Professor: Newton Sure Soeiro, Dr. Eng.

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO PRÁ MESTRDO EM ENGENHRI MECÂNIC GRUPO DE VIRÇÕES E CÚSTIC nálise Modal Expeimental Pofesso: Newton Sue Soeio, D. Eng. elém Paá Outubo/00

2 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental. INTRODUÇÃO Em um sentido amplo, podeíamos dize que a análise modal é um pocesso po meio do qual descevemos uma estutua em temos de suas caacteísticas natuais, que são as feqüências natuais, os fatoes de amoetecimento e as fomas modais, ou sea, suas popiedades dinâmicas. Tal definição, entetanto, está baseada em temos técnicos usados na áea das vibações e, assim sendo, de compeensão difícil po pate daqueles que não têm um contato maio com esta áea. ssim, visando melho explica o que estas popiedades dinâmicas significam, usaemos o exemplo da vibação de uma placa simples. Considee uma placa plana, com as bodas lives, sobe a qual foi aplicada, em um de seus cantos, uma foça F, confome ilustado na Fig.. Nomalmente, pensamos em uma foça estática que causaia alguma defomação estática na placa. Entetanto, o que gostaíamos de faze é aplica uma foça que vaie com o tempo de um modo senoidal. Esta foça apesentaá um valo de pico constante, mas sua feqüência de oscilação pode vaia, e a esposta da placa devido a esta foça seá medida com um aceleômeto fixado a um outo canto da placa. Figua Placa live excitada po foça vaiável. Figua Resposta da placa. goa, se medimos a esposta da placa, notaemos que a amplitude de vibação muda quando modificamos a feqüência de oscilação da foça F aplicada, confome pode se visualizado na Fig.. ssim, vaiando a feqüência de oscilação da foça, haveá aumentos, como também diminuições, na amplitude de vibação em pontos difeentes da escala de tempo. Isto paece muito estanho, mas é exatamente o que acontece. Lembese que apesa de estamos aplicando o mesmo pico de foça a sua feqüência de oscilação vaia e, assim, a esposta amplia quando nós aplicamos a foça com uma feqüência de oscilação o mais póximo da feqüência natual da placa (feqüência de essonância e alcança um máximo quando a feqüência de oscilação fo igual à feqüência natual da placa. Fig., que apesenta dados no domínio do tempo, fonece infomações muito úteis. Entetanto, se manuseamos os dados que estão no domínio do tempo e tansfoma-los paa o domínio da feqüência, usando a tansfomada de Fouie, podemos obte a Função Resposta em Feqüência (FRF, apesentada na Fig. 3. Nesta figua, existem alguns itens inteessantes paa seem notados, po exemplo, notamos que existem picos nesta FRF que ocoem nas feqüências natuais do sistema (placa, ou sea, estes picos ocoem exatamente nas feqüências que coespondem a pate do diagama tempoal onde foi obsevado te um máximo na esposta, devido a excitação de entada epesentada pela foça F. ssim, sobepondo as espostas no domínio do tempo e da feqüência, confome se visualiza na Fig. 4, obsevaemos que existe uma coincidência ente as posições em que os máximos valoes dos dois diagamas ocoem. Potanto, podemos usa tanto a esposta no domínio do tempo quanto a no domínio da UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

3 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental feqüência paa detemina as feqüências natuais do sistema. Po outo lado, é tanspaente que a Função Resposta em Feqüência pemite uma avaliação mais dieta e, potanto, claamente mais fácil de se ealiza. Figua 3 FRF paa a Placa. Figua 4 Sobeposição das espostas. Você deve está pensando em como estas caacteísticas natuais se manifestam na estutua em foma de defomação. Na ealidade, os padões de defomação da estutua assumem uma vaiedade de fomas difeentes dependendo de qual feqüência é usada paa a foça de excitação. Potanto, veamos o que acontece em temos de defomação da estutua em cada uma daquelas feqüências natuais obsevadas, po exemplo, na Função Resposta em Feqüência. Paa tal, admitamos que tenhamos egistado a esposta atavés de um aceleômeto que foi movimentado sobe a supefície da placa e posicionado em 45 pontos sobe a mesma, obtendo-se assim, 45 amplitudes de esposta paa difeentes feqüências de excitação, ou sea, uma cuva de esposta associada a cada um dos 45 pontos posicionados sobe a supefície da placa. ssim, a pati das infomações de amplitude em cada um dos 45 pontos, obtidas em cada uma das feqüências, veíamos um padão de defomação difeente da estutua, elacionado a esta feqüência. Fig. 5 mosta os padões de defomação que esultaão quando a feqüência da excitação coincide com cada uma das feqüências natuais do sistema. Nesta figua, podemos ve que na pimeia feqüência natual o padão de defomação coesponde a uma pimeia foma de defomação po flexão da placa, a qual é mostada em azul. Quando obsevamos o que ocoe na segunda feqüência natual, notamos que o padão de defomação da estutua se modifica, assumindo uma pimeia foma de defomação po toção, a qual é mostada em vemelho. ssim, paa as outas duas feqüências, que são destacadas na FRF, é possível pecebe, ainda, dois outos padões de defomação, sendo um efeente à segunda foma de defomação po flexão, mostada em vede, e outo elativo à segunda foma de defomação po toção, mostada em maom. Estes padões de defomação são denominados de fomas modais da estutua (Na ealidade, emboa do ponto de vista puamente matemático isto não estea coeto, paa todos os popósitos páticos, estes padões de defomação são muito póximos das fomas modais da estutua. Figua 5 Fomas modais da placa coespondentes a cada feqüência natual. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

4 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental s feqüências natuais e as espectivas fomas modais associadas a estas feqüências são ineentes a cada estutua que poetamos. asicamente, elas são caacteísticas que dependem da inécia e da igidez. Como um engenheio de poeto, pecisamos identifica estas feqüências e sabe como elas podem afeta a esposta da estutua quando esta é excitada po uma foça qualque. O entendimento das fomas modais e de como a estutua vibaá quando excitada audaá o engenheio poetista a poeta melho a estutua paa aplicações de vibação e uído. ssim, a análise modal é uma feamenta podeosa de auxílio ao poeto de estutuas de automóveis, estutuas de aeonaves, estutuas civis, estutuas navais, etc. - FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI E FUNÇÃO RESPOST EM FREQUÊNCI DE UM SISTEM DE UM GRU DE LIERDDE.. Função de Tansfeência Sea o sistema mostado na Fig. 6, que consiste de uma massa, m, conectada a uma efeência fixa po uma mola de igidez,, e um amotecedo com coeficiente de amotecimento viscoso c. Paa uma foça F atuando sobe a massa do sistema o movimento esultante da massa é estito à dieção x, assim, um único gau de libedade é suficiente paa defini a configuação do sistema. Figua 6 Sistema com um gau de libedade. equação de movimento paa este sistema é dada po: m.x (t c.x (t.x(t F(t ( Tansfomada de Laplace de uma difeencial de segunda odem com condições iniciais é dada po: {x (t} s.x(s s.x(0 x (0 ( onde x(0 e x (0 são as condições iniciais de deslocamento e velocidade, espectivamente, e x(s é a Tansfomada de Laplace de x(t. Po outo lado, como estamos inteessados na Função de Tansfeência, que epesenta a esposta em egime pemanente do sistema, as condições iniciais são tomadas iguais a zeo e a Tansfomada de Laplace, dada pela Eq. (, tona-se: {x (t} s.x(s (3 plicando a Tansfomada de Laplace na Eq. (, temos: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4

5 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental m. s.x(s c.s.x(s.x(s F(s (4 onde F(s é a Tansfomada de Laplace de F(t. Função de Tansfeência, po definição, é a função que elaciona a esposta do sistema a uma excitação a ele aplicada. Neste caso, ela toma a seguinte foma: x(s (5 F(s ms cs ( H que leva a obtenção de valoes complexos, em função de s, e é epesentada como uma supefície no domínio de Laplace, confome pode se visualizado de fomas difeentes nas figuas 7, 8, 9 e 0. O denominado da Eq. (5 é a equação caacteística que pemite a deteminação de duas aízes, as quais, paa um sistema sub-amotecido, são dadas po: s, σ ± i. d (6 com e σ - ξ. n (7 d n ξ (8 onde n é a feqüência natual, d é a feqüência natual amotecida e ξ é o fato de amotecimento. Figua 7 Pate eal de H(s. Figua 8 Pate Imagináia de H(s. Figua 9 Magnitude de H(s. Figua 0 Fase de H(s. Eq. (5 pode, agoa, se eescita como: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5

6 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental H( (9 m(s s (s s onde s σ i. d e s s * σ - i. d, que são as duas aízes da equação caacteística dadas pela Eq. (6, são denominadas de pólos da Função de Tansfeência, os quais podem se visualizados no plano s como mostado na Fig.. Figua Repesentação do Pólo no plano de Laplace. Tomando a Eq. (9 e expandindo em fações paciais, a Função de Tansfeência pode se eescita como: * (0 m(s s (s s (s s (s s ( H * onde os conugados complexos e * são definidos como sendo os esíduos da Função de Tansfeência e dietamente elacionados à amplitude da Função Resposta Implusiva, que seá apesentada posteiomente. Os valoes dos esíduos podem se facilmente obtidos e são dados po: i m d ( Emboa paa um sistema com um gau de libedade o esíduo sea um númeo imagináio puo, paa sistemas com múltiplos gaus de libedade os esíduos são, em geal, númeos complexos completos, isto é, com pate eal e imagináia.. Função Resposta em Feqüência (FRF Com base no que foi apesentado anteiomente, podemos dize que o domínio de Laplace desceve o sistema sob análise em temos de pólos e esíduos. goa, avaliando a Função de Tansfeência somente no domínio da feqüência nós obtemos: H( H(s * s i * i s i s i( d ξn i( d * ξ n ( Eq. ( epesenta a expansão em fações paciais da FRF de um sistema de um gau de libedade. Entetanto, a foma mais comum de se apesenta a FRF é como segue: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 6

7 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental H( (3 ( m ic ssim, a FRF nada mais é do que um caso paticula da Função de Tansfeência. plicando-se as definições da feqüência natual e do fato de amotecimento, ou sea, n m e ξ c/(.m. n, a Eq. (3 pode se eescita como: / m H( (4 iξ n n FRF fonece valoes complexos de acodo com os valoes de e, paa a elação / n, ela tem algumas popiedades inteessantes. ssim, em feqüências abaixo da feqüência natual, n >>. n >>, a FRF é dada po: / m H( (5 n m m Visto que o valo da FRF em qualque feqüência é um númeo complexo, podemos detemina o seu módulo (magnitude e a sua fase como: o H ( e ag.h( 0 (6 ssim, o ganho em baixa feqüência é uma constante igual a (/, ou ao inveso da igidez, e a fase assume o valo de 0. Em feqüências acima da feqüência natual, >>. n >> n, a FRF é dada po: / m H ( (7 m Podemos novamente detemina a sua magnitude e a sua fase: o H ( e ag.h( 80 (8 m ssim, em altas feqüências o ganho é dado po / (m. e a fase é de Na essonância, n, a FRF é dada po: H( / m ξ n (9 ξ m ξ ξ m m e deteminando o ganho e a fase na essonância, temos: ξ o H ( e ag.h( 90 (0 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 7

8 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental ssim, o ganho na essonância é igual ao ganho em baixa feqüência dividido po.ξ. Uma vez que ξ é gealmente um númeo pequeno, po exemplo, % do amotecimento cítico ou 0,0, a magnitude na essonância é amplificada. Po outo lado, a fase na essonância é de s figuas e 3 são, espectivamente, a magnitude e a fase da FRF paa um sistema de um gau de libedade onde m g, N/m e ξ assume valoes na faixa de 0. a, com incementos de 0.. Paa os valoes de m e dados, a feqüência natual do sistema é de d/s. Figua Magnitude da FRF Figua 3 Fase da FRF Uma vez que a feqüência natual é de d/s, os picos das cuvas na Fig. ocoem póximo a esta feqüência, de foma mais pecisa em d n ξ. magnitude em baixa feqüência foi mostada se igual a /.0 e pode se visto que as cuvas coespondentes a valoes distintos de ξ apoximam-se deste valo nas baixas feqüências. Po outo lado, nas altas feqüências a magnitude é dada po / (m. e, sendo m, a magnitude deve se dada po /. Potanto, veificando a Fig. a magnitude na feqüência de 0 d/s deveá se igual a /00 ou 0,0. Note que a declividade das cuvas em baixa feqüência é nula, significando que a FRF não muda com a feqüência. Contudo, a declividade das cuvas em alta feqüência é -, o que significa que cada década de aumento na feqüência coesponde a um decaimento de duas décadas na magnitude da FRF, em vitude do temo no denominado. declividade de - em um diagama log x log pode se mostada analiticamente po: log ( H(i log ( / log ( - -.log ( ( Obsevando a Fig. 3, veifica-se que na essonância ( n d/s a fase paa todas as cuvas é de Em baixa feqüência a fase apoxima-se de 0 e em alta feqüência apoxima-se de Função Resposta Impulsiva vibação live do sistema pode se obtida assumindo que o sistema foi excitado po uma função de foça do tipo impulso no tempo t 0. Função esposta impulsiva de um sistema de um gau de libedade pode se facilmente deteminada das Eq s. (5 e (0, UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 8

9 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental assumindo condições iniciais nulas e que F(s paa uma função de foça impulsiva. ssim, temos: * x (s H(s ( F(s * (s s (s s e, potanto: (3 x(t - {X(s} e s.t * e s*.t e -ξ n ( e i. d.t * e i. d.t que é, pecisamente, a mesma equação obtida pelo método clássico. Eq. (3 epesenta uma oscilação amotecida de feqüência d, confome pode se visualizada na Fig. 4. ssim, a feqüência de oscilação coesponde à pate imagináia do pólo, a taxa de decaimento coesponde à pate eal e o esíduo contola a amplitude inicial da esposta impulsiva. Figua 4 Função Resposta Impulsiva. 3 MECNISMO DE MORTECIMENTO VISCOSO E HISTERÉTICO Em geal, os sistemas em vibação eais dissipam enegia po váios mecanismos difeentes. ssim, o pocesso de dissipação de enegia de um sistema eal é o esultado da ação de todos aqueles mecanismos, sendo difícil a identificação e modelagem de todos aqueles mecanismos. Potanto, a inclusão de um amotecimento viscoso no modelo matemático do sistema eal é uma tentativa de epesenta o mecanismo de enegia do sistema atavés do uso de um elemento linea equivalente. O amotecimento viscoso é, do ponto de vista teóico, o mecanismo de amotecimento que leva a epesentação mais simples do elemento de amotecimento do modelo e, ainda, pemite que a equação de movimento do sistema, que incopoa este mecanismo de amotecimento, possa se esolvida paa qualque tipo de entada. Po definição, o amotecedo viscoso é um dispositivo que opõe à velocidade elativa ente os seus extemos uma foça que é popocional àquela velocidade (Fac.x. ssim, consideando-se o sistema mostado na Fig. 5, a cuva caga hamônica vesus deslocamento dinâmico exibe uma elipse que epesenta o mecanismo de dissipação de enegia. enegia E d dissipada po ciclo de oscilação é dada pela áea da elipse, isto é: π E πx d F(xdx c (4 0 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 9

10 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental onde c é a constante de amotecimento viscoso, a feqüência da vibação e X a amplitude de movimento. Figua 5 Cuva caga / deflexão dinâmica típica paa amotecimento viscoso. Pela Eq. (4, a enegia de dissipação é popocional à feqüência e ao quadado da amplitude. Entetanto, quando uma estutua eal, ou pate dela, é posta em movimento hamônico veifica-se que não existe esta popocionalidade ente enegia dissipada po ciclo e feqüência. É bem vedade que esta enegia depende, de alguma foma, da feqüência, mas nunca de maneia popocional. Paa estutuas, ou peças metálicas, a enegia dissipada po ciclo depende apenas discetamente da feqüência. Sendo os mecanismos de extação e dissipação de enegia de uma estutua eal complexos, qualque tentativa de se leva em conta estes váios mecanismos, individualmente, em uma análise matemática do movimento do sistema é impaticável. ssim, o que de melho se pode faze é modifica o modelo de amotecimento viscoso, geando outo modelo de simples manipulação matemática, o modelo de amotecimento histeético. Supõe-se, inicialmente, que o modelo viscoso sobeviva, poém com a constante de amotecimento dependente da feqüência (o temo constante aqui se efee apenas ao tempo. Em seguida, supõe-se que esta constante de amotecimento viscoso sea da foma: c( d( / (5 que é equivalente a usa um amotecedo viscoso mas fazendo-o vaia invesamente com a feqüência. Este elemento é conhecido como um amotecedo histeético, sólido ou estutual e o paâmeto d é denominado de coeficiente de amotecimento histeético. Esta denominação esulta do fato de que este mecanismo de dissipação desceve apoximadamente o compotamento do laço de histeese de muitos mateiais. Desta maneia a Eq. (4 pode se eescita como: Ed π.d(.x (6 dependência de d com a feqüência é, em geal, estabelecida expeimentalmente. Entetanto, como paa estutuas metálicas, ou peças, a dependência de d da feqüência é disceta, costuma-se, nesses casos, toná-lo constante, de sote que apoximadamente, temos: Ed π.d.x (7 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 0

11 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Paa uma estutua completa (múltiplos gaus de libedade supõe-se, em analogia com o caso viscoso, que inúmeos mecanismos histeéticos esteam distibuídos, de sote que, paa uma estutua excitada em movimento hamônico, de feqüência, a matiz de amotecimento fica: [C] (/ [D] (8 onde [D] é a matiz de amotecimento histeético. Note que como [C] é simética, também [H] o é. equação de movimento paa um sistema com um gau de libedade, com amotecedo histeético, excitado hamonicamente, pode se escita como: (- m id. X. e it F.e it (9 que pemite sea obtida a seguinte expessão paa a FRF do sistema, com amotecedo do tipo histeético: X / m H( (30 F ( m id iη n n onde η d / é conhecido como o fato de peda. Compaando as Eq. s (4 e (30 e fazendo n, pode-se conclui que os modelos viscoso e histeético são apoximadamente equivalentes na essonância com η ξ. 4 REPRESENTÇÃO E PROPRIEDDES DE UM FRF 4. Receptância Função Resposta em Feqüência definida e discutida anteiomente é somente uma das possíveis fomas de uma FRF e é denominada de Receptância, sendo gealmente denotada po α( ou α(i. Esta quantidade complexa desceve completamente a elação ente a esposta em temos de deslocamento e a foça de excitação aplicada a um sistema, caacteizando completamente as suas popiedades dinâmicas. Sendo a FRF uma função complexa da feqüência, existem tês quantidades a seem levadas em conta, ou sea, pate eal, pate imagináia e feqüência, quando se vai taça um gáfico da FRF. ssim, uma epesentação completa de uma FRF em um único gáfico somente pode se feita usando um sistema de efeência tidimensional, como ilustado na Fig. 6. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

12 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 6 Repesentação tidimensional da Receptância. É obvio que esta não é a foma mais conveniente de se epesenta a FRF. ssim, como uma altenativa, podemos mosta a FRF em dois gáficos sepaados, ou sea, pate eal x feqüência e pate imagináia x feqüência, como mostado nas figuas 7 e 8 espectivamente. Nestes gáficos, n 0 d/s e cada um deles coesponde a uma poeção, da cuva mostada na Fig. 6, nos planos Pate Real/feqüência e Pate Imagináia/feqüência, espectivamente. É inteessante nota que a pate eal da Receptância α( cuza o eixo das feqüências na essonância enquanto, na mesma egião, a pate imagináia apesenta um mínimo. Figua 7 Pate eal da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. Figua 8 Pate imagináia da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

13 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Se tomamos a poeção de α( no plano Real/Imagináio, isto é, no plano complexo ou de gand, o esultado é um laço que contém todas as infomações. inconveniência deste gáfico é que, nomalmente, não somos capazes de identifica os valoes de feqüência coespondentes aos pontos da cuva. Cada ponto da cuva, mostada na Fig. 9, que apesenta pontos igualmente espaçados na feqüência, deve se acompanhado po uma indicação do valo da feqüência coespondente. Esta epesentação é conhecida como Diagama de Nyquist e tem a paticulaidade de aumenta a egião de essonância e apesenta o laço cicula somente peto da essonância (coespondendo a uma mudança de fase da FRF de 80 gaus. Esta caacteística faz com que o Diagama de Nyquist sea muito popula na análise modal. Figua 9 Diagama de Nyquist da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. tualmente, a foma mais comum de epesentação de uma FRF é o Diagama de ode, que nada mais é do que o conunto de dois gáficos onde se tem uma cuva que epesenta a magnitude da FRF x feqüência e outa epesentando a fase da FRF x feqüência, pemitindo uma fácil intepetação visual da infomação contida em α(, confome mostado nas figuas 0 e. Figua 0 Magnitude da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

14 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua Fase da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. 4. Fomas ltenativas da FRF s popiedades dinâmicas de um sistema podem se expessas em temos de qualque caacteística de esposta conveniente e não necessaiamente em temos de deslocamento como foi apesentado no item anteio. vibação, gealmente, é medida em temos de movimento e, potanto, a FRF coespondente pode se apesentada em temos de deslocamento, velocidade ou aceleação. Esta elação simples de movimento-foça pode também se descita em liteatua mais antiga não como a elação movimento/foça, mas o seu inveso, isto é, a azão foça/movimento. nomenclatua usada paa identifica as FRF s pode vaia de auto paa auto, emboa o esfoço atual paa a padonização. De modo a evita confusão, a teminologia usada neste cuso é a seguinte: deslocamento α ( (Receptância (3 foça Velocidade Y ( (Mobilidade (3 foça aceleação ( (celeância (33 foça foça deslocamento Rigidez Dinâmica (34 foça velocidade foça aceleação Im pedância Mecânica (35 Massa paente (36 FRF celeância é, também, comumente chamada de Inetância. nomalização intenacional ecomenda o uso do temo celeância. Contudo, o temo Inetância pemanece sendo lagamente usado pela comunidade de análise modal. Finalmente, é impotante nota que o temo Mobilidade é, também, lagamente aceito como uma designação geal paa qualque foma de FRF definida pela elação movimento/foça. De foma simila, o temo Impedância Mecânica é usado paa a elação invesa. Sendo o deslocamento, a velocidade e a aceleação quantidades de espostas elacionadas matematicamente, pode-se a pati de uma FRF obtida com base em algum dos paâmetos de movimento, obte-se as outas fomas de FRF. Consideando vibação hamônica e tomando a Mobilidade como a FRF conhecida, as demais podem se deteminadas como segue: x(t & Y( F(t i Xe i i Fe t t iα( (37 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4

15 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Potanto, Y( α( e π ag.[y( ] ag.[ α( ] (38 Paa a celeância, de foma simila, temos: x(t && ( F(t levando a: i Xe i Fe t t α( (39 ( e, ainda, α( e ( Y( e ag.[( ] ag.[ α( ] π (40 π ag.[( ] ag.[y( ] (4 s cuvas mostadas nas figuas, 3 e 4 epesentam, paa valoes de m g, 00 N/m e c 0.6 N.s/m, espectivamente, em escala log-log, a Receptância, a Mobilidade e a celeância. Destas figuas é possível pecebe que existem algumas difeenças, pois as linhas etas de igidez e massa paa a Mobilidade e celeância apesentam inclinações difeentes daquelas do gáfico da Receptância, isto é, paa a Mobilidade a inclinação da linha de igidez é e da linha de massa e paa a celeância estas inclinações são, espectivamente, e 0. Figua Magnitude da Receptância em escala log-log. Figua 3 Magnitude da Mobilidade em escala log-log. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5

16 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 4 Magnitude da celeância em escala log-log. Não podemos esquece que a cuva de magnitude da FRF não contém todas as infomações necessáias e, potanto, existe a necessidade de se considea a fase ou agumento da FRF complexa, como mostado na Fig. 5. cuva da fase pode usa escala logaítmica somente paa o eixo da feqüência. Na Fig. 5 é possível veifica que em todas as FRF s a mudança de fase na essonância é de 80. Figua 5 Fase da Receptância, Mobilidade e celeância. Emboa não seam lagamente usados, é inteessante compaa os gáficos das pates eal e imagináia vesus feqüência paa as tês fomas distintas de FRF. ssim, a Fig. 6 apesenta todas as tês fomas de FRF, pemitindo visualiza que a mudança de fase na egião de essonância coesponde a uma mudança de sinal em uma das pates do valo complexo da FRF, enquanto que a outa pate apesenta um ponto extemo, ou sea, um ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da FRF consideada. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 6

17 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 6 Pates Real e Imagináia da Receptância, Mobilidade e celeância. Finalmente, a Fig. 7 mosta os Diagamas de Nyquist paa as FRF s mostadas na Fig. 6, que dizem espeito a um sistema de um gau de libedade, com mecanismo de amotecimento viscoso. Fica clao que, emboa cada ponto nestes diagamas coesponda a um valo de feqüência igualmente espaçado, somente aqueles pontos que estão póximos da feqüência de essonância podem se distintamente identificados, uma vez que os pontos foa da egião de essonância estão tão póximos que não podem se claamente identificados. Esta paticulaidade do Diagama de Nyquist tona-o muito conveniente paa váias aplicações de teste modal. Figua 7 Diagama de Nyquist paa a Receptância, Mobilidade e celeância. Poém, se lembamos que o laço cicula descito coesponde a mudança de fase sofida pela esposta elativa à foça de excitação e que esta mudança de fase tende a acontece dento de uma faixa mais laga de feqüência a medida que diminui o UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 7

18 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental amotecimento, é fácil conclui que o Diagama de Nyquist deixa de se útil quando o amotecimento é muito baixo. Isto é mostado na Fig. 8, onde a Receptância é mostada paa dois valoes distintos de amotecimento viscoso. Nesta figua, os pontos são igualmente espaçados na feqüência, com incementos de 0. d/s. Paa o caso onde ξ os pontos estão todos concentados póximos a oigem e não existe um laço visível no diagama. Potanto, o Diagama de Nyquist não é conveniente de se usado na análise de sistemas levemente amotecidos. Figua 8 Diagama de Nyquist da Receptância paa valoes distintos de ξ. Uma outa caacteística inteessante e útil do Diagama de Nyquist esulta da foma da taetóia geada pelos dados da FRF. Fica clao da Fig. 7 que, em cada um dos diagamas, os dados descevem um laço que paece com um cículo. Este compotamento paticula é caacteístico paa os dois mecanismos de amotecimento, ou sea, amotecimento histeético e amotecimento viscoso. Entetanto, seá mostado mais tade que sistemas com o mecanismo de amotecimento histeético possibilitam dados da FRF que taçam exatamente um cículo quando a Receptância é consideada enquanto que a Mobilidade e a celeância fonecem cículos distocidos. Po outo lado, paa o mecanismo de amotecimento viscoso, é a mobilidade que pemite o taçado de um cículo pefeito enquanto que a Receptância e a celeância taçam cículos distocidos. 5 ESTIMTIV DO MORTECIMENTO Foi mostado anteiomente que uma FRF mostada em um gáfico log-log pode fonece infomação imediata das caacteísticas de massa e igidez paa um sistema de um gau de libedade. Contudo, paa uma definição completa do modelo de um gau de libedade é, ainda, necessáio detemina o valo do amotecimento. ssim, nesta seção, seão apesentados tês métodos que podem se usados paa a deteminação do valo do amotecimento pesente no sistema. 5. Método do Pico na Ressonância Lembando da definição do Fato de mplificação (R, é possível elaciona-lo com a magnitude da Receptância confome abaixo: α ( R (4 é obvio que UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 8

19 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental log(r log( α( log (43 Potanto, na essonância ( n log( Rmax log( log log( η η (44 paa o modelo de amotecimento histeético. Isto significa que o fato de peda pode se facilmente deteminado da distância ente o pico de amplitude e a linha de igidez, no gáfico log-log mostado na Fig. 9. O mesmo método pode se aplicado ao modelo de amotecimento viscoso, confome segue: log( R max log( log log( ξ ξ (45 5. Método da anda de Meia Potência Emboa o método anteio leve a uma deteminação simples do valo de amotecimento pesente no sistema, pode ocoe uma impecisão na deteminação deste valo, uma vez que o valo peciso do pico da eceptância não é fácil de se obtido em uma medição e a egião de baixa feqüência, também, é difícil de se definida, devido a intodução de eos de medição po uído de fundo e do equipamento eletônico de medição. ssim, uma altenativa é aplica o método da banda de meia potência. Figua 9 Deteminação do amotecimento pelo método do pico. Tome, po exemplo, um sistema de um gau de libedade, com modelo de amotecimento histeético e sob vibação hamônica em egime pemanente. Neste caso, a enegia dissipada po ciclo de oscilação na essonância é dada po: E max πx d πα( F η max max (46 goa, considee os valoes coespondentes aos flancos do pico de esposta paa os quais a enegia dissipada po ciclo de vibação é metade da quantidade dada pela Eq. (46. Pela Fig. 30, pode-se pecebe que existem dois pontos, denotados pelos índices e, pemitindo que se esceva: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 9

20 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental E, E α( max max α( (47, Figua 30 Definição dos pontos da banda de meia potência. Estes pontos deteminam uma faixa de feqüência conhecida como banda de meia potência, emboa devêssemos fala de enegia e não de potência. ssim, com base na Eq. (47 e da Eq. (30, podemos facilmente esceve: η (48 n Eq. (48 é exata e pemite que o valo de η sea calculado baseado somente nos valoes de feqüência. Se o amotecimento fo baixo, n podemos eesceve a Eq. (48 como: ( ( η η n n (49 e, lembando que paa baixo amotecimento η ξ, podemos esceve paa o modelo de amotecimento viscoso: ξ (50 n 5.3 Método do Cículo de Nyquist goa, seá desenvolvida uma investigação da foma da cuva do Diagama de Nyquist paa a Receptância. Paa tal, eesceva a Eq. (30 como: m d ( H( i Re ( m d ( m d α [ α( ] iim [ α( ] (5 Sabendo que: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 0

21 se obtém Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental { [ α ( ] Im [ α( ] } Re[ α( ] Im[ α( ] { } 0 Re (5 { [ α( ] Im [ α( ] } 0 Re (53 ( m d que leva a seguinte equação: Re [ α( ] Im [ α( ] (54 d d Eq. (54 epesenta a equação de uma cicunfeência de aio igual a / d, cuo cento está posicionado no pa odenado (0, -/ d do plano de gand. ssim, a cuva da Receptância, paa o sistema de um gau de libedade com modelo de amotecimento histeético, é um cículo pefeito confome mosta a Fig. 3. Na Fig. 3, é possível obseva que, devido às popiedades geométicas do diagama, os pontos elativos às feqüências e, que definem a banda de meia potência, são facilmente identificados, uma vez que eles coespondem aos pontos onde o cículo é inteceptado po uma eta que coincide com o diâmeto paalelo ao eixo eal. É opotuno destaca que as cuvas efeentes a Mobilidade e celeância, paa o modelo de amotecimento histeético, não apesentam um cículo exato no plano de gand. O mesmo acontece em elação a Receptância e celeância paa o modelo de amotecimento viscoso. Contudo, paa sistemas de um gau de libedade com este modelo de amotecimento, é a Mobilidade que fonece um cículo no plano de gand. De fato, paa tal situação, a mobilidade é dada po: i Y( ( m ic c Y( ( m ( c Y( Re [ α( ] iim[ α( ] ( m i ( m ( c (55 e, após algumas manipulações matemáticas similaes a que foam feitas paa o modelo de amotecimento histeético, pode se obte a seguinte equação: Im [ Y( ] Re[ Y( ] (56 c c ssim, pela Eq. (56, fica clao que a Mobilidade taça um cículo pefeito no plano de gand, confome mostado na Fig. 3. O cículo tem aio igual a / c e seu cento está sobe o eixo eal, no pa odenado (/ c, 0 e a feqüência natual é obtida do ponto onde o cículo cuza o eixo eal. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

22 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 3 Diagama de Nyquist paa Receptância: amotecimento histeético. Figua 3 - Diagama de Nyquist paa Mobilidade: amotecimento viscoso. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

23 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental 6 - MULTIPLOS GRUS DE LIERDDE: 6. - Modelo Histeético. té aqui, apesentamos o modelo matemático, que desceve o compotamento dinâmico, de Sistemas com um Gau de Libedade, tal que nos foi pemitido entende facilmente os conceitos básicos e seus significados físicos. Contudo, muitas estutuas e sistemas mecânicos eais não podem se modelados como um sistema com um gau de libedade, em vitude de que seu compotamento dinâmico, gealmente, necessita de mais do que uma coodenada paa se completamente descito. s estutuas eais são contínuas e sistemas elásticos não homogêneos que têm um númeo infinito de gaus de libedade. Potanto, a análise de tais sistemas sempe leva a uma apoximação que consiste em defini o seu compotamento atavés de um númeo finito de gaus de libedade, escolhidos de modo a desceve com pecisão suficiente o seu movimento vibatóio. De um modo geal, as estutuas contínuas são descitas po modelos de massas concentadas com múltiplos gaus de libedade. Po exemplo, considee o modelo apesentado na Fig. 40, que epesenta um sistema com mecanismo de dissipação histeético descito po suas popiedades de massa, igidez e amotecimento. Um total de N coodenadas x i (t, com i,,...,n, são equeidas paa desceve as posições das N massas, elativas a sua posição de equilíbio estático e, neste caso, o sistema é dito te N gaus de libedade. Figua 40 Modelo com N gaus de libedade. ssumindo que sobe cada massa atua uma foça hamônica f i (t, com i,,...,n, todas de mesma feqüência, podemos esceve, na foma maticial, o sistema de equações simultâneas que ege o movimento do modelo apesentado na Fig. 40: [M]{q } / [D]{q } [K]{q} {f(t} (40 É impotante nota que a Eq. (40 é válida apenas quando o segundo membo fo um veto de foças hamônicas, todas de mesma feqüência. Infingida esta estição, a Eq. (40 fica sem sentido. Paa se entende isto basta pegunta: No caso do segundo membo da Eq. (40 possui um especto mais amplo, que o de uma simples feqüência, qual o sentido de no pimeio membo?. estição acima deve fica bem claa, caso contáio, a Eq. (40 estaá mistuando os domínios do tempo e da feqüência. Como então usa o modelo histeético em excitação que não a hamônica pua? Simples, basta esceve a Eq. (40 no domínio da feqüência, isto é: [ [M] i[d] [K]]{ q( } { F( } (4 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

24 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental 6. - O Poblema de utovalo Histeético Considee o seguinte poblema de autovaloes: [ i[d] [K]]{ φ} s[m]{ φ} (4 Este poblema fonece N autovaloes s i, i,...,n e N coespondentes autovetoes {φ} i, i,...,n. Tanto os autovaloes como os autovetoes são complexos e, uma vez que a matiz de igidez complexa é de fato constituída po elementos que assumem valoes complexos, não se espea que os s i autovaloes ocoam em paes conugados. Pode-se demonsta, com extema simplicidade, que existem as seguintes condições de otogonalidade: { φ} [M]{ φ} m δ T { φ} [K]{ φ} δ T i i (43 as quais, após a definição da matiz modal como [ φ N φ] [{ φ},{ φ}, L,{ } ] (44 podem se eescitas como T \ [ φ] [M][ φ] [ m T \ [ φ] [K][ φ] [ \ \ ] ] (45 Considee, de novo, a Eq. (4, eescita paa o -ésimo autoveto: [ i[d] [K]]{ φ} s[m]{ φ} (46 que, pé-multiplicada pelo tansposto de {φ} e tendo em vista a Eq. (43, fonece a seguinte elação: s (47 m Na Eq. (47 m e são, em geal, complexos. Po outo lado, os autovetoes podem se otonomalizados, de tal sote que m,,...,n. Eq. (47 fica: s (47 e a Eq. (45 pode se eescita como [ \ \ T \ T \ φ ] [M][ φ] [ I ]; [ φ] [K][ φ] [ ] (48 de onde se conclui que [ φ] [ φ] T [M] (49 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

25 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental 6.3 Resposta em Feqüência Sea a seguinte tansfomação: { q( } [ φ]{p( } (50 que levada à Eq. (4 e, após, a pé-multiplicação po [φ] T, pemite esceve: onde \ \ [ [ I ] [ s ]]{p( } {N( } (5 \ \ T {N( } [ φ] {F( } (5 Paa a -ésima componente N (, vale a seguinte expessão: N ( φf ( N (53 Eq. (5 epesenta um sistema de equações desacopladas do tipo ( s p ( N( (54 de onde se tia a solução: p ( N( (55 s Note que a Eq. (50 pode se eescita na foma expandida abaixo: N { q( } { φ} p ( (56 obtendo-se pela substituição de p ( e N ( a seguinte equação: φ { q( } (57 N N { φ} F( s Eq. (57 ofeece a esposta do sistema, no domínio da feqüência, a um veto de foças. Suponha agoa que todas as foças deste veto seam nulas, exceto uma: F s (. Então, a Eq. (57 pode se eescita como segue: N φs { q( } { φ} F s( s (58 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4

26 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental que é a esposta, no domínio da feqüência, à uma foça associada à s-ésima coodenada genealizada. esposta na -ésima coodenada pode se facilmente escita a pati da Eq. (58, como: q ( N s φ φ s F s( (59 onde o poduto no denominado da Eq. (59 é denominado de Constante Modal, nomalmente expessa como: s φ φ (60 s Po outo lado, o temo ente paênteses na Eq. (59 nada mais é do que a Receptância do sistema, aqui eescita po conveniência: α s φ φ ( (6 N s s que Receptância pode se eescita em uma foma mais elaboada. Paa tal, lembe s, ou sea: s T T { φ} [K]{ φ} i{ φ} [D]{ φ} (6 ssim, como os valoes de s são complexos é conveniente epesentá-lo po suas pates eais e imagináia, como segue: s ih (63 ou, mais feqüentemente, da seguinte foma: s ( iη (63 onde η é o fato peda modal, d é o coeficiente de amotecimento modal histeético e a feqüência natual, elativos ao -ésimo modo de vibação. Potanto, com esta nova notação, a Receptância é eescita como: α s ( (64 N s iη 6.4 motecimento Histeético Popocional Uma hipótese muito impotante é a de que a matiz de histeese é popocional à matiz de igidez, caso em que a matiz de peda é dada po: \ η ] υ[ I ] (65 [ \ UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5

27 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Este caso ocoe em sistemas de isolamento de máquinas com isoladoes elastoméicos e estutuas compostas metal-elastômeo. ssumindo a expessão de popocionalidade mais geal, de modo simila ao modelo de amotecimento viscoso, podemos esceve: [ D] υ[k] γ[m] (66 e o poblema de autovaloes da Eq. ( 4 fica assim estabelecido: [ i( [K] γ[m] [K]]{ φ} s[m]{ φ} υ (67 s matizes que apaecem na Eq. (67 são todas diagonalizáveis pela matiz modal do poblema abaixo muito conhecido: [ K]{ φ } λ[m]{ φ} (68 o que pemite dize que os autovetoes do poblema expesso pela Eq. (68 também o são do poblema expesso pela Eq. (67, emboa os autovaloes seam distintos. T Reescevendo a Eq. (67 paa um ceto e pé-multiplicando po {φ, obtem-se: s i( υ γ (69 Note que, na Eq. (69, é eal e que epesenta a -ésima feqüência natual não amotecida. Eq. (69 pode se posta sob a foma: s ( η (70 onde γ η υ (7 Eq. (70 é da mesma foma da Eq. (63. Entetanto, o fato de aqui o amotecimento se popocional, tona este difeente em valo daquele da Eq. (63 e as constantes modais, pesentes na expessão da eceptância, são todas eais. 6.5 Repesentação Gáfica de FRF MDOF Nos itens anteioes, foi mostado que o modelo de esposta, de um Sistema com Múltiplos Gaus de Libedade (MDOF, consiste num conunto de FRF s difeentes e que um sistema com N Gaus de Libedade é descito po um modelo modal com N feqüências natuais e N fomas modais. Também, foi mostado que cada FRF pode se escita sob a foma de uma séie de temos, cada um dos quais diz espeito à contibuição de cada modo de vibação à esposta total, como estabelecido pela Eq. (64. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 6

28 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Tendo em mente as caacteísticas de uma FRF, a título de exemplo, considee o Diagama de ode da Receptância pontual, paa um sistema de quato gaus de libedade sem amotecimento, usando uma escala linea, confome mostado na Fig. 4(a e (b. Nesta figua, é tanspaente que, em elação à magnitude da eceptância, existem quato picos de amplitude, coespondendo cada uma a uma das feqüências natuais do sistema. O significado disto é que nos defontamos com quato possibilidades de essonâncias. ssim, em analogia com que foi apesentado paa sistemas de um gau de libedade, é espeado que, paa cada essonância, exista uma mudança de fase de 80 gaus. Figua 4 Receptância pontual paa um sistema com 4 gaus de libedade. Olhando a Fig. 4(b fica clao que existem mais do que quato mudanças de fase. Estas mudanças de fase não ocoem somente nas essonâncias, mas também em valoes intemediáios de feqüência, que não têm nenhum compotamento especial apaente quando obsevamos a Fig. 4(a. Isto é ustamente devido ao fato de se usa uma escala linea paa plota a magnitude da eceptância, a qual esconde o compotamento de níveis mais baixos. ssim, se ao invés de usa a escala linea fosse usada a escala logaítmica, o esultado seia o gáfico da Fig. 4. goa, esta simples opeação pemite que seam obsevados os detalhes nos níveis de esposta mais baixos, uma vez que a FRF mosta que, naquelas egiões das feqüências intemediáias, existem alguns picos invetidos, sendo que cada um deles ocoe ente os picos de essonâncias. Estes picos invetidos são denominados de anti-essonâncias e apesentam um compotamento impotante que é uma mudança de fase ustamente como aquelas associadas às essonâncias. Figua 4 Magnitude da Receptância em escala logaítmica. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 7

29 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Paa um sistema sem amotecimento, a anti-essonância coesponde à ausência de movimento em todas as coodenadas onde a esposta está sendo consideada. Esta situação pode se explicada se lembamos que a FRF Receptância pode se epesentada po uma soma de temos, sendo que cada um coesponde a um dos modos de vibação do sistema. Tomando, po exemplo, a Eq. (64 paa amotecimento nulo, tem-se: α s ( (7 N s onde a constante modal s é agoa uma quantidade eal. goa, em adição, considee a eceptância pontual, isto é α, a constante modal é sempe positiva devido ela se o esultado do poduto ente o elemento do auto-veto, paa o modo, e ele pópio. O que a Eq. (7 estabelece é que a Receptância total é a soma das contibuições de temos de um único gau de libedade que coespondem a cada um dos modos de vibação. Paa a Receptância Pontual, temos: N α( L (73 N ssim, na egião de feqüência mais baixa, todos os temos na somatóia são positivos e, em conseqüência, o valo da Receptância é positivo e dominado pelo pimeio modo (, paa o qual o denominado é meno do que paa os outos temos no somatóio. pós a pimeia essonância, tona-se negativo e, potanto, o pimeio temo no somatóio tona-se negativo, enquanto ainda domina a esposta e, como conseqüência, αtona-se negativo. Esta mudança de sinal coesponde a uma mudança de fase de 0 paa -80. medida que apoximamos de, existiá um valo de feqüência paa o qual o pimeio temo no somatóio é cancelado pela soma dos demais e, conseqüentemente, uma nova mudança de sinal de αque tona-se positiva. ssim, o ângulo de fase sofe uma nova mudança e tona-se zeo. feqüência paa qual o cancelamento ocoe é a anti-essonância. mesma explicação pode se usada paa os valoes maioes de feqüência, levando a conclui que existe uma anti-essonância ente cada pa de essonâncias. Este compotamento paticula de uma FRF pontual sea ela uma Receptância, Mobilidade ou celeância, é muito útil como elemento de avaliação da validade de uma FRF medida. Po outo lado, quando a FRF é de tansfeência, não se pode mais afima que os sinais das constantes modais seam sempe positivos e, neste caso, a ocoência de uma anti-essonância ente duas essonâncias não é ceta, como mostado na Fig. 43. Contudo, pode-se conclui que se o sinal da constante modal, paa dois modos consecutivos, é o mesmo, então, existiá uma anti-essonância em alguma feqüência ente as feqüências natuais daqueles dois modos de vibação. Quando não existe uma anti-essonância, a FRF apenas apesenta um valo mínimo não nulo. Uma outa caacteística impotante associada com a anti-essonância, é seu significado físico quando o foco ecai sobe uma FRF pontual. De fato, cada antiessonância é uma feqüência natual do mesmo sistema se a coodenada de movimento UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 8

30 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental sob consideação é fixada. Esta popiedade é útil em alguns casos expeimentais, tais como quando se usa uma mesa sísmica paa testa a estutua, onde a excitação e a esposta são medidas na mesa sísmica. Neste caso, as feqüências anti-essonantes do sistema global (mesa mais estutua são as feqüências essonantes da estutua sob análise, desde que a mesa se compote como um copo ígido, o que nomalmente é vedadeio, paa os valoes baixos da faixa de feqüência de inteesse em tais casos. Figua 43 Exemplo de uma Receptância de Tansfeência. Neste ponto, é inteessante faze uma compaação ente as difeentes fomas de FRF quando mostadas em um diagama de ode em escala log-log, confome mostado na Fig. 44. Nesta figua, apesenta-se uma FRF pontual, que coesponde à extemidade live de uma viga em balanço, o que pemite veifica que a Receptância e a celeância fazem um uso pobe do espaço vetical disponível no quado gáfico poque elas são, gealmente, mostadas como cuvas que decaem (Receptância ou cescem (celeância. Isto é vedade paa estutuas com placas ou vigas paa as quais a mobilidade, sobe uma laga faixa de feqüência, poduz um gáfico apoximadamente nivelado. Como uma conseqüência deste compotamento das FRF s, o Diagama de ode gealmente é poduzido paa FRF do tipo mobilidade. Na ealidade, cada uma das tês altenativas de FRF (Receptância, Mobilidade ou celeância desceve as mesmas popiedades e cada uma tem a sua pópia vantagem. Em geal, a Receptância é adequada paa tabalhos analíticos enquanto que a celeância é usada paa plotagem dieta de dados medidos, devido ao fato de se comum a medição da aceleação e da foça. Figua 44 FRF s pontuais paa a extemidade de uma viga em balanço. goa, tendo como base os sistemas amotecidos, as cuvas das FRF s num digama de ode são muito similaes àquelas dos sistemas não amotecidos. difeença eside no fato de que na essonância e na anti-essonância os picos são menos afilados e UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 9

31 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental os ângulos de fase não são mais exatamente 0 ou -80. Isto é mostado na Fig. 45 onde a Receptância paa um sistema amotecido de quato gaus de libedade é apesentada. Na Fig. 45 é possível obseva que altos valoes de amotecimento podem esconde a existência de uma anti-essonância, fazendo com que uma FRF pontual se paeça com uma FRF de tansfeência. Figua 45 Diagama de ode da Receptância com amotecimento histeético. Exatamente da mesma foma que paa os sistemas com um gau de libedade, é possível o taçado das cuvas coespondentes às pates eal e imagináia de uma FRF paa sistema com múltiplos gaus de libedade. Fig. 46 ilusta este tipo de apesentação, usando o mesmo exemplo da Fig. 45. O que fica imediatamente tanspaente na Fig. 46 é que devido ao uso da escala linea e ao fato de que, em geal, a amplitude da Receptância decai com o aumento da feqüência, os modos de feqüências mais altas tendem a não se mostados na cuva. Figua 46 Pates eal e imagináia da Receptância da Fig. 45. De modo a evita este poblema, podemos taça váias cuvas onde cada uma cobiá uma faixa de feqüência, tal que a escala de amplitude em cada cuva sea difeente. Uma outa altenativa é toca o gáfico da Receptância pelo gáfico da celeância, como mostado na Fig. 47. goa, todos os modos são visíveis e está clao que as pates eal e imagináia não exibem o mesmo compotamento daquele egistado na Fig. 6. azão paa este compotamento é que, paa o exemplo de sistema com UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 30

32 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental quato gaus de libedades usado, os dois últimos modos de vibação têm amotecimentos altamente não-popocionais. Figua 47 Pates eal e imagináia da celeância do sistema da Fig. 45. goa, vamos volta nossas atenções ao Diagama de Nyquist. O poblema de escala que encontamos quando taçamos as pates eal e imagináia da Receptância em função da feqüência também estaá pesente, o que dificultaá a leitua do Diagama de Nyquist em toda a faixa de feqüência de inteesse. solução é usa diagamas de Nyquist sepaados, ou sea, um paa cada egião de feqüência natual. ssim, com o popósito de identificamos as popiedades modais do sistema, este pocedimento deveá se feito paa tia poveito das caacteísticas paticulaes do Diagama de Nyquist. goa, entetanto, seá inteessante te uma epesentação completa da FRF em um único diagama. Paa tal, iemos faze uso de um exemplo em que as constantes modais têm valoes tais que todos os modos seão visíveis, como mostado na Fig. 48 onde é apesentada a Receptância paa um sistema de tês gaus de libedade com amotecimento popocional. Figua 48 Diagama de Nyquist paa Receptância (3 GL. Como espeado, as egiões coespondentes às feqüências natuais dão oigem a um cículo. Contudo, pode se visto que os cículos não são exatamente centados com espeito ao eixo imagináio como no caso de um sistema de um gau de libedade. Esse fato pode se facilmente explicado se eescevemos a Eq. (64 paa um Receptância pontual de um sistema com tês gaus de libedade: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

33 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental α (74 η 3 3 ( iη iη iη 3 i onde as constantes modais são quantidades eais devido ao fato de que o amotecimento foi assumido se popocional. goa, considee o pimeio cículo no diagama da Fig. 48. Lembando que cada cículo coesponde a uma egião de feqüências póximas à feqüência natual, então, podemos epesenta, apoximadamente, a egião póxima à pimeia feqüência natual atavés da seguinte equação: 3 3 α( iη (75 onde é uma constante complexa que epesenta a contibuição dos outos modos pesentes na Receptância, que é dominada pelo pimeio modo. O pimeio temo do somatóio, no Diagama de Nyquist, é epesentado po um cículo com cento sobe o eixo imagináio, ustamente como a Receptância paa um sistema de um gau de libedade. única difeença em elação ao sistema de um gau de libedade é o fato de que existe um fato de escala eal, que altea o diâmeto do cículo, devido a existência da constante modal no numeado. ssim, a soma da quantidade complexa poduziá uma tanslação do cículo, deslocando-o da posição oiginal. Na Fig. 48, pode se visto, ainda, que todos os laços de cículo estão situados na metade infeio do plano complexo. Como explicado acima, a única difeença de um Diagama de Nyquist de um sistema de um gau de libedade é o poduto po um fato de escala em cada temo no somatóio. Como a Receptância sob análise é do tipo pontual, as constantes modais são todas positivas e, potanto, os cículos pemanecem na metade infeio do plano complexo. Uma situação difeente da anteio ocoe se taçamos o diagama paa uma FRF de tansfeência. Nesse caso, a constante modal pode se positiva ou negativa e os sinais opostos destas quantidades podem faze com que apaeçam um ou mais laços de cículo na metade supeio do plano complexo, como mostado na Fig. 49, onde a Receptância de tansfeência do exemplo anteio é mostada. Figua 49 Diagama de Nyquist paa Receptância de Tansfeência. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

34 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Paa o caso em que o amotecimento é não popocional não é difícil pedize o que aconteceá. difeença agoa é o fato de que as constantes modais são quantidades complexas, isto é, elas têm uma magnitude e uma fase. ssim, o deslocamento do cículo e o efeito do fato de escala pemanecem e são devidos, espectivamente, à contibuição dos modos foa da essonância consideada e da magnitude da constante modal. Po outo lado, em adição aos efeitos anteioes, os cículos sofem uma otação devido às fases das constantes modais, como ilustado na Fig. 50. Figua 50 Receptância Pontual com motecimento não Popocional. 7 MODELOS COMPLETOS E INCOMPLETOS De um modo geal, as popiedades dinâmicas de um sistema com N gaus de libedade podem se descitas po tês difeentes tipos de modelos completos: o Modelo Espacial, o Modelo Modal e o Modelo de Resposta. No pimeio caso, as caacteísticas dinâmicas do sistema estão contidas na distibuição espacial das suas popiedades de massa, igidez e amotecimento, descitas pelas matizes de massa, igidez e amotecimento de odem N x N. ssim, o modelo espacial dado po [M], [K] e [D] ou [C] leva a um poblema de autovalo que, esolvido, fonece o modelo modal constituído pelas popiedades modais (N feqüências natuais, N valoes de amotecimentos modais e N vetoes de fomas modais contidas nas matizes [ \ λ \] e [φ]. Se patimos do modelo modal e ecoemos as popiedades otogonais da matiz modal, consideando o modelo histeético, temos: T [ φ] [ M][ φ] [] I T \ \ [ φ] [[K] i[d] ][ φ] [ λ \ ] [ ( iη ] \ (76 e, potanto T [ φ] [ φ] [ M] T \ [ φ] [ ( iη ][ φ] [[K] i[d] ] \ (77 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 33

35 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental isto é, em pincípio, é possível obte um modelo espacial de um modelo modal conhecido. Essa pode se uma conclusão impotante se pensamos que, expeimentalmente, é o modelo modal que inicialmente é deteminado a pati das FRF medidas. demais, o modelo modal pemite a deteminação do modelo de esposta, confome abaixo: [ K] [M] i[d] ]{ X} { F} (78 ou sea: [ α( ] { X} { F} (79 ssim, pode se facilmente concluído que \ [ α( ] [ φ][ ( iη \ ][ φ] T (80 Potanto, patindo de um modelo espacial chegamos em um modelo de esposta após uma paada intemediáia no modelo modal. Esta seqüência é nomalmente desenvolvida quando o ponto de patida é uma análise teóica. Contudo, se um sistema é muito complexo ele não pode se modelado analiticamente e ecoemos a uma análise expeimental, onde o ponto de patida é a medição das FRF s do sistema, isto é, o sistema é inicialmente descito po um modelo de esposta [α(]. Seá visto mais a fente que existem numeosas técnicas que pemitem a deteminação das caacteísticas de um sistema dado a pati do modelo de esposta obtido expeimentalmente. O pocedimento é denominado de Identificação Modal ou Identificação de Sistema. pati do modelo modal, assim deteminado, podemos obte um modelo espacial. Fig. 5 esume a inte-elação dos modelos discutidas acima, baseada no caso não amotecido. Figua 5 Inte-elação dos modelos dinâmicos (caso não amotecido. té o momento assumimos que os nossos sistemas são descitos po modelos completos, isto é, suas popiedades de massa, igidez e amotecimento são todas conhecidas, ou que todos os autovaloes e todos os elementos dos autovetoes são conhecidos, ou que todos os elementos na matiz de FRF são conhecidos. Emboa isso sea uma hipótese válida do ponto de vista teóico, na pática, isso coesponde a uma impossibilidade, uma vez que qualque sistema eal tem um númeo infinito de gaus de libedade, o que á pemite entende essa impossibilidade. Contudo, quando efeimo-nos a modelos incompletos estamos o fazemos segundo outas UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 34

36 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental caacteísticas que tonam o modelo incompleto. Na ealidade, mesmo quando eduzimos um sistema eal a um modelo com N gaus de libedade teemos ainda um modelo completo, mas na pática e do ponto de vista expeimental, não é possível, gealmente, medi as espostas em todas as coodenadas, ou aplica todas as excitações, ou mesmo cobi e analisa todos os modos. Considee um modelo de esposta com N gaus de libedade e assuma que, se completamente conhecido, ele nos dá a descição compotamento dinâmico de nosso sistema. Po exemplo, considee a viga da Fig. 5 discetizada paa se obte um modelo de 6 gaus de libedade descito po: y y y { q} [ α]{ f} 3 3 α α α α α α Simética α α α α α α α α α α α α α α α f f f f f f y y y3 3 (8 matiz de eceptância do modelo completo é, potanto, de odem 6 x 6 e contém as coodenadas de tanslação e otação. Entetanto, a medição de espostas otacionais é uma taefa muito difícil de se ealiza. demais, a excitação de toque é quase impossível com as possibilidades expeimentais hoe existentes. ssim, teemos que opta po limita o nosso modelo de modo que ele inclua apenas coodenadas de tanslação. Figua 5 Viga discetizada paa 6 gaus de libedade. O modelo de FRF eduzido seá de odem 3 x 3 e é obtido simplesmente extaindo-se da Eq. (8 os elementos elevantes da atiz: y f y q fy (8 y3 fy3 R R { } y [ α ] O impotante a se obsevado, é que emboa tenhamos limitado a descição de nosso sistema a um númeo eduzido de coodenadas não alteamos o sistema oiginal, que continua sendo um sistema com 6 gaus de libedade. Simplesmente, deixamos de se capazes de desceve todos os gaus de libedade oiginais, uma vez que eduzindo as coodenadas de inteesse de N paa p significa apenas ealiza uma opeação simples de eliminamos, da matiz esposta em feqüência, N-p linhas e colunas, o que é vedade quando estamos usando as FRF s que elacionam movimento/foça. Outa edução impotante que ocoe em situações páticas é elativa ao númeo de modos de vibação que podem se incluídos na análise, devido à faixa de feqüência UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 35

37 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental na análise expeimental se limitada e, desta foma, pelo menos os modos de feqüências mais altas seão omitidos. ssim, emboa se mantenha o númeo N de gaus de libedade do modelo, teemos de considea um númeo meno de modos (m < N, isto é, a equação da eceptância seá da foma: α s (i m N s (83 iη e, fazendo uso das popiedades de otogonalidade dos autovetoes, a coespondente matiz de eceptância, contendo uma infomação modal eduzida, pode se escita como: \ [ α] [ ] [ ] [ ] T NxN φ Nxm ( λ \ φ mxn mxm (84 Está clao que cada uma das equações anteioes omite infomações que podem se extemamente impotantes. Obseve que o fato de m < N, na Eq. (84, levaá a uma matiz [α] de odem N x N que não pode se invetida, devido ao fato de que suas linhas não são lineamente independentes, isto é, a odem da matiz é N, mas o an é m. Finalmente, a conseqüência de se considea somente um númeo limitado de modos é que teminaemos com uma matiz quadada de autovaloes de odem m x m e uma matiz de autovetoes etangula de odem N x m. goa, pense em temos do modelo de esposta e considee um sistema que seá modelado com um númeo N finito de gaus de libedade. Esses gaus de libedade coespondeão às coodenadas de inteesse paa a análise. ssuma, também, que o nosso modelo modal seá obtido atavés da técnica de identificação baseada em dados expeimentais. Como discutido anteiomente, a análise teá de se ealizada paa uma faixa de feqüência necessaiamente limitada e, potanto, baseada em um númeo limitado m de modos. ssim, o modelo de esposta medido consistiá de uma matiz N x N de elementos α s expessos em temos de dados expeimentais. Paa toca esses dados po um modelo matemático dado pela Eq. (83, com m N, é necessáio aplica pocedimentos de identificação, tais como os que seão descitos mais adiante, e detemina os valoes dos paâmetos modais, η e spaa todos os modos medidos. Contudo, o nosso modelo de esposta, agoa descito po uma matiz [α] de odem N x N, conteá eos devido à omissão de todos os modos foa da faixa de feqüência consideada. Esses eos são, gealmente, visíveis quando compaamos os dados da FRF medida com os dados coespondentes da FRF identificada, se esta é epesentada somente pela Eq. (83. Uma foma de minimiza as conseqüências de se usa tal modelo é intoduzi alguma coeção sobe as FRF s identificadas, tal que elas se apoximem aos dados obtidos po medição, na faixa de feqüência de inteesse, incluindo um temo exta na equação de esposta, confome a equação abaixo: α s m s ( i Rs(i (85 iη onde (i é um temo complexo denominado de esíduo, o qual leva em conta a R s contibuição dos modos foa da faixa consideada. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 36

38 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental necessidade de se intoduzi um temo esidual emete a outo tipo de poblema. Na ealidade, se nosso modelo fosse completamente descito po uma matiz de elementos α s, dada pela Eq. (83, seia possível, então, deduzi a matiz completa a pati do conhecimento de uma única linha ou coluna da matiz de dados expeimentais. Esta azão baseia-se no fato de que, po definição, as popiedades modais e η são popiedades globais, isto é, elas constituem uma caacteística fundamental do sistema e independem de quais FRF s tomemos. Po outo lado, as constantes modais deveão obedece às elações de consistência expessas pela Eq. (60. ssim, em pincípio, o pocedimento expeimental seá eduzido à medição de uma única coluna ou linha da matiz de esposta. Contudo, se na análise existem modos que não foam consideados, po estaem foa da faixa de feqüência de inteesse, devemos usa a Eq. (85 e a deteminação das constantes modais é limitada aos temos modais dento da faixa de feqüência de inteesse, uma vez que o temo esidual não obedece qualque elação específica em elação aos modos foa da faixa de feqüência consideada. 8 MÉTODOS DE IDENTIFICÇÃO MODL Duante os últimos tinta anos muitos pesquisadoes dedicaam-se ao desenvolvimento de técnicas que audam a poduzi uma identificação azoável das popiedades dinâmicas das estutuas. Esta dedicação tem dado futo devido à intodução da Tansfomada Rápida de Fouie (FFT Fast Fouie Tansfom e ao desenvolvimento ecente de nalisadoes de Especto potentes de váios canais, computadoes e instumentação em geal que pemitem a aquisição e o tatamento de gandes quantidades de dados. Hoe em dia, o númeo de publicações técnicas em nálise Modal Expeimental é tal que a taefa de classifica os métodos disponíveis de análise epesenta um gande esfoço. Entetanto, uma boa foma de classifica estes métodos é agupa-los de acodo com o domínio no qual os dados são tatados, ou sea: métodos no domínio do tempo e métodos no domínio da feqüência. Os métodos no domínio da feqüência têm sido lagamente usados, mas poblemas associados com esolução em feqüência, vazamento e alta densidade modal estão levando as pessoas a começaem a olha os métodos no domínio do tempo como uma altenativa pomissoa. O cálculo da Função Resposta Impulsiva (IRF Impulse Response Function, coespondente a uma Função Resposta em Feqüência (FRF, envolve o cálculo da invesa de FFT, que é uma das caacteísticas padão de um nalisado Espectal. Contudo, nesse caso, o vazamento pode se ainda um poblema e, paa evita isso, alguns métodos usam a históia da foça e da esposta dietamente. Po outo lado, de um modo geal, os modelos no domínio do tempo tendem a fonece melhoes esultados quando existe uma laga faixa de feqüência ou um númeo gande de modos nos dados, consideando que os modelos no domínio da feqüência tendem a fonece os melhoes esultados quando a faixa de feqüência de inteesse é limitada e o númeo de modos é elativamente pequeno. Os métodos no domínio do tempo e da feqüência podem se divididos em dietos e indietos. O temo indieto significa que a identificação das FRF s é baseada no modelo modal, isto é, sobe os seguintes paâmetos: feqüências natuais, azões de amotecimento e constantes modais. Po outo lado, no método dieto a identificação está baseada no modelo espacial, isto é, sobe a equação maticial do equilíbio dinâmico, que é a equação pimitiva da qual todos os métodos são deduzidos. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 37

39 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Uma segunda classificação diz espeito ao númeo de modos que podem se analisados. este espeito podemos te as análises de gau de libedade único (SDOF e gaus de libedade múltiplos (MDOF. No domínio do tempo tem-se somente a análise MDOF, enquanto que no domínio da feqüência podemos te análises SDOF e MDOF com o método indieto e com o método dieto apenas a análise MDOF. Gealmente, quando uma estutua é testada um conunto de FRF s é obtido, tendo po base a coleta de uma séie de dados medidos. Estas FRF s são o esultado de excita a estutua em cada ponto selecionado e de medi a esposta em váias posições ao longo dessa estutua. lguns métodos de análise modal somente podem se aplicados a uma única FRF de cada vez. Esses são denominados de métodos de única entada/única saída (SISO. Outos métodos pemitem que váias FRF s seam analisadas simultaneamente, com espostas tomadas em váios pontos sobe a estutua, mas usando uma excitação pontual. Esses são denominados de métodos globais ou métodos de única entada/múltiplas saídas (SIMO. filosofia po tás dessa categoia de métodos é que as feqüências natuais e azões de amotecimento não vaiam (teoicamente de uma FRF paa outa (elas são popiedades globais da estutua e, assim, deveia se possível obte um conunto único e consistente daquelas popiedades pocessando váias FRF s ao mesmo tempo. Finalmente, existem métodos que podem pocessa simultaneamente todas as FRF s disponíveis obtidas de posições de esposta e excitações váias. Esses métodos são denominados de poliefeência ou múltiplas entadas/múltiplas saídas (MIMO. Situações de múltiplas entadas/única saída (MISO são também possíveis, mas são muito pouco usadas. Fig. 54 mosta um diagama com as váias categoias possíveis de métodos. Figua 54 Classificação dos métodos de análise modal. 8. Métodos no Domínio da Feqüência Nesta seção seão apesentados os métodos de identificação no domínio da feqüência. Entetanto, devido à enome quantidade de métodos disponíveis, não é possível explica todos eles em detalhe e, po isso, uma seleção a pioi foi feita. escolha foi baseada na impotância, consideando a sua elevância históica e o impacto em temos de uso pático e implementação. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 38

40 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental 8.. Métodos SISO Método da mplitude de Pico Este é o método mais simples conhecido paa identifica os paâmetos modais de uma estutua. s feqüências são tomadas simplesmente da obsevação dos picos da cuva de magnitude da esposta. s azões de amotecimento são calculadas da agudeza dos picos e as fomas modais são calculadas das azões das amplitudes dos picos em váios pontos sobe a estutua. De modo a leva em conta a amplitude da foça de excitação, o uso da Receptância epesenta um melhoamento do método. Esse método assume que os modos são eais e, emboa sea bastante simplóio, ele pode fonece esultados azoáveis se os modos são bem sepaados e se o amotecimento não é muito alto Métodos da Resposta de Quadatua e do Componente Máximo de Quadatua Este método difee do método da amplitude de pico pela foma de detemina a posição das feqüências natuais da estutua. O método da esposta de quadatua localiza as feqüências natuais nos pontos onde a componente em fase da esposta (a pate eal é nula. Isto coesponde a uma difeença de fase de 90 gaus ente a função foça e a esposta. O método do componente máximo de quadatua considea que as feqüências natuais ocoem nos pontos onde a componente de quadatua da esposta (pate imagináia tem um máximo (ou mínimo. Essa componente está 90 gaus foa de fase com a excitação Método de uste do Ciculo Como foi visto anteiomente, a Receptância de um sistema de N gaus de libedade, com amotecimento histeético, é dada pela seguinte expessão: α s ( (86 N s iη onde η e s são, espectivamente, o fato de peda e a constante modal complexa iφ s e associados com -ésimo modo. Na pática, existe uma faixa limitada de feqüência paa a qual os dados expeimentais são coletados. contibuição à esposta total dos temos situados foa da faixa expeimental de feqüência pode se levada em conta po meio de esíduos, como á discutido no item efeente aos modelos incompletos. O método de austamento de cículo assume como hipótese que a contibuição dos modos foa da faixa àquele paticula sob estudo é uma constante. ssim a Eq. (86 é apoximada po: onde s α s( s (87 iη s é uma constante complexa associada com o modo. Po outo lado, como á discutido, o diagama de Nyquist de ( iη é um cículo. Olhando a Eq. (87, UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 39

41 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental obsevamos que a multiplicação pela constante complexa ssignifica uma ampliação ou edução do aio do cículo, tanto quanto uma ceta otação, e que a adição de coesponde a uma simples tanslação. Como de fato epesentamos no diagama de s Nyquist a Eq. (87, a cuva completa não seá exatamente um cículo, mas apesentaá seções de aco de cículo ao edo da feqüência natual, como ilustado na Fig. 55. Figua 55 Diagama de Nyquist paa a Receptância mostando o auste do cículo. deteminação dos paâmetos modais associados com o -ésimo modo eside no austamento de um cículo à cuva de esposta em feqüência póximo a feqüência natual. Esse pimeio obetivo é gealmente atingido atavés do uso da técnica dos mínimos quadados. ssuma que os dados da FRF são pontos no plano de gand epesentados pelas coodenadas x e y. O poblema que se tem é o de se obte uma cicunfeência que melho se auste a estes pontos, onde o citéio de melho auste é o do mínimo eo quadático. equação de uma cicunfeência é dada po: x y ax by c 0 (88 Paa pontos levemente afastados dessa cicunfeência, o segundo membo da Eq. (88 seá difeente de zeo e esta difeença caacteiza um eo. ssim, define-se a seguinte função eo: E(x, y x y ax by c (89 que, paa o ponto expeimental (x,y, fonece o seguinte valo de eo: E E(x,y x y ax by c (90 Potanto, a soma dos valoes quadáticos desses eos seá: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 40

42 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4 m m T c by ax y (x E E (9 cicunfeência que melho se austa a esses m pontos é aquela que tona T E mínimo. ssim, é possível esceve o seguinte conunto de equações na foma de matiz, aplicando à Eq. (9 a deivada em elação aos coeficientes a, b e c: m m 3 m 3 m m m m m m m m x (y y x (y x y (x c b a m y x y y y x x y x x (9 Resolvido o sistema de equações, epesentado pela Eq. (9, o cento e o aio da cicunfeência podem se deteminados po: c b a R b/ ; a / ( y, (x o o o (93 pós o cálculo de a, b e c o eo médio quadático é computado como abaixo: m c by ax y (x e m m (94 o qual é uma medida da qualidade do auste. Po outo lado, os eos da odem de a 3% são nomalmente aceitos como indicação de um bom auste. localização e deteminação da feqüência natual estão baseadas em uma técnica de espaçamento da feqüência. Paa um dado modo, não consideando o efeito da constante modal complexa, o ângulo de fase é dado po: η actg (95 e é fácil mosta que d ( d é mínimo quando, isto é: 0 d d( d d (96

43 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Da Fig. 56 é evidente que calcula o mínimo de d( d é o mesmo que calcula o mínimo de d( dγ. Paa um conunto de dados expeimentais, com incementos de feqüência igualmente espaçados, uma tabela de difeenças finitas pode se constuída, tal como a tabela. Figua 56 base paa a deteminação da feqüência natual. Tabela - Dados sobe as difeenças finitas. Pontos Feqüência g Dg D g C C γ γ γ 3 γ γ γ γ D D γ 4 γ 3 γ 3 E E γ 5 γ 4 γ 4 F F γ 6 γ 5 γ 5 G G γ 7 γ 6 γ 6 Existiá uma mudança de sinal de γ tão logo passemos de um ponto antes paa um ponto após da feqüência natual. localização da feqüência natual e a deteminação de seu valo são ealizadas po meio da fómula de difeenças de Newton: f(v f(v (V V f(v,v (V V (V V f(v,v,v L o (V V (V V L(V V f(v,v, L,V o o o L o o L o (97 onde f(v 0,V, f(v,v, L,V f(v,v, L,V 0 L 0 L L,VL (98 V0 VL Paa os nossos popósitos, V epesenta o quadado da feqüência e f(v o ângulo de fase γ, ou. ssim, tomando quato pontos conhecidos, dois imediatamente antes e dois imediatamente depois da feqüência natual, e negligenciando os temos do eo esidual, a Eq. (97 eduz-se a: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4

44 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 43,,, f( ( ( (,, ( ( (, ( ( 3 o 0 o 0 o 0 o (99 com ,, (,, (,,, (, (, (,, (, ( (00 Como o mínimo de d ( d coesponde ao máximo de d( d, a feqüência natual é obtida difeenciando duas vezes a Eq. (99 e igualando a zeo, o que dá:,,, (,, ( (0 Substituindo o valo de, deteminado pela Eq. (0, na Eq. (99, calculamos o valo de. Essa técnica é muito simples de se implementada e leva a valoes muito pecisos da feqüência natual e de sua localização exata sobe a cuva de esposta. Emboa outas técnicas possam, também, fonece uma deteminação pecisa do valo da feqüência natual, elas podem não se tão pecisa em temos de sua localização sobe a cuva de esposta. impotância da pecisão na localização de sobe a cuva é apaente somente quando necessitamos deduzi o valo do ângulo de fase φ da constante modal complexa, calculado desenhando uma eta unindo o ponto de feqüência natual e o cento do cículo, confome a Fig. 55. estimativa do fato de amotecimento é, agoa, uma taefa fácil. Da Eq. (95, tomando dois pontos sobe o cículo, onde um coesponde a uma feqüência b abaixo da feqüência natual e outo valo coespondente a feqüência a acima da feqüência natual, podemos esceve: a a tg( η e b b tg( η (0 ssumindo que π/ e definindo: b b b a a a γ γ (03 temos que η γ a a a a tg( tg( tg (04

45 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental e, potanto γ a a tg tg( a (05 tg( a η a b η. (06 tg( tg( a b De fato, a Eq.(06 é válida mesmo quando π/, uma vez que estamos tatando com difeenças de ângulos, confome mosta a Fig. 57. Figua 57 Deteminação do fato de amotecimento pelo uso de dois pontos. Como pode se visto, a Eq. (06 dá uma elação paa os pontos da banda de meia potência quando γ a γ b π/. Paa um dado conunto de esultados, é possível detemina váios valoes paa η, dependendo do pa de pontos que são usados na Eq. (06. Ewins (98 mostou que isto pode se uma foma muito útil de detemina a existência de efeitos não lineaes. Em pincípio, paa um sistema linea, os valoes de η deveiam se todos idênticos. Contudo, na pática este não é o caso. Os desvios nas estimativas de η são, potanto um meio útil de taxa a validade da análise. Se as vaiações são aleatóias, isto significa que o espalhamento é, povavelmente, devido a eos de medição, mas se eles são sistemáticos pode se que tais eos seam causados po não lineaidades. Po outo lado, devemos se cautelosos e não elaboamos conclusões pecipitadas uma vez que na estimativa de amotecimento sempe ocoeá algum eo mesmo que o sistema sea linea ideal. azão paa isso é o pocedimento de cálculo associado com a Eq. (06 e, pincipalmente, devido à natueza do denominado. O esultado final pode se como o mostado na Fig. 58, onde o plano ao invés de se hoizontal é meio inclinado. Os melhoes esultados são obtidos quando os ângulos γ a e γ b não são muito pequenos e têm valoes similaes. ssim, é aconselhável usa a combinação de pontos que coespondam a diagonal da supefície de η epesentada na Fig. 58, e calcula o valo médio. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 44

46 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 58 Deteminação de η usando combinações de pontos. Uma vez conhecidos e η, a deteminação do módulo e da fase da constante modal é feita atavés das seguintes expessões: x0 xd diâmeto e φ actg (07 η y0 yd onde (x D,y D são as coodenadas da oigem deslocada e seus valoes são deteminados tão logo sea deteminada a posição da feqüência natual. Emboa bem conhecido, o método de auste do cículo é feqüentemente desconsideado devido ao fato de se dize que ele somente tabalha bem quando os modos estão bem sepaados e paa valoes de amotecimento não tão altos. Povavelmente, isso se deve ao fato de que em alguns analisadoes comeciais a vesão do método disponível é muito básica. Entetanto, é nossa opinião e a de outos pesquisadoes que o método de auste de cículo tabalha muito bem paa a maioia dos casos mesmo quando se tata de estutuas altamente complexas. Um dos mais impotantes melhoamentos associados com o método do auste de cículo é a possibilidade de subtai o efeito dos modos á analisados antes de analisamos aqueles que estamos inteessados. idéia é muito simples: após a pimeia identificação de cada um dos modos individualmente, a análise é epetida paa cada modo, desta vez subtaindo da FRF oiginal a contibuição dos outos modos, que se distibuem ao lado daquele sob estudo, e que á tenham sido identificado. Matematicamente, isso pode se escito como: α α N s α s paa s (08 onde α é a FRF inicialmente medida, α é a FRF esultante paa o modo sob consideação e αs é a contibuição da FRF egeneada a pati das infomações obtidas da análise pelimina de cada modo. Esta técnica é muito conveniente paa dois modos póximos e um pocedimento inteativo pode se estabelecido ente os dois modos até que a convegência sea obtida. Em geal, este pocedimento é convegente, emboa possa se lento o pocesso de convegência. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 45

47 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng Método Inveso O método inveso foi apesentado po Dobson e baseia-se no fato de que as pates eal e imagináia do inveso da eceptância (Rigidez Dinâmica são linhas etas quando obsevadas em elação ao quadado da feqüência. Escevendo a eceptância paa um sistema com um gau de libedade, com amotecimento histeético, confome abaixo: i i e η α φ (09 a invesa é i e i φ η α (0 Escevendo a Eq. (0 como id i η α ( onde sen( D e cos( φ φ, segue que: D D ( Re η α ( D D D ( Im η α (3 mbas as equações ( e (3 são linhas etas em da foma: R R n m Re α (4 I I n m Im α (5 com R R D n ; D D ( m η (6 I I D D n ; D D ( m η (7

48 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental ssim, após a ealização do auste paa Re[/α ] e Im[/α ], obtém-se duas etas que deteminam os valoes de m, m I, n e n I, os quais pemitem a deteminação dos quato paâmetos modais, após manipulação conveniente das equações (6 e (7, como segue: m n mn R R I I (8 nr ni m n m n R I I R η (9 mrnr mini (0 n n R I φ n I actg ( nr O método inveso pode te vantagens, em alguns casos, sobe o método do auste de cículo, pincipalmente, quando o amotecimento é muito pequeno e/ou existem eos de medição significativos nas áeas póximas a essonância, uma vez que é mais fácil austa uma eta do que um cículo, quando tem-se somente uma boa definição de esposta longe dos picos de essonâncias. Natualmente, se os modos estão muito póximos, o pocedimento iteativo de emove o efeito dos modos á identificados tem que se implementado, como paa o auste do cículo Método de Dobson Este método é uma extensão do método inveso, consideando modos complexos e automaticamente compensando os efeitos dos modos na vizinhança. Considee a eceptância de um sistema de amotecimento histeético dado po: id α ( i esíduo ( iη Paa um valo paticula de Ω póximo a essonância, tem-se: id α ( i esíduo (3 Ω iη O temo esíduo, consideado constante sobe a faixa de feqüência escolhida, pode se eliminado subtaindo as Eq. s ( e (3, obtendo-se: Ω α( i α(iω ( id (4 4 ( ( Ω η iη ( Ω UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 47

49 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Definindo Ω, pode-se esceve: α(i α(iω 4 [( ( Ω η iη ( Ω ] id D (5 então, segue que: Re[ ] (6 c R t R Im[ ] (7 c I t I que são funções lineaes em, com inclinações dadas po: t t R I [ ( Ω D η ] (8 D [ η D ( Ω ] (9 D Vaiando Ω ao edo de, com Ω, obtemos uma família de etas paa Re[ ] e Im[ ]. pioi, não é fácil detemina os paâmetos modais pelas Eq. s (8 e (9. Contudo, estas equações epesentam as equações de duas etas em Ω, tal que: t R dr urω (30 t I di uiω (3 onde d R ( D η ; u R (3 D D d I ( η D D ; u I (33 D D Os paâmetos modais podem se deteminados das Eq. s (3 e (33. Fig. 59 é um exemplo teóico de gáficos obtidos neste método, onde os dados coespondem a um modo eal (φ 0. Se o modo fo complexo, os gáficos da dieita teão uma foma simila dos gáficos da esqueda. Resumindo o pocedimento:. Obte as famílias de etas, a pati dos dados medidos (Re[ ] e Im[ ], confome mostado na Fig. 59, com inclinações t R e t I ; UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 48

50 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental. Po outo lado, t R e t I são eles pópios etas em Ω. ssim, um segundo auste de etas pemite calcula os valoes do lado esquedo das Eq. s (3 e (33. ssim, como conseqüência, obtém-se os paâmetos modais. Figua 59 Exemplo de análise pelo método de Dobson. paentemente, paece que os paâmetos modais deteminados pelo método de Dobson deveão se os mesmos daqueles deteminados pelo método inveso. Contudo, quando compaamos os esultados de ambos os métodos, eles são levemente difeentes. Isso é devido duas azões:. O método inveso não leva em conta os efeitos dos outos modos, enquanto que o método de Dobson considea este efeito;. No método inveso os valoes de Re[/α ] e Im[/α ] são usados dietamente, enquanto que no método de Dobson os paâmetos t R e t I á são esultados de um auste de etas. Finalmente, deve-se essalta que com dados teóicos, sem uído e paa GL, o método de Dobson coincide com o método inveso. Po outo lado, paa modos bem espaçados o efeito esidual não é muito gande e os esultados de ambos os métodos são similaes. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 49

51 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Método dos Mínimos Quadados Sea a função Receptância paa o mecanismo de amotecimento histeético, confome abaixo: s αs( i onde s ( η (34 s O somatóio da Eq. (34 se estende pelo númeo de modos da banda de feqüência consideada. Po simplicidade, faemos. O eo em cada valo expeimental da feqüência seá: E H(i (35 s s onde H(i é o valo expeimental da função esposta em feqüência do tipo Receptância e o somatóio epesenta a contibuição dos modos afastados do -ésimo modo. Fazendo po definição (36 H(i s onde os paâmetos e s são conhecidos peviamente. Po exemplo, suponha que esses paâmetos tenham sido deteminados po austamento do cículo de Nyquist ou pelo método inveso. Desta foma, os podem se calculados, com,,... N, sendo N o númeo de pontos de feqüência em que H(i foi medida. Potanto, podemos eesceve a Eq. (35 como segue: s E [ (s ] ou E (37 s s O obetivo aqui é o de atualiza os valoes das constantes modais e autovaloes pelo método do mínimo eo quadático. ssim, definindo o fato de peso P (s, que é computado com o valo pévio de s, pode-se esceve a seguinte expessão paa o eo quadático: * * * * Eo EE P (s (s (s (38 Então, somando-se os eos efeentes a cada ponto de feqüência, deivando em elação aos conugados complexos das constantes modais e autovaloes, e igualando a zeo, obtém-se a seguinte equação maticial: P P * P P s P P (39 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 50

52 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental solução da Eq. (39 fonece os valoes atualizados de e s, computados em função dos valoes peviamente estabelecidos na banda de feqüência vaida po. cada iteação, o valo do eo é calculado pela Eq. (38 usando-se os valoes atualizados. Então, um citéio de convegência adequado deve se usado, tal como o apesentado na equação abaixo, de modo a sinaliza a paada do pocesso iteativo: Eo atual Eo Eo anteio anteio < 0, 0 (40 O desenvolvimento matemático aqui apesentado pemite que se estabeleça a seguinte metodologia:. Toma como dados de entada inicial um conunto de valoes de e s, coespondentes aos modos contidos na banda de feqüência de inteesse, obtidos po qualque um dos métodos á apesentados.. Monta a Eq. (39, esolve-la e detemina o novo conunto de e s. Esse pocedimento deve se feito paa a obtenção de valoes atualizados de e s paa cada um dos modos contidos na banda de feqüência de inteesse. 3. Veifica o citéio de convegência. Se este citéio fo obedecido paa o pocedimento, caso contáio, epeti os passos anteioes até que a convegência sea obtida. É clao que a convegência seá obtida com meno númeo de iteações se os valoes iniciais de e s foem bem escolhidos. Uma boa ecomendação é a de se obte os valoes iniciais de e s pelo austamento do cículo de Nyquist Método dos Mínimos Quadados Melhoado O método anteiomente apesentado compota um melhoamento, uma vez que considea apenas os modos de uma banda de feqüência, ou sea, os modos de odem a, e o sistema possui modos infeioes a e supeioes a que paticipam da esposta. ssim, uma epesentação mais adequada da função esposta em feqüência do tipo Receptância neste caso seia: α ( (4 s i Rm(i R s(i s onde o temo cental coesponde aos modos da banda medida, R m (i epesenta o efeito dos modos infeioes da banda consideada e R s (i coesponde ao efeito dos modos que estão acima da banda consideada. Os paâmetos R m (i e R s (i são denominados de esíduos e, atavés de um aciocínio simples, podem se convenientemente expessos. Considee petencente à banda medida. Paa os modos epesentados po R m (i esta feqüência é alta. Então, considee um temo paticula de R m (i expesso po: s iη (4 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5

53 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5 onde, de acodo com a hipótese acima <<. Dividindo a Eq. (4 po, obtém-se: ( >> η η η ; ( i ( i (43 apoximadamente tem-se: 4 η η η m i ( i i (44 Potanto, o esíduo R m (i tem o compotamento de uma massa de valo m. Po outo lado, um aciocínio análogo conduz a deteminação de R s (i. qui, as feqüências natuais deste temo são gandes compaadas com. É de se espea que este temo se compote como uma mola. Um temo típico de R s (i seá: s i ( s η (45 que é constante em elação a feqüência. ssim, pode-se eesceve a nova expessão do eo como sendo: m s H(i s E (46 e, definindo po simplicidade: H(i s C (47 temos paa o eo total quadático a seguinte expessão: * m * s * m s * T (C (C E E E (48 Então, deivando a Eq. (48 em elação aos conugados complexos de s e m e igualando a zeo, obtém-se a seguinte equação maticial: s m C C N 4 (49 onde N epesenta o númeo de pontos expeimentais tomados, isto é,,,..., N.

54 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 53 goa, vamos supo que se disponha dos valoes de e s na banda de inteesse, isto é,,. Com esses valoes C e C podem se deteminados e a solução da Eq. (49 daá os valoes de s e m. Esses valoes dos esíduos podem se tomados, untamente com os de e s,,, como valoes iniciais. Então, o seguinte pocedimento pode se implementado, fazendo: m s H(i s s E (50 Redefine-se assim: m s H(i s (5 e, como antes, obtém-se: [ ] (s s E ou s E (5 pati daqui seguem-se os passos á conhecidos e chega-se ao sistema de equações apesentado na foma de matiz como segue: * P P s P P P P (53 que fonece os novos valoes de e s. Com estes novos valoes calcula-se novamente os valoes de C e C e novos valoes de s e m são deteminados. O pocesso continua até a convegência. 8.. Métodos SIMO 8... ustamento Iteativo Simultâneo do Conunto de FRF s Tata-se de um método global (SIMO de austamento de cuva no domínio da feqüência, tendo po base o desenvolvimento visto no item anteio. Suponha que uma excitação atue em uma estutua, associada à coodenada s. Então, o veto de FRF do tipo Receptância seá dado po: { } { } { } { } α s m R s R i ( (54 onde { } { } { } s s φ φ e { } { } s m R e R são os vetoes de constante que levam em conta a esposta do sistema foa da banda de feqüência de inteesse.

55 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental O veto eo elativo ao ponto, coespondente ao valo de feqüência igual a, é dado po: { E} { } { } s s { H(i } { R} s { R} m (55 onde as pacelas do somatóio dizem espeito as modos dento da banda de feqüência delimitada pelos valoes K e K, mas que seam difeentes do -ésimo modo que seá atualizado. ssim, definindo o veto {} como { } s { } { H(i } { R} s { R} m (56 a Eq.(55 pode se eescita confome abaixo: { E} { } [ (s ] { } ou { E} { } { } (57 s s pati deste ponto, o pocedimento que se segue supõe que { } e P podem se computados com valoes peviamente disponíveis dos paâmetos modais. O eo total escala, na feqüência, seá: ou *T * *T [{ } (s { } ] [{ } (s { } ] s *T Eo E E P (58 ET ET P (s l * l (s * l (s l * l l l * l l (s * l * l l (59 onde l e l são os l-ésimos componentes de {} e {}, l,,... n, onde n epesenta α ( i. o númeo de FRF s disponíveis no veto { } plicando a deivada em elação a * * s e l na Eq. (59, tem-se: ET * s P l * l l (s l l 0 (60 ET * l P [ (s ] 0 l l (6 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 54

56 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Intecambiando os somatóios na Eq. (60, obtém-se: l * P l l P l s P l (6 l l a qual epesenta uma única equação tendo como incógnitas s e l, com l,,...,n. Eq. (6 pode se eescita como: C l l Ds E (63 l onde como: C l * P l, D P l e E l l P l, ou na foma expandida C C L Cnn Ds E (64 Eq. (6 epesenta, na ealidade, um conunto de n equações que podem se escitas como segue: F onde F l G ls J (65 l P, G P l e J l l l. Finalmente, pode-se esceve o seguinte sistema de (n equações, com (n incógnitas: C l l Ds E l F l G ls J l e l, L,n (66 solução do sistema, epesentado pela Eq. (66, atualiza os valoes de s e o do -ésimo veto modal. s-ésima componente deste veto modal é φ, cua aiz quadada é φ s. Dividindo, pois, todos os componentes de { } po s { φ }. s φ, obtém-se o -ésimo autoveto atualização dos vetoes esiduais faz-se confome a metodologia á descita anteiomente, tendo po base o seguinte sistema de equações: 4 N R R pm ps C C p p p, L,n (67 Eq.(67 epesenta um conunto de n sistemas de duas equações com duas incógnitas, R pm e R ps com p,...,n. Resolvido esses n sistemas, obtém-se os dois R. vetoes esiduais { R } m e { } s UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 55

57 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental 8. MÉTODOS NO DOMÍNIO DO TEMPO 8.. Método da Exponencial Complexa O método da exponencial complexa é um método simples de identificação modal, no domínio do tempo, que está na categoia dos métodos indietos de múltiplos gaus de libedade e que é classificado na categoia SISO, ou sea, é poetado paa analisa uma única função impulsiva de cada vez. No domínio da feqüência, a FRF do tipo eceptância α (deslocamento medido no ponto paa uma foça aplicada no ponto, paa um sistema linea, amotecido e N gaus de libedade, pode se dada pela seguinte equação: com ' α ( i (68 N ' ξ i( ξ, e ' ' N * N. O símbolo (* usado denota o complexo conugado. O método da exponencial complexa, ao contáio dos métodos de identificação modal no domínio da feqüência, tabalha com a função esposta impulsiva, obtida da Eq. (68 pela aplicação da Tansfomada Invesa de Fouie, confome abaixo: N N st ' st h (t e ou h(t e (69 ' onde s ξ i. esposta tempoal h(t, avaliada em uma séie de intevalos igualmente espaçados t, é: h h M h 0 L h(0 h( t N M h(l t N N ' M ' e s ( t ' e s (L t (70 ou, fazendo V e St, simplesmente: h h h 0 L N N M M N ' ' ' V V L (7 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 56

58 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental ' Deve se notado que na Eq. (7 os valoes de e V não são conhecidos. Como, então, calcula esses valoes? solução é uma técnica engenhosa desenvolvida po Pony em 975 e conhecida como Método de Pony. Pony, baseado no fato de que os pólos s, paa um sistema sub-amotecido, sempe ocoem em paes complexos conugados, estabeleceu que existe um polinômio em V, de odem L, com coeficientes eais β, denominados de coeficientes auto-egessivos, tal que a seguinte elação matemática pode se escita: L β β V β V L βv 0 (7 0 ssim, de modo a calcula os coeficientes β, paa avalia V, é necessáio apenas multiplicamos ambos os lados de cada uma das equações (7 pelos valoes coespondentes de β 0 a β L e soma os esultados. Essa opeação fonece: L L N N L β h β V (73 β ' ' V o o o soma intena da Eq. (73 é exatamente o polinômio da Eq. (7. Então, como este polinômio se anula paa cada valo de V, segue que: L o βh 0, paa cada valo de V (74 tavés da Eq. (74 é possível calcula os coeficientes β que pemitião a solução do polinômio da Eq. (7, deteminando-se os valoes de V. Paa calcula os β pocedemos como segue:. Po conveniência faça L se tomado como N;. Então, existiá N conuntos de pontos h, cada um adiantado em elação ao outo em um intevalo de tempo t. 3. Faça β N se igual a unidade. Potanto, o esultado deste pocedimento é a seguinte equação maticial: h0 h M h N h h h N ou, simplesmente: M h h h M 3 N L L L L h h N h N M 4N β0 β β M βn h hn hn M h4n N (75 ' [ h ] NxN{ } Nx { h } Nx β (76 Deteminados os coeficientes β, um algoitmo de solução de polinômio pode se usado paa deteminaa as aízes V. Posteiomente, usando a elação V e st e seu UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 57

59 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental valo complexo conugado coespondente, podemos detemina as feqüências natuais e os fatoes de amotecimento. Po outo lado, com os valoes de V, podemos usa a Eq. (7 paa calcula os esíduos e, conseqüentemente, as constantes modais. Os esíduos são facilmente calculados eescevendo a Eq. (7 como: V V M N V V V V M N L L L L L V V V N N M N N ' ' ' 3 M ' N h0 h h M hn (77 onde, po conveniência, foam tomados os pimeios (N valoes de h. Na ealidade, ' é bastante toma (N valoes, uma vez que e V apaecem em paes conugados. Como visto, o método da exponencial complexa é simples e não eque uma estimativa inicial paa os paâmetos modais, entetanto, a única incógnita é o númeo de modos a se usado na análise. Gealmente, um númeo sobe estimado de modos é usado e, assim, tona-se necessáio distingui quais os modos são genuínos e quais são computacionais. Um método usado, paa se te ceteza do númeo exato de modos, é a epetição da análise váias vezes, diminuindo-se o númeo de modos cada vez que se epete a análise. ssim, é possível taça uma cuva de eo ente a cuva medida e a egeneada, em cada etapa da análise, em função do númeo de modos. Nessa cuva de eo, é espeado que sea visível um decaimento indicando o númeo coeto de modos. Outa altenativa, paa calcula o númeo efetivo de modos, é o cálculo do escalão (an da matiz de coeficientes usada paa calcula os autovaloes. Finalmente, uma outa altenativa pode se a utilização de difeentes conuntos de dados e analisa a consistência das soluções paa os paâmetos modais. É impotante egista que uma gande desvantagem do método da exponencial complexa paece se sua sensibilidade ao uído. 8.. Método da Exponencial Complexa - Mínimos Quadados (LSCE Este método de identificação foi intoduzido em 979 e é a extensão do método da exponencial complexa paa um pocedimento global de identificação modal. Potanto, este método é um método SIMO, ou sea, ele pocessa simultaneamente váias Funções Respostas Impulsivas, efeentes a váios pontos de medição, que são obtidas a pati da aplicação de uma foça em um único ponto. Neste pocedimento de análise, um conunto consistente de paâmetos globais (feqüências natuais e fatoes de amotecimento modais é obtido eliminando-se a vaiação obtida paa estes paâmetos quando se aplica o método da exponencial complexa em difeentes Funções Respostas Impulsivas. extensão da metodologia do método da exponencial complexa paa o método LSCE é muito simples, uma vez que se tomamos como efeência a Eq. (76, podemos estabelece que os coeficientes β, que pemitem a solução do polinômio caacteístico da Eq. (7, são quantidades globais, isto é, devem se os mesmos paa cada Função Impulsiva usada. Potanto, escevendo a Eq. (76 paa p Funções Respostas Impulsivas, obtemos: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 58

60 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental [h] [h] M [h] p ' {h } ' {h } M ' {h } p ' { β} ou [ h ] { } { } G NpxN β Nx hg Npx (78 solução de mínimos quadados pode se encontada atavés da técnica da pseudo-invesa (ve nexo como: T ' ( G G [ hg ] { hg} T { } [ h ] [ h ] β (79 Uma solução deste tipo paa a Eq. (76 á podeia te sido aplicada no método da exponencial complexa, consideando-se que mais do que N conuntos de pontos á seiam uma foma de melhoa os esultados, pincipalmente, devido ao fato de se pode vae uma quantidade maio de pontos da Função Resposta Impulsiva e, assim, minimiza os efeitos dos uídos de medição. Potanto, na Eq. (78, podemos te mais do que N conuntos de pontos de medição. Conhecidos os coeficientes do veto {β}, obtém-se os valoes de V esolvendo, como antes, a Eq. (7 e, então, paa cada Função Resposta Impulsiva, os esíduos ' podem se deteminados usando-se novamente a Eq. (77. ltenativamente, um algoitmo no domínio da feqüência pode se usado paa deteminação dos esíduos. Como no método da exponencial complexa, pemanece, ainda, o poblema da estimativa coeta do númeo de modos. Entetanto, o cálculo do escalão da matiz [h G ], na Eq. (78 pode se usado como uma indicação desta quantidade Método de Ibahim Tata-se de um método global de austamento no domínio do tempo. Suponha-se o sistema excitado po uma foça associada à s-ésima coodenada genealizada, q s. O veto de esposta impulsiva seá: N N st { (t} s { } se { φ} st h φ e (80 s onde as constantes φ s são chamadas fatoes de paticipação modal. Se a excitação fosse associada à coodenada q, a Eq. (80 seia, obviamente, válida, com escito no luga de s. ssim, a esposta às duas excitações aplicadas simultaneamente seia: N { (t} { h(t } s { h(t } { φ} st h ( φ φ e (8 s Eq. (8 é válida paa um númeo qualque de excitação e pode-se esceve: N { (t} C{ φ} s t h e (8 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 59

61 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental onde C epesenta a soma dos -ésimos fatoes de paticipação modal. Essa constante, no método de Ibahim, é incopoada ao veto {φ}, confome mosta a seguinte equação: N { (t} { ϕ} st h e (83 Na Eq. (83, { } { } ϕ C φ é, ainda, um modo de viba, mas não mais otonomal e uma conseqüência da utilização do método de Ibahim é a impossibilidade das constantes C seem ecupeadas. Com base na Eq. (83, a i-ésima esposta seá escita assim: N st h (t ϕ e, i,...,q (84 i i Na Eq. (84, o númeo q epesenta o númeo de pontos de medição na estutua ensaiada. esposta no instante t seá escita assim: onde N h ϕ λ (85 i i i i s t h h (t e λ e (86 gupando os temos paa i,...,q,,...,n e,...,m, obtém-se: h h M h q h h h M q L L M L h h h M M M qm ϕ ϕ M ϕ q ϕ ϕ ϕ M q L L M L ϕ ϕ ϕ,n,n M q,n λ λ M λ q λ λ λ M q L L M L λ λ λ M M M qm (87 ou, simplesmente [ h] qxm [ ϕ] qx N [ c ] NxM (88 onde M q N, com q epesentando o númeo de Funções Resposta Impulsiva, que nomalmente coesponde ao númeo de pontos de medição, N o númeo de modos de vibação e M o númeo total de valoes da função impulsiva paa os tempos distintos t. Tomem-se, agoa, as medições feitas nos instantes t t, com,...,m. Po exemplo, paa o i-ésimo ponto de medição: N N s s t (t ϕ t s t h i(t t ie ϕ ie e (89 s t Definindo i ie ϕ ϕ e h i(t hi h i(t t hi, UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 60

62 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental tem-se h i N ϕ λ i (90 seguinte elação maticial é imediata: [ h] qxm [ ϕ ] qxn [ c ] NxM \ e, deve-se nota que [ ] [ ][ ] [ ] [ ] s ϕ com t NxN e\ ϕ. Po outo lado, existe uma matiz quadada [S] que elaciona h maneia: [ h ] [ S] [ h] (9 e h, da seguinte (9 Esta matiz [S], que é uma matiz de tansmissão, é caacteística do sistema estutual, como se veá a segui, e pode se calculada po: [ S] [ h] [ h] (93 onde a matiz [h] é a pseudo-invesa de [h]. Substituindo as Eq. s (88 e (9 na Eq. (9, chega-se a: [ ϕ] [ ] [ S] [ ϕ] [ ] ou [ ϕ] [ S] [ ϕ] c c (94 e como ϕ ϕ e s t e { ϕ} [ S]{ ϕ} autovalo: i i [ S]{ } { ϕ} t e s, podemos esceve o seguinte poblema padão de ϕ (95 Visto que [S] é de odem q, existião q autovaloes e q autovetoes. Entetanto, se s t q > N existião modos computacionais. Deteminados os autovaloes e é fácil calcula as feqüências natuais e os fatoes de amotecimento modais. Po outo lado, se os cálculos foem epetidos paa mudanças difeentes de intevalo de tempo, é possível distingui os modos genuínos dos modos computacionais, s t ϕ ϕ e, bastando paa isso que se compae os valoes de com base na elação { } { } { ϕ } paa um intevalo de tempo com o valo calculado paa o intevalo seguinte. Um modo genuíno foneceá valoes semelhantes enquanto que um modo computacional tendeá a apesenta valoes distintos. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 6

63 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental NEXOS UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

64 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental NEXO - Técnica de Decomposição em Valoes Singulaes.. INTRODUÇÃO poposta deste anexo é da uma visão sintética da Técnica de Decomposição em Valoes Singulaes (Singula Value Decomposition - SVD dando ao leito uma opotunidade de contato com este método numéico potente, que pemite a deteminação do escalão (an de uma matiz e a solução de sistema de equações sobedeteminados, ente outas aplicações... DECOMPOSIÇÃO EM VLORES SINGULRES decomposição de uma matiz [] em valoes singulaes é dada po: [ ] [ ] [ ] [ ] T MxN U MxM MxN V NxN (. onde [U] e [V] são matizes otogonais, isto é: T T T T [ U] [ U] [ U][ U] [ V] [ V] [ V][ V] [] I e, po extensão: (. [ ] T [ ] [ ] T U U e V [ V] (.3 [] é uma matiz eal com elementos σ i σ i paa i e σ i 0 paa i. Os valoes de σ i são denominados de valoes singulaes da matiz []. Sem peda de genealidade nós assumiemos que eles são valoes decescentes, ou sea, σ > σ > L >. σn [ ] σ 0 M σ M 0 0 L L O L L 0 0 M σn 0 N M-N (.4 N Se a matiz [] é complexa, então, a Eq. (. tona-se: [ ] [ ] [ ] [ ] H MxN U MxM MxN V NxN (.5 onde o sobescito H denota a tansposta conugada complexa (Hemitiana. [U] e [V] são matizes unitáias (esta denominação substitui o temo otogonal quando a matiz é complexa, isto é: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

65 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental H H H H [ U] [ U] [ U][ U] [ V] [ V] [ V][ V] [] I (.6 e [ ] H [ ] [ ] H U U e V [ V] (.7 Os valoes singulaes são a aiz quadada dos autovaloes da matiz [] T [], se [] é eal, e de [] H [], se [] é complexa. Poque [] T [] é simética e [] H [] é Hemitiana, seus autovaloes são sempe eais e, potanto, ambas as Eq. (. e (.5 fonecem valoes singulaes eais..3 PLICÇÕES DE SVD.3. Deteminação do Escalão de uma Matiz O conceito de escalão de uma matiz está dietamente elacionado com a dependência linea de suas linhas (ou colunas. Po exemplo, uma matiz de odem N x N cuas as linhas são lineamente independentes teá um escalão igual a N. Entetanto, se uma das linhas e lineamente dependente das demais o seu escalão seá N. Em outas palavas, o escalão de uma matiz é igual ao númeo de linhas lineamente independentes que possui. Uma matiz de odem M x N, com M > N, é dita te escalão completo (full an se seu escalão é igual a N, ou escalão deficiente (an-deficient se seu escalão é meno do que N. Quando uma matiz quadada tem escalão deficiente ela é singula, isto é, seu deteminante é nulo. O escalão de uma matiz é facilmente deteminado atavés da técnica SVD, uma vez que o escalão da matiz é o númeo de valoes singulaes não nulos obtidos na decomposição da matiz. Paa uma matiz de odem 3 x 3, com uma linha lineamente dependente, σ 3 seia igual a zeo e somente os valoes de σ e σ não seão nulos..3. Deteminação do Númeo de Condição Uma outa aplicação simples de SVD é o cálculo do númeo de condição de uma matiz. Este númeo pode se deteminado pela elação σ max / σ min, onde σ min é o meno valo singula não nulo. Este cálculo pode sevi como um indicado de poblemas potenciais, como a infomação do mau condicionamento de uma matiz, que se caacteiza po um alto valo da elação..3.3 Solução de Sistemas de Equação SVD pode se muito útil paa esolve sistemas de equações sobedeteminados, da foma: [ ] MxN { X} Nx { b} Mx (.8 onde M > N. plicando a SVD sobe [], obtemos: T [ U ] MxM [ ] MxN[ V] NxN{ X} Nx { b} Mx (.9 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

66 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental ou ou, ainda, com T T [ ] MxN[ V ] NxN{ X} Nx [ U] MxM{ b} Mx (.0 [ ] MxN { Z } Nx { d} Mx (. T { Z} [ V] { X} (. T { d} [ U] { b} (.3 Eq. (. epesenta um conunto de M equações desacopladas, com N incógnitas. Desta equação podemos esceve: σ Z d paa N e σ 0 (.4a 0.Z d paa N e σ 0 (.4b 0 d paa > N (.4c s equações (.4b e (.4c seão consistente somente se d 0 paa σ 0 ou > N. existência de um veto {b} paa o qual [] {X} {b} tenha uma solução {X} implica em d te que se zeo paa σ 0, se N ou paa J > N. Se esta condição não acontece, a Eq. (.8 não tem uma solução exata. Neste caso, Z não pode se deteminado da Eq. (.4b, entetanto, uma solução apoximada pode se obtida fazendo Z 0 sempe que σ 0. Isto coesponde à solução mais póxima em um sentido de mínimos quadados (minimização de [ ]{ X} { b} da Eq. (. fazendo: { } [ V]{ Z}. pós o cálculo de {Z}, o veto {X} pode se deteminado X ( Deteminação da Pseudo-Invesa matiz [], de odem N x M, é denominada de pseudo-invesa da matiz [] se as seguintes condições são satisfeitas:. [] [] [] []. [] [] [] [] (.6 3. [] [] é simética 4. [] [] é simética UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

67 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental matiz [] sempe existe e é única. Se [] é quadada e não singula, então [] [] - e se [] é etangula de escalão completo, então [] ([] T [] - [] T. No último caso se [] é complexa, então [] ([] H [] - [] H. Entetanto, se [] não tem escalão completo a melho foma de calcula a pseudo-invesa é atavés da SVD. pseudo-invesa está elacionada ao poblema de mínimos quadados, tal como o valo de {X} que minimiza [ ]{ X} { b} e que pode se dado po {X} [] {b}. Consideando a Eq. (. e calculando a pseudo-invesa, obtemos: [ ] [ V] T ( [ ] [ U] (.7 NxM NxN NxM MxM Como as matizes [U] e [V] são otogonais e de escalão completo, a pseudoinvesa coincide com a matiz invesa clássica e, potanto, podemos esceve: [ ] [ ] [ ] [ ] T NxM V NxN NxM U MxM (.8 matiz [] é uma matiz diagonal eal de odem N x M, constituída pelos valoes invesos dos valoes singulaes σ não nulos. Cada elemento da matiz [] pode se mais eficientemente calculado po: v iu a i (.9 σ σ 0 onde v e u são os elementos coespondentes de [V] e [U] T. soma exclui os valoes de σ que são nulos. Em temos páticos, somente são consideados os valoes singulaes que são maioes do que um valo cítico τ, ou sea: v iu a i (.0 σ σ >τ Esta condição pática de aceitação dos valoes singulaes σ implica em não atendimento da pimeia condição da Eq. (.6 e, neste caso, esta condição deve se tocada po esta outa: [ ][ ] [ ] [ ] < τ (. Po outo lado, todas as demais condições impostas pela Eq. (.6 continuam válidas. Entetanto, o fato do não atendimento de uma condição expessa pela Eq. (.6 leva a constatação de que a pseudo-invesa passa a não se única, mas ente as espostas possíveis, a condição expessa pela Eq. (. é a que fonece o mínimo eo paa o poblema de mínimos quadados. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

68 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental NEXO II Pocessamento de Sinal paa nálise Modal.. - INTRODUÇÃO Nos últimos anos algumas técnicas de medição têm sido desenvolvidas continuamente paa melhoa a pecisão das Funções Resposta em Feqüência - FRF medidas, bem como eduzi o tempo e o custo do teste modal. Histoicamente, estas técnicas têm sido categoizadas em métodos de sintonia senoidais, ou de popiação de Foça, e não senoidais, ou de Sepaação de Fase. Os métodos de popiação de Foça, ou Ressonância-Fase, consistem de pocedimentos que tentam estabelece modos natuais de vibação po medição dieta da vibação foçada da estutua de teste po excitação multiponto. Paa faze isso, váios excitadoes são usados paa aplica sobe a estutua de teste foças que vaiam senoidalmente. Paa um teste modal com múltiplos excitadoes, a feqüência de excitação e o nível da foça elativa do excitado são austados paa isola a esposta do modo alvo das espostas de todos os outos modos. s popiedades modais são então tomadas da medição dieta da esposta de vibação foçada. Uma vantagem significativa destes métodos é que eles podem se usados paa detemina as popiedades modais de estutuas com alta densidade modal, isto é, com modos póximos. Contudo, paa sintoniza o excitado de foma a excita o modo de inteesse, é necessáio um conhecimento azoável sobe a natueza paticula daquele modo que é equeido. demais, o pocedimento de sintonização pode se tona muito complicado, consumindo tempo e, potanto, aumentando os custos do teste modal. Na ealidade, nos métodos de apopiação de foça não existe distinção claa ente medição e análise, que são ealizadas untas. Po outo lado, nos métodos não senoidais, existe uma claa sepaação ente medição e análise. Ocasionalmente, os dados da esposta live são gavados e posteiomente analisados. Mas feqüentemente, os sinais no domínio do tempo, coespondentes a uma foça aplicada e a esposta, são captuados e pocessados de modo a obte Funções Resposta em Feqüência FRF s ou Funções Resposta Impulsivas IRF s que são melhoes analisadas po técnicas apopiadas de auste de cuvas paa fonece as popiedades modais da estutua. Entetanto, o tatamento dos sinais envolve um númeo gande de pecauções, técnicas e pocedimentos que ustificam um estudo na áea de Pocessamento de Sinais. Nas duas décadas passadas, a intodução do algoitmo da Tansfomada Rápida de Fouie FFT, a disponibilidade de equipamentos de pocessamento de dados digitais e de micocomputadoes potentes levaam ao desenvolvimento de pocedimentos de teste que não tentam excita a estutua de teste em feqüências discetas. o invés disso, todos os modos dento de uma faixa de feqüência de inteesse são excitados simultaneamente com uma única foça de banda laga vaiando aleatoiamente usando um excitado eletodinâmico, ou múltiplas foças de banda laga não coelacionadas vaiando aleatoiamente usando múltiplos excitadoes eletodinâmicos, ou uma foça impulsiva usando um matelo instumentado. Os dados medidos, efeentes à esposta da estutua, são então pocessados digitalmente paa fonece uma estimativa das FRF s ou IRF s. Neste capítulo, os conceitos básicos da nálise de Fouie, Tansfomada de Fouie e FFT são apesentados. Suas limitações, as amadilhas usando-as e como elas podem se implementadas são apesentadas. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

69 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental.. - NÁLISE DE FOURIER Quando o sinal de esposta é uma onda senoidal pua tal como aquela obtida de um teste modal com excitação senoidal, a deteminação das feqüências caacteísticas é um pocesso simples. Contudo, em um teste modal com excitação aleatóia, o deslocamento, a velocidade ou a aceleação da estutua de teste é nomalmente uma função complicada esultante de uma inteação ente váias feqüências de essonância da estutua e das feqüências caacteísticas da foça acionadoa extena. ntes de abodamos tal situação, iniciemos com o caso mais simples de uma excitação peiódica, que leva a uma esposta peiódica. Como o deslocamento x(t é uma função peiódica de peíodo T, x(t pode se expesso como uma soma de ondas senoidais hamonicamente elacionadas, ou sea, pode se epesentado pela séie de Fouie como: πn πn x (t ao an cos t bn sen t (II- n T T constante a o é simplesmente o valo médio de x(t paa o peíodo T (digo de T/ a T/. s constantes a n e b n podem se avaliadas de: T / πn a n x(t.cos t. dt (II- T T / T T/ πn b n x(t.sen t. dt (II-3 T T/ T s constantes a n e b n podem se calculadas de uma foma dieta paa qualque função peiódica. Deve se notado que os cálculos acima estão baseados em funções eais e que o especto de feqüência de x(t é definido somente paa feqüências positivas (n,,3,... Se cos (πnt/t e sen (πnt/t são expessos em temos de funções exponenciais complexas como: πn cos t T i e i πn e sen t T π nt / T πnt / T e e i iπnt / T iπnt / T (II-4 a foma exponencial esultante paa a séie de Fouie pode se escita como: onde iπ / T x (t C nt n e (II-5 n T / iπ / T C nt n x(t.e dt (II-6 T/ T UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

70 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental C n é definido paa valoes de n (feqüência negativo e positivo e a elação ente C n e as quantidades eais a n e b n é dada pela seguinte equação: C C a b (II-7 n n n n Se x(t não é uma função peiódica mas um único impulso, é possível ainda utiliza o teoema de Fouie, emboa em uma vesão um pouco modificada. Substituindo a Eq. (II-6 na Eq. (II-5, obtemos: T/ π τ π i n / T τ τ i nt / T x (t x( e d e (II-8 n T T/ Pode se assumido que neste caso o impulso seá epetido após um peíodo infinito. Como T, T f df e n T n f f que é uma vaiável contínua. Conseqüentemente, a soma na Eq. (II-8 tansfoma-se em uma integal: ou onde i fτ iπft x(t x( τe π dτ e df (II-9 x(t X(f iπft X(f.e df iπft x(t.e dt (II-0 (II- s equações (II-0 e (II- constituem o pa de integais de Fouie bem conhecido, definido na foma complexa de - a. Estas integais são muito impotantes poque elas pemitem um sinal no domínio do tempo se tansfomado paa o domínio da feqüência e vice-vesa. té aqui discutimos apenas os sinais peiódicos e um impulso único. Feqüentemente, nos testes modais, outos tipos de sinais podem se encontados. Os váios tipos de sinais podem se categoizados como: (a Hamônico, po exemplo, foças e sinais de esposta de uma estutua excitada po uma foça senoidal; (b Peiódico, po exemplo, vibação de uma máquina otativa em velocidade constante; (c Tansiente, po exemplo, a esposta de uma estutua excitada po uma foça impulsiva; (d leatóio, po exemplo, a esposta de uma estutua sob excitação de uído banco. s categoias (a e (b são sinais peiódicos. Conseqüentemente, uma análise de Fouie pode se ealizada, uma vez que o peíodo T do sinal está bem definido. categoia (c é o esultado de um sinal impulso e pode se analisado usando a integal de Fouie. lém disso, se o sinal tansiente tende a se anula paa um tempo maio do que o tempo de gavação (compimento do egisto de gavação do sinal, ele pode se convetido paa um sinal peiódico consideando que ele se epete paa o tempo de gavação, duas vezes o tempo de gavação, tês vezes o tempo de gavação, etc. Na UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

71 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental pática, paa a categoia (d, somente é possível analisa um compimento de gavação finito do sinal aleatóio. Contanto que as popiedades estatísticas não vaiem duante a gavação dos dados ou ente gavações dos dados, isto é o sinal é estacionáio e egódico, o sinal é assumido se peiódico, sendo o peíodo T igual ao compimento de gavação dos dados, e a análise de Fouie é ealizada. Contudo, como seá visto mais tade, é necessáio algum tatamento adicional e cuidadoso, incluindo algum cálculo de média, o qual é sempe equeido. séie de Fouie dada pela Eq. (II- ou Eq. (II-5 mosta que x(t é epesentado po uma séie de hamônicos, de feqüências /T, /T, 3/T,... Po isso, o espaçamento das componentes de feqüência, ou a esolução obtida, é de /T Hz. Isso não é poblema se o sinal que está sendo analisado é vedadeiamente peiódico no tempo T, uma vez que nenhuma componente do sinal pode esta ente as feqüências calculadas na análise de Fouie. Poém, é feqüentemente necessáio analisa sinais que não são vedadeiamente peiódicos no tempo T como, po exemplo, a vibação de uma máquina otativa que tem um númeo não inteio de evoluções duante o peíodo de medição, ou a vibação de uma estutua sob cagas ambientais aleatóias. O poblema pode se ilustado compaando-se a séie de Fouie de uma onda senoidal que tem um númeo n de peíodos no tempo T e uma onda senoidal que tem (n/ dento do compimento de gavação como mostado na Fig. II. (a e (b. Como pode se visto na Fig. II. (b, que mosta a onda de peíodo não inteio, se o sinal dento do tempo de gavação T é epetido além daquele peíodo, ocoeá uma descontinuidade. Os espectos esultantes são mostados nas figuas II. (a e (b. Fig. II. (a mosta a feqüência da pimeia onda senoidal que foi coetamente gavada enquanto a Fig. II. (b mosta o especto da segunda onda senoidal que apesenta banda elativamente laga e dois picos na vizinhança da feqüência coeta. lém disso, no segundo caso, a pesença de outas componentes senoidais pode causa o mascaamento da onda senoidal oiginal pelos lóbulos lateais daquelas componentes. Isto tem implicações impotantes paa testes modais onde alguns modos podem se menos fotemente excitados do que outos modos póximos em algumas posições paticulaes de medição, tais como pontos nodais. Figua II. (a Seno com n peíodos. Figua II. (b Seno com (n/ peíodos. O fenômeno do desdobamento das componentes do especto vedadeio em outas feqüências é denominado de leaage (vazamento. Tendo po base a Fig. II. (a, a intepetação é que a enegia associada com a linha espectal em f o migou, ou vazou, paa as feqüências vizinhas, como na Fig. II. (b. ssim, a análise de uma gavação de tempo finito pode causa vazamento no especto vedadeio. Paa coigi, ou pelo menos minimiza, este poblema, o sinal no domínio do tempo é gealmente multiplicado po uma função, conhecida como função anela ou simplesmente anela. O UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

72 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental obetivo é obte um decaimento suave do sinal paa o valo nulo nos limites do peíodo de tempo de gavação, tal que o sinal esultante se apoxime mais de um sinal de peíodo exato. Da Fig. II.(b paa a Fig. II.(b, nenhuma anela foi aplicada ou, o que é equivalente, uma anela etangula foi usada. Figua II. (a Especto de Potência obtido obtido quando f o T é inteio. Figua II. (b Especto de Potência quando f o T não é inteio. foma exata do especto vazado depende da feqüência e da elação de fase ente x(t e a função anela. De modo a minimiza o vazamento, um númeo significativo de anelas tem sido poposto. tabela II- esume algumas das mais impotantes anelas nomalmente incopoadas em analisadoes FFT. Tabela II- Funções Janelas e suas Fomas. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

73 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental função anela mais comumente usada é a anela Hanning. Seu nome oiginou-se de von Hann, um cientista que aplicou um pocesso equivalente paa dados meteoológicos. Quando os sinais senoidais mostados nas figuas II. (a e (b são multiplicados pela anela Hanning antes da análise de Fouie, os espectos esultantes dos sinais são mostados nas figuas II.3(a e (b. Podemos obseva que a anela Hanning faz com que alguma quantidade de enegia do sinal oiginal escoe paa as duas componentes espectais adacentes enquanto ela supime o vazamento de enegia paa outas componentes espectais que estão afastadas da feqüência coeta. Então, a aplicação da anela gealmente limita a extensão do vazamento e eduz a chance de componentes impotantes do sinal seem mascaadas. Figua II-3 (a Especto de potência obtido Figua II-3 (a Especto de potência obtido pelo uso de uma anela Hanning quando pelo uso de uma anela Hanning quando f o T é inteio. f o T não é inteio. É ecomendado que uma anela deve sempe se usada exceto quando o sinal é vedadeiamente peiódico no tempo T ou o sinal é um tansiente que sempe decai paa zeo dento do compimento de gavação. lém disso, o inevitável espalhamento de enegia quando a análise de Fouie é usada paa sinais que não são exatamente peiódicos no tempo de medição significa que gande cuidado deve se tomado quando se obtém valoes de amotecimento do especto, uma vez que os valoes de amotecimento tendem a assumi valoes mais altos do que vedadeiamente são.... TRNSFORMD DISCRET DE FOURIER O que até aqui foi apesentado aplica-se igualmente aos sinais analógicos e digitais. Na pática, a análise de Fouie é quase sempe desenvolvida usando um Pocessado de Sinais Digitais emboa os tansdutoes geem sinais analógicos de saída. Po exemplo, uma célula de caga piezelética gea uma voltagem de saída que é popocional à foça excitadoa aplicada à estutua. Como a foça vaia de foma contínua, a saída do tansduto mosta uma vaiação contínua do sinal. Um conveso analógico digital (/D, que é uma pate impotante do sistema de aquisição de dados, é usado paa convete o sinal analógico do tansduto em código digital usado pelo pocessado. O conveso /D gava o nível do sinal em um conunto disceto de tempos, isto é, /f s, /f s, 3/f s,..., N/f s segundos onde N é o númeo total de amostas e f s é a feqüência de amostagem em Hz. Fig. II-4 mosta o pocesso típico de amostagem de um sinal analógico. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

74 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua II-4 Pocesso de mostagem Típico de um Sinal nalógico. Desde que não existe infomação paa os peíodos de tempo ente as amostas, a seleção incoeta da feqüência de amostagem pode poduzi esultados não condizentes com a ealidade. Fig. II-5 (a mosta uma onda senoidal com uma feqüência f o 0 Hz. Tomando os valoes amostados desse sinal contínuo dependente do tempo, usandose feqüências de amostagem iguais a f s 5 Hz, f s Hz e f s 0 Hz e ligando os valoes amostados po segmentos de etas, podemos poduzi os gáficos de amplitude x tempo como mostado nas figuas II-5 (b, (c e (d. Examinando a Fig. II-5 (b é azoável conclui que o sinal amostado tem um valo constante, ou sea, é um sinal DC. Esta conclusão está eada poque o sinal oiginal é uma onda senoidal. magnitude do dado amostado, que depende de quando a amosta foi tomada, pode também não efleti a ealidade. Isto ocoe se a onda é amostada em uma taxa qualque que sea uma fação inteia da feqüência f o do sinal oiginal, po exemplo, f o, f o /, f o /3,... Fig. II-5 (c mosta os dados amostados como sendo de uma onda com f Hz, sendo esta feqüência a difeença ente a feqüência do sinal f o 0 Hz e a feqüência de amostagem f s Hz. intepetação eada de um sinal po uma senoide de feqüência mais baixa é denominada de aliasing. meno taxa de amostagem, ou feqüência de amostagem, equeida paa evita o aliasing é de pelo menos duas vezes a feqüência do sinal. Esta afimação é conhecida como o teoema de amostagem de Nyquist-Shaunon. Fig. II-5 (d mosta os dados como sendo uma onda senoidal de feqüência igual a 0 Hz, a mesma feqüência da onda oiginal. Quando a amostagem e a digitalização são feitas pelo conveso /D, o dispositivo gea um númeo fixo de níveis digitais discetos do sinal, ou níveis de quantização. O valo do sinal no instante da amostagem é aedondado paa o nível digital mais póximo possível, confome mostado na Fig. II-6. pecisão do pocesso depende do númeo de bits no conveso, uma vez que um conveso de n bit tem n níveis de quantização. Muitoa analisadoes FFT usam convesoes /D de bits dando 4096 níveis, ou 4095 níveis não nulos, e uma faixa dinâmica de 0.log ,5 d paa medições pico-a-pico. Na pática, o sinal deve ocupa tanto quanto possível da faixa do conveso. Se o conveso é bipola tendo, po exemplo, 4096 níveis ente V e V e o sinal está ente 0,0V e 0,0V, 40 d da faixa de medição seá pedida. Neste caso, o sinal deve se amplificado ou a faixa do conveso mudada. Feito isto, os eos de quantização são insignificantes. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.