) (g) não eistem assíntotas = ) 7) a) mínimos: (-, -) e (., -) b) mínimo: (8, -) c) mínimo (, -) d) mínimo (-, -) máimos: (-, 5) e (0, 5) máimo: (0, ) máimo (. 8) máimo (-, 9/) 8) a) O lado paralelo ao rio deve ser de 80m e os outros dois de 60m. b) 0 assentos c) O fio deve passar 5 km pela água e km pela terra. d) h = r =diâmetro e) Ir 0 km de barco e km de tái. f) 6 e,5 metros g) r = 0m, A = 900m h) largura de 0m i) Quadrado de lado 00m j) Cilindro de raio 00 /π m e altura m.