João Eduardo de Souza Grossi

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE, MODELAGEM MATEMÁTICA EM FINANÇAS MODELO DISCRETO DE APREÇAMENTO DE DERIVATIVOS DE TAXAS DE JUROS COM SALTOS DEVIDOS ÀS DECISÕES DO COMITÊ DE POLÍTICA MONETÁRIA DO BANCO CENTRAL DO BRASIL João Eduado de Souza Gossi Dissetação apesentada à Faculdade de Economia e Administação e ao Instituto de Matemática e Estatística da Univesidade de São Paulo paa a obtenção do título de Meste. Oientado: Pof. D. Rogéio Rosenfeld SÃO PAULO 2005

2 Conteúdo RESUMO... 3 INTRODUÇÃO REVISÃO DOS MODELOS DE APREÇAMENTO DE OPÇÕES DE TAXA DE JUROS MODELOS DE EQUILÍBRIO Modelo de Meton (973) Modelo de Vasicek(977) Modelo de Rendleman-Batte (980) Modelo de Cox, Ingesoll e Ross CIR (985) Modelo de Ahn Thompson (988) MODELOS DE NÃO-ARBITRAGEM Modelo de Ho-Lee (986) Modelo de Hull-White (990) Modelo de Black, Deman e Toy BDT (990) Modelos Multifatoiais ESTUDO DE MODELOS PARA CONSTRUÇÃO DA CURVA DE JUROS 6 3. MERCADO DE TAXA DE JUROS NO BRASIL COMPORTAMENTO DOS JUROS NO BRASIL MODELOS PARA CONSTRUÇÃO DA CURVA DA TAXAS DOS DEPÓSITOS INTERFINANCEIROS Intepolação Linea Intepolação Polinomial Intepolação po Spline Cúbico Intepolação Geomética ou Exponencial Intepolação Geomética Modificada (Modelo Paa o Mecado Basileio) ESTUDO DOS SALTOS NAS DATAS EFETIVAS DO COPOM ANÁLISE HISTÓRICA COMPORTAMENTO DOS SALTOS MODELO PARA OS SALTOS... 46

3 5 INCORPORANDO SALTOS NO APREÇAMENTO DE DERIVATIVOS DE TAXA DE JUROS PROCESSO DE BLACK, DERMAN E TOY(990) PARA A TAXA DE JUROS Estutua a Temo de Volatilidade no BDT PROPOSTA DE MODELO PARA APREÇAMENTO DE DERIVATIVOS DE TAXA DE JUROS COM SALTOS Usando o Modelo paa o Apeçamento de Opções Sobe IDI COMPARAÇÃO ENTRE O MODELO BDT E O MODELO PROPOSTO COMPARAÇÃO ENTRE O MODELO PROPOSTO E O MERCADO CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA ANEXO I CÓDIGOS EM MATLAB

4 Resumo Desenvolvimento de modelos paa apeçamento de deivativos de taxa de juos tem sido um dos gandes desafios modenos de finanças. A utilização de tais modelos está se tonando cada vez mais popula no Basil, devido pincipalmente aos podutos disponíveis paa negociação na Bolsa de Mecadoias e Futuos (BM&F), como as opções sobe o índice IDI e as opções de contato futuo de DI de um dia. Outo gande desafio tem sido o de enconta uma foma de constui uma estutua a temo de taxas de juos que possa incopoa eventuais mudanças na taxa base (SELIC). No Basil, tais mudanças ocoem tipicamente em datas pé-definidas pelo Banco Cental em vitude das euniões do Comitê de Política Monetáia (COPOM). Neste tabalho unimos os dois gandes desafios citados, escolhemos um método paa constução da cuva de juos que considee as expectativas efeentes às decisões do COPOM, e um método paa incopoa eventuais difeenças obsevadas quando as decisões do Comitê de Política Monetáia não efletiam as expectativas do mecado. Esta difeença causa saltos na cuva de juos. Estes modelos seão usados paa o apeçamento de deivativos de taxa de juos. Finalmente testamos o modelo que incopoa um pocesso estocástico paa os saltos na cuva de juos, no apeçamento das opções de taxas de juos da BMF. Fazemos uma análise compaativa ente o modelo poposto e o modelo de Black-Deman-Toy(990), a fim de escolhemos um modelo que melho pevê os acontecimentos no mecado paa um deteminado peíodo pé-estabelecido, elativo as euniões do COPOM. 3

5 Intodução Modelos que levam em consideação o fato da taxa de juos possui uma componente estocástica são intensamente utilizados paa o apeçamento de deivativos. Os modelos vaiam ente considea que a taxa de juos é uma conseqüência de fatoes econômicos, até modelos mais elaboados que levam em consideação uma séie de componentes estocásticas paa epesenta o pocesso da taxa de juos. No capítulo 2 faemos uma beve evisão dos pincipais modelos utilizados nos pocessos de taxa de juos paa o apeçamento de deivativos. Alguns dos modelos citados no capítulo 2 incopoam as expectativas do mecado paa a taxa de juos, chamada de cuva de juos, ou estutua a temo de juos. Potanto, paa pode utiliza estes modelos de uma foma eficiente, pecisamos enconta uma foma eficiente de se constui esta cuva de juos. No capítulo 3, fazemos um estudo sobe o compotamento históico dos juos no Basil de foma e identifica eventuais paticulaidades de mecado basileio. Em seguida, fazemos uma evisão dos pincipais métodos conhecidos paa a constução de cuvas de juos. Tais métodos foam implementados com base em infomações de taxas negociadas paa os Depósitos Intefinanceios de um dia, e em contatos futuos de Depósitos Intefinanceios de um dia. Consideamos que estes instumentos epesentam a melho foma de se obte expectativas futuas paa a taxa de juos no Basil. Citicando e compaando o compotamento das cuvas com as infomações históicas, enceamos o capítulo fazendo a escolha do que consideamos se o melho método paa a constução da cuva de juos no Basil. No Capítulo 4, utilizamos o método escolhido no capítulo anteio paa a constução da cuva de juos, com o objetivo de subtai da cuva, as expectativas do mecado paa as decisões do COPOM. Estas infomações nos mostaam uma evidência fote de que as expectativas, na maioia das vezes, não efletem totalmente os movimentos da taxa paa os Depósitos Intefinanceios após as euniões do COPOM. A Pati daí, estudamos o compotamento destas difeenças. Com as paticulaidades obsevadas paa o mecado basileio nos capítulos anteioes, o Capítulo 5 popõe um modelo estocástico paa modela a taxa de juos. Este modelo incopoa tanto uma componente estocástica que eflete movimentos de 4

6 mecados, quanto uma componente estocástica elativa as difeenças obsevadas ente as expectativas do mecado e o movimento efetivo da taxa de juos do DI de um dia devido a eventuais alteações da taxa base nas euniões do COPOM. Como uma aplicação pática do modelo poposto paa o pocesso da taxa de juos, utilizaemos o modelo paa o apeçamento de deivativos de taxa de juos. Finalmente faemos uma análise compaativa os esultados do modelo poposto, com um modelo que consideamos te caacteísticas mais póximas e fáceis de se adapta ao mecado basileio. Compaações com os peços de mecado também são feitas neste capítulo. Conclusões e obsevações sobe o tabalho são feitas no Capítulo 6. 5

7 2 Revisão dos Modelos de Apeçamento de Opções de Taxa de Juos O desenvolvimento de modelos paa o apeçamento de opções tem sido um dos gandes desafios financeios da ea modena. Os pimeios modelos foam desenvolvidos paa o apeçamento de opções de compa ou venda de ações, mas hoje em dia é tão gande a quantidade de tipos difeentes de opcionalidades existentes, que os modelos desenvolvidos sofeam um consideável aumento de complexidade. Opções podem se encontadas tanto em bolsas de valoes ao edo do mundo, como também estão no nosso dia a dia. Só o simples fato de decidimos se vale à pena faze as compas de casa de uma só vez, fazendo estoque de comida, ou espea paa compa confome a necessidade, pode se encaado como um poblema de opções eais. Neste último caso podemos considea como opção o fato de podemos escolhe ente duas altenativas disponíveis. No poblema eal citado, caso estejamos espeando um aumento no peço dos alimentos, sem que o nosso endimento aumente, a altenativa de faze as compas de uma só vez pode paece a melho escolha. Po outo lado, caso a taxa de juos que conseguimos aplica o nosso endimento seja maio que o aumento espeado paa os alimentos, a melho opção fica sendo aplica o dinheio hoje paa compa confome a necessidade. Aqui fica bem clao o poblema das vaiáveis embutidas na decisão. Nos modelos de apeçamento de opções não é difeente. A gande vaiedade de modelos disponíveis vai desde modelos mais simples, onde se considea apenas uma vaiável aleatóia, até modelos mais complexos com váias vaiáveis estocásticas, chamados de modelos multifatoiais. Neste capítulo faemos uma beve evisão dos modelos mais conhecidos paa o apeçamento de opções sobe taxa de juos, destacando suas pincipais vantagens e desvantagens. 6

8 2. Modelos de Equilíbio Os modelos de equilíbio consistem basicamente de obte a pati de hipóteses econômicas, o pocesso paa a taxa de juos. 2.. Modelo de Meton (973) Este modelo popõe um pocesso paa a taxa de juos instantânea segundo descito abaixo. d = µ dt + σ dw Onde: - d: vaiação instantânea da taxa de juos; - µ e σ : constantes positivas calculadas de modo a gaanti a medida live de isco Q; - dt: vaiação instantânea no tempo; Q - Q dw Wiene. : componente estocástica epesentando um pocesso de O modelo considea que as vaiações na taxa de juos possuem uma componente deteminística dependente do tempo, e uma outa componente que segue um movimento Bowniano com média zeo e vaiância dt. O ponto positivo do modelo se deve a facilidade de implementação. Como pontos negativos podemos cita o fato do modelo pode etona taxas negativas e o fato da componente estocástica da taxa de juos não evesão à média, desejado paa os modelos onde se considea a taxa de juos como uma vaiável aleatóia. Paa entende poque evesão à média é desejada quando se fala de taxa de juos, basta pensamos que, quando a taxa de juos se enconta em patamaes muito baixos, espeamos que ela aumente. Taxas em patamaes muito baixos, aumentam o consumo e incentivam o cescimento, mas podem gea inflação e dificulta a captação de ecusos pelo goveno. Po outo lado, taxas em patamaes elevados tendem a diminui com o tempo. Isso poque taxas de juos em patamaes elevados inibem o investimento, o consumo e, em geal, aumentam a dívida do goveno. 7

9 2..2 Modelo de Vasicek(977) O modelo de desenvolvido po Vasicek considea que a taxa de juos segue o pocesso: ( γ ) dt + dz d = α ρ Onde: - d: vaiação instantânea da taxa de juos; - α, γ e ρ : constantes positivas calculadas de modo a gaanti a medida live de isco Q; - dt: vaiação instantânea no tempo; - dz : componente estocástica epesentando um pocesso de Nomal. A evolução do modelo de Vasicek vem do fato do pocesso da taxa de juos possui evesão à média. A evesão à média é facilmente obsevada consideando-se apenas o fato deteminístico do pocesso aleatóio: d = α γ ( ) dt Resolvendo-se a equação difeencial acima ente t 0, com taxa 0, até t com taxa t, teemos: t = γ α ( t t0 ) ( γ ) e 0 Fazendo t, temos γ, ou seja, paa t muito gande, a taxa de juos t evete à constante γ. É impotante também destaca que, quanto maio o valo da constante α, mais ápido a taxa de juos evete a γ. A constante α também é chamada de velocidade de evesão à média γ. Apesa do modelo de Vasicek possui evesão à média, ainda podemos te taxas negativas. Uma outa desvantagem do modelo pode se consideada o fato da estutua a temo da taxa de juos se uma conseqüência do ajuste dos paâmetos do modelo. 8

10 2..3 Modelo de Rendleman-Batte (980) Este modelo considea que as taxas de juos possuem pocesso log-nomal, análogo ao modelo estocástico paa o peço das ações utilizado po Black- Scholes(973): d = µ dt + σ dz Onde: - d: vaiação instantânea da taxa de juos; - µ e σ : constantes positivas calculadas de modo a gaanti a medida live de isco; - dt: vaiação instantânea no tempo; - dz: desceve a componente estocástica nomal; Como pincipal ponto positivo podemos considea o fato do modelo não etona taxas negativas. Po outo lado, a taxa de juos não possui evesão à média e, como o modelo de Vasicek, a estutua a temo é obtida com ajuste dos paâmetos do modelo Modelo de Cox, Ingesoll e Ross CIR (985) Este foi o pimeio modelo a considea evesão à média paa a taxa de juos e impossibilita taxas de juos negativas. O pocesso contínuo live de isco paa o modelo é: ( γ ) dt + dz d = α ρ Onde: - d: vaiação instantânea da taxa de juos; - α, γ e ρ : constantes positivas calculadas de modo a gaanti a medida live de isco; - dt: vaiação instantânea no tempo; - dz : componente estocástica epesentando um pocesso de Nomal. 9

11 O pincipal ponto negativo do modelo deve-se ao fato da estutua a temo de taxa de juos se uma conseqüência dos ajustes dos paâmetos do modelo Modelo de Ahn Thompson (988) Este modelo incopoa um pocesso difusivo de saltos no modelo CIR. A motivação do modelo se deveu pincipalmente po se identifica que, apesa de alguns pocessos seem modelados paa o tempo contínuo, tatam-se na vedade de pocessos discetos. Como foma de incopoa este efeito nos modelos difusivos, os autoes sugeiam a incopoação de saltos contínuos, ocoendo com distibuição de pobabilidade de Poisson com fato λ. O pocesso paa a taxa de juos sugeida ficou potanto: ( γ ) dt + ρ dz + dy d = α δ Temos potanto o pocesso difusivo dz e um pocesso adicional de saltos dy. O temo δ tata-se de uma constante de valo negativo, mas de foma a não causa taxas negativas. Assume-se que intensidade de y é π. A desvantagem aqui continua sendo o fato da estutua a temo da taxa de juos se conseqüência do ajuste dos paâmetos do modelo. 2.2 Modelos de Não-Abitagem A gande vantagem dos modelos de não abitagem deve-se ao fato de incopoa a estutua a temo de taxa de juos. Os modelos de equilíbio podem se adaptados paa não-abitagem fazendo o temo multiplicativo de dt constante no modelo passa a se dependente do tempo paa se ajusta à estutua a temo Modelo de Ho-Lee (986) O modelo de Ho-Lee foi o pimeio a se consistente com a estutua a temo de taxa de juos. Podemos considea o modelo como uma vesão melhoada do modelo de 0

12 Meton(973), já que, ao invés da constante µ, temos uma função θ (t) calculada de foma a se consistente com a estutua a temo da taxa de juos. O pocesso está descito abaixo. d = θ ( t) dt + σ dw Q Onde: d 2 θ ( t) = F(0, t) + σ t dt - d: vaiação instantânea da taxa de juos; - F ( 0, t) é a taxa de juos instantânea paa o vencimento em t obtida pela estutua a temo da taxa de juos; - σ : constante positiva calculada de modo a gaanti a medida live de isco; - dt: vaiação instantânea no tempo; - Q dw : componente estocástica epesentando um pocesso de Wiene na medida live de isco Q. As gandes desvantagens do modelo se efeem ao fato do pocesso da taxa de juos não possui evesão à média e pode etona taxas de juos negativas Modelo de Hull-White (990) O modelo de Hull-White pode se consideado uma evolução do modelo de Vasicek paa se ajusta à estutua a temo da taxa de juos. Substituindo-se a constante θ (t) γ do modelo de Vasicek, pela função α temos: θ ( t) d = α dt + σ dz α θ ( t) = d dt 2 σ F(0, t) + α F(0, t) + 2α 2α t ( + e ) Onde: - d: vaiação instantânea da taxa de juos;

13 - F ( 0, t) é a taxa de juos instantânea paa o vencimento em t obtida pela estutua a temo da taxa de juos; - α e σ : constantes positivas calculadas de modo a gaanti a medida live de isco Q; - dt: vaiação instantânea no tempo; - dz : componente estocástica epesentando um pocesso estocástico Nomal. Apesa do modelo possui evesão à média e se ajusta à estutua a temo de taxa de juos, como no modelo de Vasicek, a gande desvantagem do modelo de Hull- White se deve ao fato de pode etona taxas negativas. Posteiomente, Hull e White (994) publicaam um atigo onde sugeem a implementação do modelo em uma ávoe tinomial. Assim, ciou-se a possibilidade de escolhe caminhos paa as taxas de juos de foma a elimina a pobabilidade de taxas negativas. Apenas como caáte ilustativo, usando-se as altenativas de amos paa ávoes tinomiais descitas na Figua 2., a Figua 2.2 sugee uma foma de se elimina taxas negativas na ávoe tinomial, consideando que, caso se usasse a altenativa (a) da Figua 2. no nó I, teíamos taxas negativas na ávoe tinomial. Figua 2- Altenativa de amos paa ávoes tinomiais Figua 2-2 Exemplo de Ávoe Tinomial Usada paa Elimina Possibilidade de Taxas Negativas 2

14 2.2.3 Modelo de Black, Deman e Toy BDT (990) O modelo desenvolvido po Fishe Black, Emanuel Deman e William Toy, ao contáio do modelo de Hull-White, foi inicialmente poposto em uma ávoe binomial. No modelo é feita uma apoximação no espaço de tempo disceto paa um pocesso lognomal paa as taxas de cuto pazo. O modelo, além de se ajusta à estutua a temo da taxa de juos, também se ajusta a um modelo de estutua a temo de volatilidade. Posteiomente veificou-se que o algoitmo implementado na ávoe binomial po Black-Deman-Toy coesponde ao seguinte pocesso: ' σ ( t) d ln( ( t)) = θ ( t) + ln( ( t)) dt + t dz t σ ( ) σ ( ) Onde: - d: vaiação instantânea da taxa de juos; - θ (t) : Função obtida pela estutua a temo da taxa de juos; - σ (t) : Função obtida pela estutua a temo de volatilidade; - dt: vaiação instantânea no tempo; - dz : componente estocástica epesentando um pocesso estocástico Nomal. O modelo BDT pode possui evesão à média implícita ao modelo, pois a taxa ' σ ( t) de juos pode evete a θ (t) no tempo se o fato fo negativo. σ ( t) Consideando que volatilidades assumem valoes estitamente positivos, isso significa que devemos te a deivada da função que desceve a estutua a temo de ' volatilidade com elação ao tempo σ ( t) assumindo valoes negativos, indicando que, paa se te evesão à média, a estutua a temo de volatilidade deve se decescente com o tempo. Isso é consideado uma limitação do modelo BDT. Este modelo seá descito com maioes detalhes no capítulo 5. 3

15 2.2.4 Modelos Multifatoiais Como descito no início deste capítulo, a quantidade de vaiáveis que devem se consideadas paa um apeçamento de uma opção é, muitas vezes, maio do que desejamos. Os modelos citados até o momento descevem a taxa de juos como única vaiável estocástica do modelo. Imagine agoa que desejássemos substitui a vaiável estocástica da taxa de juos po tês vaiáveis estocásticas paa desceve espectivamente movimentos paalelos, inclinação e cuvatua da evolução dos juos no tempo. O objetivo dos modelos multifatoiais é exatamente o de se cia feamentas matemáticas paa se leva em consideação um númeo maio de vaiáveis estocásticas. O pincipal modelo multifatoial foi desenvolvido po Heath, Jaow e Moton - HJM (992). O modelo é bem genéico e possibilita se incopoa um númeo maio de vaiáveis estocásticas. O HJM modela a taxa de etono instantânea paa o instante T, de um investimento contatado no instante t, dependente de um caminho de Wiene w, petencente ao espaço amostal Ω satisfazendo as condições de filtação { F t } em ( Ω F,{ } Ρ)., F t, 0 t τ f n t f ( t, T, w) = f ( 0, T ) + ( s, T, w) ds + σ ( s, T, w) dw ( s) i = = i 0 ( s, T, w) = σ ( s, T, w) σ ( s, u, w) σ du : i i T n t σ ( I ) s i i 0 i i Onde: - f ( t T, w), : Denota a função taxa de etono instantânea contatada em t paa vencimento em T dependente dos pocessos de Wiene w Ω ; Paa um númeo finito n de especializações do HJM, o caminho (w) depende de um númeo finito de vaiáveis de estado. Deivando o pocesso paa as taxas de juos spot (t,w), substitui-se em ( I ) ( t w) f ( t, t, w), =. A equação paa o pocesso da taxa de juos spot dependente de um númeo finito de caminhos w de Wiene fica: 4

16 n t f ( t, w) = f ( 0, t) + σ ( s, t, w) ds + σ ( s, t, w) dw ( s) i = = i 0 n t i 0 i i Como podemos pecebe, calcula um pocesso genéico paa a taxa de juos dependendo de um númeo gande de vaiáveis estocástica pode se tona um pocesso penoso e complexo. 5

17 3 Estudo de Modelos paa Constução da Cuva de Juos O pincipal objetivo deste capítulo é de popo uma foma de se constui e intepola taxas de juos, levando-se em consideação as taxas de juos embutidas nos instumentos líquidos de mecado. Fazemos também um estudo compotamental da taxa de juos confome sua evolução históica. 3. Mecado de Taxa de Juos no Basil Taxa de juos é um instumento utilizado basicamente em opeações de empéstimos e financiamentos, onde quem ecebe o empéstimo se compomete a paga, em um deteminado peíodo de tempo, a quantidade ecebida coigida po uma taxa de juos deteminada em contato. Paa se te uma noção da impotância da política de taxa de juos, vejamos o seguinte exemplo. Imagine que você possui uma empesa que, em geal, tem um etono líquido de 5% ao ano sobe o patimônio investido. Agoa imagine que, paa esta mesma empesa, você consiga capta dinheio a uma taxa de juos de 0% ao ano. Neste caso, você não pensaia duas vezes em pega dinheio empesado a 0% paa investi na empesa. Assim, ao final de um ano, você teia condições de paga sem nenhuma dificuldade, e ainda luca em cima da opeação. Po outo lado, se a taxa de juos fosse de 20% ao ano, você não só podeia deixa de capta dinheio paa investi na sua empesa, como iia pensa em altenativas de investimento foa da pópia empesa. Cada país tem uma instituição financeia esponsável po ege a política monetáia e as metas paa a taxa base de juos. Estas instituições são conhecidas como Bancos Centais. A Taxa Base é a taxa de juos na qual o Banco Cental estaá usando como base paa suas opeações de financiamento. Se consideamos que o Banco Cental é uma instituição sobeana, com baixo isco de cédito, os empéstimos feitos em geal dento do país, teão taxas de juos maioes que a taxa base. No Basil, a taxa base é conhecida como taxa SELIC. Em euniões mensais, um comitê de política monetáia do Banco Cental, mais conhecido como COPOM, 6

18 detemina qual seá a meta paa a taxa SELIC a pati daquela data. A tabela 3- abaixo ilusta o históico das euniões ente janeio de 2000 a julho de Tabela 3- Históico das Reuniões do COPOM ente Jan-2000 a Jul-2005 Dados disponíveis na página eletônica do Banco Cental do Basil pelo endeeço: 7

19 A taxa SELIC efetiva nos peíodos de vigência das metas deteminadas pelo COPOM, é calculada com base na média dos financiamentos de um dia, lasteados em títulos públicos fedeais. Isso explica a pequena difeença que se obseva em geal ente a meta deteminada pelo COPOM e a SELIC efetiva do peíodo. A divulgação da taxa SELIC diáia média é esponsabilidade do Depatamento de Opeações do Mecado Abeto, Divisão de Administação do SELIC (DEMAB/DICEL). Além do mecado de financiamentos de um dia com lasto em títulos públicos fedeais, também existe um mecado líquido de financiamento intebancáio, utilizado pelas instituições financeias paa se financiaem. Este mecado é conhecido como mecado de Depósito Intefinanceio (DI). Paa opeações de financiamentos po um dia temos o chamado DI de um dia, ou DI Ove. As opeações de Depósito Intefinanceio de um dia são egistadas e liquidadas pelo sistema da Câmaa de Custódia e Liquidação (CETIP), confome deteminação do Banco Cental do Basil. A CETIP também é esponsável pela divulgação da taxa média de depósitos intefinanceios de um dia, utilizada como base paa a maioia dos deivativos negociados na Bolsa de Mecadoias e Futuos (BM&F). A figua 3. abaixo ilusta a dinâmica da taxa média dos DI de um dia e da SELIC, ente Janeio de 2000 e Julho de Selic DI Ove jan-2000 mai-200 set-2002 fev-2004 jun-2005 Figua 3- Evolução Históica da SELIC e DI Ove Históico dos dados disponíveis na página eletônica da Câmaa de Custódia e Liquidação ( atavés link de Séies Históicas. 8

20 Pela Figua 3- podemos nota que os movimentos no DI ove acompanham os movimentos na taxa SELIC. Outa obsevação impotante deve-se ao fato que, em geal, a taxa do DI ove é meno que a taxa SELIC paa a mesma data. A explicação mais povável paa isto se deve ao fato das gandes instituições financeias em opeação no Basil possuíem atings de cédito melhoes que o pópio Banco Cental. Isso significa que o mecado considea que, a pobabilidade do Banco Cental não hona seus compomissos de pagamento da dívida, é maio que o isco dos pópios bancos em opeação no mecado de DI. Os pincipais instumentos de deivativos de taxa de juos no Basil se efeem à taxa do DI. O pincipal deles é o contato futuo de taxa média de depósitos intefinanceios de um dia, negociado na Bolsa de Mecadoias e Futuos (BM&F). O contato é o instumento utilizado po instituições financeias paa toca emuneações diáias do DI Ove po uma taxa pé-fixada paa um deteminado vencimento. Cada contato equivale à toca de uma emuneação com financeio calculado descontando-se R$00.000,00 ente a data da opeação e a data de vencimento do contato, pela taxa contatada. Este financeio é ajustado diaiamente e, a difeença ente o seu valo no dia anteio coigido pelo DI ove e o financeio calculado com base na taxa média opeada paa o vencimento do contato (conhecido como Peço de Ajuste), é movimentado ente as pates paticipantes. O Peço de Ajuste é divulgado diaiamente pela BM&F, de acodo com a taxa média negociada paa cada vencimento de contato. No dia da opeação, o ajuste é feito ente o Peço de Ajuste e o financeio embutido na taxa contatada. Como exemplo, tomemos o cenáio de 5 de maço de Imagine que o Banco A esteja queendo toca uma emuneação no DI ove po uma taxa pé-fixada até o dia o de Abil, digamos de 9,50% a.a. em dias úteis po 252. O Banco B aceita se a contapate do contato. Isso coesponde à toca de emuneação sobe um financeio (chamado de peço unitáio ou PU) de R$99.55,27, calculado segundo a Fómula 3-: Onde: PU = (3-) du ( + )252 9

21 - é a taxa pé-fixada contatada - du é o númeo de dias úteis ente a data do negócio e a data de vencimento do contato. ` Paa o exemplo: PU = = ( ) R $99.55,27 Paa o dia 5 de maço foi divulgado um peço de ajuste de R$99.75,49. Isso significa que um financeio de R$99.75,49 - R$99.55,27 = R$20,22 foi pago ao banco A pelo banco B paa cada contato negociado na taxa de 9,50%. Mantendo-se a opeação paa o dia 6 de maço, temos: - PA divulgado paa o dia 6 de maço pela BM&F = R$99.244,5 - DI Ove do dia 5 divulgado pela CETIP = 8,63% Com isso, o ajuste do ponto de vista do banco A ficou: Ajuste = PAd 0 PAd 0 Ajuste = R$, ove ( + DI ) = , ,49 ( ) Isso significa que, devido às vaiações no dia 6 de maço, o banco A teia que paga paa o banco B a quantia de R$,40 po contato que estivesse em abeto no dia 5 de maço. Os contatos futuos de DI de um dia negociados na BM&F têm uma gande impotância na obtenção das pevisões das taxas futuas de DI. Po este motivo, contatos paa difeentes vencimentos são utilizados como base paa se constui uma estutua a temo de juos. A segui estudaemos mais a fundo estes contatos e fomas de se constui uma cuva de juos que contenham as taxas paa seus vencimentos. 20

22 3.2 Compotamento dos Juos no Basil. Na Figua 3. obsevamos a evolução no tempo do DI ove e da SELIC paa os últimos 5 anos. Analisando um pouco mais a fundo a figua em questão, pecebemos que, tanto o DI ove como a SELIC tiveam compotamentos semelhantes e sua evolução no tempo ocoeu, em geal, na foma de escadas. Em outas palavas, obsevamos que a taxa do DI ove e da SELIC sofeam alteações significantes, na foma de saltos, apenas paa um conjunto específico de datas. Mas que datas são estas? Com um pouco de intuição e levando-se em consideação o que foi comentado no tópico anteio deste capítulo, faz sentido pensamos que os saltos foam na vedade eflexo das decisões tomadas nas euniões do COPOM. A Figua 3.2 a segui compaa os saltos ocoidos devidos as alteações da meta SELIC pelo COPOM, com as alteações ocoidas no DI ove paa os últimos 5 anos. A unidade atibuída as vaiações diáias foi em Pontos Base (PB), onde um ponto base é igual a 0.0% jan/2000 mai/200 set/2002 fev/2004 jun/2005 Va. DI Ove Va. Meta Selic Figua 3-2 Vaiações Diáias do DI Ove e Vaiações na Meta SELIC nas Reuniões do COPOM 2

23 Como pudemos obseva pela Figua 3.2, na gande maioia dos casos, os saltos ocoidos no DI ove foam conseqüência das decisões de alteação na Meta SELIC pelo COPOM. Obsevamos também que gande pate dos saltos, não coincidentes com as alteações da Meta SELIC, aconteceam no ano de Histoicamente falando, este ano foi macado po uma alta volatilidade nos mecados financeios em função das incetezas aceca da eleição pesidencial. Estatisticamente falando, no peíodo ente janeio de 2000 a julho de 2005, tivemos vaiações diáias do DI ove maioes que 0 pontos base em apenas 5% dos dias. Destes 5%, 70% ocoeam exatamente nas datas após a divulgação da Meta SELIC pelo COPOM, 24% ocoeam em momentos de estesse do mecado no ano de 2002 e apenas 6% não aconteceam em nenhuma das situações citadas. Destes últimos 6%, a vaiação diáia máxima não passou de 3 pontos base, ou 0,3%. Levando-se em consideação os fatos citados, é azoável supomos que, foa de situações de estesse elevado de mecado, as taxas dos Depósitos Intefinanceios só sofeão alteações significativas devido a alteações na Meta SELIC. A segui iemos popo um método paa constução e intepolação da estutua a temo paa as taxas dos Depósitos Intefinanceios, tendo como base as datas de eunião do COPOM e as taxas negociadas nos contatos de futuo de DI de um dia negociados na BM&F. 3.3 Modelos paa Constução da Cuva da Taxas dos Depósitos Intefinanceios Uma cuva de juos é caacteizada po: ) Fonece taxas paa quais que pazos ou peíodos desejados a pati de uma data base; 2) Retona taxas coincidentes com as negociadas paa os podutos líquidos de mecado; 3) Peve movimentos de mecado; No Basil, os pazos líquidos são deteminados pelos vencimentos dos contatos de futuo de DI de um dia negociados na BM&F. Potanto, qualque cuva de juos que se peze no Basil, deve fonece as taxas paa os vencimentos dos contatos de futuo de DI de um dia, coincidentes com as taxas negociadas no mecado. 22

24 Paa satisfaze os pontos 2 e 3 seão necessáias hipóteses que incluem, ente outas coisas, algoitmos de intepolação paa calcula taxas paa pazos não obsevados no mecado. Dente os métodos de intepolação mais conhecidos estão: - Intepolação Linea; - Intepolação Polinomial; - Intepolação po Spline Cúbico; - Intepolação Geomética ou Exponencial; - Intepolação Geomética Modificada; A segui falaemos de métodos paa a constução da cuva de juos paa as taxas dos DIs de acodo com o seu método de intepolação. Todos os métodos a segui executam a intepolação paa dias úteis, po se esta a base das taxas dos DIs Intepolação Linea A intepolação linea consiste em se liga po uma eta os pontos obsevados no mecado, de foma a obte taxas paa quaisque pazos intemediáios. A intepolação pode se feita paa as chamadas taxas spot, paa as taxas futuas, ou até paa os fatoes implícitos nas taxas. taxas spot: Um exemplo de intepolação linea que pode se feita, é sobe os fatoes das du du du ( + ) duint ep duti duti + duti = ( + ) + ( + ) ( + ) int ep ti int ep ti ti+ ti+ duti Onde: - du int ep = Dias úteis ente a data base da cuva e a data de intepolação - int ep = Taxa Intepolada que se deseja calcula ti - du ti - ti = Dias úteis ente a data base da cuva e o ponto obsevado imediatamente anteio a data de intepolação = Taxa obsevada efeente ao ponto obsevado imediatamente anteio a data de intepolação Taxa spot é a taxa cuja data paa início da emuneação é igual à data base da cuva de juos. 23

25 - du ti+ = Dias úteis ente a data base da cuva e o ponto obsevado imediatamente posteio a data de intepolação - ti+ = Taxa obsevada efeente ao ponto obsevado imediatamente posteio a data de intepolação A Tabela 3.2 contém os peços de ajuste divulgados pela BM&F e as taxas implícitas nestes peços paa o dia 8 de maio de A Figua 3.3 mosta um exemplo de como ficaia a cuva de juos paa o DI na intepolação linea. Os pontos usados na intepolação são os efeentes ao DI Ove e aos vencimentos dos contatos de Futuo de DI da BM&F paa esta data. Como ponto positivo deste método podemos cita a facilidade de implementação. Agoa vamos entende o que acontece com as taxas futuas paa esta intepolação. Tabela 3-2 Peços de Ajuste Paa os Contatos Futuos de DI e Suas Respectivas Taxa Implícitas Dados obtidos atavés da página eletônica da BMF no endeeço: 24

26 Taxa Implícita 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-3 Cuva de Juos Paa Intepolação Linea na Taxa Spot Paa o Dia 8-Maio-2005 Taxa Futua 2.00% 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-4 Evolução do DI Ove ao Longo da Cuva de Juos Paa Intepolação Linea no Fato da Taxa Spot 25

27 A Figua 3.4 ilusta a evolução da taxa futua do DI Ove ao longo da cuva de juos, calculada segundo a fómula a segui: Onde: ( + DI ) ti 252 = duti ti+ duti ( + ti )252 ( + ), - DI ti = Taxa futua do DI Ove na data t i, - ti = Taxa spot obtida na cuva de juos paa o vencimento em t i, - ti+ = Taxa spot obtida na cuva de juos paa o vencimento no pimeio dia útil posteio a t i, - du ti =Númeo de dias úteis ente a data base da cuva e t i. Na evolução do DI Ove ao longo da Cuva de Juos, pudemos nota a pesença de alguns picos (em fomas de dentes) nas taxas futuas do DI Ove que, a pincípio, não seiam explicáveis nem do ponto de vista econômico, e nem com base na evolução históica. Matematicamente falando, os picos ocoem pincipalmente devido ao fato das taxas negociadas paa os contatos futuos seem exponenciais, enquanto que a intepolação utilizada é linea. O fato de não obsevamos os mesmos movimentos de mecado ocoidos histoicamente paa o DI Ove é deteminante paa excluimos esta possibilidade de intepolação paa a cuva de juos do DI Ove Intepolação Polinomial A Intepolação Polinomial consiste em constui uma função polinômio que passe po todos os pontos obsevados de mecado. No pio dos casos, o polinômio teá odem igual ao númeo de pontos disponíveis, menos um. A Figua 3.5 ilusta o gáfico da cuva de juos obtida paa os 23 pontos da Tabela

28 Cuva Spot Po Intepolação Polinomial % 0.00% % % jan/2004 mai/2005 out/2006 fev/2008 jul/2009 nov/200 ab/ % % % % Figua 3-5 Gáfico da Cuva de Juos Spot com Intepolação Polinomial paa dia 8-Maio-2005 Cuva Spot Po Intepolação Polinomial 22.00% 2.00% 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% fev/2005 ago/2005 ma/2006 out/2006 ab/2007 nov/2007 mai/2008 dez/2008 jul/2009 Figua 3-6 Gáfico da Cuva de Juos Spot com Intepolação Polinomial até 0-Jul-2009 paa dia 8-Maio-2005 O método em questão possui um séio poblema de convegência que começa apoximadamente em dezembo de 2008, como obsevamos pela Figua 3-6. Isso é um isco que se coe quando se tenta faze qualque tipo de intepolação polinomial. Note pela Figua 3-7, que a situação paa as taxas futuas de DI Ove é ainda pio. 27

29 DI Ove Futuo % % 50.00% 00.00% 50.00% 0.00% % % mai/2005 dez/2005 jun/2006 jan/2007 jul/2007 fev/2008 ago/2008 ma/2009 Figua 3-7 Evolução do DI Ove ao Longo da Cuva Spot Paa Intepolação Polinomial Novamente, o fato de não obsevamos movimentos de mecado coeentes e explicáveis do ponto de vista econômico e históico é deteminante paa excluimos esta possibilidade de intepolação paa a cuva de juos do DI Ove Intepolação po Spline Cúbico A Intepolação po Spline Cúbico consiste em inteliga dois pontos obseváveis, po um uma cuva elativa a um polinômio de teceio gau, de foma que a cuva pemaneça deivável em todos os seus pontos. Outa condição necessáia paa o modelo inclui o fato de se anula a segunda deivada no tempo nos extemos. Na Figua 3.8, que epesenta a cuva de juos paa as taxas spot, obsevamos um compotamento estável, melho que a intepolação polinomial. Entetanto, quando taçamos a evolução do DI Ove nesta cuva (Figua 3.9), notamos um compotamento instável. 28

30 Cuva de Juos Spot Paa Intepolação Po Spline Cúbico 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-8 Gáfico da Cuva de Juos po Spline Cúbico paa dia 8-Maio-2005 Evolução do DI Ove Sobe a Cuva de Juos 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-9 Evolução do DI Ove paa Intepolação po Spline Cúbico Mais uma vez não foi obsevado movimentos de mecado coeentes e explicáveis do ponto de vista econômico e históico paa a evolução do DI ove, o que é deteminante paa concluimos que a intepolação po Spline Cúbico talvez não seja a intepolação mais apopiada paa usamos na cuva de juos do DI Ove. 29

31 3.3.4 Intepolação Geomética ou Exponencial A intepolação geomética (ou exponencial) consiste basicamente em intepola lineamente os logaitmos dos fatoes de desconto das taxas spot. Dados dois pontos obseváveis, calcula-se a taxa de um ponto intemediáio segundo a fómula abaixo: Equação 3-2: log du du du duintep duti du ti + duti int ep ti ( + ) 252 = log( + ) log( + ) 252 log( + ) 252 int ep ti ti+ ti+ duti ti Onde: - du int ep = Dias úteis ente a data base da cuva e a data de intepolação - int ep = Taxa Intepolada que se deseja calcula - du ti - ti = Dias úteis ente a data base da cuva e o ponto obsevado imediatamente anteio a data de intepolação = Taxa obsevada efeente ao ponto obsevado imediatamente anteio a data de intepolação - du ti+ = Dias úteis ente a data base da cuva e o ponto obsevado imediatamente posteio a data de intepolação - ti+ = Taxa obsevada efeente ao ponto obsevado imediatamente posteio a data de intepolação A Figua 3.0 a segui ilusta a Cuva de Juos usando-se a intepolação geomética. Pelo fato da intepolação possui uma fómula fechada que depende apenas dos pontos adjacentes, a sua implementação é bem simples de se feita. 30

32 Cuva de Juos Spot Com Intepolação Geomética 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-0 Gáfico da Cuva de Juos com Intepolação Geomética paa dia 8-Maio-2005 Evolução do DI Ove Sobe a Cuva de Juos 2.00% 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3- Evolução do DI Ove paa Intepolação Geomética A Figua 3. ilusta a expectativa de evolução do DI Ove sobe a cuva com intepolação geomética. Uma obsevação impotante é devida ao fato do DI Ove pemanece constante ente dois pontos obsevados de mecado. Paa pova 3

33 matematicamente esta popiedade, agupando os temos nos logaitmos da Equação 3.2 teemos: log ( + ) duint ep 252 = log ( + ) int ep duti 252 ti ( + ) ti+ duint ep duti du ti + duti + duti 252 duti ( + ) 252 ti, ou, ( ) duint ep = ( + ) duint ep duti duti+ duti du ti+ duti ( + + ) 252 ti 252 int ep ti duti (3.3) ( ) + ti 252 Paa calcula uma taxa futua de um dia no peíodo ente t i e t i+, temos que calcula duas taxas intepoladas, int ep e int ep+, tal que a taxa futua de um dia ente t i e t i+ é descita po: ( + ) DI 252 = duint ( + int ep+ ) duint ( + ) 252 int ep ep ep (3.4) Calculando int ep e int ep+ pela equação (3.3) e substituindo-se em (3.4) temos: ( + ) DI 252 = ( + ) ( + ) duti 252 ti duti 252 ti ( + ) duti ti+ duti ti 252 ( + ) ( + ) duti ti+ duti ti 252 ( + ) duint ep + duti duti + duti duint ep duti duti + duti Simplificando, ficamos finalmente com: ( + ) duti + duti du ti + ( + + ) 252 ti 252 DI = duti (3.5) ( ) + ti

34 Obseve que a equação (3.5) depende apenas dos pazos e taxas obsevados, assumindo sempe valoes iguais nos peíodos ente as duas datas obsevadas no mecado. O método de intepolação geomética paa a constução da cuva de juos, possui compotamento estável tanto paa as taxas spot, quanto paa as taxas futuas de DI ove ao longo da cuva. O compotamento da cuva dos futuos de DI ove, sendo constante ente duas datas obsevadas, paece te o compotamento que espeamos paa a evolução tempoal do DI ove, como obsevado na Figua 3.. A gande difeença, e um ponto cucial paa nossa escolha do modelo, deve-se ao fato de espeamos alteações no DI ove apenas nas datas efeentes às decisões do COPOM, ao invés das datas efeentes aos pontos obsevados no mecado Intepolação Geomética Modificada (Modelo Paa o Mecado Basileio) Este modelo consiste em utiliza a intepolação Geomética, mas ente as datas efeentes às decisões do COPOM, que daqui paa fente chamaemos de data de COPOM. Paa isto, pecisamos calcula quais seão as taxas nas datas do COPOM, dados pontos obsevados de mecado. Implícita nesta infomação tem-se a pevisão do mecado paa futuas alteações na taxa base pelo COPOM Sejam do COPOM, e i COPOM a taxa do DI Ove que passaá a vale a pati da i-ésima eunião j DI a taxa negociada no j-ésimo contato futuo de DI de dia, com vencimento imediatamente posteio a i-ésima data de COPOM. Consideando que as taxas sofem alteações apenas nas datas de COPOM, podemos esceve a seguinte elação: dud 0 j du i j j ( + ) DI COPOM = ( + ) Π( + ) (3-6) du d 0 d o COPOM i duk k k 252 COPOM COPOM k = i ( + ) Onde: 33

35 du Dias úteis ente a i-ésima eunião de COPOM e o j-ésimo i dud d j vencimento de DI; 0 j Dias úteis ente a data base da cuva d0 e o j-ésimo d COPOM vencimento de DI; du Dias úteis ente a data base da cuva d0 e a pimeia data de 0 o COPOM a pati da data base da cuva; Tomemos como exemplo o dados paa o dia 8 de maio de 2005 da Tabela 3.2 e os dados da Tabela 3.3 que contém o calendáio das datas de COPOM divulgadas paa o ano base Tabela 3-3 Calendáio de Datas do COPOM paa 2005 O DI Ove efetivo em 8 de maio foi de 9,47%. Potanto, como ente o dia 8 e a póxima data efetiva do COPOM não temos nenhum contato abeto de DI, a taxa espeada até a póxima eunião do COPOM seá igual ao DI ove do pópio dia 8 de maio, ou seja, 9,47%. Paa o modelo em questão, desconsideaemos eventuais vencimentos de contato futuo de DI de um dia que estejam ente a data base e a pimeia data de COPOM, po consideamos a infomação de edundante com o DI ove da data base. Calendáio disponível atavés da página eletônica do Banco Cental do Basil, no endeeço: 34

36 O pimeio passo do modelo seá calcula as taxas futuas de DI de um dia nas datas do COPOM. Calculando a pevisão do mecado paa a pimeia eunião do COPOM no dia 9 de maio, temos: - 0 COPOM = 9,47% taxa do DI ove até a pimeia data do COPOM, - dui j = 8 dias úteis ente a pimeia data efetiva do - COPOM (9 de maio) e o pimeio ponto de mecado de futuo de DI ( o de junho), DI = 9,58% taxa implícita no pimeio vencimento de - dud d o COPOM - dud j contato futuo de DI ( o de junho), 0 = dia útil ente a data base e a pimeia data de COPOM, e 0 = 9 dias úteis ente a data base da cuva (8 de maio) e o vencimento do pimeio contato futuo de DI ( o de junho). Fazendo as devidas substituições em (3-6) teemos: 9 252, ou COPOM = 9,59% ( + 0,947 ) 252 ( ) 8 ( + 0,958 ) = COPOM O esultado de ceta foma nos indica que o mecado estava espeando um aumento de apoximadamente 2 pontos base paa a data de COPOM de 9 de maio. Expectativa esta calculada com a difeença em pontos base ente o DI Ove do dia 8 de maio (9,47%) e a expectativa sua expectativa paa a data COPOM de 9 de maio. Paa citéio de infomação, o dia 9 de maio teve um aumento na taxa base de 25 pontos base decidido pelo COPOM. Esta decisão levou o DI ove paa 9,7%, efletindo paticamente todos os 25 pontos do aumento na taxa base. Refazendo o cálculo paa a data de COPOM de 6 de junho teemos: 35

37 2 ( ) ( ) = COPOM ( ) 252 ( ) 2 COPOM = 9,75% A Tabela 3-4 contém os cálculos paa as demais datas efetivas do COPOM divulgadas até dezembo Vencimento DI Ove Futuo 9/mai/ % 6/jun/ % 2/jul/ % 8/ago/ % 5/set/ % 20/out/ % 24/nov/ % 5/dez/ % Tabela 3-4 Expectativas paa o DI Ove Futuo nas Datas de COPOM no dia 8-maio-2005 Paa se obte as expectativas das datas de COPOM até 5 de setembo, usamos os vencimentos mensais dos contatos futuos de DI da BM&F até outubo. Paa as datas subseqüentes, não temos pontos negociados de futuo de DI na BMF em todas as cabeças de mês pelo motivo dos vencimentos passaem a ocoe timestalmente. Paa detemina as expectativas nas euniões subseqüentes, supomos o simples fato de que as alteações ocoem uma vez, e no pimeio mês do timeste. Isso foi feito de modo a facilita os cálculos. Outas hipóteses podem se usadas paa esolve o poblema citado. Ente elas, pode-se supo que as alteações ocoem de modo igual nos meses intemediáios. Em geal é ecomendado o uso da intuição de quem opea e constói a cuva de juos, calibando as expectativas nas euniões do COPOM subseqüentes de foma a casa com as taxas de mecado do DI e de acodo com suas pópias expectativas paa as datas de COPOM. Devido ao fato de, quando se fez este tabalho, não tinham sido divulgadas as datas das euniões do COPOM paa os anos posteioes a 2005, mantivemos os pópios vencimentos do contato futuo de DI paa intepolações nestes peíodos. A Tabela 3.5 mosta os pontos base da cuva com taxas spot paa intepolação geomética. As Figuas 36

38 3.2 e 3.3 ilustam espectivamente o fomato da cuva de juos paa a intepolação geomética modificada e as pevisões do DI ove futuo nesta cuva. Paa citéio de compaação, calculamos a cuva de juos paa data do COPOM do dia 9 de maio. Os pontos base da cuva com as taxas spot estão na Tabela 3.6 e as pevisões de alteações do DI ove paa as datas de COPOM subseqüentes estão ilustadas na Tabela 3.7. As Figuas 3.4 e 3.5 mostam como o eo das pevisões do mecado influenciou as cuvas de juos e as expectativas futuas do DI ove. No Capítulo 4 estudaemos especificamente os eos nas expectativas e a foma a modelá-los. Finalmente no Capítulo 5 iemos popo um modelo paa o apeçamento de deivativos das taxas dos DIs que incopoe uma componente estatística efeente a estes eos. Tabela 3-5 Pontos Base da Cuva de Juos paa Intepolação Geomética do dia 8-maio

39 Taxa Spot 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-2 Gáfico da Cuva de Juos Spot com Intepolação Geomética Modificada paa dia 8- Maio-2005 Taxa Futua 2.00% 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-3 Evolução do DI Ove paa Intepolação Geomética Modificada paa o dia 8-maio

40 Tabela 3-6 Pontos Base da Cuva de Juos paa Intepolação Geomética do dia 9-maio-2005 Vencimento DI Ove Futuo 9/mai/05 9.7% 6/jun/ % 2/jul/ % 8/ago/ % 5/set/ % 20/out/05 9.7% 24/nov/05 9.7% 5/dez/05 9.7% Tabela 3-7 Expectativas paa o DI Ove Futuo nas Datas de COPOM no dia 9-maio

41 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% Taxas Spot 9-Maio-2005 Taxas Spot 8-Maio % 5.00% mai/2005 out/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-4 Evolução da Cuva de Juos de 8-maio-2005 a 9-maio % 2.00% 20.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% Taxas Futuas 9-Maio-2005 Taxas Futuas 8-Maio-2005 mai/2005 set/2006 fev/2008 jun/2009 nov/200 Figua 3-5 Evolução das Expectativas paa DI Ove de 8-maio-2005 a 9-maio

42 4 Estudo dos Saltos nas Datas Efetivas do COPOM No capítulo anteio escolhemos um método paa constui a cuva de juos dos Depósitos Intefinanceios (DI). Dela conseguimos subtai as pevisões do mecado paa eventuais mudanças na taxa do DI elacionadas à alteação da meta SELIC pelo Comitê de Política Monetáia do Banco Cental (COPOM). Pecebemos também que, paa uma deteminada data, à pevisão do mecado não coespondeu com o que ealmente ocoeu na data do COPOM. Isso fez com que ocoesse um salto na cuva de juos de cuto pazo de foma a adapta a nova cuva pós-eunião do COPOM. Neste capítulo fazemos um estudo históico destes saltos. O objetivo é esponde a peguntas do tipo: Com que feqüência o mecado ea suas pevisões? Qual o compotamento destes saltos? Como modela estes saltos em uma vaiável estocástica paa o pocesso da taxa de juos? 4. Análise Históica Paa fazemos uma análise históica dos eos nas pevisões do mecado paa as alteações no DI Ove com a melho pecisão possível, utilizaemos a pevisão do DI Ove paa a data de COPOM com exatamente um dia de antecedência. Consideamos que assim estaemos minimizando a pobabilidade de se mistua os efeitos de movimentos de mecado com os saltos ocasionados pelo eo da pevisão. Utilizando o método de constução da cuva de juos po intepolação geomética modificada paa datas base imediatamente anteioes às datas efetivas do COPOM, obtemos a pevisão embutida na cuva de juos paa a eunião do COPOM do dia seguinte. Em seguida, compaamos esta pevisão com o que ealmente ocoeu na data do COPOM. As pevisões e as taxas efetivas estão ilustadas na Figua 4-. As difeenças em pontos base das pevisões com as alteações efetivas estão ilustadas na Figua

43 CDI 28.00% 26.00% 24.00% 22.00% 20.00% 8.00% 6.00% 4.00% Pevisão Efetiva jan-00 jul-00 jan-0 jul-0 jan-02 jul-02 jan-03 jul-03 jan-04 jul-04 jan-05 Datas Efetivas do COPOM Figua 4- Compaação ente as pevisões do mecado paa o DI Ove e o obsevado nas datas efetivas do COPOM 00 Difeença em Pontos Base jan-00 mai-00 set-00 jan-0 mai-0 set-0 jan-02 mai-02 set-02 jan-03 mai-03 set-03 jan-04 mai-04 set-04 jan Datas Efetivas do COPOM Figua 4-2 Difeença em pontos base ente as pevisões do mecado paa o DI Ove e o obsevado nas datas efetivas do COPOM 42

44 As Figuas 4- e 4-2 nos indicam a existência de saltos no DI Ove em quase todas as datas de COPOM compeendidas ente Janeio de 2000 e Maio de De modo a cia um modelo eficiente paa o apeçamento de deivativos de taxas de juos devemos incopoa uma vaiável aleatóia disceta no pocesso da taxa de juos, de foma a incopoa os saltos obsevados. Outo ponto inteessante de se obseva é o fato dos saltos, no peíodo efeido, teem sido, em sua gande maioia, negativos. Isto eflete de ceta foma o pessimismo do mecado, que na maioia das vezes espeou um aumento maio (ou uma queda meno) na taxa, do que o que ealmente ocoeu. 4.2 Compotamento dos Saltos Paa tenta mapea o compotamento dos saltos obsevados histoicamente em uma vaiável aleatóia, pecisamos pimeiamente escolhe uma foma de medi os saltos históicos. Na Figua 4-2 medimos os saltos pela difeença ente as expectativas e os valoes efetivos. Outa foma de se medi estes saltos é atavés da difeença pecentual do valo eal. A desvantagem de se utiliza uma difeença simples se deve ao fato de, quando incopoado ao pocesso da taxa de juos, pode gea taxas negativas. Este poblema pode se esolvido paa modelos implementados em ávoes, podando os amos que eventualmente levem a taxas negativas. Paa difeenças pecentuais não se coe o isco de obte taxas negativas no modelo final. O pimeio passo paa se identifica qual a distibuição da nova vaiável aleatóia, é obseva o seu histogama. As Figuas 4-3 e 4-4 ilustam os histogamas paa saltos medidos espectivamente pela difeença simples e pela difeença pecentual. Vide exemplos paa fugi de taxas negativas na ávoe tinomial pelas Figuas 2. e 2.2 do Capítulo 2. 43