Capítulo 12. Gravitação. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:

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1 Capítulo Gavitação ecusos com copyight incluídos nesta apesentação:

2 Intodução A lei da gavitação univesal é um exemplo de que as mesmas leis natuais se aplicam em qualque ponto do univeso. Fim da dicotomia ente o céu e a Tea. Fomulação feita po Newton (~667) θ Compaação ente as aceleações da Lua e de um objeto que cai póximo à supefície da Tea. Lua póxima da Tea distância Tea-Lua pode se medida po paalaxe: tg( θ ) = d T L T dl = = x tg( θ ) 8 3,84 0 m d L θ Consideando a óbita da Lua cicula com aio d L e peíodo P=7,3 dias: π d 3 v L,0 0 m/s = = x e P a L v = =,73 x 0 m/s d L 3 T

3 a L v = =,73 x 0 m/s d L 3 Aceleação de um objeto caindo póximo à supefície da Tea: g = 9,8 m/s A azão ente a aceleação do objeto em queda e a aceleação da Lua é: g a L 9,80 = = 3,59 x = (60) 3, 73 x 0 3 () A azão ente o aio da óbita luna e o aio da Tea é: dl = 6,37 0 m = x T 8 3,84 x 0 m 6 60,3 () Compaando () e () g a L T = dl Newton concluiu que a atação da Tea sobe um objeto, esteja ele póximo ou longe da supefície da Tea, é popocional à massa do objeto e invesamente popocional ao quadado da distância ente o objeto e o cento da Tea. Ação e eação: a foça que a Tea exece na Lua tem o mesmo módulo que a foça que a Lua exece na Tea. Então, F α M T M L.

4 Juntando tudo: F mm T Lei da gavitação mm F = G onde = 3 - G = 6,6760 x 0 - Nm kg - Valo muito pequeno. Só foi deteminado em 798 po Heny Cavendish, mais de um século após a fomulação da lei de gavitação po Newton. Foça gavitacional: a única que atua em todas as patículas da Natueza a mais faca das foças fundamentais foça de longo alcance (α - ) sempe atativa

5 A expeiência de Cavendish Balança de toção Um toque τ no fio povoca uma toção de θ τ = κθ fiba de quatzo mm = Fd = G d θ feixe de luz κ constante de toção do fio θ M m κθ = G mm d G = κθ mmd d espelho Como g M = G T T M = T g G T m F M Pimeio cálculo da massa da Tea As massas dos planetas do sistema sola foam obtidas sabendo a aceleação de um de seus satélites em tono deles.

6 Campo gavitacional O campo gavitacional é descito pela aceleação da gavidade g() definida po () g = F onde m é uma massa de pova situada em. m A aceleação da gavidade geada po uma patícula de massa M, situada no ponto = 0, é dada po GM g = Dada uma distância ao cento da Tea, tem-se um valo de g 3 Mas na Tea eal: A costa teeste não é unifome. Ao se medi g pecisamente obtém-se infomação sobe vaiações de densidade que são úteis, po exemplo, na pospecção de petóleo. A Tea não é uma esfea e sim um elipsóide achatado nos pólos, então g pólo é maio do que g equado, pois pólo < equado. g pólo ~9.83 m/s e g equado ~ 9.78 m/s. A Tea está em otação. A leitua da balança seia igual à foça gavitacional somente se a supefície da Tea fosse um efeencial inecial. Na vedade temos N mg0 = mac N = m( g0 ω T ) = mg g = g ω 0 T g0 g = ω T = 0,034 m/s aceleação que sentimos

7 Vimos que g = g ω 0 T paa um copo na supefície da Tea. apaente devido à otação da Tea devido à atação gavitacional da Tea Contaiamente à impessão de que a aceleação da gavidade (g 0 ) diminui a zeo em um ônibus espacial em óbita da Tea, na vedade obtém-se g 0 = 8,7 m/s paa uma altitude de 400 km acima da supefície da Tea. O que ocoe nesta situação é que a foça de atação gavitacional atua como foça centípeta. GmM T = mω GM T = g 0 =ω g = g = = 0 ω ω ω 0 Assim, a gavidade apaente é nula, mas o astonauta em óbita ainda está sujeito à foça de atação gavitacional da Tea dada po GmM T = mg0 0

8 Leis de Keple A aceitação e impotância dada à teoia da gavitação de Newton quando foi poposta se deve ao fato de se possível deduzi matematicamente, a pati dela, as tês leis de Keple (57-630). Estas já eam conhecidas na época de Newton, mas eam leis empíicas, baseadas apenas em esultados obsevacionais. Pimeia lei - Os planetas movem-se em óbitas elípticas em que o Sol ocupa um dos focos. F F A A demonstação desta lei fica paa um cuso mais avançado de mecânica.

9 Segunda lei - Em cada óbita, o seguimento de eta que une o planeta ao Sol vae áeas iguais em tempos iguais. F v t h v θ No ponto a velocidade do planeta é v. Se o planeta continuasse em MU, após t o segmento que une o planeta ao Sol teia vaido o tiângulo vemelho indicado na figua. A áea do tiângulo é A = h O momento angula obital do planeta é () em () L A = t m A = t L m = v sen t θ () L= mvsenθ L vsenθ = () m No limite em que t 0 a áea do tiângulo desceve exatamente a áea eal vaida pelo planeta. da = dt L m Em elação ao Sol, a foça gavitacional, que é adial, não ealiza toque sobe o planeta. Assim L é constante e da também. dt

10 Segunda lei de Keple V A A B V B O planeta pecoe uma óbita elíptica em que o Sol ocupa um dos focos. Devido à consevação do momento angula do planeta em elação ao Sol, nos pontos da óbita mais póximos do Sol, o planeta aumenta sua velocidade de foma que as áeas (sombeadas) vaidas em tempos iguais são também iguais.

11 Teceia lei - Os quadados dos peíodos das óbitas dos planetas são popocionais aos cubos dos semi-eixos maioes das espectivas elipses: T A 3 No caso de óbitas ciculaes, onde os semi-eixos maio e meno são iguais ao aio do cículo, é fácil mosta este esultado. A foça gavitacional do Sol sobe um planeta atua como uma foça centípeta. mm mv G = () O peíodo da óbita é dado po T = De () π v v (3) em () T 4π = GM 3 4π v M = G (3) T = () Evidência da teceia lei de Keple. A azão ente o cubo do semi-eixo maio da óbita e o quadado do peíodo é a mesma paa todos os planetas. Planeta A T A 3 /T (0 6 km) (anos) (0 4 km 3 /ano ) Mecúio 57,9 0,4 3,34 Vênus 08, 0,65 3,35 Tea 49,6,000 3,35 Mate 7,9,88 3,35 Júpite 778,3,86 3,35 Satuno 47 9,5 3,34 Uano ,0 3,35 Netuno ,34

12 Inteação ente uma patícula e uma casca esféica Ao fomula a lei da gavitação, Newton supôs que a Tea atai qualque copo exteno a ela como se toda sua massa estivesse concentada em seu cento. Ou seja, um copo com simetia esféica atua gavitacionalmente em pontos em seu exteio como se toda a massa estivesse em seu cento. Em 685 Newton mostou que isto é vedade e decoe da lei dos invesos dos quadados. O teoema das cascas esféicas é impotante tanto na gavitação quanto no eletomagnetismo.

13 Calcula a foça gavitacional de uma casca esféica homogênea de massa M e aio sobe uma patícula de massa m a uma distância do cento da casca. M dθ θ Assim, a massa do anel seá dθ M M dm = da' = sen θ dθ A A enegia potencial gavitacional senθ m do sistema anel-patícula seá senθdθ du = GmdM = GmM depende de θ! A áea da casca esféica é A = 4 π A casca esféica é dividida em anéis em cujos eixos de simetia se situa m. A áea de um dado anel é da' = π senθ dθ = sen θ + ( cos θ ) = + θ cos d = senθ dθ senθ dθ d = = d du GmM

14 d du = GmM vaia ente min e máx GmM U = M min max min m d GmM U = ( max min ) Patícula m foa da casca esféica max min = - max - min = max = + GmM du GmM U = F = = d Patícula m dento da casca esféica M max m min min = - max = + max - min = GmM U = F = du = 0 d funções Paa patículas intenas à casca esféica, a foça é nula - U ( ) F () Paa patículas extenas à casca esféica, esta atua como se toda a sua massa estivesse concentada em seu cento. distância

15 Exemplo O Sol está à distância de,5x0 0 m do cento da Via Láctea, póximo de sua peifeia, e tem velocidade obital de 0 km/s em tono do cento. Estime a massa da Galáxia. Paa fins de estimativa, vamos considea que quase toda a massa da Galáxia está no espaço inteio à óbita do Sol. Como vimos, paa calcula o efeito gavitacional desta massa sobe o Sol, podemos considea toda a massa localizada no cento da Galáxia. G MSM G = M S v M = G G v 0 0,5 0 m 4,8 0 m /s M G = = - 6,7 0 N m kg 4 0 kg = 0 M S

16 Exemplo Suponha que a Tea tenha densidade unifome: (a) calcule a foça execida sobe uma patícula de massa m dento de um túnel que passe po um diâmeto da Tea, como mosta a Figua abaixo; (b) Se uma peda é solta em epouso na entada do túnel imagináio, com que velocidade ela cuza o cento da Tea? Foça F que atua sobe a patícula de massa m quando ela está a uma distância do cento da Tea mm F () = G (b) Usando a consevação da enegia mecânica ' () onde M é a massa contida na esfea de aio. 4 3 M ' = ρv ' = ρ 3 π 3 M T 4 3 M = π T = () π 3 3 GmMT () em () F () = = k 3 U () = k U( ) + K( ) = U(0) + K(0) GmMT GmMT mv 0 mv = + T V = + Patindo do epouso, V=0 v GM GM v= T = 7,9 km/s

17 Enegia potencial gavitacional de um sistema de patículas A enegia potencial gavitacional de duas patículas de massas m e m sepaadas pela distância é mm U G = sendo U ( ) = 0 Ela coesponde ao tabalho da foça gavitacional da patícula sobe a patícula paa levá-la do ponto distante de m até o infinito (ponto de efeência). m m 3 3 A enegia potencial gavitacional de um sistema de tês patículas de massas m, m, e m 3 como mosta a figua seá então mm mm mm 3 3 U = G G G 3 3 m 3 Paa um sistema de N patículas: U mm i = G i i j ij j

18 F Exemplo Calcule a foça sobe a esfea de massa m na Figua abaixo e a enegia potencial do sistema completo, supondo-se que a situação de enegia nula é aquela em que todas as esfeas estaiam infinitamente afastadas uma da outa. m m F F l 3m l j i As foças F e F atuam sobe a esfea de massa m. 3m m F = G i, F = G j 4l l A foça esultante F que atua sobe a esfea de massa m seá Gm 3 F= F+ F = ( i j) l 4 A enegia potencial gavitacional do sistema é m. m m.3m m.3m U = G G G l l ( l) + l U = U + U3 + U Gm = + 5 l

19 Auto-enegia gavitacional de um copo A auto-enegia é a difeença de enegia ente a situação em que o copo está fomado e a situação imagináia em que suas pates estão infinitamente dispesas. Vamos considea um copo de densidade unifome ρ e de simetia esféica e vamos compo a esfea camada po camada. Quando o aio da esfea fo, sua massa seá 4 m= ρv = ρ π 3 Ao acescenta uma camada infinitesimal de espessua d e massa sua enegia potencial sofeá uma vaiação de 3 dm = ρ4π d mdm du = G 4 3 ρ4π = Gρ π 3 d 4πρ πρ = 0 5 G 3 U = 3G d 4πρ = 3G d 3 3 4πρ = G 5 3 massa da esfea 3 U = 5 GM

20 Cálculo da enegia potencial gavitacional obtida no pocesso de fomação do Sol Supo o Sol uma esfea unifome de massa M = x 0 30 kg e aio = 7 x 0 8 m. Sua auto-enegia gavitacional seá U 30 3GM 3 ( 0 ) 4 = = 6, 7 0 J = 0 J U < 0, então a enegia do sistema de patículas que fomou o Sol diminuiu no pocesso de agegação. Estelas se fomam em nuvens moleculaes gigantes compostas de gás e poeia fios e muito aefeitos. A enegia potencial inicial é potanto despezível. Pela consevação da enegia, a peda de enegia gavitacional do gás é compensada po um aumento equivalente da enegia cinética. Pelo teoema do viial, metade da enegia cinética é iadiada pela estela e a outa metade pemanece em foma de calo. Assim, o núcleo do Sol atinge tempeatuas da odem de 0 7 K, tonando possível a fusão do hidogênio, libeando enegia suficiente paa mante o equilíbio hidostático.

21 Velocidade de escape A enegia potencial gavitacional de duas patículas de massas m e m sepaadas pela distância é m m U ( ) = G O ponto de efeência paa a enegia potencial é = ou seja, U ( ) = 0 Paa que um copo de massa m escape da atação gavitacional da Tea (aio e massa M T ), sua enegia mecânica deveá se positiva (K > U).. T m v GmM 0 A velocidade mínima com que um copo tem de se lançado paa se liva da gavitação de um copo celeste é denominada velocidade de escape. e T m v GmM = 0 GM ve =

22 v e GM = A velocidade de escape da supefície da Tea é v e =, km/s. A velocidade de escape da supefície do Sol é v e = 67 km/s. A velocidade de escape da gavitação do Sol a pati de um ponto sobe a óbita da Tea é v e = 4 km/s. v o v < v e v v v e > M vo v = v e - -v o

23 Enegia de ligação Um copo de massa m ligado gavitacionalmente a outo de massa M, executando uma óbita natual de aio tem enegia total dada po: mv GMm E = K + U = Neste caso (copos ligados gavitacionalmente), pode-se mosta que esta enegia é negativa, isto é, a enegia cinética é meno do que o valo absoluto da potencial. Se a óbita fo cicula: mm mv G = M v =G K = mv = GmM K = U Assim a enegia total do sistema seá E = K + U = U < 0

24 Limite de validade da lei da gavitação de Newton A mecânica de Newton falha quando a velocidade do copo deixa de se muito meno que a velocidade c da luz no vácuo. elatividade estita A lei da gavitação de Newton, em que a foça vaia com o inveso do quadado das distâncias, também falha em condições de gavidade muito intensa. elatividade geal Dois copos se atem gavitacionalmente. Se a distância ente eles fo tal que a velocidade de escape um do outo fo muito meno que a velocidade da luz, sua inteação pode se descita pela teoia de Newton. GM G M << c << c

25 Consideando a gavidade do Sol. Em sua supefície 30 GM 6,7 0 0 = = 4, c << A gavitação do Sol pode se tatada com boa apoximação po Newton, com exceção da óbita de Mecúio. Se GM c teemos v e > c Buaco nego Neste caso, nem mesmo a luz pode escapa do campo gavitacional. Exemplo Calcule o aio do hoizonte de eventos de um buaco nego de M=4M sol. Hoizonte de eventos supefície de cujo inteio não se pode escapa. Em H, v e = c v e GM G M = c = H = H GM c G4M sol H = =,8 km c