Momentos de Inércia de Superfícies

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João Lucas Lancastre Silva
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1 PUC Goiás Curso: Engenharia Civil Disciplina: Mecânica dos Sólidos Corpo Docente: Geisa Pires Turma: Plano de Aula Data: / / Leitura obrigatória Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. Editora Pearson CAPÍTULO 9 Forças Distribuídas: Momento de Inércia 1. Introdução No cap. 5 analisamos vários sistemas de forças distribuídas sobre superfícies ou sólidos. Os principais tipos de força que consideramos foram pesos de placas homogêneas de espessura uniforme, cargas distribuídas em vigas e forças hidrostáticas. Em todos os casos considerados, as forças distribuídas eram proporcionais às áreas ou volumes elementares a elas associados. A resultante dessas forças podiam ser obtidas somando as correspondentes áreas e volumes. Na primeira parte deste capítulo consideraremos forças distribuídas F cujos módulos dependem da área A do elemento de superfície em que atuam e da distância desse elemento a um dado eixo. Mais precisamente, o módulo da força por unidade de área, F / A, variará linearmente com a distância ao eixo. Como veremos na próxima seção, forças desse tipo são encontradas no estudo da flexão de vigas e em problemas que envolvem superfícies submersas não-retangulares. Supondo que as forças elementares estejam distribuídas sobre uma superfície de área A e que variem linearmente com a distância y ao eixo x, verificaremos que, embora o módulo da resultante R dependa do momento de primeira ordem Q X yda da superfície de área A, a localização do ponto de aplicação de R depende do momento de segunda ordem ou momento de inércia, I X y da, da mesma superfície, com relação ao eixo x. Aprenderemos então a calcular os momentos de inércia de várias superfícies com relação a eixos x e y dados. Faremos ainda a utilização do teorema dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia em relação a um eixo qualquer quando se conhece o momento de 1 inercia em relação ao eixo que passa pelo centróide. Na última parte deste capítulo analisaremos a transformação dos momentos de inércia pela rotação dos eixos coordenados. Momentos de Inércia de Superfícies. Momento de Segunda Ordem ou Momento de Inércia de uma Superfície Na primeira parte deste capítulo consideraremos forças distribuídas F proporcional ao elemento de área A na qual elas agem e que variam linearmente com a distância de A a um certo eixo, F kya. O módulo da resultante R das forças elementares F sobre uma seção inteira é R kyda k yda Essa última integral obtida é conhecida como momento de primeira ordem Qx da seção em relação ao eixo x. O módulo M do momento fletor

2 deve ser igual à soma dos momentos M X yf ky A das forças elementares. Integrando sobre a seção inteira, obtemos: relação ao eixo x de uma faixa retangular paralela ao eixo y, semelhante à representada na figura abaixo. M ky da k y da A última integral é conhecida como momento de segunda ordem ou momento de inércia da seção da viga em relação ao eixo x e é representada por I X. Observe que I sempre terá valores positivos. 3. Determinação do Momento de Inércia de uma Superfície por Integração. I X y da Assim: I Y x da Exemplo: Determine o momento de inércia de uma superfície retangular. 1 3 di x y dx 3 Por outro lado, temos: di y x da x ydx 4. Momento Polar de Inércia Uma integral muito importante em problemas relativos à torção de eixos cilindricos e em problemas referentes à rotação de placas é da bdy di x y bdy I x h 1 by dy bh A fórmula que acabamos de deduzir pode ser usada para determinar o momento de inércia di em x J 0 r da Onde r é a distância do elemento de área da ao pólo O. Essa integral é o momento polar de inércia.

Exercícios Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação aos eixos x e y e o raio de giração para ambos os eixos: 1 R: I 3 3 y a b / 10 I x b 3 a / 6

Raio de Giração de uma Superfície R: I 3 y a b / 11 I 3 x b a / 51 Consideremos uma superfície de área A, que tem um momento de inércia Ix em relação ao eixo x.

3 Exercícios Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação aos eixos x e y e o raio de giração para ambos os eixos: 1 R: I 3 3 y a b / 10 I x b 3 a / 6 Temos ainda: J 0 r da ( x y ) da y da x da J 0 I X I Y 5. Raio de Giração de uma Superfície R: I 3 y a b / 11 I 3 x b a / 51 Consideremos uma superfície de área A, que tem um momento de inércia Ix em relação ao eixo x. Imaginemos que concentramos esta área em uma faixa estreita, paralela ao eixo x. Se a área A, assim concentrada, deve ter o mesmo momento de inércia em relação ao eixo x, a faixa deve estar colocada a uma distância kx desse eixo, definida pela relação I x k x A expressão acima tem um análogo ao eixo y. A grandeza kx é conhecida como raio de giração. A 3 R: I 3 y a b / 15 I 3 x b a / 7 4 R: I a 3 y b / 1 I b 3 x a / 30 3

6. Teorema dos Eixos Paralelos 7. Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Consideremos o momento de inércia I de uma superfície de área A em relação a um eixo AA '.

4 6. Teorema dos Eixos Paralelos 7. Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Consideremos o momento de inércia I de uma superfície de área A em relação a um eixo AA '. Seja y a distância de um elemento de área da a AA '. Escrevemos: I y da Tracemos agora um eixo BB ' paralelo a AA ', que passa pelo baricentro C da superfície; esse eixo é denominado eixo baricêntrico. Sendo y ' a distância do elemento da a temos y y' d, escrevemos: BB ', I I y da y' da d ( y' d) da y' da d da I I Ad 4

5 Exercícios 5 Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada em relação ao eixo x e ao eixo y: 6 Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada em relação ao eixo x e ao eixo y: 8. Produto de Inércia A integral P xy xyda Obtida multiplicando-se cada elemento da de uma superfície A por suas coordenadas x e y e integrando-se cada elemento da de uma superfície A por suas coordenadas x e y e integrando sobre a superfície é conhecida como produto de inércia da superfície A em relação aos eixos x e y. Ao contrário dos momentos de inércia, o produto de inércia tanto pode ser positivo quanto negativo. Quando um ou ambos os eixos x e y são eixos de simetria da superfície A, o produto de inércia é zero. Isso se deve ao fato de que para cada elemento de área de coordenada x e y existe um elemento oposto de coordenada x e y. Evidentemente, a contribuição de cada par de elementos escolhidos desse modo se cancela mutuamente, e a integral se reduz a zero. Deixarei a cargo do aluno a demonstração abaixo que é um teorema dos eixos paralelos semelhante àquele estabelecido para calculos de momento de inércia válido para produto de inércia (Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição, pag. 636, PEARSON): P xy P x' y' xya 5

6 Exercícios 7 Determine por integração direta o produto de inércia da superfície dada em relação aos eixos x e y: 9. Eixos e Momentos Principais de Inércia R: a 4 /8 6

7 7

8 8

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10 10

11 11

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13 Exercício: Determinar o produto de inercia do triangulo retângulo ilustrado tanto em relação aos eixos x e y quanto em relação aos eixos baricêntricos paralelos aos eixos x e y. 13

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