Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período

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1 Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Vamos falar um pouco de interseção, união e soma de subespaços. Consideremos como exemplo dois vetores linearmente independentes entre si que passam na origem, e analisaremos suas relações. 2) Interseção: A interseção de vetores linearmente independentes entre si é a origem, ou seja, o vetor nulo {0}, que é um subespaço vetorial. Soma: A soma de dois vetores gera outro vetor, e as combinações lineares entre dois vetores geram um plano, ambos passando na origem. Tanto o vetor formado, quanto o plano são subespaços vetoriais. União: Já a união é o conjunto de todos os pontos pertencentes aos dois vetores, sendo assim uma figura formada pelos dois vetores (o formato de um V ou um L dependendo do ângulo entre os vetores), o que não é nem um vetor, nem plano, nem espaço vazio. Isso não é um subespaço vetorial, pois não respeitam as regras de linearidade, como soma e multiplicação por escalar. A não ser que os vetores sejam linearmente dependentes entre si (um em cima do outro) e a união seria o maior dos vetores. Logo, a I está Falsa e a II Verdadeira. Questões desse jeito sempre caem nas P1s e a sua solução é maceteada: Vamos escalonar a matriz e depois resolver o sistema. Temos a seguinte matriz:

2 Agora é só resolver o sistema. :P 3) Vamos analisar as alternativas: (I) Temos como t um número qualquer, um escalar. Uma das propriedades de um subespaço vetorial é que ele,quando contido num espaço, multiplicado por um escalar permanece contido nesse mesmo espaço. Verdade. (II) Talvez a confusão dessa alternativa seja a palavra ou. x+2y= 0 e x-2y=0 são duas retas que estão no,porém a palavra ou nos dá a ideia de união, e a união entre essas duas retas, como vimos na questão 1, não são subespaço vetoriais. Nesse caso a união desses dois vetores vai formar um X. Mentira!!! 4) Vamos só realizar as operações que ele pediu: Determinando, temos:

3 O elemento da 2ª linha e 2ª coluna é o número 9. 5) Vamos lá! Escrever como combinação linear é fazer Logo: Como ele quer o segundo coeficiente, ele nos solicita b. b=-2 6) Novamente, fazendo a combinação linear, temos: Substituindo em uma das equações, temos: Logo, só temos uma única solução que é (a,b)=(1,-2). 7) Se na hora da prova não soubesse bastava testar as alternativas e tudo certo. Mas há um jeito mais fácil de fazer. Primeiro vamos notar qual foi operação que ele fez:

4 De uma matriz pra outra, ele somou na terceira linha 3 vezes a primeira. Para fazer essa matriz que multiplica, pegamos a matriz identidade e realizamos algumas alterações respondendo três perguntas: Qual a linha que sofrerá a mudança? Neste caso foi a 3ª linha. Logo, iremos alterar a identidade na 3ª linha também, mas não sabemos a coluna. Qual foi a linha que foi somada a linha que foi alterada? Neste caso foi a 1ª linha. Logo, iremos alterar a identidade na 1ª coluna. Que valor estava multiplicando a linha que foi somada a outra? O número 3. Daí, colocamos o número 3 na 3ª linha e 1ª coluna. É meio que um algoritmozinho que não é difícil de demonstrar. A resposta correta é a que contém a matriz: 8) Temos matrizes 1x4,3x1 e 2x3. Sabemos que para que duas matrizes possam ser multiplicadas o número de colunas da matriz da esquerda deve ser igual ao de linhas da direita, logo, a única combinação possível é a matriz 2x3 seguida pela 3x1 e pela 1x4, resultando em uma matriz 2x4. Logo, a gente vai encontrar: 9) gera W, e é base de V. Isso são meio que sinônimos e descrevem a mesma coisa. Isso diz que W e V são os mesmos espaços. Logo, todo vetor de V é vetor de W. 10) Temos as seguintes matrizes aumentadas:

5 Das afirmativas: (I) Para A ter solução trivial a matriz deve ser linearmente independente. Se ele generaliza, por que não jogar valores que tornem a matriz A LI? Supondo que a matriz A é a identidade, temos: Logo, B será: Notemos que A tem apenas a solução trivial (x=y=z=0) Resolvendo o sistema teríamos: O que é impossível!! Logo, o sistema B não teria solução. Verdadeiro. (II) Para a matriz B ter solução, ela deve ser linearmente dependente, vamos supor um exemplo em que isso dê certo. Resolvendo esse sistema, teremos a afirmativa. Logo, A será:, que é solução,como nos pede Essa matriz terá infinitas soluções. Cuidado com o português da questão ( se ele tem infinitas soluções, ele tem uma e mais do que isso, se ele tivesse dito somente uma a afirmativa estaria errada, mas nesse caso não)!! Verdadeiro. 11) (I) (II) Pelo conceito de dependência linear, um conjunto é linearmente dependente quando pelo menos um conjunto é linearmente dependente. Falso. Pelo conceito de dependência linear, um conjunto é linearmente independente quando todos seus conjuntos são linearmente independentes entre si. Verdadeiro.

6 12) Para resolver esta questão basta ver se os vetores das alternativas são alguma combinação linear das linhas de. Temos que o vetor (0,2,1,3) está na 2ª linha, logo ele pertence a imagem de A. Já o vetor (-3,5,1,0) é igual a 3ª linha multiplicada por 3 e subtraída de 2 vezes a 2ª linha, logo ela também pertence a imagem de A. Também tem o vetor (2,-4,-1,-1) que é igual à 1ª linha subtraída da 3ª linha. Logo ele também pertence a imagem de A. O único vetor que não é combinação linear de nada aqui é (-2,4,6,6), logo ele não pertencem a imagem de A. 13) Transformando o sistema para forma matricial, temos: Para a matriz ter mais de uma solução,sua matriz aumentada deve ter uma linha de zeros. Nesse caso, fazendo L2+L1, temos: Para a 2ª linha ser zero, temos que 14) Vamos ter a matriz 3x3 formada pelos vetores em colunas. O enunciado nos diz que a soma de duas componentes será sempre zero, logo:

7 Fazendo a operação linear vamos ter: Como teremos uma linha de zeros, a dimensão será 3-1=2 15) Resolvendo o sistema, teremos: E um conjunto solução seria: Daqui vemos que o x depende das variáveis t e u, o y depende apenas de t e o z depende apenas da variável u. Vamos testar as alternativas e ver quais funcionam. Ao testar as alternativas, vemos que apenas a e b, quando substituídas por (x,y,z) satisfazem a relação dada na equação. Como assim? Testando a letra A, temos: Substituindo na equação dada,temos: Ou seja, essa é uma solução. Mas também percebemos que a letra b também da certa! Vixe! E agora? Unidunitê?Pula pra outra? Marca não sei?. Que nada, haha! Lembra que lá no inicio a gente viu que y depende apenas de t e z depende apenas de u? Então nossa solução deverá conter essas restrições. Dessa forma, apenas a alternativa A está correta!! Bons Estudos!! Dúvidas? Acesse o Solucionador na página ou mande para contato@engenhariafacil.net.