ESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

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1 ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

2 INTRODUÇÃO Sabe-se que o conjunto 2 ( x, y) / x, y é interpretado geometricamente como o plano cartesiano. O par ordenado (x,y) pode ser um ponto ou um vetor. Esta ideia se estende ao espaço tridimensional que é a 3 interpretação geométrica do conjunto. Embora se perca a visão geométrica, é possível estender essa ideia a 4 5 n espaços,....

3 4 5 (x,x,x,x ) (x,x,x,x,x ) n ( x, x,..., x ) / x 1 2 A maneira de trabalhar nesses espaços é idêntica àquela 2 3 vista no e. Por exemplo se: n u (x,x,...,x ) e v(y,y,...,y ) são vetores no e α um escalar, define-se: a)igualdade de vetores b)adição de vetores c)multiplicação de escalar d)produto escalar n i 1 2 n 1 2 n u=v x y, x =y,..,x =y n n u+v=(x1 y 1, x 2+y 2,...,x n +y n) u=( x 1, x 2,..., x n) u.v=x1y 1+ x2y x nyn

4 e)módulo u = x x +...+x n u = x x : x 1 2 n notação matricial 9.1 ESPAÇO VETORIAL Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é: u, vv, u v V, u V, u V O conjunto V com essas duas operações é chamado de espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) se forem verificados os seguintes axiomas:

5 A) Em relação à adição: A1) u v w u v w, u, v, wv A2) u v v u, u, vv A3) 0 V, uv, u 0 u A4) u V, uv, u u 0 B)Em relação à multiplicação por escalar: M1) u u M2) u u u M3) u v u v M4) 1u u para u, vv e,

6 OBSERVAÇÕES: 1)Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independente de sua natureza. Pode parecer estranho, o fato de se chamar de vetores os polinômios, (quando V for constituído de polinômios), as matrizes (quando V for constituído de matrizes), os números (quando V for constituído for um conjunto numérico), e assim por diante. Podemos fazer isso, pois esses elementos de natureza tão distinta se comportam de forma idêntica nas operações de adição e multiplicação de escalar, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do R 2 e R 3. P a +a x a x +...a x ;a 2 n n n i M ( m, n) 2) Se tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo.

7 9.2 SUBESPAÇO VETORIAL Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por um escalar definidas em V. Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V, deveríamos testar os 8 axiomas de espaço vetorial relativos à adição e multiplicação, mas como S é parte de V, não há necessidade. Um subconjunto S então é um subespaço vetorial se estiverem satisfeitas as condições: I) u, v S, u v S II) u S e, u S

8 Observação: Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaço: o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V, que são chamados de subespaços triviais de V. Os demais são chamados de subespaços próprios de V. Por exemplo, os subespaços triviais do V=R 3 são {0,0,0} e o próprio R 3. Os subespaços próprios do R 3 são retas e planos que passam pela origem. Para o V=R 2, os subespaços triviais são {0,0} e R 2. Os subespaços próprios do R 2 são retas que passam pela origem.

9 Exemplos: 1) V=R 2 S={(x,y) R 2 /y=2x} 2) V=R 2 S={(x,y) R 2 /y=4-2x}

10 9.3 COMBINAÇÃO LINEAR Sejam os vetores v 1, v 2,..., v n do espaço vetorial V e os escalares a 1, a 2,..., a n. Qualquer vetor v V da forma: v a1v1 a 2v2... a nvn é uma combinação linear dos vetores v 1, v 2,...,v n. Exemplo: No espaço vetorial R 3, o vetor v=(-7,-15,22) é uma combinação linear dos vetores v 1 =(2,-3,4 ) e v 2 =(5,1,-2 ) porque: pois: v 4v 3v 1 2 ( 7, 15, 22) 4(2, 3, 4) 3(5,1, 2) (8, 12,16) ( 15, 3, 6) ( 7, 15, 22)

11 9.4 SUBESPAÇO VETORIAL GERADO Sejam V um espaço vetorial e A={v 1, v 2,..., v n } V, A φ. geradores O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. v, v,..., v a v a v... a v 1 2 n n n subespaço gerado O subespaço S se diz gerado pelos vetores v 1, v 2,..., v n: S v 1, v2,..., vn ou gerado pelo conjunto A: S=G(A)

12 Exemplos: 1) Os vetores e 1 =(1,0) e e 2 =(0,1) geram o espaço vetorial V=R 2, pois qualquer par ordenado (x,y) R 2 é combinação linear de e 1 e e 2 : ( x, y) a e a e a (1,0) a (0,1) ( a,0) (0, a ) =( a, a ) 1 2 ( x, y) xe ye [ e, e ] ) Os vetores e 1 =(1,0,0), e 2 =(0,1,0) e e 3 =(0,0,1) geram o espaço vetorial V=R 3, pois qualquer vetor (x,y,z) R 3 é combinação linear de e 1, e 2 e e 3 ( x, y, z) xe ye ze [ e, e, e ] = x(1,0,0) y(0,1,0) z(0,0,1) =( x, y, z) 3

13 De fato: u a v a v... a v e v b v b v... b v n n n n são dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever: I) u v a b v a b v... a b v II ) u a v a v... a v n n n isto é, u+v S e αu S por serem combinações lineares de v 1, v 2,..., v n, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V. Os vetores v 1, v 2,..., v n são chamados de geradores de S e A de conjunto gerador de S. Se o conjunto A é finito, podemos chamar S de subespaço finitamente gerado. Todo conjunto A V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer que G(A)=V, caso em que A é o conjunto gerador de V. n n

14 9.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam V um espaço vetorial e A={v 1, v 2,..., v n } V, consideremos a equação: a1v1 a 2v2... a nvn 0 (1) Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: a 0, a 0,...,a n chamada solução trivial. O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v 1, v 2,..., v n são LI, caso a equação (1) admita apenas a solução trivial. Se existirem soluções a i 0, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v 1,...,v n são LD.

15 Representação geométrica da dependência linear de dois vetores:

16 Representação geométrica da dependência linear de três vetores:

17 9.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Um conjunto B={v 1, v 2,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI; II) B gera V Exemplos: 1) B={(1,0), (0,1)} é uma base do R 2, denominada base canônica. De fato: I) B é LI (exercício feito em aula) II) B gera R 2 (exemplo1, item 9.4) 2) B={(1,2), (3,5)} é base do R 2. De fato: I) B é LI a1(1,2) a2(3,5) (0,0) ( a,2 a ) (3 a,5 a ) (0,0) ( a 3 a,2a 5 a ) (0,0) a13a2 0 2a15a2 0

18 sistema homogêneo que admite somente a solução trivial a1 a2 0, o que confirma B ser LI. II) B gera R 2 ( x, y) a (1,2) a (3,5) 1 2 ( x, y) ( a,2 a ) (3 a,5 a ) ( x, y) ( a 3 a,2a 5 a ) que resolvido em função de x e y, fornece: a 5x 3 y e a 2 x y 1 2 a13a 2 x 2a15a 2 y isto é G(B)= R 2 3) B={e 1= (1,0,0), e 2 =(0,1,0) e e 3 =(0,0,1) } é uma base do R 3, denominada base canônica. De fato: I) B é LI (exercício feito em aula) II) B gera R 3 (exemplo2, item 9.4)

19 4) B={v 1= (1,1,1), v 2 =(1,1,0) e v 3 =(1,0,0) } é uma base do R 3. De fato: I) B é LI a (1,1,1) a (1,1, 0) a (1, 0, 0) a (1,1,1) a (1,1, 0) a (1, 0, 0) (0, 0, 0) ( a, a, a ) ( a, a,0) ( a,0,0) (0,0,0) ( a a a, a a, a ) (0,0,0) a1 a2 a3 a1a2 0 a1 0 0 sistema homogêneo que admite somente a solução trivial a1 a2 a3 0, o que confirma B ser LI. II) B gera R 3. De fato, qualquer vetor v=(x,y,z) é combinação linear de v 1, v 2 e v 3.

20 ( x, y, z) a (1,1,1) a (1,1,0) a (1,0,0) a1 a2 a3 x a1a2 y a1 z a1 z a2 y z a3 x y ( x, y, z) z(1,1,1) y z (1,1,0) x y (1,0,0) o que comprova ser qualquer vetor v=(x,y,z) combinação linear de v 1, v 2 e v 3. Logo: [v 1, v 2, v 3 ]= R 3

21 Exemplo: No R 2, considere as bases: A {(1,0),(0,1)} e B {(2,0),(1,3)} (8, 6) 8(1, 0) 6(0,1) (8, 6) 3(2, 0) 2(1,3) Representação do vetor v=(8,6) em relação às bases A e B

22 9.7 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL Se V é um espaço vetorial e possui uma base com n vetores, V tem uma dimensão n. A dimensão de V indica por dim V=n Exemplos: 1)dim R 2 =2 2)dim R 3 =3 3)dim R n =n 4)dim M(2,2)=4 5)dim M(m,n)=mxn 6)dim P n =n+1