2. A INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS. 2.1 Aplicação da Análise Experimental de Estruturas

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1 3. A INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS.1 Aplicação da Análise Expeimental de Estutuas A qualidade de um sistema estutual é caacteizada po um deteminado conjunto de seus atibutos chamados de vaiáveis de estado do sistema. A fixação de quais vaiáveis são de inteesse na caacteização do estado do sistema depende dos equisitos necessáios a uma opeação satisfatóia desse mesmo sistema. De maneia geal, pode-se dize que toda investigação expeimental tem como objetivo obte ou uma vaiável de estado do sistema estutual ou a atificação de uma hipótese fomulada a espeito desse mesmo sistema. FUSCO (1996). Na Engenhaia, a análise expeimental de estutuas pode se utilizada como feamenta no estudo da qualidade dos sistemas estutuais ao longo das quato fases em que se desdobam todas as atividades de engenhaia: planejamento, pojeto, constução e opeação, figua.1. No planejamento da oba, as maquetes, constuídas como modelos de visualização do poduto, contibuem paa a concepção estutual, podendo inclusive espea-se a ealização de ensaios físicos utilizando estes modelos. Na fase de pojeto, a análise pode se ealizada po meios numéicos ou físicos, dependendo das necessidades apontadas pelo pojetista. Duante a constução, é feito o contole do sistema mateial pelas amostas coletadas ao longo de cada fase do pocesso. Após o témino da constução, em alguns casos, são executadas povas de caga de aceitação do poduto, ou melho, da estutua como um todo, pocedimento este comum em alguns países euopeus. Na fase de opeação, ou seja, duante a utilização nomal da estutua, podem se ealizados ensaios de monitoação paa avalia o compotamento da estutua quando submetida às cagas de utilização ou, ainda, podem se ealizadas povas de caga paa detemina paâmetos estutuais. Desta foma, a análise expeimental de estutuas, tanto numéica

2 4 quanto física, gea infomações necessáias ao pocesso de tomada de decisões em elação ao poduto estutua. Figua.1 Aplicação da análise expeimental de estutuas, ALMEIDA (1996)

3 5. Conceitos Básicos Pela natueza dos fenômenos abodados neste tabalho, tona-se necessáio o entendimento dos conceitos da Dinâmica das Estutuas. Paa tal, deve-se apesenta a classificação de ações que podem atua nesses sistemas estutuais: Ações deteminísticas são aquelas em que os valoes da ação podem se deteminados a cada instante. Em ações aleatóias, os valoes da ação em cada instante não podem se pevistos exatamente, mas somente utilizando funções estatísticas. Os tipos de ações deteminísticas estão mostados na figua.. Figua. Ações deteminísticas, BACHMANN; AMMANN (1987)

4 6 Uma ação que epesenta um pocesso aleatóio estacionáio possui mesma distibuição de pobabilidades independente da escala de tempo adotada. Caso contáio, esta seá chamada de não estacionáia. As equações de movimento de qualque sistema dinâmico epesentam expessões da a lei de Newton paa pontos mateiais. CLOUGH; PENZIEN (1993). Consideando que na maioia dos poblemas da dinâmica das estutuas pode-se assumi que a massa não vaia, então matematicamente tem-se: f () t mv& () t = & (.1) onde f () t é o veto esultante das foças aplicadas na patícula; v () t é o veto de posição da patícula de massa m. O segundo temo da equação, m & v & ( t), é definido como foça de inécia. Aplicando o conceito que uma massa desenvolve uma foça inecial popocional a sua aceleação, de sentido contáio, conhecido como Pincípio de D Alembet, pemite que a equação de movimento seja expessada como uma equação de equilíbio dinâmico: p = (.) () t f () t + f () t + f () t I D S Logo, paa o sistema dinâmico mostado na figua.3, tem-se: Figua.3 Sistema dinâmico com um gau de libedade, CLOUGH; PENZIEN (1993)

5 7 p () t é o caegamento atuante; () t m v& () t f I = & é a foça inecial; f D () t = c v &() t é a foça de amotecimento, consideando um amotecimento viscoso; () t k v() t f S = é a foça elástica. Desta foma, detemina a esposta dinâmica de um sistema com um gau de libedade consiste, em última análise, em intega uma equação difeencial do tipo: () t + c v& () t + kv() t p() t m & v = (.3) Analogamente, detemina a esposta dinâmica de um sistema com n gaus de libedade consiste, em última análise, em intega n equações difeenciais do tipo da equação.3. Desta foma, pode-se epesenta as foças maticialmente: () t + C v& () t + Kv() t P() t M & v = (.4) A desconsideação do caáte vetoial nas equações.3 e.4 pode se feita dento da fomulação da Mecânica Analítica, baseada em conceitos de enegia, ou seja, gandezas escalaes. LANCZOS (1966) apud MAZZILLI (1996). Vibações Lives Neste caso, p () t = 0. A solução é obtida integando-se a seguinte equação: () t + c v& () t + kv() t 0 m & v = (.5) CLOUGH; PENZIEN (1993) mostam que a solução é:

6 8 a) paa sistemas não amotecidos ( c = 0) : onde v ( 0) e ( 0) v () t v( 0) ( 0) v& = cosωnt + senωnt (.6) ω v& são condições de contono do poblema; ω n é a feqüência natual do sistema. b) paa sistemas amotecidos, consideando amotecimento sub-cítico, usual em estutuas civis ( ξ ): n v onde v ( 0) e ( 0) () t = v( 0) v cosωdt + ( 0) + v& ( 0) ξω ξω t ω d n senωdt e v& são condições de contono do poblema; n (.7) ω d = ωn 1 ξ é a feqüência de vibações lives do sistema amotecido; c ξ = é a taxa de amotecimento; c c c c = mω n é o amotecimento cítico. Da equação.7, pecebe-se que a cuva fomada pelos picos da esposta é exponencial. Desta foma, obtem-se: v ln v ππ n = = n ξ δ (.8) onde δ é o decemento logaítmico de amotecimento Figua.4 Vibações lives em um sistema com amotecimento sub-cítico, CLOUGH; PENZIEN (1993)

7 9 Vibações Foçadas Neste caso podem se utilizadas as notações de Eule: e e iθ iθ = cosθ isenθ = cosθ + isenθ (.9) Quando a excitação é hamônica, ou seja ( t) iω t p = p o e, tem-se: () t + c v& iωt () t + kv () t p e 0 m & v = (.10) Neste caso, é natual espea que uma solução paticula da equação seja a hamônica com a mesma feqüência do caegamento: 0 H ω p k mω + icωn 0 onde ( ) 0 iωt ( t) v 0 e v = (.11) p v = = (.1) A defasagem ente o caegamento e a esposta é dada po: cω φ = actan k mω ξβ = 1 β (.13) onde β = ω ω n Segundo CLOUGH; PENZIEN (1993), o fato de amplificação dinâmica D é dado po: D v p /k 0 1 [( 1 β ) + ( ) ] 0 = = ξ β (.14) Utilizando-se a equação.14, pode-se obte o gáfico da figua.5. A função H ( ω) é chamada função esposta em feqüências e epesenta a elação ente a amplitude da esposta dinâmica e a amplitude da excitação.

8 10 Desta foma, as espostas de um sistema dinâmico elástico linea podem se deteminadas tanto no domínio do tempo como no domínio da feqüência. A figua.6 mosta as elações ente esses dois domínios e as ligações po meio de tansfomadas de Fouie. As tansfomadas de Fouie são pocessos matemáticos utilizados paa tansfoma uma função no domínio do tempo paa o domínio da feqüência e vice-vesa. Figua.5 Fato de amplificação dinâmica em função do amotecimento e da feqüência, CLOUGH; PENZIEN (1993). PFT: tansfomada de Fouie de função peiódica TFT: tansfomada de Fouie de função tansiente PIFT: tansfomada invesa de Fouie de função peiódica TIFT: tansfomada invesa de Fouie de função tansiente Figua.6 Relações entada-saída dos sistemas dinâmicos elásticos lineaes mostando as tansfomadas de Fouie como ponte ente pocessos de convolução e função esposta em feqüências, McCONNELL (1995).

9 11 A função ( t τ) h é chamada função esposta ao impulso p ()dτ τ aplicado no instante τ. Este impulso matematicamente coesponde a uma função delta de Diac. A função delta de Diac tem valo zeo paa todos os valoes de t, exceto em t = τ. É, potanto, o limite confome t tende a zeo de uma áea etangula unitáia como mostado na figua.7. Figua.7 Conceitos de convolução. (a) função delta de Diac. (b) função esposta ao impulso, McCONNELL (1995) A esposta no domínio do tempo é: () t p() τ h( t τ) v = dτ (.15) A equação.15 é chamada de integal de convolução ou de Duhamel. Confome mosta a figua.6, as funções h( t τ) e ( ω) tansfomadas de Fouie: H fomam um pa de h () t = ( ) ( ) = h( t) H ω 1 π H ω e e iωt iωt dt dω (.16) Quando a excitação é peiódica, tanto a esposta como a excitação podem se epesentadas como uma soma de hamônicos, ou seja, em séies de Fouie: x () t = a 0 + k = 1 a k πkt πkt cos + bksen T T (.17)

10 1 onde a 0, a k e b k são chamados coeficientes de Fouie: T/ 1 a 0 = x() t dt T T/ a k k 1 = T T/ T/ x () t πkt cos dt T (.18) b k k 1 = T T/ T/ x () t πkt sen dt T Supondo que o valo médio de x ( t) seja igual a zeo e, potanto, a 0 também nulo, os valoes dos coeficientes a k e bk podem se mostados gaficamente πk de foma que a feqüência ω k = coesponda ao eixo hoizontal e seus T espectivos coeficientes a k e b k ao eixo vetical, figua.8. A distância ente π hamônicos adjacentes é ω =. O gáfico mostado na figua.8, onde são T apesentados os valoes discetos dos coeficientes em cada hamônico, é chamado de especto disceto de feqüências. Ações peiódicas podem se epesentadas po este tipo de especto. Figua.8 Repesentação gáfica dos coeficientes de Fouie, NEWLAND (1989)

11 13 Pecebendo-se que confome T, ω 0 (os valoes discetos do gáfico da figua.8 apoximem-se muito), no limite, sob cetas condições, as séies de Fouie tonam-se integais de Fouie e os coeficientes de Fouie tonam-se funções contínuas da feqüência. Substituindo as equações.18 na equação.17, e consideando a 0 = 0, no limite pova que: T, quando ω dω, FOURIER (18) apud NEWLAND (1989) onde os temos A( ω) e B( ω) de Fouie de x () t : ( t) = A( ω) cos tdω + ( ) 0 0 x ω B ω senωtdω (.19) são chamados de componentes da Tansfomada ( ) = x() t A ω 1 π ( ) = x() t B ω 1 π cosωtdt senωtdt (.0) A equação.19 é a epesentação de x ( t) po uma integal de Fouie ou tansfomada invesa de Fouie. A equação só é válida na seguinte condição: x () t dt Ações tansientes podem se descitas po integais de Fouie chamadas de densidade espectal contínua. Definindo X ( ω) como: X( ω) A( ω) ib( ω) = (.1) FOURIER (18) apud NEWLAND (1989) mosta que: x () t = ( ) 1 π ( ) = x() t X ω X ω e iωt dω e iωt (.)

12 14 onde X( ω) é a tansfomada complexa de Fouie de ( t) x ; x() t é a tansfomada complexa invesa de Fouie de ( ω) X. Confome foi visto, as tansfomadas de Fouie são fundamentais no estudo de sistemas dinâmicos. Pecebe-se entetanto que as integais são difíceis de seem calculadas analiticamente. Existem pocessos numéicos paa deteminação dos espectos de feqüências que são chamados de tansfomadas discetas de Fouie e seão abodados no item Expeimentação Física.3.1 Investigações de Campo A investigação de campo gealmente pode se caacteizada po tipos de ensaios: ensaios de monitoação e povas de caga. Os ensaios de monitoação são caacteizados pela medida da esposta da estutua quando submetida a caegamentos onde não se tem contole de sua natueza no espaço e no tempo. As povas de caga são caacteizadas pela medida da esposta da estutua submetida a caegamentos onde são conhecidos tanto sua natueza quanto a sua ocoência no espaço e no tempo. As povas de cagas podem se divididas em estáticas ou dinâmicas. Em povas de caga estáticas, a estutua é submetida a caegamentos consideados estáticos ou quase-estáticos, despezando-se então os efeitos dinâmicos na estutua. Quando, no entanto, um caegamento tive intensidade vaiável no tempo, de foma que tansfia paa a estutua, além de enegia de defomação, enegia cinética, este caegamento é consideado dinâmico e tem-se potanto uma pova de caga dinâmica. As pincipais povas de caga dinâmicas são os ensaios de vibações lives e os ensaios de vibações foçadas.

13 15 Em ensaios de vibações lives, a estutua deve se deslocada de sua configuação estática de equilíbio e libeada de foma que possa viba livemente, ou seja, sem ação de nenhuma foça extena (Equação.5). Em ensaios de vibações foçadas, a estutua é excitada po caegamentos dinâmicos contolados, gealmente senoidais (Equação.10). Os excitadoes das estutuas podem se de tanslação ou de otação. O excitado de tanslação nomalmente tem seu mecanismo baseado em atuadoes hidáulicos contolados po sevosistemas. Os sevosistemas possuem mecanismos de contole paa compensação ente a caga aplicada e a caga desejada, figua.9. Figua.9 Esquema do sevosistema, REESE; KAWAHARA (1993) O excitado de otação consiste em dois discos giando em um mesmo plano com a mesma velocidade angula e em sentidos opostos, onde são fixadas duas massas excênticas, as quais podem te suas posições ajustadas, figua.10 Da decomposição vetoial das foças centífugas, obtém-se a intensidade da foça poduzida pelo excitado de otação: α F ( ) ( ) k ω = R cos ω (.3)

14 16 Figua.10 Excitado de otação de massa excêntica, McCONNELL (1995) onde R : constante caacteística do excitado utilizado; α : angulo elativo ente as duas massas excênticas; ω : velocidade angula..3. Aquisição de Dados Os métodos de investigação expeimental de estutuas podem se divididos nas seguintes fases: Fenômeno tansdutoes condicionadoes cabos convesoes gavadoes de sinais analógicodigitais Figua.11 Configuação básica de um sistema de aquisição de dados Fenômeno É o pocesso que se deseja estuda. A análise do fenômeno é baseada no estudo de gandezas físicas que são medidas po meio de tansdutoes.

15 17 Antes de ealiza a aquisição de dados, deve-se escolhe cuidadosamente as gandezas a seem medidas. Estas gandezas são denominadas vaiáveis de inteesse do sistema e podem se obtidas dietamente dos esultados do ensaio ou, utilizando-se um modelo teóico paa tatamento desses dados. No segundo caso, deve-se compaa as hipóteses admitidas em modelos teóicos utilizados com as condições de ensaio paa que a vaiável medida epesente ealmente o fenômeno estudado. Em ensaios dinâmicos onde se deseja obte infomações sobe o compotamento das estutuas, as vaiáveis estutuais de inteesse são de natueza mecânica, tais como deslocamentos, defomações, velocidades, aceleações e foças. Nos ensaios de monitoação de estutuas de estádios, onde petende-se avalia o compotamento da estutua quando submetida a caegamentos induzidos po pessoas (fenômeno), são medidas as aceleações (vaiáveis de inteesse) po meio de aceleômetos (tansdutoes). Tansdutoes Nos tansdutoes as gandezas físicas são tansfomadas em sinais de outa natueza, tais como eléticos, acústicos, ópticos ou mesmo mecânicos. Em ensaios de monitoação de estutuas, são utilizados tansdutoes que tansfomam as gandezas mecânicas em sinais eléticos, que podem se tensão ou coente. Quanto ao funcionamento, os tansdutoes eléticos podem se esistivos, indutivos ou capacitivos As medidas de gandezas que descevem movimentos tais como deslocamentos, velocidades e aceleações são feitas de dois modos distintos. O pimeio modo coesponde a tansdutoes que têm um plano de efeência fixo ao qual a base do tansduto é fixado. Outo modo coesponde aos tansdutoes sísmicos que são empegados quando não é possível se te um plano de efeência fixo naquela dieção.

16 18 Figua.1 Utilização de tansdutoes de efeência fixa ou vaiável Como exemplo, pode-se apesenta a medição das gandezas que descevem movimentos na extemidade de uma aquibancada de estádio de futebol (ponto A), figua.1. Na dieção vetical Z, pode-se utiliza tansdutoes fixados dietamente ao solo ou tansdutoes sísmicos. Na dieção hoizontal Y, só podem se utilizados tansdutoes sísmicos devido a inexistência de efeenciais fixos nesta dieção. A configuação básica de um tansduto sísmico é mostada na figua.13. Figua.13 Tansduto sísmico, HARRIS (1996)

17 19 Aplicando-se o equilíbio de foças dinâmicas (equação.3) na massa m localizada no inteio do tansduto, tem-se: ( δ + v) d dδ m c kδ = 0 (.4) dt dt Admitindo-se tanto δ quanto v funções senoidais defasadas ente si: v = v cosωt 0 δ = δ cos 0 ( ωt θ) (.5) Mosta-se que: δ v 0 0 = k m θ = actan ω k m ω c ω m ω + ω c m (.6) δ 0 m 1 = (.7) v0 k mω 4ξ mω 1 + k k Dessa foma, conhecendo-se as caacteísticas dinâmicas do tansduto, podese detemina deslocamentos v e aceleações & v& no ponto onde o mesmo está fixado. O desempenho de um tansduto sísmico pode se avaliado com o auxílio do gáfico da figua.5. Veifica-se neste que, consideando um tansduto com ξ = 0,7, a indesejável amplificação dinâmica só acontece paa valoes de β 0,6. Neste caso, paa avalia compotamentos de estutuas submetidas a caegamentos, cuja faixa de inteesse dos hamônicos é ω1 ω, deve-se te 1 um aceleômeto com feqüência natual supeio a pelo menos ω = 1,7ω. 0,6

18 0 Os pincipais tipos de tansdutoes sísmicos são: a) aceleômetos piezoesistivos, b) aceleômetos piezoeléticos e os c) sevo-aceleômetos. a) aceleômetos piezoesistivos Aceleômetos piezoesistivos utilizam extensômetos eléticos nas duas supefícies opostas, no plano de maio flexão de baas em balanço, figuas.14 e.15. A defomação específica da seção está elacionada com o deslocamento da massa sísmica pela expessão da cuvatua, dada po: 1 M = EI (.8) ρ onde M é o momento fleto atuante na seção tansvesal onde estão colados os extensômetos eléticos; h ρ = é o aio de cuvatua da seção com altua h; (.9) ε 1 + ε ε 1, ε são as defomações específicas medidas nos extensômetos eléticos. Figua.14 Pincípio de funcionamento dos aceleômetos piezoesistivos. Mosta-se que: 3 Ml δ = (.30) 3EIb

19 1 A elação anteio só é válida dento do egime elástico do mateial. Logo, a capacidade de medição dos aceleômetos piezoesistivos é estabelecida de foma que as tensões atuantes não ultapassem o limite elástico do mateial Figua.15 Aceleômetos piezoesistivos, HARRIS (1996) b) aceleômetos piezoeléticos Aceleômetos piezoeléticos utilizam mateiais piezoeléticos, ou seja, aqueles que poduzem cagas eléticas popocionais a tensões aplicadas. São constituídos também de massas e molas. A mola é utilizada paa compimi a massa conta o cistal piezoelético. As tensões aplicadas no mateial piezoelético são popocionais aos deslocamentos da massa δ. Os aceleômetos piezoeléticos têm como pincipais caacteísticas alta sensibilidade e abangem extensa banda de feqüências. Figuas.16 e.17 Figua.16 Pincípio de funcionamento dos aceleômetos piezoeléticos

20 MA: massa MO: mola P: elemento piezoelético B: base C: cabo Figua.17 Aceleômetos piezoeléticos, DOEBELIN (1990) c) sevo-aceleômetos O sevo-aceleômeto consiste basicamente em uma massa com um senso de deslocamento de um lado e um sistema sevo compensado do outo. Quando o aceleômeto é movimentado, a massa é deslocada e gea um sinal de eo devido ao desequilíbio elético. Este eo é estabelecido po uma foça estauadoa aplicada na massa de foma que esta etone a sua configuação inicial. A aceleação é popocional a foça estauadoa. Um tipo de sevoaceleômeto é mostado na figua.18. Neste caso, o senso de deslocamento é capacitivo e a posição da massa é estabelecida po meio de um toque mecânico poveniente da foça magnética geada pela passagem de coente elética na bobina.

21 3 Figua.18 Sevo-aceleômetos, DOEBELIN (1990) Condicionamento de Sinais Os condicionadoes de sinais são equipamentos eletônicos que modificam o sinal de entada de alguma foma. Alguns exemplos de condicionamento de sinais são: Tansfomação Impedância-Tensão Elética As vaiações de impedâncias (esistências, capacitâncias e indutâncias) nos tansdutoes pecisam se convetidas em tensões eléticas. Nesse sentido, são utilizados basicamente os cicuitos da ponte de Wheatstone e os cicuitos potenciométicos, figua.19. Figua.19 Cicuitos básicos usados paa condicionamento de sinais, DALLY; RILEY (1991)

22 4 Amplificação ou Atenuação Como os sinais eléticos enviados pelos tansdutoes podem se de baixa ou alta tensão, faz-se necessáio o uso espectivo de amplificadoes ou atenuadoes. Filtos Os filtos analógicos são utilizados basicamente com um dos seguintes popósitos: eliminação de uídos causados po campos magnéticos vizinhos ou seleção da banda das feqüências de inteesse. Isolação Galvânica Sevem paa elimina uídos po meio da linha de ateamento do sistema de aquisição de dados. Cabos Os cabos inteligam os tansdutoes, condicionadoes, convesoes e gavadoes. Desta foma, o númeo de fios pesentes num cabo de ligação tansduto-condicionado depende do tipo de tansduto utilizado. Os sevoaceleômetos empegados nos ensaios de monitoação do estádio do Moumbi, po exemplo, utilizam cabos de 4 fios e uma malha extena. A utilização de cabos compidos pode acaeta eos devido a queda de tensão que ocoe nos fios do cabo. Neste caso, estes eos devem se coigidos. Convesão de Sinais Analógicos em Digitais O conveso A/D convete um sinal analógico em digital. O sinal digitalizado é desejável poque pode se manipulado pelo computado. O conveso constitui-

23 5 se em uma placa de cicuito impesso que pode se colocada na unidade de computação. A pincipal caacteística de um conveso é o númeo de bits paa os quais o mesmo é pojetado, que define a sua esolução básica. O funcionamento de um conveso A/D de apoximações sucessivas é ilustado na figua.0. Figua.0 Conveso A/D de apoximações sucessivas, DOEBELIN (1990) Registo de Sinais Analógicos Algumas maneias de egista dados analógicos são as seguintes: gavadoes XT e XY eletomecânicos do tipo sevo, gavadoes maticiais témicos e eletostáticos, gavadoes de fitas magnéticas, etc. Gavação de Sinais Digitais Paa a gavação de sinais digitalizados, utiliza-se pincipalmente micocomputadoes. Nesse caso os dados são amazenados nomalmente no disco ígido do mico. Outas fomas de egista esses sinais são po meio de osciloscópios ou impessoas.

24 6 Fequências de Amostagem A discetização de um sinal é feita po meio da sua amostagem em intevalos egulaes. A feqüência de amostagem é o inveso deste intevalo. Esta feqüência não pode se muito baixa (compaada com a feqüência de vaiação do sinal) devido ao efeito de sub-amostagem, fenômeno efeido na liteatua como aliasing. Figua.1 Repesentação gáfica da sub-amostagem, ROMBERG (1996) O teoema de Nyquist mosta que o efeito de sub-amostagem ocoe sempe que a feqüência de amostagem é meno que duas vezes a maio feqüência que se deseja considea no sinal. Potanto, deve-se sempe te: fa f B (.31) onde f a : fequência de amostagem f B : fequência mais alta do sinal (banda de inteesse do sinal) A equação.31 decoe do fato que os valoes de tansfomadas de Fouie calculados (equação.) foa da faixa de fequências π ad/s ω π ad/s

25 7 epetem-se peiodicamente confome mostado na figua.. Ocoe, potanto, uma distoção ente o especto calculado e o especto vedadeio. (a) ω é a máxima componente de feqüência da função x ( t) 0 (b) é o intevalo de amostagem do sinal (fig..3) Figua. (a) peiodicidade dos coeficientes de Fouie calculados pela DFT, (b) distoção π π quando a feqüência extapola o intevalo ad/s ω ad/s, NEWLAND (1989) Paa a escolha da feqüência de amostagem, deve-se te uma idéia da banda de feqüência de inteesse ( ω 0 ). Alguns pocessos e espectivas taxas de amostagem são apesentados na tabela.1.

26 8 Nos ensaios de monitoação de estádios de futebol, onde foam medidas as espostas estutuais às cagas induzidas po pessoas, veificou-se que as feqüências impotantes estavam no intevalo ente 0 e 80 Hz. Tabela.1 Caacteísticas de alguns sinais, LYNX (1993).3.3 Análise de Sinais Análise no Domínio do Tempo A análise de séies tempoais leva a valoes imediatos tais como amplitudes máximas e, além disso, a conclusões qualitativas em elação ao tipo de sinal de acodo com a classificação apesentada na figua.. Análise no Domínio da Feqüência É antiga a idéia de desmemba uma função peiódica em seus componentes hamônicos e, mais ainda, tata e avalia essa função segundo estes componentes. Po muitos anos, matemáticos famosos como Eule, D Alembet e Lagange discodavam que funções abitáias pudessem se epesentadas po séies tigonométicas. NEWLAND (1989)

27 9 Jean Baptiste Joseph Fouie, entetanto, povou que qualque função peiódica x () t pode sempe se expessa po meios de infinitas séies tigonométicas, chamadas séies de Fouie (Equação.17). Tansfomadas discetas de Fouie O desenvolvimento das integais que compõem as tansfomadas de Fouie (Equação.) só é possível em casos onde são disponíveis as expessões analíticas das funções x ( t) ou X ( ω). Quando dispõe-se de dados na foma de valoes discetos, como no caso dos ensaios de monitoação ealizados no estádio do Moumbi, as tansfomadas só podem se obtidas po meio de pocedimentos numéicos. Desta foma, a função x ( t) seá expessa po uma seqüência de númeos { x } dada po: { } { x,x,x,...} x = 0 1 com intevalo de amostagem igual a como mosta a figua abaixo. Figua.3 Amostagem da função x ( t), NEWLAND (1989)

28 30 Demonsta-se que: X x k = = 1 N 1 N n 1 = 0 n 1 k = 0 x X πωk i N e πωk i N ke (.3) X k e x são chamadas de tansfomadas discetas de Fouie (DFT s). Em otinas computacionais, como no pogama SISDIN, que seá efeido adiante, utiliza-se um algoitmo computacional que eque ceca de 000 vezes menos opeações que a DFT, chamado de tansfomada ápida de Fouie (FFT). Consiste, basicamente, na patição da seqüência oiginal em seqüências menoes. Obtem-se a DFT das seqüências menoes. Estas são combinadas confome mostado na figua.4 de modo a obte a DFT completa de { x }. Figua.4 Passos da FFT, NEWLAND (1989). A análise de sinais no domínio da feqüência é feita em todos os ensaios citados no item.3.1 (ensaios de vibações lives, foçadas e ensaios de monitoação), pois os espectos obtidos pela amostagem disceta do sinal mosta os valoes de feqüência nos quais a estutua apesenta maioes amplitudes da gandeza consideada (aceleação, velocidade ou deslocamento), ou seja, as bandas de feqüência que apesentam maio enegia de vibação.

29 31 Paâmetos Utilizados na FFT. Na pática, os pogamas computacionais que desenvolvem o algoitmo da FFT apesentam alguns paâmetos que o usuáio pecisa detemina paa a obtenção do especto. No pogama SISDIN, po exemplo, o especto é calculado pela média dos espectos de cada uma das janelas de dados do sinal analisado individualmente, sendo o tamanho da janela fixado pelo usuáio. Os paâmetos utilizados na análise são: a) tipo de janela A opeação de janelamento da séie tempoal é necessáia, pois o algoitmo da FFT é baseado na hipótese da epetição da séie ao longo do tempo, ou seja, na peiodicidade da séie. Figua.5 Eos devido a falta de janelamento, HEWLETT PACKARD (198)

30 3 O janelamento é feito multiplicando-se a séie tempoal po uma função W ( t) cujos valoes iniciais e finais são nulos. Alguns tipos de janelas utilizadas são apesentadas na figua.6. O pogama SISDIN dispões dos seguintes tipos de janelas: etangula, hanning, hamming, tiangula e blackman. Figua.6 Alguns tipos de janelas utilizadas na FFT, ROMBERG (1996) b) Resolução Indica o númeo de aias espectais e, potanto, define o tamanho da janela de dados da séie tempoal utilizada paa cálculo do especto. d = (.33) onde d é o númeo de dados é a esolução

31 33 O pogama SISDIN admite os seguintes valoes de esolução: 104, 51, 56 e 18 aias. c) Fato de aumento da esolução na feqüência (zoom de feqüência) A esolução na banda de feqüência de inteesse coesponde à divisão da feqüência de amostagem po este fato. Paa evita efeitos de subamostagem, o valo deste paâmeto deve se limitado pela elação: fa z (.34) b onde z é o fato de aumento da esolução na feqüência; f a é a feqüência de amostagem; b é a banda do sinal de inteesse. d) Númeo de janelas Indica o númeo de janelas de dados utilizadas no cálculo da média..j.z. n (.35) onde j é o númeo de janelas; n é o númeo de amostas.4 Expeimentação Numéica.4.1 Fundamentos Teóicos O método dos elementos finitos é um método numéico que pode se usado na deteminação da solução da equação.4 de sistemas dinâmicos complexos. Neste método, a estutua é epesentada po um modelo matemático composto de elementos que se compotam como estutuas contínuas chamados elementos finitos. Os deslocamentos medidos num sistema de coodenadas locais no inteio de cada elemento é assumido como uma função dos deslocamentos dos N pontos nodais finitos. BATHE (1996).

32 34 Paa o elemento m, tem-se: onde v ( m ) ( m ( ) ) ( )vˆ x, y,z = H x, y,z (.36) ( m) H é a matiz de intepolação dos deslocamentos; vˆ = u v w u v w... é veto dos 3 componentes [ ] globais de deslocamentos em todos os pontos nodais. Patindo-se dessa hipótese, podem se deteminadas as matizes de massa, amotecimento e igidez das estutuas paa então se desenvolvida a equação.4: M V& + CV& + KV = R (.37) Matematicamente a equação acima epesenta um sistema de equações difeenciais lineaes de segunda odem. A pincípio, as espostas podeiam se obtidas utilizando-se pocedimentos padões paa solução de equações difeenciais com coeficientes constantes. Entetanto esses pocedimentos tonam-se inadequados quando as matizes possuem gandes dimensões..4. Métodos Numéicos paa Solução de Equações de Equilíbio Dinâmico Métodos no domínio do tempo Paa a deteminação da esposta v ( t) são utilizados pincipalmente dois métodos: Método da supeposição modal Neste método, assume-se que a esposta pode se escita na foma: ( t) ΦY( t) v = (.38) onde Φ é a matiz modal Y () t é um veto de funções do tempo

33 35 A matiz modal é definida como o conjunto de vetoes modais vˆ paa os quais: ( K ω M) vˆ = 0, desconsideando a solução tivial vˆ = 0. A cada modo nomal vˆ está associada uma feqüência ω deteminada pela condição: ( K ω M) = 0 det. Nessas fomas elásticas vˆ, os pontos da estutua movimentam-se todos em fase, com amplitude vaiando hamonicamente. Os modos nomais possuem cetas popiedades de otogonalidade impotantes na análise dinâmica de estutuas: t s φ Mφ = 0 t s φ Kφ = 0 s (.39) Define-se massa modal como: igidez modal como: M K t = φ Mφ ; t = φ Kφ Paa a nomalização dos vetoes modais, deve-se faze com que as componentes do modo nomal φ sejam tais que as coespondentes massas modais tenha um valo especificado, em geal unitáio. Desta foma, as igidezes modais devem se dadas po: K = M ω. Após a deteminação dos vetoes nomais, as váias equações de equilíbio global são eduzidas a equações difeenciais de segunda odem desacopladas paa cada modo: Y & + ξ ω Y& + ω Y = F (.40) onde F é a caga modal ξ é a taxa de amotecimento modal As equações desacopladas são esolvidas paa o intevalo de tempo de inteesse. Paa este cálculo, são utilizados métodos de integação numéica. Após a deteminação dos valoes de Y ( t), econstitui-se a esposta do sistema físico: m () t = Y () t v φ (.41) = 1

34 36 Segundo WILSON (1997), quando admite-se um movimento sísmico tidimensional, a equação.40 pode se escita como: Y & + ξ ω Y& + ω Y = p && v + p && v + p & v (.4) nx gx ny gy nz gz onde p ni = φ M são os fatoes de paticipação modais t n i Nos esultados dos pocessamentos numéicos é utilizado o fato de paticipação de massa modal dado po: n = 1 onde são incluídos modos de vibação; pni γ i = m (.43) i mi é a massa total na dieção i. Método de integação dieta (passo-a-passo) É um método incemental no qual as equações de equilíbio.4 são esolvidas paa os instantes t, t, 3 t, etc. Os pocessos desta categoia dividem-se em explícitos, quando a equação.4 é fomulada no instante em que a solução é conhecida, e implícitos, quando é fomulada no pópio instante que se busca a solução. No pimeio gupo, estão o método das difeenças centais e o de Runge-Kutta. No outo, estão o método da aceleação linea (Newmak), de Houbolt e o de Wilson. Métodos no domínio da feqüência Além desses dois métodos, pode se utilizada a integal de convolução paa cálculo da esposta a excitações geais p ( t). No domínio da feqüência, existem as técnicas baseadas na análise hamônica de Fouie. Neste caso, dado o especto de solicitação, a deteminação do especto de esposta é feita utilizando-se a função de esposta em feqüências, onde são consideadas as caacteísticas da estutua (eq..1).