Movimentos: Variações e Conservações

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2 Movimentos: Vaiações e Consevações Volume único Calos Magno S. da Conceição Licinio Potugal Lizado H. C. M. Nunes Raphael N. Púbio Maia Apoio:

3 Fundação Ceciej / Extensão Rua Visconde de Niteói, 1364 Mangueia Rio de Janeio, RJ CEP Tel.: (1) Fax: (1) Pesidente Masako Oya Masuda Vice-pesidente e Dietoa de Extensão Miian Capez Goveno do Estado do Rio de Janeio Govenado Ségio Cabal Filho Secetáio de Estado de Ciência e Tecnologia Alexande Cadoso Coodenado da Equipe de Extensão em Física Lizado H. C. M. Nunes Mateial Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Calos Magno S. da Conceição Licinio Potugal Lizado H.C.M. Nunes Raphael N. Púbio Maia COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cistine Costa Baeto SUPERVISÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Ana Paula Abeu-Fialho DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO Solange Nascimento Wilson Paulo de O. J AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Thaïs de Sievi Copyight 008, Fundação Ceciej / Consócio Cedej Nenhuma pate deste mateial podeá se epoduzida, tansmitida e gavada, po qualque meio eletônico, mecânico, po fotocópia e outos, sem a pévia autoização, po escito, da Fundação. C744m Depatamento de Podução EDITORA Teeza Queioz REVISÃO TIPOGRÁFICA Daniela de Souza Elaine Bayma Patícia Paula COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Joge Moua PROGRAMAÇÃO VISUAL Sanny Reis ILUSTRAÇÃO Claa Gomes CAPA Claa Gomes PRODUÇÃO GRÁFICA Andéa Dias Fiães Fábio Rapello Alenca Conceição, Calos Magno S. da. Movimentos: vaiações e consevações. volume único / Calos Magno S. da Conceição; Licínio Potugal; Lizado H. C. M. Nunes; Raphael N. P. Maia. Rio de Janeio : Fundação CECIERJ, p.; 19 x 6,5 cm. ISBN: / 1. Movimentos.. Vetoes. 3. Leis de Newton. 4. Hidostática. I. Potugual, Licínio. 3. Nunes, Lizado H. C. M. 4. Maia, Raphael N. P. II. Título. CDD: Refeências Bibliogáficas e catalogação na fonte, de acodo com as nomas da ABNT.

4 Movimentos: Vaiações e Consevações Volume único SUMÁRIO Aula 1 Movimento unidimensional 5 Aula Cinemática vetoial 39 Aula 3 As leis de Newton 89 Aula 4 As aplicações das leis de Newton 15 Aula 5 Enegia e tabalho 193 Aula 6 Colisões 35 Aula 7 Momento angula 85 Aula 8 Hidostática 35 Apêndice - Vetoes 363 Refeências 385

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6 Movimento unidimensional A U L A 1 Texto adaptado po Lizado H. C. M. Nunes das apostilas: Meta da aula Discuti os pincipais aspectos instucionais elacionados ao movimento unidimensional de uma patícula. - Souza, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. - ALMEIDA, Maia Antonieta T. de. Intodução às Ciências Físicas: v.3. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: calcula a velocidade média e a aceleação média de uma patícula, conhecendo a duação de um intevalo de tempo e o deslocamento da patícula nesse intevalo; calcula a velocidade e a aceleação instantâneas de uma patícula paa uma dada lei hoáia do movimento ; usa as equações do movimento unidimensional de uma patícula com aceleação nula ou constante paa enconta a posição, a velocidade ou a aceleação instantâneas; epesenta gaficamente a posição, a velocidade e a aceleação de uma patícula em movimento unidimensional com aceleação nula ou constante, como função do tempo paa um intevalo dado; calcula o deslocamento, a velocidade média e a aceleação média paa um intevalo de tempo de uma patícula em movimento unidimensional, a pati dos gáficos hoáios do movimento.

7 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional DESLOCAMENTO Considee uma patícula que pode move-se apenas ao longo de uma eta. Tal movimento é dito etilíneo ou unidimensional. Vamos dize também que a posição da patícula seja deteminada pela coodenada x do eixo coodenado OX. Veja agoa a Figua x(t 1 ) = 30 t 1 A 40 x(t ) = t B x(m) Figua 1.1: Cao se desloca de (A) paa (B). Podemos pecebe que inicialmente o cao estava em (A) e que, depois de um ceto tempo, ele passou paa (B). Vamos dize que (A) esteja elacionado a um instante t 1 e que (B) esteja elacionado a t. A duação desse intevalo é dada po t = t t 1. (1.1) Se tomamos a placa acima como efeencial, de onde medimos a posição do cao, em (A) o cao estava 30m à dieita da placa, ou seja, a posição do cao em (A) é dada po x(t 1 ) = 30m. Analogamente, em (B), a posição do cao é dada po x(t ) = 50m. 6 CECIER J Extensão

8 A vaiação da posição da patícula, do instante t 1 ao instante t, é a difeença x(t ) x(t 1 ). Essa vaiação é chamada de deslocamento da patícula do instante t 1 ao instante t. AULA 1 x = x( t ) x( t ). 1 (1.) A unidade de deslocamento é, natualmente, a mesma da posição. Se, po exemplo, expimimos as posições em metos, os deslocamentos seão dados também em metos. É fácil ve que um deslocamento é positivo somente se x(t ) > x(t 1 ). Nesse caso, dizemos que o deslocamento ocoe no sentido positivo do eixo OX. De maneia análoga, o deslocamento é negativo somente se x(t ) < x(t 1 ) e o deslocamento ocoe no sentido negativo do eixo OX. Duante um movimento qualque, podem ocoe deslocamentos no sentido positivo e negativo do eixo OX. Po exemplo, duante um intevalo de tempo, você pode anda paa fente e depois, em outo intevalo, você pode anda paa tás.! Um deslocamento é nulo somente se x(t ) = x(t 1 ), isto é, as posições iniciais e finais são iguais. Mas não devemos necessaiamente conclui que a patícula tenha ficado paada. Ela pode te ficado paada, mas também pode te ealizado outo movimento qualque, desde que tenha voltado à posição inicial no instante t. Isso acontece, po exemplo, quando jogamos uma peda veticalmente paa cima, e ela volta paa a sua mão exatamente no ponto de onde saiu. x Descida Subida t = t t = t 1 O Figua 1.: A patícula passa pelo mesmo ponto na subida e na descida. CECIER J Extensão 7

9 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Podemos conclui então que o deslocamento de uma patícula duante um ceto intevalo de tempo não é, obigatoiamente, a distância pecoida po ela duante esse intevalo. De fato, no exemplo ilustado pela figua, a distância pecoida pela peda não é zeo, mas o dobo da altua que ela alcança acima da posição inicial. VELOCIDADE MÉDIA Você já deve te ouvido fala na fábula da lebe e da tatauga. Caso você não a conheça, acesse o link abaixo: Paa ilusta o conceito de velocidade média, vamos conta a fábula da lebe e da tatauga: Ao enxega uma ávoe distante no meio de uma planície, a lebe via-se paa a tatauga e diz: Aposto com você uma caixa de alfaces fesquinhas que chego lá antes de você. A tatauga (que não ea muito espeta) topa a aposta, e a lebe sai em dispaada deixando paa tás a tatauga. Ao chega no meio do caminho, a lebe olha paa tás, vê que a tatauga é apenas um pontinho no hoizonte e decide paa paa descansa. A lebe acaba pegando no sono e, ao acoda, pecebe que a tatauga está quase alcançando a ávoe. A lebe, então, coe a toda tentando, desespeadamente, alcança a tatauga, mas já ea tade... A tatauga alcança a ávoe apenas alguns segundos antes da lebe. Agoa você podeia faze a seguinte pegunta: "Po que a lebe, sendo muito mais ápida, chegou depois da tatauga?" Poque a velocidade média da tatauga foi maio que a velocidade média da lebe duante a coida. Po definição, a velocidade média num intevalo de tempo só depende das posições iniciais e finais nesse intevalo. De fato, se a posição de uma patícula no instante inicial t 1 fo x(t 1 ) e se a posição no instante final t fo x(t ), a velocidade média nesse intevalo é dada po v t1 t x t x t1 x = ( ) ( ), t t t 1 (1.3) 8 CECIER J Extensão

10 onde t t 1. (Note que, se t = t 1, o intevalo se eduz ao instante t 1, e paa um único instante não é possível usa o conceito de velocidade média.) Peceba que a velocidade média é a azão ente o deslocamento da patícula no intevalo de t 1 a t e a duação desse intevalo. Sendo velocidade média a azão ente deslocamento e um intevalo de tempo, a sua unidade seá a azão ente as unidades de compimento e de tempo que foem usadas. Po exemplo, se usamos o meto paa os deslocamentos e o segundo paa o tempo, a unidade de velocidade média é o meto po segundo, usualmente escita como m/s. AULA 1 Como a duação do intevalo, t t 1, é positiva, a velocidade média é positiva somente se o deslocamento da patícula no intevalo é positivo. Do mesmo modo, a velocidade média é negativa somente se o deslocamento é negativo. Finalmente, note que a velocidade média dá apenas uma infomação global sobe a maneia como a patícula se moveu nesse intevalo. Paa sabe a velocidade da patícula em um instante em paticula, pecisamos ecoe ao conceito de velocidade instantânea que você veá a segui. ATIVIDADE 1. Na célebe coida ente a lebe e a tatauga, a velocidade da tatauga é de 1,5m/min. A distância a pecoe é de 450m, e a lebe coe duante 0,6 min. antes de paa paa uma soneca. a. Sabendo que a lebe é capaz de completa o pecuso em 54s, calcule a sua velocidade média. b. Qual é o deslocamento da lebe da patida até a paada paa a soneca? c. Qual é a duação máxima da soneca paa que a lebe não peca a coida? CECIER J Extensão 9

11 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional RESPOSTAS COMENTADAS a. Antes de calcula a velocidade média, vamos adota a oigem do eixo x como o ponto de patida, x 1 = 0, e a linha de chegada é epesentada pelo ponto x = 450m. A lebe é capaz de desloca-se x = x x1 = 450m = 0, 45km em um intevalo de tempo t minimo = 54s = 0, 015h. Potanto, segundo a definição v = x/ t, a velocidade média é 0, 45 km v = = 30km / h 0, 015 h b. Chamaemos t o tempo gasto pela lebe paa alcança o ponto em que páa paa tia uma soneca. Sabemos que a lebe coe po t = 0,6 min = 0,01h antes de paa. A pati da velocidade encontada no item (a), podemos calcula o deslocamento x = v g t : x = ( 30 0, 01) km = 0, 3km c. Em pimeio luga, de acodo com o item a, a lebe é capaz de completa o pecuso em 54s. Agoa você deve se pegunta: Quanto tempo a tatauga leva paa completa a coida? A tatauga pecoe x = 0, 45km com uma velocidade v = 1, 5m/min = 0,09km/h. A pati da elação t = x / v, calculamos a duação da coida, Logo, é possível mosta que o tempo máximo da soneca deve se de t tminimo = 4h 59min 6s. 0, 45 t" = h = 5h 0, 09 v = 1, 5m/min = 0,09km/h VELOCIDADE INSTANTÂNEA Paa ilusta o conceito de velocidade instantânea, vamos paafasea uma anedota contada po Richad Feynman, um dos maioes físicos do século passado, em seu livo The Feynman Lectues on Physics, que foi adaptada pelo Pofesso H. Moysés Nussenzveig em seu livo Cuso de física básica: Um policial páa o cao de uma loua que andava em alta velocidade e exclama: 10 CECIER J Extensão

12 Dona, a senhoa estava andando a 10km/h, quando o limite nesta ua é de 60km/h! Então, a loua esponde: Mas, seu guada, como é que eu podia esta andando a 10km po hoa, quando eu só estou diigindo faz 0 minutos! Daí o Feynman diz no livo dele: Vamos supo que ao invés do guada dize: Então a senhoa explique isso ao Detan, poque vai ecebe uma multa! ele esolva da uma lição de Física paa a loua: O que eu queo dize é que, se a senhoa seguisse em fente nessa velocidade, depois de uma hoa teia pecoido 10km!" Mas, seu guada, se eu seguisse em fente, eu iia bate nesse pédio aí da fente! Bem, isso é vedade, mas se a senhoa tivesse continuado assim po 1 minuto, teia pecoido km; se a senhoa continuasse po 1 segundo, teia pecoido 33,3m; e, se fosse em fente po 0,1s, teia pecoido 3,33m. Desse jeito, a senhoa podeia pefeitamente te infingido a lei duante 0,1 segundo. Mas, seu guada disse a loua o limite de velocidade é de 60km/h, e não de 1,66 metos em 0,1 segundo. Então, o guada se sai com essa: Dá no mesmo, minha senhoa. O que impota aqui é a velocidade instantânea. AULA 1 Conheça mais sobe o físico Richad Feynman ( ) atavés do link: Paa fixa as idéias, considee o seguinte exemplo: suponha que você veja um ada a 100m de distância quando diigia seu cao a 100km/h. Paa não se multado, você pecisa passa pelo ada a menos de 50km/h. Então, imediatamente você pisa nos feios fazendo com o que o cao vá diminuindo a velocidade. CECIER J Extensão 11

13 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Vamos faze o gáfico da posição do seu cao em função do tempo. Paa faze isso, vamos fixa a oigem no ada. Assim, quando você vê o ada, ele está na posição -100 apoximadamente (medida em metos) e enconta o ada 5,74 segundos depois (na posição zeo), como pode se visto na Figua 1.3. x(m) t(s) Figua 1.3: As posições de um cao que se apoxima de um ada em função do tempo. Qual a velocidade do cao no instante t = 5,74s? Paa calcula a velocidade nesse instante, vamos diminui o intevalo de tempo até que ele seja tão pequeno, que o intevalo se eduza a esse instante. Vamos começa com o intevalo ente 0s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo, usando os valoes vistos na Figua 1.3, é: x( 5, 74s) x( 0s) m m v0 5, 74 = = 17, 4 63km/h. 5, 74 0 s s 1 CECIER J Extensão

14 Vamos agoa diminui paa o intevalo de tempo ente os instantes 4,74s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: v x( 5, 74s) x( 4, 74s) m m = = 1, 06 43km/h. 5, 74 4, 74 s s 4, 74 5, 74 AULA 1 Vamos diminui ainda mais paa o intevalo ente 5,73s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: Vamos diminui ainda mais paa o intevalo ente 5,749s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: Só paa se chato, vamos diminui ainda mais paa o intevalo ente 5,7399s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: Você está vendo? Quando estamos no limite em que o intevalo é zeo, temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu cao passa pelo ada. Podemos expessa matematicamente esta última fase da seguinte foma: v v v Esse limite (lim) define a deivada da posição com elação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a deivada com elação ao tempo da função que desceve a posição da patícula nesse dado instante. Logo, a velocidade instantânea num dado instante t 0 é expessa po x( 5, 74s) x( 5, 73s) m m = = 10, 57 38km/h. 5, 74 5, 73 s s 5, 73 5, 74 x( 5, 74s) x( 5, 739s) m m = = 10, 56 38km/h. 5, 74 5, 739 s s 5, 739 5, 74 x( 5, 74s) x( 5, 739s) m m = = 10, 56 38km/h. 5, 74 5, 739 s s 5, 739 5, 74 x t + t x t v( t) = lim. t 0 t dx( t) v( t ) = 0 ( ) ( ) dt t = t0. (1.4) CECIER J Extensão 13

15 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional (A expessão dx( t) é a deivada da função posição, denotada po dt x(t), com elação ao tempo, que denotamos po t.)! A velocidade instantânea é igual ao valo limite de velocidades médias (em intevalos de tempo cada vez menoes), e a unidade da velocidade instantânea seá a mesma da velocidade média: uma unidade de compimento dividida po uma unidade de tempo. Assim, a velocidade instantânea também pode se dada em metos po segundo, po exemplo, como a velocidade média. Pela Equação (1.4), se soubemos x(t), que nos fonece a posição como função do tempo, podemos detemina a função velocidade v(t) em qualque instante do domínio desta função. Aliás, x(t) também é chamada de lei hoáia do movimento. Agoa, você podeia nos pegunta: Se você conhece a velocidade de uma patícula em todos os instantes do movimento e a posição que ela ocupa num instante em paticula, é possível descobi qual é o movimento ealizado pela patícula? A esposta é sim! Se conhecemos a função velocidade e sua posição num dado instante, podemos enconta a função posição, que nesse caso é obtida po meio do conceito matemático de integal. Assim, dada a posição x 0 de uma patícula no instante t 0 e a sua função velocidade v(t), a função posição é dada po t (1.5) (A expessão v( t ) dt é a integal, do instante t 0 ao instante t, da t0 x( t) = x0 + v( t ) dt. função velocidade, denotada po v(t), e t é a vaiável de integação.) O cálculo de deivadas e integais está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações. t t0 14 CECIER J Extensão

16 ATIVIDADE. A posição de uma patícula que se move ao longo do eixo x vaia no tempo de acodo com a expessão x = t, com x em metos e t em segundos. Calcule sua posição: AULA 1 a. no instante t = 3,0s b. em t = 3,0s + t. c. Calcule o limite de x/ t, consideando que t se apoxima de zeo, paa enconta a velocidade instantânea em t = 3,0s. RESPOSTAS COMENTADAS a. No instante t = 3,0s, a posição da patícula vale x( 3, 0s) = ( 3, 0) m = 18m. b. Em um instante póximo, t = 3,0s + t, a posição calculada é x( 3, 0s + t) = 3, 0 + t m 18 1 t t m. t = 3,0s vale ( ) = + + ( ) c. O deslocamento da patícula ente os instantes 3,0s e 3,0s + t é dado po x = x(3,0 + t) x(3,0) = [1 t +,0( t) ]m. Ao dividi o deslocamento pelo intevalo de tempo, encontamos o seguinte esultado: x m = ( 1 +, 0 t). t s No limite em que t 0, o segundo temo do lado dieito da igualdade acima tende a zeo. Potanto, a velocidade instantânea da patícula em v x 3, 0s lim t 0 1m/s. t ( ) = = ACELERAÇÃO CONSTANTE A aceleação desceve quão apidamente vaia a velocidade duante o movimento. De ceto modo, pecebemos aceleações com mais facilidade do que velocidades. Imagine que você esteja de olhos fechados viajando em um automóvel de janelas fechadas, que pecoe uma estada CECIER J Extensão 15

17 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional hoizontal e eta (suponha, além disso, que a estada esteja em bom estado e que o cao seja bom): as aceleações são facilmente pecebidas. Se o cao acelea, você sente o banco do cao pessionando as suas costas. Se a aceleação é negativa, isto é, se o cao desacelea, você sente agoa o cinto de seguança pessionando o seu peito paa tás (sendo uma pessoa inteligente, você cetamente usaá cinto de seguança). Já estamos habituados ao uso coloquial do conceito de aceleação. Todos nós entendemos o que significa dize que o automóvel está aceleando; significa que a velocidade do automóvel está aumentando. Se dissemos que a aceleação é gande, entende-se que a velocidade está vaiando apidamente, ou seja, em um ceto intevalo de tempo, a velocidade vaia de uma quantidade consideada gande. Se um automóvel é feado, sua velocidade também vaia, o que eduz o valo da velocidade. Nesse caso, diz-se que o automóvel foi desaceleado. Em linguagem coloquial, vaiações positivas de velocidade são chamadas de aceleações, e vaiações negativas são chamadas de desaceleações. Em Física, o conceito de aceleação num movimento etilíneo é de uma gandeza que pode se positiva, negativa ou nula. Po aceleação nula entende-se, é clao, a ausência de aceleação. Nesse caso, a velocidade é constante ou o copo se enconta em epouso. Aceleação média e instantânea Considee um intevalo de tempo [t 1, t ], com t > t 1. Se v(t 1 ) é a velocidade da patícula no instante t 1 e v(t ) é a velocidade da patícula no instante t, a vaiação da velocidade no intevalo de t 1 a t é v = v( t ) v( t ) 1 (1.6) e a duação desse intevalo é t t t. (1.7) = 1 A azão ente a vaiação da velocidade no intevalo de t 1 a t e a duação desse intevalo é chamada de aceleação média da patícula no intevalo [t 1, t ], ou seja, a = v( t) v( t1) v t t t. t t1 1 (1.8) 16 CECIER J Extensão

18 Uma vaiação de velocidade é expessa, natualmente, em unidade de velocidade, isto é, unidade de compimento dividida po unidade de tempo. Sendo a aceleação média a azão ente a vaiação de velocidade e a duação de um intevalo de tempo, a sua unidade seá a de velocidade dividida pelo tempo. AULA 1 No S.I. ( unidades) a unidade de aceleação média é o meto po segundo po segundo, ou simplesmente m/s. Sendo a duação do intevalo t t 1 uma gandeza positiva, concluímos que a aceleação média é positiva somente se a vaiação da velocidade da patícula no intevalo de t 1 a t é positiva, isto é, se a velocidade aumenta nesse intevalo de tempo. A aceleação média é negativa somente se a velocidade diminui no intevalo. Finalmente, o caso da aceleação média nula coesponde à situação em que a velocidade da patícula em t é igual à sua velocidade em t 1. Poém, isso não significa necessaiamente que duante esse intevalo a velocidade da patícula tenha pemanecido constante. Isso pode ou não te acontecido, mas, conhecendo-se apenas a velocidade média nesse intevalo, nada podemos afima. A aceleação média dá apenas uma idéia global de como vaia a velocidade em um intevalo.! Po exemplo, a velocidade média nula em um intevalo não significa necessaiamente que a velocidade tenha pemanecido constante nesse intevalo; ela pode te vaiado de modo a volta, no final do intevalo, ao valo que tinha no início. Paa te uma infomação mais detalhada sobe a apidez da vaiação da velocidade, devemos considea o conceito de aceleação instantânea, que nos fonece a apidez com que a velocidade vaia num instante em paticula. A aceleação instantânea da patícula no instante t é o limite da azão ente v e t, quando a duação do intevalo tende a zeo, ou seja, ( ) ( ) v t + t v t a( t) = lim. t 0 t (1.9) CECIER J Extensão 17

19 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Esse limite (lim) define a deivada da velocidade com elação ao tempo, ou seja, a aceleação instantânea num dado instante é a deivada com elação ao tempo da função que desceve a velocidade da patícula nesse dado instante. Logo, a aceleação instantânea num dado instante t 0 é expessa po a( t ) = 0 dv t dt ( ) t= t0. (1.10) (A expessão dv ( t ) é a deivada da função velocidade, denotada dt po v(t), com elação ao tempo, que denotamos po t.) Agoa você podeia dize com convicção: "Mas a função velocidade já não é a deivada com elação ao tempo da função posição? Logo, posso conclui então que devo deiva com elação ao tempo duas vezes a função posição paa obte a função aceleação." Isso mesmo, a expessão matemática da sua afimação nos mosta como calcula a função aceleação a pati da função posição: (1.11) d (A expessão indica que estamos deivando duas vezes uma dt função com elação ao tempo. O índice não significa que estamos elevando ao quadado.) De acodo com o que você viu, no final da seção anteio, você podeia nos pegunta agoa: Se você conhecesse a aceleação de uma patícula em todos os instantes do movimento e a sua velocidade num instante em paticula, seia possível detemina a sua função velocidade? A esposta é sim! Se conhecemos a função aceleação e uma dada velocidade instantânea v 0, podemos enconta a função velocidade. A função velocidade é obtida po meio do conceito matemático de integal. Assim, dv( t) d dx( t) d x( t) a( t) = =. dt dt dt dt v( t) = v0 + a( t ) dt. t t0 (1.1) 18 CECIER J Extensão

20 t (A expessão a( t ) dt é a integal, do instante t 0 ao instante t, da t0 função aceleação, denotada po a(t), e t é a vaiável de integação.) Como já dissemos, o cálculo de deivadas e de integais está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações, mas ele é necessáio paa deduzimos as equações do movimento etilíneo com aceleação constante a segui. AULA 1 Aceleação constante ou Movimento Retilíneo Unifomemente Vaiado (MRUV) Suponha que uma patícula se mova com aceleação constante duante um deteminado intevalo de tempo. Como você viu anteiomente, se você soube a velocidade instantânea no instante inicial desse intevalo, podeá conhece a velocidade em qualque instante desse intevalo. Vamos epesenta a aceleação da patícula po a e vamos chama de v 0 a velocidade no instante inicial t 0 = 0. Pela Equação (1.1), podemos esolve a integal paa obte a função velocidade em qualque instante t petencente a esse intevalo, (1.13) Agoa, se conhecemos também a posição da patícula no instante inicial, podemos obte a sua posição em qualque instante desse intevalo, como você já viu na seção anteio. Assim, se epesentamos x 0 como a posição inicial da patícula, podemos substitui o esultado da Equação (1.13) na Equação (1.5) paa obte (1.14) que é a conhecida expessão paa a lei hoáia do movimento no MRUV, estudada no ensino médio. v( t) = v + a dt = v + at. x( t) = x + v( t ) dt 0 t 0 t = x + v + at dt Finalmente, vamos temina esta seção com o seguinte execício: combine os esultados obtidos pelas Equações (1.13) e (1.5) e enconte que, paa um instante qualque do intevalo, a seguinte elação é válida: 0 0 t 1 = x0 + v0t + at, 0 ( ) v v a x x. = + ( ) 0 0 (1.15) CECIER J Extensão 19

21 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional ATIVIDADES 3. Uma moto está em alta velocidade, a 5m/s, quando o limite de velocidade pemitido na ua é de 60km/h. Um cao de polícia, paado no momento em que a moto passa, pate depois de 4s. O cao começa a acelea a uma taxa constante de 5m/s até atingi a sua velocidade máxima de 50 m/s. A pati daí, ele mantém essa velocidade até o final da peseguição. a. Em quanto tempo o cao de polícia atinge a sua velocidade máxima? b. Qual é a distância ente a moto e o cao nesse instante? c. Quando o cao vai esta 160m atás da moto? Qual é a velocidade do cao de polícia nesse instante? d. Quando o cao da polícia consegue alcança a moto? e. Se o motoqueio tivesse pecebido que estava acima do limite de velocidade e avistasse o cao de polícia a 100m de distância, que desaceleação constante ele deveia impimi paa atingi o limite de velocidade pemitido ao passa pelo guada? 0 CECIER J Extensão

22 RESPOSTAS COMENTADAS Vamos adota o eixo hoizontal x ao longo da ua onde ocoe a peseguição, sendo que a oigem x 0 = 0 está colocada no ponto em que o cao da polícia começa a acelea. Veja a Figua 1.4, que mosta o instante em que o cao de polícia começa a acelea. AULA 1 Cao da polícia Moto x(m) Figua 1.4: O eixo x está colocado ao longo da ua onde ocoe a peseguição. a. Em pimeio luga, você deve esceve a função hoáia do cao de polícia. O cao da polícia pate do epouso, aceleando a uma taxa constante de a p = 5m/s. A posição do cao de polícia, x p (t), é dada po um movimento unifomemente aceleado até atingi a velocidade máxima do cao, v max = 50m/s. Você sabe que em um MRUV a velocidade é dada pela fómula v = v 0 + at. Como o cao patiu do epouso, v 0 = 0, a velocidade tem que vale v(t) = a p t. Em um ceto instante t 1, a velocidade máxima é alcançada pelo cao v max = a pt1. Assim, você enconta o instante calculando ( 50m/s) t 1 = = 10s. ( 5m/s ) b. Se você usa a função hoáia do MRUV, então podeá esceve a posição do cao de polícia, x p (t)= a p t/. No instante t 1, o deslocamento do cao foi de ( 5m/s ) x p ( 10) = ( 10s) = 50m. Note que a moto diige a uma velocidade constante, v m = 5m/s. Duante os t 0 = 4s em que o cao de polícia ficou paado, a moto se deslocou de x m (0) = v m t 0 = 100m. A posição dela, x m (t), é dada pela equação x ( t ) = + t. m 100 m 5 CECIER J Extensão 1

23 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional O deslocamento da moto até o instante t 1 vale x m ( 10) = 100m + ( 5m/s) ( 10s) = 350m. Assim, a distância ente os dois caos no instante em que o cao de polícia atinge a velocidade máxima é dada po x m (t) x p (t) = (300 50)m = 100m. c. Agoa é necessáio compaa o movimento da moto com o do cao. A distância ente a moto e o cao é dada po x m (t) x p (t) = x m (0) + v m t a p t /. Você pode então esceve que x ( t) x ( t) 100m 5m/s t, 5m/s t. m p = + ( ) ( ) Você deve calcula o tempo tal que x m (t) x p (t) = 160m. Esta equação do segundo gau é equivalente à elação t 10t + 4 = 0. A equação acima tem duas soluções, t = 4s ou t = 6s. A velocidade instantânea do cao de polícia, v(t) = a p t, no instante t = 6s vale v( 6s) = ( 5m/s )( 6s) = 30m/s e no instante t = 4s vale v( 4s) = ( 5m/s )( 4s) = 0m/s. d. A pati do instante t 1 = 10s, o cao da polícia alcança a sua velocidade máxima e mantém-se a 30m/s. Logo após esse instante, você deve esceve a posição do cao como x p (t) = x p (10s) + v max (t t 1 ). O esultado que você enconta é o seguinte: x ( t ) ( t ), t 10s. p 50 m 50 m/s 10 s = + ( ) Vamos novamente compaa o movimento da moto com o do cao. A peseguição acaba quando a posição do cao da polícia fo igual à posição da moto, x p (t) = x m (t). Esta equação é a seguinte: 100m 5m/s t 50m 50m/s ( t 10s) + ( ) = + ( ) Quando você esolve a equação acima, vai enconta o instante t, ou o tempo que o cao alcança a moto depois de atingi a sua velocidade máxima. O esultado que você obtém é t = 14s. Uma vez que o cao ficou paado po 4s, aceleou duante t 1 = 10s e levou mais um tempo t = 14s paa alcança a moto; o tempo total da peseguição foi de ttotal = t0 + t1 + t = ( )s = 8s. CECIER J Extensão

24 e. Caso o motoqueio tivesse feado ao longo de 100m, iia diminui sua velocidade de v 0 = 5m/s paa v = 60Km/h 16,7m/s. Você pode usa a elação v = v + a x. Assim, a aceleação constante seia de ( 77, 7 65) m/s a ( 100m) 0 ( ) 1, 74m/s. AULA 1 4. O sinal amaelo em um cuzamento fica ligado duante 3s. A lagua do cuzamento é de 15m. A aceleação máxima de um cao que se enconta a 30m do cuzamento quando o sinal muda paa amaelo é 3m/s, e ele pode se feado a 5m/s. a. Que velocidade mínima o cao pecisa te na mudança do sinal paa atavessa no amaelo? Qual é a velocidade quando acaba de passa pelo cuzamento? b. Qual é a velocidade máxima que lhe pemite paa antes de atingi o cuzamento? Considee que o tempo de eação do motoista é da odem de 0,7s. CECIER J Extensão 3

25 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional RESPOSTAS COMENTADAS O eixo hoizontal x que vamos adota fica ao longo da ua. A oigem x 0 = 0 fica a 30m do cuzamento, como está mostado na Figua 1.5. Cao v x(m) Figua 1.5: O eixo x que nós escolhemos se estende pela ua até o cuzamento. a. Você deve nota que: (I) O cao deve pecoe a distância até o cuzamento mais a lagua do cuzamento, dando um total de 45m. (II) Paa atavessa no sinal amaelo, ele tem t s = 3s, mas leva t = 0,7s paa o motoista eagi e pisa no aceleado. (III) O cao pate com uma velocidade inicial v min, aceleando a uma taxa constante de a = 3m/s. Paa você calcula quanto vale a velocidade mínima paa que o cao ultapasse o cuzamento duante o sinal amaelo, é necessáio calcula quanto vale v min. No entanto, você deve pecebe que, duante o tempo de eação, t = 0,7s, o motoista se desloca de A pati desse instante, o motoista começa a acelea. Resta agoa um tempo de t s t =,3s paa o cao pecoe 45m d. A posição do cao, x(t), é dada po um movimento unifomemente aceleado até atingi a velocidade no final do cuzamento, v f. Você sabe que em um MRUV a posição como função do tempo é dada pela seguinte equação: Agoa, você deve faze x(t =,3s) = 45m, ou seja, a posição do cao no tempo que esta deve se a do final do cuzamento. Quando você calcula isso, vai enconta d = v min t 1 1 x( t) = d + vmint + at = vmin( t + t) + at 3 x(, 3s) = 45m = ( 3s) vmin + (, ) 3 s 4 CECIER J Extensão

26 Basta esolve a equação anteio paa calcula quanto vale v min. Você vai chega à conclusão de que a velocidade mínima paa ultapassa o sinal amaelo é de: A velocidade em um MRUV é dada pela fómula v = v 0 + at. Como o cao patiu com velocidade v min, a velocidade no final do cuzamento, v f, tem que vale 45 1, 5 (, 3) v min = 3 m s 1, 4m/s. AULA 1 v f = 1, 4m/s + ( 3m/s )(, 3s) 19, 3m/s. b. Paa calcula a velocidade máxima, você deve obseva que: (I) O cao deve pecoe a distância até o cuzamento,30m. (II) O motoista tem t s = 3s paa paa no sinal, mas leva t = 0,7s paa eagi e pisa no feio. (III) O cao está a uma velocidade v máx e feia com uma aceleação de a = -5m/s. Duante o tempo de eação, t = 0,7s, o motoista se desloca de d = v máx t. Em seguida, a posição do cao, x(t), é dada po um movimento unifomemente etadado até paa, v f = 0. Quando você esceve a posição como função do tempo, temos: 1 1 x( t) = d + vmáx t + at = vmáx( t + t) + at. Agoa, a posição do cao, no tempo que esta, deve vale x(t =,3s) = 30m. Quando você faz isso, deve enconta 5 x(, 3s) = 30m = ( 3s) v m/s (, 3s) mæx. Basta esolve a equação acima paa calcula quanto vale v máx. Você vai chega à conclusão de que a velocidade máxima paa paa no sinal amaelo é de 30 +, 5 (, 3) v m á x = 3 m s 14, 4m/s. CECIER J Extensão 5

27 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional GRÁFICOS DO MOVIMENTO Significado geomético da velocidade A tajetóia de uma patícula que se desloca no eixo OX é deteminada pela sua posição x(t), mas a velocidade média e a velocidade instantânea também têm um significado geomético de fácil visualização no gáfico de x vesus t. De fato, na Figua 1.6 está epesentada a posição x(t) da patícula paa os instantes de tempo t 1 e t. x(t) x(t ) x x(t 1 ) t t 1 t t Figua 1.6: Significado geomético da velocidade média. O coeficiente angula da eta secante à cuva que passa pelos pontos com coodenadas (t 1, x(t 1 )) e (t, x(t )) é x( t) x( t1). t t 1 (1.16) Compaando a equação acima com a Equação (1.3), vemos que essa é a intepetação geomética da velocidade média em um movimento unidimensional. 6 CECIER J Extensão

28 Considee agoa a Figua 1.7.a a segui, onde foam desenhadas váias etas secantes associadas às velocidades médias em intevalos de tempos cada vez menoes (t > t 3 > t 4 ). Obseve que, à medida que o intevalo de tempo tende a zeo, a eta secante se apoxima da eta tangente. Po isso, a velocidade instantânea v(t 1 ) é epesentada geometicamente pelo coeficiente angula da eta tangente à cuva de x vesus t no ponto da cuva com coodenadas (t 1, x(t 1 )). AULA 1 x(t) Tangente x x 3 x 4 x x 1 t 14 t 13 t 1 t 1 t 4 t 3 t t Figua 1.7.a: Repesentação geomética da velocidade instantânea. x(t) Obseve então a Figua 1.7.b. No caso em que o gáfico de x vesus t é uma eta, a velocidade média é o coeficiente angula da eta, sendo, potanto, constante. Mas a eta tangente em cada ponto da eta também coincide com a pópia eta. Como a velocidade instantânea é o coeficiente angula da eta tangente, ela é constante e igual à velocidade média. (Note ainda que, neste caso, a aceleação média e a aceleação instantânea são nulas. "Você sabeia explica o poquê?") x x 1 t 1 t Figua 1.7.b: Gáfico x vesus t. CECIER J Extensão 7

29 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Como você viu anteiomente, quando o gáfico de x vesus t não é uma eta, o cálculo da velocidade instantânea tem que se feito com a definição exata do limite dada pela deivada. Significado geomético da aceleação A aceleação média e a aceleação instantânea têm um significado geomético que é de fácil visualização quando fazemos o gáfico de v vesus t. Na Figua 1.8, está epesentada a velocidade instantânea da patícula v paa os instantes de tempo t 1 e t. O coeficiente angula da eta secante à cuva que passa pelos pontos com coodenadas (t 1, v(t 1 )) e (t, v(t )) é v( t) v( t1). t t 1 (1.17) Compaando a equação acima com a Equação (1.8), vemos que essa é a intepetação geomética da aceleação média em um movimento unidimensional. v x (t) v x v x (t ) t t 1 t t Figua 1.8: Significado geomético da componente da aceleação instantânea. 8 CECIER J Extensão

30 Na Figua 1.9, foam desenhadas váias etas secantes associadas às aceleações médias em intevalos de tempos cada vez menoes. Neles, o instante que define a aceleação média fica cada vez mais póximo do instante de tempo t 1. Obseve que, à medida que o intevalo de tempo tende a zeo, a eta secante se apoxima da eta tangente. Potanto, a aceleação instantânea a(t 1 ) é epesentada geometicamente pelo coeficiente angula da eta tangente à cuva no gáfico de v vesus t no ponto da cuva com coodenadas (t 1, v(t 1 )). AULA 1 v x (t) Tangente à cuva v x v x3 v x4 x v x1 t 14 t 13 t 1 t 1 t 4 t 3 t t Figua 1.9: Significado geomético da componente da aceleação instantânea. No caso em que o gáfico de v vesus t é uma eta, como mosta a Figua 1.10, a aceleação média é o coeficiente angula da eta, sendo, potanto, constante. A eta tangente em cada ponto da eta coincide com a pópia eta. Como a aceleação instantânea é o coeficiente da eta tangente, ela é também constante e igual à aceleação média. v x (t) v x (t ) v x (t 1 ) t 1 t t 1 Figua 1.10: Movimento unifomemente aceleado. CECIER J Extensão 9

31 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional O poblema inveso No movimento unidimensional no eixo OX, a tajetóia da patícula fica completamente deteminada quando conhecemos x(t). Como você já viu na seção anteio, a pati do conhecimento de a(t), podemos enconta x(t) se conhecemos a posição inicial e a velocidade inicial. Este poblema é denominado de poblema inveso. Nesta seção, ele seá esolvido de foma geomética paa o movimento etilíneo unifome (a(t) = 0) e paa o movimento unifomemente aceleado (a(t) = constante 0). Movimento Retilíneo Unifome (MRU) O Movimento Retilíneo Unifome é aquele em que a velocidade instantânea é constante e, potanto, a aceleação instantânea e a aceleação média são nulas. No MRU, o gáfico de x vesus t é uma eta, como mosta a Figua x(t) x x 1 t 1 t t Figua 1.11: Movimento Retilíneo Unifome. Potanto, a velocidade média é constante e igual à velocidade instantânea, que vamos chama simplesmente de v. Conseqüentemente, podemos obte x(t) utilizando a definição de velocidade média, v t1 t x( t) x( t1) = t t 1 x( t ) = x( t ) + v ( t t ) 1 t1 t 1 x t = x t + v ( t t ) ( ) ( ), 1 1 (1.18) 30 CECIER J Extensão

32 onde usamos acima o fato de que a velocidade instantânea e a velocidade média são iguais paa o MRU. Note que, paa obtemos a posição x(t ), é necessáio conhece a posição inicial da patícula x(t 1 ) e a velocidade v. Mas também podemos obte x(t) utilizando a intepetação geomética da velocidade média. Pela Equação (1.18), o deslocamento é AULA 1 x x( t ) x( t ) v t t, = ( ) 1 1 (1.19) que é justamente a áea do etângulo mostado na Figua 1.1. v x (t) v x 0 t 1 t t Figua 1.1: Repesentação geomética do deslocamento x. Movimento Retilíneo Unifomemente Vaiado (MRUV) O Movimento Retilíneo Unifomemente vaiado é aquele em que a aceleação instantânea é constante, a qual vamos chamá-la de a. Já sabemos que nesse caso a aceleação média também é constante. Potanto, podemos obte com facilidade a dependência da velocidade instantânea com o tempo, usando a definição da velocidade média, a t1 t v( t) v( t1) = t t 1 v( t ) = v( t ) + a ( t t ) 1 t1 t 1 v t = v t + a( t t ) ( ) ( ), 1 1 (1.0) CECIER J Extensão 31

33 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional onde usamos acima o fato de que a aceleação instantânea e a aceleação média são iguais paa o MRUV. Note que, paa obtemos a velocidade v(t ), é necessáio conhece a velocidade inicial da patícula v(t 1 ) e a aceleação a. Se consideamos o intevalo de tempo ente os instantes t 1 = 0 e t = t, temos que v(t) = v(0) + at, que é a equação hoáia que desceve a velocidade instantânea MRUV. "Mas como podemos detemina a posição da patícula em cada instante?" A posição no MRUV pode se obtida a pati do gáfico v vesus t da seguinte foma: pimeiamente, vamos dividi o intevalo em N subintevalos, cada um deles com duação t t = f ti, N onde t i e t f são os instantes inicial e final do intevalo espectivamente. Paa ilusta esse pocedimento, na figua abaixo dividimos o movimento em 10 subintevalos (N = 10) e mostamos o gáfico v vesus t na Figua v x (t) v xf v x10 v x9 v x8 v x7 v x6 v x5 v x4 v x3 v x v x1 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 t f t Figua 1.13: Repesentação geomética do deslocamento x. 3 CECIER J Extensão

34 Vamos agoa faze uma estimativa paa o deslocamento imaginando que a patícula se mova com velocidade constante em cada um desses subintevalos. Como vimos anteiomente, quando a velocidade é constante, podemos obte exatamente o deslocamento em cada um desses subintevalos, que é a áea de cada etângulo epesentado no gáfico acima. Assim, o deslocamento total desse movimento imagináio é a soma de todos os deslocamentos de cada subintevalo, ou seja, AULA 1 x x( t ) x( t ) = v t. f i N i= 1 (1.1) Podemos intui que, quando o númeo de subintevalos tende paa o infinito, o deslocamento imagináio se tansfomaá no deslocamento eal e a soma das áeas dos etângulos se tansfomaá na áea sob a eta que epesenta v vesus t. Logo, o deslocamento no MRUV é a áea do tapézio etângulo de bases v(t i ) e v(t f ) e altua h = t f t i. Assim, x x t x t ( ) ( ) = f i ( ) + ( ) v tf v t i h ( ) + ( ) = v t f v ti tf ti. (1.) Mas pela Equação (1.0), temos que v( t ) v( t ) a t t. = + ( ) f i f i Substituindo o esultado acima na Equação (1.), obtemos finalmente a x( tf ) = x( ti ) + v( ti )( tf ti ) + ( t f t i ). (1.3) Note que, se consideamos o intevalo de tempo ente os instantes t i = 0 e t f = t, temos 1 x( t) = x( 0) + v( 0) t + at, (1.4) que é a lei hoáia do movimento no MRUV, obtida também na Equação (1.14). CECIER J Extensão 33

35 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional ATIVIDADE 5. Um menino binca com um cainho de contole emoto em um coedo esteito de sua casa. Ele coloca o cainho em epouso no início do coedo e aciona o contole. O cainho vai paa fente, aumentando gadualmente a velocidade até atingi 1,m/s em 6s. Depois de s, ele aciona novamente o contole de maneia que em 5s a velocidade do binquedo diminui continuamente, até paa no final do coedo. O cainho pemanece paado po 3s e começa a se move paa tás, com um aumento gadual de velocidade até 1,m/s em 4s. Subitamente, é aceleado unifomemente e páa após 4s. a. Faça os gáficos de v vesus t e a vesus t. Com base nos gáficos, esponda: b. Qual é o compimento do coedo? Em que posição, em elação ao início do coedo, o cainho paou pela segunda vez? c. Quanto vale a velocidade instantânea em t = s? Quanto vale a aceleação média do cainho ente t = 0 e t = 8s? E ente t = 16s e t = s? 34 CECIER J Extensão

36 RESPOSTAS COMENTADAS a. Vamos escolhe o eixo hoizontal x ao longo do coedo, como você pode ve na Figua A oigem x 0 = 0 vai epesenta o início do coedo. AULA 1 t = 0 t = 4s t = 13s x(m) 0 4, 9 Figua 1.14: Neste diagama, você pode ve o eixo x e também o cainho de contole emoto nos tês instantes em que ele está paado. Paa taça o gáfico de v vesus t, nós vamos esceve a velocidade do cainho como função do tempo em todos os intevalos descitos. Você deve lemba que a elação ente as velocidades inicial e final de um MRUV depende da aceleação e do intevalo de tempo, v( t ) = v( t ) + a( t t ). 1 1 Inicialmente, o cainho de contole emoto está em epouso, v(0s) = 0. Quando o menino aciona o contole, o cainho pate em um movimento unifomemente aceleado até atingi uma velocidade v(6s) = 1,m/s em 6s. Nesse intevalo de tempo, a vaiação da velocidade do cainho foi de v = v(6s) v(0s) = 1,m/s. Você pode então conclui que a aceleação constante vale a = v/ t = 0,m/s, e também que a velocidade como função do tempo, v(t) = v(0s) + 0, (t 0), é dada po v( t) = ( 0, m/s ) t, se 0 t 6s. Você deve nota que a velocidade, paa t < 6s, é dada pela equação da eta acima. O menino paou de aciona o contole e o cainho manteve a mesma velocidade po mais dois segundos. Assim, quando você olha paa o cainho, pecebe que v( t) = 1, m/s, se 6s t 8s. Logo após t = 8s, o cainho segue em um movimento unifomemente etadado até paa, v(13s) = 0. A vaiação da velocidade, v = v(13s) v(8s) = 1,m/s, ocoe em um intevalo de 5s. Logo, você calcula que a feada do cainho acontece com uma aceleação a = 0,4m/s. CECIER J Extensão 35

37 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Na feada, você deve conclui que a velocidade, v(t) = v(8s) (0,4m/s) (t 8s), é dada pela seguinte equação da eta: v( t) 3, 1m/s 0, 4m/s = ( ) t, 8s t 13s. Você vê o cainho paado po 3s, ou seja, a velocidade é nula, v( t) = 0, se 13s t 16s. A pati de t = 16s, o menino dá é no cainho duante 4s, impondo uma vaiação de velocidade v = v(0s) v(16s) = 1,m/s. A aceleação nesse intevalo que você tem que enconta vale a = 0,3m/s. Enquanto o cainho anda paa tás, a velocidade, v(t) = v(16s) (0,3m/s)(t 16s), é dada po uma equação da eta, v( t) = ( 4, 8 0, 3t) m/s, se 16s t 0s. Nos 4s seguintes, o menino faz com que o cainho sofa uma vaiação de velocidade v = v(4s) v(0s) = 1,m/s. Você veifica então que a aceleação do cainho foi de a = 0,3m/s. A velocidade, v(t) = v(0s) + (0,3m/s)(t 0s), antes da segunda paada do cainho, é a seguinte: v( t) = ( 7, + 0, 3t) m/s, se 0s t 4s. A Figua 1.15 mosta o gáfico da velocidade e da aceleação do cainho no intevalo 0 t 4s. v(m/s) a(m/s ) 1, 0,3 0,6 0, 0, t(s) 0 0, t(s) 0,6 0, 0,3 1, Figua 1.15: Velocidade e a aceleação do cainho de contole emoto como função do tempo. 36 CECIER J Extensão

38 b. Quando nós calculamos a áea abaixo da cuva no gáfico de v vesus t, encontamos também quanto vale o deslocamento do cainho. Na pimeia vez em que o cainho paou, em t = 13s, ele pecoeu todo o coedo da casa. Veja agoa na Figua 1.15 que esse deslocamento é igual à áea do tapézio. Se você obseva, a base maio do tapézio vale B = 13, enquanto que a base meno vale b = 8 6 =. A áea do tapézio é dada pela elação (B + b) h/, onde h = 1, é a altua. A conclusão a que você deve chega é que o compimento do coedo vale AULA 1 1, ( 13 + ) x = m = 9 m. Na segunda vez em que o cainho paou, o deslocamento foi paa tás. Isso você pode nota, poque o tiângulo isósceles da Figua 1.15 está abaixo do eixo t. A áea do tiângulo coesponde a um deslocamento x = 1, (4 16)/m = 4,8m. A posição em que você vai ve o cainho paa pela segunda vez, em elação ao início do coedo, é dada po x x = ( 9 4, 8) m = 4, m. c. Quando você olha o instante t = s no gáfico de v vesus t, enconta que a velocidade instantânea do cainho é igual a 0,6m/s. A aceleação média ente dois instantes é calculada como a = (v 1 v ) / (t 1 t ). No gáfico da velocidade como função do tempo, você deve calcula a aceleação média como o coeficiente angula da eta que conecta os pontos (v 1, t 1 ) e (v, t ). O coeficiente angula da eta que conecta os pontos (0, 0) e (8, 1,) vale, a = v( 8s) v( 0s) = ( 1, m/s) 8 = 0, 15 m/s, s s ( s) que é igual à aceleação média do cainho ente t = 0 e t = 8s. Po outo lado, a eta que conecta os pontos (16, 0) e (, 0,6) tem um coeficiente angula a = v( s) v( 16s) = (. m/s) ( 6 ) =, m/s s s s 16 CECIER J Extensão 37

39 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional R E S U M O Nesta aula, definimos conceitos que são usados paa desceve o movimento unidimensional. Definimos o deslocamento e a duação de um intevalo de tempo utilizando-os na deteminação da velocidade média nesse intevalo. Entendemos que a velocidade num dado instante (velocidade instantânea) é a velocidade média no limite em que o intevalo de tempo tende a zeo, em que o intevalo é medido a pati do instante dado. De maneia análoga, definimos a aceleação média e vimos que a aceleação instantânea é a aceleação média no limite em que o intevalo de tempo tende a zeo. Descevemos o significado físico da velocidade e da aceleação e vimos como essas gandezas podem se usadas paa desceve a posição de uma patícula em um dado instante. Finalmente, epesentamos gaficamente a posição, a velocidade ou a aceleação de uma patícula como função do tempo; também mostamos a intepetação geomética dessas gandezas. LEITURA RECOMENDADA Uma explicação sobe coodenadas e eixo coodenado pode se vista na Aula 1 da Apostila Física 1A, Módulo 1. Uma explicação detalhada sobe como podemos calcula a função posição a pati da função velocidade pode se vista na Aula 5 da Apostila Física 1A, Módulo CECIER J Extensão

40 Cinemática vetoial A U L A Meta da aula Discuti os pincipais aspectos elacionados à cinemática vetoial. Texto adaptado po Lizado H. C. M. Nunes e Licinio Potugal das apostilas: - SOUZA, Calos Faina de; Pinto, Macus Venicius C.; Soaes Filho, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: deduzi as equações do movimento quando o veto aceleação é constante; enconta o veto posição, o veto velocidade instantânea e o veto aceleação instantânea usando as equações vetoiais paa uma patícula em movimento não-etilíneo com aceleação nula ou constante; aplica as equações deduzidas paa discuti o lançamento de pojéteis; utiliza as tansfomações de Galileu paa desceve o movimento em difeentes efeenciais. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 1 Movimento unidimensional.

41 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial VETOR DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERACÃO Pelo que você já apendeu, cetamente deve se capaz de pecebe que o conceito de veto é pefeito paa desceve deslocamentos. Mas você veá, a segui, que os vetoes também são um meio excelente de desceve as demais gandezas cinemáticas, como a posição, a velocidade e a aceleação. VETOR POSIÇÃO E VETOR DESLOCAMENTO Considee uma patícula em um ponto P, com coodenadas x, y e z em elação a um sistema de eixos OXYZ, tal como indicado na Figua.1. Z z P O y y X x Figua.1: Veto posição de uma patícula com coodenadas x, y e z. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9.1, p Essas coodenadas especificam a posição da patícula em elação ao sistema de eixos, mas também especificam um único veto, que vai da oigem do sistema até a posição da patícula. Logo, dado o veto, com sua dieção, seu módulo e seu sentido, a posição da patícula fica univocamente deteminada. Colocando-se o ponto inicial do veto na oigem O, a sua extemidade final detemina exatamente a posição da patícula. Esse veto, que vai da oigem O do sistema de eixos até a posição da patícula, é chamado de veto posição da patícula em elação ao sistema de eixos. 40 CECIER J Extensão

42 ! Como o veto detemina a posição da patícula, muitas vezes nos efeimos ao veto posição como sendo a posição da patícula. AULA Paa detemina a posição de uma patícula no espaço, usamos também as coodenadas x, y e z da patícula em elação ao sistema de eixos OXYZ. Assim, temos duas opções paa detemina a posição da patícula em elação ao sistema de eixos OXYZ, usando o veto posição ou suas coodenadas. As duas opções são equivalentes. De fato, considee os vetoes unitáios u x, u y e u z do sistema de eixos OXYZ. Como fica clao pela Figua.1, as componentes do veto posição ao longo desses vetoes unitáios são exatamente as espectivas coodenadas da patícula: = xu + yu + zu x y z. (.1) Vamos agoa considea que a patícula se mova. Como u x, u y e u z fomam uma base paa qualque veto no espaço tidimensional, paa um dado instante t do movimento, existe um único veto posição nesse instante deteminado pela tinca de componentes escalaes desse veto, ou seja, ( t) = x( t) u + y( t) u + z( t) u. x y z (.) O veto posição é agoa uma função do z tempo, que desceve o movimento da patícula. De fato, se o ponto inicial do veto posição pemanece fixo na oigem do sistema de eixos coodenados, o ponto final vai taçando 1 = f(t 1 ) uma cuva, que é a tajetóia da patícula. A Figua. mosta vetoes posição de O = f(t ) y uma patícula em tês instantes difeentes. Essa figua também mosta a tajetóia da patícula. x 3 = f(t 3 ) Figua.: Tês vetoes posição nos instantes t 1, t e t 3 e a tajetóia da patícula. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9., p CECIER J Extensão 41

43 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Considee agoa uma patícula que em seu movimento passe po um ponto P 1 e depois po um ponto P, como exemplificado na Figua.3. z P 1 O P 1 y x Figua.3: Veto deslocamento de P 1 paa P. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9.3, p O veto deslocamento da patícula, de P 1 até P, é o veto definido pela seta com ponto inicial em P 1 e ponto final em P. Esse veto também é chamado de deslocamento vetoial da patícula. Pela Figua.3, é clao que o veto deslocamento da posição P 1 até P é igual à difeença ente o veto posição 1 e o veto posição, ou seja, = 1.! Repae na semelhança que a expessão = 1 tem com a definição paa o deslocamento no movimento unidimensional, como você viu na Aula 1. Note que o deslocamento vetoial de um ponto P 1 até um ponto P é gealmente uma infomação muito pobe sobe o movimento da patícula ente esse dois pontos; pois, qualque que tenha sido a tajetóia seguida pela patícula ente P 1 e P, o seu deslocamento ente eles seá sempe o mesmo. 4 CECIER J Extensão

44 Se supusemos que uma patícula passa po um ponto P 1 em um instante t 1 e po um ponto P em um instante t, o deslocamento vetoial da patícula de P 1 até P seá também chamado de deslocamento vetoial no intevalo de tempo [t 1, t ], ou seja, AULA = t t ( t ) ( t ). 1 1 (.3)! A expessão anteio também deve se compaada com a definição paa o deslocamento em um intevalo de tempo no movimento unidimensional, como você viu na Aula 1. Finalmente, dados dois vetoes posição, = x u + y u + z u e = x u + y u + z u, 1 1 x 1 y 1 z x y z (.4) pela definição de adição de vetoes em temos de suas componentes, como você viu na seção anteio, o veto deslocamento pode se escito como = 1 ( x y z ) ( 1 x + 1 y + 1 z ) = x u + y u + z u x u y u z u ( ) = x x 1 u + y y u z z u xu + yu + zu, x 1 y 1 z x y z ( ) + ( ) (.5) ou seja, o veto deslocamento é a soma dos vetoes deslocamentos nas dieções dos eixos OX, OY, OX. Paa o movimento não-etilíneo, dizemos que xu x é o veto deslocamento na dieção do eixo OX. Analogamente, os vetoes yu y e zu z são os vetoes deslocamento nas dieções do eixo OY e OZ espectivamente.! Note que, se o movimento fosse apenas ao longo do eixo OX, o deslocamento seia simplesmente x, como você viu quando estudou o movimento unidimensional, que foi visto na Aula 1. CECIER J Extensão 43

45 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial VETORES VELOCIDADE MÉDIA E INSTANTÂNEA Em analogia ao que você viu no movimento unidimensional, seja uma patícula que no instante t 1 estava na posição 1 e em um instante posteio t na posição, seu deslocamento vetoial no intevalo [t 1, t ] é dado pela Equação (.3). A azão ente o deslocamento vetoial e o tempo gasto paa ealizá-lo é chamada de velocidade vetoial média (ou veto velocidade média) da patícula no intevalo de tempo em que ocoeu o deslocamento, v = ( t) ( t1) t. t t t t1 1 (.6)! A expessão acima também deve se compaada com a definição paa a velocidade média em um intevalo de tempo no movimento unidimensional, como visto na Aula 1. Note que a velocidade média é o poduto do númeo positivo 1/ t pelo veto deslocamento. O esultado / t, que é a velocidade média, é um veto com a mesma dieção e sentido que o deslocamento. Além disso, o módulo da velocidade média dá uma idéia da apidez com que a patícula mudou de posição no intevalo de tempo, emboa a velocidade vetoial média em um intevalo de tempo dê apenas uma infomação global sobe a maneia como a patícula se moveu nesse intevalo. Paa sabe a velocidade da patícula em um instante em paticula, pecisamos ecoe ao conceito de velocidade instantânea, como você veá a segui. Consideemos agoa um movimento descito po (t). Sejam t e t + t dois instantes do movimento, com t 0. A velocidade vetoial média da patícula no intevalo de tempo [t, t + t] é dada po: v t t+ t = ( t + t) ( t). t (.7) Definimos o veto velocidade instantânea (ou velocidade instantânea vetoial) da patícula no instante t como o limite da azão acima quando t tende a zeo, ou seja, 44 CECIER J Extensão

46 + v( t ) = lim = lim ( t t ) ( t ). t 0 t t 0 t (.8) AULA! Note que o veto v(t) nos fonece a velocidade como uma função do tempo. Obseve agoa a Figua.4. No limite em que t 0, o ponto P tende paa o ponto P e a eta secante que passa po P e P tende paa a eta tangente à tajetóia no ponto P (veja a Figua). Potanto, nesse limite, a velocidade média tem a dieção da eta tangente à tajetóia no ponto P, o que nos leva a conclui que a velocidade instantânea tem a dieção da eta tangente à tajetóia no ponto P, isto é, o veto velocidade instantânea é sempe tangente à tajetóia no ponto em que a patícula se enconta. z P Tangente (t) P' O (t + t) Secante y x Figua.4: Posições de uma patícula em dois instantes t e t + t. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9.5, p. 03. Além disso, o sentido do veto velocidade instantânea em um ponto da tajetóia é o sentido em que a patícula se move nesse ponto. CECIER J Extensão 45

47 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial A Figua.5 mosta um exemplo de movimento no qual está indicada a velocidade instantânea com que a patícula passa po váios pontos da tajetóia. z v 1 v O y x v 4 v 3 Figua.5: Vetoes velocidade em divesos instantes do movimento. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9.6, p. 05. Se você tia a feugem do seu Cálculo Difeencial e compaa a definição paa o veto velocidade, dada pela Equação (.8), com a expessão paa o veto deslocamento na Equação (.5), você vai ve que x y z v( t) = lim ux lim uy lim t t t t t t u. z (.9) 46 CECIER J Extensão Mas cada um dos limites acima é a definição das deivadas (.10) como você viu quando estudou o movimento unidimensional, na Aula 1. Assim, podemos eesceve o veto velocidade, em temos de suas componentes, como dx( t) x t t x t lim ( + ) ( ), dt t 0 t dy( t) y t t y t lim ( + ) ( ), dt t 0 t dz( t) z t t z t lim ( + ) ( ), dt t 0 t ( ) dx t dy t dz t v( t) = ux + uy + uz vxu (.11) x + vyuy + vzuz. dt dt dt dx( t) dy( t) dz ( t) v( t) = ux + uy + uz vxux + vyuy + vzuz. dt dt dt ( ) ( )

48 Logo, dado um veto posição (t) = x(t) u x + y(t) u y + z(t) u z, podemos obte a função veto velocidade instantânea, simplesmente deivando as componentes da função veto posição com elação ao tempo. AULA! Note que os cálculos de deivadas e integais estão foa do objetivo deste cuso e não seão cobados nas avaliações. Finalmente, uma vez que a velocidade de uma patícula é uma gandeza vetoial, ela possui em cada instante um módulo, uma dieção e um sentido. Basta que apenas uma ente essas tês quantidades vaie com o passa do tempo paa que a velocidade vaie com o tempo. No caso paticula em que o módulo da velocidade pemanece constante, dizemos que ela se move num movimento unifome. Entetanto, um movimento unifome não é necessaiamente etilíneo, como, po exemplo, o movimento cicula unifome, que veemos na Seção 3 desta Aula. VETORES ACELERAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA Suponha que em um instante t 1 uma patícula esteja na posição (t 1 ) com velocidade v(t 1 ) e, em um instante difeente t, ela esteja na posição (t ) com velocidade v(t ), confome indicado na Figua.6. z v(t 1 ) O (t ) (t ) v(t ) y x Figua.6: Posições e velocidades de uma patícula em dois instantes de uma patícula em movimento. Fonte: Figua Física 1A v.1 - Figua 9.7, p. 05. CECIER J Extensão 47

49 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial A vaiação da velocidade vetoial da patícula no intevalo de tempo [t 1, t ] é v v t v = ( ) ( t ) 1. (.1)! Novamente, a expessão acima também deve se compaada com a definição paa a vaiação de velocidade em um intevalo de tempo no movimento unidimensional, como você viu na Aula 1. Note ainda que v é um veto. O tempo decoido nessa mudança de velocidade é t t 1, que epesentamos, como de costume, po t. A azão ente a vaiação da velocidade vetoial da patícula e o tempo gasto paa ocoe tal vaiação é chamada de aceleação vetoial média (ou veto aceleação média) da patícula no intevalo de tempo [t 1, t ], ou seja, a t t1 v t v t1 v t t t. = ( ) ( ) 1 (.13)! A expessão acima também deve se compaada com a definição paa a aceleação média em um intevalo de tempo no movimento unidimensional, como você viu na Aula 1. x z (t) v(t) (t + t) Figua.7: Posições e velocidades de uma patícula em dois instantes, t e t + t. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9.8, p. 06. v(t + t) y Note que, de acodo com a definição acima, a aceleação média vetoial é um veto com a mesma dieção e sentido que a vaiação de velocidade vetoial no intevalo [t 1, t ]. Além disso, o veto aceleação média em um intevalo de tempo dá apenas uma infomação global sobe a maneia como a patícula muda sua velocidade vetoial no intevalo. Agoa, seja t o instante no qual a patícula esteja na posição (t) com velocidade v(t), e t + t outo instante do movimento no qual a patícula esteja na posição (t + t) com velocidade v(t + t), confome ilustado na Figua CECIER J Extensão

50 Pela definição na Equação (.13), o veto aceleação média da patícula no intevalo [t, t + t] é dado po ( ) ( ) v v v a = t + t t t + t t t t t t. (.14) AULA Definimos a aceleação vetoial instantânea (ou veto velocidade instantânea) da patícula no instante t, como sendo o limite dessa azão quando t tende a zeo, isto é, a v t + t v t dv = lim. t t t dt t t1 t 0 ( ) ( ) 1 (.15) Note que o veto a(t) é uma função do tempo!! A expessão acima também deve se compaada com a definição paa a aceleação instantânea no movimento unidimensional, como você viu na Aula 1. O módulo da aceleação vetoial instantânea dá a apidez com que a patícula está mudando sua velocidade no instante t. Note que, se a velocidade muda somente em módulo e sentido, sem muda a dieção, a aceleação tem sempe a mesma dieção da velocidade; esse é o caso de um movimento etilíneo. Mas a velocidade também pode muda sem altea o seu módulo. Nesse caso, a aceleação tem dieção pependicula à velocidade, como no caso do movimento cicula. Além disso, a velocidade pode muda em dieção, módulo e sentido, e, nesse caso, a aceleação pode te qualque dieção. Finalmente, vamos substitui a Equação (.11) na Equação (.15) paa faze um cálculo análogo ao visto na Equação (.9) e mosta que a(t) se eesceve como dv ( t) dv ( t) x y dvz( t) a( t) = ux + uy + uz. dt dt dt (.16) Logo, dado um veto velocidade v(t) = v x (t) u x + v y (t) u y + v z (t)u z, podemos obte a função veto aceleação instantânea, simplesmente deivando as componentes da função veto velocidade em elação ao tempo. CECIER J Extensão 49

51 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Espee aí! Já sabemos que é possível obte o veto velocidade se deivamos as componentes do veto deslocamento com elação ao tempo! Então, basta deiva duas vezes as componentes do veto deslocamento com elação ao tempo paa obtemos a aceleação, ou seja, d x( t) d y( t) d z( t) a( t) = u + u + u. dt x dt y dt z (.17) Você podeia agoa nos pegunta: Seia possível esolve o poblema inveso; isto é, conhecendo-se a aceleação, é possível descobi a posição da patícula? Note que, no caso do movimento etilíneo, se conhecemos a função aceleação, podemos obte a função posição se soubemos v 0 e a posição x 0 no instante inicial t 0. Como você já viu, essa função é obtida po meio do cálculo de uma integal. Analogamente, podemos faze o mesmo paa o movimento não etilíneo, desde que o veto posição inicial e o veto velocidade inicial sejam conhecidos, como você veá a segui. Assim, dado o veto velocidade v 0 no instante inicial t 0, a função veto velocidade paa um instante posteio t é obtida po meio do cálculo de uma integal, v( t) = v + a( t) dt 0 t t = t0 t = v + 0 ax( t ) ux + ay( t ) uy + az( t ) u t = t0 (.18) (.19) Se você substitui o esultado acima na Equação (.18), é possível mosta que o veto posição se eesceve como z dt t = + t t v0 ax( t ) dt u x + ay( t ) dt y + u az( t ) dt uz, t = t 0 t = t t = t 0 0 onde a x (t), a y (t) e a z (t) são as componentes escalaes do veto aceleação, que são funções do tempo. Assim, basta intega as componentes do veto aceleação paa encontamos o veto velocidade! Analogamente, dado o veto posição 0 no instante inicial t 0, podemos calcula a função veto posição paa um instante posteio t, ( t) = + v( t ) dt. 0 ( ) + t t = t0 ( t) = + v t t a( t ) dt dt t t t = t0 t = t0 (.0) 50 CECIER J Extensão

52 Paa o caso em que o veto a(t) é um veto constante, isto é, a(t) = a, as integais acima podem se calculadas facilmente. Assim, obtemos: 1 ( t) = 0 + v0 ( t t0 ) + a ( t t0 ). (.1) AULA A expessão acima deve se compaada com a lei hoáia do movimento paa o MRUV, que você estudou no movimento unidimensional, na Aula 1.! Note ainda que, emboa o cálculo de deivadas e integais esteja foa do objetivo deste cuso e que não seja cobado nas avaliações, você já deve te pecebido que ele é bastante útil. ATIVIDADES 1. Um tem se move paa leste com uma velocidade constante de 60Km/h, duante 40min; depois, na dieção 60 o paa o leste a pati do note, duante 0min; e, finalmente, na dieção oeste, duante 50min. a. Qual é o veto deslocamento do tem neste pecuso? b. Qual é a dieção e o módulo do veto deslocamento do tem? c. Qual é o veto velocidade média do tem neste pecuso? Qual é a dieção e o módulo do veto velocidade média do tem? CECIER J Extensão 51

53 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial RESPOSTAS COMENTADAS Vamos usa o eixo +X na dieção leste e o eixo +Y na dieção note, como está mostado na Figua.8. Y 3 53, ,0 0 X Figua.8: Os eixos escolhidos são o leste, epesentado po +X, e o note, po +Y. Este diagama mosta os vetoes 1,, 3 e o veto esultante. a. Paa você calcula o deslocamento de todo o pecuso, é necessáio enconta pimeio o deslocamento de cada techo do pecuso. Depois, basta que você some todas as contibuições, = O veto deslocamento é calculado com a fómula = v t, sendo que o módulo do veto velocidade é de v = 60km/h. Então, no pimeio techo que leva t = 40min = /3h, você tem de calcula O segundo deslocamento tem módulo igual a = (60Km/h) (1/3h) = 0Km. Como a dieção é de 60 o nodeste, ou seja, 90 o 60 o = 30 o paa o note (+Y) a pati do leste (+X), você conclui que o ângulo ente os vetoes e ux é de 30 o. As componentes do veto deslocamento são cos(30 o ) na dieção X e sen(30 o ) na dieção Y. O veto deslocamento desta etapa, que leva t = 0 min =1/3h, vale contibuições, = km 1 60 h ux = ( 40km/h) u h 3 ( ) = 17, 3ux + 10uy km. Você deve lemba que o teceio techo do pecuso é feito em t = 50,0min = 5/6h na dieção oeste, ou seja, na dieção -X. Assim, o veto deslocamento é dado po = km h ux = ( 50km) ux. h 6 Você vai obte o deslocamento total do pecuso somando as tês ( ) = = 7, 3 ux + 10uy km x 5 CECIER J Extensão

54 Paa você calcula o módulo do deslocamento,, é necessáio extai a aiz quadada da soma dos quadados das componentes catesianas, = 7, km 1, 4km AULA b. O ângulo θ que o veto faz com o leste, ou melho, com o veto unitáio u x, é calculado com a fómula 10 tan θ = θ = 53, ,3 c. Agoa, você pode calcula a velocidade média do tem, v = / t, sabendo que todo o tempo gasto na viagem foi de t = ( )min = 110min. Esse intevalo de tempo equivale a t = 1,83h. Você deve enconta a seguinte velocidade média: v = ( 3, 99u + 5, 45u ) km/h x y O módulo deste veto, como você sabe, é calculado da seguinte foma: v = 3, , 45 km/h 6, 76km/h Po fim, você deve calcula o ângulo θ ente o veto v e a dieção leste. Isso pode se obtido pela fómula 5, 45 tanθ = θ = 53, 8 o. 3, 99. Um pescado aemessa um anzol no ma. Um peixe que está em um ponto 0 = (5u x - 15u y )m, medido com elação ao pescado, está nadando no ma com uma velocidade constante v 0 = (u x + 1u y )m/s. Quando o peixe vê a isca cai no ma, ele nada em dieção à isca com aceleação constante po 0s, alcançando uma velocidade v = (6u x + 5u y )m/s. Depois de 1s com aceleação constante, o peixe mode a isca. a. Quais são as componentes do veto aceleação? Qual é a dieção da aceleação com espeito ao veto unitáio u x? b. Onde o pescado aemessou a isca e qual foi a distância do aemesso? Qual foi a distância e a velocidade média do peixe até alcança a isca? c. Em qual dieção o peixe estava se movendo no momento em que modeu a isca? CECIER J Extensão 53

55 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial RESPOSTAS COMENTADAS Pimeiamente, vamos visualiza o poblema desenhando os eixos X e Y, como na Figua.9. Neste desenho, o peixe está em sua posição inicial, 0 = (5u x 15u y )m, com uma velocidade v 0 = (u x + 1u y )m/s. Y(m) v(1,0) (1,0) v 0 X(m) 0 0 Figua.9: A oigem dos eixos X e Y fica localizada no ponto onde está o pescado. São mostados os vetoes de posição e de velocidade, inicial e final, do peixe. a. Paa você calcula a aceleação, note que o peixe vaiou a velocidade de v 0 = (u x + 1u y )m/s paa v = (6u x + 5u y )m/s em t = 0s. A vaiação do veto velocidade foi de v = v - v 0. Se você calcula a aceleação com a fómula a = v/ t, então, ( ) + ( ) 6 ux 5 u a = 0 y m = ( 0, 0u + 0 0u y, y ) m / s s 54 CECIER J Extensão

56 O veto aceleação faz um ceto ângulo θ com o veto unitáio u x. A tangente deste ângulo pode se calculada quando você lemba que tan θ = a x /a y. Não é difícil você ve que a tangente deste ângulo θ vale 0, tanθ = = θ = 0, 1 45o AULA b. Agoa você pode esceve a posição do peixe como função do tempo. Paa o movimento unifomemente vaiado bidimensional, o veto posição do peixe é dado po (t) = 0 + v 0 t + at /. Quando você substitui nesta fómula a aceleação, a posição e a velocidade inicial, você chegaá à seguinte função hoáia: ( t) 5m m / s t 0, 10m / s t u x 15m 1m / s t 0, 10m / s = + ( ) + ( ) ( t) 5m m / s t 0, 10m / s t u x 15m 1m / s t 0, 10m / s = + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Dado que o peixe modeu a isca em t = 1s, a posição do peixe (1s) nesse instante é a localização de onde o pescado jogou a isca. Quando você calcula a posição do peixe em t = 1s, vai conclui que A distância em que o peixe modeu a isca, com elação aos pés do pescado, é dada pelo módulo do veto de posição, 0. Lembe-se de que, paa calcula o módulo de um veto, você tem de extai a aiz quadada da soma dos quadados de cada uma das componentes. Neste caso, a distância onde o pescado conseguiu joga a isca foi de A distância pecoida pelo peixe, que pate de 0 no instante t = 0s e vai até (1s) em t = 1s, vale simplesmente = (1s) 0. Potanto, você vai conclui que a distância pecoida pelo peixe vale A velocidade média é calculada como a azão v = / t. Ente os instantes t = 0s e 1,0s, a velocidade média do peixe que você vai enconta é v 0 1 = c. No movimento unifomemente vaiado em duas dimensões, você deve calcula o veto velocidade com a fómula v(t) = v 0 + at. Quando você usa a velocidade inicial, v 0 = (u x + 1u y )m/s, e a aceleação, a = (0,0u x + 0,0u y )m/s, você vai enconta + + ( ) + ( ) u y ( x y ) ( 1s) = 91,1u + 50,1u m ( ) = + 1s 91, 1 50, 1 m 104m ( ) = + 1s 86, 1 35, 1 m 93m ( ) + ( ( )) 91, 1 5 ux 50, u y m / s = ( 4,10ux + 3, 10uy )m / s u y CECIER J Extensão 55

57 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial v( t) m / s 0, 0m / s t ux + ( 1m / s) + ( 0, 0m / s ) t uy = ( ) + ( ) Em t = 1s, a velocidade que você calcula é v(1s) = (6,0u x + 5,0u y )m/s. Assim, a dieção em que o peixe estava se movendo no momento em que modeu a isca é dada pelo ângulo θ ente os vetoes v(1s) e u x. Você tem de lemba que este ângulo é obtido po meio da seguinte fómula: 5, 0 tanθ = θ 40, 0 o 6, 0 Assim, o peixe se move na dieção do veto velocidade do peixe v(1s), que faz 40 o com a dieção X. MOVIMENTO CIRCULAR Um movimento bidimensional de gande impotância na Física é o Movimento Cicula Unifome (MCU). Exemplos desse tipo de movimento podem inclui um ponto sobe um LP em otação numa vitola, os ponteios de um elógio, caos se locomovendo ao longo de uma otatóia ou (em boa apoximação) a óbita da lua ao edo da Tea. No MCU, uma patícula se move ao longo de uma tajetóia cicula de aio e o módulo da velocidade instantânea se mantém constante ao longo de todo o movimento. Poém, o veto velocidade muda continuamente de sentido e dieção, mantendo-se sempe tangente ao cículo. A aceleação instantânea também possui módulo constante e sua dieção aponta sempe paa o cento do cículo. Po causa disso, a aceleação é chamada de aceleação centípeta, que significa pocuando o cento. Na dieção tangencial, a aceleação é nula. Na Figua.10, podemos ve a ilustação dos conceitos discutidos, notando sempe que os vetoes aceleação e velocidade são sempe pependiculaes ente si. Na Aula 4, vamos analisa em detalhes o conceito da aceleação centípeta. Nesta seção, vamos apenas desceve o movimento de uma patícula que segue uma tajetóia cicula. 56 CECIER J Extensão

58 v AULA a O a v a v Figua.10: A aceleação está sempe diigida paa o cento do cículo e, potanto, é sempe pependicula à velocidade no MCU. Na Aula 1, vimos váios exemplos de Movimento Retilíneo Unifome (MRU). O popósito desta aula é demonsta como um MCU pode se descito de foma análoga ao de um simples MRU. Ao mesmo tempo, vamos também intoduzi os novos conceitos de velocidade angula, peíodo do movimento e feqüência. O movimento de uma patícula, como você viu na aula anteio, é deteminado pela lei hoáia de movimento em conjunto com as condições iniciais, ou seja, paa o movimento etilíneo (movimento unidimensional), uma vez conhecida a posição x(t 0 ) e a velocidade v(t 0 ) inicial da patícula, a lei hoáia de movimento nos pemite enconta sua posição futua em qualque instante de tempo. O númeo mínimo de coodenadas necessáias paa detemina completamente o movimento da patícula é chamado de númeo de gaus de libedade do sistema. Potanto, paa cada dieção possível, em que a patícula fo capaz de se move, existem dois gaus de libedade associados: um paa a posição e outo paa a velocidade. Vemos, então, que o númeo de gaus de libedade do sistema está dietamente elacionado com o númeo de dimensões. Assim, tanto paa o MRU quanto paa o MRUV, que são movimentos unidimensionais, o númeo de gaus de libedade é dois. Um movimento plano genéico possui então, a pincípio, quato gaus de libedade. Poém, em alguns casos, o sistema possui vínculos que são esponsáveis pela edução dos gaus de libedade do sistema. CECIER J Extensão 57

59 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Como exemplo de um sistema com vínculo, veemos agoa em detalhes o caso do MCU. Duante o movimento da patícula, o aio da tajetóia pemanece fixo, funcionando assim com um vínculo paa o movimento. Neste caso, podeemos eduzi os gaus de libedade do sistema de quato paa apenas dois. Desta foma, devido à pesença do vínculo e conseqüentemente à edução dos gaus de libedade, podeemos esceve em analogia ao MRU a lei hoáia paa o MCU. Lembando sempe que isto é possível, pois ambos possuem apenas dois gaus de libedade. y uuu P = OP S θ O Q x Figua.11: MCU com o eixo de coodenadas (x,y), definindo as vaiáveis θ(t) e s(t). Na Figua.11, temos um MCU definido pelo cículo de aio. Colocamos a oigem do eixo de coodenadas no cento do cículo. Assim, a posição instantânea P da patícula é dada pelo veto deslocamento uuu = OP. Definido o eixo de coodenadas, podemos decompo o veto deslocamento em temos dos vetoes unitáios u x e u y como: = cosθ u + sin θ u. x y 58 CECIER J Extensão

60 ! Em nosso cuso, um veto podeá se denotado po uma única leta em negito, po exemplo, a, ou um veto podeá também se epesentado pela conhecida notação: a. Já o módulo de um veto a seá denotado po a ou a. Também podeemos epesenta o módulo de um veto abolindo o negito da leta, ou seja, simplesmente po a. AULA Na decomposição acima, vemos claamente que, como o aio é fixo, a posição instantânea da patícula é definida po apenas uma uuu vaiável, o ângulo θ ente o eixo x e o veto deslocamento = OP. Como a posição da patícula está vaiando com o tempo e é deteminada pelo ângulo θ, este ângulo é uma função do tempo, θ(t). O aco s, coespondente ao ângulo θ(t) sobe o cículo, é dado po: s( t) = θ ( t), (.) onde o ângulo θ é medido em adianos. Desta maneia, a posição da patícula fica definida po uma única vaiável, ou seja, paa esceve a lei hoáia, pecisamos conhece apenas o valo do ângulo, ou do aco, no instante inicial. Poém, paa desceve completamente a evolução do sistema, seia necessáio conhece o valo inicial da velocidade, que possui duas componentes. Mas, como veemos agoa, seá necessáio apenas conhece o valo do módulo da velocidade que se mantém constante ao longo do movimento, demonstando assim que, devido à pesença do vínculo, o númeo de gaus de libedade do sistema é eduzido de quato paa dois. Quando o ângulo é medido em adianos, o compimento do tajeto pecoido pela patícula duante esse intevalo de tempo é igual a θ, e os vetoes v 1 e v possuem o mesmo módulo, v, pois, como dissemos anteiomente, no MCU as velocidades pemanecem constantes, emboa o sentido e a dieção sejam difeentes. Logo, o compimento de aco P P 1 também pode se escito como: θ = v t. (.3) CECIER J Extensão 59

61 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial A medida, em adianos, de um ângulo é o compimento do aco cotado pelo ângulo, dividido pelo aio do cículo. O Sistema Intenacional utiliza o adiano como a unidade paa ângulos. Devido ao seu elacionamento com o compimento do aco, os adianos são uma unidade especial. (Po exemplo, a Equação (..) só é válida quando o ângulo é medido em adianos.) Além disso, a medida em gaus de um ângulo é o compimento de um aco, dividido pela cicunfeência de um cículo e multiplicada po 360. O símbolo de gau é um pequeno cículo sobescito. Potanto, π se adianos é igual a (um cículo completo), então, um adiano é apoximadamente 57º (360º/ x 3, ) e um gau é π/180 adianos. uu Paa um deslocamento θ, no intevalo de tempo t, o veto se confunde com o aco de cículo s = θ (coda e aco se confundem) quando t 0, potanto, v é a velocidade instantânea tangente ao cículo. O sistema possui apenas dois gaus de libedade: a posição da patícula em qualque instante de tempo é deteminada apenas pelo ângulo (ou aco) inicial e o módulo da velocidade. De acodo com a definição de um MCU, não existe aceleação na dieção tangencial, somente na adial, o que nos pemite esceve dietamente a lei hoáia do movimento paa a vaiável S como a de um simples MRU: s( t) = s + v( t t ), 0 0 (.4) onde s 0 é o valo do aco no instante inicial t 0 e v é o módulo da velocidade, que se mantém constante ao longo do movimento. Já que é peciso analisa popiedades angulaes mais do que lineaes, no movimento cicula podemos intoduzi popiedades angulaes, como o deslocamento angula e a velocidade angula, empegando a Equação (.), paa esceve a lei hoáia do movimento: θ( t) = θ + ω( t t ), 0 0 (.5) onde ω = v, (.6) chama-se velocidade angula, ou seja, temos analogamente à definição de velocidade instantânea o conceito de velocidade angula instantânea definida po: 60 CECIER J Extensão

62 θ ω = d dt. (.7) AULA No S.I., a velocidade angula é medida em adianos po segundo, ad/s. Po exemplo, a velocidade angula do ponteio dos segundos de um 1 elógio, paa o qual T = 1 min, é ω = π / 60 s 0, 1 ad/s. Note que a Equação (.6), escita sob a foma v = ω, nos mosta que, num disco em otação unifome (po exemplo, um disco de vinil numa vitola), a velocidade tangencial cesce lineamente com a distância ao cento, sendo nula no cento e máxima na peifeia. Outa caacteística impotante de um MCU é que este é peiódico. O peíodo T do movimento é definido como o tempo que uma patícula leva paa pecoe uma volta completa ao edo do cículo. Como a patícula se move com o módulo da velocidade constante v, o tempo total paa pecoe o cículo de peímeto π é : T = π. v (.8) O inveso do peíodo chama-se feqüência, definida como: f = 1. T (.9) A feqüência dá o númeo de otações po unidade de tempo. Logo, podemos esceve a velocidade angula em temos do peíodo e da feqüência utilizando as definições (.8) e (.9) como: π ω = = π f. T (.30) No S.I., a unidade de peíodo é o segundo, e a unidade de feqüência é o inveso do segundo, s 1. Essa unidade é conhecida como hetz (símbolo Hz), em homenagem ao iluste físico alemão Heinich Rudolf Hetz ( ). Além disso, po se peiódico, a velocidade angula do MCU pode se medida em ciclos (ou otações) po unidade de tempo. Assim, é comum medi a velocidade angula em evoluções po minuto, pm. Aliás, 1 ad/s = 60/ πpm. Po exemplo, um LP tem 33 1 pm (otações po minuto), o que 3 1 coesponde a f 0, 5 s = 0, 5Hz e T s. CECIER J Extensão 61

63 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Você pode apende mais sobe a biogafia do físico alemão Heinich Rudolf Hetz em : No MCU, não existe aceleação tangencial. Potanto, o módulo da velocidade angula é sempe constante. Poém, existem casos em que a aceleação tangencial é difeente de zeo. No caso de um movimento cicula unifomemente vaiado, a aceleação tangencial é constante, e podemos desceve este movimento simplesmente utilizando as popiedades angulaes do sistema. A aceleação angula é definida como: ω α = d dt No S.I., a aceleação angula é medida em adianos po segundo "po segundo", ou simplesmente ad/s. Desta maneia, podemos intega a fómula acima e obte a lei hoáia de movimento: α θ ( t) = θ0 + ω0( t t0) + ( t t0). (.31) Esta fómula é análoga ao MUV estudado na seção anteio, onde θ 0 é o valo do ângulo inicial, ω 0 o valo da velocidade angula inicial e α a aceleação angula do movimento. 6 CECIER J Extensão

64 ATIVIDADES 3. Em uma inspeção de manutenção, a tubina de um avião, de 1,5m de aio, é ligada e começa a gia de acodo com o gáfico mostado na Figua.1. AULA a. Quantas evoluções esta tubina ealizou duante o teste? b. Qual é a aceleação angula desde t = 0 até t = 5min? c. Qual é a velocidade linea de um ponto na extemidade da tubina no instante t = 3,5min? ω(ev/min) t(min) Figua.1: Velocidade angula da tubina do avião em função do tempo. CECIER J Extensão 63

65 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial RESPOSTAS COMENTADAS a. Você pode calcula o númeo de evoluções da tubina a pati da áea sobe a cuva mostada na Figua.10. Como o gáfico mostado tem a foma de um tapézio, você pode calcula a áea do tapézio com base maio B = 5min, base meno b =,5min e altua h = 3000pm. B + b θ = h = ev. b. A aceleação angula da tubina depende do tempo. Em cada pate do gáfico, você vai pode usa a seguinte elação: ω α = t. Obseve que este esultado é intepetado gaficamente como a inclinação da eta no gáfico da Figua.10. Até o pimeio minuto, a tubina tem um movimento cicula unifomemente aceleado, ( ) α = = 3000 ev/min, se 0 < t < 1min. ( 1 0) Como você pode ve na Figua.10, paa 1min < t < 3,5min, a tubina mantém a velocidade angula constante de 3000pm. Isto significa que o movimento cicula é unifome, ou seja, α = 0, se 1min < t < 3, 5min. Note que o esultado acima pode se calculado a pati da inclinação da eta no gáfico na Figua.10, que é zeo poque a eta é hoizontal. Depois de mante a velocidade angula constante, no instante t = 3,5min a tubina passa a te um movimento unifomemente vaiado. A velocidade angula da tubina vaia de ω = 3000pm em t = 1,5min, ou seja, ( ) α = = 000ev/min, se 3, 5min < t < 5min. ( 5 3, 5) c. Paa um ponto na extemidade, afastado do cento da tubina de = 1,5m, você pode calcula a velocidade linea como ( π ad/s) v = ω = ( 3000pm) (1,5m) 471m/s. (60 pm) 64 CECIER J Extensão

66 4. A oda maio mostada na Figua.13, de 30cm de aio, tansmite seu movimento à oda meno, de 0cm de aio, atavés da coeia C, que pemanece sempe bem esticada e sem deslizamento. A oda maio pate do epouso com aceleação angula unifome e leva 1 min paa atingi sua velocidade de egime pemanente, ealizando um total de 540 otações duante esse intevalo. Detemine: AULA a. a aceleação angula da oda maio? b. a velocidade angula da oda maio, em ad/s e pm, uma vez atingido o egime pemanente? c. a velocidade angula da oda meno, em ad/s e pm, uma vez atingido o egime pemanente? d. a velocidade linea da coeia, uma vez atingido o egime pemanente? C 30cm 0cm Figua.13: As duas odas conectadas pela coeia C. CECIER J Extensão 65

67 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial RESPOSTAS COMENTADAS a. Você deve obseva que o movimento cicula da oda maio não é unifome. Essa oda pate do epouso e completa θ = 540 otações em t = 1min, ou melho, θ = 3.391ad em t = 60s. Você pode detemina a aceleação angula da oda maio a pati da função hoáia da posição angula, θ = αt /, θ ( ad) α = = 1, 884ad/s. t ( 60 s) b. Note que a oda maio pate do epouso, ω 0 = 0, e executa um movimento cicula unifome. Quando o egime pemanente é atingido, a velocidade angula da oda maio pode se calculada com a seguinte equação: ω1 = α t ( 1, 884ad/s )( 60s ) 113 ad/s. Em pm, você deve usa a convesão de unidades 1ad/s = (60/π) pm. Nesta unidade, o esultado é 60 ( pm) ω1 = ( 113 ad/s) 1080pm. π (ad/s) c. Agoa você pecisa sabe como a oda maio tansmite seu movimento paa a oda meno atavés da coeia C. Vamos usa o aio 1 = 30cm paa a oda maio e o aio = 0cm paa a oda meno. Quando a oda maio gia de θ 1, a oda meno deve gia de θ, confome está mostado na Figua.14. Qual é a elação ente os ângulos θ 1 e θ? C S 1 θ 1 θ S Figua.14: Relação ente os deslocamentos das duas odas. Paa esponde a essa pegunta, vamos começa pensando no segmento da coeia em contato da oda maio. Ao gia a oda maio de θ 1, a coeia se desloca de um compimento S 1 = 1 θ CECIER J Extensão

68 Como conseqüência, a oda meno também gia poque o segmento da coeia em contato com a oda meno se desloca de S = θ. Como a coeia pemanece sempe bem esticada e não ocoe deslizamento, os deslocamentos dos dois segmentos da coeia devem se iguais, S = S θ = θ AULA Ao dividi as elações acima po t, você pode confei também que S t S = 1ω 1 = ω. t 1 A pati da equação acima, você vai pode calcula a velocidade angula da oda meno no egime pemanente, em ad/s, ou em pm, 1 ( 30cm) ω = ω ( 0 ) ( ad/s cm ) ad/s. ( 30cm) ω = ( 10 ) ( pm cm ) pm. d. Você pode calcula a velocidade linea da oda meno usando a seguinte elação: v = ω ( 0, m )( 170 ad/s) 34m/s. LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS Como você deve sabe, um copo em queda live póximo à supefície teeste e cuja velocidade é pequena o suficiente paa despezamos a esistência do a sofe uma aceleação constante de módulo 9,8m/s, apontando sempe paa o cento da Tea (o que detemina a dieção vetical). Nesta seção, iemos analisa movimentos um pouco mais geais do que a queda live, vamos considea os lançamentos oblíquos, em que o veto velocidade da patícula tem uma componente vetical e uma componente hoizontal. Estes movimentos são também comumente chamados de lançamentos de pojéteis. Além disso, quando o veto aceleação é constante, pode-se demonsta que a tajetóia da patícula está sempe contida num plano (veja, po exemplo, o poblema da Aula 11 da apostila Física 1A, CECIER J Extensão 67

69 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Módulo 1, disponibilizado no ambiente vitual da sala de aula deste cuso). Logo, como o veto aceleação é constante e igual à aceleação da gavidade no movimento de pojéteis, o movimento é plano. Po conveniência, vamos escolhe os eixos catesianos, de modo que o movimento ocoa no plano OXY. Suponha então que uma patícula seja lançada do ponto P 0 = (x 0, y 0 ). Vamos dize que, no instante do lançamento t 0, o módulo do veto velocidade inicial, seja v 0 = v 0. Além disso, vamos chama de θ 0 o ângulo ente o veto velocidade e o veto unitáio u X. A Figua.15 ilusta esse lançamento. y v 0 θ 0 y 0 P 0 O x 0 x Figua.15: Pojétil lançado de um ponto P 0 = (x 0, y 0 ) com velocidade inicial v 0. Fonte: Figua Física 1A v.1 - Figua 11.1, p. 40. Nosso objetivo nesta seção é enconta a função veto posição da patícula. Mas, como você viu na seção anteio, se o ponto inicial do veto posição pemanece fixo na oigem, o ponto final vai taçando uma cuva, que é a tajetóia da patícula. Então, paa o nosso caso específico, em que o movimento do pojétil ocoe no plano OXY, a tajetóia neste plano coesponde à função y(x). 68 CECIER J Extensão

70 Vamos começa escevendo o veto aceleação, (.3) onde g = 9,8m/s. Substituindo esta expessão na Equação (.1), temos imediatamente a = gu y, AULA 1 ( t) = 0 + v0 ( t t0 ) g ( t t0 ) uy. (.33) Vamos agoa esceve os vetoes posição inicial e velocidade inicial em temos de suas componentes: 0 = x0ux + y0uy. v0 = vx0ux + vy0uy (.34) Substituindo a equação acima na Equação (.33), o veto posição se eesceve como 1 ( t) = x0 + v 0 ( t t0 ) u + y0 + v 0 ( t t0 ) g ( t t0 ) u x x y y. (.35) Podemos, assim, identifica as componentes escalaes do veto posição do pojétil como os temos ente colchetes na expessão acima: ( ) x( t) = x0 + vx0 t t0 1 y( t) = y + vy ( t t ) g t t ( ) (.36) Compaando o esultado acima com as leis hoáias vistas quando você estudou a aceleação constante na Aula 1, você vai pecebe que a pojeção da posição ao longo de OX coesponde ao MRU, enquanto a pojeção da posição ao longo de OY coesponde ao MRUV. Obseve agoa o veto v 0 visto na Figua.15 e compae-o com a Figua A.11 no apêndice desta aula. Uma vez que foam dados o módulo da velocidade inicial v 0 e o ângulo θ 0 ente v 0 e u x, podemos expessa as componentes v x0 e v y0 em temos dessas quantidades, v v = v cosθ x0 0 0 = v senθ y (.37) CECIER J Extensão 69

71 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Sem peda de genealidade, vamos faze t 0 = 0 e substitui a expessão acima na Equação (.36) paa esceve as conhecidas equações paaméticas da tajetóia do lançamento de pojéteis: x( t) = x0 + v0 cosθt 1. (.38) y( t) = y + v t g t 0 0 sen θ Assim, paa encontamos a cuva que a patícula desenha ao move-se no plano OX (que é a tajetóia), basta eliminamos o tempo na Equação (.38). Logo, g y( x) = y0 + tanθ0 ( x x0 ) x x ( v ) cos θ 0 0 ( ) 0. (.39) Essa é a equação catesiana da tajetóia. Tata-se de uma paábola, de eixo vetical, que passa pelo ponto P 0 = (x 0, y 0 ). Note ainda que a tangente a essa paábola, passando po P 0, tem a mesma dieção de v 0. A pati da Equação (.38), você pode também enconta as componentes escalaes da velocidade deivando com elação ao tempo x(t) e y(t). Logo, vx( t) = v0 cosθ vy( t) = v0sen θ g t. (.40) Vamos agoa assumi que o pojétil seja lançado da oigem, ou seja, vamos dize que P 0 = (0, 0). (Podemos dize também que a patícula foi lançada do solo). Sob essa condição, vamos calcula a segui a altua máxima atingida pelo pojétil e a que distância do ponto de lançamento ele atinge o solo. Essa distância é chamada alcance do pojétil e seá denotada po A. Você pode agoa se pegunta: Qual a velocidade vetical do pojétil quando ele atinge o ponto mais alto da tajetóia? Essa é fácil, um pouco antes de atingi o ponto mais alto da paábola, o pojétil está subindo e, um pouco depois de te passado po ele, está descendo. Potanto, a velocidade vetical no ponto mais alto só pode se nula. 70 CECIER J Extensão

72 Paa faze as contas, vamos chama de t m o instante em que o pojétil atinge o ponto mais alto da tajetóia. Substituindo a condição de que v y (t m )= 0 na Equação (.40), temos AULA v = v sen θ g t t = 0 0 m m 0 senθ. g (.41) Paa enconta a altua máxima, basta substituimos o esultado acima na Equação (.38) paa encontamos y( t ) m v sen θ0. g = 0 (.4) Agoa, qual a altua da patícula quando ela atinge o solo? Oa, a altua é zeo quando ela atinge o solo. Assim, se chamamos de t A o instante em que o pojétil atinge o solo, temos y(t A ) = 0. Substituindo esta condição na Equação (.38), temos uma equação do segundo gau, que nos fonece dois esultados: t (.43) O pimeio esultado nos fonece o instante em que o pojétil foi lançado, quando a altua também ea zeo, e o segundo nos fonece o instante em que o pojétil chegou ao solo. Note que t A = t m, o que significa que a patícula leva um tempo t m paa chega ao ponto mais alto da tajetóia e o mesmo tempo t m paa desce. Substituindo o esultado de t A na Equação (.38) paa x(t), encontamos o quanto a patícula pecoeu na dieção hoizontal, isto é, o alcance: v A = g A t 0 = 0 v0 sen θ. 0 = g v0 g 0 senθ = sen( θ ) cosθ 0 0 (.44) A pati da expessão acima, é imediato conclui que o alcance é máximo quando θ 0 = 45º(ou π/4), poque θ 0 = π/ e sen( π/)= 1, que é o valo máximo da função seno. Assim, paa θ 0 = 45º, temos que o alcance máximo é A = v 0 /g. 0. CECIER J Extensão 71

73 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Paa lançamentos feitos com o mesmo valo de v 0, fica também evidente que os alcances coespondentes àqueles feitos com ângulos de lançamento complementaes são exatamente iguais. Em outas palavas, os alcances de pojéteis lançados com θ 0 = 45º α e θ 0 = 45º+α, com 0 < α < 45º, são os mesmos, como ilusta a Figua.16 (Demonste esse esultado!). y Lançamento com θ 0 = 45º 45º+ α 45º α O A v 0 g m = x Figua.16: Alcance máximo e alcances paa ângulos complementaes (todos os lançamentos feitos com o mesmo v 0 ). Fonte: Figua Física 1A v.1 - Figua 11., p. 40. Vale a pena finaliza esta seção comentando que o tipo de movimento que acabamos de analisa apaece em outas situações de inteesse na Física. Po exemplo, patículas caegadas na pesença de campos eletostáticos unifomes sofem aceleações constantes. Inclusive, as condições idealizadas em que supusemos não have esistência do a podem se cumpi de uma foma mais igoosa com patículas atômicas ou subatômicas (como os elétons) do que no caso de pojéteis, pois tais patículas podem se lançadas em egiões de alto vácuo (diminuindo, assim, paticamente a zeo a esistência do a). Foam justamente movimentos desse tipo que estavam pesentes nas expeiências que levaam J. J. Thomson a descobi o eléton em Ele utilizou um apaelho conhecido como tubo de aios catódicos, uma espécie de vesão pimitiva dos modenos tubos de osciloscópio ou de televisão. 7 CECIER J Extensão

74 Leia mais sobe Thomson em (em inglês) AULA ATIVIDADES 5. Um gaoto está ensinando o seu cachoo a busca uma bola. A bola é lançada da mão da ciança a 1,1m acima do chão, sendo que o veto velocidade inicial dela é v 0 = (7u x + 7u y )m/s. Enquanto espea, o cachoo está paado a um meto na fente do seu dono. No momento em que a bola é lançada, o cachoo coe paa pegá-la, com uma aceleação de 5m/s. a. Esceva a cuva que epesenta a tajetóia da bola. b. Qual é o alcance da bola aemessada? Em quanto tempo a bola cai no chão? c. Quantos metos o cachoo tem de coe paa pega a bola? Depois de a bola cai, quanto tempo o cachoo leva paa alcançá-la? d. Quantos metos o cachoo conseguiu coe até o momento em que a bola atingiu a altua máxima do lançamento? Quantos metos faltavam paa o cachoo coe no momento em que a bola caiu no chão? Considee que a aceleação da gavidade vale 9,8m/s. CECIER J Extensão 73

75 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial RESPOSTAS COMENTADAS Na Figua.17 você pode ve a ilustação da tajetóia da bola. Note que adotamos o eixo X na dieção hoizontal e o eixo Y na vetical. Você deve pecebe que o veto velocidade v 0 faz um ângulo de 45 o com o eixo X. Y(m) 4 V ,1m X(m) Figua.17: A tajetóia da bola lançada pelo gaoto. a. A tajetóia da bola é uma paábola, y( x) = 1, 1 + x 0, 1x. b. Você tem de calcula qual o valo de x = A paa que y(x) = 0. Então, você teá de esolve a equação do segundo gau, As soluções são y( x = A) = 0 = 1, 1 + A 0, 1A. A = 5 ± ( 0, 1)( 1, 1) = 5 ± 6m. Uma das soluções é negativa, 1m. Este é um dos pontos onde a paábola da Figua.15 cuza o eixo X. O outo ponto, 11m, é onde a bola cai. Logo, você conclui que o alcance da bola é de A = 11m. O tempo que a bola leva paa cai é deteminado pelas equações de movimento de um lançamento de pojétil. Não custa nada você escevê-las, x( t) = 7t y( t) = 1, 1 + 7t 4, 9t Note que a posição inicial da bola é x 0 = 0 e y 0 = 1,1m. Paa calcula o tempo que a bola leva paa atingi o chão, você deve faze x(t) = A, isto é, a coodenada x deve se igual ao alcance A. Você pode calcula que o tempo vale: A t = = ( 11m ) ( 7 ) 1, 6s. m / s v x 74 CECIER J Extensão

76 c. No instante do lançamento, o cachoo estava a 1m de distância do seu dono. A bola caiu a 11m do gaoto. Então, você detemina que a distância que o cachoo tem de coe é de 10m. A posição do cachoo, x c (t), é dada po uma equação hoáia com uma aceleação constante de a c = 5m/s. Paa coe os 10m, AULA 1 xc ( t) = ( 1 ) + ( ) t = 5 m m / s 11 m, o cachoo leva s. Assim, o intevalo de tempo que ele coeu enquanto a bola já estava no chão é de t = (,0 1,6)s 0,4s. d. A bola chega a uma altua máxima y m. Nesse momento, a componente vetical do veto velocidade é nula. Você pode esceve as componentes da velocidade como função do tempo, vx( t) = 7m / s, vy( t) = ( 7 9, 8t) m / s. Potanto, você conclui que a componente vetical da velocidade seá nula, v y (t) = 0, paa t 0,7. Nesse instante, o deslocamento do cachoo foi de 1 xc ( t = 0 7) xc ( t = 0) = ( )( ) 5 0 7, m/s, s 1, m. A bola caiu no chão em t 1,6s. Nesse instante, a posição do cachoo vale 1 xc ( t = 1 6) = ( 1 ) + ( )( ) 5 1 6, m m/s, s 7, 4 m. Logo, faltavam (11 7,4)m = 3,6m paa o cachoo pega a bola. 6. O jogado que veste a camisa númeo 10 da seleção basileia de futebol tem o costume de teina a pontaia dos seus chutes. Ele chuta a bola de foa da gande áea com o objetivo de aceta o tavessão. O jogado está a uma distância de 0m da tave e a altua do tavessão é de,56m, como na Figua.18. No momento do chute, a bola está 50cm acima do chão e pate com uma velocidade de 15m/s. CECIER J Extensão 75

77 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Y(m) 8 6 v 0 4 v 0 θ' θ' H h X(m) Figua.18: As duas possíveis tajetóias da bola de futebol chutada pelo jogado. A bola pate de uma altua inicial, h = 50cm, e no final das tajetóias a bola alcança o tavessão, que tem uma altua de H =,56m. Uma das tajetóias tem inicialmente um veto velocidade que faz um ângulo θ com o eixo X, enquanto que, na outa tajetóia, o veto velocidade inicial faz um ângulo θ ' com o eixo X. a. De quais ângulos, θ e θ ', a bola deve se levantada paa atingi o tavessão? b. Depois de a bola levantada de um ângulo θ ' chega ao tavessão, quanto tempo leva paa que a bola, levantada de um ângulo θ, atinja o tavessão? c. Qual é a altua máxima, acima do chão, que as bolas levantadas de θ e θ ' alcançam? d. Qual é o veto velocidade da bola, em cada tajetóia, ao atingi o tavessão? Considee que a aceleação da gavidade vale 9,8m/s. 76 CECIER J Extensão

78 RESPOSTAS COMENTADAS As duas tajetóias da bola são dadas pelas funções hoáias de um lançamento de pojétil. As coodenadas catesianas como função do tempo são: x( t) = ( v0 cos θ) t 1 y( t) = h + ( v ) t gt 0senθ AULA Note que a posição inicial da bola é x 0 = 0 e y 0 = h = 0,5m, e que o módulo do veto velocidade inicial é v 0 = 15m/s. a. Lembe-se de que, quando você elimina o tempo t nas equações anteioes, a cuva que epesenta a tajetóia da bola é uma paábola. Se você substitui na equação da paábola a distância ente o jogado e a tave, x = d = 0m, e a altua do tavessão, y = H =,56m, o esultado seá o seguinte: gd y( x = d) = h + d tanθ v 1 = H cos θ Agoa você deve esolve a equação anteio paa enconta quanto vale o ângulo θ. Uma identidade tigonomética que vamos usa elaciona a tangente com o cosseno de um ângulo. A elação é a seguinte: 1 = 1 + tan θ cos θ (Demonste essa identidade!) Com as duas últimas equações, você encontaá uma equação do segundo gau na vaiável tanθ, da foma H h gd gd + d v + tanθ tan θ v = Você sabe que essa equação do segundo gau tem duas aízes (ou soluções) paa o valo de tanθ. Na bola chutada pelo jogado, essas duas soluções epesentam os dois ângulos, θ e θ, no qual a bola deve se levantada. Vamos agoa usa a vaiável u = tanθ. Nosso objetivo é enconta as duas aízes da seguinte equação do segundo gau: H h gd du gd + v v u + = Como você bem sabe, as aízes da equação anteio são dadas pela fómula de Báskaa. As duas soluções são: v gd u H h gd = ± gd ± v v CECIER J Extensão 77

79 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Usando os paâmetos dados no enunciado do poblema, d, g, H, h e v 0, você tem de chega aos valoes u+ = 0, 86, u = 1, 43. Você vai enconta os dois ângulos com que o jogado deve levanta a bola paa atingi o tavessão, quando calcula o aco-tangente das soluções, θ = tan 1 u. Paa cada uma das soluções, u ±, você vai enconta um ceto ângulo, 1 o θ = tan u+ = 41, 1 o θ = tan u = 55. b. Paa calcula o tempo que a bola leva paa atingi o tavessão, vamos usa a equação hoáia da coodenada x(t) = d. Você pode facilmente mosta que d t = v cos. 0 θ Você já deve te notado que o tempo de cada tajetóia depende do ângulo de lançamento. Logo, o intevalo de tempo que leva paa a bola levantada de um ângulo θ atingi o tavessão, depois de a bola levantada de um ângulo θ atingi, vale d t = d v cosθ v cos θ. 0 0 A bola levantada com um ângulo θ = 41 o leva menos tempo na sua tajetóia do que a bola levantada com um ângulo θ = 55 o. Você pode chega a esta conclusão poque cos 41 o > cos 55 o. O intevalo de tempo ente as duas bolas que você vai calcula é 0 0 t = (, 3 1, 8) s 0, 5s. o o 15cos55 15cos41 c. Na tajetóia da bola, a altua máxima (acima do solo) que você tem de enconta é calculada com a seguinte fómula: y = y + v sen θ 0 máx mæx 0. g Novamente, peceba que a altua máxima de cada tajetóia depende do ângulo de lançamento. Ao substitui os dois ângulos, θ e θ, na fómula acima, você vai enconta que y y m m 15 sen 41 = 0, 5 + 9, 8 0 ( ) 15 sen 55 = 0, 5 + 9, 8 0 ( ) 5, 4m, 8, m, 78 CECIER J Extensão

80 d. O veto velocidade do chute da bola, confome foi discutido na aula, é o veto que tem componentes dadas po AULA vx( t) = v0 cosθ vy( t) = v0senθ gt A bola levantada com o ângulo θ = 41 o tem suas componentes catesianas do veto velocidade dadas po 0 vx ( t) = 15cos 41 11m / s, 0 vy ( t) = 15sen 41 9, 8t ( 9, 8 9, 8t ) m / s. Assim, no instante t = 1,8s, quando a bola atinge o tavessão, o veto velocidade é v ( 1, 8) ( 11u 7, 8u ) m/s. x y Po outo lado, as componentes do veto velocidade da bola levantada com o ângulo θ = 55 o são: o v x( t) = 15cos 55 8, 6m/s, o v x( t) = 15sen 55 9, 8t ( 1 9, 8t) m/s. No instante t =,3s, quando a bola atinge o tavessão, o veto velocidade é v (, 3) ( 8, 6ux 11u y) m/s MOVIMENTO RELATIVO Paa ilusta o conceito de movimento elativo, vamos adapta uma naativa encontada no livo Física 1, 4ª edição, dos autoes David Halliday, Robet Resnick e Kenneth Kane. Suponha que você esteja em um cao que se move em uma autoestada eta com velocidade escala constante de 80 Km/h. Os outos passageios que estão com você no cao movem-se à mesma velocidade escala. Entetanto, ao passa po um posto de gasolina, um fentista paado obseva o seu cao se movendo com uma velocidade de 80 Km/h. No cao, você podeia, po exemplo, atia uma bola paa cima e obseva a bola subi e desce pousando exatamente na sua mão. Note que a bola tem movimento hoizontal (po causa do movimento do cao), CECIER J Extensão 79

81 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial mas você tem o mesmo movimento hoizontal e não há movimento elativo. Po outo lado, paa o fentista no posto de gasolina, o esultado é difeente. A bola tem uma componente de velocidade paa a fente de 80 Km/h e uma componente vetical esultante do movimento que ela ecebeu de você. Sabemos que um pojétil nessa situação segue uma tajetóia paabólica, como você viu quando estudou o lançamento de pojéteis, na aula anteio. Potanto, você e o obsevado paado no posto teiam de usa equações difeentes paa desceve o movimento, mas concodaiam ente si que o veto aceleação coincide com a aceleação da gavidade. Se agoa um outo cao se colocasse ao seu lado e passasse com o velocímeto dele macando uma velocidade constante de 90Km/h, você obsevaia esse cao (em elação ao seu pópio efeencial) se movendo lentamente paa a fente, à taxa de 10 Km/h (= 90Km/h 80Km/h). Elimine os detalhes extenos a paisagem que se afasta, o a que passa pelo cao em movimento, as iegulaidades da estada e o baulho do moto e considee somente dois caos. Você não teia como defini qual deles estaia ealmente se movendo. Po exemplo, o cao que passa podeia esta em epouso, e você podeia esta se movendo paa tás a 10Km/h; o esultado obsevado seia o mesmo. Nesta seção, consideaemos a descição do movimento de uma única patícula po dois obsevadoes que estão em movimento unifome elativamente um ao outo. Com esse objetivo, vamos considea o efeencial R com eixos OXYZ e o efeencial R' com eixos O'X'Y'Z', que se movimenta em elação a R de tal modo que os eixos O'X', O'Y' e O'Z' pemaneçam sempe paalelos aos eixos OX, OY e OZ, espectivamente. Além disso, vamos supo que o movimento da oigem O', quando obsevado do efeencial R, seja um MRU de velocidade V. Note que, como os eixos O'X', O'Y'e O'Z' pemanecem sempe paalelos aos eixos OX, OY e OZ, os unitáios u' x, u' y e u' z dos eixos O'X'Y'Z' coincidem com os unitáios u x, u y e u z dos eixos OXYZ. Vamos considea, então, o movimento de uma patícula em elação a R e esse mesmo movimento em elação a R'. Vejamos como elaciona suas posições, velocidades e aceleações obsevadas num desses efeenciais com suas posições, velocidades e aceleações obsevadas no outo. Seja o seu veto posição no efeencial R, ' o seu veto posição no efeencial R' e R o veto posição da oigem O' em elação a R. 80 CECIER J Extensão

82 y y' AULA ' O' x' O R x Figua.19: Posições de uma patícula em movimento em elação aos efeenciais R e R, com R em MRU em elação a R. Fonte: Figua Física 1A v. - Figua 13.5, p. 16. A Figua.19 ilusta essa situação num dado instante de tempo t (o desenho mosta apenas dois dos eixos paa cada efeencial, a fim de não sobecaega a figua). A pati da figua, obtém-se, de imediato, ( t) = ( t) + R( t). (.45) Deivando as expessões anteioes em elação ao tempo, obtemos v( t) = v ( t) + V( t), (.46) onde v(t) = d(t)/dt, v'(t) = d'(t)/dt e V(t) = dr(t)/dt. A Equação (.46) é conhecida como a Tansfomação de Galileu paa as velocidades e infoma-nos que a velocidade da patícula em elação a R é igual à soma vetoial de sua velocidade em elação a R' com a velocidade da oigem O' em elação a R. Deivando agoa a Equação (.46) com elação ao tempo, encontamos a( t) = a ( t), (.47) pois dv(t)/dt = 0, já que a oigem O' de R' move-se com velocidade constante em elação ao efeencial R. CECIER J Extensão 81

83 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial Conseqüentemente, qualque que seja o movimento da patícula consideada, a sua aceleação em elação a R, num dado instante, é exatamente igual à sua aceleação em elação a R' nesse instante, desde que se cumpam as seguintes condições: a. que os eixos de R' pemaneçam paalelos aos eixos de R; b. que a oigem O' se mova em MRU elativamente a R. y Na vedade, pode-se mosta que esse esultado é válido no caso mais geal em que as dieções dos eixos de R' pemanecem fixas em elação aos eixos de R. (Veja, po exemplo, o poblema poposto 1 da Aula 13 da apostila de Física 1A, Módulo 1.) Note ainda que a condição (a) é apenas um caso paticula desta, quando as dieções dos eixos de R' coincidem com as dieções dos eixos de R. Então, o esultado que acabamos de ve implica a seguinte popiedade: se uma patícula tem aceleação nula em elação a R, ela tem aceleação nula em elação a R' também. Paa ilusta a Tansfomação de Galileu, vamos considea um nadado que cuza um io caudaloso com magens etilíneas e paalelas ente si. Po simplicidade, vamos supo que todas as patículas do io se movam em MRU com velocidade V em elação a um efeencial R com eixos OXY. Vamos escolhe os eixos catesianos desse efeencial R de tal modo que a dieção de OX coincida com a do io, que o y' sentido positivo do eixo OX seja o sentido da coenteza do io e que a oigem O esteja num ponto da magem em v' v contato com a água do io. Nesse caso, nos efeimos à velocidade V simplesmente V como a velocidade do io em elação a R, como mosta a Figua.0. O y x' Figua.0: Nadado cuzando o io. Fonte: Figua Física 1A v. - Figua 13.6, p CECIER J Extensão

84 Conhecida a velocidade V, elacionaemos, então, a velocidade do nadado em elação a R com a sua velocidade em elação a um efeencial que se desloca com a mesma velocidade do io, que seá chamado de efeencial R'. Esse efeencial é solidáio ao io, isto é, move-se em MRU em elação a R com velocidade V. Vamos supo ainda que os eixos de R' e R pemaneçam sempe paalelos. No instante t = 0s, vamos supo que as oigens de O e O' sejam as mesmas, de modo que nesse instante todos os eixos de R e R' também coincidam. Nesse instante, um nadado de dimensões despezíveis em elação à distância d ente as magens (de modo que possa se consideado uma patícula) inicia um MRU em elação a R com velocidade v'= v' y u' y. Vejamos como detemina a sua velocidade em elação a R. Utilizando a Tansfomação de Galileu paa as velocidades, dada pela Equação (.46) obtemos dietamente a velocidade do nadado em elação a R, ou seja, AULA v = v + V = v u + V u y y x x = v u + V u, y y x x (.48) onde usamos o fato de que u' y = u y. Potanto, a sua velocidade em elação a R é difeente de sua velocidade em elação a R'. No caso em questão, não apenas as espectivas dieções de v e v', mas também seus espectivos módulos são difeentes. Como v'= v' y u' y, é imediato pecebe que a velocidade do nadado em elação a R' é pependicula às magens do io, enquanto a sua velocidade elativa a R faz um ângulo com o eixo OX. Aplicando o Teoema de Pitágoas, vemos que v = v' + V. Finalmente, note que as tajetóias do nadado elativas aos efeenciais R e R' não coincidem. Paa um obsevado no efeencial R', o movimento do nadado ocoe ao longo do eixo O'Y', enquanto paa um obsevado no efeencial R seu movimento ocoe ao longo da linha tacejada mostada na Figua.0. CECIER J Extensão 83

85 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial As equações catesianas das tajetóias elativamente a R e R' podem se facilmente obtidas. Sendo d a distância ente as magens, elas são dadas, espectivamente, po: v y y V x x Vx =, 0 v d (Tajetóia ia em R) R ); x x = 0, 0 y d (Tajetóia ia em R R') ), y (.49) como você pode veifica com facilidade. ATIVIDADE 7. Uma ciança que está se afogando é caegada pela coenteza io abaixo, a uma velocidade de,50km/h. A ciança está a uma distância de 0,600Km da magem e a uma distância de 0,800Km io acima, medidas em elação ao ponto onde fica o bote de salvamento. O bote pate paa o esgate da vítima com sua velocidade máxima de 0,0Km/h em elação à água. a. Quanto tempo leva o esgate da ciança? b. Em qual dieção o piloto deve aponta o bote? c. Qual o ângulo que o veto velocidade do bote, em elação à tea, faz com a magem do io? Quanto vale a velocidade máxima do bote em elação à tea? 84 CECIER J Extensão

86 RESPOSTAS COMENTADAS Na Figua.1, é mostada a visão que você, em epouso na magem do io, tem do salvamento. Peceba que nós adotamos o eixo X paalelo à coenteza, com o sentido oientado paa a descida do io. O eixo Y é pependicula à magem do io. Você deve te pecebido que o veto velocidade do bote em elação à água, v BA, faz um ângulo de θ BA com o eixo X. O veto velocidade do bote em elação à tea, v BT, faz um ângulo de θ BT com o eixo X. X(m) AULA C v AT 600 v BA v BT θ BA θ BT X(m) Figua.1: O bote de salvamento está na oigem dos eixos XY. O veto velocidade do bote em elação à tea é v BT e em elação à água é v BA. A ciança, no ponto C do gáfico, é caegada pela coenteza com uma velocidade v AT. Vamos esceve os vetoes de posição da ciança e do bote em elação ao efeencial que se enconta paado na magem do io. Esse efeencial é dado pelos eixos X e Y que estão na Figua.19. O veto de posição da ciança, que no instante inicial vale C (0) = (0,800 Km) u x + (0,600Km)u y, é dado po ( t) = ( 0) + v t. C C AT Note que o veto velocidade da ciança é dado pelo veto velocidade da coenteza, v AT = (,50Km/h)u x. O bote está na oigem B (0) = 0 quando t = 0. Em um instante posteio, ele pate em um movimento etilíneo unifome com um veto velocidade v BT = v AT + v BA, como está mostado na Figua.. CECIER J Extensão 85

87 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial v AT v BA v BT = v BA + v AT Figua.: Diagama vetoial no plano que mosta o veto velocidade do bote (em elação à tea), v BT = v AT + v BA. Potanto, o veto posição do bote que você vai esceve é ( t) = v t = ( v + v ) t. B BT BA AT Confome o enunciado do poblema, o módulo do veto velocidade do bote em elação à água vale v BA = v BA = 0,0Km/h. O veto v BA faz um ângulo θ ΑB com o eixo X. A pati dessas consideações, você deve se convence de que esse veto pode se escito em temos de vetoes unitáios da seguinte maneia: No item (c), você vai calcula o ângulo θ BT ente o veto velocidade do bote (em elação à tea) e o eixo X. Você também deve calcula o módulo v BT = v BT. Em temos de vetoes unitáios, você pode escevê-lo como a. Vamos chama de tempo de esgate, t R, o tempo que o bote leva paa alcança a ciança dento da água. Nesse instante, a posição da ciança tem de se igual à posição do bote, B (t R ) = C (t R ). Ao iguala os dois vetoes de posição, você vai enconta a seguinte elação: Agoa, basta que você calcule o módulo da equação anteio paa enconta em quanto tempo o bote alcança a vítima (ciança). A pati disto, você vai conclui que v = v cos θ u + v senθ u. BA BA BA x BA BA y v = v cos θ u + v senθ u. BT BT BT x BT BT y ( 0) + v t = ( v + v ) t, C AT R BA AT R ( 0) = v t. C c BA R t R C ( 0) ( 0, 600Km) + ( 0, 800Km) = = v ( 0Km/h) BA = 0, 05h. 86 CECIER J Extensão

88 Assim, o tempo de esgate é de t R = 3min. AULA b. A igualdade vetoial que você encontou quando calculou A (t R ) = C (t R ) pode se escita em temos de suas componentes x e y. As igualdades coespondentes que você deve esceve são: Note que você pode elimina o tempo de esgate das equações anteioes. Ao faze isso, você vai consegui calcula o ângulo, Assim, você calculou que o piloto do bote de salvamento deve diecioná-lo num ângulo de θ BA = 36,9 o com o eixo X. Convém destaca que sen θ BA = 0,600 e cos θ BA = 0,800, poque o veto v BA é paalelo à posição inicial da ciança C (0). xc ( 0) = vba cos θbatr, C ( 0) = vabt yc( 0) = vba senθbatr. tanθ BA yc( 0) ( 0, 600Km) = = = 0, 750, x ( 0) ( 0, 800Km) θ 1 o = tan ( 0, 750) = 36, 9. c. Paa calcula o ângulo que o veto velocidade do bote v BT faz com a magem do io (eixo X ), é necessáio que você use a igualdade vetoial v BT = v AT + v BA. As componentes x e y dessa igualdade vetoial são: Em seguida, você vai elimina o módulo v BT nas equações acima. Disso esulta que a tangente do ângulo θ BT vale tanθ BT = v BA v C senθ O módulo do veto velocidade do bote, v BT, também pode se calculado a pati das componentes x e y da soma vetoial v BT = v AT + v BA. Paa faze isso, você tem de eleva ao quadado cada equação e depois somá-las. O esultado que você tem de enconta é o seguinte: = v BT BT BA BA v cosθ = v v senθ, cosθ. BT BT AT BA BA vba senθba cosθ v BA BA AT θ BT ( ) ( ) ( 0Km) 0, 6 = = 0, 889, ( 0Km) 0, 8 (, 50Km) 1 o tan (, ),. = = 41 6 Po fim, você deve substitui na equação anteio os valoes v AT =,50 Km/h, v BA = 0Km/h e cosθ BA = 0,800. Então, a velocidade máxima do bote, em elação à tea, é de v = v + v v v cosθ. BT AT BA AT BA BA v BT = 18, 1Km/h. CECIER J Extensão 87

89 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial R E S U M O Nesta aula, definimos os conceitos de veto posição de uma patícula, veto deslocamento, veto velocidade média e veto aceleação média no movimento não-etilíneo. Vimos que o veto velocidade instantânea num dado instante é o veto velocidade média no limite em que o intevalo de tempo tende a zeo, onde o intevalo é medido a pati do instante dado. Também deduzimos as equações do movimento quando o veto aceleação é constante. Finalmente, explicamos o conceito de efeencial e deduzimos as tansfomações de Galileu. LEITURA RECOMENDADA Uma explicação sobe vetoes, opeações ente vetoes e suas pojeções pode se vista no Apêndice desta aula. 88 CECIER J Extensão

90 As leis de Newton A U L A 3 Meta da aula Apesenta e discuti as tês leis de Newton do movimento. Texto adaptado po Calos Magno da Conceição das apostilas: - SOUZA, Calos Faina de; Pinto, Macus Venicius C.; Soaes Filho, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: econhece o conceito de inécia e as condições necessáias paa que uma patícula se movimente; identifica efeencial inecial; identifica e decompo sobe um eixo de coodenadas catesiano as foças que atuam sobe um copo; usa o pincípio da supeposição paa calcula a esultante das foças que atuam sobe uma patícula e a sua aceleação, caso exista; aplica as leis de Newton paa calcula a posição, a velocidade e a aceleação de uma patícula. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula Cinemática Vetoial.

91 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton PRIMEIRA LEI DE NEWTON Nas aulas anteioes, você estudou os pocedimentos envolvidos na descição do movimento, poém sem se peocupa com as causas desse movimento. Nesta aula, você iá apende sobe a dinâmica, a pate da Mecânica que elaciona o movimento com as suas causas. A dinâmica tem como fundamentos as tês leis de Newton do movimento. Nesta seção, você estudaá a pimeia dessas leis. No entanto, antes de enunciamos essa lei, é necessáio apesentamos o conceito de efeencial, essencial à compeensão da pimeia lei de Newton. Quando uma patícula se move, seu movimento se dá com espeito a algum efeencial, um sistema de eixos coodenados munido de éguas e de elógios. O efeencial em elação ao qual descevemos os movimentos de uma patícula é abitáio, e a mesma patícula pode te difeentes movimentos em elação a difeentes efeenciais. Potanto, quando desejamos não somente desceve o movimento, mas também elacioná-lo às suas causas, a escolha do efeencial a se usado tona-se muito impotante. Paa exemplifica a dependência do movimento de uma patícula com elação a um efeencial, considee a seguinte situação: a Figua 3.1 mosta um automóvel sendo aceleado em uma estada etilínea e dois efeenciais. Um efeencial é dado pelo sistema de eixos OXYZ, que está fixo na estada, e o outo é dado pelo sistema de eixos O X Y Z, fixo no pópio automóvel, (os eixos OY e O Y são pependiculaes ao plano da página, apontam paa dento dela e não apaecem desenhados na Figua 3.1). z Z' P v O O' X ' X' Figua 3.1: A mancha puntifome P no automóvel é obsevada de um efeencial OXYZ fixo na estada. O efeencial O X Y Z está fixo no pópio automóvel e, potanto, move com ele em elação ao efeencial fixo na estada. 90 CECIER J Extensão

92 Na lataia do automóvel há uma mancha puntifome P, que tem um ceto movimento em elação a OXYZ e um outo movimento em elação a O X Y Z. O veto de posição da mancha em elação a OXYZ é. Em elação a OXYZ, a velocidade da mancha é v e sua aceleação é a. Natualmente, v = d / dt e a = dv / dt. Devido ao fato de o cao esta aceleado, a aceleação a da mancha é difeente de zeo, isto é, a 0. O veto posição da mancha em elação a O X Y Z é ; esse veto é constante, pois a mancha está fixa em elação a esse sistema de eixos. Isso é uma conseqüência dieta do fato de que tanto a mancha quanto o sistema de eixos O X Y Z estão fixos no automóvel. Potanto, em elação ao efeencial solidáio ao automóvel epesentado pelos eixos O X Y Z, são nulas a velocidade v e a aceleação a da mancha. Logo, uma patícula pode te aceleação nula em elação a um efeencial e, ao mesmo tempo, te aceleação difeente de zeo em elação a algum outo efeencial. Agoa, antes de enunciamos a pimeia lei de Newton, vamos considea um diálogo inteessante escito po Galileu nos Diálogos sobe os Dois Pincipais Sistemas do Mundo, que está disposto no livo de Nussenzveig (1997). AULA 3 Salviati:... Diga-me agoa: Suponhamos que se tenha uma supefície plana lisa como um espelho e feita de um mateial duo como o aço. Ela não está hoizontal, mas inclinada, e sobe ela foi colocada uma bola pefeitamente esféica, de algum mateial duo e pesado, como o bonze. A seu ve, o que aconteceá quando a soltamos?... Simplício:... Não acedito que pemaneceia em epouso; pelo contáio, estou ceto de que olaia espontaneamente paa baixo.... Salviati:...E po quanto tempo a bola continuaá a ola, e quão apidamente? Lembe-se de que falei de uma bola pefeitamente edonda e de uma supefície altamente polida, a fim de emove todos os impedimentos extenos e acidentais. Analogamente, não leve em consideação qualque impedimento do a causado po sua esistência à penetação, nem qualque outo obstáculo acidental, se houve. Simplício: Compeendo pefeitamente, e em esposta à sua pegunta digo que a bola continuaia a move-se indefinidamente, enquanto pemanecesse sobe a supefície inclinada, e com um movimento continuamente aceleado... Salviati: Mas se quiséssemos que a bola se movesse paa cima sobe a mesma supefície, acha que ela subiia? CECIER J Extensão 91

93 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Simplício: Não espontaneamente; mas ela o faia se fosse puxada ou lançada paa cima. Salviati: E se fosse lançada com um ceto impulso inicial, qual seia seu movimento, e de que amplitude? Simplício: O movimento seia constantemente feado e etadado, sendo contáio à tendência natual, e duaia mais ou menos tempo confome o impulso e a inclinação do plano fossem maioes ou menoes. Salviati: Muito bom; até aqui você me explicou o movimento sobe dois planos difeentes. Num plano inclinado paa baixo, o copo móvel desce espontaneamente e continua aceleando, e é peciso empega uma foça paa mantê-lo em epouso. Num plano inclinado paa cima, é peciso uma foça paa lança o copo ou mesmo paa mantê-lo paado, e o movimento impesso ao copo diminui continuamente até cessa de todo. Você diz ainda que, nos dois casos, sugem difeenças confome a inclinação do plano seja maio ou meno, de foma que um declive mais acentuado implica maio velocidade, ao passo que, num aclive, um copo lançado com uma dada foça se move tanto mais longe quanto meno o aclive. Diga-me agoa o que aconteceia ao mesmo copo móvel colocado sobe uma supefície sem nenhum aclive nem declive. Simplício: Aqui peciso pensa um instante sobe a esposta. Não havendo declive, não pode have tendência natual ao movimento; e, não havendo aclive, não pode have esistência ao movimento. Paece-me, potanto, que o copo deveia natualmente pemanece em epouso. Salviati: Acedito que isso aconteceia se colocássemos a bola fimemente num luga. Mas que sucedeia se lhe déssemos um impulso em alguma dieção? Simplício: Ela teia que se move nessa dieção. Salviati: Mas com que tipo de movimento? Seia continuamente aceleado, como no declive, ou continuamente etadado, como no aclive? Simplício: Não posso ve nenhuma causa de aceleação nem desaceleação, uma vez que não há aclive nem declive. Salviati: Exatamente. Mas se não há azão paa que o movimento da bola se etade, ainda menos há azão paa que ela pae; po conseguinte, po quanto tempo você acha que a bola continuaia se movendo? 9 CECIER J Extensão

94 Simplício: Tão longe quanto a supefície se estendesse sem subi nem desce. Salviati: Então, se este espaço fosse ilimitado, o movimento sobe ele seia também ilimitado? Ou seja, pepétuo? AULA 3 Simplício: Paece-me que sim, desde que o copo móvel fosse feito de mateial duável. Vamos agoa pati paa uma definição mais abangente da pimeia lei de Newton:! Toda patícula pemanece em seu estado de epouso ou de movimento etilíneo unifome, a menos que seja compelida a modificá-lo pela ação de algum agente exteno que a tie desse estado. Quando, à noite, você olha paa o céu, consegue distingui a olho nu uma imensidão de pontinhos bilhantes que mantêm ente si distâncias constantes. Esses pontinhos bilhantes são simplesmente as estelas comuns, que hoje sabemos seem imensas massas incandescentes. Po causa de suas posições elativas fixas, são chamadas, desde a antigüidade, de estelas fixas ou de constelações. Após váios milhaes de anos, as posições elativas ente as estelas fixas acabam mudando. Mas esse movimento é tão lento paa os nossos inteesses que podemos consideá-las como se fossem, ealmente, absolutamente fixas. Potanto, concluímos que as estelas obedecem, com muito boa apoximação, à lei de inécia. Mas uma coisa que você deve esta se peguntando é: "Em elação a que efeencial elas são fixas?" Bem, não é em elação à Tea, pois um obsevado teeste obseva as estelas giaem no céu notuno.! Esta situação implica um outo ponto impotante na compeensão da pimeia lei de Newton: ela não é válida em qualque efeencial. Os efeenciais em que ela é válida chamam-se efeenciais ineciais. Po exemplo, a Tea não é um efeencial inecial, poque gia em tono de seu eixo, poém, paa estuda os movimentos usuais na escala de laboatóio, a otação da Tea em tono do seu eixo afeta muito pouco esses movimentos. Potanto, na pática, podemos empega o laboatóio fixo na Tea como um efeencial inecial, com boa apoximação. CECIER J Extensão 93

95 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton ATIVIDADES 1. Uma laanja é aemessada hoizontalmente do alto de uma toe de 0m, com uma velocidade de 30m/s. Confome está mostado na Figua 3., escolhemos o efeencial inecial OXY de modo que OX tenha dieção hoizontal e OY tenha dieção vetical, com sentido paa cima. A oigem O desse efeencial está colocada na base da toe. O outo efeencial escolhido, O X Y, se move em um MRU elativamente ao efeencial OXY, com uma velocidade de 30m/s na dieção hoizontal. No instante em que a laanja é lançada, as oigens coincidem, O = O. Y = Y' Y' Y' Y' Y' Y' 30m/s g 30m/s O = O' x = x' x = x' x' x' x' x' O' O' O' O' O' Figua 3.: Movimento da laanja aemessada do alto de uma toe. Nesta ilustação são mostados os efeenciais OXY e O X Y. a. Quais são os vetoes velocidade e aceleação da laanja em cada um dos dois efeenciais, OXY e O X Y? b. Quais são as funções hoáias da laanja no efeencial OXY? Que foma tem a tajetóia da laanja nesse efeencial? c. Quais são as funções hoáias da laanja no efeencial O X Y? Que foma tem a tajetóia da laanja nesse efeencial? 94 CECIER J Extensão

96 RESPOSTAS COMENTADAS a. Você deve pecebe que o efeencial O X Y é um efeencial inecial poque se move em um MRU com espeito ao efeencial inecial OXY. Sendo assim, você vai analisa o aemesso da laanja em dois efeenciais ineciais. O aemesso obsevado do efeencial OXY é um típico lançamento de pojétil, que você já estudou. Nesse caso, a aceleação é dada pela aceleação da gavidade, g = 9,8m/s, na dieção vetical (com sentido paa baixo). Assim, você sabe que os vetoes velocidade e aceleação da laanja têm componentes dadas po AULA 3 vx( t) = 30m/s; vy( t) = 9, 8t. e ax = 0; ay = 9, 8m/s. Note que paa t > 0 o veto velocidade tem componentes X e Y difeentes de zeo. Quando o aemesso fo obsevado do efeencial O X Y, o veto aceleação da laanja é igual ao veto aceleação da laanja no efeencial OXY. Isso é vedade poque o efeencial O X Y é inecial. Como esse efeencial se move na dieção hoizontal OX com a mesma velocidade hoizontal da laanja aemessada, você pecisa conclui que a componente X do veto velocidade é nula no efeencial O X Y. Potanto, paa um obsevado no efeencial O X Y, os vetoes velocidade e aceleação da laanja têm suas componentes dadas po vx( t) = 0; vy( t) = 9, 8t. e ax = 0; ay = 9, 8m/s. Nesse efeencial, paa todo instante de tempo t, o veto velocidade tem componente X igual a zeo. b. Neste caso, as funções hoáias são aquelas de um lançamento de pojétil. Você sabe que o movimento hoizontal é um MRU, e o movimento vetical é um MRUV. Como a posição inicial da laanja é x(0) = 0 e y(0) = 0m, você deve esponde que no efeencial OXY as funções hoáias são x( t) = 30t, y( t) = (, ) t CECIER J Extensão 95

97 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Em paticula, no instante t s a laanja alcança o solo, y(s) = 0. O alcance da laanja é de x(s) = 60m. A cuva que epesenta a tajetóia da laanja aemessada, no efeencial OXY, é uma paábola. Inclusive, você pode esceve a equação dessa paábola, y = 0 + x 0, 005x, 0 x 60m. c. Se você entendeu bem, alguém que esteja obsevando a laanja no efeencial O X Y não vai vê-la se movimentando na dieção hoizontal X. Po essa azão, a coodenada X se mantém constante, x (t) = 0. As funções hoáias, no efeencial O X Y, são x ( t) = 0, 1 y ( t) = (, ) t. 0m 9 8 Você não acha inteessante que a mudança de efeencial tenha simplificado o poblema? Nesse efeencial, temos um movimento (vetical) de queda live da laanja. Com a mudança de efeencial eliminamos o movimento hoizontal, mas o movimento vetical da laanja pemaneceu o mesmo (em MRUV). A cuva que epesenta a tajetóia da laanja, no efeencial O X Y, é uma eta. O movimento de queda live da laanja coesponde a seguinte eta: x = 0, 0 y 0m.. O univeso consiste em um gande conglomeado de estelas, que são chamadas de galáxias. Na galáxia onde o nosso sistema sola se enconta, existem apoximadamente centenas de bilhões de estelas. O Sol gia ao edo do cento dessa galáxia com um peíodo de ceca de 180 milhões de anos (teestes) e com uma velocidade de 50Km/s. Um efeencial colocado na Tea só é inecial de maneia apoximada. Os efeenciais colocados no Sol, nas estelas etc. são ineciais com maio gau de pecisão. Compae o gau de pecisão quando consideamos, apoximadamente, que um efeencial teeste é inecial e um efeencial sola é inecial. 96 CECIER J Extensão

98 AULA 3 RESPOSTA COMENTADA Se a velocidade de um obsevado em movimento muda ou se ele está em um movimento de otação, o efeencial onde se enconta esse obsevado não é um efeencial inecial. Essas são pecisamente as condições em que se enconta um obsevado teeste. Contudo, se a mudança de velocidade ou a otação é pequena duante o intevalo de tempo de obsevação, esse obsevado pode se consideado apoximadamente inecial. A otação do planeta Tea em tono de seu pópio eixo dua 1dia = 4h. Vamos calcula o ângulo θ T que a Tea oda em 1s. Como uma otação completa equivale a 360 o, você pode calcula que ( 1s) θ T = 360 o = ( ) 4( 3600s) o. O valo que você calculou é pequeno. Assim, nós podemos considea, apoximadamente, que um efeencial teeste é inecial. Entetanto, não podemos despeza a otação da Tea quando lidamos com algum fenômeno que seja muito demoado. Agoa, vamos compaa um efeencial teeste com um efeencial sola. Paa isso, vamos calcula de que ângulo um efeencial sola oda em 1s. Uma evolução completa do Sol ao edo da Via Láctea leva anos s. Assim, em 1s o ângulo é de θ S = 360 o ( 1s) 14 = ( 6 10 ) 15 ( 6 10 s) A compaação ente os ângulos θ T e θ S nos pemite dize o seguinte: Quando consideamos, apoximadamente, que um efeencial sola é inecial e que um efeencial teeste também é, o efeencial sola é 100 bilhões de vezes melho do que o teeste. o CECIER J Extensão 97

99 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton SEGUNDA LEI DE NEWTON Dando continuidade ao assunto abodado na seção passada, nesta seção você iá apende sobe a segunda lei de Newton, que envolve os conceitos de massa inecial e foça. Paa tanto, é necessáio que você tenha em mente que o efeencial usado seá inecial. Confome vimos no estudo da pimeia lei de Newton, qualque mudança no estado de epouso ou de movimento etilíneo unifome eque a ação de algum agente exteno. Mas lembe-se de que ainda não foi definido o que é essa ação. Pois bem, o que causa a mudança do movimento de uma patícula é o que chamamos de foça. A noção de foça está elacionada intuitivamente à noção de esfoço muscula. De fato, desde muito cedo, apendemos que, paa coloca um objeto em movimento ou, de foma mais geal, altea seu estado de movimento, é necessáio que façamos uma ceta foça. Uma outa coisa que sabemos também é o fato de que paa um cao é mais difícil e exige uma foça maio do que fea uma bicicleta. Então dizemos que o cao tem uma inécia muito maio do que a bicicleta. Quando aplicamos uma foça a uma patícula, alteando sua velocidade, essa alteação se caacteiza po uma aceleação adquiida. No entanto, fica a pegunta: Como elaciona a foça sobe um copo com a aceleação desse mesmo copo? As expeiências feitas nos laboatóios de Física nos dizem que sujeitando o mesmo copo a difeentes foças, obsevamos difeentes aceleações. Poém, algo muito inteessante ocoe quando tomamos as azões ente os módulos das foças e o módulo de suas espectivas aceleações. Podemos obseva que essas azões apesentam uma elação de igualdade ente si e po sua vez são iguais a uma constante; ou seja, de foma quantitativa obsevamos a seguinte elação: F1 a F Fn = = L = = k. a a (3.1) Agoa, se fizemos uma outa expeiência, fazendo com que uma mesma foça seja submetida a difeentes copos, notamos que, em geal, difeentes aceleações são poduzidas. Colocando em temos quantitativos, temos: F = k a = L = k a n n, n 98 CECIER J Extensão

100 com k 1 > k > L > k n. Logo, a a L a 1 < < < n. Veja que, quanto maio o valo da constante associada a um copo, meno seá a aceleação que ele desempenhaá sob a ação da foça. Agoa, levando em consideação as duas expeiências junto com o que afimamos anteiomente, ou seja, o fato de que é muito mais fácil fea uma bicicleta do que um cao, somos levados a conclui que a constante k deve medi uma popiedade dietamente popocional à inécia do copo. Na pimeia expeiência, onde estamos consideando apenas um único copo, k é mantido constante. Já no segundo expeimento, onde estamos consideando váios copos submetidos a uma mesma foça, notamos que existem difeentes valoes de k e difeentes valoes de aceleação. Logo, concluímos que o coeficiente k está elacionado, de alguma foma, com a popiedade do copo que caacteiza sua esposta à foça aplicada. Potanto, a dificuldade de acelea um copo se elaciona com a sua quantidade de matéia, a qual chamamos de massa inecial. Quanto maio a inécia (ou massa inecial) de um copo, maio é a dificuldade de aceleá-lo ou de feá-lo. Agoa estamos pepaados paa apesenta uma das leis fundamentais do movimento de uma patícula, que podemos chama de lei do deteminismo newtoniano. Ela foi obtida a pati de uma quantidade imensa de obsevações e esultados expeimentais, e seu enunciado é dado a segui: AULA 3! Em cada instante, o poduto da massa pela aceleação de uma patícula em estudo é deteminado pela sua posição e sua velocidade e pelas posições e velocidades das patículas vizinhas. CECIER J Extensão 99

101 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Vamos entende bem o que essa lei afima. Seja m a massa inecial da patícula em estudo, supostamente conhecida (pois é uma constante que, em pincípio, pode se medida ou calculada), seja a a aceleação da patícula em estudo em um instante abitáio, a lei do deteminismo newtoniano afima que podemos detemina o poduto de m po a, isto é, o poduto ma. Isto é paticamente o mesmo que dize que podemos detemina a aceleação a. De fato, se ma foi deteminado, basta dividilo po m paa detemina a. Uma vez enunciado a lei do deteminismo newtoniano e estabelecido o conceito de massa inecial, epesentado po m, e sua elação com o conceito de foça e de aceleação, vamos agoa enuncia a segunda lei de Newton:! A foça total execida sobe uma patícula é igual ao poduto da massa dessa patícula pela sua aceleação. No sistema MKS (meto-kilogama-segundo), em que a unidade de compimento é o meto, a de massa é o quilogama, e a de tempo é o segundo, podemos epesenta a unidade de foça po kg m/s. Assim, definimos uma nova unidade paa foça nesse sistema, chamada de newton (N), em homenagem ao iluste físico inglês Isaac Newton, que é equivalente a 1 meto 1 newton 1 quilogama. 1 segundo ( ) Logo, 1N é a foça que, quando aplicada a um copo de massa 1kg, lhe impime uma aceleação de 1 m/s. No sistema CGS (centímeto-gama-segundo), po exemplo, a unidade de foça é o dina. Um dina é a foça que poduz uma aceleação de 1cm/s a um copo com um gama de massa. Como 1kg = 10 3 g e 1m = 10 cm, é fácil ve que 1 dina = 10 5 N. 100 CECIER J Extensão

102 Conheça mais sobe o físico e matemático Isaac Newton acessando o link: AULA 3 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Um fato impotante elacionado à segunda lei de Newton é que tanto as foças quanto as aceleações são gandezas vetoiais, ou seja, são gandezas físicas caacteizadas po um módulo, uma dieção e um sentido. Potanto, é necessáio que levemos em conta esse aspecto vetoial. Repesentaemos a massa da patícula em estudo po m e sua posição, velocidade e aceleação em elação ao efeencial inecial po, v e a, espectivamente. Vamos considea o caso genéico em que há N patículas vizinhas à patícula em estudo, que têm posições dadas po e velocidades dadas po. A segunda lei de Newton afima que o poduto da massa pela aceleação da patícula em estudo é igual à foça total, aqui epesentada po F, que as patículas vizinhas execem sobe ela, F = m a. (3.) Na situação em que há N patículas nas vizinhanças da patícula em estudo, a foça total F sobe esta, chamada de foça esultante, é execida po todas as N patículas. Uma enome quantidade de expeimentos mosta que existe a seguinte elação ente essa foça total e as N foças dadas, devido às N patículas: F F F F = L N (3.3) isto é, a foça total sobe uma patícula em estudo, execida pelas suas patículas vizinhas, é igual à soma vetoial das foças que cada patícula vizinha execeia se estivesse sozinha nas vizinhanças da patícula em estudo. CECIER J Extensão 101

103 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Esse esultado, emboa simples, é extemamente impotante. Ele é chamado pincípio de supeposição das foças. Podemos expessa o seu conteúdo, dizendo que a foça execida po uma das patículas das vizinhanças sobe a patícula em estudo independe da pesença das outas patículas. Potanto, o que deve se compeendido po foça total consiste na soma vetoial de todas as foças extenas atuando no copo. Foças extenas são as foças execidas pelas patículas em suas vizinhanças. Logo, a segunda lei de Newton escita em temos quantitativos é F extenas = ma. (3.4) Um ponto impotante a se dito a espeito da segunda lei de Newton é o fato de ela detemina quais os movimentos possíveis paa uma patícula na pesença de suas vizinhas em um dado poblema. Essa lei estabelece uma elação ente a aceleação da patícula em estudo e as posições e velocidades de todas as patículas do poblema, como é evidente na Equação (3.4). Isso significa que qualque movimento da patícula em estudo na pesença das patículas vizinhas deve espeita essa elação. Dito de outo modo: Os movimentos possíveis paa tal patícula em estudo são os que satisfazem à Equação (3.4), ou seja, os que estão de acodo com a segunda lei de Newton. Um outo ponto impotante é o fato de que a segunda lei é o pincípio fundamental da dinâmica; é ela que detemina toda a evolução de uma patícula. De fato, vamos imagina todos os movimentos possíveis de uma patícula em um dado poblema, assumindo que todas as foças extenas aplicadas sobe a patícula em estudo sejam conhecidas. Considee agoa um instante fixo t 0 e uma posição 0 também fixa. Dente as tajetóias possíveis da patícula, consideemos apenas aquelas nas quais ela tem a posição 0 no instante t 0. Encontaemos uma infinidade de movimentos que satisfazem a essa condição. Acescentemos agoa a condição de que a velocidade do movimento no instante t 0 também esteja fixa; digamos que seja v 0. Pocuemos quais os movimentos da patícula, ente os possíveis, que têm posição 0 e velocidade v 0 no instante t CECIER J Extensão

104 Quantos movimentos, que satisfazem a essas condições, existem? A esposta é: um, e somente um! AULA 3 Ente as tajetóias possíveis da patícula, com velocidades e posições deteminados paa cada instante dessa tajetóia, existe uma, e somente uma, que satisfaz às condições de te uma deteminada posição e uma deteminada velocidade em um dado instante fixo. É comum chama de instante inicial o instante t 0 em que estão pedeteminadas a posição 0 e a velocidade v 0 da patícula, mesmo que nomalmente haja movimento antes de t 0. Em confomidade com essa nomenclatua, 0 e v 0 são chamadas posição inicial e velocidade inicial da patícula, espectivamente. A essas duas infomações, a posição e a velocidade iniciais, damos o nome de condições iniciais do movimento. As popiedades da segunda lei de Newton, que acabamos de discuti, ofeecem a solução do seguinte poblema: Dadas as foças que agem sobe uma patícula, bem como sua posição e sua velocidade em um dado instante, como detemina o seu movimento? Esse é o chamado poblema fundamental da Mecânica Clássica. Como discutimos anteiomente, a segunda lei de Newton esolve esse poblema deteminando quais são os movimentos possíveis da patícula sob a ação das foças dadas. Dente todos os movimentos possíveis, um único possui, num ceto instante, a posição e a velocidade pedeteminadas no poblema. Desse modo, a segunda lei de Newton se apesenta como um citéio paa estabelece quais são os movimentos possíveis de uma patícula em um dado poblema: são os que a satisfazem como equação. Essas idéias seão ilustadas na póxima aula, na qual usaemos a segunda lei de Newton paa detemina movimentos possíveis de uma patícula em algumas situações simples. CECIER J Extensão 103

105 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton ATIVIDADES 3. Um cao que tem uma massa de 800kg está se movendo, inicialmente, com uma velocidade de 36km/h. Quando os feios são aplicados, ele páa após 0m. Supondo que o cao é paado po uma foça constante, detemine: a. o módulo desta foça; b. o tempo necessáio paa ele paa. Se, po outo lado, a velocidade inicial doba, e o cao fo submetido a uma mesma foça duante a paada, qual seá: c. A distância até alcança o epouso? d. E quanto tempo ele gasta até paa? (Isto podeá sevi como lição quanto ao peigo de se diigi em altas velocidades.) RESPOSTAS COMENTADAS A Figua 3.3.a mosta o cao se movendo em uma estada, no momento em que os feios são aplicados. Na Figua 3.3.b mostamos o eixo X que vamos usa, que foi colocado na dieção da estada no sentido do movimento do veículo. 104 CECIER J Extensão

106 36km/h AULA 3 0m (a) F Cao (800kg) x a (b) Figua 3.3: (a) Um cao que está diminuindo a velocidade, até paa depois de 0m; (b) O diagama de copo isolado do cao. A foça F poduz uma aceleação a no cao. a. A velocidade inicial do cao é v 0 = 36km/h = 10m/s e a velocidade final é nula, v = 0. O cao pecoe 0m paa consegui paa. Vamos detemina a aceleação do cao, que é constante, usando a equação v = v 0 + a x. Você deve calcula uma aceleação igual a v0 ( 10m/s) a = = =, 5m/s. x ( 0m) Nesse caso, você deve pecebe que o veto aceleação a aponta na dieção X. Você pode calcula a foça (esultante) que atua no cao usando a segunda lei de Newton, F = ma. Veja que o veto F tem a mesma dieção e sentido do veto aceleação a, isto é, também aponta na dieção X. Como a massa do cao vale m = 800kg, o módulo do veto foça vale F = m a = ( 800kg)(, 5m/s ) = 10 3 N. Note que a unidade da foça no SI é 1N = 1 kgm/s. b. Você pode calcula o tempo que o cao leva paa paa com a equação v = v 0 + at. Dessa foma, como a velocidade inicial é v 0 = 10m/s e a velocidade final é v = 0, esse tempo vale v0 ( 10m/s) t = = = 4s. a (, 5m/s ) CECIER J Extensão 105

107 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton c. Agoa, a velocidade inicial do cao é v 0 = 7km/h = 0m/s. O cao é submetido a uma foça que aponta na dieção X e cujo módulo vale F = 10 3 N, como no item (a). Você já sabe que, quando uma foça dessa magnitude atua sobe o cao, ele sofe uma aceleação a =,5m/s. Assim, antes de paa o cao vai pecoe v x = ( 0) = a ( 0m/s) = 80m. (, 5m/s ) d. Nessa situação, paa muda a velocidade do cao de v 0 = 0m/s paa v = 0, o tempo decoido é de v0 ( 0m/s) t = = = 8s. a (, 5m/s ) Assim, você vai conclui que a vaiação do tempo das duas situações de paada deve se t t = 4s. 4. Numa bincadeia de cabo de guea, Alex, Bete e Chales puxam um pneu de automóvel, nas dieções mostadas na Figua 3.4.a, vista do alto. Alex puxa com uma foça F A (0N) e Chales com uma foça F C (170N). O pneu pemanece paado. Qual a foça F B aplicada po Betty? Alex y Chales F A F C φ x Pneu Betty F B (a) (b) Figua 3.4: (a) Vista do alto das tês cianças puxando um pneu; (b) diagama de copo isolado do pneu. 106 CECIER J Extensão

108 AULA 3 RESPOSTA COMENTADA a. A Figua 3.4 mosta o diagama de copo isolado do pneu. Mesmo com as tês pessoas puxando, o pneu pemanece paado. Veja que o estado de epouso do pneu é mantido, poque o veto aceleação esultante do pneu é nulo. Pela segunda lei de Newton, você deve conclui que se, o veto aceleação esultante é nulo, então a foça esultante é nula, FA + FB + FC = 0 Na equação acima, nós usamos o pincípio de supeposição. Como o pneu continua em epouso, a soma vetoial das foças tem que se zeo. Você pode eesceve essa equação vetoial em temos das componentes escalaes. Dê uma olhada na Figua 3.3.b e esceva as componentes X e Y da foça esultante, o FC cosφ FA cos 47 = 0; o FC senφ + FAsen47 FB = 0. Note que usamos a notação F A = F A, F B = F B e F C = F C. A pati da equação da componente X, você pode enconta quanto vale o ângulo φ, φ = cos 1 ( 0N)( 0, 68) ( 170 ) = 8 N Paa calcula qual é a foça F B aplicada po Betty, você pode usa a componente Y da equação da foça esultante. O esultado que você tem que enconta é o o F = F sen8 + F sen47, B C A = ( 170N)( 0, 469) + ( 0N)( 0, 731) = 41N. o CECIER J Extensão 107

109 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton TERCEIRA LEI DE NEWTON Na aula anteio, enunciamos a segunda lei de Newton. Ela afima que o poduto da massa pela aceleação de uma patícula é igual à foça total que as patículas vizinhas execem sobe ela. Essa foça total depende das posições e das velocidades de todas as patículas envolvidas no poblema, e essa dependência pode se muito complicada nas situações em que há muitas patículas vizinhas ou em que elas se movimentam de modo muito complicado. No entanto, há popiedades da foça total que podem simplifica o estudo dos movimentos que ela causa. A mais impotante e fundamental dessas popiedades é o chamado pincípio da supeposição, que nós já estudamos.! Em nosso cuso, um veto podeá se denotado po uma única leta em negito, po exemplo, a, ou um veto podeá também se epesentado pela conhecida notação: a. Já o módulo de um veto a seá denotado po a ou a. Também podeemos epesenta o módulo de um veto abolindo o negito da leta, ou seja, simplesmente po a. Consideemos um pa de patículas isoladas do esto do univeso. Chamaemos uma delas patícula i e a outa patícula j. Consideemos i a patícula em estudo, e j sua patícula vizinha. Vamos chama F ij a foça sobe i, execida po j. Sendo mi a massa da patícula em estudo a ij e sua aceleação, temos, pela segunda lei de Newton, m a = F i i ij (3.5) Vamos agoa toca os papéis das duas patículas: j é consideada como a patícula em estudo e i como sua única patícula vizinha. Denotamos po F a = foça F sobe j, execida po i. Sendo m j a massa da patícula em ji ij estudo e a j sua aceleação, temos, pela segunda lei de Newton, m a = F j j ji (3.6) Consideemos agoa a situação em que as duas patículas i e j não fomam necessaiamente um pa isolado. Nesse caso, se tomamos i como a patícula em estudo, ela pode te em suas vizinhanças outas patículas 108 CECIER J Extensão

110 além de j. No entanto, de acodo com o pincípio da supeposição, a foça sobe a patícula em estudo i, execida pela vizinha j, não depende de outas patículas vizinhas de i. Ela é exatamente igual à foça F ij que seia execida sobe i, se ela fomasse um pa isolado com j. Do mesmo modo, a foça sobe a patícula em estudo j, execida pela patícula vizinha i, é exatamente igual à foça F = que F seia execida sobe j, se ela fomasse um pa isolado com i. Potanto, gaças ao pincípio da supeposição, podemos considea que, mesmo quando i e j não fomam um pa isolado, é vedadeia a elação (3.7) F = F ji ij ji ij AULA 3 Nesse sentido geal, a elação acima é chamada de teceia lei de Newton, que enunciamos da seguinte foma:! Fji = Se F ij é a foça sobe uma patícula i execida po uma patícula j e F é = a Ffoça sobe a patícula j execida pela patícula i, então, ji ij F ji = F (3.8) isto é, as duas foças têm o mesmo módulo, a mesma dieção e sentidos opostos. ij As duas foças F = F e F, = mencionadas F na teceia lei de Newton, são ji ij ji ij chamadas foças de ação e eação. Qualque uma delas pode se chamada foça de ação e, nesse caso, a outa é chamada foça de eação. Sendo assim, também dizemos que a foça F F ji = é a foça ij de eação à Ffoça ji = Fij. É clao que podemos nos efei à foça F F ji = como foça de ação da ij patícula i sobe a patícula j. Dessa foma, a Ffoça = F é chamada foça de eação da patícula j sobe a patícula i, ou ainda, foça de eação à foça F F ji.= ij É comum denomina o pa de foças F = F e F como = F pa de ação e eação. Se escolhemos uma das foças do pa paa se a foça de ação, a outa é chamada foça de eação. Usando esses conceitos de ação e eação, podemos enuncia a teceia lei de Newton da seguinte foma abeviada:! A cada ação coesponde uma eação de mesmo módulo, mesma dieção e sentido oposto. ji ij ji ji ij ij CECIER J Extensão 109

111 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Notemos que as foças de ação e eação são sempe execidas sobe patículas distintas. A foça F ij é execida sobe a patícula i e a foça F sobe = F a patícula j, sendo que esteve sempe subentendido que i ji ij e j são designações paa duas patículas distintas, e não dois nomes paa uma mesma patícula. Devido aos nomes ação e eação, atibuídos às duas foças envolvidas na teceia lei de Newton, essa lei é também conhecida como lei da ação e eação. Uma vez estabelecidas as leis de Newton, vamos agoa entende qual é o poblema fundamental da Dinâmica e como essas leis são usadas paa esolvê-lo. Nessas tês leis, consideamos contidas, implicitamente, cetas popiedades, como o pincípio da supeposição e o pincípio da existência e unicidade de soluções, que discutiemos agoa. No poblema fundamental da Mecânica Clássica, são dadas a posição e a velocidade da patícula em um único instante e é pedido o movimento da patícula, isto é, a função movimento que dá a posição da patícula em todos os instantes duante o movimento. De posse da função movimento, podemos obte a função velocidade, que dá a velocidade da patícula em todos os instantes duante o movimento. O instante fixo em que são dadas a posição e a velocidade da patícula pode se um instante qualque. Como mencionamos, ele é comumente chamado instante inicial do movimento, emboa o movimento possa te começado antes dele. Na vedade, o adjetivo inicial não é significativo, mas continua a se usado po questão de tadição. Repesentaemos o instante inicial po t 0. Sempe que fo possível e conveniente, estabeleceemos que esse é o instante zeo. Os valoes da posição e da velocidade da patícula no instante inicial são chamados posição inicial e velocidade inicial, espectivamente. Repesentando a posição inicial po e a velocidade inicial f t po e v, temos f& t, = ( ) = ( ) f t e v f& t, = ( ) = ( ) (3.9) onde f t é e a v função f& t movimento, f t e v e f & t = ( ) = ( = ) ( ) = ( ) ,é a função velocidade do movimento pocuado, sendo essa última, como sabemos, a deivada da função movimento em elação ao tempo. 110 CECIER J Extensão

112 Com base no que já apendemos, podemos afima que, dadas as condições iniciais de um movimento, existe uma única função movimento que satisfaz à segunda lei de Newton e a essas condições iniciais. Conseqüentemente, dadas a posição e a velocidade de uma patícula num instante qualque, podemos dize que o seu movimento futuo (e passado também) fica univocamente deteminado pela segunda lei de Newton. Vamos esceve a segunda lei de Newton AULA 3 F extenas = ma (3.10) na foma usual que os matemáticos denominam de equação difeencial. Paa isso, consideemos uma função movimento = f ( t). Ela dá a posição da fpatícula t em qualque instante t do movimento: = ( ) = f ( t) (3.11) A deivada dessa função é uma função velocidade f & ( t), que dá a velocidade da patícula em qualque instante t do movimento: d v = = f& ( t) dt (3.1) A deivada da função velocidade, em elação ao tempo, é a função aceleação f && ( t), que dá a aceleação dv a = da patícula = f&& ( t) em um instante qualque t do movimento: dt dv a = = f&& ( t) (3.13) dt Note que a aceleação pode se escita como a deivada da velocidade, em elação ao tempo, ou como a deivada segunda da posição também em elação ao tempo: dv d a = = dt dt (3.14) Na expessão da segunda lei, vamos usa as espectivas definições de velocidade e aceleação paa esceve:. m d d d1 dn = F 1 L N L dt,,,,,,, dt dt dt. (3.15) CECIER J Extensão 111

113 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Essa é uma equação que elaciona, a cada instante, o valo função f, com o valo d / dt de sua deivada e o valo d / dt de sua deivada segunda. Lembe-se de que as posições e as velocidades das patículas vizinhas em um instante abitáio são quantidades supostamente conhecidas nos poblemas em consideação. Posteiomente, voltaemos a discuti o caso em que as posições e velocidades das patículas vizinhas não são conhecidas paa qualque instante de tempo. Uma equação como a anteio, que elaciona uma gandeza com suas deivadas, é chamada, em Matemática, de uma equação difeencial. Além disso, uma equação difeencial é dita de segunda odem se nela a deivada segunda é a de mais alta odem. A segunda lei de Newton é, potanto, uma equação difeencial de segunda odem. Em contaste com as equações algébicas nas equações difeenciais, a incógnita é uma função, ou seja, as soluções dessa equação são as funções f que levam a valoes de, d / dt e d / dt que satisfazem à equação, isto é, a tonam vedadeia em cada instante. Já sabemos que essas soluções são os movimentos possíveis da patícula no poblema em questão. Ente essas soluções existe uma, e somente uma, que satisfaz às condições iniciais = f ( t ) e v f& t Em suma: 0 0 = ( ) A segunda lei de Newton é uma equação difeencial de segunda odem, cujas soluções são os movimentos possíveis de uma patícula em um dado poblema. Ente essas soluções, há uma, e apenas uma, que esolve o poblema fundamental da Mecânica Clássica. Vamos sintetiza essa popiedade na foma: se foem dadas as foças sobe a patícula, a segunda lei de Newton detemina, paa essa patícula, um, e somente um movimento que satisfaz às condições iniciais dadas po uma posição e uma velocidade pedeteminadas em algum instante fixo. Essa popiedade da segunda lei de Newton é chamada de pincípio da existência e unicidade das soluções do poblema fundamental da Mecânica Clássica. da = f ( t) 0. = f ( t) 11 CECIER J Extensão

114 No poblema fundamental da Mecânica, as foças envolvidas são consideadas conhecidas, isto é, como dados do poblema em estudo. Isso significa que na segunda lei de Newton é conhecida a função foça, que detemina a foça sobe a patícula em estudo paa quaisque que sejam as posições e velocidades das patículas do poblema. No entanto, é natual peguntamos como são obtidas essas funções foças. A esposta é que são obtidas a pati de obsevações e expeimentos, gealmente complementados po cálculos teóicos. Analisando-se váios movimentos da patícula em estudo e medindo-se, paa cada um deles, as posições e as velocidades de todas as patículas do poblema em váios instantes, podemos elaciona as aceleações da patícula em estudo com as posições e velocidades de todas as patículas do poblema. A pati desses dados, lembando que a foça total sobe a patícula em estudo é igual ao poduto de sua massa po sua aceleação, é possível infei expessões paa a função foça que atua sobe a patícula em estudo, e que é execida pelas patículas vizinhas. É clao que, quanto maio fo o númeo de medidas feitas (e maio fo a pecisão de tais medidas), mais póxima da ealidade estaá a nossa conclusão a espeito da função foça paa um ceto poblema. Nesse sentido, enconta as funções foças sobe uma patícula numa ceta situação significa esolve o seguinte poblema: AULA 3 Dados um ou mais movimentos de uma patícula na pesença de patículas vizinhas, detemina a foça total que age sobe a patícula execida pelas patículas vizinhas. Esse é o chamado poblema inveso da Mecânica Clássica. Um exemplo de poblema inveso, que teve um papel muito impotante no desenvolvimento da Mecânica, foi esolvido po Newton, ao descobi a Lei da Gavitação Univesal. A pati dos movimentos dos planetas, dados pelas leis de Keple, Newton deteminou qual a foça que o Sol exece sobe cada planeta. Ele usou as leis de Keple paa conclui que a foça é atativa, tem a dieção da eta que une cada planeta ao Sol e é invesamente popocional ao quadado da distância que os sepaa. Vamos volta ao assunto desta aula: o poblema fundamental da Mecânica Clássica. Continuaemos supondo que as foças já tenham sido obtidas expeimentalmente e nos tenham sido dadas e, a pati delas, tentemos obte o movimento da patícula em estudo. Note que a segunda lei de Newton é uma igualdade vetoial. Isso significa que os vetoes, em ambos os lados da equação, podem se decompostos em componentes ao longo dos eixos OX, OY e OZ do efeencial em uso, paa obtemos tês igualdades numéicas, equivalentes à igualdade vetoial ma = F m a = F, m a = F e m a = F, x x x y y y z z z (3.16) CECIER J Extensão 113

115 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton onde as componentes da aceleação e da foça total são escitas na notação habitual. As foças se apesentam em cada poblema conceto como vetoes, de modo que a segunda lei de Newton é aplicada ao poblema inicialmente em foma vetoial. Essa também é a foma que pemite a melho compeensão das elações ente as foças e as caacteísticas do movimento que elas causam. É no momento de se ealizaem os cálculos que nomalmente se tona útil a decomposição da segunda lei de Newton nas tês igualdades numéicas escitas acima. Na vedade, na maioia dos poblemas de que tatamos, os movimentos são etilíneos ou planos, de modo a se possível decompo a segunda lei de Newton em apenas uma ou duas igualdades numéicas. Natualmente, essas consideações também se aplicam à segunda lei de Newton, na foma de uma equação difeencial, a Equação (3.15), ou seja, essa equação também é uma igualdade vetoial, equivalente a tês igualdades numéicas, que são tês equações difeenciais que elacionam as componentes da deivada segunda d / dt com as componentes coespondentes da foça total. Note que ainda não usamos a teceia lei de Newton nesta seção, pois ela não se faz necessáia no tipo de poblema que estamos consideando. No entanto, desempenha um papel impotante no estudo do movimento, como veemos adiante. Até agoa, consideamos as posições e as velocidades das patículas vizinhas como conhecidas em qualque instante do tempo, isto é, consideamos como conhecidos os movimentos de todas as patículas vizinhas. Em alguns casos mais simples, isso ealmente ocoe; e, em outos, esses movimentos são desconhecidos. De qualque modo, conhece ou não o movimento das patículas vizinhas não afeta a foça total sobe a patícula em estudo, quando as patículas do poblema estão em cetas posições e com cetas velocidades, uma vez que a função foça só depende dessas posições e velocidades e não do fato de algum obsevado já possui alguma infomação sobe o sistema. Em ambos os casos, a teoia explicada anteiomente pemite esolve o poblema fundamental da Mecânica Clássica. No entanto, a situação mais comum, e mais complicada, é aquela na qual não conhecemos o movimento das patículas vizinhas. Não sabemos, então, quais são as posições e velocidades em um instante qualque das patículas vizinhas que apaecem na segunda lei de Newton. 114 CECIER J Extensão

116 Nesse caso, L 1,, N, v, L, v 1 N são incógnitas na equação difeencial, além das incógnitas, d f / tdt e d / dt efeentes à patícula em estudo. = ( ) Como você veá, quando estuda a teoia das equações difeenciais, há nesse caso incógnitas em excesso, o que tona impossível detemina o movimento da patícula em estudo, usando apenas a equação difeencial m d d d1 dn = F 1 L N L (3.17) dt,,,,,,, dt dt dt. AULA 3 O que faze então paa detemina esse movimento? A esposta é que a pópia segunda lei deve se usada paa detemina o movimento também das patículas vizinhas. Isto é, devemos considea cada uma das patículas como novas patículas em estudo e aplica a cada uma delas a segunda lei de Newton. Desse modo, obtemos mais N equações difeenciais, além da equação difeencial acima. Todas essas equações difeenciais juntas, com o auxílio da teceia lei de Newton, pemitem, em pincípio, enconta os movimentos possíveis de todas as patículas do poblema, da patícula que oiginalmente foi consideada como patícula em estudo e das suas N patículas vizinhas. Devido ao pincípio de existência e unicidade do poblema fundamental da Mecânica, apopiadamente genealizado paa o caso em que buscamos os movimentos de todas as patículas do poblema, podemos afima que: dadas as condições iniciais paa todas as patículas do poblema, ficam, em pincípio, deteminados univocamente pelas leis de Newton os movimentos de todas elas. Entetanto, no caso geal, a solução do conjunto de equações difeenciais que deteminam os movimentos possíveis de todas as patículas do poblema é tão complicada, mas tão complicada, que ninguém, nem computado algum, consegue esolvê-las na pática, a menos que sejam feitas hipóteses simplificadoas. Po isso, começaemos po estuda poblemas nos quais supoemos conhecidos os movimentos das patículas vizinhas. Na vedade, o que faemos seá considea, pimeiamente, situações, as mais simples possíveis, nas quais somente a equação difeencial dada acima seja suficiente paa esolve o poblema fundamental da Mecânica. CECIER J Extensão 115

117 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton ATIVIDADES 5. Uma bala de fuzil de massa igual a 0g atinge uma ávoe com uma velocidade de 500m/s, penetando nela a uma pofundidade de 10cm. a. Se o cano do fuzil tem 50cm, quanto vale a foça média (em N) execida pela bala sobe o atiado? b. Calcule a foça média (em N) execida sobe a bala duante a penetação. RESPOSTAS COMENTADAS a. Ente o instante em que o gatilho do fuzil é acionado e o instante em que a bala sai do cano da ama, a bala pate do epouso e atinge uma velocidade final, imediatamente após o dispao, de v = 500m/s. Paa ganha essa velocidade, a bala pecoeu toda a extensão do cano de x = 50cm. Você pode calcula a aceleação (média) da bala, duante o tempo em que ela pecoe o cano do fuzil, com a fómula v = v o + a o x. Dessa maneia, você vai calcula que a aceleação da bala, a o = v / x, é de ( 500m/s) ( 0, 5m) m,. s 5 a o = = CECIER J Extensão

118 Agoa, você vai calcula a foça que lança a bala em dieção à ávoe com a segunda lei de Newton, F BF = ma o. Como você já sabe, o subscito que nós estamos usando diz que F BF é a foça (média) que o fuzil F exece sobe a bala B. Na Figua 3.5, está mostado o diagama de copo isolado da bala. AULA 3 Bala (0g) (a) F BF F BA Bala (0g) (b) Figua 3.5: (a) Diagama de copo isolado da bala pouco antes de sai do cano do fuzil; (b) diagama de copo isolado da bala ao peneta na ávoe. Note que o enunciado do poblema pede paa você calcula a foça de ecuo, isto é, aquela foça que o atiado ecebe imediatamente após o dispao. Pois bem, vamos usa a teceia lei de Newton: A foça (média) que a bala exece sobe o fuzil, F FB = F BF, tem o mesmo módulo e a mesma dieção que tem a foça F BF, mas com sentido oposto. Então, basta que você calcule o módulo da foça sofida pela bala poque F FB = ma o. A foça média, sofida pelo atiado depois do dispao, vale 5 3 F FB = ( 0, 0kg)(, 5 10 m/s ) = 5 10 N. b. Quando a bala atinge a ávoe, ela é feada até paa. Você sabe que, paa altea o estado de movimento da bala, de velocidade constante v o = 500m/s paa v = 0, é necessáia a ação de uma foça. Essa foça é execida pela ávoe A sobe a bala B, que nós podemos esceve como F BA. O diagama de copo isolado da bala, ao peneta na ávoe, é mostado na Figua 3.5. Você pode calcula a aceleação média da bala, ao peneta x = 10cm na ávoe, com a igualdade a = v o / x. Logo, o esultado a que você deve chega é que ( 500m/s) 6 m a = = 1, ( 0, 1m) s Já que você sabe quanto vale a aceleação da bala ao se feada pela ávoe, é fácil enconta a foça média execida sobe a bala duante a penetação. Com a segunda lei de Newton, F BA = m a, você vai pode calcula que 6 4 F BA = ( 0, 0 kg)( 1, 5 10 m/s ) =, 5 10 N. CECIER J Extensão 117

119 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton 6. O sistema epesentado na Figua 3.6, que contém dois blocos de massas iguais a 100kg e 300kg, está em equilíbio. Detemine: a. as tensões T A no fio AB, T B no fio BC e T C no fio CD e b. o valo do ângulo θ. D A 10 0 B C 100kg 300kg Figua 3.6: O sistema mecânico consiste em dois blocos pesos às paedes po fios com massas despezíveis e inextensíveis. 118 CECIER J Extensão

120 RESPOSTAS COMENTADAS Como o sistema de blocos e fios está em equilíbio, as foças esultantes que atuam em cada um dos blocos e em cada um dos nós B e C devem se vetoes nulos. Você apendeu a segunda lei de Newton, que estabelece uma elação ente a foça esultante e a aceleação de um copo, ΣF = ma. Assim, o equilíbio (de foças) do sistema significa que a aceleação de cada copo deve se nula. Mais ainda, paa calcula a foça esultante, você vai usa o pincípio da supeposição das foças. Você deve sempe esboça um diagama, um paa cada bloco e cada nó, isolando-o e deteminando as foças atuantes. Na Figua 3.7, estão quato desses diagamas, onde você pode ve os blocos de massas 100Kg e 300Kg, e os nós B e C. a. Paa o bloco mais leve (m 1 = 100Kg) fica em equilíbio estático, é necessáio que a foça de tação no fio que liga esse bloco até o nó B, T 1 equilibe com a foça peso, P 1 = m 1 g (veja a Aula 4). Neste caso, com o pincípio de supeposição AULA 3 F = T1 + P1 = 0 T1 = P1, bloco1 T T C T 1 T A 100kg 300kg 30 0 T B T B C 60 0 P 1 P 1 P P Figua 3.7: Diagama das foças que atuam nos blocos isolados e nós B e C. você vai conclui que a foça de tação tem módulo igual ao peso, T 1 = P 1 = 980N, mas tem sentido paa cima. O mesmo aciocínio se aplica ao bloco de maio massa (m = 300Kg): a foça de tação no fio que liga o bloco até o nó C, T deve equiliba com a foça peso, P = m g. Como esultado do pincípio de supeposição, você vai enconta que: F = T + P = 0 T = P. bloco CECIER J Extensão 119

121 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Logo, você pode ve que a foça de tação tem módulo T = P = 940N e tem sentido paa cima. Agoa que você já sabe quais são os vetoes T e T, vamos discuti como obte os vetoes de tação T A, T B e T C. Veja na Figua 3.7 que as foças que atuam no nó B são as foças de tação T A, T B e T 1. Paa esta em equilíbio estático, a foça esultante no nó B deve se nula, F = T + T + T = pontob A B 1 0. Note que você pode usa o equilíbio do bloco 1, T 1 = P 1. Na equação acima, temos as componentes vetical e hoizontal da foça esultante. Não é difícil você obseva na Figua I que o ângulo ente o fio AB e a hoizontal vale 30 o. Assim, você pode esceve, espectivamente, as componentes hoizontal e vetical da foça esultante no nó B, o TB TA cos 30 = 0, o TAsen30 P1 = 0. (hoizontal) (vetical) Analise a segunda equação acima, aquela que coesponde ao equilíbio vetical das foças. A pati dessa equação, você vai consegui calcula a foça de tação T A no fio AB. Este veto tem uma dieção que faz 30 o com a hoizontal, sendo que o sentido está mostado na Figua 3.7. A intensidade da tação T A seá: P T = 1 = A P = N sen30 o. De imediato, com a equação de equilíbio hoizontal, você pode calcula quanto vale o módulo da foça de tação T B no fio BC, T B = T cos 30 o = 1697N. A A dieção da foça T B é hoizontal e aponta paa a dieita no ponto B. No nó C, as foças de tação são T B, T C e T. No equilíbio, a foça esultante neste nó deve se nula, F = TB + TC + T = 0. pontoc Note que você pode usa o equilíbio do bloco, T = P. Na equação acima, temos as componentes vetical e hoizontal da foça esultante. TC cos θ TB = 0, TC senθ P = CECIER J Extensão

122 O módulo da foça de tação T C, no fio CD, pode se calculado quando você eleva ao quadado e soma as equações de equilíbio acima, AULA 3 T = T + P = 3395N. C B Note que o esultado acima também pode se obtido quando você aplica o teoema de Pitágoas aos vetoes de foça que atuam no nó C da Figua 3.7. b. Paa calcula o ângulo ente o fio CD e a hoizontal, você divide a segunda equação de equilíbio do nó C pela pimeia. Dessa foma, você vai calcula a tangente do ângulo θ, Assim, a foça de tação T C tem uma dieção que faz um ângulo de 60 o com a hoizontal. O sentido dessa foça está mostado na Figua 3.7. P 940 tan θ = = = 1, 73 θ = 60 o T B 7. Uma coente fomada po cinco elos, com massa de 0,100Kg cada um, é levantada veticalmente com aceleação constante de,50m/s, como mostado na Figua 3.8. Detemine: a. as foças que atuam ente os elos adjacentes; b. a foça F execida sobe o elo supeio pela pessoa que levanta a coente e c. a foça esultante que acelea cada elo. F Figua 3.8: Ilustação da coente levantada veticalmente po uma foça F. CECIER J Extensão 11

123 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton RESPOSTAS COMENTADAS a. Vamos enumea os elos da coente de baixo paa cima: vamos chama o elo mais abaixo de elo 1, o elo logo acima deste de elo, e assim po diante, até o elo 5. Você deve te pecebido que a foça peso de cada elo é igual poque todos têm uma mesma massa, P = mg. A dieção da foça peso é vetical e está oientada paa baixo. Sempe é conveniente que você faça um diagama de copo isolado paa cada elo, mostando todos os vetoes de foça envolvidos na supeposição. Na Figua 3.9, é mostado o diagama das foças que atuam em cada um dos elos da coente. Você deve nota que as duas foças execidas sobe o elo 1 são: o peso P, paa baixo, e a foça F 1 do elo sobe o elo 1, paa cima. Vamos adota que a dieção paa cima é positiva. Quando você usa a segunda lei de Newton paa o elo 1, a equação em que você deve enconta é F 1 P = ma. A aceleação da coente é o veto de módulo a =,50m/s e com dieção vetical e sentido paa cima. Dessa foma, você vai calcula o valo da foça que o elo exece sobe o elo 1, 1 CECIER J Extensão

124 F = m( g + a) 1 = ( 0, 100)( 9, 8 +, 50) = 1, 3N. AULA 3 F F 45 F 34 F 3 F 1 P F 1 P P P P F 3 F 43 F 54 elo 1 elo elo 3 elo 4 elo 5 Figua 3.9: Diagama de copo isolado paa cada um dos cinco elos da coente. Você pode ve na Figua 3.9 que as tês foças execidas sobe o elo são: a foça peso P, a foça de eação F 1 = F 1, paa baixo, e a foça F 3 paa cima (do elo 3 sobe o elo ). Com a segunda lei de Newton, você pode mosta que a elação ente a aceleação da coente e a supeposição das foças descitas é dada po F 3 F 1 P = ma. Agoa você pode calcula o valo da foça que o elo 3 exece sobe o elo, F = m( g + a) + F 3 1 = ( 0, 100)( 9, 8 +, 50) + 1, 3=, 46N. Paa o elo 3, além da foça peso, as foças envolvidas na supeposição são: a foça de eação F 3 = F 3, paa baixo, e a foça F 34 paa cima (do elo 4 sobe o elo 3). Ao aplica a segunda lei de Newton, você vai calcula o valo da foça que o elo 4 exece sobe o elo 3. O esultado é o seguinte: F = m( g + a) + F 34 3 = ( 0, 100)( 9, 8 +, 50) +, 46= 3, 69N. CECIER J Extensão 13

125 Movimentos: Vaiações e Consevações As leis de Newton Veja na Figua 3.9 que as foças execidas no penúltimo elo são a foça peso, a foça de eação F 43 = F 34, paa baixo, e a foça F 45 paa cima (do elo 5 sobe o elo 4). A supeposição dessas tês foças esulta num veto aceleação a paa cima, F 45 F 43 P = ma, ou seja, F = m( g + a) + F = ( 0, 100)( 9, 8 +, 50) + 3, 69= 4, 9N. b. Finalmente, você pode ve na Figua 3.9 que as foças execidas sobe o último elo são a foça peso, a foça de eação F 54 = F 45 paa baixo, e a foça F, paa cima, da pessoa que levanta a coente. Como você pode ve, a segunda lei de Newton estabelece que a supeposição das foças que atuam no quinto elo deve esulta em uma aceleação constante, F F 54 P = ma, ou seja, F = m( g + a) + F 54 = ( 0, 100)( 9, 8 +, 50) + 4, 9 = 6, 15N. c. Como cada elo tem a mesma massa e a mesma aceleação, a foça esultante FR em cada um deles é igual. A foça FR é o veto cujo módulo vale F = R ma = ( 0, 100 )(, 50 ) =0, 5N, e que tem dieção vetical e sentido paa cima. R E S U M O Nesta aula, definimos o conceito de inécia e explicamos quais s o as condições necessáias paa que uma patícula se movimente. Também discutimos a definição de um efeencial inecial. Em seguida, definimos o conceito de massa inecial e enunciamos a segunda lei de Newton. Mostamos como identifica e decompo sobe um eixo de coodenadas catesiano as foças que atuam sobe um copo e explicamos como usa o pincípio da supeposição paa calcula a esultante das foças que atuam sobe uma patícula e a sua aceleação, caso exista. Finalmente, enunciamos a teceia lei de Newton e discutimos como as leis do movimento podem se usadas paa calcula a tajetóia, a velocidade e a aceleação de uma patícula. 14 CECIER J Extensão

126 As aplicações das Leis de Newton A U L A 4 Metas da aula Mosta algumas aplicações das Leis de Newton paa calcula a aceleação de patículas em situações físicas conhecidas, como a foça gavitacional, as foças de contato, o sistemas massa-mola e um sistema envolvendo o uso de oldanas; desceve o movimento cicula com aceleação constante. Texto adaptado po Calos Magno da Conceição, Lizado H. C. M. Nunes e Licinio Potugal das apostilas: - SOUZA, Calos Faina de; Pinto, Macus Venicius C.; Soaes Filho, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: deduzi a aceleação de copos em queda live, quando estão póximos à supefície da Tea; calcula a foça gavitacional execida po uma distibuição de patículas massivas sobe uma outa patícula; calcula a esultante das foças que atuam sobe uma patícula em situações simples, em que a foça de atito é popocional à foça nomal execida po uma supefície lisa; calcula o coeficiente elástico de uma mola usando a Lei de Hooke; calcula a foça necessáia paa equiliba uma massa ligada a um sistema de oldanas ideais; calcula a velocidade de um copo em tajetóia cicula quando conhecemos o valo da aceleação centípeta e sua massa. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 3 As Leis de Newton.

127 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton LEI DA GRAVITAÇÃO Foças gavitacionais são as foças decoentes da Lei da Gavitação Univesal, de Newton. São essas foças que os copos sofem e execem exclusivamente pelo fato de teem massa. Examinemos agoa algumas situações mais comuns em que encontamos essas foças. Consideemos, pimeiamente, o caso da foça gavitacional sofida po uma patícula de massa m e veto-posição.! Em nosso cuso, um veto podeá se denotado po uma única leta em negito, po exemplo, a, ou podeá também se epesentado pela conhecida notação: a. Já o módulo de um veto a seá denotado po a ou a. Também podeemos epesentá-lo abolindo o negito da leta, ou seja, simplesmente po a. Como você já deve sabe, a foça gavitacional execida sobe ela po uma única patícula de massa m 1 e veto-posição 1 é dada po F = G mm 1 (4.1) onde G é uma constante univesal. No caso da atação gavitacional de um planeta pelo Sol, tanto o planeta como o Sol podem se consideados patículas. Assim, a expessão anteio dá a foça sobe o planeta execida pelo Sol, se consideamos m e como a massa e o veto-posição do planeta, espectivamente, e m 1 e 1 como a massa e o veto-posição do Sol, espectivamente. Sabemos que, nesse caso, podemos usa um efeencial inecial no qual o Sol está fixo e, além disso, escolhe a oigem do sistema de eixos no pópio Sol. Com essas escolhas, o Sol pemanece em epouso na oigem e, conseqüentemente, temos sempe 1 = 0. A fómula da foça gavitacional dada pela Equação (4.1) assume, nesse caso, a foma mais simples F G mm s = (4.) onde mudamos o símbolo da massa do Sol de m 1 paa m S CECIER J Extensão

128 Consideemos agoa o caso em que a patícula sofe foças gavitacionais execidas po N patículas, de massas m 1, m,, m N, e suas espectivas posições. Pelo Pincípio da Supeposição, a foça gavitacional total sobe a patícula é AULA 4 F = G mm 1 1 G mm N N N N. (4.3) Quando há muitas patículas execendo foças, essa soma vetoial pode se muito complicada. Existe uma situação, entetanto, em que há um númeo enome de patículas, e o esultado da soma paece se milagosamente simples. É quando as patículas, que execem as foças gavitacionais fomam uma esfea homogênea. A Figua 4.1 mosta uma tal esfea de massa M, aio R e cento em um ponto C, cujo vetoposição chamamos c F m C C R z C O y x Figua 4.1: Uma esfea homogênea de aio R e cento em C atai gavitacionalmente uma patícula de massa m posicionada em fente à esfea. CECIER J Extensão 17

129 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Em fente à esfea há uma patícula de massa m e veto-posição. A esfea está toda cheia com a massa M, distibuída de foma homogênea, isto é, qualque pate da esfea tem a mesma densidade de massa. Podemos imagina essa esfea como um conjunto de pedacinhos bastante pequenos paa seem consideados patículas. Vamos chama N o númeo de pedacinhos, m 1, m,, m N suas massas e suas espectivas posições (é clao que m 1 + m + + mn = M). Podemos, então, usa a Equação (4.3) paa expessa a foça total sobe a patícula que está em, execida pelos N pedacinhos da esfea. Se o cálculo fo feito com pecisão, obtém-se o esultado: as foças gavitacionais, execidas pelos divesos pedacinhos, combinam-se de modo a poduzi a foça total (4.4) que é, de fato, o esultado mais simples que se podeia espea. Compaando esse esultado com a foça gavitacional vista na Equação (4.1) execida po uma única patícula, somos levados a conclui que a foça execida pela esfea é exatamente a que seia execida po uma única patícula, cuja massa é igual à massa M da esfea e cuja posição é a do seu cento C. F = G Mm c C C! Temos, então, que: A foça gavitacional que uma esfea homogênea exece sobe uma patícula situada foa dela é a mesma que seia execida se toda a massa da esfea se localizasse em seu cento. Note que, de acodo com esse esultado, a foça de atação execida pela esfea aponta paa o cento da esfea, e o módulo da foça é popocional ao inveso do quadado da distância ente o cento da esfea e a patícula que sofe a foça. A atação gavitacional execida po uma esfea homogênea tona-se impotante quando aplicada ao caso da atação gavitacional teeste sobe os copos. De fato, a Tea pode, em boa apoximação, se consideada como uma esfea homogênea de massa. Podemos, então, obte a foça gavitacional que a Tea exece sobe uma patícula foa dela, aplicando a Equação (4.4) na qual no luga de M colocamos a massa M T da Tea, e consideamos c como o veto-posição de seu cento. 18 CECIER J Extensão

130 Além disso, como discutido anteiomente, a Tea pode se consideada como um efeencial inecial paa uma gande vaiedade de poblemas. Vamos supo essa situação e usa um sistema de eixos com oigem no cento da Tea. Nesse caso, temos que c = 0 e a Equação (4.1) assume a foma simples F G mm T = ( RT ), (4.5) AULA 4 onde R T é o aio médio da Tea, e a essalva visa lemba que a fómula é válida apenas no caso em que a patícula ataída pela Tea está foa dela, isto é, acima ou sobe a supefície da Tea. Vamos usa as convenções comuns de que o módulo do é epesentado simplesmente po e o unitáio / é notação epesentado po ˆ. Com isso, a Equação (4.5) toma a foma F G mm T = R ˆ ( T ) (4.6) A Figua 4. é uma ilustação da Tea e de uma patícula de massa m a uma ceta altua da supefície da Tea. m Tea F Cento Figua 4.: Uma patícula de massa m acima da supefície da Tea, a uma distância do seu cento. CECIER J Extensão 19

131 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Uma vez que a oigem do sistema de eixos está no cento da Tea, o veto posição da patícula vai do cento da Tea até a patícula. A distância da patícula ao cento da Tea é o módulo de seu vetoposição. O veto unitáio ˆ aponta no sentido do cento da Tea paa o ponto onde está a patícula. O veto unitáio ˆ foi desenhado na figua com oigem no cento da Tea, tal como o pópio veto-posição que lhe deu oigem. A foça gavitacional F da Tea sobe a patícula, dada pela Equação (4.6), foi desenhada com ponto de aplicação na patícula, como é habitual. Como os tês vetoes, ˆ e F estão sobepostos em uma mesma eta, usamos um expediente paa identifica os tês vetoes sem confusão: pusemos os símbolos desses vetoes póximos às suas espectivas extemidades finais. Note que a pesença do sinal negativo na Equação (4.6) faz com que F e ˆ tenham sinais opostos, como se faz necessáio, uma vez que a foça gavitacional atai a patícula paa o cento da Tea. Agoa queemos considea a situação na qual a patícula ataída gavitacionalmente pela Tea está bem póxima da sua supefície, de tal modo que possamos considea a distância ente ela e o cento da Tea apoximadamente igual ao aio da Tea (mais pecisamente, ligeiamente maio). Nesse caso, a foça gavitacional execida pela Tea sobe a patícula costuma se chamada peso da patícula e se simbolizada po P. Paa obte o valo apoximado do peso da patícula, fazemos, então, = R T na Equação (4.6), que dá a foça gavitacional teeste sobe a patícula, e tocamos o símbolo da foça de F paa P, paa segui a notação que adotamos paa a foça-peso. Obtemos P G mm T = ˆ (4.7) É conveniente nessa equação sepaa m dos demais fatoes, de modo a temos P = m G M T ˆ (4.8) A quantidade em fente à massa costuma se epesentada po g, g G M T = ˆ (4.9) 130 CECIER J Extensão

132 de modo que o peso da patícula, dado pela Equação (4.8), pode se escito na foma P = mg (4.10) AULA 4 Usando os valoes da constante univesal da gavitação G, da massa da Tea M T e de seu aio R T, obtemos N g = 9, 8 Kg (4.11) Potanto, o veto g tem módulo igual a 9,8 em unidades de newtons po quilogama, sua dieção e sentido são a dieção e contáio ao sentido do veto unitáio. Obviamente, a dieção desse veto é a da eta que une o ponto em que está a patícula ao cento da Tea, e seu sentido aponta paa esse cento. Paa quem está na supefície da Tea (ou póximo dela), a supefície paece plana, a dieção de g é vetical e seu sentido é de cima paa baixo. Esse ponto de vista, isto é, de quem está póximo à supefície da Tea, está ilustado na Figua 4.3 a segui. m g P = mg Tea Figua 4.3: A figua mosta g e o peso P = mg de uma patícula de massa m. Esses vetoes apontam paa o cento da Tea, isto é, têm dieção vetical e sentido paa baixo. CECIER J Extensão 131

133 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton! Você deve te notado que até o momento não demos um nome paa o veto g, que talvez você já conheça pelo nome de aceleação da gavidade. Continuaemos a usa esse nome paa g, poque já é po demais comum, mas fomos eticentes em adotá-lo, poque ele exige ceto cuidado. Isto poque apenas em uma situação é a aceleação da patícula. É quando a foça total execida sobe a patícula é o seu peso. Nesse caso, a Segunda Lei de Newton, aplicada à patícula, toma a foma ma = P. Substituindo a Equação (4.10) na equação anteio, que dá o peso em função do veto g, obtemos: ma = mg. Simplificando a massa em ambos os lados dessa equação, vemos que a aceleação da patícula, nesse caso, é igual ao veto constante g, isto é, a = g. Se, além do peso, houve outas foças que contibuam paa a foça total sobe a patícula, a sua aceleação não seá igual ao veto g. Po exemplo, você pode pô uma bolinha de chumbo de massa m sobe o chão, e a bolinha fica em epouso. Nesse caso, tanto a velocidade da bolinha quanto sua aceleação são iguais a zeo. O peso da bolinha continua a se igual à massa m multiplicada pelo veto g, de módulo 9,8 N/Kg, ao passo que não é a aceleação da bolinha, que, no caso, é nula: a = 0. Note que a unidade natual paa o módulo de g é N/Kg, pois esse módulo é dado pela Equação (4.10) da qual obtemos g = P/m. Sendo o peso uma foça, a unidade de seu módulo é o newton. Como a unidade de massa é o quilogama, a unidade de g é o newton po quilogama. Acontece que o newton é igual a kilogama vezes meto po segundo ao quadado, de modo que temos N/Kg = m/s. Desse modo, tanto faz esceve g = 9,8N/Kg como g = 9,8m/s. Contudo, ao esceve g = 9,8 m/s, você Podemos conclui, em esumo: O peso de uma patícula de massa m é uma foça igual ao poduto de sua massa pela chamada aceleação gavitacional, que é um veto de dieção vetical e sentido paa baixo. Paa patículas póximas à supefície teeste, o módulo de g é apoximadamente: g = 9,8m/s (4.1) Se a foça total que age sobe a patícula é apenas o peso, então a aceleação da patícula é igual à aceleação gavitacional. deve te em mente que nem sempe esse é o valo da aceleação da patícula. Esse é sempe o valo pelo qual devemos multiplica a massa da patícula paa obte o módulo do seu peso. 13 CECIER J Extensão

134 Finalmente, consideemos a situação em que temos um sistema de patículas, isto é, um copo, nas poximidades da supefície teeste. Digamos que o copo seja constituído pelas patículas de massas m 1, m,, m N. Sobe cada uma dessas patículas age uma foça-peso, execida pela Tea. Esses pesos são dados, espectivamente, po P1 = m1g, P = mg, L, PN = mn g P = m g, P = m g, L, P = m g.a soma vetoial desses pesos é a foça gavitacional 1 1 N N total que a Tea exece sobe o copo. Vamos chama essa foça de peso do copo e epesentá-la po P. Desse modo, o peso do copo é dado po: P = P P L P N = m1g + mg + L + mn g = m + m + + m g, ( ) 1 L N (4.13) AULA 4 isto é, P = Mg, (4.14) onde M é a massa total do copo.! Temos, então: o peso de um copo póximo à supefície teeste é a foça gavitacional total que a Tea exece sobe ele e é igual ao poduto da massa do copo pela aceleação gavitacional g. Na vedade, a foça-peso é aquela com a qual temos mais familiaidade, pois sentimos essa foça em nós mesmos, na expeiência ininteupta de estamos sendo ataídos paa baixo, paa o cento da Tea. Po isso, nosso vocabuláio coloquial está cheio de expessões que se efeem à foça-peso. Fala-se sobe o peso de um objeto paa se efei ao que sabemos se o módulo da foça-peso que a Tea exece sobe ele. Diz-se que um objeto é mais pesado do que outo paa significa que seu peso é maio do que o do outo; nesse caso, também se diz que o peso de um copo é popocional à sua massa. Um copo é tanto mais pesado que outo quanto maio fo a azão ente a massa dele e a do outo. Essa popocionalidade dá oigem a cetos eos conceituais, como expessa o peso de um objeto em quilogamas. Sendo peso uma CECIER J Extensão 133

135 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton foça, sua unidade é o newton e não o quilogama, que é a unidade de massa. A cada quilogama de massa de um copo coesponde um peso de 1Kg x 9,8m/s = 9,8N. Finalmente, notemos que os copos obsevados em nossa expeiência diáia também execem foças gavitacionais uns sobe os outos, pois eles têm massas. Acontece que essas foças são nomalmente impeceptíveis. De fato, não pecebemos foças de atação gavitacionais ente mesas e cadeias ou ente pessoas, po exemplo. Mesmo póximos a uma enome montanha, não sentimos sua foça gavitacional. O motivo de não pecebemos foças gavitacionais ente esses copos é que tais foças são absolutamente despezíveis à foça gavitacional da Tea. A montanha exece uma foça gavitacional sobe um copo póximo e essa foça pode se medida. Acontece que a Tea também exece uma foça gavitacional sobe o copo, que é o seu peso. Ao adicionamos vetoialmente essas duas foças, o esultado obtido não é suficiente paa se distinguido do pópio peso do copo, pois diante dele a foça gavitacional da montanha é totalmente despezível. Natualmente, isso ocoe poque a massa da montanha é despezível em elação à massa da Tea. ATIVIDADES 1. Tês bolas de futebol, com 0,450Kg de massa cada uma, foam colocadas sobe um gamado nos vétices de um tiângulo etângulo, como está mostado na Figua 4.4. Calcule o veto de foça gavitacional esultante execida. a. sobe a bola A, b. sobe a bola B e c. sobe a bola C. 134 CECIER J Extensão

136 C AULA m 0.400m y x A 0.300m B Figua 4.4: A localização das bolas de futebol A, B e C sobe um gamado. RESPOSTAS COMENTADAS Pimeio você deve calcula sepaadamente as foças individuais que atuam sobe cada umas das tês bolas. Em seguida, paa detemina a foça esultante execida sobe as bolas de futebol A, B e C, você calcula a soma vetoial das duas foças execidas em cada bola. Vamos usa o valo da massa m = 0,450Kg e da constante gavitacional, G = 6, Nm /Kg. CECIER J Extensão 135

137 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton a. Na Figua 4.4 você pode ve que a distância ente a bola A e a B é dada po AB = 0,300m. A foça de atação gavitacional, F AB, que a bola B exece sobe a A, tem a dieção do eixo +x. Com a Lei da Gavitação Univesal, você pode esceve que Gm FAB = FBA = ux. O esultado que você deve enconta paa a foça de atação gavitacional ente as bolas A e B é o seguinte: 11 ( 6, Nm /Kg )( 0, 450Kg) F = F = u ( 0, 300m) AB BA x A distância ente a bola A e a C vale AC = 0,400m. Veja a Figua 4.4 e obseve que a foça de atação gavitacional F AC, execida pela bola C sobe a A, tem a dieção do eixo +y. Dessa maneia, você pode mosta que foça gavitacional em questão é Ao substitui a distância AC e a massa m na fómula acima, você vai enconta que a foça de atação gavitacional ente as bolas A e C vale AB = ( 1, N). u x Gm FAC = FCA = u y. AC 11 ( 6, Nm /Kg )( 0, 450Kg) F = F = u ( 0, 400m) AC CA y = ( 8, N). u y Agoa, você já sabe quanto valem as foças F AB e F AC. Paa enconta a foça esultante sobe a bola de futebol A, basta que você calcule a soma vetoial dessas foças, F A = F AB + F AC. O esultado da soma vetoial que você tem que calcula é F A = N) u x N) u y (, (,. A dieção do veto F A faz um ângulo de 9,4 o, no sentido anti-hoáio, com o eixo + x. b. Veja na Figua 4.4 que a distância ente a bola B e a C é dada po BC = 0,500m. Como você apendeu na discussão da aula, a foça de atação gavitacional deve esta sobe o segmento de eta que une as bolas B e C. Assim, você pecisa pecebe que a foça F BC, execida pela bola C sobe a bola B, tem uma dieção que faz um ângulo de 53,1 o, no sentido hoáio, com o eixo x. A pati disso, você vai consegui calcula as componentes x e y do veto F BC, Gm 3 4 FBC = FCB = ux + uy. 5 5 BC 136 CECIER J Extensão

138 Com os valoes de BC e m, você pode calcula a foça de atação gavitacional ente as bolas A e C, AULA 4 F ( 6, Nm /Kg )( 0, 450Kg) = F = ( 0, 500m) u + u 5 5, BC CB x y ou seja, F = F = ( 3, 4u + 4, 3 u ) N. BC CB x y A soma vetoial das foças gavitacionais execidas sobe a bola de futebol B, F B = F BA + F BC, é a foça esultante FB = ( 18, 4ux + 8, 44uy ) N O veto F B tem uma dieção que faz um ângulo de 4,6 o, no sentido hoáio, com o eixo x. c. Paa detemina a foça gavitacional esultante sobe a bola C, você deve calcula a soma vetoial F C = F CA + F CB. O esultado desta soma é o seguinte: F = ( 3, 4u 1, 8u ) N. C x y A dieção do veto F C faz um ângulo de 75,8 o, no sentido hoáio, com o eixo x.. Uma esfea sólida, com 500Kg de massa distibuída unifomemente, tem um aio igual a 0,400m. Calcule a foça gavitacional execida pela esfea em uma patícula cuja massa vale 50,0g, localizada. a. em um ponto a 1,50m do cento da esfea; b. na supefície da esfea; c. em um ponto a 0,00m do cento da esfea; d. Faça um gáfico da magnitude da foça gavitacional execida pela esfea como função da distância ente a patícula e o cento da esfea. CECIER J Extensão 137

139 0.m 0.4m 1.5m Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton RESPOSTAS COMENTADAS Vamos usa o eixo adial que está mostado na Figua 4.5. Você pode ve nesta figua as tês localizações da patícula, a uma distância de 0,00m, 0,400m e 1,50m do cento da esfea. Figua 4.5: Ilustação da esfea sólida e as tês localizações da patícula no eixo adial. Você apendeu com a Lei da Gavitação Univesal que a foça de atação gavitacional ente dois copos é dada pela fómula F = GmM ˆ ( R = 0, 400m). Vamos usa os valoes das massas M = 500Kg e m = 50g = 0,05Kg. Vamos pecisa também do valo da constante gavitacional, G = 6, N m /Kg. a. Paa uma patícula localizada a uma distância de = 1,50m do cento da esfea, você pode calcula qual é a foça F que a esfea exece sobe a patícula de massa m = 0,05Kg. ( )( )( ) ( ) 11 6, Nm / Kg 500Kg 0, 05Kg F = ^ 1, 50m O esultado que você deve enconta paa a foça de atação gavitacional é o seguinte: F = ( 7, N) ^. b. Quando a patícula está localizada na supefície da esfea, a distância que você tem que usa é igual ao aio da esfea, = R = 0,400m. Assim, você vai calcula a foça F que a esfea exece sobe a patícula na supefície da esfea, ( )( )( ) ( ) 11 6, Nm / Kg 500Kg 0, 05Kg F = ^ 0, 400m 138 CECIER J Extensão

140 Logo, a foça é dada po F = ( 1, N) ^. AULA 4 c. Agoa você deve considea que a patícula está localizada em um ponto inteno à esfea ( < R = 0,400m). Neste caso, é necessáio imagina que a esfea é constituída po camadas esféicas concênticas, como, po exemplo, as cascas de uma cebola. As camadas esféicas concênticas de aio > R = 0,400m não execem nenhuma foça sobe a patícula enquanto que as demais camadas, de aio < R = 0,400m, atuam como se sua massa estivesse concentada no cento. Assim, a foça F que a esfea exece sobe a patícula é a foça esultante das camadas intenas, GmM F = ˆ ( R = m), onde M' é a massa total contida dento de um esfea de aio. Paa uma esfea homogênea, a massa é calculada a pati da fómula: R M = 3 4π ρ. 3 A elação paa a massa de esfea detemina que a densidade vale ρ = 3M/ 4πR 3. Uma esfea de aio de densidade ρ tem uma massa M, dada pela igualdade M = 3 M 3. 4π ρ = 3 3 R Note que, quando = R = 0,400m, ecupeamos a massa de toda a esfea, M'= M = 500Kg. A foça de atação gavitacional F que a esfea exece sobe a patícula, localizada em um ponto inteno à esfea, é dada po F = GmM ˆ ( R = 0, 400m). 3 R Você vai calcula a foça F que a esfea exece sobe a patícula em um ponto inteno da esfea, 11 ( 6, Nm / Kg )( 500Kg)( 0, 05Kg )( 0, 00m) F = ^ 3 ( 0, 400m) Potanto, a foça que você tem que calcula é de ( ) F = 5, N d. Paa faze o gáfico que coesponde à foça gavitacional como função da distância ao cento da esfea, você teá que usa as fómulas paa a foça dento e foa da esfea. O compotamento da foça F paa um ponto inteno da esfea é linea, isto é, o gáfico é uma equação da eta paa < 0,400m. Po outo lado, paa > 0,400m, o módulo da foça diminui com o inveso da potência dois da distância, ~1/. Você pode ve na Figua 4.6 um esboço deste gáfico. CECIER J Extensão 139

141 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton F(N) -7, ,00 0,400 1,50 (m) -5, , Figua 4.6: Gáfico da foça gavitacional como função da distância ao cento da esfea. FORÇAS DE CONTATO E FORÇAS DE ATRITO A foça gavitacional ente dois copos existe mesmo quando eles não estão em contato. De fato, é clao que não há contato ente o Sol e a Tea e, ainda assim, o Sol exece uma foça gavitacional sobe a Tea. O peso com que a Tea nos atai existe independentemente de estamos em contato com ela; é óbvio que a foça-peso que age sobe nós continua a existi quando pulamos! Em contapatida, há foças que ocoem apenas quando os copos entam em contato. Uma mola pecisa esta em contato com outo copo paa exece foça sobe ele, de modo que a foça dela é um exemplo de foça de contato. Paa que a foça com a qual empuamos uma mesa apaeça, é necessáio que entemos em contato com ela. A fim de que o cabo de um guincho puxe um automóvel, é necessáio que o cabo fique amaado a ele. De um modo geal, os copos sólidos execem foças de contato uns sobe os outos. Na vedade, são as foças de contato o que mais feqüentemente notamos no dia-a-dia. Potanto, as foças que equeem contato paa seem execidas são as foças de contato, e as demais são as foças a distância. 140 CECIER J Extensão

142 Vamos começa consideando dois copos em contato, como mosta a Figua 4.7.a. Paa simplifica, considee que haja apenas um ponto de contato ente as suas supefícies, que chamaemos de ponto P. (A nossa análise podeia se estendida com facilidade às situações em que há váios pontos de contato, mas isso não é necessáio). Se chamamos de F AB a foça de contato sobe o copo A execida pelo copo B, pela Teceia Lei de Newton, o copo B sofe uma eação a essa foça, que denotamos po F BA. Natualmente, é a foça de contato sobe o copo B execida pelo copo A. Dizemos que F BA e F BA são foças de inteação po contato ente os copos A e B. F AB AULA 4 a A Π P B F BA N AB A f AB b Π P B Figua 4.7: Dois copos sólidos em contato. Fixemos nossa atenção na foça de contato F AB. Vamos considea apenas copos cujas supefícies tenham fomas suaves. Paa elas, podemos considea o plano tangente a ambas as supefícies no ponto de contato. Denotamos po P o ponto de contato e po o plano tangente, confome indicado na Figua 4.7, podemos decompo a foça CECIER J Extensão 141

143 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton F AB em duas componentes bem deteminadas: uma componente nomal ao plano tangente, denotada po N AB, e uma componente paalela ao plano tangente, denotada po f AB. Temos, então, FAB = NAB + fab (4.15) onde N AB e f AB são univocamente deteminadas po e pelo plano tan-gente no ponto de contato, como indicado na Figua 4.7.b. A foça N AB é chamada foça nomal sobe o copo A execida pelo copo B, no ponto de contato P. A foça f AB é chamada foça tangencial ou foça de atito sobe o copo A execida pelo copo B, no ponto de contato P. Tanto a foça nomal quanto a foça de atito são foças de contato. É comum dize que as foças de contato ente os copos são foças de contato ente as suas supefícies. Considee agoa um bloco de massa m em epouso sobe uma mesa hoizontal, como indicado na Figua 4.8.a. Os copos vizinhos ao bloco são a Tea, que o atai veticalmente paa baixo, e a mesa, que o impede de cai sob essa atação. A Tea exece sobe o bloco a foçapeso, P = mg, e a mesa exece sobe o bloco uma foça que chamaemos de F BM. Obviamente, é necessáio que exista essa foça, pois, se houvesse apenas o peso, o bloco estaia caindo com aceleação igual a g. É fácil veifica que a foça F BM somente existe enquanto há contato ente o bloco e a mesa. Potanto, F BM é uma foça de contato. Estando o bloco em epouso, sua aceleação é nula. Conseqüentemente, pela Segunda Lei de Newton, obtemos: P + = 0, isto é, F = P. Desse modo, F BM a foça de contato sobe o bloco, execida pela mesa, é igual a menos o peso do bloco. Dizemos que a foça F BM impede que o peso faça o bloco peneta na mesa. Note que, emboa F BM e P + tenham = 0 o mesmo módulo, a mesma dieção e sentidos opostos, essas foças não fomam BM F BM um pa de ação e eação, como você já deve se capaz de explica. Suponha agoa que a mesa esteja levemente inclinada, como na Figua 4.8.b e que o bloco pemaneça em epouso. Novamente, a foça de contato F BM sobe o bloco, execida pela mesa, continua a se igual a menos o peso do bloco. Note que F BM pode se decomposta em duas componentes vetoiais bem deteminadas: uma componente F = BM N + f, paalela à supefície da mesa, e uma componente N AB, nomal à supefície da mesa, de modo que F N + f. A Figua 4.8.c mosta BM = 14 CECIER J Extensão

144 essas componentes, a paalela e a nomal, da foça que a mesa exece no bloco. A componente N AB nomal impede que o bloco penete na mesa, e a componente paalela impede que ele escoegue sobe a supefície da mesma mesa. A componente N AB é chamada de foça nomal que a mesa exece sobe o bloco, e a componente F = N + f é chamada de foça de atito que BM a mesa exece sobe o bloco. Ambas são foças de contato. Natualmente, quando a mesa não está inclinada, a mesa exece apenas uma foça nomal sobe o bloco, como mostado na Figua 4.8.a. AULA 4 F BM FBM N AB F N f BM = + P + = 0 F BM P + = 0 F BM P + = 0 F BM a b c Figua 4.8: Bloco em epouso sobe: (a) a supefície hoizontal de uma mesa e (b) a supefície inclinada de uma mesa. As foças P e F BM que atuam sobe o bloco estão indicadas. (c) As componentes de F BM estão indicadas, F = N AB e + BM f. A foça de atito ente sólidos é uma das mais complicadas que obsevamos na natueza. Dento da concepção da mecânica newtoniana, ela é uma função das posições e velocidades das patículas dos copos em contato. Mas a tentativa de descobi essa função-foça nos obiga a considea que tais patículas são as moléculas dos copos na egião de contato. Acontece que o númeo de moléculas nos copos que nos cecam é enome e, além disso, a mecânica newtoniana não é suficiente paa descevê-las. Como conseqüência, as popiedades do atito podem se muito complicadas e difíceis de desceve. Po outo lado, existem algumas leis de atito simples, que são válidas apenas de modo apoximado e exclusivamente paa copos sólidos com supefícies secas e de fomatos suaves. Os casos mais feqüentes ocoem quando há contato ente duas supefícies planas, CECIER J Extensão 143

145 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton como o caso de um bloco sobe um plano inclinado. Paa enuncia essas tais leis de atito, devemos, em pimeio luga, tona peciso o conceito de deslizamento ente copos em contato. A a V ab Π f b B Figua 4.9: Deslizamento ente as supefícies dos copos A e B. Fonte: Figua 18.1 da apostila Física 1A volume p. 157 do PDF Considee a Figua 4.9, em que há o deslizamento ente os copos A e B. A foça de atito ente as supefícies, quando há deslizamento ente elas, é chamada foça de atito cinético. Assim, seja a foça de atito F cinético = N + f execida no copo A pelo copo B. Po definição, ela está no BM plano tangente. Definimos o módulo de f como sendo popocional ao módulo da foça nomal N AB, que é execida sobe o copo A pelo copo B. A constante de popocionalidade é chamada de coeficiente de atito cinético e é uma caacteística dos copos em contato. Se denotamos esse coeficiente po µ c, temos, então, f = µ N AB c AB, paa o atito estático (4.16) 144 CECIER J Extensão

146 Uma vaiedade de expeimentos mosta F que BM = N + f tem a mesma dieção e sentido oposto ao da velocidade elativa V AB. O fato de que a foça de atito cinético tem sentido oposto ao veto velocidade elativa significa que o atito cinético sempe se opõe ao movimento elativo ente as supefícies em contato, isto é, ao deslizamento ente elas. Considee agoa os pontos de contato a e b ente os copos A e B, como mosta a Figua 4.9. Suponha agoa que eles pemaneçam em contato duante ceto intevalo de tempo. Temos então que, duante esse intevalo, a velocidade elativa V AB = 0 ; ou seja, não há deslizamento ente as supefícies, visto que pemanecem em contato. Nesse caso, a foça de atito ente as supefícies é chamada de foça de atito estático. Considee a foça de atito F estático = N + f execida no copo A pelo BM copo B. Po definição, ela está no plano tangente. Entetanto, o seu módulo, a sua dieção e o seu sentido dependem das outas foças do poblema e dos pováveis movimentos elativos ente a supefícies dos copos em contato. A foça de atito estático não é conhecida de antemão e é deteminada ao se soluciona o poblema em consideação. A única coisa que sabemos de antemão é o valo máximo que o módulo da foça de atito estático pode te. Definimos esse valo máximo como sendo popocional ao módulo da foça nomal, N AB. A constante de popocionalidade é chamada coeficiente de atito estático e é uma caacteística dos copos em contato. Repesentando esse coeficiente po µ e, temos AULA 4 f µ N AB, paa o atito estático. (4.17) A foça de atito estático cumpe o papel de impedi o deslizamento ente as supefícies. É óbvio que essa foça não existiia numa situação em que, paa impedi o deslizamento, seu módulo tivesse um valo maio do que o seu máximo. Nesse caso, o deslizamento de fato ocoe e a foça de atito que existe é a foça de atito cinético. Existem supefícies ente as quais podemos despeza a foça de atito com boa apoximação. Descevemos essas supefícies de foma idealizada, dizendo que não há foças de atito ente elas. Uma supefície que nunca exece foças de atito em contato com outas é comumente chamada de supefície pefeitamente lisa. Po definição, uma supefície pefeitamente lisa só pode exece foças de contato nomais. Emboa CECIER J Extensão 145

147 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton o conceito de uma supefície pefeitamente lisa seja uma idealização, ele é útil, pois existem muitos poblemas nos quais as supefícies envolvidas execem atitos tão pequenos que podem se despezados. ATIVIDADE 3. Um bloco com uma massa de,0kg é pojetado paa cima de um plano inclinado de 45 o, com uma velocidade inicial de 18m/s. O coeficiente de atito cinético ente o bloco e o plano é 0,30. a. Ache a foça nomal e a foça de atito aplicada ao bloco enquanto ele sobe. b. Duante quanto tempo o bloco se mantém subindo no plano? c. Que distância o copo atinge, subindo o plano? d. Quanto tempo leva paa o bloco escoega da posição atingida em (c) até seu ponto de patida? e. Com que velocidade ele chega a esse ponto? RESPOSTAS COMENTADAS Vamos usa o eixo x paalelo ao plano inclinado, ou seja, está inclinado 45 o em elação a hoizontal. Duante a subida e a descida, as foças execidas no bloco são a foça peso P, a foça de atito f e a foça nomal N. Na Figua 4.10 é mostado o diagama de copo isolado do bloco. Note que na subida a foça de atito aponta na dieção do eixo x e na descida a foça de atito aponta na dieção do eixo +x, ou seja, a foça de atito sempe tem sentido contáio à dieção do movimento. 146 CECIER J Extensão

148 y N Movimento x y N x AULA 4 f f a a P x 45 0 P x P y 45 0 P y 45 0 P a 45 0 P b Figua 4.10: Diagama de copo isolado do bloco (a) na subida e (b) na descida. O veto aceleação do bloco, na subida e na descida, tem o sentido do eixo x. Contudo, o módulo deste veto é maio na subida do que na descida, como você pode ve na Figua a. Neste item vamos investiga a subida do bloco no plano inclinado. Veja na Figua 4.10 que o ângulo ente o veto P e o eixo y vale 45 o. A pati disto, você pode calcula as componentes P x = P sen45 o e P y = P cos45 o. O módulo do veto P vale P = mg 0N. Escita em temos dos vetoes unitáios, a foça-peso é dada po P = 14u 14u x y. A foça nomal que o plano inclinado exece sobe o bloco, tanto na subida quanto na descida, aponta na dieção do eixo +y. Com o veto unitáio u y, você pode esceve que a foça nomal N é dada po N = Nu y. Duante toda a subida do bloco, a foça de atito f que o plano exece sobe o bloco é popocional ao módulo da foça nomal N. A constante de popocionalidade é dada pelo coeficiente de atito µ = 0,3; sendo assim, você vai esceve esta foça da seguinte maneia: f = µnu x. Convém lemba que a foça de atito é uma foça tangente ao plano, e po isso tem a dieção do veto unitáio u x. CECIER J Extensão 147

149 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton A foça esultante que atua sobe o bloco é dada pela soma vetoial das foças f, P e N. Você apendeu a Segunda Lei de Newton, que estabelece a elação ente a foça esultante execida sobe o bloco e a sua aceleação, A igualdade acima é equivalente a duas igualdades escalaes, uma paa a foça esultante em x e outa paa a foça esultante em y. Quando você esceve as equações que coespondem às componentes x e y, você deve enconta Nesse momento vamos considea que a componente y do veto aceleação é nula, poque o movimento do bloco ocoe somente na dieção x. Dessa foma, a componente y da foça esultante tem que se equiliba, ou seja, Sabendo quanto vale o módulo da foça nomal, você pode calcula quanto vale a foça de atito, f + P + N = m a. f Px = max, N Py = may = 0. N = Py = P cos 45 o = 14N. f = µ N = 0, 3( 14N) = 4, N. b. Agoa que você já sabe quanto vale a foça nomal N e a foça de atito f, pode calcula o veto aceleação do bloco. Lembe-se de que este veto tem somente a componente x difeente de zeo, isto é, a = a x u x. Você usou a Segunda Lei de Newton paa a componente x da foça esultante. A pati desta equação, você pode calcula a aceleação, a x ( f + Px ) ( 4, + 14) N = = = 9, 0m/s. m ( Kg) O tempo que o bloco leva até paa, v = 0, sendo que inicialmente estava se movendo com uma velocidade v 0 = (m/s) u x, é calculado com a fómula do MRUV, v(t) = v 0 + at. Potanto, você pode facilmente calcula o tempo de subida, v v0 ( 18m/s) t = = = s. ( 9, 0m/s ) a x c. Paa calcula a distância com que o bloco sobe, você deve usa a função hoáia de um MRUV paa o movimento do bloco ao longo do eixo x. x( t) = ( 18m/s) t ( 4, 5m/s ) t. 148 CECIER J Extensão

150 Paa t = s, o bloco páa a uma distância do seu ponto de patida, que vale x( t) = ( 18m/s)( s) ( 4, 5m/s )( s) = 18m. AULA 4 d. Veja na Figua 4.10 que na descida do bloco somente a foça de atito é alteada, ou seja, muda de sentido, Isso ocoe poque a foça de atito é contáia ao sentido do movimento do bloco. A pati da Segunda Lei de Newton, você pode calcula a aceleação do bloco, que neste caso vale a x f = u = 4, Nu. µn x x f Px ( 4, 14) N = = = 4, 9m/s. m ( Kg) O bloco pate do ponto onde paou na subida com uma velocidade v 0 = 0. Paa calcula o tempo que o bloco pecoe os 18m até volta paa o ponto de patida, no começo do plano inclinado, você pode usa a função hoáia do MRUV. x( t) = ( 18m) (, 5m/s ) t. Consideando que o ponto de patida é a oigem, x(t) = 0, você vai enconta o tempo de descida, ( 18m) t = = 7, s. (, 5m/s ) e. Com a fómula do MRUV, v = v 0 + at, você consegue calcula a velocidade que o bloco atinge na descida. A fómula é a seguinte: v( t) = v0 + axt =, 5t. Logo, paa t = s, você tem que enconta v(s) = (18m/s)u x. CECIER J Extensão 149

151 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton LEI DE HOOKE Nesta seção, você vai estuda uma foça de contato impotantíssima, a foça elástica. Ela existe em conseqüência das defomações causadas pelo contato ente os copos. Dento de cetos limites da defomação, as foças elásticas obedecem à Lei de Hooke, que desceveemos em detalhe. Também consideaemos situações muito idealizadas nas quais ocoem foças de contato mas as defomações são despezíveis. Essas são as foças chamadas vinculaes, como a nomal execida po uma supefície ígida sobe copos que a pessionam, ou a foça execida po um fio inextensível sobe copos que o tensionam. Gealmente, copos sólidos se defomam quando execem foças um sobe o outo, e tais foças dependem dos estados de defomação dos copos. Vamos considea copos paa os quais é simples a elação ente foça e defomação. Pimeiamente, vamos nos estingi aos chamados copos elásticos. Quando não está sujeito a foças extenas, além do pópio peso, um copo elástico se apesenta sempe com a mesma foma, chamada foma natual do copo. Foças extenas podem etiá-lo dessa foma natual, mas, ao cessaem essas foças, ele volta a ela. Em contaste com os copos elásticos, há os copos plásticos, que não voltam à foma oiginal quando cessam as foças que o defomaam. Contudo, note que, se a defomação de um copo elástico ultapassa ceto limite, ele deixa de se elástico e não mais etona à foma oiginal quando cessam as foças defomantes. Paa que um copo elástico pemaneça como tal, é necessáio que não seja ultapassado tal limite, chamado limite de elasticidade do copo em consideação. Dente os copos elásticos, os que apesentam as popiedades mais simples são as molas. Estudemos, então, no caso das molas, a elação ente foça e defomação. Em uma mola há uma dieção, ao longo da qual ela pode se esticada ou compimida. Dizemos que a dieção de defomações elásticas seja a dieção longitudinal da mola, ou simplesmente dieção da mola. Ao se esticada ou compimida nessa dieção, ela eage com uma foça estauadoa popocional à vaiação de seu compimento. 150 CECIER J Extensão

152 Paa simplifica nossas análises, vamos também supo que a mola não se flexione em elação a essa dieção, de modo a pemanece sempe eta. A dimensão da mola ao longo de sua dieção longitudinal é chamada compimento da mola. Quando a mola está em sua foma natual, o seu compimento é chamado compimento natual. Obviamente, uma mola solta pemanece com seu compimento natual. Quando a mola é esticada ou compimida, ela abandona sua foma natual e seu compimento aumenta ou diminui. A difeença ente o compimento que a mola apesenta em ceto estado e o compimento natual é chamada elongação da mola naquele estado. Se a mola está esticada, seu compimento é maio do que o natual e sua elongação é positiva. Se está compimida, o seu compimento é meno do que o natual e sua elongação é negativa. Repesentemos po l o compimento da mola em um estado qualque e po l 0 o seu compimento natual. Potanto, se a mola tem compimento l, sua elongação é l l 0. A Figua 4.11 a segui mosta uma mola em tês situações: esticada, compimida e solta. A fim de se esticada ou compimida, ela está pesa em uma de suas extemidades a uma paede e, em outa extemidade, a um bloco ígido sobe uma mesa hoizontal. A paede e o bloco execem sobe a mola as foças que a esticam ou compimem. As extemidades da mola estão pesas a uma mesma altua, de modo que a mola pemanece na hoizontal. Lembe-se de que supusemos que a mola não se flexiona em elação à sua dieção longitudinal. Devemos, pois, supo que uma mola é leve o bastante paa não se vega ao pópio peso. AULA 4 l > l 0 l < l 0 l = l 0 F F' a b c Figua 4.11: (a) Mola esticada pela paede e pelo bloco. (b) Mola compimida pela paede e pelo bloco. (c) Mola solta, em seu compimento natual. CECIER J Extensão 151

153 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Note que, na Figua 4.11 acima, a mola está esticada po foças execidas em suas extemidades. Seja F a foça de eação da mola sobe o bloco. Essa foça tem a dieção longitudinal da mola e o sentido que se opõe ao esticamento da mola, que é o sentido da dieita paa a esqueda, como ilusta a Figua Suponha que sejam feitas medições do módulo F da foça, paa difeentes compimentos da mola, que não ultapassem o seu limite de elasticidade. O esultado obtido é que, em boa apoximação, o módulo da foça é popocional à elongação l l 0. A constante de popocionalidade é positiva e seá epesentada po k, o que nos leva a esceve: F = k l l 0. Considee a situação em que a mola está compimida, como na Figua 4.11.b. Agoa seu compimento l é meno do que o natual e a elongação l l 0 é negativa. A foça F, que a mola exece sobe o bloco, tem novamente a dieção longitudinal da mola, mas seu sentido é o que se opõe à compessão da mola, o sentido da esqueda paa a dieita, como ilusta a Figua 4.11.b. No caso em que a mola é compimida, a vaiação de compimento l l 0 é negativa, de modo que devemos usa o módulo da vaiação paa enuncia o seguinte esultado: medições feitas paa difeentes compimentos da mola mostam que, em boa apoximação, o módulo da foça é popocional ao módulo da elongação, sendo a constante de popocionalidade igual à obtida no caso de esticamento da mola. Em suma, tanto no caso de esticamento quanto no de compessão, temos F = k l l 0. (4.18) A constante positiva k é uma constante caacteística da mola, denominada constante elástica da mola. Fixada uma elongação, a foça execida pela mola é tanto maio quanto maio fo a constante elástica da mola. Po esse motivo, dizemos que uma mola é tanto mais fote quanto maio fo sua constante elástica. De acodo com a Equação (4.18), a mola não exece foça sobe o bloco quando sua elongação é nula. Esse é o esultado espeado, pois, nesse caso, a mola não está sendo compimida nem esticada pelo bloco. 15 CECIER J Extensão

154 ! Paa indica que o sentido da foça execida pela mola sempe se opõe à defomação, seja ela compessão ou esticamento, vamos dize que a foça execida pela mola é estauadoa, pois é uma foça que tenta estaua a mola à sua foma natual. Podemos então esumi as popiedades obtidas paa a foça execida pela mola da seguinte maneia: AULA 4 A foça execida po uma mola sobe um copo peso em sua extemidade é uma foça estauadoa na dieção longitudinal da mola e com um módulo popocional ao módulo de sua elongação, sendo a constante de popocionalidade uma caacteística da mola. Como você viu no boxe explicativo anteio, esse esultado expeimental sobe as popiedades da foça execida po uma mola é chamado de Lei de Hooke. Essa lei pode se expessa em foma matemática sucinta, se usamos um eixo ao longo da dieção da mola e expessamos o esultado em temos da componente da foça ao longo desse eixo. De fato, a foça tem apenas essa componente, que é igual a mais ou menos o módulo da foça. A vantagem de usamos a componente em vez do módulo é que a componente de uma foça pode se positiva ou negativa, ao passo que o módulo de foça não pode se negativo. Vamos, pois, considea um eixo OX ao longo do compimento da mola, apontando no sentido em que a mola se estica, tal como indicado na Figua 4.1. Paa esceve a elongação, podemos usa a coodenada da extemidade P da mola, que está em contato com o bloco. Quando a mola está esticada ou compimida, temos um valo paa a coodenada de P e, quando ela está solta, temos outo valo. A difeença ente o pimeio e o segundo é a elongação. Contudo, paa os nossos popósitos, é mais conveniente usamos a coodenada do cento de massa do bloco, que seá denotada po x. Se x 0 é o valo dessa coodenada, quando a mola está no seu compimento natual, então x x 0 é a elongação da mola. Na Figua 4.1, tal elongação está indicada em uma situação da mola esticada. CECIER J Extensão 153

155 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton F x O k cm x k x 0 x x Figua 4.1: Eixo OX ao longo do compimento da mola, apontando no sentido em que a mola se estica. Dado que a foça F = da Fmola x µ x sobe o bloco tem a dieção longitudinal da mola, ao longo da qual escolhemos o eixo OX temos F = F x µ x, onde F x é a componente da foça ao longo de OX F = Fe x µ x é o veto unitáio na dieção OX. Como já mencionamos anteiomente, a foça tem somente essa componente. Podemos, então, expessa a Lei de Hooke na foma: F = x k ( x x ) 0. (4.19) Nessa equação, o sinal negativo é essencial paa que ela desceva coetamente o caáte estauado da foça da mola. Você veificaá com facilidade que, gaças a esse sinal, a componente F x tem o sinal coeto que indica o sentido da foça nos casos de esticamento ou de compessão. Na Figua 4.1, apaece enquadado à dieita o gáfico de F x vesus x. Quando a mola está com seu compimento natual, o cento de massa do bloco ocupa uma posição bem deteminada. No luga de escolhe a oigem do eixo OX de modo abitáio, como fizemos na Figua 4.1, podemos escolhe essa oigem exatamente nessa posição do cento de massa. Com essa nova escolha, temos x 0 = 0 e a Equação (4.19) assume a foma: F = x kx. (4.0) 154 CECIER J Extensão

156 ATIVIDADES 4. Um cabo atado a uma balança de mola mantém uma esfea em equilíbio sobe um plano liso inclinado, como mosta a Figua O peso da esfea vale 0N. A balança, fixada acima do plano, egista 10N. O ângulo de inclinação do plano em elação à hoizontal é igual a 30 o. AULA 4 Detemine (a) a foça nomal que o plano exece sobe a esfea e (b) o ângulo θ fomado pelo sentido do cabo e da vetical. θ 30 o Figua 4.13: A esfea homogênea se enconta em equilíbio estático sobe o plano inclinado poque é sustentada pela balança de mola. CECIER J Extensão 155

157 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton RESPOSTAS COMENTADAS a. Você pecisa obseva que a esfea é mantida em equilíbio (estático) po tês foças: a foça peso P, a foça da mola F e a foça nomal N. No diagama de foças mostado na Figua 4.14, você pode ve as tês foças que são execidas sobe a esfea. Pode constata que nós vamos usa um eixo x paalelo ao plano inclinado, ou seja, está inclinado em elação à hoizontal de 30 o. Você pode obseva na Figua 4.14 que a foça peso P tem componentes P x e P y. Note que o ângulo ente o veto P e o eixo y vale 30 o. Sendo assim, as componentes que você deve calcula são P x = P sen30 o e P y = P cos30 o. Escita em temos dos vetoes unitáios, a foça peso é dada po P = 10u 10 3u x y. A Figua 4.14 mosta que a foça da mola F faz um ângulo de 60 o θ com o eixo x. Assim, as componentes desta foça são F x = F cos(60 o θ) e F y = F sen(60 o θ). y N θ x F 60 o θ F y F x P x 30 o 30 o P y P Figua 4.14: Diagama de copo isolado da esfea sobe o plano inclinado. O eixo x é paalelo ao plano inclinado da Figua 4.13 e o eixo y é pependicula ao eixo x. Escita em temos dos vetoes unitáios, você pode esceve que a foça da mola é dada po o o F = 10cos( 60 θ) u + 10sen( 60 θ) u. x y 156 CECIER J Extensão

158 No sistema de eixos escolhido, a foça que o plano exece sobe a esfea, ou simplesmente a foça nomal N, está na dieção do eixo y. Sendo assim, você vai esceve esta foça da seguinte maneia: AULA 4 N = Nu y. No equilíbio, a foça esultante sobe a esfea deve se nula. Paa calcula essa foça esultante, você vai usa o Pincípio de Supeposição das Foças. Neste caso, a foça esultante execida sobe a esfea é a seguinte: F + P + N = 0 F = P N. A igualdade vetoial acima detemina duas igualdades escalaes, uma paa a componente x e outa paa a componente y. Agoa você pode substitui nesta equação os vetoes de foça escitos em temos dos vetoes unitáios u x e u y. As equações que coespondem às componentes x e y são, espectivamente, Com o objetivo de enconta uma igualdade sem a incógnita θ, você pode eleva ao quadado cada uma das equações acima e depois somá-las. Vale a pena lemba que você vai pecisa usa uma identidade tigonomética, Dessa foma, a elação que você deve enconta é a seguinte: Finalmente, o valo do módulo da foça nomal que o plano exece sobe a esfea é o 10cos( 60 θ) = 10, o 10sen( 60 θ) = 10 3 N. cos ( 60 o θ) + sen ( 60 o θ) = = ( 10 3 N) N = 17, 3N. N = 10 3N 17, 3N. b. Paa calcula o ângulo θ fomado pelo sentido do cabo e a vetical, você pode usa as duas igualdades escalaes do equilíbio de foças na esfea. Paa calcula a tangente do ângulo θ, basta que você divida a equação da componente x pela equação da componente y. Como a tangente de um ângulo 60 o θ vale zeo, esse ângulo deve também vale zeo. Assim, o esultado paa o ângulo fomado pelo sentido do cabo e a vetical é tan( 60 o θ ) = 0. θ = 60 o. CECIER J Extensão 157

159 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton 5. Dois blocos de massas m 1 = 6,00Kg e m = 4,00Kg estão ligados po uma mola de massa despezível e compimento natual x o. Quando o sistema é sustentado po um fio ideal, como indicado na Figua 4.15.a, o compimento da mola passa a vale x a = 8,00cm. Quando se apóia o sistema em um plano hoizontal, como indicado na Figua 4.15.b, o compimento da mola diminui paa x b = 3,00cm. a. Calcule a tação no fio ideal que sustenta o sistema na situação ilustada pela Figua 4.15.a. Detemine: b. o compimento natual da mola x 0 e c. a constante elástica da mola k. d. Na situação ilustada pela Figua 4.15.b, quanto vale a foça que o plano hoizontal exece sobe o bloco de massa m. m 1 x a m 1 m x b m a b Figua 4.15: No sistema (a) a mola tem um compimento x a = 8,0cm e no sistema (b) a mola tem um compimento x b = 3,0cm. 158 CECIER J Extensão

160 RESPOSTAS COMENTADAS a. Vamos usa o eixo vetical y poque é conveniente. Dessa foma, todas as foças que atuam nos blocos têm sentido positivo (paa cima) ou negativo (paa baixo). Veja na Figua 4.15.a, onde o compimento da mola vale x a = 8,00cm, que a mola está solta poque x a > x o. Assim, a foça execida pela mola, F a, tem sentido negativo no bloco 1 e sentido positivo no bloco. As duas foças que atuam sobe o bloco são a foça-peso P = m g, paa baixo, e a foça da mola, F a. Como o bloco está em equilíbio, a Segunda Lei de Newton estabelece que AULA 4 F P = 0 F = m g = 39, N, a a ou seja, a foça da mola tem um módulo igual ao peso do bloco. Sobe o bloco 1 atuam a foça-peso P 1 = m 1 g, paa baixo, a foça da mola, F a, paa baixo, e a tação no fio T, paa cima. Ao usa novamente a Segunda Lei de Newton, você vai calcula o módulo da foça de tação, T P F = 0 T = m g + F = 98N. 1 a 1 a b. Na Figua 4.15.a o compimento da mola vale x b = 3,00cm, potanto ela está compimida, x b < x o. Com isso, você deve conclui que a foça execida pela mola, F b, tem sentido positivo no bloco 1 e sentido negativo no bloco. Nesta configuação, quando você usa a Segunda Lei de Newton paa o bloco 1, encontaá o seguinte esultado paa a foça execida pela mola: F P = 0 F = m g = 58, 8 N. b 1 b 1 Agoa vamos compaa a foça da mola nas duas situações indicadas na Figua Você apendeu a Lei de Hooke: a foça execida po uma mola é popocional ao deslocamento de seu compimento atual em elação ao compimento natual x o. Paa as situações apesentadas, as foças F a e F b também podem se expessas como Fb = k( xo xb) = 58, 8N, Fa = k( xa xo) = 39, N. Note que as duas equações acima constituem um sistema de duas equações e duas incógnitas, x o e k. CECIER J Extensão 159

161 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Uma maneia de você calcula o compimento natual da mola em estudo é calcula a azão ente as duas foças da mola, F b /F a. Com isto, você consegue elimina a constante elástica da mola, e o que esta é a seguinte equação: Finalmente, você vai enconta que o compimento natual da mola vale c. Paa detemina a constante elástica da mola, basta que você calcule a soma das duas foças da mola, F b + F a. Essa soma pemite que você calcule quanto vale k, F + F = k( x x ) = 98N. Agoa você só pecisa esolve a equação acima. O esultado que você tem que enconta é d. Na Figua 4.15.b, você deve conclui que o bloco está em equilíbio poque existe uma foça nomal, paa cima, execida sobe o bloco de massa m pelo plano hoizontal. Neste caso, usando a Segunda Lei de Newton, você pode esceve a condição de equilíbio Ao substitui o valo do módulo da foça peso, P, e da foça F b, você chega ao esultado Fb F a ( xo 3) 3 = = 5xo = 30. ( 8 x ) x o o = 6 cm. a b a b ( 98N) 3 k = =1,96 10 N / m. ( 5 10 m ) N P F b = 0. N = mg + F b = 98N. 6. A Figua 4.16 mosta uma mola com uma de suas extemidades pesa ao teto e outa a um ponteio. Ao lado do ponteio, está colocada uma escala gaduada em milímetos. Tês difeentes pesos são penduados na mola, como está indicado na figua. a. Se não fo penduado nenhum peso na mola, qual seá a indicação do ponteio? b. Quanto vale a constante elástica desta mola? c. Quanto vale o peso W? 160 CECIER J Extensão

162 AULA 4 mm 0 mm 0 mm N 60 W 40N Figua 4.16: As tês situações que mostam difeentes posições da mola. RESPOSTAS COMENTADAS As tês situações apesentadas na Figua 4.16 mostam o seguinte: (i) a massa cujo peso é P 1 = 110N está em equilíbio estático devido a uma foça F 1 da mola, (ii) a massa cujo peso vale P = 40N está em equilíbio estático devido a uma foça da mola F, e (iii) a teceia massa, com peso P 3 = W, está em equilíbio estático devido a uma foça da mola F 3. Sendo assim, você deve analisa cada uma destas situações em sepaado, usando a Segunda Lei de Newton, Você pode considea que a escala gaduada em milímetos é o eixo vetical y, com sentido positivo paa baixo. Com esta escolha, as tês foças P 1, P e P 3 são positivas, enquanto que as tês foças da mola F 1, F e F 3 são negativas. F = 0. CECIER J Extensão 161

163 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Vamos considea que o compimento natual e a constante elástica da mola valem, espectivamente, l o e k. Paa a pimeia massa, cujo peso vale P 1 = 110N, o ponteio egista um compimento l 1 = 0,04m. Como a foça-peso, oientada paa baixo, deve se equilibada pela foça da mola, oientada paa cima, você pode esceve que P k( l l ) = 1 1 o 0. Po outo lado, paa a segunda massa, que tem um peso P = 40N, o ponteio maca um compimento l = 0,06m. Neste caso, a Segunda Lei de Newton estabelece que P k( l l ) = o 0. a. Se não fo penduada nenhuma massa na mola, a indicação do ponteio seá exatamente o compimento natual da mola l o. As duas equações de equilíbio que você esceveu acima constituem um sistema de duas equações e duas incógnitas, l o e k. Ao elimina a constante k deste pa de equações, você vai consegui enconta o valo de l o. Uma maneia de você calcula o compimento natual da mola em estudo é calcula a azão ente as duas foças-peso, P / P 1. Isto pemite que você cancele a constante elástica da mola, e o que esta é a seguinte equação: Agoa, basta que você utilize os seus conhecimentos de álgeba paa mosta que a equação acima é equivalente à igualdade calculado com a seguinte fómula: l o P l l = ( ) o P ( l l ). 1 P l = P 1 o P l. P Como esultado, você vai enconta que o compimento natual da mola vale ( 40 N)( 40mm) ( 110N)( 60mm) l o = = 3mm. ( ) N b. Você deve calcula a constante elástica k da mola. A pati do pa de equações de equilíbio estático das massas 1 e, você pode elimina o valo do compimento natual da mola l o. Não vai se difícil paa você mosta que o esultado desejado pode se k P l P. l = 1 1 Você pode substitui na fómula acima os valoes P 1 = 110N e P = 40N e também l 1 = 0,04m e l = 0,06m. Assim, você vai enconta a constante elástica k, ( ) N k = = 6, N/m. ( 0, 06 0, 04) m 16 CECIER J Extensão

164 c. A massa que tem peso P 3 também se enconta em equilíbio estático. Nesta situação, a foça da mola deve te um módulo igual a F 3 = P 3. Você pode veifica essa afimação com a Segunda Lei de Newton, P k( l l ) = 3 3 o 0. AULA 4 Uma vez que paa a massa cujo peso vale P 3 o ponteio egista um compimento l 3 = 0,03m, você deve calcula que P 3 3 = ( 6, 5 10 N/m)( 0, 03 0, 03) m = 45N. ROLDANAS Vamos agoa aplica as Leis de Newton no estudo de um sistema análogo a um fio de massa despezível, que é uma polia de massa despezível. Seja uma polia de aio R suspensa de um supote e capaz de gia, sem atito, em tono de um eixo que passa pelo seu cento O. Não podemos epesenta a polia como uma patícula poque suas váias pates se movem de difeentes maneias. Paa contona esse poblema de uma foma pática, vamos admiti que a massa da polia seja despezível em elação às massas dos outos copos do sistema. Assim, se T e T são duas foças aplicadas aos dois lados do fio que saem da polia, temos que T = T = T. O efeito da polia é simplesmente altea a dieção da foça aplicada ao fio, sem altea o seu módulo. Ao mesmo tempo, paa que a polia pemaneça em equilíbio, a esultante das foças a ela aplicadas deve anula-se. Vamos considea o seguinte exemplo: duas massas m 1 e m suspensas po um sistema de duas polias e de fios, todas de massa despezível, da foma indicada na Figua Qual é o movimento do sistema? As pates móveis do sistema são duas, delineadas na figua po linhas fechadas inteompidas: a massa m 1 e o sistema fomado pela massa m pesa à polia, que se movem solidaiamente. CECIER J Extensão 163

165 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton l l 1 T T l a a m 1 g m g Figua 4.17: Polia, inteelacionando as massas m 1 e m. Chamamos de T a tensão do fio, que, de acodo com a nossa discussão acima, é a mesma dos dois lados da polia, e é também a mesma com a qual a polia 1 age sobe a massa m 1. Seja a aceleação da massa m 1, tomada positivamente quando diigida paa cima (os movimentos são todos na vetical). A equação de movimento da massa m 1 é então T m 1 g = m 1 a. (4.1) Qual é a aceleação da massa m? Se l 1 e l são os compimentos das poções de fio indicadas na figua, vemos pela figua que l + l = 1 constante, (4.) 164 CECIER J Extensão

166 te ou seja, se a massa m 1 sobe ou desce, vaiando l 1 de l 1, devemos l1 l1 + l = 0 l =. (4.3) AULA 4 Logo, quando m 1 sobe de uma ceta distância, temos que m desce de metade dessa distância, mostando que a aceleação de m é igual a a/, potanto a Equação (4.) funciona como um vínculo. A equação de movimento da outa pate do sistema é então: ma T mg =. (4.4) Resolvendo as duas Equações (4.1) e (4.4) em elação às duas incógnitas, a e T, obtemos: a m m1 4m + m g = ( ) 1 (4.5) e m m T = 3 1 4m + m g. 1 (4.6) Em paticula, temos equilíbio (a = 0) paa m 1 = m, (4.7) ou seja, o sistema de polias eduz à metade o peso (ou a foça aplicada) necessáio paa equiliba um dado peso m g, popocionando assim uma vantagem mecânica. Note também que a > 0 na Equação (4.5) quando m > m 1, confome deveia se: uma massa m maio que a de equilíbio faz subi a massa m 1. (a = 0) paa Em um sistema análogo, com n polias, temos equilíbio (4.8) como você deve se capaz de deduzi. Veja que o estudo de polias tem ampla aplicação na vida cotidiana em conseqüência do fato de ela eduzi o esfoço no levantamento de divesos copos. m 1 m =, n CECIER J Extensão 165

167 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton ATIVIDADES 7. No sistema da Figua 4.18, m 1 = 1Kg, m = Kg e m 3 = 3Kg, e as massas das polias e das codas são despezíveis. Calcule: a. a tensão T da coda e b. as aceleações a 1, a e a 3 das massas m 1, m e m 3. m 1 m m 3 Figua 4.18: Sistema constituído po tês massas que estão conectadas po meio de polias e de codas. RESPOSTAS COMENTADAS Veja na Figua 4.18 que as pates móveis do sistema são os blocos de massas m 1 e m, e também o subsistema fomado pela massa m 3 pesa à polia, que se movem solidaiamente. Você apendeu na aula que a foça de tensão T da coda é a mesma dos dois lados de qualque uma das tês polias. 166 CECIER J Extensão

168 a. Paa esolve este poblema, você vai pecisa mais do que as equações de Newton de cada uma das massas. Você deve esceve uma equação de vínculo paa as aceleações a 1, a e a 3. Você pode ve que os compimentos l 1, l e l 3, mostados na Figua 4.19, devem esta elacionados po uma ceta equação. Com um pouco de eflexão, você vai chega à conclusão de que a soma das poções l 1, l e l 3 da coda deve te um valo constante, isto é, l 1 + l + l 3 = constante. O significado desta equação de vínculo é o seguinte: confome uma das massas se move, as outas duas têm que se move. De acodo com esse vínculo, as vaiações dos compimentos devem veifica a seguinte equação: l 1 + l + l 3 = 0. AULA 4 A pati da equação de vínculo acima, é vedadeia a afimação de que as aceleações a 1, a e a 3 das massas m 1, m e m 3 também estão vinculadas. A elação ente estas aceleações é a 1 + a + a 3 = 0. (Você pode demonsta isto usando a deivada de odem dois da equação de vínculo com espeito ao tempo.) Você vai usa a igualdade acima junto com as equações de Newton paa esolve o poblema. y l 1 T T l T T 3 l m 1 m P 1 m 3 P P 3 Figua 4.19: Diagama das foças que atuam sobe os blocos de massas m 1, m e m 3. CECIER J Extensão 167

169 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Como os movimentos ocoem na dieção vetical, vamos usa o eixo vetical y, tomado como positivo paa cima. Neste caso, você vai pode esceve as equações de movimento das massas m 1, m e m 3 como T m1g = m1a1, T mg = ma, T m3g = m3a3. Note que a foça de tensão execida sobe a massa m 3 é o dobo de T. Mais ainda, veja que o sistema de equações acima tem quato incógnitas, T, a 1, a e a 3. Assim, paa detemina estas quato incógnitas, você deve usa as tês equações de movimento acima mais a equação de vínculo. Em suma, agoa você dispõe de um sistema com quato equações e quato incógnitas. Você pode calcula a tensão T da coda ao elimina as aceleações das equações de movimento com a equação de vínculo. Uma maneia de faze isto é soma a pimeia e a segunda equação de movimento com o dobo da teceia equação. Com esta manipulação algébica, você vai calcula que a foça de tensão vale 4gm1mm3 T = = 14N. ( m m + m m + 4m m ) b. Agoa que você já sabe o valo da tensão T, basta usa as equações de movimento paa calcula as aceleações de cada massa. De imediato, com a equação de movimento da massa m 1, você pode calcula quanto vale a aceleação a 1, a 1 T = m g = 4m/s. 1 Como a 1 é positiva, a massa m 1 sobe em um MRUV. De foma análoga, você vai calcula a aceleação a da massa m, que é negativa; e, potanto, esta massa desce. a T = m g = 3m/s, Po fim, você deve usa a equação de movimento da massa m 3 paa calcula o valo da aceleação a 3. O esultado que você tem que enconta é o seguinte: T a m g 3 = = 0. 6m/s. 3 Assim como a massa m, a massa m 3 também se move paa baixo. 168 CECIER J Extensão

170 8. A Figua 4.0 mosta um homem sentado numa platafoma de tabalho, pendendo de uma coda de massa despezível que passa po uma polia, de massa e atito nulos, e volta até as mãos do homem. A massa conjunta do homem e da platafoma é 100Kg. AULA 4 a. Com que foça o homem deve puxa a coda paa que ele consiga subi com velocidade constante? b. Qual a foça necessáia paa subi com a aceleação de 1,30m/s? c. Suponha, em vez disso, que a coda à dieita é seguada po uma pessoa no chão. Repita os itens (a) e (b) paa esta nova situação. Figua 4.0: Ilustação do homem sentado na platafoma. CECIER J Extensão 169

171 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton RESPOSTAS COMENTADAS Vamos adota o eixo vetical y e considea o sentido positivo paa cima. Nas situações apesentadas nos itens (a) e (b), você pecisa detemina as foças execidas sobe o homem e sobe a platafoma. Obseve que a única infomação dada é que a soma das massas do homem e da platafoma vale m = m H + m P = 100Kg. Você deve considea que as foças atuantes sobe o homem, Figua 4.1, são: (i) a foça peso, P H = m H g, paa baixo, (ii) a foça de tensão da coda, T, paa cima, e (iii) a foça nomal N, execida pela platafoma sobe o homem, paa cima. Po outo lado, como você pode ve na Figua 4.1, as foças execidas sobe a platafoma são: (i) a foça peso, P P = m P g, paa baixo, (ii) a foça de tensão da coda, T, paa cima, e (iii) a foça nomal N, execida pelo homem sobe a platafoma, paa baixo, que foma um pa de ação e eação com a foça execida pela platafoma sobe o homem. T T N P H N Homem P P Platafoma Figua 4.1: Diagama de copo isolado que mosta as foças que são execidas sobe o homem e a platafoma. Você pode esceve as equações de movimento paa o homem e também paa a platafoma. Se você denota a aceleação po a, a Segunda Lei de Newton detemina que: PH T + N P g a H =, P T N g a P =. Veja que o sistema de equações acima tem as incógnitas T e N. A foça com que o homem deve puxa a coda paa que ele consiga subi é T, e po causa disso você pecisa elimina o módulo da foça nomal N 170 CECIER J Extensão

172 do pa de equações acima. Como você pode ve, esta é uma taefa fácil, poque, ao soma as duas equações de movimento, do homem e da platafoma, a foça nomal é cancelada. Com isso, você vai calcula que o módulo da tensão na coda vale a a T = PH + P 1 + P 1 g = + ( ). g AULA 4 Note que na equação acima foi usada a soma das foças-peso, isto é, P = P H + P P. O esultado que você encontou depende somente da foça peso conjunta do homem e da platafoma, P = mg, e da aceleação a. Assim, o módulo da foça de tação é dada po a. Você mostou que o valo do módulo da foça de tensão T, paa a = 0, é dado po P/. Paa eleva a platafoma com uma velocidade constante, ou seja, quando a = 0, é necessáio que o homem puxe a coda paa baixo com uma foça cujo módulo é de b. Neste caso, o homem puxa a coda de maneia que a platafoma sobe com uma aceleação a = 1,30m/s. Ao substitui o valo desta aceleação na equação que você calculou paa a foça de tensão, o esultado que deve se obtido é o seguinte: c. Agoa, a coda à dieita é seguada po uma pessoa no chão. Se você pensa bem, esta situação é a mesma do que uma pessoa puxando uma massa m = 100Kg com uma coda que passa po uma polia pesa ao teto. A equação de movimento neste caso é dada po Cetamente, em vez de usa a massa, você pode coloca m = P/g. Dessa foma, você vai calcula o módulo da foça de tação, Ao compaa este valo com aquele encontado paa os itens (a) e (b), você veá que a difeença é dada po um fato 1/. Potanto, paa a pessoa no chão eleva a platafoma com uma velocidade constante, em que a = 0, é necessáio que ela puxe a coda com uma foça cujo módulo é de T P = + a 1 g. T = P 1 = = 490 ( Kg )(, m/s ) N. T P a = + = g ( 1, 30m/s ) ( Kg)(, m/s ) = 555N. ( 9, 8m/s ) T P = ma. a T = P 1 +. g T = P = 980N. CECIER J Extensão 171

173 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton No caso em que o sistema homem mais platafoma deve subi aceleado, com a = 1,30m/s, a pessoa vai te que puxa a coda com uma foça de módulo igual a a ( 1, 30m/s ) T = P 1 + = ( 100Kg)( 9, 8m/s ) 1 + = 1110N. g ( 9, 8m/s ) Uma ápida compaação ente os esultados que você calculou nos pemite conclui que, paa eleva a platafoma, a pessoa no chão deve faze o dobo do esfoço feito pelo homem que está sentado. MOVIMENTO CIRCULAR Nesta seção, discutiemos o movimento de objetos pecoendo caminhos ciculaes. Assim, considee uma bola de massa m que está pesa a uma coda de compimento e que gia em velocidade constante em um caminho cicula hoizontal, como ilustado na Figua 4.. Seu peso é balanceado po uma mesa cuja supefície não tem ficção. Façamos então a seguinte pegunta: O que faz com que a bola se mova em um cículo? m F F Figua 4.: O movimento cicula. 17 CECIER J Extensão

174 De acodo com a Pimeia Lei de Newton, a bola tendeia a se move em uma linha eta. Entetanto, como a coda exece uma foça adial F sobe a bola, ela desceve uma tajetóia cicula. Esta foça adial é diigida ao longo da coda em dieção ao cento do cículo, como mostado na figua anteio. Mas qual o valo dessa foça? E como sabemos que ela está diigida paa o cento do cículo? Paa esponde a essa pegunta, vamos começa consideando um caso especial de movimento cicula, o movimento cicula unifome (MCU), em que o módulo da velocidade instantânea é constante ao longo do movimento da patícula. No MCU, tanto a velocidade como a aceleação são constantes, em módulo, poém ambas mudam de dieção e sentido duante o movimento. Exemplos deste tipo de movimento podem inclui um ponto sobe um disco em otação numa vitola, os ponteios de um elógio, caos se locomovendo ao longo de uma otatóia ou, em boa apoximação, a óbita da Lua ao edo da Tea. AULA 4 P 1 C θ V 1 P V Figua 4.3: Movimento Cicula Unifome de uma patícula. CECIER J Extensão 173

175 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton A Figua 4.3 mosta o movimento de uma patícula ao longo de uma tajetóia cicula, definida pelo aio. No instante t 1, a patícula se enconta na posição P 1 e a velocidade v = v v 1 é um veto tangente à cuva neste ponto. No instante t = t1 + t, a patícula se deslocou ao longo do aco do cículo e está localizada na posição P. A velocidade neste ponto, v = v, é v um veto tangente à cuva neste ponto. Potanto, duante 1 o intevalo de tempo t, a patícula pecoe o compimento do aco P 1 P, definido pelo ângulo θ, como ilustado na Figua 4.3. Como sabemos, o compimento do tajeto pecoido pela patícula duante esse intevalo de tempo é igual a θ e os v vetoes = v v e 1 v = v possuem v o mesmo módulo, v, pois, como dissemos anteiomente, 1 no MCU as velocidades pemanecem constantes, emboa o sentido e a dieção sejam difeentes. Logo, o compimento de aco P 1 P também pode se escito como: θ = v t. (4.9) Agoa, devemos mosta que o módulo da aceleação é constante ao longo do movimento e que o veto aceleação aponta sempe na dieção do cento do cículo. Paa demonsta essa afimação, começamos eaanjando os v vetoes = v v v = v, vistos v na Figua 4.3, de foma que a oigem dos dois 1 e 1 vetoes coincidam, como mostado na Figua 4.4. Isso sempe pode se feito, já que podemos desloca os vetoes livemente, desde que o sentido, o módulo e a dieção desses vetoes sejam pesevados, dada a definição de vetoes vista no apêndice da Aula. O θ V V 1 Q V Q 1 Figua 4.4: A vaiação da velocidade ao i de P 1 a P é V. 174 CECIER J Extensão

176 Pela Figua 4.4, podemos ve claamente a mudança na velocidade à medida que a patícula se move de P 1 paa P. Essa mudança é dada pelo veto v = v v, que é visto na figua. 1 Se desenhamos v no = v ponto v médio do aco P 1 P, 1 como mosta a Figua 4.5 a segui, vemos que o veto aponta paa o cento do cículo. De fato, na Figua 4.5, desenhamos o tiângulo fomado pela coda P 1 P e os aios CP 1 e CP. (Note que ambos os tiângulos, CP 1 P e OQ 1 Q, são isósceles, ou seja, possuem o mesmo ângulo no vétice.) O ângulo θ ente os v vetoes = v v e v 1 = v v é o mesmo que P 1 CP, v poque = v v é pependicula a CP 1 v = v e v é pependicula a CP. 1 1 Desenhando a bissetiz do ângulo θ na Figua 4.5, temos: 1 (4.30) = vsen θ. 1 Substituindo a Equação 4.30 na Equação 4.9, obtemos: C θ V P 1 P v v t V 1 Figua 4.5: A patícula pecoe o aco P 1 P no tempo t. v é mostado em cinza. AULA 4 v a = lim = lim t 0 t t 0 v ( ) sen θ / θ /. (4.31) Note que v e são independentes de t. Potanto, seus valoes não são alteados pelo limite visto na equação anteio. Assim, podemos eesceve a Equação (4.31) v a = lim = t 0 t v t 0 ( / ) sen θ lim θ /. (4.3) Após esolve a Equação (4.3), encontaemos o limite de t 0 e, potanto, a função aceleação instantânea no MCU, que é a deivada da função velocidade com elação ao tempo. Esse cálculo pode se feito sem gandes dificuldades. Entetanto, paa facilita a sua compeensão, você pode pecebe que, quanto meno o intevalo de tempo, meno o ângulo θ. Assim, paa ângulos muito pequenos, podemos utiliza a apoximação senx x. (Com a ajuda de uma calculadoa, podemos computa o seno de ângulos cada vez menoes paa nos convence de que, no limite θ 0, temos que senθ = θ. Po exemplo, quando x = ad, temos que senx = Mas, quando x = ad, temos que senx = ) CECIER J Extensão 175

177 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Esta apoximação é válida somente quando o ângulo fo medido em adianos e pode se obtida atavés de uma expansão em séie de Taylo da função senx em tono de x = 0. Você pode le mais sobe a expansão em séie de Taylo atavés do link: Usando a apoximação paa ângulos pequenos, sen(θ/) = θ/, obtemos o módulo da aceleação instantânea: a = v. (4.33)! Concluímos então que, apesa do módulo da velocidade se mante constante no movimento cicula unifome, temos uma aceleação difeente de zeo. Essa aceleação é poveniente da mudança de dieção e sentido da velocidade epesentada pelo veto v. = v v 1 Vemos, potanto, que podemos te um movimento aceleado, mesmo com o módulo da velocidade instantânea se mantendo constante ao longo do movimento. v a O a v v a Figua 4.6: A aceleação está sempe diigida paa o cento do cículo e, potanto, é sempe pependicula à velocidade no MCU. 176 CECIER J Extensão

178 A Figua 4.6 mosta a elação ente v e a em váios instantes do movimento. A velocidade é sempe tangente ao cículo e tem o sentido do movimento, seu módulo é sempe constante, mas sua dieção e sentido mudam continuamente. Essa mudança gea uma aceleação, também constante em módulo. Como o sentido e a dieção da aceleação são os mesmos de v, = temos v v que a dieção de a é sempe adial e seu sentido é sempe 1 apontando paa dento do cículo. Po causa disso, essa aceleação é chamada de adial, ou aceleação centípeta, que significa pocuando o cento. Potanto, a aceleação tem o módulo constante e aponta sempe na dieção do cento do cículo no MCU. Sendo assim, é esponsável pela mudança de dieção do movimento e mantém a tajetóia da patícula cicula. Se nós aplicamos a Segunda Lei de Newton ao longo da dieção adial, encontamos que a foça total causando a aceelação centípeta é dada po: AULA 4 F ma m v = c =. (4.34) Uma foça causando a aceleação centípeta aponta paa o cento do caminho cicula e causa uma mudança na dieção do veto velocidade. Se po acaso essa foça se anulasse, o objeto não iia mais move-se em seu caminho cicula; ao invés disso, ele iia move-se ao longo de uma linha eta tangente ao cículo. Essa idéia é ilustada Figua 4.7 paa a bola giando no extemo de uma coda em um plano hoizontal. Se a coda se ompe em algum instante, a bola iá se move ao longo de uma linha eta, tangente ao cículo, no ponto onde a coda se patiu. CECIER J Extensão 177

179 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Figua 4.7: A linha tangente ao cículo. De foma a exemplifica as idéias expostas acima, vamos considea duas patículas, de massas espectivamente iguais a m 1 e m, que estão ligadas po meio de um fio ideal de compimento l, que passa po um pequeno buaco na supefície lisa de uma mesa. Suponha que a pimeia patícula se movimente, sem nunca pede o contato com a supefície da mesa, e que desceva um MCU de aio, enquanto a segunda pemanece em epouso, a uma distância l- abaixo do buaco da mesa, como indica a Figua 4.8 a segui. Desejamos aqui esponde às seguintes questões: 1. Quais são os módulos das foças de vínculo que atuam no sistema?. Qual é a elação ente o módulo da velocidade da pimeia patícula que designaemos po (v 1 ), o aio de sua tajetóia cicula () e o módulo da aceleação da gavidade (g), paa que a situação que acabamos de desceve seja vedadeia? 178 CECIER J Extensão

180 O m 1 θ x AULA 4 m Figua 4.8: O poblema da mesa. Antes de tudo, obseve que há tês foças de vínculo nesse poblema. São elas: a eação nomal que a supefície da mesa exece sobe a pimeia patícula, a foça que o fio faz sobe essa mesma patícula e a foça que o fio exece sobe a segunda patícula. Emboa os efeitos das foças de vínculo sejam conhecidos (po exemplo, a eação nomal execida pela mesa sobe a pimeia patícula não deixa que ela penete na supefície da mesa), tais foças não são conhecidas a pioi, mas deveão se encontadas duante a solução do poblema. Vamos aplica a Segunda Lei de Newton a cada patícula do sistema: e m g + N + T = m a m g + T = 0 (4.35) onde T 1 é a foça que o fio exece sobe m 1, T é a foça que o fio exece sobe m, N 1 é a eação nomal que a supefície da mesa exece sobe m 1 e é a aceleação dessa patícula. Note que, po se tata de um fio ideal, T1 = T = T. Escolhendo os eixos catesianos, de modo que a supefície da mesa coincida com o plano OXY, que o eixo OZ aponte paa cima e a oigem esteja localizada no buaco da mesa, podemos esceve CECIER J Extensão 179

181 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton e z 1 ( ) = N m g u Tu m v u ( ) = T mg u z 0 (4.36) em que u é o unitáio na dieção adial e N a independência linea ente u z e u, concluímos: N g = m g, 1 1 = N. Usando, então, 1 1 T m v 1 = 1, (4.37) T = m g. Nesse poblema, as foças de vínculo têm módulos constantes, dados pela pimeia e última equações escitas na Equação (4.37). Paa obte a elação desejada ente v 1, e g, basta utiliza as duas últimas equações: m m g v = 1. 1 (4.38) Note que, quanto maio a massa m e, potanto, maio a tensão no fio, maio deveá se a velocidade da pimeia patícula, paa que ela desceva um MCU com o mesmo aio. Vamos considea agoa um outo poblema. Um cao se movimenta ao longo de uma pista cicula, cuja supefície está inclinada de θ em elação ao plano hoizontal. Ele desceve um MCU cujo aio de cuvatua vale, como indica a Figua 4.9. m C θ Figua 4.9: Pista inclinada. 180 CECIER J Extensão

182 Suponha que exista atito ente os pneus e a pista, sendo µ e o coeficiente de atito estático coespondente. No entanto, considee que a foça de atito não possua componente ao longo da dieção do movimento do cao, isto é, suponha que a foça de atito sobe os pneus seja paalela à supefície da pista e pependicula à velocidade do cao. Essa hipótese é bastante azoável, pois, como o cao se movimenta com MCU, o módulo de sua velocidade pemanece constante (se o motoista apetasse o aceleado ou o feio, apaeceia uma componente da foça de atito ao longo da dieção do movimento do cao). Desejamos analisa aqui algumas situações inteessantes. Mais especificamente, gostaíamos de esponde às seguintes peguntas: 1. Qual deve se o módulo da velocidade do cao, paa que a foça de atito sobe os pneus seja nula?. Qual é o valo cítico paa o módulo da velocidade do cao, acima do qual ele começa a deapa? AULA 4 Como pimeio comentáio, devemos dize que, emboa o cao não seja um sistema ígido (os pneus giam em elação ao eixo etc.), vamos tatá-lo apoximadamente como tal. Paa esponde ao pimeio item, basta aplica a Segunda Lei de Newton e lemba que o cao não possui componente vetical de aceleação, mas possui uma componente centípeta não-nula, uma vez que desceve um MCU. Sendo v 0 o módulo da velocidade do cao, temos, então: N cosθ = mg N + mg = ma mv (4.39) 0 N senθ = Dividindo a equação de baixo pela de cima, obtemos: v 0 = g tanθ (4.40) A pati da equação anteio, vemos, po exemplo, que, quanto mais veloz estive o cao, mais inclinada deveá se a pista, paa que ele desceva um MCU com o mesmo aio R sem o auxílio da foça de atito execida pela pista sobe os pneus. Em contapatida, paa uma mesma inclinação da pista em elação à hoizontal, quanto maio fo a velocidade, maio seá o aio do MCU descito pelo cao. Potanto, se um cao enta numa cuva cicula de aio com uma velocidade maio do que v 0 = g tanθ, ele tendeá a deapa paa cima, a não se que a foça de CECIER J Extensão 181

183 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton atito estática seja gande o suficiente paa mantê-lo na cuva de aio. Suponhamos, então, que isso aconteça, isto é, que o cao esteja com uma velocidade de módulo v > v 0, mas que, mesmo assim, devido ao atito ente os pneus e a supefície da pista, ele desceva um MCU de aio. Calculemos, nesse caso, o módulo da foça de atito em temos de v, θ, m, g e. Como o cao tende a deapa, deslizando paa cima da pista, a foça de atito, que é tangente às supefícies em contato, aponta paa baixo. Da Segunda Lei de Newton, temos: N cosθ fatsenθ mg = 0 N + fat + mg = ma mv Nsenθ + fat cosθ = (4.41) Obtemos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas, (N e f at ). Da pimeia delas, escevemos: N mg + f at senθ = cosθ (4.4) A substituição da Equação 4.4 na segunda equação do sistema anteio nos leva a: mg + f f m v atsenθ senθ + at cosθ = cosθ (4.43) e, conseqüentemente, ao esultado f at = m v cosθ mgsenθ (4.44) Note que essa última equação é consistente com o esultado escito na Equação (4.40), pois, se substituimos na equação anteio v = v 0, com v 0 dado pela Equação (4.40), obteemos um valo nulo paa f at, como espeado. Paa obte o valo de N, devemos substitui na Equação (4.4) o valo de f at, dado pela Equação (4.44) Com isso, obtemos que: N = mg cosθ + m v senθ (4.45) 18 CECIER J Extensão

184 Analisando a Equação (4.44) vemos que se v cesce a pati do valo v = 0 g tanθ, o módulo da foça de atito f cesce a pati do at valo nulo. No entanto, f at não pode aumenta indefinidamente, pois, como sabemos, existe um valo máximo paa o módulo da foça de atito ente duas supefícies em contato, dado po µ e N. Potanto, existe um valo máximo paa v, que designaemos v max, acima do qual o cao deapaá sobe a pista, no sentido paa cima. Paa descobimos o valo de v max, basta substitui na Equação (4.44) o valo máximo do módulo da foça de atito, ou seja, basta esceve f at = µ e N, com N dada pela Equação (4.45). Seguindo esse pocedimento, obtemos: AULA 4 µ e mg θ m v θ m v max max cos + sen = cosθ mg sen θ, (4.46) ou seja, v max senθ + µ e cosθ = g cosθ µ esenθ (4.47) Como último comentáio a espeito desse exemplo, note que, se v decesce a pati do valo v 0 = g tanθ, o módulo da foça de atito também aumenta a pati do valo nulo, poém com uma difeença impotante em elação ao caso que acabamos de tata: a foça de atito sobe os pneus do cao aponta paa cima, pois o cao tende a deapa paa baixo. Supondo que a inclinação da pista em elação à hoizontal seja maio do que o ângulo cítico θ = actan µ, haveá um valo mínimo v min paa o módulo da velocidade do cao, abaixo do qual ele iá deapa paa baixo na pista. c e CECIER J Extensão 183

185 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton ATIVIDADES 9. Uma deteminada coda pode supota uma tensão máxima de 40N sem ompe. Uma ciança amaa uma bola de 400g a uma das pontas da coda e segua a outa extemidade giando a bola num cículo vetical de 0,9m de aio e aumentando lentamente a velocidade até a coda aebenta. a. Detemine a velocidade cítica abaixo da qual a coda pode afouxa no ponto mais alto. b. Em que ponto da tajetóia a bola está quando a coda aebenta? c. Qual a velocidade da bola quando a coda aebenta? RESPOSTAS COMENTADAS Na Figua 4.30 você pode ve a bola de massa m = 0,40kg pesa a uma coda de compimento = 0,9m, que gia em tono de um cículo vetical em tono de um ponto fixo O, ao qual a outa extemidade é seguada pela ciança. O movimento da bola, emboa cicula, não é unifome, pois a bola é aceleada na descida e etadada na subida. Contudo, a componente nomal da aceleação continua a se dada po a c = v /. Além disso, agoa, há uma componente tangencial da aceleação. O θ T P θ P P Figua 4.30: Diagama de foças aplicadas a uma bola que gia no sentido hoáio, em um cículo vetical com cento em O. 184 CECIER J Extensão

186 As foças aplicadas, em qualque ponto da tajetóia, são o peso P e a tação T da coda. Veja na Figua 4.30 que você pode decompo a foça-peso em uma componente nomal, de módulo P = mgcosθ, e em uma tangencial de módulo P = mgsenθ. As foças tangencial e nomal são, espectivamente, Note que a aceleação tangencial, de acodo com a Segunda Lei de Newton, é F = mg senθ, F = T mg cos θ. a F = = m g senθ, AULA 4 ou seja, é a mesma que a de um copo deslizando sobe um plano inclinado sem atito, de inclinação θ. A aceleação adial, ou centípeta, é a = F m = T mg cosθ m = v c. Potanto, a pati da equação acima você pode chega à conclusão de que o módulo da foça de tação na coda, em qualque ponto da tajetóia, vale T m v = + g cos θ. Peceba que este esultado depende do ângulo θ, ou seja, o módulo da foça de tação assume difeentes valoes em cada ponto da tajetóia. a. Você pode ve na Figua 4.30 que no ponto mais elevado da tajetóia cicula da bola, no qual θ = 180 o, tem-se senθ = 0 e cosθ = -1. Com esses valoes, você conclui que a aceleação é puamente adial, oientada paa baixo. Mais ainda, o módulo da foça de tação no ponto mais alto vale T m v = g Neste movimento existe uma deteminada velocidade cítica v c, no ponto mais alto da cicunfeência, abaixo da qual a coda fica fouxa. A coda vai afouxa quando não estive submetida a uma foça de tação, isto é, quando T = 0. Nessa situação cítica, o esultado paa a foça de tação que você calculou acima fonece a velocidade cítica, v = c g = ( 9, 8 m/s )( 0, 9 m ) = 3, 0 m/s. CECIER J Extensão 185

187 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Note que nesta situação a única foça execida sobe a bola é a foça-peso, oientada paa baixo. Assim, a foça-peso P é a foça centípeta execida sobe a bola. A ciança deve começa a gia a bola com uma velocidade maio ou igual à velocidade cítica, v c 3,0m/s, de foma que a coda esteja sempe esticada. O esultado que você encontou é bastante inteessante poque a velocidade cítica depende do aio da cicunfeência e não depende da massa da bola. b. Você pode visualiza a situação da seguinte maneia: a ciança começa a gia a bola com uma velocidade maio do que v c, e, confome foi descito, vai aumentando lentamente a velocidade até a coda aebenta. Como ficou demonstado po você, o módulo da foça de tação depende do ângulo θ. No ponto mais alto da tajetóia cicula da bola, no qual θ = 180 o, a foça de tação é mínima, enquanto que no ponto mais baixo, no qual θ = 0, a foça de tação é máxima. Neste último caso, como cosθ = 1, o módulo da foça tação máxima execida sobe a bola deve vale T m v = + g. Como a ciança vai aumentando a velocidade lentamente, digamos de v c até v máx, a coda usada na bincadeia vai aebenta no instante em que estive submetida a uma tação cujo módulo é igual a T máx = 40N. Potanto, você deve chega à conclusão de que isso vai acontece no ponto mais baixo da tajetóia cicula. c. A coda vai aebenta quando a foça de tação atingi um módulo igual a T máx = 40N. Nesse exato instante, quando a bola estive no ponto mais baixo de sua tajetóia, você pode calcula a velocidade v máx com a equação da foça de tação máxima. O esultado é o seguinte: T máx v T mæx m g máx mæx = Dessa foma, no instante em que a coda aebenta, a velocidade da bola seá v = mæx máx ( 40N) ( 0, 9m) ( 9, 8m/s ) = 9, 0m/s. ( 0, 40kg) 186 CECIER J Extensão

188 10. Um engenheio civil foi contatado paa pojeta a cuva de uma estada que atenda as seguintes condições: um cao em epouso não deve desliza paa dento da cuva, e um cao viajando com uma velocidade meno do que 60Km/h não deve desliza paa foa da cuva. A pista tem um coeficiente de atito estático de 0,40 ente o asfalto e os pneus. AULA 4 a. De qual ângulo a pista deve esta inclinada? b. Qual deve se o aio mínimo de cuvatua da pista? c. Calcule a aceleação centípeta sofida po um cao que faz a cuva na velocidade máxima. RESPOSTAS COMENTADAS Neste poblema, é necessáio analisa os dois casos sepaadamente, isto é, o cao em epouso e o cao que faz a cuva com a velocidade máxima. Você pode ve na Figua 4.31 o plano inclinado e o sistema de eixos escolhido. y N 0 f 0 P CECIER J Extensão 187

189 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton y N 0 0 f P Figua 4.31: Diagama de copo isolado do cao (a) em epouso e (b) em movimento cicula unifome. a. Na Figua 4.31.a, você pode ve que, com a nossa escolha do eixo +y na dieção vetical, a foça-peso P pode se escita da seguinte foma: P = mgu y Note que a foça de atito f o tem que esta paalela ao plano inclinado e com o sentido paa cima, isto é, tem o sentido inveso à tendência do movimento (deslizamento). As pojeções do veto f o pemitem que você epesente a foça de atito pelo seguinte veto: f = f cos θu + f θu. sen o o x o y A foça que o plano exece sobe o cao, ou a foça nomal N o, está inclinada de um ângulo θ com a dieção do eixo y. Com isso, você vai pode epesenta essa foça como N = N senθ u + N cosθ u o o x o Paa o cao fica em epouso na pista, ou seja, não desliza paa baixo do plano inclinado, você deve conclui que a foça esultante execida sobe o cao deve se nula. O pincípio de supeposição das foças estabelece que a foça esultante execida sobe o cao é P + fo + No = 0. y 188 CECIER J Extensão

190 Confome foi apendido na aula, a foça máxima de atito, quando o cao está pestes a desliza em dieção à base do plano inclinado, tem um valo igual a f = µ N, o e o AULA 4 sendo que o coeficiente de atito estático vale µ e = 0,4. Agoa você vai substitui na equação vetoial da foça esultante as foças P, f o e N o escitas em temos dos vetoes unitáios u x e u y. As elações que devem se veificadas paa as componentes x e y são, espectivamente, Nosenθ fo cos θ = 0, No cos θ + fosenθ mg = 0. Na pimeia igualdade acima, você pode enconta quanto vale o ângulo poque você vai usa a condição de que f o = µ e N o. Disso esulta a seguinte equação: N (senθ o µ θ e cos ) = 0 tan θ = µ. O aciocínio que você tem que usa paa chega a este esultado é supo que o módulo da foça nomal é difeente de zeo, N o 0. Dessa foma, a elação acima pemite que você enconte o ângulo θ no qual a pista deve esta inclinada, θ = tan 1 0, 4 = o. e b. Neste caso, o cao está se movimentando com uma velocidade de no máximo v máx = 60Km/h. Veja o diagama de copo isolado do cao, mostado na Figua 4.31, que mosta as foças execidas sobe o cao. Você deve pecebe que agoa a foça de atito f tem o sentido paa baixo. A única difeença ente os vetoes envolvidos na supeposição é o veto f, que epesenta a foça de atito. No sistema de coodenadas que nós estamos usando, você pode esceve esse veto como: f = f cos θ u f senθ u. x y Neste caso, a pojeção da foça esultante na dieção do eixo x é a foça centípeta, cujo módulo vale F c = ma c = mv /. Assim, a Segunda Lei de Newton estabelece que N f m v senθ cos θ =, N cos θ + fsenθ mg = 0. CECIER J Extensão 189

191 Movimentos: Vaiações e Consevações As aplicações das Leis de Newton Você apendeu na aula que a velocidade máxima do cao em um MCU, sem desliza, é obtida do sistema de equações acima com a substituição f = µ e N. No entanto, você vai pecisa calcula o aio de cuvatua da pista,. A fómula a se usada é a seguinte: v mæx máx v = g cosθ µ esenθ. senθ + µ e cosθ Como esultado você tem que enconta um aio de cuvatua igual a = 30m. c. O veto que epesenta a aceleação centípeta a c em um MCU tem dieção adial e aponta paa o cento da cuva de aio. Nossa escolha de eixos detemina que o veto a c é paalelo ao eixo +x. Mais ainda, você apendeu que o módulo dessa aceleação vale a c = v /. Potanto, paa a velocidade máxima v máx = 60Km/h, você vai obte o veto v mæx máx ac = ux = ( 9, 3m / s ) ux. R E S U M O Nesta aula enunciamos a Lei de Gavitação de Newton como uma a ação a distância e instantânea ente copos com massa e usamos seu enunciado paa calcula a aceleação g de copos em queda live póximos à supefície da Tea, quando despezamos a esistência do a. Analisamos as foças de contato ente supefícies suaves e identificamos as componentes nomal e de atito quando as supefícies se tocam num único ponto. Definimos, então, as foças de atito estático e cinético válidas de modo apoximado e exclusivamente paa copos sólidos com supefícies secas e de fomatos suaves. Também enunciamos a Lei de Hooke paa o sistema massa-mola e estudamos a vaiação da foça em função da elongação da mola. 190 CECIER J Extensão

192 Em seguida, estudamos o efeito que uma oldana com massa despezível exece sobe uma coda e vimos como um sistema de polias pode eduzi o esfoço no levantamento de divesos copos. Finalmente, deduzimos a aceleação centípeta sobe copos em movimento cicula unifome e estudamos situações que envolvem patículas em tajetóias ciculaes. AULA 4 CECIER J Extensão 191

193 Enegia e tabalho A U L A 5 Meta da aula Discuti alguns aspectos físicos elacionados à enegia mecânica de patículas em movimento. Texto de Lizado H. C. M. Nunes e Raphael Púpio Maia. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: calcula o tabalho ealizado po uma foça constante aplicada sobe uma patícula; calcula o tabalho ealizado po uma foça capaz de compimi ou estica uma mola; calcula o valo da enegia potencial gavitacional de um copo em uma dada altua, medida a pati de uma oigem; calcula o valo da enegia potencial amazenada em uma mola compimida, a pati de seu ponto de equilíbio; usa a consevação da enegia mecânica paa esolve poblemas físicos em que só atuem foças consevativas; calcula a potência média de uma patícula, quando conhecemos o tabalho ealizado em um dado intevalo de tempo; calcula a potência de uma patícula em movimento, quando conhecemos a sua velocidade e as foças que atuam sobe ela. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 4 As Aplicações das Leis de Newton.

194 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho TRABALHO E ENERGIA Em sua oigem, a palava enegia vem do gego e denota atividade, opeação ou vigo, que é uma popiedade de quem está ativo ou tabalhando. De maneia análoga, enegia, em Física, é também uma popiedade das patículas. Entetanto, paa entendemos o significado físico de enegia, devemos, antes, defini a gandeza que chamamos de tabalho, que é o que faemos a segui. Vamos começa consideando o caso simples de um bloco em epouso sobe uma mesa bem lisa. Suponha que uma foça de módulo constante seja aplicada sobe o copo, como mostada na Figua 5.1 a segui. F θ F cos θ d Figua 5.1: Bloco sendo puxado po uma foça constante, o que acaeta um deslocamento d. Assumindo que o copo tenha pecoido uma distância d ao longo da mesa, dizemos que a foça F ealizou tabalho sobe o bloco, que é dado pela expessão W F cos θ d. = ( ) (5.1) Note que o tabalho ealizado pela foça sobe o bloco é tanto maio quanto maio fo o deslocamento ou a foça sob a ação da qual ele se ealiza. 194 CECIER J Extensão

195 Além disso, é bastante intuitivo pecebe que apenas a pojeção da foça F na dieção do deslocamento é eficaz paa movimenta o bloco. Aliás, como você sabe, essa pojeção é dada po AULA 5 F cos θ, (5.) onde θ é mostado na figua como o ângulo ente a foça e a dieção do deslocamento. Assim, a julga pela Equação (5.1), o tabalho ealizado sobe o bloco deve se a pojeção da foça na dieção do deslocamento multiplicada pela distância pecoida; ou seja, o tabalho ealizado po F sobe o bloco deve se W = F cos θ d. expessão, Na vedade, existe uma maneia mais compacta de esceve essa W = F d, (5.3) onde o opeado denota o poduto escala ente os vetoes F e d (veja o apêndice da Aula ), e o veto deslocamento d é definido como o veto, que vai do ponto de onde o copo sai do epouso até o ponto em que a distância foi medida, como mostado na Figua 5.1. Essa é a expessão paa o tabalho ealizado po uma foça constante. Após esse esultado, esponda, qual deve se, então, o tabalho ealizado pela foça peso paa o mesmo deslocamento d ao longo da mesa? Se você espondeu que o peso não ealizou tabalho sobe o bloco, acetou! A pojeção da foça peso sobe o deslocamento é nula, visto que o peso está na vetical e o deslocamento na hoizontal. Como π cos 0, = temos que o tabalho ealizado é nulo, pela Equação (5.3) Mas suponha agoa que existam duas foças F 1 e F, atuando sobe o copo, como mostado na Figua 5. a segui. Pela definição anteio, o tabalho ealizado po F 1 é F cosθ d e, o tabalho ealizado 1 1 po F é F cosθ d, onde θ 1 e θ são mostados na figua. Olhe com atenção paa a Figua 5., o tabalho ealizado po F 1 é positivo, poque cosθ 1 > 0; mas o tabalho ealizado po F é negativo, poque cosθ < 0. CECIER J Extensão 195

196 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho Assim, pecebemos que o tabalho ealizado po uma foça sobe um copo pode se positivo, negativo ou nulo. F 1 F θ θ 1 Figua 5.: Duas foças distintas atuando sobe o bloco. Entetanto, até agoa só vimos como calcula o tabalho ealizado po uma foça constante, mas ainda não discutimos o seu significado físico, que é o que faemos agoa. Vamos volta à situação descita pela Figua 5.1. Quando a foça F é aplicada sobe o bloco, ela o etia do epouso, tonando-o animado, ou em movimento. Esse copo ganha velocidade em função da foça aplicada, e dizemos que esse copo em movimento tem uma enegia associada à sua velocidade, que chamamos de enegia de movimento, ou enegia cinética. Po definição, a enegia cinética de uma patícula de massa m que se move com velocidade v é dada po K = 1 mv. (5.4) Potanto, ao ealiza tabalho sobe o bloco, a foça F fonece enegia cinética ao bloco.! Definimos enegia como a capacidade de poduzi tabalho. 196 CECIER J Extensão

197 Mas você podeia pegunta: Não foi o tabalho ealizado pela foça que foneceu enegia ao bloco? Como assim a enegia é a capacidade de poduzi tabalho? Bom, é essa a pegunta a que vamos tenta esponde nesta aula. Vamos começa tentando calcula o tabalho ealizado pela esultante de todas as foças que atuam sobe um copo abitáio. Assim, imagine um copo em que atuam n foças constantes sobe ele, cada foça associada a um índice i, i ealizado pela esultante? = 1, L, n. Como calcula o tabalho Bom, o tabalho ealizado pela esultante deve se a soma dos tabalhos ealizados po cada uma das foças que atuam sobe o copo. Isso você pode pova matematicamente: é só usa o fato de que a esultante é a soma vetoial de todas as foças que atuam sobe o bloco, isto é, R =, n F i i = 1 (5.5) AULA 5 e substitui a expessão acima na Equação (5.3). Usando as popiedades do poduto vetoial, você deve se capaz de mosta que n n n W = R d = Fi d Fi d Wi g g = ( g ), i = 1 i = 1 i = 1 (5.6) onde W i é o tabalho ealizado pela foça F i sobe o copo. Mas, pela ª Lei de Newton, a esultante é R = ma. (5.7) Além disso, como vimos quando estudamos a cinemática do movimento unidimensional (veja a Aula 1), também sabemos que, paa um copo que pecoe uma distância d ao longo de uma eta com aceleação a constante, existe a expessão: v = v + ad, f i onde ν f e ν i denotam a velocidade final e inicial espectivamente. CECIER J Extensão 197

198 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho Podemos combina os tês ingedientes apesentados: a equação de Toicelli acima, a ª Lei de Newton e o cálculo do tabalho ealizado pela esultante das foças que atuam sobe um copo da seguinte foma: W R d ma d m ad m v f vi = = = = 1 1 = mvf mvi, (5.8) onde, obviamente, usamos o fato de que a esultante está na dieção do deslocamento. Você sabeia dize o poquê? significa? Obseve agoa o último temo da equação acima, o que ele Bem, usando a definição de enegia cinética, o último temo da Equação (5.8) é a vaiação da Enegia Cinética, K. Potanto, quando a esultante das foças que atuam sobe um copo é constante, o tabalho ealizado pela esultante equivale à vaiação da enegia cinética. Podemos intepeta esse esultado, dizendo que o tabalho ealizado po uma foça pode acescenta ou etia a enegia de um copo, e podemos imediatamente conclui que a enegia e o tabalho têm as mesmas unidades. A Equação (5.3) indica que o tabalho (ou a enegia) é expesso(a) em unidades de foça vezes deslocamento. Po outo lado, a Equação (5.4) indica que a foça pode se escita em unidades de massa vezes o quadado da velocidade. Como execício, moste que essas unidades são equivalentes. expesso po No sistema MKS (meto-kilogama-segundo), o tabalho é 1N 1m = 1J, (5.9) onde N denota newtons, que é uma unidade de foça, m denota metos, que é uma unidade de compimento, e J denota joules, que é uma unidade paa enegia. No sistema CGS (centímeto-gama-segundo), seia 1dina 1cm = 1eg. Logo, 1J = 10 7 egs (visto que 1N = 10 5 dinas). A unidade joule (J) foi assim denominada em homenagem ao iluste físico inglês James Joule ( ). 198 CECIER J Extensão

199 Conheça mais sobe James Joule atavés do link: AULA 5 ATIVIDADE 1. A Figua 5.3 mosta um bloco de 5,0kg, deslizando sem atito paa baixo de um plano inclinado que faz um ângulo de 30 o com a hoizontal. Considee que o bloco desliza,0m, paa baixo, ao longo do plano inclinado. a. Quais são as foças que atuam no bloco? Calcule o tabalho ealizado po cada uma dessas foças. b. Qual é o tabalho total ealizado sobe o bloco? c. Quando o bloco pate do epouso, qual é a velocidade do bloco depois de desliza,0m? d. Quando o bloco pate com uma velocidade inicial de 3,0m/s, qual é a velocidade do bloco depois de desliza,0m? m v 30 0 Figua 5.3: Um bloco que desliza ao longo de um plano inclinado. CECIER J Extensão 199

200 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho RESPOSTAS COMENTADAS a. Você pode afima que as foças que atuam no bloco são a foça peso P u que tem dieção vetical, sentido paa baixo e módulo igual a P = mg; a foça nomal N uu, com dieção pependicula ao plano inclinado. Você pode ve na Figua 5.4 essas duas foças bem como o veto de deslocamento d u do bloco, que é paalelo ao plano inclinado e tem um módulo igual a d =,0m. Você pode veifica geometicamente que o ângulo ente os vetoes P u e d u vale 60 o. A foça nomal N uu, como o pópio nome já diz, é pependicula ao plano inclinado e, po causa disso, o ângulo ente os vetoes N uu e d u vale 90 o. A foça esultante sobe o bloco é a supeposição das foças P u e N uu, ou seja, u u uu R = P + N. N uu m 90 0 P u 60 0 d u 30 0 Figua 5.4: As duas foças P u e N uu que atuam no bloco. Agoa, você deve calcula o tabalho ealizado pela foça peso e pela foça nomal,w N, quando o bloco é deslocado de d u. O tabalho da foça peso, W P, é o seguinte: Ao substitui a massa do bloco m = 6,0kg e o módulo do veto de deslocamento d =,0m, você vai enconta a quantidade de tabalho W P, W = u P P u d = mgd cos 60 o. W P = ( 5, 0kg)( 9, 8m/s )(, 0m)( 1/ ) = 49J. O tabalhow N, ealizado pela foça nomal é nulo poque cos 90 o = 0, W = uu N N u d = o Nd cos 90 = CECIER J Extensão

201 Note que a foça nomal não ealiza tabalho quando o bloco é deslocado. b. O tabalho total ealizado sobe o bloco é calculado com a foça esultante que atua sobe o bloco, isto é, u u u uu u W = R d = ( P + N) d = W + W. P N AULA 5 Como você veificou que a foça nomal não ealiza tabalho, o tabalho total é igual ao tabalho ealizado pela foça peso, W = W P = 49J. c. A vantagem em usa a definição do tabalho ealizado po uma dada foça pode fica mais apaente quando usamos o fato de que o tabalho ealizado equivale à vaiação da enegia cinética, W = K. Neste poblema, você pode usa este esultado paa calcula a velocidade do bloco, depois que este desliza,0m ao longo do plano inclinado. Paa isto, você pode usa a seguinte igualdade: W = 1 mv. A pati da elação acima, você calcula a velocidade do bloco, W ( 49J) v = = 4, 4m/s. m ( 5, 0kg) d. Neste caso, o bloco pate com uma velocidade inicial v i = 1,0m/s. Assim, você pode novamente usa o fato de que W = K, Você pecisa isola a velocidade v na elação acima. A esposta que você vai enconta é W = 1 1 mv mv i. W ( 49J) v = vi + = ( 3, 0m/s) + 5, 3m/s. m ( 5, 0kg) CECIER J Extensão 01

202 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL Na seção anteio, vimos como calcula o tabalho ealizado po uma foça constante sobe um copo. Entetanto, o que acontece quando a foça aplicada muda de magnitude a medida que o copo muda de posição? Em outas palavas, como calcula o tabalho de uma foça que vaia com a posição da patícula? De fato, essa situação é bastante comum na Natueza. Po exemplo, você deve se lemba do sistema massa-mola; nesse caso, a foça que a mola exece sobe a massa vaia à medida que compimimos ou esticamos a mola, de acodo com a Lei de Hooke. Mesmo a foça gavitacional, que gealmente consideamos constante paa pequenas altuas, vaia em função da distância, à medida que nos afastamos do cento da Tea, de acodo com a Lei da Gavitação de Newton (veja a Aula 4). Potanto, o cálculo do tabalho paa uma foça vaiável é bastante útil. Paa simplifica os cálculos, vamos continua assumindo que o deslocamento se dê ao longo de uma eta; mas, ao contáio do que acontecia na seção anteio, vamos assumi que o módulo da foça possa vaia ao longo do deslocamento e vamos epesenta o módulo dessa foça na dieção do deslocamento po F(x). Antes de calcula o tabalho exatamente, vamos obte um esultado apoximado, dividindo a distância pecoida em pequenos intevalos, como mosta a Figua 5.5 a segui. Áea = A = F x x F x F x x x x i f x Figua 5.5: Gáfico de F x em função de x. 0 CECIER J Extensão

203 Paa cada intevalinho, vamos defini F x como sendo a foça no ponto médio desse intevalo. A eta hoizontal que passa po F x tem um valo póximo ao valo de F(x) em cada ponto desses intevalos, veja a Figua 5.5. Se o deslocamento neste intevalo fo x, o tabalho ealizado pela foça F x, que é constante, deve se igual a esta foça multiplicada pela distância pecoida, ou seja, F x x, o que equivale à áea do etângulo sombeado na Figua 5.5. Assim, o tabalho total apoximado deve se a soma da áea de todos os etângulos. AULA 5 Mas essa é só uma apoximação, ceto? Você pode se pegunta então: Quando é que o esultado se tona exato, afinal? Oa, o esultado se tona exato quando dividimos a distância em intevalos tão pequenos, mas tão pequenos, que F(x) e F x coincidem paa qualque ponto de um desses intevalos infinitesimais. Mas paa que F(x) e F x sejam idênticos, é necessáio que estejamos no limite em que x 0. Assim, o tabalho ealizado pela foça F(x) é xf W = lim F x = F( x) dx; x 0 xi x xf xi (5.10) ou seja, o tabalho ealizado po F(x) sobe um copo paa i do ponto x i ao ponto x f é uma integal, que equivale à áea sob a cuva de F(x) no intevalo ente as posições x i e x f.! O cálculo de deivadas e integais está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações, emboa seja bastante usado em toda a discussão desta seção. Note que a definição de tabalho paa uma foça vaiável dada pela Equação (5.10) é válida apenas paa um deslocamento unidimensional. Paa o movimento u u u tidimensional, uu po exemplo, o tabalho ealizado po uma foça R = F + é Pdado + N pela expessão W = F dl, C (5.11) onde a integal acima epesenta a integal de linha ao longo da tajetóia C descita pela patícula paa i da posição inicial à posição final. Obviamente, o cálculo de uma integal de linha também está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações. CECIER J Extensão 03

204 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho Como aplicação, considee uma massa atada a uma mola compimida de uma distância d, medida a pati da sua posição de equilíbio. Pela Lei de Hooke, a foça que a mola exece sobe a massa, quando deslocada de uma distância x da sua posição de equilíbio, deve se F = kx, (5.1) onde a constante elástica k, que mede a igidez da mola, é constante. Paa calcula o tabalho ealizado po essa foça, usamos a conhecida elação paa a integal da função f ( x) = x n ente limites de integação abitáios a e b, b a b n+ 1 n+ 1 n+ 1 n x b a x dx = = n + 1 n + 1 n + 1. a (5.13) Potanto, o tabalho ealizado seá 0 W = ( kx) dx = kd 1 d (5.14) 1 = kd. Veja que o tabalho é positivo, pois a foça estava na dieção do deslocamento. Po outo lado, podemos calcula também o tabalho que a mola ealiza sobe a massa quando a mola sai da posição de equilíbio e se dilata de uma distância d, medida a pati da posição de equilíbio, W d kx dx = ( ) 0 (5.15) 1 = kd, onde o tabalho é negativo, já que a foça que a mola aplica sobe o bloco está na dieção contáia ao deslocamento. Agoa, suponha que o sistema massa-mola saia de seu ponto de equilíbio, dilate-se de uma distância d e volte até a sua posição oiginal. Como vamos calcula o tabalho? É fácil, da mesma maneia que calculamos o tabalho até agoa: simplesmente usando a Equação (5.10). Só que, nesse caso, temos que x i = x f. E paa calcula essa integal, usamos uma popiedade muito 04 CECIER J Extensão

205 manjada das integais, em que sepaamos a integal numa soma de duas integais: uma que desceve a dilatação da mola e outa que desceve seu etono até a posição de equilíbio. A dilatação, como vimos, é dada pela Equação (5.15), e o etono ao ponto de equilíbio é dado pela Equação (5.14). Assim, o tabalho de todo o pocesso fica AULA 5 d ( ) + ( ) W = kx dx kx dx = kd + kd = 0. 0 d (5.16) Ou seja, o tabalho total é zeo! Isso acontece poque a foça que a mola exece sobe a massa é uma foça consevativa. O tabalho ealizado po uma foça consevativa só depende da posição final e inicial no movimento unidimensional. Como a mola volta à sua posição inicial, o tabalho ealizado é nulo. Na póxima seção, vamos entende melho o que é uma foça consevativa. Finalmente, vamos considea o caso em que a foça esultante sobe a patícula só dependa da posição da patícula. Ela não depende, po exemplo, da velocidade da pópia patícula, nem do instante consideado, e nem da posição de outas patículas na vizinhança da patícula que estamos analisando. Seá que, nesse caso, temos um esultado análogo ao fonecido pela Equação (5.8)? Paa sabe a esposta, pecisamos usa a ª Lei de Newton paa esceve o módulo da foça esultante, como: R = ma = m dv, dt (5.17) onde a e v são a aceleação e a velocidade instantânea da patícula, espectivamente. Po sua vez, a velocidade escala pode se epesentada po ν = dx /dt. Assim, podemos faze uma mudança de vaiável na integal da Equação (5.10) paa esceve x f f W R x dx m dv f = = vdt mv dv ( ) ( ) = dt dt dt, xi t ti t ti (5.18) CECIER J Extensão 05

206 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho onde x i x( t ) e x x( t ), ou seja, os instantes t i e t f coespondem i f f aos instantes inicial e final do deslocamento espectivamente. Podemos imediatamente calcula a Equação (5.18) acima, fazendo outa mudança de vaiável, que consiste em intega sobe a velocidade e não, sobe o tempo. Como dv onde v i v( t ) e v i ( ) dv / dt dt, temos que f W = mvdv, (5.13), a integal na Equação (5.19) nos dá (5.19) v( t ). Usando a nossa conhecida Equação f vf vi v f 1 1 W = mvdv = mvf mvi K, vi (5.0) ou seja, o tabalho ealizado po uma foça esultante, que só dependa da posição da patícula, é igual à vaiação da enegia cinética ente as posições inicial e final. Isto genealiza a Equação (5.8) paa o caso de uma foça vaiável. O esultado acima é chamado de Teoema Tabalho- Enegia Cinética. Emboa o esultado fonecido pela Equação (5.0) tenha sido deduzido paa uma foça esultante que só dependa da posição da patícula, esse esultado é válido paa uma foça qualque. Logo, o tabalho ealizado pela foça esultante é sempe igual à vaiação da enegia cinética ente as posições inicial e final. Nesse caso, o tabalho ealizado pela foça esultante é dado pela Equação (5.11). A demonstação desse esultado foge ao objetivo deste cuso. 06 CECIER J Extensão

207 ATIVIDADE. Um bloco com uma massa de 0,80kg pate com uma velocidade inicial de 1,m/s paa a dieita, sobe uma supefície hoizontal, e colide com uma mola que tem uma constante elástica igual a 50N/m. Despeze o atito ente o bloco e a supefície hoizontal. AULA 5 a. Qual é o tabalho total ealizado sobe o bloco? Qual é o tabalho ealizado pela foça da mola sobe o bloco? b. Qual é a compessão máxima da mola após a colisão? RESPOSTAS COMENTADAS Vamos distingui tês estágios difeentes do movimento do bloco. Você pode obseva na Figua 5.6 que inicialmente em (a) o bloco tem uma velocidade v A. Em (b), o bloco passa a compimi a mola até que em (c) o bloco é paado, v C = 0. x = 0 V A A V B B x B V C = 0 C x max Figua 5.6: Um bloco deslizando sobe uma supefície hoizontal suave. CECIER J Extensão 07

208 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho a. Como você pode obseva na Figua 5.6, o bloco que inicialmente se movimenta paa a dieita com uma velocidade v A =1,m/s é paado pela foça elástica, v C = 0. Isto significa que a enegia cinética do bloco sofeu uma vaiação, ou seja, K = mvc mva = ( 0, 80kg)( 1, m/s) 0, 58J. Confome foi discutido na aula, o Teoema do Tabalho-Enegia Cinética detemina que a vaiação da enegia cinética é igual ao tabalho total ealizado,w = K. Como 0, 58você J. pode ve, é coeto afima que o tabalho total ealizado sobe o bloco vale W = K 0, 58J. Neste poblema, você pecisa pecebe que além da foça elástica da mola u u u uu u u u uu u u u uu R = F, + atuam P + N também sobe o bloco a foça R peso = F + P +e Na foça R = nomal F + P + N. Assim, u u u uu a foça esultante sobe o bloco é R = F + P + N, e o tabalho total sobe o bloco é dado pela soma de tês pacelas, W = WF + WP + WN. Veja na Figua 5.6 que a compessão máxima da mola detemina um deslocamento d u paa a dieita, onde d = x máx. Mais ainda, obseve que o veto d u tem dieção paalela à supefície hoizontal, enquanto que as foças u u u u u u uu R = F + P+e + N têm dieções pependiculaes à supefície hoizontal. Como esultado desta análise, você pode dize que W = u P P u d = 0 e W = uu N N u d = 0, W F = W 0, 58J. Note que o tabalho ealizado pela mola sobe o bloco é negativo poque a foça elástica tem sentido contáio ao sentido do deslocamento. b. Nesta aula, você apendeu que o tabalho ealizado pela foça da mola é dado pela seguinte fómula: W = 1 F kd. Você agoa pecisa usa a fómula acima paa calcula a compessão máxima da mola, WF ( d = 0, 58J) 0, 15m. k ( 50N/m) 08 CECIER J Extensão

209 FORÇAS CONSERVATIVAS Considee um bloco, caindo veticalmente de uma altua h e despeze a esistência do a, qual seá o tabalho ealizado pelo peso? Oa, se consideamos a foça peso como sendo constante e paalela ao deslocamento, e seu módulo igual à mg, onde g é o módulo da aceleação da gavidade, o tabalho deve se AULA 5 W = mgh. (5.1) Agoa considee uma outa situação, em que um bloco desce um plano inclinado de altua h sem atito, como mosta a Figua 5.7. Se nós supusemos que o bloco pecoeu uma distância d ao longo do plano, qual seá o tabalho ealizado pelo peso? a h d θ Figua 5.7: Bloco descendo um plano inclinado sem atito. Oa, sabendo que a pojeção da foça na dieção do deslocamento é mgsenθ, o tabalho seá W = mg senθ d. Mas, veja que senθ = h / d. Assim, (5.) W = mgh. (5.3) CECIER J Extensão 09

210 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho Você pecebeu? O tabalho ealizado pelo peso paa faze o bloco cai ou desce o plano sem atito é o mesmo. De fato, mesmo que o bloco pecoesse uma tajetóia abitáia, como mostada na Figua 5.8, po exemplo, o tabalho ealizado pelo peso só dependeia da difeença ente a altua inicial e a altua final, poque o tabalho ealizado pelo peso não depende da tajetóia pecoida, mas apenas dos pontos de onde o copo patiu e chegou, como vimos na seção anteio. Além disso, se o bloco volta à mesma altua de onde saiu, o tabalho seá nulo. A demonstação desse esultado é simples e muito paecida com a demonstação que fizemos paa o caso do sistema massa-mola; po isso, ela seá omitida. m Figua 5.8: Uma patícula desce um escoega sem atito. As Equações (5.1) e (5.3) mostam que o tabalho ealizado pela foça gavitacional depende apenas da difeença ente a altua inicial e a altua final, que chamamos de h nessas equações. Essa foma de enegia, que só depende da posição em que a patícula se enconta, chama-se de enegia potencial, que denotaemos po U. No final desta seção, vamos explica melho o significado físico da enegia potencial. 10 CECIER J Extensão

211 Po hoa, basta você sabe que a enegia potencial gavitacional, que está associada ao tabalho da foça peso, é dada po AULA 5 U( z) = mgz, (5.4) onde z é a altua da patícula com elação à oigem do eixo OZ.! Note que a enegia potencial depende da escolha da oigem do eixo OZ. De fato, quando estamos dento de um apatamento em um pédio, podemos dize que a enegia potencial de um cinzeio sobe uma mesa é popocional à altua da mesa. Mas também podemos dize que a enegia potencial do cinzeio é popocional à altua da mesa acescida da altua do anda em que se enconta o apatamento, ou seja, U = mg ( hmesa + hapatamento ). Assim, a oigem, a pati da qual mede-se a altua de uma patícula, altea o valo da enegia potencial. Agoa, vamos volta ao caso de uma patícula em epouso que cai veticalmente de uma altua h. Usando a Cinemática paa os copos em queda live, a velocidade da patícula ao atingi o chão deve se vf = gh. (5.5) Da mesma foma, uma patícula lançada veticalmente paa cima com velocidade gh sobe uma distância h até, momentaneamente, paa. Potanto, a velocidade adquiida po uma patícula, após cai de uma ceta altua é capaz de fazê-la subi até essa mesma altua. Aliás, se um bloco deslizasse sobe um plano inclinado, teíamos um esultado idêntico. De fato, se um bloco pate do epouso e desliza sobe um plano inclinado sem atito, que faz um ângulo θ com a hoizontal e tem altua h, depois de pecoe uma distância d, ele atinge a velocidade gh. Paa demonsta esse esultado, basta sabe que a velocidade é calculada pela conhecida equação de Toicelli, v f (5.6) = g h d d, CECIER J Extensão 11

212 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho onde gsenθ = gh / d é a aceleação da foça esultante que atua sobe o bloco. Logo, vf = gh, como queíamos demonsta. Além disso, se você lança o bloco com essa mesma velocidade gh sobe o plano inclinado, fazendo-o subi, ele pecoeá uma distância d sobe o bloco até momentaneamente paa no alto do plano inclinado, na altua h. Note que esse esultado não depende da inclinação θ do plano inclinado, mas apenas da altua em que o bloco se enconta. Na vedade, mesmo que o bloco pecoesse uma tajetóia abitáia, como mostada na Figua 5.8; ainda assim, a velocidade adquiida pelo bloco só dependeia da altua pecoida. Assim, pela equação de Toicelli, a velocidade de uma patícula sob a ação de uma foça gavitacional, pecoendo uma tajetóia abitáia sem atito, se esceve como v v g z z, = ( ) f i f i (5.7) onde z i e z f são as altuas inicial e final da patícula com elação à oigem do eixo OZ. A Equação (5.7) acima pode se eescita como 1 1 vf + gzf = vi + gzi. (5.8) Potanto, paa qualque altua da tajetóia, a quantidade se conseva. 1 v f + gz Se multiplicamos a expessão acima pela massa da patícula, encontaemos que 1 mv + mgz = K + U E, (5.9) onde definimos a enegia mecânica E como sendo a soma da enegia potencial com a enegia cinética. Logo, paa uma patícula, sob a ação da foça gavitacional, a enegia mecânica se conseva. 1 CECIER J Extensão

213 ! Foças sob ação das quais a enegia mecânica se conseva são chamadas de foças consevativas. AULA 5 Em paticula, a foça peso é um exemplo de foça consevativa. Paa fixa as idéias, vamos considea um pedacinho de gelo que se despende e desliza pelas paedes de uma taça semicicula sem atito, como mosta a Figua 5.9. Pedaço de gelo Figua 5.9: Pedaço de gelo deslizando pelas paedes de uma taça semicicula sem atito. Quando o pedaço de gelo está paado no alto da taça, ele possui enegia potencial gavitacional, o que significa que a foça peso pode ealiza tabalho sobe ele. Na vedade, é isso que significa dize que o bloco de gelo possui enegia potencial, que é uma foma de enegia que fica amazenada em foma de potencial, podendo se convetida em outo tipo de enegia e poduzi tabalho. Se supusemos que a oigem, a pati do qual medimos a altua, é o fundo da taça semicicula, a enegia potencial seá U = mg onde m é a massa do pedaço de gelo. Po outo lado, como o gelo está em epouso, a enegia cinética seá nula, K = 0. Então, a enegia mecânica no alto da taça, que epesentaemos po E 1, é E1 = K + U = 0 + mg. (5.30) CECIER J Extensão 13

214 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho Em seguida, o gelo sai do epouso e desliza pelas paedes da taça, a foça peso ealiza tabalho sobe ele, tansfomando sua enegia potencial em enegia cinética. Assim, ao chega ao fundo da taça, o gelo está em movimento e, potanto, possui enegia cinética. Po definição, a enegia cinética é K = mv /, onde v é o módulo da velocidade do gelo ao chega no fundo da taça. Po outo lado, a enegia potencial do gelo no fundo da taça é nula, pois a altua dele é nula. Então, a enegia mecânica do gelo ao chega ao fundo da taça, que epesentaemos po E, é E = U + K = mv. (5.31) Como sabemos, a enegia mecânica se conseva, pois a foça peso é consevativa, então temos que E 1 = E. Compaando as Equações (5.30) e (5.31), é fácil calcula a velocidade com que o pedaço de gelo chega no fundo da taça: v = g. Entetanto, é ainda mais inteessante pecebe que toda a enegia potencial foi convetida em enegia cinética. Aliás, se tomamos dois pontos quaisque da descida; po exemplo: A e B, em que a patícula passa antes po A e depois po B, podemos esceve que a enegia mecânica do gelo, no ponto A, é E A = K A + U A e que a enegia mecânica, no ponto B, é E B = K B + U B. Como E A = E B, podemos iguala as duas expessões anteioes paa esceve isto é, E = E E = 0 K K = U U ; B A B A A B K = U. (5.3) (5.33)! Como a vaiação da enegia mecânica é nula, temos que, paa qualque techo da tajetóia em que uma foça consevativa ealiza tabalho sobe um copo, a vaiação da enegia cinética é igual a menos a vaiação da enegia potencial. Mas, depois dessa análise, você podeia se pegunta: Ao chega ao fundo da taça, o pedaço de gelo tem enegia cinética, não é? Isso que dize que a enegia cinética tem capacidade de poduzi tabalho? Oa, é clao que sim. Ao chega ao fundo da taça com enegia cinética, o gelo começa a subi pela paede do outo lado da taça até chega ao alto. Enquanto sobe, a foça peso ealiza tabalho negativo 14 CECIER J Extensão

215 sobe ele, diminuindo a enegia cinética do pedaço de gelo. Ao chega ao alto da taça, o gelo páa, momentaneamente, e toda a enegia cinética foi convetida em enegia potencial. Novamente, você podeia se pegunta: Ao chega ao alto da taça, o pedaço de gelo tem enegia potencial, não é? Isso que dize que a enegia potencial também tem capacidade de poduzi tabalho, não é mesmo? De novo, você tem azão. Ao chega ao alto da taça, o gelo começa a desce pela paede até alcança o fundo. Enquanto desce, a foça peso ealiza tabalho positivo sobe o gelo, aumentando sua enegia cinética. Ao chega ao fundo, toda a enegia potencial foi tansfomada em enegia cinética novamente. Aliás, se você acha que o gelo começaá a subi a paede do outo lado da taça até chega ao topo, acetou. O gelo deve fica subindo e descendo indefinidamente sem paa. Sem paa!? Você deve esta se peguntando: Como eu não vejo isso acontecendo todos os dias? Bem, você não vê isso acontecendo todos os dias, poque no mundo eal existem foças dissipativas como o atito. Se consideamos o atito, ao desce as paedes da taça, pate da enegia potencial, que seia tansfomada em enegia cinética, seá tansfomada em calo, que é tansmitido paa o exteio do pedaço de gelo. Da mesma foma, ao subi pela paede do outo lado da taça, pate da enegia cinética, que seia tansfomada em enegia potencial, é dissipada, fazendo com que o gelo não alcance exatamente o alto da taça, do outo lado. Assim, enquanto vai e volta, o gelo vai subindo cada vez menos, até que finalmente páa. E é exatamente isso o que vemos no nosso dia-a-dia. Finalmente, nesse ponto, você podeia dize: Entendi que a foça peso é uma foça consevativa, que a enegia mecânica se conseva quando o peso ealiza tabalho sobe um copo e que a vaiação da enegia cinética é igual a menos a vaiação da enegia potencial paa qualque techo da tajetóia. Mas, eu ainda me lembo que você disse, na seção anteio, que a foça dada pela Lei de Hooke também ea um exemplo de foça consevativa. Assim, eu desejo muito sabe como posso estende a análise da foça peso paa uma foça consevativa vaiável. Isso é possível? É clao que isso é possível. Na vedade, isso é até bem fácil paa o caso de um deslocamento unidimensional, como veemos a segui. Entetanto, nossa discussão se estingiá ao caso de uma foça no movimento unidimensional que só dependa da posição da patícula. AULA 5 CECIER J Extensão 15

216 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho No início desta seção, associamos a enegia potencial gavitacional ao tabalho ealizado pela foça peso sobe um copo que cai de uma deteminada altua. De maneia análoga, vamos defini a função enegia potencial, U(x), que depende da posição x da patícula, da seguinte foma: x U( x) = F( x ) dx, xi (5.34) onde x' é simplesmente uma vaiável de integação. Compaando a expessão acima com a Equação (5.10), em que calculamos o tabalho de uma foça vaiável, vemos que a enegia potencial está associada a menos o tabalho que seia ealizado pela foça sobe uma patícula paa i da posição x i até a posição x.! Note que o valo da enegia potencial depende de uma escolha abitáia paa x i. Como aplicação, vamos considea a enegia potencial gavitacional. Assumindo que o eixo OZ esteja apontado paa cima, paa qualque altua z de um copo sob a ação da foça peso, temos que F ( z) = mg. Logo, pela Equação (5.34), a enegia potencial gavitacional seá: z U( z) = ( mg) dz = mgz mgz i. zi A escolha de z i é abitáia e significa escolhe a altua em que a enegia potencial é nula. Então, ao escolhemos a oigem do eixo OZ como z i = 0, encontamos U(z) = mgz. Paa o caso da Lei de Hooke, a foça é F( x) = kx e a enegia potencial seá x 1 1 U( x) = ( kx ) dx = kx kxi. xi (5.35) temos que Ao escolhemos a posição de equilíbio da mola como x i = 0, ( ) = 1 U x kx. (5.36) 16 CECIER J Extensão

217 Note que, se a mola não está nem compimida e nem dilatada, a massa atada à mola não possui enegia potencial. Além disso, pela Equação (5.34), vemos que a enegia potencial amazenada pelo sistema massa-mola, quando está compimida de uma distância d com elação ao ponto de equilíbio, possui a mesma enegia potencial, quando está dilatada da mesma distância d. Em ambos os casos, a enegia potencial é U = kd /. De fato, quando está dilatada, a enegia potencial é AULA 5 Po sua vez, quando está compimida, a enegia potencial é Agoa, vamos considea o caso em que a foça esultante aplicada sobe um copo no movimento unidimensional só dependa da posição da patícula. Se epesentamos po W x d 1 U = ( kx ) dx = kd. d 0 1 U = ( kx ) dx = kx dx = kd. 0 i x f, o tabalho ealizado pela foça esultante paa faze uma patícula i da posição inicial x i até a posição final x f, podemos dize que a vaiação da enegia potencial da patícula, U = U ( xf ) U ( xi ), é 0 d U = W x x, i f (5.37) pela definição de enegia potencial vista na Equação (5.34). Po outo lado, pela Equação (5.0), quando a foça esultante só depende da posição, o tabalho ealizado pela esultante, paa faze uma patícula i da posição inicial x i até a posição final x f, é igual à vaiação da enegia cinética. Potanto, basta combina esses dois esultados paa dize que, paa uma foça esultante de uma patícula que só dependa da sua posição no movimento unidimensional, a vaiação da enegia cinética da patícula é igual a menos a vaiação da sua enegia potencial, isto é, K = U. CECIER J Extensão 17

218 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho! Aliás, isso é o mesmo que dize que a enegia mecânica de uma patícula se conseva quando a foça esultante que atua sobe ela só depende da sua posição, no movimento unidimensional. Paa demonsta isso, basta esceve K = K K e U U x U x U U x U x. Como K = U, temos que = ( ) ( ) f i Logo, a enegia mecânica em x i, epesentada po E i, é igual à enegia mecânica em x f, epesentada po E f, ou seja, a enegia mecânica se conseva, quando a foça esultante ealiza tabalho ente as posições x i e x f. Ef Kf + U ( xf ) = Ki + U ( xi ) Ei. f i = ( ) ( ) f i! Finalmente, como conseqüência do esultado acima, podemos dize que se uma foça aplicada sobe uma patícula só depende da sua posição no movimento unidimensional, essa foça é consevativa. Em paticula, a foça dada pela Lei de Hooke é consevativa. Neste ponto, vamos epoduzi um comentáio petinente, feito pelo Pof. H. Moysés Nussenzveig em seu livo Cuso de Física Básica, v.1: Podeia paece, à pimeia vista, que a foça de atito cinético ( Fa = µ cn ) satisfaz ao citéio de só depende da posição, uma vez que Fa = µ cné (apoximadamente) independente da velocidade, o que caacteiza uma foça consevativa. Entetanto, mesmo que a magnitude da foça seja independente da velocidade, o seu sentido se invete quando a velocidade se invete. Assim, o veto F a depende da velocidade e a foça coespondente é, de fato, dissipativa. Paa fixa as idéias, considee o sistema massa-mola. Suponha que a mola seja dilatada de uma ceta distância x, medida a pati da posição de equilíbio, como mosta a Figua 5.10.a a segui. Em seguida, imagine que a massa atada à mola seja lagada. O que deve acontece? 18 CECIER J Extensão

219 Bem, se você estudou com atenção a discussão que fizemos acima paa uma foça consevativa, você já deve sabe que, ao se dilatada, o sistema massa-mola amazenou enegia potencial; potanto, a foça estauadoa da mola pode poduzi tabalho. Assim, essa foça estauadoa ealiza tabalho positivo sobe a massa, fazendo com que o sistema adquia enegia cinética. Ao chega à posição de equilíbio, em que a mola não está nem dilatada e nem compimida, toda a enegia potencial foi tansfomada em enegia cinética. Essa situação é ilustada pela Figua 5.10.b. Nós podeíamos pegunta a você, então: Qual foi o tabalho ealizado pela foça estauadoa paa faze a massa i da posição x até a posição 0? Oa, o tabalho é dado pela Equação (5.10), o que significa esolve uma integal. Entetanto, também sabemos que o tabalho ealizado é menos a vaiação da enegia potencial. Potanto, AULA 5 W = U = x kx kx = A pati desse ponto, é inteessante pecebe que a massa continuaá se deslocando, compimindo a mola. Essa compessão continuaá até que a mola esteja compimida de uma distância x, quando o sistema páa, momentaneamente. Essa situação está ilustada pela Figua 5.10.c. Enquanto foi compimida, a foça estauadoa da mola ealizou tabalho negativo, etiando a enegia cinética do sistema, que foi toda tansfomada em enegia potencial. Podemos calcula o tabalho ealizado pela foça paa faze a massa i da posição 0 até a posição x: W = U = x kx kx = Combinando os dois esultados anteioes, pecebemos que o tabalho ealizado pela foça estauadoa paa faze a massa sai da posição x até a posição x é zeo. CECIER J Extensão 19

220 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho a F s é negativo x é positivo x x = 0 x b F s = 0 x = 0 x x = 0 c F s é positivo x é negativo x x x = 0 Figua 5.10: Sistema massa-mola. (a) A mola está dilatada de uma distância a pati da sua posição de equilíbio. Nesse ponto, a foça estauadoa é negativa, emboa a posição da massa seja positiva. (b) Sistema massa-mola na posição de equilíbio. Nesse ponto, a mola não exece foça sobe a massa. (c) A mola está compimida de uma distância x. A foça estauadoa é positiva, emboa a posição da massa seja negativa. 0 CECIER J Extensão

221 Mas isso não encea nossa discussão, pois, como está compimida e o sistema possui enegia potencial, a foça estauadoa é capaz de poduzi tabalho. Assim, a massa continuaá se deslocando, agoa na dieção contáia, até paa momentaneamente na posição de onde tinha saído, em que a mola está dilatada de uma distância x, como mosta a Figua 5.10.a. Na vedade, a massa vai e vem indefinidamente, pois apenas uma foça consevativa atua sobe o sistema. É fácil ve que o tabalho ealizado pela foça estauadoa paa i da posição x até a posição x é zeo. (Esse cálculo é simples e simila ao feito paa o tabalho ealizado ente x e x.). Assim, podemos combina todos os esultados anteioes e conclui que o tabalho ealizado pela foça estauadoa da mola paa faze a massa i e volta ao ponto de onde saiu é zeo. Essa é uma caacteística de uma foça consevativa no movimento unidimensional, em que o tabalho ealizado paa i e volta ao mesmo ponto é nulo. AULA 5 Na vedade, é assim que testamos paa ve se uma foça é consevativa no movimento tidimensional. De fato, no caso geal, dizemos que uma foça atuando sobe uma patícula é consevativa quando Ñ F dl = 0, (5.38) C onde C é qualque tajetóia fechada descita pela patícula. Isso é análogo a dize que o tabalho ealizado pela foça sobe a patícula paa sai de um deteminado ponto no espaço e volta ao mesmo ponto, descevendo uma cuva abitáia é zeo. Obviamente, o cálculo da integal de linha acima está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações. Como um último comentáio, considee a enegia potencial associada a uma foça esultante que só dependa da posição no movimento unidimensional. Da Equação (5.34) podemos usa o famoso Teoema Fundamental do Cálculo paa esceve: ( ) = R x du( x), dx (5.39) CECIER J Extensão 1

222 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho onde R(x) é a função foça esultante, que só depende da posição da patícula, x, no movimento unidimensional. Podemos, então, usa a ª Lei de Newton paa eesceve a Equação (5.39) acima po ( ) du x a( x) = 1, m dx (5.40) o que nos pemite obte a função aceleação da patícula. Assim, se conhecemos a enegia potencial da patícula e também a sua posição e a sua velocidade em um instante inicial, o que coesponde a fonece as condições de contono do poblema, podemos desceve completamente o movimento da patícula. Na vedade, em divesas aplicações, pode se mais conveniente estuda o movimento de um sistema atavés da sua enegia mecânica, do que tenta identifica todas as foças que atuam sobe um sistema e calcula as foças esultantes sobe cada patícula. Aliás, as implicações dessa afimação são imensas, mas, infelizmente, não podem se totalmente explicadas em um cuso de Física básica. ATIVIDADES 3. Uma patícula de massa m = 5,00kg é lagada do ponto A e escoega sem atito pela pista mostada na Figua Detemine: a. A velocidade da patícula nos pontos B e C. b. Calcule o tabalho total executado pela foça da gavidade no movimento da patícula ente os pontos A e C. A m B 5.00m 3.0m C.00m Figua 5.11: A patícula desce o escoega e passa pelos pontos B e C. CECIER J Extensão

223 AULA 5 RESPOSTAS COMENTADAS a. Você pode calcula a velocidade da patícula nos pontos B e C, usando o pincípio de consevação da enegia mecânica. Veja na Figua 5.11 que a patícula pate do epouso, v A = 0, de uma altua h A = 5,00m acima do solo. Dessas quantidades você pode pecebe que toda a enegia mecânica da patícula, no ponto A, está amazenada na foma de enegia potencial gavitacional, E A = mgh. A Na medida em que a patícula começa a desce pelo escoega, adquiindo velocidade, sua enegia passa a fica amazenada como enegia cinética e potencial. Cálculo de v B : A enegia mecânica E B da patícula no ponto B está distibuída em uma pacela na foma de enegia cinética, K B, e outa na foma de enegia potencial, U B. Vamos chama de v B a velocidade com que a patícula passa pelo ponto B. Veja na Figua 5.11 que o ponto B está a uma altua de h B = 3,0m acima do solo. A enegia mecânica da patícula no ponto B é a seguinte: 1 EB = mvb + mghb. Você apendeu que a enegia mecânica é consevada e, po causa disso, podemos dize que as enegias nos pontos A, B e C são iguais, E A = E B = E C. Paa calcula a velocidade v B, você deve usa a igualdade E A = E B, 1 mgha = mvb + mghb. A elação acima pode se manipulada algebicamente com o objetivo de isola a incógnita v B. Pocedendo dessa maneia, você vai obte o seguinte esultado: v = g ( h h ) 5, 94m/s. B A B CECIER J Extensão 3

224 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho Cálculo de v C : No ponto C, vamos usa a velocidade v C e uma altua h C =,00m. Como você já sabe, a enegia mecânica da patícula em C vale 1 EC = mvc + mghc. Paa calcula a velocidade v C, você deve usa o pincípio de consevação da enegia, E A = E C, 1 mgha = mvc + mghc. De foma análoga ao cálculo da velocidade v B, é possível calcula a velocidade v C, v = g ( h h ) 7, 67m/s. C A C b. O tabalho total executado pela foça da gavidade, no movimento da patícula ente os pontos A e C, pode se calculado po meio de uma fómula bem conhecida: W = A C KC K = A ( UC UA). A fómula acima tem o seguinte significado: O tabalho total executado pela foça peso é igual à vaiação da enegia cinética e também é igual a menos a vaiação da enegia potencial gavitacional. Se você usa as enegias potenciais dos pontos A e C, então vai enconta uma quantidade de tabalho de W = mg ( A C ha h ) =. C 147J Obseve que o tabalho ealizado é positivo, W A vetical tem o mesmo sentido que a foça peso. C > 0, poque o deslocamento 4. Duas massas m 1 = 5,00kg e m =3,00kg estão conectadas po uma coda de massa despezível que passa po uma oldana de massa despezível e sem atito, com está mostado na Figua 5.1. A massa de m 1 é lagada a pati do epouso de uma altua h = 4,00m. Usando o pincípio de consevação da enegia: a. Detemine a velocidade da massa m no instante em que a massa m 1 chega ao solo. Enconte a altua máxima que a massa m alcança. 4 CECIER J Extensão

225 AULA 5 m 1 = 5.00kg m = 3.00kg h = 5.00m Figua 5.1: Sistema mecânico que consiste de duas massas m 1 e m. RESPOSTAS COMENTADAS Nesta atividade, vamos estuda o pincípio de consevação da enegia do sistema mecânico fomado pelas massas m 1 e m. Assim, você vai admiti i i f f que a enegia total do sistema é consevada, E + E = E + E. 1 1 a. Vamos usa o eixo Z na vetical, com sentido positivo paa cima e oigem no solo. Note que no instante inicial i a enegia total do sistema E i é dada apenas pela enegia potencial gavitacional da massa m 1. Isto é vedade poque (I) as duas massas estão em epouso, ou seja, as enegias cinéticas K i 1 = 0 e K i = 0 são nulas e (II) a massa m está na oigem do eixo Z. Inicialmente, você pode afima que a enegia mecânica do sistema composto pelas massas m 1 e m é a seguinte: i i i E = E + E = m gh 1 1. CECIER J Extensão 5

226 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho No instante final f em que a massa m 1 chega ao solo, a enegia total do sistema E f é a soma das enegias E f 1 e E f. Como você pode pecebe, neste instante f a massa m 1 tem sua enegia dada pela enegia cinética, E = m v /. Dado 1 1 que as duas massas estão ligadas po uma coda, a velocidade final delas deve se a mesma, v f. Mais ainda, como a massa m 1 desceu de uma altua h até o solo, a massa m 1 subiu a pati do solo até uma altua h. Segundo estas consideações paa o instante final f, você pode esceve a enegia mecânica total do sistema, f f f 1 1 E = E1 + E = m1v f + mvf + mgh. Aqui você já pode aplica o pincípio de consevação da enegia total do i f sistema, isto é, E = E. Ao aplica a consevação você vai enconta a seguinte igualdade: 1 1 m1gh = m1v f + mvf + mgh. f Da equação acima, você obtém o valo da velocidade v f. Não vai se difícil paa você veifica que a esposta é v f = ( ) ( ) m1 m m + m gh 4, 43m/s. 1 b. Agoa você só vai pecisa se peocupa com o que aconteceá com a massa m. No momento em que a massa m 1 chega ao solo, a massa m está subindo veticalmente com uma velocidade v f.. Neste momento, a enegia mecânica da massa m vale f 1 E = mvf + mgh. Em um ceto instante, quando m atingi a altua máxima H, toda sua enegia mecânica vai se convetida em enegia potencial gavitacional. Potanto, em um instante posteio ao instante f, a enegia máxima de m deve vale E Mais uma vez, você vai aplica o pincípio de consevação da enegia, só que desta vez, apenas paa a enegia da massa m. Quando você usa a igualdade f mæx máx E = E, deve enconta a elação abaixo, 1 m vf + m gh = m gh. máx mæx Finalmente, a pati desta elação, você consegue enconta a altua máxima H que a massa m alcança, m m H h m m h m = + ( ) 1 1 = 5, 00m. + m + m ( ) 1 = m gh. ( ) = 1 6 CECIER J Extensão

227 5. Uma patícula de massa igual a,00kg se movimenta ao longo do eixo x, onde a enegia potencial depende da posição, U(x) = x 4 4,00x. O gáfico da enegia potencial como função da posição está mostado na Figua O valo mínimo da função U(x) = 4,00J ocoe nas posições x = ± m. AULA 5 a. Quando a enegia mecânica da patícula vale 3,00J, quais são as posições onde é possível enconta a patícula? b. Quando a enegia mecânica da patícula vale 3,00J, qual é a velocidade máxima alcançada pela patícula? Em que posição a patícula está quando adquii a velocidade máxima? c. Qual a enegia necessáia paa que a patícula, inicialmente numa posição x 0 < 0, ultapasse a oigem x = 0? U(J) 1 0 x(m) Figua 5.13: Enegia potencial de uma patícula em um movimento unidimensional. CECIER J Extensão 7

228 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho RESPOSTAS COMENTADAS a. Você deve lemba que a enegia mecânica E da patícula tem uma contibuição cinética, K, e outa contibuição potencial, U(x). Vamos denota a velocidade da patícula po v. A enegia mecânica da patícula de massa m =,00kg é a seguinte: 1 1 E = mv + U( x) = mv + x 4 4, 00x. Você pode obseva na Figua 5.14 que paa uma enegia mecânica E = 3,00J, existem dois paes de pontos de etono, x a, x b e x c, x d. Quando a patícula inicia seu movimento no ponto x a, com enegia E = 3,00J, ela se move até o ponto x b, e em seguida etona paa x a. Este movimento se epete indefinidamente poque a enegia é consevada. Do outo lado, onde x > 0, uma patícula que pate do ponto x c, vai até x d, e etona paa x c (e volta paa x d, etc.). U(J) 1 0 x a x b x c x d x(m) 1 3 E = 3,00J Figua 5.14: Pontos de etono x a, x b, x c e x d paa U(x)= 3,00J. Assim, é possível enconta a patícula nas seguintes posições: x x x ou x x x. a b c d 8 CECIER J Extensão

229 Paa calcula os pontos de etono, você deve impo que a enegia potencial da patícula seja igual à enegia mecânica (onde v = 0), U(x) = 3,00J, U( x) = x 4 4, 00x = 3, 00J. AULA 5 A equação acima é um polinômio de gau quato e, potanto, tem quato soluções: x a, x b, x c e x d. Note que o polinômio pode se eescito de outa maneia, 4 x 4, 00x + 3, 00 = ( x 1)( x 3) = 0. Paa que o poduto de fatoes na equação acima seja igual a zeo, é necessáio que ( x 1) = 0 ou ( x 3) = 0. Assim, você pode ve que os pontos de etono pocuados são: x x x x a b c d = 3m 1, 73m; = 1, 00m; = 1, 00m; = 3m 1, 73m. b. Veja na Figua 5.14 que a patícula tem uma enegia potencial mínima, U(± m) = 4,00J, nas posições x = ± m ± 1,41m. Isto significa que nestes dois pontos a enegia cinética da patícula é máxima e é igual à vaiação da enegia potencial, K máx K = mæx E U( ± m)= 3,00J ( 4,00J)=1,00J. Ao pecebe isto, você pode calcula a velocidade máxima alcançada pela patícula, K v máx mæx ( 1, 00J) mæx máx = = = 1, 00m/s. m (, 00kg) A patícula atinge a velocidade v máx quando a sua enegia potencial é mínima, nos pontos x ± 1,41m. c. A patícula, inicialmente localizada num ponto x 0 < 0, deve te enegia suficiente paa ultapassa a oigem. De foma mais claa, você pode afima que a patícula deve te uma enegia mecânica ligeiamente maio do que o valo da enegia potencial calculada na oigem, U(0) = 0. A patícula deve pati de x 0 < 0 com uma enegia maio do que zeo, ou seja, E m n > 0 mín CECIER J Extensão 9

230 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho POTÊNCIA A discussão de tabalho e enegia, até este momento, não mencionou o tempo que leva a ealização de uma ceta quantidade de tabalho. Em cetas situações, é impotante sabe qual é a apidez com que uma quantidade de tabalho pode se ealizada. Po exemplo, imagine um guindaste tanspotando o mateial de uma oba paa o alto de um edifício em constução. Ao egue o mateial de constução, o guindaste ealiza tabalho poque altea a enegia potencial gavitacional da caga. No entanto, paa a equipe esponsável pela oba é petinente sabe se o guindaste vai ealiza o tabalho em algumas hoas ou em alguns dias. Você cetamente consegue imagina outas situações onde é mais impotante sabe o tempo paa ealização de um ceto tabalho do que a quantidade de tabalho em si. Quando um pequeno tabalho, que vamos epesenta po W, é ealizado sobe uma patícula em um pequeno intevalo de tempo t, podemos defini a potência média P, po: P W = t. (5.41) Na medida em que o intevalo de tempo fica pequeno, t 0, a potência média, tende a uma taxa de vaiação tempoal de tabalho, em um dado instante de tempo, que é a potência instantânea P, P = dw. dt (5.4) Como você pode ve, a potência é definida como o tabalho ealizado po unidade de tempo. Obseve que, assim como o tabalho, a potência também é uma quantidade escala. A unidade de potência no sistema MKS é 1Watt = 1W = 1J/s. Po outo lado, uma unidade de tabalho bastante comum em nosso cotidiano é o kwh (quilowatt-hoa), ou seja, o tabalho ealizado em 1h po uma potência de 1kW (quilowatt). A elação ente o quilowatt-hoa e a unidade de medida de tabalho no sistema MKS, o joule, é a seguinte: 1kWh = 3, J. 30 CECIER J Extensão

231 Vamos considea o tabalho ealizado po uma foça constante F u sobe uma patícula que é deslocada de um incemento dl. Neste caso, u a quantidade de tabalho é, po definição, dw = F dl. A pati desta elação, é possível expessa a potência da seguinte maneia: u P = F v, onde v = dl / dt é a velocidade instantânea da patícula. (5.43) AULA 5 Agoa, vamos considea o caso em que a foça F u seja a esultante das foças que atuam sobe a patícula. Neste caso, pela Segunda Lei u de Newton, F = ma m( dv / dt). Substituindo essa expessão na Equação (5.43), temos que P m dv d = v mv dt = 1 dt dk dt. (5.44) Este impotante esultado estabelece que a potência epesenta a taxa de vaiação tempoal da enegia cinética da patícula. De maneia intuitiva, você pode pensa em um cao que pate do epouso e adquie uma ceta velocidade, alteando a sua enegia cinética. A potência do moto do cao detemina a velocidade que o cao seá capaz de desenvolve em um dado intevalo de tempo. Assim, um moto mais potente é aquele que consegue muda a enegia cinética do cao com mais apidez. ATIVIDADE 6. Uma montadoa de caos afima que um de seus modelos de cao é capaz de pati do epouso e atingi uma velocidade de 90km/h, aceleando duante 10s. A massa do cao vale 800kg. a. Assumindo que a pefomance é ealizada com uma potência constante, detemine a potência desenvolvida pelo moto do cao. b. Quando o cao pate do epouso, qual é a velocidade após 4s? c. Se o cao viaja a uma velocidade constante de 60km/h e começa a acelea a uma taxa de,0m/s, qual é a potência desenvolvida pelo moto do cao? Despeze o atito e a esistência do a. CECIER J Extensão 31

232 Movimentos: Vaiações e Consevações Enegia e tabalho RESPOSTAS COMENTADAS a. Você apendeu que a potência do moto do cao detemina a velocidade que o cao seá capaz de atingi em um dado intevalo de tempo t. A elação ente a potência média P e a vaiação da enegia cinética K é a seguinte: P K = t. Paa calcula a vaiação da enegia cinética do cao, K = K f K i, você pecisa usa a velocidade inicial v i = 0 e a velocidade final v f = 90km/h = 5m/s. Com essas velocidades, onde K = K f, você vai enconta uma vaiação de K = mv f = ( 800kg)( 5m/s) =, 5 10 J. Agoa basta que você calcule K/ t paa detemina a potência anunciada pela montadoa de caos, (, J) P = = 5kW. ( 10s) b. O cao pate do epouso e, depois de 4s, atinge uma velocidade final. Nesta situação, você deve começa calculando a vaiação da enegia v f cinética do cao, 4 5 K = P t = (, 5 10 W)( 4s) = 1, 0 10 J. Em seguida, você deve enconta a velocidade do cao que coesponde a uma quantidade de enegia cinética K, v f 5 K ( 1, 0 10 J) = = 16m/s. m ( 800kg) A velocidade alcançada vale apoximadamente v f = 57km/h. c. A foça que deve se feita pelo moto do cao pode se calculada a pati da segunda Lei de Newton: F = ma = ( 800kg)(, 0m/s ) = 1600N. Assim, com uma foça de F = 1600N, o cao acelea a uma taxa de,0m/s. A potência desenvolvida pelo moto do cao deve se então de P = Fv = ( 1600N)( 60 / 3, 6m/s) 7kW. 3 CECIER J Extensão

233 R E S U M O Nesta aula, definimos o conceito físico de enegia e de tabalho ealizado po uma foça sobe uma patícula. Depois, mostamos que a foça gavitacional e a Lei de Hooke são foças consevativas, pois enegia mecânica se conseva sob a ação dessas foças. Em seguida, enunciamos o Teoema do Tabalho-Enegia Cinética. Também dissemos que o tabalho ealizado po foças consevativas paa i e volta a um mesmo ponto é nulo. Finalmente, definimos a potência como a taxa de vaiação tempoal do tabalho ealizado po uma foça e mostamos que a potência associada à foça esultante equivale à taxa de vaiação tempoal da enegia cinética paa uma patícula em movimento. AULA 5 CECIER J Extensão 33

234 Colisões A U L A 6 Metas da aula Discuti as condições paa que o momento linea total de um sistema de patículas se conseve e mosta como a consevação do momento pode se aplicada no estudo das colisões ente patículas. Texto de Raphael Púpio Maia e Lizado H. C. M. Nunes objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: calcula a posição do cento de massa de um sistema de patículas em um dado instante; calcula o impulso de uma foça aplicada duante um intevalo de tempo sobe uma patícula, quando conhecemos os momentos antes e depois da aplicação da foça; calcula as velocidades finais de duas patículas após uma colisão elástica ou totalmente inelástica ao longo de uma eta, quando conhecemos suas massas e velocidades iniciais; calcula as velocidades finais de duas patículas após uma colisão elástica em um plano, quando conhecemos suas massas, a velocidade inicial de uma das patículas e o ângulo de espalhamento da patícula incidente, consideando a outa patícula inicialmente em epouso; calcula as velocidades finais de duas patículas após uma colisão inelástica em um plano, quando conhecemos suas massas, a velocidade inicial de uma das patículas e os ângulos de espalhamento das patículas, consideando a outa patícula inicialmente em epouso. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 5 Enegia e Tabalho.

235 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões SISTEMA DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASSA Nas aulas anteioes, vimos como desceve o movimento de uma única patícula e como identifica as causas de seu movimento. Também mostamos que, se conhecemos sua velocidade e posição iniciais, podemos desceve completamente o movimento da patícula. Mas o que acontece quando consideamos um sistema com muitas patículas inteagentes como, po exemplo, o sistema sola? Bem, vamos começa analisando apenas a Tea e o Sol inteagindo ente si. Se consideamos apenas esses dois astos, quais são as foças que atuam no sistema? Oa, é simples: nesse caso, existem apenas a foça que a Tea exece sobe o Sol e a foça que o Sol exece sobe a Tea. Pela ª Lei de Newton, se conhecemos as condições iniciais do poblema, como vimos na Aula, podemos desceve completamente o movimento de cada um dos astos. Entetanto, não podemos ignoa o efeito das foças que Mecúio, Vênus, Mate, Júpite e etc. execem sobe a Tea e o Sol; sem fala nos satélites que giam em tono dos planetas, ou no cintuão de asteóides do sistema sola. Assim, você pode pecebe que, se quisemos detemina com muita pecisão o movimento da Tea, po exemplo, que é um dos planetas que petencem ao sistema sola, teemos de leva em conta um gande númeo de astos que execem foças sobe ela. Além disso, como a foça gavitacional é uma inteação de longo alcance, mesmo a foça de astos foa do sistema sola poduz efeitos sobe o movimento da Tea. Saiba mais sobe o sistema sola atavés dos links: (em inglês) (em espanhol) 36 CECIER J Extensão

236 Paa desceve com muita pecisão o movimento da Tea, são necessáios cálculos computacionais bastante sofisticados. Você pode le mais sobe os métodos empegados e suas aplicações atavés dos links: system (em inglês) AULA 6 Nesta seção, vamos estuda o movimento de sistemas com mais de uma patícula. Assim, vamos considea um sistema de N patículas, cujo movimento desejamos estuda. Esse sistema pode se abitáio, como, po exemplo, um copo ígido, um líquido, um gás, ou mesmo um sistema de patículas espasas. Além das N patículas que fomam o sistema, podem existi ainda outas que não petencem a ele, mas que execem foças sobe suas patículas. Essas outas patículas seão chamadas de patículas extenas. Paa estuda o movimento do sistema, definimos um efeencial inecial e aplicamos a ª Lei de Newton a cada uma de suas N patículas. Vamos numea as patículas do sistema de 1 a N e epesenta suas massas po m, m, L, espectivamente. Sejam a, a,..., a as N 1 m N 1 espectivas aceleações dessas patículas. Pela Segunda Lei de Newton, temos N equações do tipo: m 1 a 1 = F 1, m a = F,..., m N a N = F N, (6.1) onde F 1 é a esultante das foças que atuam sobe a patícula 1, F é a esultante das foças que atuam sobe a patícula, e assim sucessivamente, até F N, que é a esultante das foças que atuam sobe a patícula N. Se soubéssemos esolve todas as N equações que apaecem na Equação (6.1), obteíamos o movimento de cada patícula do sistema e sabeíamos, com todos os detalhes, o movimento do sistema. Entetanto, isso, em geal, é impossível; pincipalmente quando o sistema tem um númeo muito gande de patículas. De fato, basta lemba que 1 mol de qualque substância deve conte ceca de 10 3 patículas, po exemplo. CECIER J Extensão 37

237 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões O mol (ou mole) é uma unidade que mede quantidade. Po definição, 1 mol contém o númeo de Avogado (apoximadamente 6, ) de alguma coisa (como átomos, moléculas ou patículas elementaes). Po exemplo, 1 mol do gás oxigênio contém 6, moléculas de O, o que equivale a 3g; ou seja, em uma pequena quantidade de um gás temos uma quantidade imensa de moléculas se movendo. Leia mais sobe a unidade mol atavés do link: Vamos soma as N equações da Equação (6.1), de modo a obte a soma vetoial de todas as foças que atuam no sistema: m 1 a 1 + m a m N a N = F 1 + F F N. (6.) Note que cada patícula do sistema pode sofe foças execidas po patículas extenas ao sistema ou po patículas que petencem ao pópio sistema. Logo, as foças execidas po patículas do pópio sistema são chamadas de foças intenas do sistema; as foças execidas po patículas extenas ao sistema são chamadas de foças extenas do sistema. Seja i um índice paa qualque uma das N patículas do sistema, isto é, i pode se igual a qualque númeo de 1 a N. Bom, você deve concoda conosco que a patícula i não tem como aplica uma foça sobe si mesma! Logo, a patícula F ij pode sofe uma foça intena execida po outa patícula j do sistema, onde j pode se igual a qualque númeo de 1 a N, desde que i j. Além disso, i também pode sofe foças execidas po patículas que não petencem ao sistema, como, po exemplo, uma foça extena F ie execida po alguma patícula extena ao sistema, que, nesse caso, epesentamos pela leta e. Vamos chama de foça extena total sobe a patícula i a soma vetoial de todas as foças extenas execidas sobe a patícula i, que 38 CECIER J Extensão

238 epesentamos po F ext i. Analogamente, vamos chama de foça intena total sobe a patícula i a soma vetoial de todas as foças intenas execidas sobe a patícula i, que epesentamos po F int i. A soma vetoial de todas as foças que agem sobe a patícula i pode, então, se epesentada po F = F + F ext int i i i. (6.3) AULA 6 Logo, a soma vetoial de todas as foças que atuam no sistema, como visto na Equação (6.), pode se escita como int Agoa, peste atenção na discussão que se segue... Sabemos que F 1 int (6.4) é a soma vetoial de todas as foças intenas execidas sobe a patícula 1, o que podemos epesenta po int F1 = F1 + F13 + L + F1 N, onde F1, F13,..., F1 N são as foças execidas pelas patículas sobe a patícula, 3,..., N sobe a patícula 1. (Note que não existe a foça F 11, já que a patícula 1 não pode exece uma foça sobe si mesma!). int Analogamente, você também pode epesenta F = F1 + F3 +..., + F N = F + F F, onde F, F,..., F N N são as foças execidas pelas patículas 1 3 int int int ext ext ext 1 N ( 1 N ) + ( N ) F + F F = F + F +... F F F... F 1 3 1, 3,..., N sobe a patícula. Você pode continua fazendo isso até chega à F N int e eesceve ( 1 ) a soma vetoial F int + F int F int N, que é a soma vetoial de todas as foças intenas que atuam no sistema, como int int int F + F F = F + F F + 1 N N F1 + F F N + F31 + F F3 N + M FN 1 + FN FNN 1. (6.5) Note que o lado dieito da equação acima foi alinhado, de modo que, em cada linha, apaeçam todas as foças que cada patícula do sistema sofe pelas demais. CECIER J Extensão 39

239 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Obseve agoa que, na Equação (6.5), as foças sempe apaecem em paes de ação e eação, isto é, em paes do tipo F ij = e F ji F. Po exemplo, é fácil identifica o pa constituído po F 1 e F 1, ou o pa F 3 e F 3. Mas de acodo com a 3ª Lei de Newton, a soma vetoial de qualque pa de ação e eação é igual a zeo. De fato, paa cada pa Fij e = F F ji ji, a Teceia Lei de Newton afima que F ij = F. Potanto, a soma vetoial no lado dieito da Equação (6.5) é zeo. Veifique este esultado. Assim, int int int F + F +... F =, 1 ji N 0 ji (6.6) ou seja,! É nula a soma vetoial de todas as foças intenas de qualque sistema de patículas. Substituindo o esultado da Equação (6.6) acima na Equação (6.5), obtemos, então, F + F F = F + F +... F ext ext ext 1 N 1 N (6.7) isto é, paa enconta a soma vetoial de todas as foças que atuam sobe todas as patículas do sistema, basta apenas faze a soma vetoial das foças extenas sobe o sistema. Além disso, substituindo o esultado da Equação (6.7) acima na Equação (6.), obtemos: ext ext ext m 1 a 1 + m a m N a N = F 1 + F F N. (6.8) Podemos tona mais simples a equação anteio simplesmente definindo a foça extena total sobe o sistema, que epesentamos po F ext, que é a soma vetoial de todas as foças extenas sobe o sistema. Assim, temos que ext ext ext ext F = F + F + + F (6.9) 1... N. 40 CECIER J Extensão

240 Usando essa definição na Equação (6.8) anteio, obtemos finalmente: ext m 1 a 1 + m a m N a N = F. (6.10) AULA 6 Aliás, é exatamente po isso que, quando aplicamos uma foça hoizontal F sobe um bloco deslizando sobe uma supefície sem atito, sua aceleação é popocional à F, ou seja, pela Segunda Lei de Newton, F a =, M onde M é a massa do bloco. Deixe explicamos melho essa afimação: um bloco (ou qualque objeto extenso) pode se entendido como um sistema de patículas. Quando aplicamos uma foça sobe ele, aplicamos a foça apenas sobe a supefície extena do mesmo. Po exemplo, quando você empua um bloco, você aplica foça apenas nas áeas em que a sua mão encosta nele. Oa, quando você aplica foça sobe o bloco, as patículas dessa supefície extena execem foças sobe as patículas mais intenas do bloco; que também execem foças sobe outas patículas ainda mais intenas, em um efeito em cascata. Entetanto, as foças intenas do sistema se cancelam, e apenas a foça que você exece com a sua mão sobe o bloco é que detemina a sua aceleação. Assim, depois de le essa explicação, você podeia pensa o seguinte: quando eu esolvo um poblema de Dinâmica, gealmente epesento as foças extenas que atuam sobe o bloco como vetoes atuando em um único ponto do bloco, como mosta a Figua 6.1.b. Mas que ponto é esse? Como faço paa calcula a sua posição? y a n d mg senθ θ mg cosθ θ x a Figua 6.1: (a) Um bloco de massa m descendo um plano inclinado sem atito. (b) As foças que atuam sobe o bloco são epesentadas po vetoes (em peto) atuando em um único ponto do bloco. (Em banco estão epesentadas as componentes da foça peso.) mg b CECIER J Extensão 41

241 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Bom, paa esponde à sua pegunta, considee agoa a seguinte abstação: suponha que a gente possa esceve (6.11) onde M é a massa total do sistema, isto é, M = m1 + m m N. Na equação acima, é como se a foça extena total fosse aplicada sobe um único ponto, onde se concenta a massa total do sistema. Essa equação é semelhante à ª Lei de Newton aplicada a uma patícula de massa M sujeita a uma esultante F ext, cuja esultante é a foça extena total atuando sobe o sistema. Nesse sentido, esse ponto, que concenta toda a massa do sistema, desceve o movimento do sistema de patículas como um todo. E é exatamente nesse ponto que epesentamos todas as foças extenas que atuam sobe um copo extenso, quando queemos calcula a esultante das foças em um poblema de Dinâmica. F ext = Ma cm, Mas o que é esse veto aceleação a cm? E qual a intepetação física da Equação (6.11)? Em pimeio luga, se combinamos a Equação (6.11) com a Equação (6.10), podemos infei um veto posição, de tal foma que cm m11 + m mnn =, m + m m 1 N (6.1) onde,,..., N são os vetoes posição das patículas 1,,..., N 1 espectivamente. Então, segue imediatamente que a cm = d / dt, o que significa que cm desceve o movimento de uma patícula, cuja massa é a massa total do sistema, e cuja esultante é a foça extena total sobe o sistema. cm 4 CECIER J Extensão

242 ! O veto cm é a média pondeada das posições das patículas do sistema, sendo que a pondeação é feita pelas espectivas massas das patículas. O veto cm dá a posição de um ponto no espaço que chamamos de cento de massa do sistema, confome ilustado na figua a segui. Além disso, o pópio veto cm é chamado de veto posição do cento de massa, ou simplesmente de posição do cento de massa. AULA 6 m 1 m z cm 1 cm N m N O y x Figua 6.: O cento de massa de um sistema de patículas é um ponto cuja posição é dada po cm que é a média das posições das patículas pondeada po suas massas. Fonte: Figua 17., p. 113 de Fis1A-mod.. Usaemos paa a identifica o cento de massa, a abeviação cm, que você não deveá confundi com o símbolo cm, de centímeto. A pati da Equação (6.1), podemos detemina onde se enconta o cento de massa do nosso sistema de patículas. Po exemplo, se o sistema tem duas patículas, o cento de massa está no segmento de eta que liga as duas patículas, mais póximo da patícula de maio massa. Se o sistema tem tês patículas não-colineaes, o cento de massa está na supefície do tiângulo cujos vétices são as patículas, mais póximo das patículas que têm maio massa. Aliás, é muito impotante nota que o cento de massa é um ponto que obtemos a pati das posições das patículas do sistema, mas não é uma patícula. Ele nem mesmo pecisa coincidi com a posição de uma das patículas do sistema, como fica clao no caso de duas patículas idênticas, no qual o cento de massa fica exatamente no ponto médio do segmento de eta que une as patículas, como mosta a Figua 6.3.a, e, potanto, não coincide com nenhuma delas. Também no caso de um anel cicula homogêneo, CECIER J Extensão 43

243 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões o cento de massa não coincide com nenhuma patícula do anel. De fato, ele está no cento do cículo fomado pelo anel e, logo, foa do pópio anel, como podemos ve na Figua 6.3.b. a b Figua 6.3: (a) O cento de massa de um sistema de patículas fomado po duas patículas idênticas. (b) O cento de massa de um anel cicula homogêneo; o cento de massa está no cento do cículo fomado pelo anel. Se o sistema de patículas está em movimento, o cento de massa também pode esta. Se deivamos, em elação ao tempo, o veto posição do cento de massa, obtemos a velocidade do cento de massa, que epesentamos po v cm, isto é, v cm dcm =. dt (6.13) Usando a definição de cento de massa vista na Equação (6.1) e fazendo as deivadas necessáias, obtemos v cm m1v1 + mv mnv = m + m m 1 N N, (6.14) onde v1, v,..., vn espectivamente. são as velocidades das patículas 1,,...,N, Definimos, também, a aceleação do cento de massa como sendo a deivada, em elação ao tempo, da velocidade do cento de massa: a cm m1a1 + ma mna = m + m m 1 N N, (6.15) onde a1, a,..., an são as aceleações das patículas 1,,...,N, espectivamente. 44 CECIER J Extensão

244 A Equação (6.14) mosta que a aceleação do cento de massa do sistema é uma média pondeada das aceleações das patículas do sistema. Analogamente, a Equação (6.15) mosta que a aceleação do cento de massa do sistema é uma média pondeada das aceleações das patículas do sistema. Assim, podemos dize que a velocidade e a aceleação do cento de massa são gandezas apopiadas paa desceve as idéias de velocidade e aceleação do sistema como um todo. Nesse ponto, é inteessante você pecebe que, quando não há foças extenas atuando sobe o sistema, o cento de massa pemanece paado ou em movimento etilíneo unifome, pois sua aceleação é nula, como mosta a Equação (6.11). AULA 6! Quando um sistema de patículas não inteage com outas patículas extenas ao sistema, obviamente isso significa que não há foças extenas atuando sobe o sistema. Um sistema que não inteage com patículas extenas é chamado de sistema isolado. Potanto, paa um sistema isolado, o cento de massa do sistema pemanece em epouso ou em movimento etilíneo unifome. Não é apenas quando o sistema está isolado, que o cento de massa pemanece em epouso. Po exemplo, considee um sistema fomado po duas bolas com massas iguais, sepaadas po uma haste delgada que liga as duas. Suponha que, po um beve intevalo de tempo, uma ext foça vetical F 1 apontada paa cima seja aplicada sobe uma das bolas, enquanto uma outa foça vetical F ext de mesmo módulo, mas apontada paa baixo, seja aplicada sobe a outa bola, como mosta a Figua 6.4. Evidentemente, F ext = F. Potanto, a esultante das ext 1 foças extenas que atuam sobe o sistema se anula, mas as massas não ficam em epouso. De fato, elas passam a gia em tono do cento de massa depois que essas foças extenas são aplicadas. O sistema bináio, fomado pelas foças F ext 1 e F ext, poduz um movimento de otação. Po outo lado, o cento de massa pemanece em epouso e o sistema bináio não afeta o movimento de tanslação do sistema. CECIER J Extensão 45

245 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões F 1 ext F ext Figua 6.4: Sistema bináio atuando sobe o sistema fomado po duas massas iguais. Agoa, vamos defini o momento linea total do sistema como P = m 1 v 1 + m v m N v N. (6.16) Assim, podemos eesceve a Equação (6.10), como dp = F ext. dt (6.17) Potanto, quando a esultante das foças extenas se anula; ou seja, ext F = 0, vemos que o momento linea total do sistema se conseva.! Logo, a condição necessáia e suficiente paa que o momento linea total do sistema se conseve, é que a esultante das foças extenas aplicadas sobe o sistema se anule. Em paticula, o momento total se conseva quando o sistema de patículas está isolado. Esse esultado tem conseqüências muito inteessantes. Po exemplo, considee um canhão de massa m, que contém uma bala de massa m 1 dento dele. Po simplicidade, vamos assumi que o canhão esteja apoiado sobe uma supefície muito lisa, de tal foma que o atito seja despezível. Nesse caso, o momento linea total do sistema é nulo, pois a velocidade do canhão e da bala dento dele são nulas. 46 CECIER J Extensão

246 Mas o que acontece quando o canhão dispaa a bala e ela sai do canhão com velocidade v 1, como mosta a Figua 6.5? AULA 6 m v 1 v Figua 6.5: Canhão de massa m dispaando uma bala de massa m 1 com velocidade v 1. Oa, nesse caso, são as foças intenas, de oigem química, associadas à combustão da pólvoa, que são esponsáveis po dispaa a bala. Potanto, não há foças extenas atuando sobe o sistema. Logo, o momento total do sistema tem que se mante constante; como ele ea nulo antes do dispao, deve se nulo depois do dispao. Assim, o canhão deve ecua paa compensa o fato de que a bala foi dispaada com velocidade v 1, de tal foma que o momento total do sistema continue sendo zeo. Aliás, podemos até calcula qual seá a velocidade do canhão logo depois que a bala é dispaada, pois sabemos que o momento total do sistema deve se nulo. Assim, se chamamos de v a velocidade do canhão depois do dispao, temos que P = m v + m v = m1 v = v1. m Pela equação anteio, podemos pecebe que, como a massa do canhão é muito maio do que a massa da bala, a velocidade do canhão deve se muito meno que a velocidade da bala, como ealmente acontece. Também obsevamos que o veto velocidade v está na dieção contáia à velocidade da bala, v 1, devido ao sinal negativo acima. Esse é o coice do canhão, quando há um dispao. CECIER J Extensão 47

247 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Veja que o canhão deve ecua até paa, devido à foça de atito, pois a supefície em que o canhão está apoiado sempe exece atito sobe o canhão. Como veemos na póxima seção, esse esultado tem conseqüências fundamentais paa a descição das colisões ente patículas. ATIVIDADES 1. Deixa-se cai uma peda em t = 0s. Uma segunda peda, com uma massa duas vezes maio do que a pimeia, é lagada do mesmo ponto em t = 0,1s. a. Onde está o cento de massa das duas pedas em t = 0,3s? Suponha que nenhuma das duas pedas tenha chegado ao chão. b. Qual é a velocidade do cento de massa do sistema em t = 0,3s? Considee a esistência do a despezível e que a aceleação da gavidade vale 9,8 m/s. RESPOSTAS COMENTADAS Vamos usa o eixo vetical y com sentido positivo paa baixo e oigem no ponto onde as duas pedas são lagadas. a. Vamos usa a massa m 1 = m e a posição vetical y 1 (t) paa a pimeia peda. Paa a segunda peda, vamos usa uma massa m = m e a posição vetical y (t), com um ataso de T = 0,1s. Você sabe que o movimento das duas pedas é de queda live, ou seja, 1 y1( t) = gt, se t 0; 1 y( t) = g( t T), se t T. Com isso, você já pode calcula a posição do cento de massa do sistema fomado pelas duas pedas: y ( t ) my ( t ) ( m ) y ( t ) = 1 +. cm m + m Após faze algumas manipulações algébicas, você vai enconta a posição do cento de massa do sistema como função do tempo, y ( t ) = 1 y ( t ) + cm y ( t ) = 1 gt + 1 g ( t T ) CECIER J Extensão

248 Agoa você deve calcula a posição do cento de massa em t = 3T= 0,3s. O esultado que você vai enconta é o seguinte: y ( 3 T ) 1 g ( cm T ) g ( T T ) gt = + = 0 6, 8m. AULA 6 b. No movimento de queda live das duas pedas, a velocidade de cada uma delas aumenta lineamente com o tempo a pati do zeo. Você pode esceve a velocidade de cada peda como função do tempo, v1( t) = gt, se t 0; v( t) = g( t T), se t T. A velocidade do cento de massa do sistema é v ( t ) mv ( t ) ( m ) v ( t ) = 1 +. cm m + m Você pode facilmente calcula a velocidade do cento de massa como função do tempo, v ( cm t ) = 1 v ( t ) + v ( t ) = 1 gt + g ( t T ). 1 Em t = 3T= 0,3s, o esultado é dado po v ( 3 T ) 1 g ( cm T ) g ( T T ) gt = + = 3, 3m/s.. Um canhão montado sobe uma caeta, apontando numa dieção que foma um ângulo de 30 o com a hoizontal, como mosta a Figua 6.6, atia uma bala de 50kg, cuja velocidade na boca do canhão é de 300 m/s. A massa total do canhão e da caeta é de 5.000kg. A caeta está sobe tilhos onde o coeficiente de atito cinético é 0,7. a. Qual é a velocidade inicial de ecuo da caeta? b. De que distância a caeta ecua? Figua 6.6: Um canhão montado sobe uma caeta que pode se move sobe tilhos. CECIER J Extensão 49

249 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões RESPOSTAS COMENTADAS Vamos usa o sistema constituído pelo canhão montado sobe a caeta mais a bala. A pati disso, você pode afima que as foças envolvidas no dispao são intenas ao sistema. Sendo assim, o momento linea total do sistema é consevado. a. Vamos usa a massa da bala, m 1 = 50kg, e a massa total do canhão e da caeta, m = 5.000kg. Você deve pensa na situação antes e depois do dispao da bala de canhão. Antes do dispao, o sistema está em epouso, e o momento total do sistema é nulo, P i = 0. Logo após o dispao, no momento em que a bala está pestes a sai do cano do canhão, o momento total do sistema é Pf = m v + m v Como o momento linea total do sistema é consevado, P i = P f, a velocidade da caeta após o dispao é O sinal de menos na igualdade acima significa que a caeta sofe um ecuo. O enunciado do poblema infoma que a bala tem uma velocidade v 0 = 300m/s na boca do canhão. Como a bala é dispaada numa dieção que foma um ângulo de 30 o com a hoizontal, o veto velocidade da bala é Ao usa o esultado da consevação do momento linea total do sistema, você pode conclui que o veto velocidade da caeta, após o dispao, vale Potanto, a velocidade inicial de ecuo da caeta é a componente x do veto velocidade v, v = m v m. o o v1 = v 0(cos 30 i + sen30 j) = ( 150m/s)( 3i + j). m1 o o v = v 0(cos 30 i + sen30 j) = ( 1, 5m/s)( 3i + j). m v ecuo, 6m/s CECIER J Extensão

250 b. Após o dispao, a caeta sobe a qual o canhão está montado sofe um ecuo. No instante em que a caeta começa a se movimenta paa tás, suge uma foça de atito ente as odas e os tilhos na dieção hoizontal e sentido paa fente (sentido oposto aquele do movimento). Você já apendeu que a foça de atito tem um módulo F at = µn, onde o coeficiente de atito cinético vale µ = 0,7. Mais ainda, quando aplica a condição de equilíbio na dieção vetical y, N = m g, você vai enconta que a foça de atito também vale F at = µm g. Pela Segunda Lei de Newton, a aceleação devido à foça F at é dada po a = µg. Potanto, a caeta ecua inicialmente com uma velocidade v ecuo até paa, com uma aceleação a. Paa calcula de que distância a caeta ecua, você pode usa a equação de Toiceli, AULA 6 v = 0 = v + a x. ecuo Ao substitui os valoes µ, g e v ecuo, você calcula a distância, vecuo x = 0, 49m. a COLISÕES O nosso cotidiano está epleto de eventos em que dois objetos macoscópicos colidem. Po exemplo, objetos colidem em um jogo de bilha, quando bincamos com bolinhas de gude, ou ainda quando jogamos pingue-pongue. Nesses casos, os objetos mudam sua tajetóia oiginal e dizemos que o esultado da colisão é o espalhamento desses objetos. De fato, pense no que ocoe quando uma bola de boliche se move em dieção aos pinos sobe a pista de boliche: imediatamente após a colisão, a bola continua em movimento e os pinos são espalhados. Como os pinos se espalham? Como é o movimento da bola logo após a colisão? Bem, é justamente paa esponde a essas peguntas que estudaemos as colisões nesta seção. Veemos que o pincipal objetivo do estudo das colisões consiste em detemina a configuação final do sistema a pati de sua configuação inicial; isto é, detemina os momentos e as massas das patículas após a colisão, quando sabemos os momentos e as massas das patículas antes da colisão. CECIER J Extensão 51

251 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Em uma colisão ente duas patículas micoscópicas, o esultado pode se duas patículas difeentes das iniciais, como acontece nas eações químicas ou nucleaes. Além disso, quando patículas elementaes com altas enegias colidem, até mais de duas patículas novas podem sugi. Po simplicidade, vamos nos limita a estuda apenas a colisão ente duas patículas nesta seção. De fato, o temo colisão gealmente epesenta um evento no qual duas patículas se apoximam uma da outa e inteagem. As duas patículas podem inteagi po meo contato físico ou po um tipo de inteação a distância, dependendo do sistema físico que está sendo investigado. Po exemplo, na colisão ente duas patículas com cagas eléticas de mesmo sinal, a inteação acontece a distância, poque a epulsão elética ente elas é dada pela Lei de Coulomb. Depois da inteação, as duas patículas caegadas são espalhadas. Nosso ponto de patida seá desceve o que antecede ao pocesso de colisão, ou melho, seá desceve a configuação inicial do sistema. A Figua 6.7 mosta uma patícula 1, com massa m 1, e o momento inicial u u p i e uma outa patícula, com massa m, e o momento inicial p 1 i. Obseve que as patículas estão se movendo em dieção a uma ceta egião, a egião de inteação. Na configuação inicial, bem antes das patículas entaem na egião de inteação, o movimento de cada uma delas é unifome poque elas não estão sujeitas a qualque tipo de foças intenas ou extenas. No caso de uma inteação de longo alcance, como inteações eléticas ou gavitacionais ente as patículas, assumimos que as patículas na configuação inicial estejam sepaadas po uma gande distância e o efeito da inteação possa se despezado. 5 CECIER J Extensão

252 m 1 u p1 i AULA 6 Região de inteação u p i m Figua 6.7: Configuação inicial de uma colisão ente duas patículas. Ao final da colisão, confome está mostado na Figua 6.8, as patículas esultantes já estão afastadas o suficiente, e, potanto, foa da egião de inteação. Logo, podemos afima que a inteação ente elas seja despezível. Quando isto acontece, as patículas esultantes deteminam a configuação final do pocesso de colisão. Se você obseva com atenção a Figua 6.8, vai nota que as duas patículas que apaecem depois da colisão podem te massas m 3 e m 4 difeentes daquelas massas que estavam pesentes na configuação inicial. Mas, po simplicidade, vamos considea que o númeo de patículas e a massa de cada patícula se conseve nesta seção. u p3 i m 3 m 4 u p4 i Figua 6.8: Configuação final de uma colisão ente duas patículas. CECIER J Extensão 53

253 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões O pocesso de colisão acontece assim que as duas patículas entam na egião de inteação, Figua 6.9. É nesta etapa intemediáia que as patículas inteagem ente si. Tipicamente, as foças de inteação acontecem duante um intevalo de tempo muito cuto, o tempo de colisão, e são muito intensas. Nem sempe podemos dize como essas foças vaiam no tempo exatamente, mas o efeito delas pode se medido pelo impulso que essas foças poduzem. Figua 6.9: Pocesso de colisão. Deixe explicamos o que é impulso: duante o intevalo de tempo em que as duas patículas inteagem, a patícula 1 exece uma foça sobe a patícula, e a patícula exece uma foça sobe a patícula 1, que epesentaemos po F 1 e F 1, espectivamente. Po definição, dizemos que o impulso da foça F 1 sobe a patícula 1 duante o intevalo da colisão é igual à vaiação do momento da patícula 1, ou seja: I p = p p, 1 1 1f 1i (6.18) onde I 1 epesenta o veto impulso, e p 1 f, p 1 i epesentam o momento da patícula 1 nas configuações final e inicial espectivamente.! Potanto, o veto impulso I de uma foça aplicada sobe uma patícula em um intevalo de tempo é igual à vaiação do momento da patícula duante esse intevalo. 54 CECIER J Extensão

254 Não sabemos exatamente a intensidade da foça aplicada sobe as patículas, mas podemos faze uma estimativa. Paa isso, vamos começa escevendo as equações de movimento de cada uma delas. Como nenhuma foça extena é aplicada sobe o sistema, pela ª Lei de Newton, temos dp 1 = F1, dt dp (6.19) = F1. dt AULA 6 Como fomam um pa de ação e eação, pela 3ª Lei de Newton, as expessões na Equação (6.19) acima podem se condensadas em uma única expessão: dp dt 1 dp = F1 = F1 =. dt (6.0) Como a foça F 1 é aplicada sobe a patícula 1 duante um intevalo de tempo muito pequeno, podemos substituí-la po uma foça média constante F 1 e intega no tempo a Equação (6.0) paa obte o módulo da foça média: F 1 = p t 1, (6.1) onde t é a duação da colisão. Agoa, paa fixa as idéias, considee uma bola de bilha, com 170 g, que, patindo do epouso, atinja a velocidade de 1m/s após uma colisão que dua ceca de um centésimo de segundo. Qual a intensidade da foça média que atua sobe ela? Nesse caso, 3 ( )( 1) kgm F = = 04N, 10 s que é apoximadamente a mesma foça necessáia paa equiliba um copo com 0kg! Finalmente, pela Equação (6.0) é fácil ve que o veto impulso da foça F 1 sobe a patícula 1 é igual a menos o impulso da foça F 1 sobe a patícula, ou seja, I = p = p = I, 1 1 (6.) CECIER J Extensão 55

255 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões que pode se eescito como p1 f p1 i = ( p f pi ) p + p = p + p. 1i i 1f f (6.3) Logo, o momento total do sistema na configuação inicial é igual ao momento total do sistema na configuação inicial, o que significa que o momento total do sistema se conseva. ATIVIDADE 3. Calcule o impulso e o módulo da foça média que atua em cada um dos seguintes casos: a. Num saque de jogo de tênis, a bola, de massa igual a 60g, é lançada com uma velocidade de 40m/s. O tempo de contato com a aquete é da odem de 0,005s. b. Um jogado de futebol coba um pênalti, chutando a bola com uma velocidade de 0m/s. A massa da bola é de 450g e a duação do chute da odem de 0,01s. c. Um cao de 1,5 tonelada, a 60km/h, bate num muo. A duação do choque é de 0,1s. RESPOSTAS COMENTADAS a. Vamos usa a massa da bola de tênis, m = 0,06kg, e a velocidade de lançamento, v = 40m/s. Você deve detemina o momento linea da bola antes e depois do lançamento. Supondo que antes do saque a bola está em epouso, p i = 0. Logo após o saque, o momento linea adquiido pela bola é p f = mv. Assim, o impulso aplicado sobe a bola no saque é definido como a vaiação do momento linea, I = p p = ( 0, 06kg)( 40m/s ) =, 4 kg m/s. f i 56 CECIER J Extensão

256 A foça impulsiva média aplicada sobe a bola de tênis, duante o intevalo t = 0,005s, é calculada po meio da seguinte azão: AULA 6 p (, 4kg m/s) F = = = 480N. t ( 0, 005s) b. Neste caso, você vai usa a massa da bola de futebol, m = 0,45kg, e a velocidade do chute, v = 0m/s. Antes da cobança do pênalti, a bola está em epouso, p i = 0. Logo após a cobança do pênalti, a bola tem um momento linea igual à p f = mv. Você deve calcula o seguinte impulso execido sobe a bola: I = p p = ( 0, 45 kg)( 0m/s ) = 9, 0 kg m/s. f i A foça média aplicada pelo jogado sobe a bola duante o intevalo t = 0,01s é p ( 9, 0 kg m/s) F = = = 900N. t ( 0, 01s) c. A massa do cao vale m = 1, kg e a velocidade antes do choque é v = 60km/h. Vamos supo que depois do choque o cao fica em epouso, p f = 0. O momento linea inicial do cao é p i = mv, e, potanto, o impulso aplicado pelo muo sobe o cao vale 3 ( 60km/h) 4 I = pf pi = ( 1, 5 10 kg) =, 5 10 kg m/s. ( 3, 6km/h)/ m/s A vaiação de momento linea ocoe po t = 0,1s, e assim, você pode calcula a foça média que atua sobe o cao, 3 p (, 5 10 kg m/s) 5 F = = =, 5 10 N. t ( 0, 1s) COLISÕES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS Numa colisão ente patículas, o momento total do sistema é sempe consevado. Isto é vedade quando supomos que não existem foças extenas atuando sobe o sistema. No entanto, a enegia total do sistema só se conseva quando supomos que apenas foças intenas consevativas atuam sobe as patículas do sistema duante a colisão. Po exemplo, considee uma colisão fontal ente duas bolas de um jogo de bilha. Duante o choque, que dua um intevalo de tempo pequeno, a enegia cinética das bolas é convetida em enegia potencial elástica, devido à defomação ente CECIER J Extensão 57

257 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões as supefícies de contato (como acontece com uma mola compimida, veja a Aula 4, seção 3). Depois, a enegia potencial elástica acumulada é convetida em enegia cinética, e as bolas passam a se afasta (veja a Aula 5). Nesse pocesso evesível idealizado, o que foi convetido em enegia potencial volta na foma de enegia cinética, e, logo após o choque, as patículas voltam a se afasta com velocidades opostas de mesmo valo absoluto que as iniciais. Po outo lado, nem todo pocesso de convesão da enegia é evesível: po exemplo, no momento do choque ente as duas bolas, ouvimos um som poque pate da enegia total é convetida em vibações, que dão oigem a ondas sonoas; uma outa pate da enegia total é convetida em calo, que causa um ligeio aquecimento da supefície de contato ente as bolas. Esses pocessos dissipativos são ievesíveis, pois a enegia dissipada não seá novamente convetida em enegia de movimento paa o sistema. Na Natueza, sempe ocoem esses pocessos ievesíveis. Entetanto, em alguns casos, podemos despeza os pocessos ievesíveis de convesão de enegia como uma boa apoximação. Assim, com elação à consevação da enegia de movimento, as colisões podem se sepaadas em duas categoias: as colisões elásticas e as colisões inelásticas. Em uma colisão elástica, a enegia cinética total das patículas é consevada, ou seja, tem o mesmo valo na configuação inicial e final. Po outo lado, em uma colisão inelástica, a enegia cinética das patículas na configuação final é meno, ou maio, do que a enegia cinética na configuação inicial. Um exemplo em que a enegia cinética pode se maio na configuação final é quando uma ganada cai no chão, onde a enegia química amazenada no explosivo é convetida em enegia cinética dos fagmentos, como veemos adiante. COLISÕES ELÁSTICAS UNIDIMENSIONAIS Vamos começa analisando uma colisão ente duas patículas que se movem ao longo de uma eta. A Figua 6.10 mosta a configuação inicial onde as patículas de massas m 1 e m têm velocidades v 1 i e v i antes da colisão. Como exemplo, você pode pensa em uma colisão fontal ente duas bolas de sinuca ou bolas de gude. 58 CECIER J Extensão

258 m 1 m v i = 0 v1i AULA 6 Figua 6.10: Configuação inicial da colisão unidimensional ente duas patículas. Duante todo o pocesso de colisão, vamos supo que as foças intenas de inteação ente as duas patículas sejam as únicas foças atuando no sistema composto pelas patículas 1 e. De acodo com o que você já apendeu, o momento total do sistema é consevado quando não existem foças extenas execidas sobe as patículas. Segundo esta hipótese, o momento inicial do sistema, P i = p 1i + p i, é igual ao momento final do sistema, P f = p 1f + p f, p + p = p + p. 1i i 1f f (6.4) Uma vez que a colisão é elástica, vamos supo também que a enegia cinética do sistema seja consevada. Essa hipótese pode se escita de foma quantitativa como p p p p 1i i 1f f + = +, m m m m 1 1 (6.5) onde p 1i, p i p 1f e p f são as pojeções dos vetoes momento sobe o eixo OX. Paa cada patícula, temos a conhecida epesentação paa a enegia cinética: K = p / m e a enegia cinética do sistema na configuação inicial vale K i = K 1i + K i e na configuação final vale K f = K 1f + K f. Como você já sabe, nosso objetivo é detemina a configuação final da colisão, dada po p 1f e p f, a pati de uma conhecida configuação inicial dada po p 1i e p i, A consevação de momento e enegia fomam um conjunto de duas equações e são suficientes paa calcula as duas incógnitas p 1f e p f. Vamos manipula algebicamente a Equação (6.4), que coesponde à consevação de enegia, de maneia a colocá-la na seguinte foma: CECIER J Extensão 59

259 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões 1 1 ( m p p m p p p p i f ) = ( i f )( i + f ) = ( m p p m p f i) ( 1 = f pi pi + p f )( ). Agoa, vamos usa a consevação de momento visto na Equação (6.4). Usando a igualdade p 1i p 1f = p f p i, simplificamos a elação acima e obtemos ou ainda, 1 1 ( 1 1 m p p m p p i + f ) = ( i + f ), 1 p m1 m p p m1 m p = i i f f (6.6) Veja que a Equação (6.4) de consevação de momento e a equação anteio fomam um sistema de equações, de onde vamos calcula as incógnitas p 1f e p f. Note que a soma das Equações (6.4) e (6.6) nos dá o momento final da patícula com massa m. Quando a Equação (6.4) é multiplicada po m 1 /m e depois somada com a Equação (6.4), obtém-se o momento final da patícula com massa m 1. O esultado destas opeações é o seguinte: m1 m p m m p m1 m m p 1f = 1i + i, m p m m p m m 1 f = 1i m1 + m p. i (6.7) Como você pode obseva, neste caso, a configuação final do sistema é totalmente deteminada pela configuação inicial. Em temos das velocidades, as configuações inicial e final são elacionadas da seguinte maneia: m1 m v m m v m m m v 1f = 1i + i, m1 v m m v m m 1 f = 1i m1 + m v. i (6.8) 60 CECIER J Extensão

260 Vamos agoa investiga alguns casos paticulaes das Equações (6.7) e (6.8). AULA 6 i. Massas iguais: Paa uma colisão onde ambas as patículas têm a mesma massa, ou seja, m 1 = m, as elações ente as configuações inicial e final, dadas pelas Equações (6.7) e (6.8), se simplificam da seguinte foma: p p = p 1f i = p f 1i, v. v = v 1f i f 1i, = v. (6.9) Você deve nota que as patículas tocam ente si os momentos e as velocidades. Veja na Figua 6.11 as configuações inicial e final deste caso paticula de colisão. Configuação inicial m v1i v i = 0 m Configuação final v i = 0 m m v1i Figua 6.11: Colisão ente duas patículas de mesma massa. ii. Alvo em epouso: Paa uma colisão onde uma das patículas está em epouso, v i = 0 = p i, e a outa em movimento com uma velocidade v 1i, as elações dadas pelas Equações (6.8) se modificam como v v 1f f m1 m = m m v 1i, 1 + m1 = m m v 1i. + 1 (6.30) CECIER J Extensão 61

261 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Assim, na configuação final, o alvo começa a se move com velocidade v f. ii.a. Alvo muito pesado (m 1 << m ): Quando uma patícula muito leve colide com outa patícula muito pesada em epouso, isto é, quando m 1 << m, a Equação (6.30) assume uma foma bastante simples: v v v, 1f 1i m1 m v = v. f 1i 1i (6.31) Neste caso, a patícula mais leve de massa m 1 é quase que totalmente efletida paa tás, e a patícula mais pesada de massa m sofe um pequeno ecuo com uma velocidade v f. A Figua 6.1 mosta o que acontece antes e depois da colisão quando m 1 << m. Configuação inicial m 1 m v1i v i = 0 Configuação final m 1 m v1i v i = 0 Figua 6.1: Colisão de uma patícula leve com um alvo pesado em epouso. Em especial, com a Equação (6.31) você pode ve que, após a colisão, o momento p f da patícula mais pesada (m ) vale p = m v m v = p. f f 1 1i 1i (6.3) 6 CECIER J Extensão

262 A patícula alvo sofe um ecuo com um momento que é duas vezes maio do que o momento inicial p 1i da outa patícula. Neste caso, a consevação de momento, p 1i = p 1f + p f, pode se eescita como AULA 6 p = p p p ( p ) = p. f 1i 1f 1i 1i 1i Neste caso em paticula, você pode imagina o que acontece com uma bola olada sobe o chão conta a paede. A bola etona com uma velocidade igual a inicial e a paede pemanece imóvel. ii.b. Alvo muito leve (m 1 >> m ): Quando uma patícula muito pesada colide elasticamente com uma patícula mais leve que está em epouso, é possível veifica que, paa m 1 >> m, a Equação (6.30) se simplifica da seguinte maneia: v v v, 1f 1i v. f 1i (6.33) Aqui o alvo é lançado paa fente com o dobo da velocidade inicial da patícula mais pesada. Mais ainda, a patícula muito pesada quase não pede velocidade, assim como acontece quando uma bola bate em um dos pinos de um jogo de boliche. Configuação inicial m 1 m v1i v i = 0 Configuação final m 1 m v1i v1i Figua 6.13: Colisão de uma patícula pesada em um alvo leve. CECIER J Extensão 63

263 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões ATIVIDADE 4. Um bloco de massa m 1 = 4,0kg está inicialmente se movendo paa a dieita com uma velocidade de 4,00m/s sobe uma mesa sem atito. Um pouco mais à fente, um segundo bloco de massa m = 5,0kg está se movendo paa a esqueda com uma velocidade de,50m/s. Como mosta a Figua 6.14, uma mola de massa despezível e com uma constante elástica de 400N/m está acoplada ao segundo bloco. a. Detemine a velocidade dos dois blocos após a colisão. b. Quais são as velocidades dos dois blocos quando a compessão da mola é máxima? c. Qual é a compessão máxima da mola? v li = (4,00î)m/s v i = (-,50î)m/s m 1 m k Figua 6.14: Um bloco se apoxima de um segundo bloco que está acoplado a uma mola. 64 CECIER J Extensão

264 RESPOSTAS COMENTADAS Você deve pecebe que a colisão descita no enunciado pode se consideada como uma colisão elástica unidimensional poque a foça da mola é consevativa, ou seja, duante a colisão pate da enegia cinética pode se convetida em enegia potencial elástica. a. Você deve pimeio pensa na configuação inicial da colisão: a velocidade do bloco 1 que tem massa m 1 = 4,0kg é dada pelo veto v 1i = (4,00m/s)i, enquanto a velocidade do bloco que tem massa m = 5,0kg é dada pelo veto v i = (,50m/s)i.. Logo após a colisão, as velocidades finais dos blocos 1 e são dadas po AULA 6 m1 m v m m v m m m v 1f = 1i + i, m v m m v 1 m m 1 f = 1i m1 + m v. i A pati das duas equações acima você pode calcula a velocidade final do bloco 1, ( 1, 0kg) = ( 9, 0 ) (, ) (, kg) m/s kg ( 9, 0 ) (, m/s kg ), m/s, v f e a velocidade final do bloco, ( 4, 0kg) 1 0 = ( 9, 0 ) (, ) (, kg) m/s kg ( 9, 0 ) (, m/s kg ), m/s. v f b. A compessão máxima da mola ocoe quando os dois blocos passam a se move com uma mesma velocidade v f. Paa este instante, você deve usa a consevação do momento do sistema, No exato momento em que a mola tem uma compessão máxima você vai calcula que os dois blocos se movem com uma velocidade m v + m v = ( m + m ) v. 1 1i i 1 f v f m v i + m v = m + m 1 1 i 1 Como esultado, você deve obte uma velocidade paa os dois blocos de ( 4, 0kg)( 4, 0m/s) + ( 5, 0kg)(, 50m/s) v f = 0, 39m/s. ( 9, 0kg). CECIER J Extensão 65

265 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Como você pode ve, neste momento os dois blocos se movem paa a dieita com uma mesma velocidade poque o valo encontado na equação anteio é positivo, v f > 0. Sobetudo, a velocidade v f que você calculou é a velocidade do cento de massa dos dois blocos. c. Obseve que inicialmente o bloco 1 tem uma enegia cinética K 1i = m 1 v 1i / e o bloco tem uma enegia cinética K i = m v i /. Dessa foma, a enegia mecânica inicial do sistema fomado pelos dois blocos mais a mola tem uma enegia E i = K 1i + K i. No instante em que a compessão da mola é máxima, a enegia mecânica do sistema, E = (m 1 + m )v f / + kx /, tem uma contibuição cinética K = (m 1 + m )v f / e uma contibuição potencial U = kx /. Ao aplica a consevação da enegia mecânica do sistema fomado pelos dois blocos mais a mola, E i = E, você vai enconta a seguinte elação: m1v1 i + mvi = ( m1 + m) vf + kx. Assim, com a consevação da enegia mecânica do sistema, você pode calcula a compessão máxima x, 1 x = k m v + m v m + m v 1 1 ( 1 ) ( i i f ) Finalmente, você deve substitui os dados do poblema na equação anteio paa calcula a compessão máxima, x 0, 48m. COLISÕES UNIDIMENSIONAIS TOTALMENTE INELÁSTICAS Quando analisamos as colisões elásticas em uma dimensão, usamos a consevação de enegia cinética do sistema composto pelas patículas 1 e. Contudo, em uma colisão inelástica, a enegia cinética do sistema após a colisão, é difeente daquela antes da colisão. A maneia mais simples de entende uma colisão totalmente inelástica em uma dimensão é a seguinte: a patícula 1, com um pedacinho de chiclete (de massa despezível) gudado, é lançada com uma velocidade v 1i em dieção à patícula que é o alvo. No momento do choque, as duas patículas ficam coladas, e, em seguida, passam a se move juntas, com está mostado na Figua CECIER J Extensão

266 Configuação inicial m 1 m v i = 0 v1i AULA 6 Chiclete Configuação final m 1 m vf Figua 6.15: Modelo de uma colisão totalmente inelástica unidimensional. Paa detemina a configuação final de uma colisão totalmente inelástica unidimensional, basta aplica a consevação do momento. Vamos novamente supo que as únicas foças execidas sobe as duas patículas são intenas, e, po causa da consevação de momento do sistema, o momento final seja igual ao inicial, P f = (m 1 + m )v f = P i, onde o momento inicial do sistema é P i = p 1i + p i. Dessas consideações, é coeto afima que m v + m v = ( m + m ) v. 1 1i i 1 f (6.34) Nesta colisão totalmente inelástica em uma dimensão, a velocidade final das duas patículas é igual à velocidade v CM do cento de massa do sistema, v f m v i + m v = m + m 1 1 i 1 = v CM. (6.35) No caso de uma colisão totalmente inelástica, a enegia do sistema após a colisão assume o meno valo possível; isto é, passa a assumi o valo da enegia cinética associada ao movimento do cento de massa do sistema. CECIER J Extensão 67

267 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões ATIVIDADES 5. O pêndulo balístico mostado na Figua 6.16 é um apaelho usado paa medi a velocidade das balas de uma ama de fogo. Uma bala de massa m 1 é atiada em um gande bloco de madeia de massa m suspenso po fios. A bala se aloja dento do bloco e o sistema todo é elevado de uma altua h. a. Detemine a velocidade da bala a pati da elevação h. b. Quando uma bala de 10g é dispaada em um bloco de 4,0kg, a elevação é de 6,0cm. Qual é a velocidade da bala? c. Que fação da enegia cinética inicial da bala é tansfeida paa o sistema bala-bloco? m 1 + m C v 1A m 1 m A v B B h Figua 6.16: Pêndulo balístico. 68 CECIER J Extensão

268 RESPOSTAS COMENTADAS Como a colisão da bala com o bloco tem uma duação muito cuta, o suficiente paa o sistema bala-bloco não se elevado apeciavelmente, você pode tata a colisão como sendo unidimensional. Você deve pecebe também que a colisão da bala com o bloco de madeia é totalmente inelástica poque na configuação final o sistema bala-bloco se move com uma mesma velocidade. a. Na configuação inicial desta colisão unidimensional totalmente inelástica, a velocidade da bala é v 1i e o bloco está em epouso, v i = 0. Logo após a colisão, a velocidade do sistema bala-bloco é dada po v f m1 = m + m v. 1 i 1 AULA 6 Na configuação final, a enegia cinética do sistema bala-bloco é a seguinte: 1 m1 v1 i Kf = ( m1 + m) vf = ( m + m ). 1 Paa enconta a segunda igualdade acima, você pecisa substitui a velocidade final da colisão totalmente inelástica. Obseve que a enegia cinética na configuação final é meno do que a enegia cinética na configuação inicial, K f < K i. Depois que o bloco oscila, se elevando de uma altua h, o sistema bala-bloco adquie uma ceta quantidade de enegia potencial gavitacional, U = ( m + m ) gh. 1 Note a escolha de U = 0 quando o bloco está em equilíbio, h = 0. Consideando que o sistema fomado pela bala, pelo bloco e pela Tea está isolado, a consevação de enegia mecânica pode se aplicado, isto é, K f = U. Sendo assim, você pode calcula a velocidade da bala v 1i em temos da altua de elevação h, v 1i m = 1 + gh. m1 b. Agoa você pode simplesmente substitui os dados do poblema na equação anteio. O esultado que você vai enconta é o seguinte: ( 4, 0kg) (, m/s )(, m), m/s. ( 0, 01kg) v 1i = CECIER J Extensão 69

269 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões c. A enegia cinética inicial da bala é dada pela elação K i = 1 m v. 1 1 i Paa calcula a fação de enegia cinética que é tansfeida da bala paa o sistema bala-bloco logo após a colisão, você deve calcula a azão f = K f / K i. Esta azão vale simplesmente m1 f = ( m + m ). 1 Ao substitui a massa da bala, m 1 = 10 g = 0,01kg, e do bloco, m = 4,0kg, você vai obte uma fação de Veja que nesta colisão totalmente inelástica a enegia cinética logo após a colisão é apoximadamente 0,5% da enegia cinética inicial da bala. ( 0, 01kg) f =, ( 0, 01kg) + ( 4, 0kg) 6. Duante a madugada, um cao de luxo, de massa total igual a.400kg, bate na taseia de um cao de massa total igual a 1.00kg, que estava paado num sinal vemelho. O motoista do cao de luxo alega que o outo estava com as luzes apagadas, e que ele vinha eduzindo a macha ao apoxima-se do sinal, estando a menos de 10km/h quando o acidente ocoeu. A peícia constata que o cao de luxo aastou o outo de uma distância igual a 10,5m, e estima o coeficiente de atito cinético com a estada no local do acidente em 0,6. a. De que velocidade o cao de luxo vinha ealmente? b. Caso fosse vedadeia a alegação de que o cao de luxo estava a 10km/h, qual seia a distância que o cao de luxo aastaia o outo cao? 70 CECIER J Extensão

270 RESPOSTAS COMENTADAS Vamos começa pensando como detemina as configuações inicial e final desta colisão. O cao de luxo de massa m 1 =.400kg vinha com uma ceta velocidade v 1i, até colidi com o outo cao de massa m = 1.00kg em epouso v i = 0. Após a colisão, o cao de luxo aasta o outo cao de modo que a colisão deve se tatada como uma colisão unidimensional totalmente inelástica. Você apendeu que neste caso os dois caos têm uma mesma velocidade na configuação final, v 1f = v f = v f. a. Paa uma colisão unidimensional totalmente inelástica com o cao alvo em epouso, a velocidade final do sistema fomado pelos dois caos vale v f m1 = m + m v. 1 i 1 AULA 6 Você deve calcula a velocidade inicial do cao de luxo, ou seja, Paa isso, vamos calcula a velocidade final v f a pati da distância em que o cao de luxo aastou o outo cao, x = 10,5m, e do coeficiente de atito cinético da pista, µ = 0,6. v m = 1+ m v. 1 1i f A foça de atito atua do instante da colisão até o instante em que os dois caos paam, 10,5m mais à fente. Como você já estudou, a foça de atito f at é popocional à foça nomal, f at = µn, e tem dieção hoizontal e sentido oposto ao sentido do movimento. Mais ainda, a pati da condição de equilíbio das foças na dieção vetical, você pode veifica que a foça nomal é igual à foça peso do conjunto fomado pelos dois caos, N = (m 1 + m )g. Dessas consideações e da Segunda Lei de Newton, a foça de atito f at = µ(m 1 + m )g é a esponsável po fea os caos com uma aceleação a, calculada po meio da seguinte equação: fat = µ( m1 + m) g = ( m1 + m) a. Assim, após a colisão, os dois caos com uma velocidade v f são feados com uma aceleação a = µg. Agoa você pode usa a equação de um movimento unidimensional unifomemente vaiado, v = v + a x, com a velocidade v = 0 poque os dois caos paam f depois de pecoe x = 10,5m, vf = µ g x. Como a equação da colisão elaciona as velocidades v 1i e v f, você pode substitui a equação anteio paa enconta v m m v m = 1 + = 1 + µ g x. 1 m1 1i f CECIER J Extensão 71

271 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Ao substitui os dados deste poblema, você deve enconta o seguinte esultado: ( 100kg) = + ( 400kg) v 1i 1 ( 0, 6)( 9, 8m/s )( 10, 5m) 16, 6m/s 60km/h. Como você pode ve, a peícia constatou que a alegação do motoista do cao de luxo ea falsa. b. Neste caso, você pode calcula a distância com a mesma equação usada no item anteio, isto é, m 1 x = m1 + m v1 i µ g. Se velocidade inicial fosse v 1i = 10km/h,8m/s, a distância pela qual o cao de luxo aastaia o outo cao seia ( 400kg) x = ( 400kg) + ( 100kg) Veja que este esultado é muito meno do que aquele constatado pela peícia. ( 10 / 3, 6m/s) ( 0, 6)( 9, 8m/s ) 0, 3m. COLISÕES ELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS Vamos considea a colisão ente duas patículas de massas m 1 e m com velocidades v 1 f e v f na configuação inicial. No caso de uma colisão bidimensional, a consevação do momento total é equivalente a duas equações escalaes: uma paa cada uma das componentes x e y do veto momento. O veto momento inicial do sistema, Pi = p1 i + p i, é igual ao veto momento final do sistema, P = p + p f 1f f, p + p = p + p. 1i i 1f f (6.36) A equação anteio pode se eescita explicitamente em temos das componentes catesianas x e y. O sistema de equações escalaes que coesponde à Equação (6.36) é o seguinte: p + p = p + p 1ix ix 1fx fx p + p = p + p 1iy iy 1fy fy,. (6.37) 7 CECIER J Extensão

272 Vamos nos estingi ao caso em que a patícula é um alvo em epouso, v i = 0, confome está mostado na Figua Após a colisão, a patícula 1 se move na dieção que faz um ângulo θ com a hoizontal, e a patícula se move na dieção que faz um ângulo φ com a hoizontal. AULA 6 Configuação inicial y m 1 v 1f m v i = 0 x Configuação final y v 1f m 1 θ x φ m v f Figua 6.17: Colisão elástica bidimensional. CECIER J Extensão 73

273 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Como você pode veifica, a consevação de momento paa a colisão mostada na Figua 6.11 esulta nas elações p = p cosθ + p cos φ, 1i 1f f 0 = p senθ p 1f f senφ. (6.38) Note que o sinal negativo na segunda igualdade acima epesenta o sentido do eixo y, da componente y, do veto velocidade da patícula. Na situação consideada, Figua 6.11, as enegias cinéticas inicial e final são, espectivamente, e K K i = 1 m p 1i, 1 1 m p 1 = + m p 1. f f f 1 1 (6.39) (6.40) Nesta colisão elástica a enegia total é consevada, K f = K i, m p m p m p i = f + f. 1 1 (6.41) Agoa, você pode obseva que as equações escalaes, dadas pelas Equações (6.38) e (6.41) são insuficientes paa detemina as quato incógnitas p 1f, p f, θ e φ da colisão elástica bidimensional. Logo, paa detemina a configuação final deste poblema, é necessáio um dado adicional que pode se, po exemplo, o ângulo θ. i. Massas iguais: Vamos analisa o caso paticula de duas patículas com massas iguais colidindo elasticamente, ou seja, m 1 = m. A igualdade das enegias cinéticas, Equação (6.41), com, p i = 0 encontamos também que p = p + p. 1i 1f f (6.4) Quando elevamos ao quadado a elação ente os momentos inicial e final, Equação (6.36) com p i = 0, encontamos também que p = p + p p p p p p p. ( ) ( + ) = + + 1i 1f f 1f f 1f f 1f f (6.43) 74 CECIER J Extensão

274 Neste momento, você deve compaa as Equações (6.4) e (6.43). Você pode afima que o poduto escala p p é nulo, e, então, 1f f π p1 f p f = p1 f p f cos( θ + φ) = 0 θ + φ =. (6.44) AULA 6 O esultado acima tem o seguinte significado: após uma colisão elástica ente patículas de massas iguais, as dieções de movimento delas são pependiculaes. Veja na Figua 6.18 que, nesse caso, os vetoes de momento final são os lados de um tiângulo etângulo cuja hipotenusa é o momento inicial. p p 1f f p p 1f f θ p + p = p + p. 1i i 1f f Figua 6.18: Os momentos final e inicial de uma colisão elástica bidimensional ente duas patículas de mesma massa. Em especial, se o ângulo θ fo conhecido, os paâmetos p 1f e p f da configuação final podem se calculados a pati do tiângulo etângulo mostado na Figua 6.18, p p = p 1f 1i = p f 1i cos θ, senθ. (6.45) ii. Caso geal: Paa uma colisão elástica bidimensional ente patículas com massas difeentes, m 1 m, a Equação (6.41) pode se eescita da seguinte maneia: p m m p = ( p ). f i f 1 Já a Equação (6.36), com p i = 0, fonece a elação (6.46) p = p p p p p p ( ) = + f 1i 1f 1i 1f 1i 1f cos θ. (6.47) CECIER J Extensão 75

275 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Ao iguala as Equações (6.46) e (6.47), obtemos uma equação do segundo gau paa a incógnita p 1f, se o ângulo θ fo conhecido, m 1 + (6.48) = 0 m p p p m 1 m p f ( i cos θ) f i. 1 Note que a equação do segundo gau acima tem duas aízes. A fómula de Báskaa detemina que as duas soluções paa p 1f são: p 1f Como p p1 i = m 1 + m = p, as soluções encontadas são aceitáveis somente 1 f 1 f se foem positivas, p f 1 m ± + 1 cosθ cos θ m1 (6.49) Isto pode se exigido com a imposição de que cos θ + 1 sen θ 0 m 1 = m. m m1 Vamos analisa alguns casos paticulaes. (6.50) ii.a. Alvo mais pesado (m >m 1 ): Nesse caso, o alvo da colisão elástica é mais pesado do que a patícula incidente. Como você pode veifica, se m >m 1 o adical na Equação (6.50) é sempe maio do que cosθ, e, a solução aceitável é p 1f p1 i = m 1 + m 1 m cosθ cos θ, se m > m m1 1. (6.51) ii.b) Alvo mais leve (m 1 > m ): Nesse caso, o alvo em epouso colide elasticamente com uma patícula incidente mais pesada. O adical na Equação (6.50) paa m 1 > m, é sempe meno do que cosθ, e assim, as duas soluções são aceitáveis. Em especial, quando m 1 >> m, a Equação (6.50) pode se eescita como senθ (6.5) m << 1. m1 A desigualdade anteio detemina que o ângulo θ << 1 é bem pequeno, isto é, a patícula incidente sendo mais pesada que o alvo quase não sofe deflexão. 76 CECIER J Extensão

276 COLISÕES INELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS Confome já foi mencionado, em uma colisão inelástica, a enegia cinética final pode se maio, ou meno, do que seu valo inicial. Paa simplifica nossa análise, vamos considea uma patícula de massa m 1 e um momento inicial p 1 que colide de foma inelástica com uma massa m em epouso. Na configuação final, como mostado na Figua Vamos AULA 6 supo duas patículas, que podem te massas difeentes das iniciais, m 3 e m 4, com seus espectivos momentos p 3 e p 4. Note que o momento da patícula de massa m 3 faz um ângulo θ com o eixo x e o momento da patícula com massa m 4 faz um ângulo θ com o eixo x. Na colisão inelástica que está sendo consideada, a consevação de momento é dada pela seguinte equação: p1 = p3 + p4 (6.53) Como a colisão é inelástica, devemos intoduzi o fato Q, que quantifica se há ganho ou peda da enegia cinética após o pocesso de colisão. Quando uma pacela da enegia cinética inicial é convetida em alguma outa foma de enegia, causando peda de enegia, então Q > 0 e o pocesso é dito endoégico. Po outo lado, quando há um ganho de enegia cinética após a colisão, então Q > 0 e o pocesso é chamado de exoégico. A pati dessa quantidade Q, podemos expessa a difeença ente a enegia cinética nas configuações final e inicial, Q = K K = K + K K f i (6.54) Neste momento, você já pode pecebe que temos tês equações, dadas pelas Equações (6.53) e (6.54), e um total de cinco incógnitas: Q, K 3, K 4, θ e φ. Desse modo, é necessáio conhece duas dessas gandezas paa que a configuação final possa se deteminada. CECIER J Extensão 77

277 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões Assim, a pati desse ponto, vamos supo que podemos medi K 3 e θ e, a pati dessas quantidades, calcula as outas tês incógnitas. Configuação inicial y m 1 p 1 m p = 0 x Configuação final y p 3 m 3 θ x φ m 4 v 4 Figua 6.19: Colisão inelástica bidimensional. Paa a colisão inelástica mostada na Figua 6.19, a consevação de momento dada pela Equação (6.53) pode se aumada de outa maneia, p = p p p p p p 4 ( ) = cos θ. (6.55) 78 CECIER J Extensão

278 p Como o momento está elacionado com a enegia cinética, = mk, a equação anteio também pode se expessa em temos das enegias cinética K 1, K 3 e K 4, AULA 6 T 4 p m m m K m m K m m K K = = cos θ. m (6.56) Ao substitui a Equação (6.56) no fato Q definido pela Equação (6.54), o esultado encontado é Q m m m m K K = + 1 K3 + 1 K1 cos θ. m4 m4 m4 (6.57) A equação acima fonece o valo de Q como função dos dados conhecidos K 3 e θ. Finalmente, a equação de consevação de momento deve se usada paa também detemina os valoes K 4 e φ a pati dos dados conhecidos K 3 e θ. ATIVIDADES 7. Um jogado de bilha deseja aceta, na caçapa do canto, uma bola peta que está em epouso. Após a tacada, a bola banca adquie uma velocidade v 1i = 5,0m/s. Confome está mostado na Figua 6.0, o ângulo ente o eixo x e a dieção da bola azul após a colisão vale 35 o. Todas as bolas do jogo têm massas iguais. a. Qual é a dieção do movimento da bola banca após a colisão? b. Quais são os módulos v 1f e v f dos vetoes velocidade de cada bola após a colisão? Assuma que a colisão é elástica e despeze o atito e o movimento de otação das bolas de bilha. CECIER J Extensão 79

279 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões y v f v li Bola Banca θ 35 0 x v lf Figua 6.0: A bola banca colide com a bola peta. RESPOSTAS COMENTADAS Obseve que, na configuação inicial, a bola banca se move com uma velocidade v 1i = 5,0m/s na dieção positiva do eixo x. Após a colisão, a bola peta se move com uma velocidade v f numa dieção que faz um ângulo de 35 o com o eixo x. A bola banca tem uma velocidade v 1f, com uma dieção que faz um ângulo θ com o eixo x. a. Você deve analisa uma colisão elástica bidimensional ente a bola banca e a peta, que têm massas iguais. De acodo com o que você apendeu, quando duas bolas têm massas iguais e colidem elasticamente, as dieções de movimento delas após a colisão são pependiculaes. Isto pode se visualizado a pati do tiângulo etângulo mostado na Figua CECIER J Extensão

280 v lf AULA 6 v f 35 0 v1i Figua 6.1: Tiângulo etângulo de lados v 1f e v f com hipotenusa v 1i. O ângulo θ que detemina a dieção do movimento da bola banca após a colisão é o ângulo complementa de 35 o, ou seja, o o θ + 35 = 90. Da equação acima, você calcula o ângulo θ, o θ = 55. b. Note que o tiângulo etângulo mostado na Figua 6.1 tem lados v 1f e v f enquanto a hipotenusa vale v 1i = 5,0m/s. Com as popiedades tigonométicas, você pode facilmente veifica que a velocidade final da bola banca é o o v1f = v1 i sen35 = ( 5, 0m/s) sen35, 9m/s, e a velocidade da bola peta é o o vf = v1 i cos35 = ( 5, 0m/s) cos35 4, 1m/s. 8. Uma embacação com massa de 1, kg está descendo um io a 6,m/s, sob densa neblina, quando colide com a lateal de outa embacação que atavessa o io. O segundo baco tem massa de, kg e se desloca a 4,3m/s, como mosta a Figua 6.0. Imediatamente após o impacto, a segunda embacação enconta seu cuso desviado de 18 o e sua velocidade aumenta paa 5,1m/s. A coenteza do io ea paticamente zeo no instante do acidente. a. Quais são o módulo e a dieção do veto velocidade da pimeia embacação imediatamente após a colisão? b. Quanta enegia cinética se pede nesta colisão? CECIER J Extensão 81

281 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões 18 0 Figua 6.: Colisão inelástica ente duas embacações. RESPOSTAS COMENTADAS Vamos estabelece as configuações inicial e final desta colisão inelástica bidimensional. Na configuação inicial, a pimeia embacação de massa m 1 = 1, kg se move com uma velocidade v 1i = (6,m/s)i na dieção positiva do eixo x, e a segunda embacação de massa m =, kg se move com uma velocidade v i = (4,3m/s)j na dieção positiva do eixo y. Depois da colisão, a segunda embacação se move com uma velocidade v f = 5,1 m/s numa dieção que faz um ângulo de 18 o com o eixo y, ou seja, vf = vf ( cos( φ 90 o ) i + sen( φ 90 o ) j) = ( 5, 1m/s)( sen18 o i + cos18 o j). 8 CECIER J Extensão

282 Nesta atividade, você vai calcula a velocidade da pimeia embacação v 1f após a colisão. Paa isto, você pode esceve o veto velocidade na seguinte foma: v = v ( cosθ i + senθ j). 1f 1f AULA 6 Note que v f é o módulo da velocidade da pimeia embacação e θ é o ângulo ente o veto velocidade v 1f e o eixo x. a. Vamos usa o sistema fomado pelas duas embacações. Você pode calcula o módulo e a dieção do veto velocidade da pimeia embacação imediatamente após a colisão a pati da consevação de momento do sistema. O momento inicial do sistema vale P = m v + m v = m v i + m v j i 1 1i i 1 1i i, e o momento final é dado po P = m v + m v f 1 1f f = ( m v cos θ + m v senφ) i + ( m v senθ + m v cos φ) j. 1 1f f 1 1f f Ao usa a consevação do momento total do sistema, P i = P f, você deve enconta o seguinte sistema de equações: m v = m v cos θ + m v senφ, 1 1i 1 1f f m v = m v senθ + m v i 1 1f f cosφ. Obseve que as incógnitas do sistema de equações acima são v 1f e θ. Não vai se difícil de você mosta que o ângulo θ é calculado com a equação Assim, o ângulo ente o veto velocidade v 1f e o eixo x é O sinal de menos indica que o veto velocidade tem uma componente negativa na dieção do eixo y. mvi mvf cosφ tan θ =. m v m v senφ A pati do sistema de equações você também pode calcula o módulo do veto velocidade da segunda embacação, v Com a substituição dos dados do poblema na equação anteio, você vai enconta um módulo igual a 1 1i f tan θ 0, 31 θ 17 o. 1 m m v m v m v m v = ( 1 1 senφ) + ( cosφ). 1f i f i f 1 v f 1 = 3, 4m/s. CECIER J Extensão 83

283 Movimentos: Vaiações e Consevações Colisões b. Paa calcula a peda de enegia cinética nesta colisão inelástica bidimensional, você deve pimeio calcula as enegias cinéticas antes e depois da colisão. Obseve que a enegia cinética inicial do sistema é dada po Ki = m1v1 i + mvi 5, J. Após a colisão, o sistema tem uma quantidade de enegia cinética dada po Kf = m1v1 f + mvf 4, J. Você pode calcula a quantidade de enegia cinética pedida nesta colisão inelástica, ou melho, o fato Q da colisão, Q = K K 9, J. f i R E S U M O Nesta aula, explicamos quais são as condições paa que o momento linea total de um sistema de patículas se conseve. Também definimos a posição do cento de massa de um sistema de patículas. Em seguida, aplicamos a consevação do momento linea, quando não há foças extenas atuando sobe o sistema, paa calcula a configuação final de duas patículas após uma colisão elástica e totalmente inelástica ao longo de uma eta. Finalmente, estudamos as colisões ente duas patículas em um plano, quando uma das patículas se enconta, inicialmente, em epouso. 84 CECIER J Extensão

284 Momento angula A U L A 7 Meta da aula Discuti alguns aspectos físicos elacionados ao movimento dos copos ígidos em otação, como a epesentação de uma otação em tono de um eixo fixo, o cálculo da velocidade angula e o toque esponsável pela otação. Texto adaptado po Calos Magno da Conceição e Lizado H. C. M. Nunes da apostila: - SOUZA, Calos Faina de; Pinto, Macus Venicius C.; Soaes Filho, Paulo Cailho. Física 1B. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: calcula o poduto vetoial ente dois vetoes; desceve a otação de uma patícula em movimento cicula como um poduto vetoial; explica a difeença ente um veto pola e um veto axial; calcula o toque, em elação a uma oigem, devido a uma foça que faz gia um copo ígido; calcula o momento angula, em elação a uma oigem, de uma patícula em movimento cicula; avalia qualitativamente a analogia ente foça e toque e compeende as condições paa que o momento angula se conseve; calcula o toque total, em elação a uma oigem, quando foças extenas agem sobe um sistema de patículas; analisa como o momento angula de um sistema de patículas se conseva. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 6 Sistema de patículas.

285 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula REPRESENTAÇÃO VETORIAL DAS ROTAÇÕES Até o momento, tatamos apenas da dinâmica do movimento tanslacional. Nesta aula, veemos como tata os aspectos dinâmicos dos copos em otação. Como você já sabe, no estudo do movimento de tanslação, em divesas situações podemos despeza a dimensão dos copos envolvidos e consideá-los como patículas. Entetanto, quando estudamos os movimentos de otação, as dimensões dos copos envolvidos têm de se levadas em conta. De fato, considee o caso mais simples paa o movimento de otação que existe: a otação de um copo ígido em tono de um eixo fixo. Quando obsevamos um objeto estendido, como, po exemplo, um CD- ROM giando sobe seu eixo cental (veja a Figua 7.1), o movimento não pode se analisado tatando-se o disco como uma patícula, uma vez que, num dado instante, difeentes pates do disco têm difeentes velocidades lineaes e aceleações lineaes. No entanto, podemos analisa o movimento consideando o disco como sendo composto de uma coleção de patículas, cada uma com a sua pópia velocidade linea e aceleação linea. 3mm 58mm Figua 7.1: CD-ROM. Ao gia sobe seu eixo cental, difeentes pates do disco têm difeentes velocidades lineaes e aceleações lineaes em um dado instante. 86 CECIER J Extensão

286 Além disso, ao estudamos um objeto giando, a análise seá extemamente simplificada se assumimos que o objeto seja ígido e não se defoma. (Emboa na Natueza todos os objetos sejam defomáveis, dento de um ceto limite.) Acontece que o modelo de um objeto ígido é muito útil em divesas situações em que a defomação é despezível e tona a matemática mais simples paa desceve o movimento de otação. AULA 7 Um objeto é ígido quando não se defoma, ou seja, a localização de qualque patícula que o compõe pemanece constante com elação a todas as outas patículas desse mesmo objeto. Além de leva em conta a dimensão dos copos ígidos em otação, devemos usa gandezas vetoiais paa desceve o movimento de otação. De fato, lembe-se de que, em divesas leis da Física, isso não acontece, pois obsevamos apenas elações algébicas ente gandezas escalaes nessas leis. Po exemplo, um copo de massa m, colocado numa altua h, tem enegia potencial gavitacional U = mgh, onde g, que denota o módulo da aceleação da gavidade, é uma gandeza escala. Po outo lado, também temos leis em que gandezas vetoiais têm tanto elações algébicas ente si quanto elações geométicas. Po exemplo, imagine um pião em otação ápida em tono de seu eixo enquanto o eixo de otação também gia lentamente em tono da vetical. É complicado epesenta essa elação geomética po equações algébicas. Entetanto, se utilizamos vetoes paa epesenta as vaiáveis físicas, uma única equação seá suficiente paa explica todo o compotamento. Os vetoes pemitem essa economia de expessão em uma gande vaiedade de leis físicas. Po vezes, a foma vetoial de uma lei física nos pemite ve elações ou simetias que seiam obscuecidas po uma equação algébica complicada. Assim, vamos volta ao caso simples da otação de um copo ígido em tono de um eixo fixo: considee, po exemplo, um cilindo sólido giando em tono do seu eixo cental, como mosta a Figua 7.. Po conveniência, consideamos o eixo cental na dieção vetical. CECIER J Extensão 87

287 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula Um plano de otação R Figua 7.: Cilindo sólido giando em tono de um eixo fixo. Paa cada cote tansvesal ao eixo de otação, podemos estabelece um plano de otação (veja a Figua 7.). É fácil ve que cada patícula do objeto contida nesse plano desceve um movimento cicula. Aliás, como você pode ve na Figua 7.3, a segui, mesmo em objetos com uma geometia mais complicada, cada patícula do plano de otação desceve um movimento cicula. Logo, é fácil intui po que gandezas vetoiais são úteis paa desceve a otação dos copos, uma vez que, quando você estudou os copos em movimento cicula na Aula, viu que a velocidade angula e a aceleação angula são gandezas vetoiais. y P s O θ x Figua 7.3: Plano de otação de um copo ígido abitáio giando em tono de um eixo fixo que passa pelo ponto O. Uma patícula no ponto P desceve um movimento cicula. 88 CECIER J Extensão

288 Como sabemos, paa desceve o movimento de uma patícula em tajetóia cicula, pecisamos apenas conhece o ângulo de otação θ em função do tempo. Mas o que acontece se, ao invés de consideamos otações finitas, tomamos pequenas otações com ângulos δθ infinitesimais? Bom, nesse caso, as otações infinitesimais têm caáte vetoial. O quê? Você não entendeu? Tudo bem, vamos explica isso com calma... AULA 7! Em nosso cuso, um veto podeá se denotado po uma única leta em negito, po exemplo, a, ou um veto podeá também se epesentado pela conhecida notação: a. Já o módulo de um veto a seá denotado po a ou a. Também podeemos epesenta o módulo de um veto abolindo o negito da leta, ou seja, simplesmente po a. Em pimeio luga, vamos associa a uma otação infinitesimal δθ um veto δθ. Esse veto é meio esquisito e podemos dize que ele gia em tono de si mesmo e petence à categoia dos vetoes axiais, como visto no boxe explicativo a segui. A magnitude de δθ é o pópio ângulo δθ, e dizemos que sua dieção e sentido são os mesmos do eixo de otação, como mosta a Figua 7.4. δθ δθ δ s = δθ v, Figua 7.4: Rotação infinitesimal. CECIER J Extensão 89

289 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula Paa uma patícula do objeto ígido que sofeu uma otação infinitesimal δθ, o deslocamento seá δ s = δθ, onde é a distância da patícula ao eixo de otação. Como a otação é infinitesimal, o aco δs é apoximadamente uma eta e associamos um veto δ s = à otação. δθ, Note que δ s = liga δθ as posições, da patícula antes e depois da otação infinitesimal (veja a Figua 7.4) e tem, em boa apoximação, magnitude δs. Esse veto δ s também = δθ, é pependicula aos vetoes e δθ, está contido no plano de otação e, potanto, pode se expesso como δ s = δθ, (7.1) onde o símbolo indica o poduto vetoial ente e δθ, como você veá na póxima seção. Vetoes axiais têm módulo (magnitude) e dieção bem definidos, mas seu sentido é definido po uma convenção. Po exemplo, fisicamente, não há nada que pemita associa um sentido ao nosso veto axial δθ. Entetanto, po convenção, adotamos um sentido paa δθ da seguinte foma: se fosse possível coloca um sujeito em cima do plano de otação olhando paa baixo, ele veia a otação acontecendo no sentido anti-hoáio, quando δθ está paa cima. É lógico que, se δθ estivesse paa baixo, o sujeito veia a otação no sentido hoáio. A convenção que adotamos é a mais comum, mas podeíamos pefeitamente invete o sentido do veto δθ sem altea em nada o entendimento físico da otação obsevada. Como o sentido do veto está associado à oientação de um eixo, vetoes como δθ são chamados de vetoes axiais. Outos exemplos de vetoes axiais são o veto velocidade angula e o veto aceleação angula, que veemos a segui. Po outo lado, vetoes como a velocidade, o momento linea ou a foça, que têm sentido bem definido, são chamados de vetoes polaes. 90 CECIER J Extensão

290 PRODUTO VETORIAL De maneia a epesenta vetoialmente as otações, vamos defini o poduto vetoial ente vetoes. O poduto vetoial do veto A pelo veto B seá um novo veto, que epesentaemos po A B. O símbolo na expessão A B seá lido A vetoial B ou poduto vetoial de A po B. Você veá que o poduto vetoial depende da odem dos fatoes, isto é, em geal B A é difeente de A B. Potanto, fique bem atento quando estive tatando com o poduto vetoial de dois vetoes, pois a odem dos fatoes desempenha um papel impotante no poduto vetoial. Dizemos, então, que o poduto vetoial é não-comutativo. Seja C o veto esultante do poduto vetoial dos vetoes A e B, ou seja, C = A B. (7.) AULA 7 O veto C é definido po uma dieção pependicula ao plano definido po A e B. Mas, se você leu o apêndice da Aula, em que tatamos de vetoes, você pode se pegunta: E quanto ao sentido? Bem, vamos com calma. Ele é um pouco mais complicado. O sentido do veto C é tal que, quando visto de sua extemidade, A gia apoximando-se de B no sentido anti-hoáio. C = A x B A B θ C = B x A Figua 7.5: A epesentação gáfica paa o poduto vetoial ente os vetoes A e B. CECIER J Extensão 91

291 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula E como fica o módulo (ou a magnitude) do veto, que esulta do poduto vetoial A B? Bem, po definição, temos que C = A B = A B senθ, (7.3) onde θ é o ângulo ente as dieções dos vetoes A e B e tem de se meno que Obsevando a Equação 7..1, notamos que, mesmo sendo A 0 e B 0, podemos te um poduto vetoial nulo, ou seja, A B = 0, (7.4) basta que os vetoes A e B tenham a mesma dieção, isto é, sejam paalelos. Em paticula, A A = 0. (7.5) E o que acontece se, ao invés de A B, = fizemos 0 B A? Neste caso, o módulo e a dieção seão os mesmos; o que iá muda é o sentido, uma vez que o sentido de B A é tal que, quando visto de sua extemidade, B gia no sentido hoáio apoximando-se de A. Logo, vemos que o sentido é oposto ao do poduto vetoial de A B, = ou 0 seja, B A = A B = C, (7.6) como podemos ve na Figua CECIER J Extensão

292 Um tuque paa detemina o sentido do veto C é usamos a conhecida ega da mão dieita, que consiste no seguinte: coloque os dedos da sua mão dieita, com exceção do polega, na dieção do veto B A. Agoa feche a mão paa o lado em que se enconta o veto B, mantendo A o polega esticado. O sentido do veto C é paa onde o seu dedão aponta, como mosta a figua. AULA 7 A C B A C B Pelo que viu na seção anteio, você já deve te pecebido, potanto, que o poduto vetoial é muito impotante paa epesenta as caacteísticas da otação dos vetoes. Quando estivemos tatando com os vetoes unitáios dos eixos coodenados, é necessáio temos em mente as seguintes popiedades: u u = u = u u x y z y x u u = u = u u y z x z y u u = u = u u z x y x z. (7.7) Uma vez que qualque veto pode se escito em temos dos vetoes unitáios, temos, em tês dimensões, que CECIER J Extensão 93

293 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula A = A u + A u + A u, x x y y z z B = B u + B u + B u. x x y y z z (7.8) (7.9) Com esta epesentação em mente, fazemos A B = ( A u + A u + A u ) ( B u + B u + B u ) x x y y z z x x y y z z = ( A B A B ) + ( A B y z z y ux z x AxBz uy AxBy AyBx = u u u x y z A A A, x y z B B B x y z ) + ( ) u z (7.10) onde denota o deteminante da matiz acima. Essa expessão é muito útil paa o cálculo do poduto vetoial. Finalmente, considee agoa uma patícula em movimento cicula, como aquela patícula de um copo ígido no plano de otação indicada pelo ponto P na Figua 7.3. Po definição, sua velocidade linea é v d = / dt. Po sua vez, d / dt lim δ s / δt, como você viu quando ( ) δ t 0 estudou a Cinemática Vetoial na Aula. É clao que, quando δt 0, temos uma otação infinitesimal e podemos substitui o esultado da Equação na nossa expessão paa a velocidade linea da patícula, v = lim ( δθ / δt), ou seja, δ t 0 (7.11) v = ω, onde ω é o veto velocidade angula. O módulo deste veto coesponde à velocidade angula escala ω = dθ / dt, que você viu na Aula, a dieção de ω é a mesma do eixo de otação, enquanto o sentido de ω é definido pelo sentido de δθ. Assim, podemos epesenta o veto velocidade angula po θ ω = d. (7.1) dt como De maneia análoga, podemos defini o veto aceleação angula θ α d dt, (7.13) onde α = d θ / dt é a aceleação angula escala. 94 CECIER J Extensão

294 ! Note que os cálculos de deivadas e integais estão foa do objetivo deste cuso e não seão cobados nas avaliações. AULA 7 ATIVIDADES 1. Considee um hexágono cujos lados têm compimento unitáio. Seus vétices estão localizados nos pontos O, A, B, C, D e E, sendo O a oigem dos eixos catesianos, como ilusta a Figua 7.6. Y D C E d c b B e O a A X Figua 7.6: Hexágono de vétices localizados nos pontos O, A, B, C, D e E. a. Esceva os vetoes a, b, c, d e e em temos dos vetoes unitáios u x e u y. b. Calcule os podutos vetoiais a b; b c; c d e d e. c. Intepete os esultados encontados no item (b). CECIER J Extensão 95

295 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula RESPOSTAS COMENTADAS Vamos calcula as componentes catesianas de cada um dos vetoes a, b, c, d e e, usando como sistema de coodenadas os eixos X e Y da Figua 7.6. Note que o ângulo ente os lados vizinhos do hexágono vale 10 o. a. Como os lados do hexágono têm compimento unitáio, você cetamente pecebeu que o veto a é o pópio veto unitáio u x, Paa pode esceve o veto b, você deve se convence de que a componente X é dada po b x = 1 + cos60 o e a componente Y, po b y = sen60 o. Dessa foma, o veto b pode se escito da seguinte maneia: Veja na Figua 7.6 que a componente X do veto c é igual ao compimento unitáio do lado do hexágono, c x = 1. Po outo lado, a componente Y do veto c é o dobo da componente Y do veto b, c y = b y = 3. Sendo assim, O veto d tem somente a componente Y não nula, Po fim, você pode obseva na Figua 7.6 que o veto e tem uma componente X dada po e x = cos60 o e uma componente Y dada po e y = sen60 o. A pati desta obsevação, você conclui que o veto e pode se expesso como 1 3 e = u + u b. Paa calcula o poduto vetoial ente dois vetoes, vamos usa as popiedades u x u x = u y u y = 0 e u x u y = u y u x = u z. Note que o veto unitáio u z é pependicula ao plano XY, ou ainda, aponta paa o leito que obseva a Figua 7.6. Cálculo de a b: A pati dos vetoes a e b calculados no item (a), você pode esceve o poduto Ao usa a lei distibutiva do poduto vetoial e, em seguida, as popiedades u x u x = 0 e u x u y = u z, você vai enconta o esultado a = u x. 3 3 b = u + u x y. c = u + 3 u. x d = 3u y. y x y. 3 3 a b = u u + u x. x y a b = u u + u u = u x x x y z. 96 CECIER J Extensão

296 Cálculo de b c: Paa calcula este poduto vetoial, você pimeio deve usa a lei distibutiva na equação isto é, 3 3 b c = u + u u + 3u ( ) x y x y, b c = u u + u u + u u + u u x x x y y x y y. AULA 7 Lembe-se de que u x u y = u y u x = u z, ou seja, o poduto vetoial acima vale simplesmente b c = u u = 3u Cálculo de c d: x y z. Aqui você também teá de distibui as componentes do poduto, ( ) ( ) = + c d = u + 3u 3u 3u u 3 u u. x y y x y y y Quando você usa as popiedades do poduto vetoial ente os vetoes unitáios, vai enconta o seguinte esultado: Cálculo de d e: Novamente, você deve usa a lei distibutiva, Note que você pode usa a anti-simetia do poduto vetoial, u y u x = u z, c. A intepetação geomética do poduto vetoial é a seguinte: o módulo do poduto vetoial a b é igual à áea do paalelogamo fomado pelos vetoes a e b. Você pode confei que os esultados encontados no item (b) são: (i) a b = d e = 3 /, ou seja, o paalelogamo fomado pelos vetoes a e b tem a mesma áea que o paalelogamo fomado pelos vetoes d e e. (ii) b c = c d = 3, ou seja, o paalelogamo fomado pelos vetoes b e c tem a mesma áea que o paalelogamo fomado pelos vetoes c e d. c d = 3u z. d e = ( u ) u + u = 3 u u + 3 u u y x y y x y y. d e = 3 u z. CECIER J Extensão 97

297 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula. Um pião gia unifomemente em tono do eixo Z com uma velocidade angula de 10ad/s, como está mostado na Figua 7.7. Simultaneamente, o eixo Z do pião gia com uma velocidade angula de 5,0ad/s em tono do eixo Z'. O eixo Z está inclinado de 16 o em elação ao eixo Z'. O cento de gavidade do pião está localizado no ponto C, sendo que o segmento de eta CP é pependicula ao eixo Z e mede CP =,0cm de compimento. a. Qual é o veto velocidade angula esultante do pião? O pião gia em tono de qual dieção? b. Qual é o veto velocidade do movimento giatóio do ponto P do pião? Z' Z 16 0 C P Figua 7.7: Pião que gia, simultaneamente, em tono dos eixos Z e Z'. 98 CECIER J Extensão

298 RESPOSTAS COMENTADAS Vamos usa um sistema de coodenadas fixo no pião, fomado pelos eixos X, Y e Z. Como você pode ve na Figua 7.8, a oigem dos eixos fica localizada no ponto C. Veja também que o eixo X escolhido fica na dieção do segmento de eta CP. Dessa foma, a dieção do eixo Y é pependicula ao plano da Figua 7.8 e aponta paa dento da página. Uma vez definido o sistema de coodenadas, você pode epesenta o veto de velocidade angula em tono do eixo Z pelo veto ω que tem um módulo igual a ω = 10ad/s. Este veto pode se escito em temos do veto unitáio u z da seguinte foma: AULA 7 u ω = ω u = ( 10 ad/s) u. z z Paa epesenta o veto de velocidade angula em tono do eixo Z', uu uu você pode usa um veto ω cujo módulo vale ω = 5,0ad/s. Obseve na Figua 7.8 que este veto possui componentes nas dieções X e Z, isto é, deve se escito como uma combinação dos vetoes unitáios u x e u z, uu ω = ω (cos 16 o 16 o u sen u ). Assim, a otação em tono do eixo Z' é epesentada po uu ω ( 4, 8u 1, 4u ) ad/s z x. z x Z ω uu ω 16 0 C P X Figua 7.8: O sistema de eixos X, Y e Z fixo no pião. Veja também os vetoes de velocidade angula ω uu e ω, bem como o veto de posição do ponto P. CECIER J Extensão 99

299 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula a. Você deve calcula a esultante da otação do pião em tono dos eixos Z e Z', ou seja, é peciso soma os vetoes de velocidade angula, uu u uu ωr = ω + ω. Isto significa que a otação do pião é epesentada po uu uu ω R, isto é, gia em tono da dieção do veto ωr com uma velocidade angula dada pelo módulo ωr = u ω u R. uu Você consegue calcula o veto esultante ω R somando as componentes de cada um dos vetoes ω uu e ω. De imediato, você enconta o seguinte esultado: uu ω = ( ω + ω cos 16 o ) u ω 16 o sen u. R z x Note que o veto de velocidade angula esultante tem somente componentes no plano XZ. A esposta da pimeia pegunta do item a é o veto esultante uu Destacamos que o veto ω R está no plano XZ. Paa detemina a dieção na qual o pião gia ao edo, vamos calcula o poduto escala uu ωr g u z = ωr cos θ. Neste cálculo, θ é o ângulo ente o veto de velocidade angula esultante e o eixo Z. O poduto escala é dado pela seguinte elação: uu ωr g u z = ω + ω cos 16 o = ( ω + ω cos 16 o ) + ( ω 16 o sen ) cos θ. uu Potanto, você deve conclui que o ângulo ente os vetoes ω R e u z vale b. Paa calcula a velocidade do ponto P do pião, você tem de usa a seguinte fómula: uu ( u, u ) ad/s. ω R 15 z 1 4 x θ = cos , 4 Na equação dada, apaece a posição do ponto P, que você deve epesenta pelo veto = ( 0, 0m) u. Ao usa a notação em temos dos vetoes unitáios, você pode esceve o veto velocidade, 15 uu v = ω. R x 5, 3 o. [( ) (, ) ] (, ). v 15ad/s u z 1 4ad/s u x 0 0m u x Na equação dada, você pode aplica a lei distibutiva do poduto vetoial e, em seguida, usa o pa de popiedades u z u x = u y e u x u x = 0. Dessa maneia, você calcula o veto velocidade do ponto P do pião, v ( 0, 30m/s) u. y 300 CECIER J Extensão

300 TORQUE E MOMENTO ANGULAR Você com ceteza já deve te se peguntado a espeito do motivo de a maçaneta da pota se posta o mais distante possível da dobadiça. Bem, o motivo eside no fato de que, dependendo do luga e da dieção da foça aplicada na supefície da pota, difeentes aceleações angulaes ião sugi. Po exemplo, se você aplica uma foça F 1 na boda e paalela ao plano da pota, essa foça não poduz aceleação angula, como pode se visto na Figua 7.9; tampouco uma foça F sobe as dobadiças (veja a Figua 7.9). Entetanto, se você aplica uma foça F 3 pependicula ao plano da pota, e bem póxima da sua boda extena, notaá uma aceleação angula acentuada. F 1 AULA 7 F F 3 Figua 7.9: Foças F 1, F e F 3 atuando sobe uma pota. Apenas poduzem aceleação angula acentuada. Esses exemplos ilustam o fato de que existe um análogo à foça no tatamento do movimento otacional. Essa gandeza desempenha um papel semelhante ao que a foça desempenha no movimento tanslacional. Pois, da mesma foma que um copo pemanece em epouso, a não se que uma foça seja aplicada sobe ela, uma otação só pode se poduzida CECIER J Extensão 301

301 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula quando essa gandeza análoga é aplicada sobe o copo. Este análogo é uma gandeza vetoial chamada de toque, que mede a tendência de uma foça gia um objeto sobe algum eixo. Aliás, a palava toque vem do latim toquee, que significa toce. Natualmente, uma foça é necessáia paa que um toque seja ciado, pois você não pode gia uma pota sem empuá-la. Mas foça e toque são duas coisas difeentes. Uma distinção ente elas é a dieção. Nós usamos sinais positivo e negativo paa epesenta foças nas duas dieções possíveis ao longo de uma linha. No entanto, po convenção, a dieção de um toque é hoáia ou anti-hoáia, e não uma dieção linea. Outa difeença é o fato de que a mesma quantidade de foça pode leva a difeentes quantidades de toque. Podemos te ainda a situação em que temos toque total nulo, apesa de temos uma foça total não nula, confome vimos nos exemplos anteioes. Vamos agoa estuda os aspectos quantitativos efeentes aos conceitos que mencionamos: considee uma patícula de massa m sujeita dp a uma foça total = F. A Segunda Lei de Newton aplicada a essa patícula dt é que detemina os seus movimentos possíveis, ou seja, dp = F. (7.14) dt Mas, associada a esses movimentos, há uma gandeza chamada de momento angula (que você veá agoa), que se mostaá conveniente na discussão, tanto qualitativa, como quantitativa dos movimentos de otação. Façamos a multiplicação vetoial do veto posição da patícula pelos dois membos da Segunda Lei de Newton escita na Equação Obtemos: dp = F. (7.15) dt Usando as popiedades do poduto vetoial, podemos eesceve a equação anteio po d. (7.16) dt ( p ) F = Repesentaemos po L o veto que está sendo deivado no lado esquedo da Equação 7.16, L = p. (7.17) 30 CECIER J Extensão

302 Ele é o poduto vetoial do veto posição da patícula pelo seu momento linea, p = mv, de modo que podemos também esceve: AULA 7 L = mv. (7.18) O veto L = é chamado p momento angula da patícula elativo a uma oigem O. Temos, então, que o momento angula de uma patícula elativo à oigem O é o poduto vetoial de seu veto posição pelo seu momento linea. Potanto, a unidade SI do momento angula é kg m /s. Além disso, seguindo a ega da mão dieita, vemos que a dieção de L = p é pependicula ao plano fomado po L = e p.! O momento angula é sempe definido em elação a um ponto, chamado de ponto-base. (No exemplo dado, o ponto-base é a oigem.) Note que a magnitude e a dieção de L = dependem p da escolha da oigem. A expessão elativo à oigem O efee-se ao fato de que o veto, na Equação (7.18), vai da oigem O do sistema de eixos até a patícula. dp Agoa, se = F é a foça que age sobe a patícula e seu veto-posição, dt o veto toque, que epesentaemos po τ, = seá Fdefinido como: τ = F. (7.19) As dimensões de τ são = as Fmesmas de tabalho (foça x deslocamento). Entetanto, são gandezas muito difeentes. De fato, lembe-se de que o toque é uma gandeza vetoial, enquanto tabalho é uma gandeza escala. O toque de uma foça que age sobe a patícula é chamado usualmente de toque execido sobe a patícula.! Note que o toque também é sempe definido em elação a um ponto e sua magnitude e a dieção dependem da escolha da oigem. CECIER J Extensão 303

303 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula Agoa compae o esultado da Equação 7.19 com a Equação 7.16 e veja que o veto que apaece no lado dieito da equação é o toque da foça total que age sobe a patícula. Podemos afima, potanto, que a taxa instantânea de vaiação do momento angula de uma patícula (elativo à oigem) é igual ao toque (elativo à oigem) da foça total que age sobe a patícula, isto é, dl dt = τ. (7.0) Como conseqüência imediata desta expessão, temos que o momento angula de uma patícula (em elação à oigem) se conseva quando o toque é nulo (em elação à oigem), ou seja, τ = 0 L constante. (7.1) Vamos genealiza esse esultado paa qualque ponto do espaço: sejam P o ponto onde a patícula se enconta e Q um ponto do espaço. Vamos epesenta o veto-posição de Q po Q, que vai da oigem O até Q, confome indicado na Figua 7.7. Q ' Q P O Figua 7.10: A oigem O, o ponto P, que indica a posição da patícula, e um ponto Q abitáio. Os vetoes Q, e são mostados. O veto que aponta de Q até a patícula é chamado de veto-posição da patícula elativo a Q, que vamos epesenta po. Logo, =, (7.) Q onde pode se visto na Figua CECIER J Extensão

304 Vamos considea apenas o caso em que o ponto Q está fixo, isto é, imóvel em elação ao sistema de eixos OXYZ. Nesse caso, d / dt = 0. Assim, definimos as genealizações dos conceitos de momento angula e toque como se seguem: O momento angula L Q de uma patícula elativo a um ponto fixo Q qualque é o poduto vetoial do veto-posição elativo a Q da patícula pelo seu momento linea, isto é, Q AULA 7 L = p, onde. (7.3) Q = Q O toque elativo a um ponto Q qualque, de uma foça que age sobe uma patícula, é o poduto vetoial do veto-posição elativo a Q da patícula pela foça, isto é, τ Q = F. (7.4) Obviamente, escolhendo o ponto fixo Q como a oigem O do sistema de eixos, o momento angula L Q se tona o momento angula elativo à oigem, L O (que epesentamos anteiomente po L O ). Consideando a hipótese de que o ponto Q é fixo, demonsta-se que dl, (7.5) isto é, a taxa instantânea de vaiação do momento angula de uma patícula (elativo a um ponto fixo Q) é igual ao toque (elativo a Q) da foça esultante que age sobe a patícula. É clao que, tomando o ponto fixo Q como a oigem O, ecupeamos o esultado visto na Equação 7.0, que havíamos visto anteiomente. Esse esultado, chamado de Teoema do Momento Angula e Toque, é o esultado mais impotante desta aula. Paa entendê-lo melho e aplicá-lo coetamente, devemos nos apofunda nos significados das gandezas que nele apaecem, o que faemos a segui. O toque é análogo à foça no tatamento do movimento otacional. Mas qual o significado físico dessa fase? Paa da uma esposta convincente, vamos nos lemba de que o tabalho de uma foça constante aplicada sobe uma patícula no movimento linea é W = F x, onde x é o deslocamento da patícula. Oa, se o toque é o análogo da foça dt Q = τ Q CECIER J Extensão 305

305 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula no movimento das otações, podemos dize que o tabalho ealizado numa otação θ deve se W = τ θ. (7.6) Pela definição do veto toque na Equação (7.4), temos que a equação acima pode se eescita como W Fsen φ θ, = ( ) onde o ângulo φ pode se visto na Figua 7.11, a segui. z (7.7) τ = F O y P x φ F Figua 7.11: Disco em otação. Note que F senφ é a componente da foça que é pependicula a ; potanto, apenas a componente pependicula da foça contibui paa a ealização de tabalho. Em outas palavas, somente a componente pependicula é eficaz na podução de otação. Aliás, isso ea de se espea, já que a componente da foça paalela a exece apenas tação (ou compessão, de acodo com o sentido), que deve se absovida pelo ponto de apoio, po onde passa o eixo de otação. A distância senθ vista na Equação 7.7 é chamada de baço de alavanca da foça. Quanto maio fo o baço de alavanca, mais eficaz seá a foça na podução de otação, e é exatamente po isso que a maçaneta da pota fica o mais longe possível da dobadiça. 306 CECIER J Extensão

306 Finalmente, vamos considea o movimento de tanslação da Tea ao edo do Sol. Se consideamos apenas o sistema Tea-Sol, as únicas foças que atuam no sistema são: a foça gavitacional que a Tea exece sobe o Sol e a foça gavitacional que o Sol exece sobe a Tea. Ambas estão na dieção adial e, potanto, não são capazes de poduzi toque. Mas a Tea gia em tono do Sol, não gia? É clao que gia; pois, apesa do toque sobe a Tea se nulo (com elação à posição do Sol), seu momento angula é constante (com elação à posição do Sol). Além disso, como o momento angula tem de pemanece constante, pois o toque é nulo, o movimento de tanslação da eta está contido num plano definido pelos vetoes velocidade linea e veto-posição da Tea (com elação à posição do Sol). A tajetóia elíptica do movimento de tanslação da Tea em tono do Sol está epesentada po uma linha tacejada na Figua 7.9. Vamos considea uma poção infinitesimal da tajetóia, que coesponde a um deslocamento d. Nesse deslocamento, o veto vae o tiângulo cinza mostado na figua, cuja áea é AULA 7 1 da = d, (7.8) já que essa áea coesponde à metade do paalelogamo constuído sobe e d. Sol d = vdt da Figua 7.1: A linha tacejada indica o movimento de tanslação da Tea em tono do Sol. CECIER J Extensão 307

307 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula A taxa de vaiação com o tempo da áea vaida po é chamada de velocidade aueola. Pela Equação (7.8), a velocidade aueola se expessa po da dt (7.9) Como sabemos que o momento angula da Tea é constante, a velocidade aueola também é constante, ou seja, o aio veto que liga a Tea ao Sol desceve áeas iguais em tempos iguais. Aliás, essa é exatamente a Segunda Lei de Keple. Potanto, a Segunda Lei de Keple é simplesmente uma conseqüência da consevação do momento angula. Como um último comentáio, vamos esceve o módulo do momento angula em temos da velocidade angula escala ω. Oa, se nos lembamos de que v do momento angula, temos que 1 d 1 L = = p. dt m m = ω paa o movimento cicula, pela definição L = ( mv) = ( m ) ω Iω, (7.30) onde definimos a gandeza I = m, (7.31) como sendo o momento de inécia de uma patícula em elação a O. Podemos estabelece uma coespondência ente as gandezas lineaes e angulaes, o que nos pemite estabelece uma analogia ente as otações e o movimento tanslacional da seguinte foma: o deslocamento a otação θ ; a velocidade v a velocidade angula ω ; a aceleação a a aceleação angula α ; o momento linea p o momento angula L ; = p a foça F o toque τ ; e a massa m o momento de inécia I. Essa analogia é muito útil se quisemos analisa a otação de copos ígidos. Entetanto, essa análise não faz pate do escopo deste cuso. 308 CECIER J Extensão

308 ATIVIDADES 3. Uma massa de 50g está pesa a uma coda que passa po um pequeno buaco de uma supefície hoizontal, sem atito. A massa está inicialmente se movimentando, como na Figua 7.13, com uma velocidade de 1,50m/s em um cículo de aio 0,300m. A coda é então lentamente puxada po baixo da mesa, e o aio do cículo diminui paa 0,100m. AULA 7 a. Calcule o momento angula da massa, elativo ao cento do cículo, quando o aio do cículo vale 0,300m? b. Qual é o módulo do veto velocidade da massa quando o aio do cículo vale 0,100m? m i v i Figua 7.13: Uma massa em movimento cicula sobe uma supefície hoizontal. CECIER J Extensão 309

309 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula RESPOSTAS COMENTADAS a) Você pode entende o movimento cicula da massa sobe a mesa usando a definição do u momento angula. Veja na Figua 13 uu que os vetoes de posição i e de velocidade v i, medidos com elação ao cento do cículo, estão sobe o plano da mesa hoizontal, uu u uu e po causa disto o momento angula L = m v é um veto cuja i i i dieção é pependicula ao plano da mesa. Mais ainda, o momento angula tem sentido paa cima poque o movimento ocoe no sentido anti-hoáio. O movimento inicial é ealizado com um veto velocidade de módulo v i = 1,50m/s em um cículo de aio i = 0,300m. Veja na Figua 13 u uu que, em todos os pontos da tajetóia cicula, os vetoes i e v i são pependiculaes. Isto significa que você pode simplifica o poduto u uu vetoial v = v sen90 o = v. Assim, você consegue calcula o i i i i i i módulo do momento angula, O veto momento angula tem dieção pependicula ao plano da mesa e sentido paa cima da mesa. Este sentido você pode veifica usando a ega da mão dieita. L b) Em pimeio luga, vamos discuti o que acontece no movimento da massa quando alguém puxa a coda po baixo da mesa. Confome foi discutido na Aula 5 do cuso de Dinâmica, as foças que atuam sobe a massa deste poblema, a tação e a foça centípeta, estão sobe o plano da mesa. Obseve que a foça de tação tem dieção adial, ou seja, fica sempe paalela à coda. A pati desta obsevação, você pode chega à conclusão de que o toque execido sobe a massa é nulo poque a foça de tação é paalela ao baço de alavanca, que, neste caso, é o veto de posição. Você apendeu que o momento angula é consevado quando o toque é nulo. À medida que a coda é puxada lentamente, o aio da tajetóia cicula diminui, mas o veto momento angula não é alteado. Nesse momento, você já pecebeu que é possível calcula o módulo do veto velocidade da massa simplesmente aplicando a consevação do momento angula. = m v = ( 0, 050kg)( 0, 300m)( 1, 50m/s), 5 10 kgm /s. i i i Ao eduzi o aio do cículo paa = 0,100m, a massa deve se move com uma ceta velocidade v. Nesta nova configuação, você pode u afima que o momento angula L = m v é igual àquele que u uu você calculou no item a), L = L i. Você pecisa calcula o módulo u uu do veto L =, L i L = mv = Li = mi vi. 310 CECIER J Extensão

310 A pati da igualdade dada, você conseguiá calcula o módulo do u veto velocidade L = m v, v i v ( 0, 300m) = i = (, ) ( 1, 50m/s ) 4, 50m/s m. AULA 7 Obseve que, ao diminui em tês vezes o aio da tajetóia, a velocidade da massa tiplica. 4. Detemine a massa m necessáia paa equiliba um cao de 1.500kg que está sobe o plano inclinado mostado na Figua Assuma que as oldanas têm massa despezível e não poduzem atito kg m θ = 45 0 Figua 7.14: Cao em epouso sobe um plano inclinado. CECIER J Extensão 311

311 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula RESPOSTA COMENTADA Neste poblema, você deve pecebe que duas foças atuam sobe as oldanas acopladas no topo do plano inclinado. Paa tal, você pecisa aplica a Segunda Lei de Newton tanto paa o cao em equilíbio quanto paa o bloco de massa m em equilíbio. Como você pode ve na Figua 7.15, na oldana meno é execida uma foça cujo módulo é dado pela pojeção do peso do cao na dieção do plano inclinado, F 1 = Mgsen45 o. Po outo lado, na oldana maio é execida uma foça igual à foça peso do bloco de massa m, ou seja, F = mg. Vamos calcula o toque execido sobe as oldanas. Note que a dieção do toque é dada pelo eixo pependicula à Figua 7.15 que uu uu passa pelo cento da oldana. O toque devido à foça F tende F a 1 poduzi uma otação no sentido anti-hoáio (sinal positivo), τ 1 1 = F = Mgsen45 o, uu e o toque devido à foça F tende a poduzi uma otação no sentido hoáio (sinal negativo), τ F = 3 = 3mg. 3 uu F uu F 1 uu F Figua 7.15: Esquema de foças que atuam sobe a oldana. Agoa você deve calcula o toque esultante execido sobe a oldana. Paa que o cao esteja em equilíbio, é necessáio que o toque esultante seja nulo, τ = τ1 + τ = 0. A elação dada fonece o esultado pocuado, isto é, m = M o ( kg) sen45 = 3, 5 10 kg CECIER J Extensão

312 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Vamos considea um sistema de patículas, de massas m 1, m,..., m N, posições,, K,, e velocidades v, v, K,. 1 N 1 A Segunda Lei de Newton, aplicada às patículas do sistema, nos leva às equações: m dv 1 ext int 1 = F1 + F1, dt (7.3) m dv ext int = F + F, dt v N AULA 7 M m dv N ext N = FN + F int N. dt ext onde F i é a soma das foças extenas sobe a patícula i e F int i é a soma das foças intenas sobe essa patícula. Natualmente, F F ext + int é a foça total sobe a patícula i. Façamos o poduto vetoial de 1 pelos dois lados da pimeia equação na Equação (7.3), de pelos dois lados da segunda, e assim sucessivamente, até o poduto vetoial de N pelos dois membos da N-ésima equação. As equações esultantes são m dv 1 ext 1 1 = 1 F1 + 1 F int 1, dt m dv ext int = F + F, dt M m dv N ext int N N = N FN + N FN. dt i i (7.33) Nos lados dieitos dessas equações, podemos identifica os toques de foças intenas e extenas elativos à oigem O. De acodo com o que vimos anteiomente, os lados esquedos dessas equações são as deivadas tempoais dos momentos angulaes das patículas do sistema elativos à oigem O. Conseqüentemente, temos paa a i-ésima patícula: m dv i d dt dt m v i i = ( i i i) (i = 1,,... N) (7.34) CECIER J Extensão 313

313 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula Usando as igualdades na Equação 7.33, obtemos d dt m v F ext F ( ) int = , d dt m v F ext int ( ) = + F, M d ext N N N N N N N dt m v F F int ( ) = +. Somando membo a membo as equações anteioes e consideando o fato de que a soma das deivadas é igual à deivada da soma, obtemos d dt m v m v ( N N N) = ext ext ( F F ) + ( int int F F ) 1 1 N N 1 1 N N (7.35) O lado esquedo da Equação 7.35 é a deivada tempoal da soma dos momentos angulaes, elativos à oigem O, de todas as patículas do sistema. Pecisamente, essa soma é chamada momento angula do sistema elativo à oigem O. Repesentando po L = o momento m v + angula + m v do sistema, temos L = m v + + m v N N N (7.36) N N N Potanto, o pimeio paêntese no lado dieito na Equação 7.35 é a soma dos toques, elativos à oigem O, de todas as foças extenas que agem sobe o sistema. Vamos chama essa soma de toque exteno total sobe o sistema, elativo à oigem O. Repesentaemos esse toque exteno total po τ ext, de modo que ext ext τ exp = F F. 1 1 N N (7.37) Finalmente, o segundo paêntese na Equação 7.35 é a soma dos toques, elativos à oigem O, de todas as foças intenas que agem sobe o sistema. Chamando essa soma toque inteno total sobe o sistema, dl elativo à oigem O, e epesentando-a = τ ext po + τ int temos dt = F F int int τ int 1 1 N N. (7.38) 314 CECIER J Extensão

314 Usando essas definições, podemos eesceve a Equação (7.0) como dl dt = τ + ext τ int. (7.39) AULA 7 Agoa você veá que o toque inteno total sobe um sistema de patículas qualque é sempe nulo. As esultantes das foças intenas sobe cada uma das patículas do sistema são dadas pelas espectivas somas vetoiais das foças execidas pelas demais patículas do sistema, de modo que a Equação 7.38 pode se escita, com mais detalhe, na foma τ int = 1 F F1 N + F F (7.40) N FN N FNN 1.. No lado dieito dessa equação, temos paa cada toque i Fij outo toque dado po j Fji. Como todos os toques estão somados, essa é uma soma de temos do tipo i Fij + j Fji. Mas, pela Teceia Lei de Newton, temos que F = F, e essa soma pode se simplificada po: ij 1 N ji F + F = ( ) F = F, i ij j ji i j ij ij ij (7.41) onde a definição paa a posição elativa é =. ij i j Se utilizamos a hipótese de que as foças intenas são centais, isto é, de que Fij é = paalela Fji a ij = e, potanto, i j pode se escita como um númeo λ ij multiplicado pelo veto, = a Equação 7.41 nos fonece: ij i j F + F = ( ) F = F = λ = 0, (7.4) i ij j ji i j ij ij ij ij ij ij que é nula, pois o poduto vetoial de dois vetoes paalelos, ij e ij, é nulo. Com o esultado da Equação 7.4, fica demonstado que λ ij o lado dieito da Equação 7.40 é uma soma vetoial nula e, potanto, que o toque inteno total é nulo: τ int = 0. (7.43) CECIER J Extensão 315

315 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula Usando esse esultado na Equação (7.39), obtemos, (7.44) isto é, podemos afima que a taxa instantânea de vaiação tempoal do momento angula do sistema elativo à oigem é igual ao toque exteno total sobe o sistema elativo à oigem. Esse esultado mosta que apenas os toques extenos são esponsáveis pela mudança do momento angula total de um sistema. É impotante nota a enome simplificação obtida com a infomação de que o toque inteno total é nulo. Dento de um copo ígido, po exemplo, podem ocoe toques de extema complexidade. Contudo, todos eles se cancelam, deixando apenas os toques extenos paa povoca as mudanças do momento angula do sistema. Note que, como a Equação 7.4 é uma equação vetoial, ela é equivalente a tês equações numéicas, obtidas pelas pojeções ao longo dos eixos catesianos: dlx dt ext = τ x dl dt = τ dly ext dlz ext ; = τ y e = τ. (7.45) z dt dt Como conseqüência imediata da Equação 7.44, temos ext τ ext = 0 L = constante,, (7.46) ou seja, se fo nulo o toque exteno total sobe um sistema elativo à oigem, o momento angula do sistema elativo à oigem seá constante. u uu Natualmente, se o veto L =se conseva, temos tês quantidades numéicas que pemanecem constantes duante o movimento, L x, L y e L z. O esultado escito na Equação 7.46 é chamado de Teoema da Consevação do Momento Angula de um Sistema de Patículas. Agoa, vamos defini alguns novos conceitos que nos pemitião obte esultados que genealizam o teoema do momento angula e toque visto na Equação Seja Q um ponto com o veto-posição Q e = seja 0 o veto-posição de uma patícula qualque, definimos o veto-posição da patícula elativo a Q como o veto L i 316 CECIER J Extensão

316 = Q. (7.47) Natualmente, é = um veto Q que vai de Q até a patícula. Suponha, ainda, que o ponto Q possa se um ponto móvel, isto é, um ponto cuja posição vaie com o tempo. Deivando em elação ao tempo os dois lados da Equação 7.47, obtemos AULA 7 d = v = v v, (7.48) Q dt onde d v = é a velocidade da patícula, dq vq = é a velocidade do dt dt ponto Q. A deivada d d, que foi epesentada na fómula anteio po = v, = é v v Q dt dt chamada velocidade da patícula elativa a Q. Definimos o momento angula da patícula elativo ao ponto base Q como o veto L = mv, (7.49) Q onde m é a massa da patícula. Se o ponto Q fo a pópia oigem O, temos Q = 0 e v Q = 0. Conseqüentemente, = e v = v. Nesse caso, a Equação (7.49) ecai na definição antiga de momento angula elativo à oigem, dada pela Equação (7.18). Se Q não mais coincidi com a oigem, mas ainda assim fo um ponto fixo, teemos v Q = 0 e, conseqüentemente, v = v. A Equação (7.49) assume a foma L = Q mv. Agoa, estamos consideando a definição geal, Equação (7.49), que engloba não apenas esses casos, mas também deixa em abeto a possibilidade de Q se algum ponto móvel. Vamos também defini o toque elativo ao ponto Q de uma τ Q foça = F, como o veto τ Q = F. (7.50) Vamos aplica esses novos conceitos às patículas do sistema. O veto-posição elativo ao ponto Q da i-ésima patícula do sistema e sua velocidade elativa a Q são, espectivamente, = i i Q e v = v v. (7.51) i i Q CECIER J Extensão 317

317 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula A figua a segui ilusta a elação ente os tês vetoes, F Q e = 0 i. i ij Q i m i z Q i O y x Figua 7.16: Patícula de massa m i com suas posições em elação ao ponto Q e a oigem O indicadas po i ' e i espectivamente. Q indica a posição de Q em elação a O. O momento angula elativo a Q da i-ésima patícula é LQi = i miv i. (7.5) Definimos momento angula total do sistema elativo a Q como sendo a soma dos momentos angulaes elativos a Q de todas as patículas do sistema. Repesentando esse momento angula total po L, = temos m v + L + m L = m v + L + m v. (7.53) Q N N N Q N Natualmente, se o sistema tive apenas uma patícula, ecaiemos na definição anteio, dada pela Equação Se Q é um ponto fixo ou o cento de massa de um sistema, a taxa instantânea de vaiação tempoal do momento angula do sistema elativo ao ponto Q é igual ao toque exteno total sobe o sistema elativo ao ponto Q. Conseqüentemente, se o toque exteno total sobe o sistema elativo a um ponto fixo ou ao cento de massa fo nulo, seá constante o momento angula do sistema elativo ao ponto fixo ou ao cento de massa, espectivamente. 318 CECIER J Extensão

318 ATIVIDADES 5. Na Figua 7.17, o copo está fixado a um eixo no ponto O. Tês foças são aplicadas nas dieções mostadas na figua: no ponto A, a 8,0m de O, F A = 10N; no ponto B, a 4,0m de O, F B = 16N; no ponto C, a 3,0m de O, F C = 19N. uu uu a. uu Calcule o toque em O devido a cada uma das foças F A, FB e F C. AULA 7 b. Qual é o toque esultante em O? F A F C C 135 o A F B 160 o 90 o O B Figua 7.17: Diagama das foças aplicadas. CECIER J Extensão 319

319 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula RESPOSTAS COMENTADAS uu uu uu a. Você pode ve na Figua 7.17 que os tês vetoes de foça F A, FB e F C, uu u uu assim como os vetoes de posição A, B e C, estão todos sobe o plano deteminado pelo copo. Se você chama o toque poduzido po cada uu uu uu uma destas foças de τ A,τB e τc, então, a dieção destes vetoes de toque é pependicula ao plano da Figua Vamos usa o eixo Z, pependicula ao copo ígido mostado na figua. Como a distância ente o ponto A e o ponto O vale A = 8,0m e o módulo da foça aplicada neste ponto vale F A = 10N, o toque poduzido no ponto uu O pela foça F A tem que vale uu uu uu τ A = A F A = 8 0m 10N sen45 o u z 57Nm u z (, )( ) ( ). No ponto B, é aplicada uma foça cujo módulo é F B = 16N. O módulo do veto de posição vale B = 4,0m, e sendo assim uu uu Obseve que o sentido do veto τ B é oposto ao sentido do veto τ A, como você pode veifica usando a ega da mão dieita. Note que no ponto C, onde C = 3,0m, o baço de alavanca vale C sen0 o. uu u uu τ B = B F B = 4 0m 16N sen90 o u z = 64Nm u z Como a foça aplicada em C tem um módulo igual a F C = 19N, o toque uu poduzido no ponto O pela foça F C vale uu uu uu τ C = C F C = 3 0m 19N sen0 o u z 19 5Nm u z Os esultados encontados mostam que, enquanto as foças F A uu uu e FC tendem a gia o copo no sentido anti-hoáio, a foça tende a gia o copo no sentido hoáio. b. Paa detemina o toque esultante no ponto O, você pecisa calcula a seguinte soma vetoial: (, )( ) ( ). (, )( ) (, ). uu uu uu uu τ = τ + τ + τ. R A B C Finalmente, usando os esultados que você calculou no item (a), você uu pode calcula quanto vale τ R, uu ( 13 Nm) u. τ R z 30 CECIER J Extensão

320 6. Dois astonautas, mostados na Figua 7.18, cada um com uma massa de 75kg, estão conectados po uma coda de 10,0m, que tem massa despezível. Eles estão isolados no espaço, giando ao edo do cento de massa a uma velocidade de 5,00m/s. AULA 7 a. Tatando os astonautas como patículas, calcule o momento angula total. Ao puxa a coda, um dos astonautas diminui a distância ente eles paa 5,00m. b. Qual é o novo momento angula do sistema? c. Quais são os módulos das velocidades dos astonautas? CM d Figua 7.18: Dois astonautas ligados po uma coda. CECIER J Extensão 31

321 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula RESPOSTAS COMENTADAS a. Vamos considea que cada um dos astonautas é uma patícula de massa m 1 = m = 75kg. Neste caso, o sistema que você vai estuda se tata de um sistema de duas patículas de mesma massa, giando ao edo do cento de massa do sistema com um veto velocidade de módulo igual a v 1 = v = 5,00m/s. Apesa u uu de o módulo das velocidades v 1 e v seem iguais, a dieção e o sentido não são iguais, como você pode ve na Figua 7.I9. Veja também que os módulos dos vetoes-posição dos dois astonautas também são iguais, 1 = = 5,00m. De início, você vai calcula o momento angula do astonauta 1, uu u uu uu u uu L = m v, e o momento angula do astonauta, L = m v, em elação ao cento de massa do sistema de duas patículas. Veja na u uu u Figua 7.19 que os vetoes de posição e de velocidade, 1 e vv 1 1 =, têm 1 v1 u uu dieções pependiculaes ente si, ou seja, 1 v1 = 1 v1. O mesmo é u uu válido paa e v, em que v = v. uu v u uu v = v CM u uu v = v u v 1 Figua 7.19: Vetoes de posição e de velocidade dos dois astonautas. Com isto, você pode calcula o módulo do momento angula do astonauta 1, L 3 = m v = ( 75kg)( 5, 00m)( 5, 00m/s) 1, kgm /s e do astonauta, L 3 = m v = ( 75kg)( 5, 00m)( 5, 00m/s) 1, kgm /s. u u u uu Obseve que os vetoes 1, v1, e v estão todos no mesmo plano. A pati desta consideação, você pode afima que os vetoes de uu uu u uu u uu momento angula, L = e ml =, têm mv dieção v pependicula ao plano da Figua 7.19, e sentido que aponta paa o leito. 3 CECIER J Extensão

322 Você apendeu que, paa um sistema de patículas, o momento u uu uu angula total L = é calculado L1 + L po meio da soma vetoial do momento u uu uu angula de cada patícula do sistema, isto é, L = L1 + L. Assim como u u uu uu u u u os vetoes L= = L+ e + L, o momento angula do sistema também tem 1 1 dieção pependicula ao plano da Figua Você pode calcula u uu uu o módulo do momento angula total L = da Lseguinte + L maneia: 1 AULA 7 3 L = m v + m v = 3, kgm /s b. Você deve lemba que, paa altea o momento angula de uma patícula, é necessáio aplica um toque sobe a mesma. No caso de um sistema composto po patículas, o momento angula total é uuu consevado contanto que não exista um toque exteno, τ ext. Note que os astonautas estão no espaço, e com boa apoximação não sofem foças extenas. Sendo assim, você deve usa a consevação do momento angula total paa afima que o novo momento u uu uu angula do sistema também é L. = L + L 1 c. Nesta nova situação, a distância ente os dois astonautas diminui de 10,0m paa 5,00m. Isto significa que o módulo do veto de posição dos dois astonautas passa a vale = =,50m. 1 Como as duas patículas do sistema têm a mesma massa, m 1 = m, e estão sepaadas do cento de massa de uma mesma distância, os novos módulos dos vetoes de velocidade também são iguais, =. Agoa você só pecisa usa a consevação do momento v 1 v angula total, L = L + L = m v = m v A pati desta igualdade, você conseguiá calcula o módulo do veto velocidade v, 3 L L ( 3, kgm /s) v1 = v = = = = 10, 0m/s. m m ( 75kg)(, 50m) 1 1 Obseve que, quando o astonauta diminui a distância pela metade, o módulo do veto velocidade é duplicado. CECIER J Extensão 33

323 Movimentos: Vaiações e Consevações Momento angula R E S U M O Nesta aula, você viu como epesenta as otações infinitesimais como um poduto vetoial e estudou algumas das popiedades dessa opeação ente vetoes. Em seguida, vimos como epesenta os vetoes velocidade angula e aceleação angula e estabelecemos uma analogia ente gandezas lineaes e angulaes paa defini o toque e o momento angula. Também vimos que a Segunda Lei de Keple é uma conseqüência da consevação do momento angula. Finalmente, calculamos o toque total quando foças extenas atuam sobe um sistema de patículas e vimos que o momento angula do sistema se conseva quando o toque total é nulo. 34 CECIER J Extensão

324 Hidostática A U L A 8Meta da aula Discuti os pincipais aspectos elacionados aos fluidos em equilíbio ou estáticos. Texto adaptado po Lizado H. C. M. Nunes das apostilas: - KHOURY, Antonio Zelaquett; FRANCESCHINI FILHO, Dante Feeia. Física A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: calcula a pessão execida po uma foça sobe uma supefície de áea conhecida; calcula a densidade de um fluido, quando conhecemos sua massa e volume; compaa substâncias fluidas em função de suas densidades; calcula a pessão manomética de um fluido homogêneo e incompessível num campo gavitacional; aplica o Pincípio de Pascal do funcionamento esquemático de uma pensa hidáulica; peve se um objeto de densidade conhecida boiaá, afundaá ou pemaneceá imóvel, quando megulhado em um fluido de densidade conhecida; calcula o empuxo execido po um fluido, com densidade conhecida, sobe um copo de volume conhecido. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 4 As Aplicações das Leis de Newton.

325 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática PRESSÃO EM UM FLUIDO Nesta aula, vamos estuda algumas das leis que egem o compotamento físico dos fluidos, que compeendem tanto líquidos como gases. Em paticula, vamos estuda apenas fluidos estáticos, isto é, em epouso ou equilíbio. Paa melho entendemos o que é um fluido, vamos epoduzi uma explicação do Pofesso H. Moysés Nussenzveig encontada em seu livo Cuso de Física Básica Fluidos, oscilações e ondas, calo: Um copo sólido tem gealmente volume e foma bem definidos, que só se alteam (usualmente pouco) em esposta a foças extenas. Um líquido tem volume bem definido, mas não a foma: mantendo seu volume, amolda-se ao ecipiente que o contém. Um gás não tem nem foma nem volume bem definidos, expandindo-se até ocupa todo o volume do ecipiente que o contém. Líquidos e gases têm em comum, gaças à facilidade de defomação, a popiedade de podeem escoa ou flui facilmente, donde vem o nome de fluidos. Em um meio mateial qualque, dois tipos de foça devem se consideados: foças nomais e foças tangenciais à supefície. Po exemplo, um bloco apoiado sobe uma mesa exece uma foça nomal (ou pependicula) à supefície da mesa. Po outo lado, se colocamos um bloco peso po cola a uma paede, os elementos da supefície de contato do bloco com a cola execem foças tangenciais sobe a cola. Um fluido opõe esistência ao deslizamento elativo de camadas adjacentes: esta esistência mede a viscosidade de fluido, e depende, basicamente, de como a velocidade vaia no espaço em elação ao deslocamento. As foças tangenciais estão associadas à viscosidade do fluido e são esponsáveis, po exemplo, pelo atito ente a água e um baco em movimento. Contudo, uma boa descição do compotamento dos fluidos pode se constuída despezando-se, em pimeia apoximação, os efeitos de viscosidade. Assim, adotaemos neste cuso esta apoximação e consideaemos os fluidos como ideais, isto é, incapazes de execeem foças tangenciais. 36 CECIER J Extensão

326 Nesta apoximação, a inteação de um fluido ideal com o meio que o cicunda ocoe apenas atavés de foças nomais à supefície do fluido. Essas foças nomais dão oigem ao que chamamos de pessão num fluido, o que definiemos a segui. AULA 8 Em um fluido, a viscosidade desceve a sua esistência ao flui. De fato, quando em movimento, além das foças voluméticas extenas que atuam sobe o fluido, como a gavidade, po exemplo, há uma foça volumética intena, que coesponde ao atito no deslizamento de camadas fluidas, umas sobe as outas, que chamamos de foça de viscosidade. Potanto, fluidos que escoam mais facilmente são menos viscosos do que outos. Po exemplo, a água possui uma viscosidade meno do que o óleo vegetal. PRESSÃO E DENSIDADE A pessão está associada às foças nomais que um fluido exece sobe as supefícies que o cicundam. A maioia de nós está familiaizada com a noção de pessão atavés de váias expeiências do nosso cotidiano. Esta noção suge, po exemplo, quando megulhamos até o fundo de uma piscina. Temos uma sensação de pessão nos ouvidos, que aumenta à medida que descemos a pofundidades maioes. Na vedade, esta sensação está dietamente elacionada com as foças nomais que a água exece sobe os nossos tímpanos e taduz a vaiação da pessão de um fluido em função da pofundidade, como veemos adiante. Aliás, talvez o leito já tenha pecebido que essa sensação de pessão não vaia quando viamos a cabeça e mudamos a oientação dos ouvidos, mantendo a cabeça sempe na mesma pofundidade. Veifica-se que, se a vaiação da pofundidade fo muito pequena duante o movimento, nenhuma alteação seá pecebida na pessão execida sobe os ouvidos. Potanto, esta sensação depende da pofundidade em que nos encontamos, mas independe da dieção em que oientamos nossos ouvidos. Logo, se quisemos defini uma gandeza que epesente a pessão da água sobe nossos ouvidos, esta deveá se uma gandeza escala. Ao execemos uma foça F sobe um objeto, podemos imagina que esta foça se distibui sobe toda a áea da supefície de contato com o objeto. Po exemplo, quando colocamos um tijolo sobe uma mesa, a foça nomal que sustenta o tijolo não é aplicada em um único CECIER J Extensão 37

327 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática ponto, mas distibuída po toda a áea de contato ente o tijolo e a mesa. De fato, se desejamos apoia um númeo gande de tijolos sobe a mesa, é intuitivo espea que a mesa coa um isco meno de queba-se ao distibuimos os tijolos po toda a supefície da mesa, como na Figua 8.1.a, do que se os apoiamos todos empilhados, uns sobe os outos, como na Figua 8.1.b, ainda que a foça nomal total seja a mesma nas duas situações. N uu N uu N uu N uu 4N uu Figua 8.1.a: Foças nomais atuando sobe tijolos distibuídos lado a lado... Fonte: Física A, Aula 1 Figua 1.1, p.9 (p.3 do.pdf) Figua 8.1.b:...e empilhados sobe uma mesa. Assim, desenvolvemos a noção de que o esfoço execido sobe o mateial da mesa está elacionado com a distibuição da foça pela supefície de contato, isto é, com a foça de contato po unidade de áea. Outa questão impotante efee-se à dieção da foça de contato. Po exemplo, imagine que agoa apoiemos um tijolo sobe uma supefície inclinada. Se assumimos que o tijolo está em equilíbio, a foça de contato F c ente o tijolo e a supefície de contato seá igual à soma vetoial de uma componente nomal à supefície (eação nomal) e outa tangente a esta (foça de atito F at ), confome mostado na Figua 8.. Ao analisamos o isco de a mesa queba, apenas a componente nomal seá impotante, a foça de atito está distibuída pelas ugosidades das duas supefícies em contato. 38 CECIER J Extensão

328 F c N uu AULA 8 F at uu uu N = cosθ F C Mg Figua 8.: Foças atuando num tijolo apoiado sobe uma supefície inclinada com atito. Fonte: Física A, Aula 1 Figua 1., p.10 (p.4 do.pdf) Levando em conta as noções colocadas, definimos uma gandeza escala que chamaemos pessão como: N F (8.1) c cosθ p = =, A A ou seja, a pessão é a azão ente a componente nomal da foça de contato (N = F c cosθ) e a áea A de contato. Apesa de temos desenvolvido a noção de pessão num exemplo envolvendo a supefície de contato ente dois copos ígidos (mesa e tijolo), a pessão pode se definida paa todos os pontos de um fluido. A pessão execida po um fluido sobe as paedes do ecipiente que o contém é tansmitida a todos os pontos do fluido. No Sistema Intenacional, a pessão é expessa numa unidade chamada de Pascal (Pa), definida como 1 Pascal= 1 Newton/(meto). Devido ao peso dos gases que compõem a atmosfea, os difeentes pontos dela póximos à supefície teeste encontam-se a uma pessão de ceca de 1, Pa. Além disso, feqüentemente, expessamos valoes de pessão em unidades da pessão atmosféica. Assim, definimos uma unidade chamada atmosfea (atm), de maneia que 1 atm = 1, Pa. Além da atm e do Pa, existem outas unidades de pessão. CECIER J Extensão 39

329 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática Definimos pessão em temos de foça po unidade de áea. Suponhamos agoa o caminho inveso, isto é, conhecendo-se a pessão em todos os pontos de um fluido, desejamos detemina a foça total execida sobe as paedes do ecipiente que contém o fluido. Lembe-se de que um fluido ideal não é capaz de exece foças tangenciais e de que a pessão foi convenientemente definida em temos apenas da componente nomal da foça de contato ente duas supefícies. Podemos facilmente calcula a foça a pati da pessão em condições simples como a de uma supefície plana de áea A, cujos pontos estão todos à mesma pessão p. Este é o caso, po exemplo, da foça execida sobe o fundo plano de uma gaafa vetical contendo um deteminado fluido, como mostado na Figua 8.3. A F u ˆn A F u = PAnˆ ˆn ˆn F u Figua 8.3: Elementos de foça e áea sobe as supefícies de um ecipiente contendo um fluido. Fonte: Física A, Aula1 Figua 1.3, p.10 (p.5 do.pdf) Neste caso, a foça total F execida no fundo da gaafa é F = panˆ, (8.) onde ˆn é o veto unitáio nomal à supefície, que aponta paa foa do fluido. No entanto, podemos esta inteessados em calcula a foça execida sobe uma supefície cuva, como a supefície lateal da gaafa na Figua 8.3. Neste caso, devemos toma poções infinitesimais da supefície, com áeas A apoximadamente planas. Sendo estas poções infinitesimais, podemos ainda considea a pessão p como constante sobe a áea A. A cada poção A coespondeá uma foça infinitesimal F = p A ˆn, onde ˆn é o veto unitáio nomal à supefície na egião do elemento A. Note que paa uma supefície cuva, a dieção de ˆn vaia de um ponto a outo. Paa calculamos a foça total execida sobe a supefície, devemos soma sobe todas as poções A e faze o limite A 0, ou seja, devemos intega sobe todas as poções A: F = p da n. ˆ (8.3) Note ainda que essa expessão também pode se usada quando a pessão vaia de um ponto paa outo da supefície. 330 CECIER J Extensão

330 ! Cálculos de deivadas e integais estão foa do objetivo deste cuso e não seão cobados nas avaliações. AULA 8 A vaiação do volume de um fluido com a pessão é dada pelo módulo de elasticidade voluma: p B =, V / V (8.4) que nos dá a azão ente a vaiação de pessão p e a vaiação pecentual V/V de um fluido. Note que como V/V é adimensional; logo, B é expesso em unidades de pessão. O sinal negativo na definição dada gaante que B seja uma gandeza positiva. De fato, em geal, ao aumentamos a pessão sobe um fluido ( p > 0) ocoe uma diminuição do volume ( V < 0) e vice-vesa. Ou seja, p e V gealmente têm sinais opostos, o que é compensado pelo sinal negativo na definição de B. Se uma substância possui B muito gande, então é necessáio exece uma pessão muito alta paa poduzi uma vaiação pecentual de volume apeciável. Po exemplo, o módulo voluma da água é igual a, 10 9 N/m. Isso significa que sob a pessão existente no fundo do Oceano Pacífico (4, N/m 400atm), a vaiação pecentual de volume da água é de apenas 1,8%. Assim, podemos considea a água como um fluido incompessível. Deste momento em diante, estingiemos nossa discussão aos fluidos que, com boa apoximação, podem se consideados como incompessíveis. Agoa, vamos considea outa gandeza escala de gande impotância no estudo da hidostática: a densidade, que taduz a distibuição da massa do fluido no espaço que ocupa e é uma caacteística paticula de cada substância. Po definição, a densidade é a massa po unidade de volume do fluido. Assim, paa um fluido homogêneo (em que a massa se distibui de maneia unifome), a densidade é dada simplesmente pela azão ente a massa total do fluido e o volume ocupado po ele: ρ = M V. (8.5) CECIER J Extensão 331

331 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática É fácil pecebe que, no caso de um fluido incompessível, a densidade não vaia com a pessão. No Sistema Intenacional (S.I.), a densidade é expessa em kg/m 3. (Também podemos utiliza g/cm³.) Po exemplo, a densidade da água, é 1, kg/m 3 e a do mecúio é da odem de 13, kg/m 3. Foa do S.I., divesas unidades podem se utilizadas, de acodo com o padão de medidas adotado, como quilogamas po lito (kg/l), ou libas po polegada cúbica (lb/in 3 ) etc. ATIVIDADE 1. Tês líquidos que não se mistuam são deamados dento de um ecipiente cilíndico cuja base cicula tem um aio de 4cm. Os volumes e densidades dos líquidos são espectivamente 0,50l;,6g/cm 3 ; 0,5l; 1,0g/cm 3 ; e 0,40l, 0,80g/cm 3. a. Qual é a foça aplicada no fundo do ecipiente devido a esses líquidos? b. Qual é a pessão no fundo do ecipiente? Um lito = 1l = 1.000cm 3. (Ignoe a contibuição da atmosfea.) Considee a aceleação da gavidade como g = 9.8m/s. 33 CECIER J Extensão

332 RESPOSTAS COMENTADAS Ao seem deamados no ecipiente, lembe-se de que o líquido mais denso fica no fundo enquanto que o menos denso fica acima dos outos dois. Paa você oganiza a solução deste poblema é conveniente da um ótulo paa cada um dos líquidos. Vamos usa a leta X paa o líquido mais denso, ou seja, AULA 8 ρ X V X 3 =, 6g/cm =, 6kg/l; = 0, 5l. Note que usamos a unidade de massa convetida de gama paa kilogama bem como a elação de unidades 1l = 1.000cm 3. Na seqüência, podemos usa a leta Y, ρ Y V Y 3 = 1, 0g/cm = 1, 0kg/l; = 0, 5l. Assim, o líquido menos denso ecebe o ótulo dado pela leta Z, ρ Z V Z 3 = 0, 80g/cm = 0, 80kg/l; = 0, 40l. Veja na Figua 8.4 a segui, a maneia como os líquidos ficam sepaados dento do ecipiente. a. Agoa, você já deve te pecebido que a foça aplicada no fundo do ecipiente devido a esses líquidos é a foça peso. Vamos calcula a foça peso de cada um dos líquidos, em sepaado, paa depois somá-las. Paa você calcula a foça peso de um ceto volume V de um líquido, que tem uma densidade ρ, é peciso usa a seguinte equação: P = mg = ( ρv) g. Veja como foi usada, na equação dada, a definição da densidade de um fluido, isto é, ρ = m/v. 4 cm Z Y X Figua 8.4: Os tês líquidos X, Y e Z dento do ecipiente. CECIER J Extensão 333

333 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática A pati da equação da foça peso, você vai pode calcula o peso do líquido mais denso, P = ρ V g = (, 6kg/l) ( 0, 5l) ( 9, 8m/s ) 13N. X X X Da mesma foma, você conseguiá calcula o peso do líquido que otulamos de Y, P = ρ V g = ( 1, 0kg/l) ( 0, 5l) ( 9, 8m/s ), 5N. Y Y Y Paa o líquido Z, menos denso que os demais líquidos, você deve calcula um peso igual a P = ρ V g = ( 0, 80kg/l) ( 0, 40l) ( 9, 8m/s ) 3, 1N. Z Z Z Como esultado de nossa análise, vemos que a foça aplicada no fundo do ecipiente é dada pela soma da foça peso de cada um dos líquidos. Potanto, a foça esultante seá: F = PX + PY + PZ 18N b. Note que o ecipiente cilíndico tem base cicula, com um aio que vale R = 4cm. Potanto, a pessão é devido à foça F execida sobe o fundo do ecipiente. Você vai pecisa pimeio calcula a áea da base do cilindo, A = πr. Po fim, você vai consegui calcula a pessão no fundo do ecipiente, F p = A 18N 0 04m 3 6 3, 10 Pa π(, ) FLUIDO INCOMPRESSÍVEL NUM CAMPO GRAVITACIONAL Nesta seção, começaemos a discuti a vaiação da pessão em função da pesença de um campo gavitacional. Antes de começamos a discuti esta situação em um fluido, vamos tenta enxega o que acontece analisando as foças que agem sobe uma pilha de tês tijolos empilhados sobe o tampo de uma mesa, como mosta a Figua 8.5.a. Suponhamos que os tijolos tenham as mesmas dimensões e o mesmo peso e estejam empilhados. 334 CECIER J Extensão

334 u F u F 1 3 u F 1 u u u u u u F + W = W F u F AULA u F M3 3 u u u u u u F + W = W F 1 1 u u u u u u F + W = W F 3 3 a b Figua 8.5.a e b: Descição das foças que atuam sobe tês tijolos empilhados. Fonte: Física A, Aula 1 Figua 1.6, p.16 (p.10 do.pdf) Comecemos com a análise do tijolo supeio. Sobe ele agem duas foças, ambas na dieção vetical: o pópio peso (igual a mgu z ), e a foça nomal do tijolo sobe o tijolo 1, que chamaemos F 1 = F 1 u z. Sobe o tijolo do meio (tijolo ), po sua vez, agem tês foças, todas também veticais: o seu peso, a foça nomal F 1 execida pelo tijolo 1, (a qual, como conseqüência da Teceia Lei de Newton deve se igual a F 1 ), e a foça nomal F 3 execida pelo tijolo 3. Finalmente, sobe o tijolo 3 agem, além do peso, a foça nomal execida pela mesa F M3, e a foça nomal F 3 = F 3 execida pelo tijolo. Todas estas foças estão mostadas esquematicamente, paa cada tijolo, na Figua 8.5.b. Com base nesta análise, podemos então esceve a equação de equilíbio paa cada tijolo, na dieção u z : F 1 mg = 0 F3 F1 mg = 0 (tijolo 1), (tijolo ), FM3 F3 mg = 0 (tijolo 3). (8.6) A solução paa o sistema de equações dado pode se obtida esolvendo pimeio a equação do tijolo 1, substituindo o valo de F 1 obtido na equação do tijolo, assim deteminando F 3, valo que substituído na equação do tijolo 3 pemite a deteminação de F M3. CECIER J Extensão 335

335 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática Seguindo este pocedimento, podemos obte a magnitude de todas as foças envolvidas: F1 = mg, F F 3 M3 = mg, = 3mg. (8.7) Podemos então, faze algumas obsevações em elação a esses esultados. Em pimeio luga, obseva-se que, como deve se espeado, a foça que a pilha de tijolos faz sobe a mesa ( F 3M = F M3 ) é igual ao peso da pilha. Em segundo luga, obsevamos que, paa cada um dos tijolos, a foça execida nas faces supeio e infeio apesentam magnitudes difeentes, o mesmo acontecendo com as pessões execidas nestas faces, uma vez que as suas áeas de supefície são iguais. Veja também, que a foça execida na face supeio de cada tijolo tem magnitude igual ao peso dos tijolos empilhados sobe ela (o que se taduz em foça nula paa o tijolo 1, foça igual a mg paa o tijolo, e mg paa o tijolo 3). Obviamente, a difeença ente as foças nas faces infeio e supeio de cada tijolo é igual em magnitude ao seu peso, uma vez que os tijolos estão em equilíbio. Apesa da macante difeença ente um fluido e um sólido, o compotamento discutido paa a pilha de tijolos deve enconta coespondência no compotamento de um fluido em equilíbio. A discussão a segui seá baseada na suposição de que se possa pensa em um fluido como sendo composto de um númeo infinitamente gande de elementos de volume, ou células de um fluido. Isso coesponde a delimita os elementos de volume do fluido po meio de supefícies imagináias, de modo a se foma um poliedo de fluido. Pode-se, po exemplo, dividi um fluido po meio de planos paalelos às dieções x, y e z, com espaçamentos egulaes em cada dieção. Assim, um elemento de fluido seá constituído po paalelepípedos com aestas iguais a x, y, e z, como mosta a Figua CECIER J Extensão

336 x y p(z) x y AULA 8 z z z + dz y x p(z + z) x y z $ z p(z + z) x y z $ p(z) x y z $ Peso (W) densidade volume g W = ρ x y z g } massa Figua 8.6: Elemento de volume utilizado na discussão da pessão em função da pofundidade, na pesença de um campo gavitacional. Fonte: Física A, Aula 1 Figua 1.7, p.18 (p.1 do.pdf) Mesmo sendo imagináias, é sobe as supefícies que sepaam uma célula da outa, que são execidas as foças de um elemento de fluido sobe o outo. Como o fluido está em equilíbio, a foça esultante deve se nula. Potanto, deveá também se nula a sua componente vetical F z. Consideando que as dimensões das faces do elemento de fluido são pequenas o suficiente paa que a pessão sobe elas seja constante, as foças que atuam sobe o elemento são: o seu peso (λg x y z), e as foças povenientes da pessão execida sobe as faces supeio e infeio do paalelepípedo de fluido, como mosta a Figua 8.6. A equação de equilíbio paa este fluido fica sendo então: ( ) + ( ) = F = ρ g x y z z p z + z x y p z x y 0, (8.8) CECIER J Extensão 337

337 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática onde z é a posição do fluido em elação à supefície, p(z) e p(z + z) são as pessões nas faces supeio e infeio do fluido espectivamente, e ρ é a densidade do fluido. Dividindo-se a equação de equilíbio po x y obtemos então: p = ρg z (8.9) ou p ρg = z. (8.10) Fazendo agoa o limite paa dimensões muito pequenas do paalelepípedo, obtemos a equação difeencial: cuja solução é dada po: o que esulta em: ρg dp =, dz h p p = ρ g dz, 0 0 p = p0 + ρ gh, (8.11) (8.1) (8.13) onde p 0 é a pessão na supefície do líquido (posição z = 0), ou seja, a pessão de um fluido aumenta com a pofundidade, o que está em acodo com o aumento da pessão sobe os ouvidos quando megulhamos em dieção ao fundo de um esevatóio de água. É comum chama-se a quantidade ρgh de pessão manomética, isto é, o valo da pessão menos a pessão atmosféica, como veemos adiante. O BARÔMETRO DE MERCÚRIO A medida de pessão pode se ealizada, tanto po técnicas hidostáticas, como po técnicas hidodinâmicas. Nesta aula, tataemos apenas das técnicas hidostáticas. As técnicas hidodinâmicas baseiam-se nas leis de escoamento de um fluido, que não estudaemos neste cuso. Chamamos de baômeto o apaelho utilizado paa a medição da pessão atmosféica. Um tipo udimenta de baômeto de mecúio (símbolo químico: Hg) foi inventado no século XVII pelo italiano Evangelista Toicelli. Um tubo de vido fechado em uma das extemidades, e completamente cheio de mecúio, é colocado de cabeça paa baixo em um ecipiente, também cheio de mecúio, como mosta a Figua CECIER J Extensão

338 C p = 0 AULA 8 h p B = p A p A = p 0 B A Figua 8.7: Baômeto de mecúio. Fonte: Física A, Aula Figua.4, p.30 (p.8 do.pdf) Utilizando um tubo, obseva-se que a coluna de mecúio desce poduzindo vácuo na pate mais alta do tubo. A pessão na egião de vácuo é paticamente nula. Como os pontos de um fluido, que se encontam à mesma altua, possuem a mesma pessão, podemos calcula a pessão atmosféica. É comum expessamos a pessão em unidades de altua da coluna de Hg. Po exemplo, a pessão atmosféica coesponde à pessão execida po uma coluna de Hg com 760mm de altua, ou seja, 1atm = 760mmHg. Conheça mais sobe o físico e matemático Evangelista Toicelli ( ) atavés do link: CECIER J Extensão 339

339 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática Paa entendemos como funciona o baômeto de mecúio, vamos começa analisando os pontos A, B e C indicados na Figua 8.7, um sobe a supefície do mecúio no ecipiente (ponto A), outo à mesma altua no inteio do tubo (ponto B), de maneia que p A = p B, e, ainda, outo na supefície do mecúio no inteio do tubo (ponto C). Uma vez que o ponto A está em contato com a atmosfea, p A é igual à pessão atmosféica p 0 que queemos medi. Po outo lado, a pessão no ponto B pode se calculada com a Equação (8.9) aplicada aos pontos B e C, lembando-se de que p c = 0, pois C enconta-se na inteface ente o mecúio e a egião de vácuo. Assim, concluímos que p A = p B = ρgh. Potanto, conhecendo-se a densidade do mecúio e a aceleação da gavidade no local da medida, pode-se medi a altua h da coluna de mecúio no tubo e obte o valo da pessão atmosféica no local. Po exemplo, ao nível do ma, a altua da coluna de mecúio seá de ceca de 760mm. Mais pecisamente, 1 atmosfea (1atm) coesponde a uma coluna de Hg de 760mm de altua a 0 0 C, sob gavidade g = 9,80665 m/s. Substituindo a densidade do mecúio a 0 0 C, ρ = 1, kg/m 3, obtemos 1atm = (1, kg/m 3 )(9, m/s )(0, 76m) = 1, Pa. Baseado no baômeto de mecúio, definimos a unidade de pessão to (em homenagem a Toicelli) como sendo a pessão coespondente a uma coluna de 1mm de Hg, ou seja, 1to = (1, kg/m 3 )(9,80665 m/s )(0,001m) = 133,36 Pa. Chamamos de pessão manomética a difeença ente a pessão medida e a pessão atmosféica. A pessão absoluta num ponto qualque de um fluido é a soma da pessão manomética com a pessão atmosféica, e, potanto, coesponde à pessão eal no ponto em questão. O manômeto é um apaelho utilizado paa medi pessões manométicas. Um tipo simples deste apaelho é o manômeto de tubo em U, como mostado na Figua (8.8). 340 CECIER J Extensão

340 C pc = p 0 AULA 8 h Sistema pessão p p A = p A B p B = p A Figua 8.8: Manômeto de tubo em U. Fonte: Física A, Aula Figua.5, p.31 (p.9 do.pdf). Ele é fomado po um tubo em foma de U, abeto em ambas as extemidades, contendo um fluido manomético com densidade ρ. Uma das extemidades é colocada em contato com o sistema cuja pessão queemos medi, enquanto a outa extemidade está em contato com a atmosfea. Paa calculamos a pessão do sistema, utilizamos tês pontos de efeência: o ponto A de contato ente o sistema e o fluido manomético, o ponto B localizado no outo amo do tubo em U à mesma altua de A, e o ponto C na egião de contato ente o fluido manomético e a atmosfea. Como A e B estão à mesma altua, sobe o mesmo fluido, temos que p A = p B. Po outo lado, podemos aplica a Equação (8.13) aos pontos B e C de maneia que p A = p B = p 0 + ρgh. A pessão manomética no ponto A é, potanto, p A p 0 = ρ gh, (8.14) CECIER J Extensão 341

341 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática ou seja, é popocional à difeença de altua do fluido manomético em cada amo do manômeto. Assim, conhecendo-se λ e g, podemos obte a pessão manomética medindo a altua h. ATIVIDADE. Um ceto volume de mecúio é colocado em um tubo em U, como está mostado na Figua 8.9.a. O lado esquedo do tubo tem uma seção eta de áea A 1 = 10,0cm, e o lado dieito tem uma seção eta de áea A = 5,00cm. Ao deama 100g de água no lado dieito do tubo, a configuação de equilíbio fica como mosta a Figua 8.9.b. a. Detemine a altua da coluna de água no lado dieito do tubo em U. b. Calcule a pessão manomética no ponto P. c. Dado que a densidade do mecúio é 13,6 g/cm 3, de quanto é a elevação h da coluna de mecúio no lado esquedo do tubo? Quanto vale d? d. Calcule a pessão manomética no ponto P. Considee a aceleação da gavidade como g = 9.8m/s e a densidade da 3 água como ρ água = 1 g/cm. A 1 A A 1 A água h p l p' d (a) mecúio (b) Figua 8.9.a e b: Tubo em foma de U que contém em (a) mecúio e (b) mecúio e água. 34 CECIER J Extensão

342 RESPOSTAS COMENTADAS a. Pimeio você deve detemina o volume de água V a que foi colocado dento do tubo em U. Você pode faze isso a pati da massa de água, m a =100g, e da densidade da água ρ a =1,00g/cm 3 = 1, kg/m 3. Paa isto, basta que você use a definição da densidade de um fluido, AULA 8 V a ma ( 100g) 3 = = = 100cm. 3 ρ ( 1, 00g / cm ) a No lado dieito do tubo em U, o volume do cilindo ocupado pela água, V a = A l, pode se calculado pela multiplicação da áea da seção eta A = 5,00cm pela altua da coluna de água l. Dessa foma, você consegue calcula a altua da coluna de água no lado dieito do tubo em U, 3 Va ( 100cm ) l = = = 0, 0cm. A ( 5, 00cm ) b. Veja na Figua 8.9.b que a água no lado dieito se apesenta mais alta que o mecúio no lado esquedo, poque a água é menos densa do que o mecúio. Ambas as colunas de fluido poduzem a mesma pessão p no nível da inteface mecúio-água. Você deve nota que a pessão p, no ponto p, é igual a pessão na inteface ente a água e o mecúio dento do tubo. Melho ainda, é igual à pessão execida pela coluna de água com uma altua l = 0,0cm, p = p + gl. 0 ρa Sendo assim, você vai pode calcula a pessão manomética no ponto p, p p = ( 1, kg/m )( 9, 81m/s )( 0, 00m) 1,96 10 Pa. 0 c. Vamos te de usa a densidade do mecúio, ρ m = 13,6g/cm 3. Você já sabe que a pessão p, no ponto p, pode se expessa em temos da coluna de mecúio, com altua h + d, ou da coluna de água, com altua l, p = p + ρ g( h + d) = p + ρ gl. 0 m 0 No entanto, a segunda igualdade depende de duas incógnitas, h e d. Na situação mostada na Figua 8.9.a, a altua do mecúio nos dois lados do tubo são iguais. Vamos chama esta altua de nível de equilíbio. Após a água se colocada no lado dieito do tubo, Figua 8.9.b, um ceto volume de mecúio V vai se desloca paa baixo do nível de equilíbio (no lado dieito do tubo). Consideando que (i) o mecúio pode se tatado como um fluido a CECIER J Extensão 343

343 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática incompessível e (ii) o mecúio e a água não se mistuam, você pode conclui o seguinte: O volume de mecúio que vai subi no lado esquedo do tubo, em elação ao nível de equilíbio, também é de V. Mas se o volume de mecúio deslocado é o mesmo, o deslocamento paa cima de h e paa baixo de d, são difeentes poque as áeas A 1 e A não são iguais. Enfim, a conclusão que você tem que chega é simples, V = A1 h = A d. Ao substitui o esultado no valo da pessão p, você deve enconta uma altua igual a ρa h = ρm l. A + A 1 1 Note que a altua de elevação do mecúio h, elativamente ao nível de equilíbio, não depende da pessão atmosféica p 0 e nem da aceleação de queda live g. Colocando os valoes das densidades ρ a e ρ m, das áeas A 1 e A, e da altua da coluna de água l, você calcula a altua de elevação do mecúio h, 3 ( 1, 00g/cm ) ( 0, 0cm) h = 3 ( 13, 6g/cm ) ( 10, 0cm ) 1 + ( 5, 00cm ) 0, 490cm. Confome foi discutido, a elação ente a altua h e a altua d é dada pela elação ente as áeas A 1 e A. Não seá difícil paa você mosta que A d = 1 A h = h 0, 980cm. d. A pessão manomética, no ponto P, é devido à coluna de mecúio cuja altua vale h. Usando a equação que desceve a vaiação da pessão em um fluido em função da pofundidade, você podeá esceve p = p0 + ρ m gh. Ao usa os valoes já encontados na equação dada, a pessão manomética no ponto P, fica 3 3 p p = ( 13, 6 10 kg/m 3 )( 9, 81 m/s )( 4, 9 10 m ) 6, Pa CECIER J Extensão

344 PRINCÍPIO DE PASCAL E APLICAÇÕES A equação a segui, que vimos na seção anteio, p = p0 + ρ gz, (8.15) AULA 8 desceve a vaiação da pessão em um fluido em função da pofundidade. Obseve que ela tem um temo que depende da pofundidade e um temo constante igual a p 0, a pessão na supefície do fluido. Uma conseqüência dieta desta equação é que, se vaiamos o valo de p 0, esta vaiação de pessão seá tansmitida a todos os pontos do fluido. Esta popiedade dos fluidos é conhecida como Pincípio de Pascal, pois foi enunciada pela pimeia vez po Blaise Pascal. Conheça mais sobe o físico Pascal ( ) atavés do link: Este pincípio aplicado po Pascal é a ealização do que se conhece como pensa hidáulica. Você cetamente já viu este dispositivo em funcionamento. É o conhecido macaco hidáulico, com o auxílio do qual, uma pessoa pode egue facilmente um automóvel com massa de centenas de quilogamas em uma oficina mecânica. A Figua 8.10 mosta esquematicamente a pensa hidáulica, que consiste em um ecipiente cheio de um fluido, com duas abetuas, po exemplo, cilíndicas, com diâmetos difeentes. Nestas abetuas estão encaixados êmbolos leves e bem adaptados, de tal foma que nenhuma quantidade de fluido possa passa ente a paede das abetuas e os êmbolos. Na Figua 8.10, as áeas dos êmbolos estão assinaladas como A 1 e A, sendo obviamente A 1 > A. Imagine que os êmbolos estão no mesmo nível, e que, sobe o pistão de áea A 1, esteja posicionado um objeto pesado de massa M. Assim, paa entende o funcionamento da pensa hidáulica, devemos esponde à pegunta: Qual é a foça F que devemos exece sobe o êmbolo de áea A paa que o objeto com massa M pemaneça em equilíbio? CECIER J Extensão 345

345 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática M F A 1 A Figua 8.10: Esquema da pensa hidáulica. Fonte: Física A, Aula Figua.1, p.4 (p. do.pdf). Paa esponde a esta pegunta pecisaemos analisa as foças que estão agindo sobe o objeto de massa M. Estas são o seu peso Mg e a foça nomal N do êmbolo sobe o objeto. Uma vez que a massa M está em equilíbio, N = Mg, e, como conseqüência, a pessão execida sobe o fluido seá igual a N/A 1 que po sua vez é igual a Mg/A 1. Pelo Pincípio de Pascal, esta pessão seá tansmitida à supefície do fluido em contato com o êmbolo meno, ou seja, Mg F =, A A 1 (8.16) onde F é a foça que pecisamos exece paa mante o objeto de massa M em equilíbio. Considee agoa a seguinte situação: uma pensa hidáulica possui um êmbolo maio com 10cm de diâmeto e um meno com cm de diâmeto. Qual a foça necessáia paa egue um objeto com massa M = 100kg com o auxílio da pensa? Oa, a áea de contato do êmbolo maio (diâmeto de 10cm) é de apoximadamente A 1 = m e a do êmbolo meno (diâmeto de 346 CECIER J Extensão

346 cm) é de apoximadamente A = m. Assim, a foça necessáia paa equiliba o objeto com massa igual a 100kg seá, então, igual a AULA 8 A F = A Mg = π 10 m 980N = 39, N. 1 π 5 10 m (8.17) Obseve que a foça necessáia é quase tinta vezes meno que o peso do objeto, o que explica a facilidade com que se egue um cao num posto de gasolina! Outa conseqüência do Pincípio de Pascal, e que você povavelmente já conhece, é o Pincípio dos vasos comunicantes. Este efeito está esquematizado na Figua 8.11, onde é mostado um vaso constituído po amificações de fomatos difeentes, sendo o seu fundo nivelado. Uma vez que todos os pontos do fundo do vaso estaão à mesma pessão, e que a pessão na supefície do fluido em cada amificação é igual à pessão atmosféica, as altuas de fluido em cada amificação seão iguais. Este fato é mais bem explicado quando se expessa a pessão p F do fundo do vaso em função da altua do líquido: p = p + ρgh, F p = p + ρgh, F p = p + ρgh. F (8.18) Destas equações, concluímos que h 1 = h = h 3. h 1 h h 3 Figua 8.11: Esquema dos vasos comunicantes. Fonte: Física A, Aula Figua., p.5 (p.3 do.pdf). CECIER J Extensão 347

347 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática ATIVIDADES 3. Em uma mecânica de automóveis, o pistão meno de uma pensa hidáulica tem uma áea de seção eta cicula cujo aio vale 5,00cm. A pessão é tansmitida po um fluido paa um outo pistão de aio 15,0cm, confome mostado na Figua 8.1. a. Qual foça deve se aplicada no pistão meno paa levanta um cao com uma massa igual a 1.400kg? b. De qual distância deve se deslocado o pistão meno paa eleva o cao a 1,0cm? c. Demonste que não existe violação da lei de consevação da enegia mecânica. Paa isto, moste que o tabalho ealizado pela foça no pistão meno é igual ao tabalho ealizado pelo pistão maio sobe o cao. F 1 d 1 A 1 A d F Figua 8.1: Diagama de uma pensa hidáulica usada paa levanta um automóvel. 348 CECIER J Extensão

348 RESPOSTAS COMENTADAS a. Na discussão sobe o Pincípio de Pascal, você apendeu que a pessão na supefície do fluido em contato com o pistão meno, p 1, é tansmitida paa a supefície do fluido em contato com o pistão maio, p. Isto é vedade poque nós estamos consideando que o fluido da pensa hidáulica é incompessível. Dessa foma, você pode ve que quando uma foça de módulo F 1 é execida paa baixo no AULA 8 pistão meno, no pistão maio é execida uma foça de módulo F paa cima. A elação ente essas duas foças é dada pelos valoes das áeas A 1 e A, p F1 F = p =. A A 1 1 Note que a áea do pistão meno vale A 1 = π(r 1,) sendo que R 1 = 5,00cm, e a do pistão maio vale A = π(r ), sendo que R = 15,0cm. Paa mante o sistema em equilíbio é necessáio que o módulo da foça no pistão maio (paa cima) seja igual ao módulo da foça peso do cao, P = mg = F. Aqui você deve conclui que F 1 A1 = A mg. Com isso, você vai consegui calcula quanto vale o módulo da foça que deve se aplicada no pistão meno paa levanta o cao, F 1 π( 5, m) 3 = π( 15, 0 10 m) (. kg )(, m/s ), N. b. Quando consideamos um fluido incompessível, o volume do fluido deslocado pelo pistão meno tem de se igual ao volume deslocado pelo pistão maio. Neste poblema, um deslocamento d 1 do pistão meno detemina um ceto volume V 1 = A 1 d 1, enquanto que no pistão maio, o volume é V = A d. Ao impo que o fluido é incompessível, ou seja, V 1 = V, você vai deduzi a seguinte elação: A d = A d. 1 1 Assim, você pode conclui que paa eleva o cao de uma altua de 1,0cm, o pistão meno deve se deslocado de d 1 A A d π( 15, 0 10 m) = = π( 5, ) (, cm ), cm. m 1 CECIER J Extensão 349

349 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática c. Vamos mosta que a pensa hidáulica não viola a consevação da enegia mecânica. Você deve começa calculando o tabalho ealizado pela foça F 1 ao desloca o pistão meno de uma distância d 1. Você apendeu a calcula o tabalho ealizado po uma foça constante, ou seja, W = F d Note que o tabalho W 1 é positivo poque o veto de foça (cujo módulo vale F 1 ) tem a mesma dieção e o mesmo sentido do veto deslocamento (cujo módulo vale d 1 ). Agoa, você vai veifica que o volume do fluido incompessível deslocado po ambos os pistões é o mesmo, ou melho, que o deslocamento do pistão meno vale d 1 = A d /A 1. Mais ainda, a foça no pistão meno pode se escita em temos da foça execida no pistão maio, F 1 = A 1 F /A. A pati destas duas consideações, você deve consegui expessa o tabalho W 1 em temos das gandezas d e F, W 1 A1 A F A = A d F d W = =. 1 O esultado que você encontou mosta que a enegia mecânica sempe é consevada em um apaelho hidáulico. Na taefa do item (b) deste poblema, paa eleva o cao a 1,0cm, as duas foças, F 1 e F, ealizam o mesmo tabalho, W 1 = W = 1, J. 4. Os pulmões humanos podem opea nomalmente sob uma difeença de pessão de até ceca de 1/0 da pessão atmosféica. a. Um megulhado aciocina que, se um snokel de 0cm funciona, um de 6,0m também funcionaia. Se ele insensatamente utiliza um tubo como esse, como mostado na Figua 8.13, qual seia a difeença de pessão p ente a pessão extena sobe ele e a pessão do a em seus pulmões? Po que ele se enconta em peigo? b. Um apendiz de megulho, paticando com um tanque de a em uma piscina, enche seus pulmões com o a de seu tanque antes de subi à supefície. Ele ignoa as instuções e não expia enquanto sobe. Quando atinge a supefície, a difeença de pessão ente a pessão extena sobe ele e a pessão do a em seus pulmões é de 0,1atm. De que pofundidade ele começou? Que peigo potencialmente motal está coendo? 350 CECIER J Extensão

350 p 0 y = 0 AULA 8 x Figua 8.13: Megulhado usando um snokel. RESPOSTAS COMENTADAS Confome foi mencionado, os pulmões são capazes de se expandi e contai nomalmente quando a difeença ente a pessão do a dento dos pulmões e a extena ao copo vale apoximadamente 0,05atm. Quando a pessão extena da água é muito maio do que a pessão do a dento dos pulmões do megulhado, ele não seá capaz de expandi seus pulmões paa inspia. Po outo lado, se, ao subi paa a supefície, a pessão intena dos pulmões fo maio do que a pessão foa do copo, o megulhado teá dificuldade paa compimi os seus pulmões. Neste poblema, você vai analisa dois casos em que um megulhado pode coe isco de vida. CECIER J Extensão 351

351 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática a. Pimeio, vamos considea que o megulhado está a uma pofundidade de L = 6,0m sem o snokel. Você deve calcula a pessão extena sobe o megulhado usando a equação que desceve a vaiação da pessão em um fluido em função da pofundidade, p = p0 + ρ gl. Nesta situação, o copo do megulhado se ajusta a essa pessão containdo-se ligeiamente até que a pessão intena esteja em equilíbio com a extena. Em paticula, a pessão média do a em seus pulmões se iguala a p. Com um tubo de 6,0m paa espia, o a pessuizado em seus pulmões seá expelido atavés do tubo paa a atmosfea e a pessão em seus pulmões caiá apidamente paa p 0, ou seja, a pessão atmosféica. Assim, na água doce em que p = 1, kg/m 3, a difeença de pessão p seá de 3 4 p = p p 0 = ( 1, Kg/m 3 )( 9, 8m/s )( 6, 0m) 5, 9 10 Pa. Note que essa difeença de pessão, ceca de 0,6atm, é apoximadamente dez vezes maio do que a difeença de pessão aceitável paa que os pulmões possam opea, isto é, 0,05atm. Como conseqüência, o sangue pessuizado é foçado paa dento dos pulmões, pocesso conhecido como compessão dos pulmões. b. Quando o megulhado enche os seus pulmões de a a uma pofundidade L, a pessão extena sobe ele (e também a pessão do a em seus pulmões) é calculada a pati da equação Note que enquanto o megulhado sobe até a supefície da água, a pessão extena decesce até fica igual à pessão atmosféica p 0. Sua pessão sangüínea também decesce até fica nomal. Contudo, a menos que o megulhado expie o a duante a sua subida, a pessão em seus pulmões não se altea. Você deve enconta que, na supefície, a difeença de pessão ente o a nos pulmões do megulhado e o a foa de seu copo é dada po p = p0 + ρ gl. p = p p 0 = ρ gl. 35 CECIER J Extensão

352 Veja que quando o apendiz de megulho chega na supefície da água essa difeença de pessão vale p = 0,1atm = 1, Pa. Você pode calcula a pofundidade na qual o megulhado começou a subida a pati da seguinte equação: AULA 8 4 p ( 1, Pa) L = = 1, 0m. 3 3 ρg ( 1, Kg/m )( 9, 8m/s ) A difeença de pessão é suficiente paa ompe os pulmões do megulhado e foça o a deles paa o sangue despessuizado, que iia leva a paa o coação, matando o megulhado. Se ele segui as instuções e expia enquanto sobe, pemitiá que a pessão em seus pulmões se iguale à pessão extena, não havendo isco paa sua vida. PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Faz pate da expeiência de qualque pessoa a obsevação de que um objeto colocado em um fluido pode te tês tipos de compotamento de equilíbio: flutua na supefície, fica megulhado em uma deteminada pofundidade ou estaciona no fundo do ecipiente que contém o fluido. Outo fato de inteesse é o compotamento dos peixes, ou o dos submainos, que podem muda de pofundidade com elativa facilidade. Paa analisa fisicamente esta situação, iemos usa o mesmo atifício utilizado paa discuti a vaiação da pessão de um fluido em função da pofundidade. Considee um paalelepípedo sólido com densidade λ S e dimensões L x, L y e L z. Imaginemos que este sólido esteja megulhado em um fluido com densidade λ S, estando sua face supeio a uma pofundidade z. Vamos, então, analisa as foças execidas pelo fluido sobe o sólido. Elas têm oigem na pessão execida pelo fluido sobe as faces do paalelepípedo. As foças povenientes da pessão sobe as faces lateais do sólido obviamente se anulam. Restam, então, as foças povenientes da pessão sobe as faces supeio e infeio do sólido. Esta foça é dada po: Fz = p( z) p( z + z) LxLy. (8.19) CECIER J Extensão 353

353 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática Mas, como vimos na seção anteio, p(z) e p(z + z) são dados po: ( ) = ρgz, ( ) = ( + ) p z p z + z ρg z L z. (8.0) Potanto, a foça esultante da pessão sobe as faces supeio e infeio do sólido seá dada po: F = ρg L L L = ρ gv, z x y z s (8.1) onde V s é o volume do sólido consideado. Potanto, o módulo desta foça é igual ao peso de uma quantidade de fluido com volume igual à do sólido consideado. O sinal negativo indica que esta foça aponta paa cima, isto é, contáia ao sentido do eixo z. É impotante nota que esta foça, que é denominada empuxo, depende apenas das popiedades do fluido no qual o sólido está megulhado e do volume do sólido. Esta lei foi enunciada pela pimeia vez po Aquimedes, sendo, po isso, denominada Pincípio de Aquimedes, e pode se enunciada da seguinte foma: um copo megulhado em um fluido sofe uma foça paa cima, cujo valo absoluto é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo copo. O movimento de um sólido ao se megulhado em um fluido dependeá somente de sua densidade. Se sua densidade fo maio que a densidade do fluido, o seu peso seá então maio do que o empuxo, fazendo com que ele se movimente em dieção ao fundo do ecipiente que contém o fluido. Se a sua densidade fo igual à do fluido, ele estaá em equilíbio, pois seu peso seá igual ao empuxo. Se, caso contáio, sua densidade fo meno que a do fluido, ele flutuaá na supefície do fluido, com pate de seu volume acima da supefície. Conta-se que, ceta vez, Hieão, ei de Siacusa, no século III a.c. havia encomendado uma cooa de ouo, paa homenagea uma divindade que supostamente o potegea em suas conquistas, mas foi levantada a acusação de que o ouives o enganaa, mistuando o ouo maciço com pata em sua confecção. Paa descobi, sem danifica o objeto, se o seu inteio continha uma pate feita de pata, Hieão pediu a ajuda de Aquimedes. Ele pôs-se a pocua a solução paa o poblema, a qual lhe ocoeu duante um banho. A lenda afima que Aquimedes teia notado que uma quantidade de água coespondente ao seu pópio volume tansbodava da banheia quando ele entava nela e que, utilizando um método semelhante, podeia compaa o volume da cooa com os volumes de iguais pesos de pata e ouo: bastava colocá-los em um ecipiente cheio de água e medi a quantidade de líquido deamado. Feliz com essa fantástica descobeta, Aquimedes teia saído à ua nu, gitando Eueka! Eueka! ( Encontei! Encontei! ). Fonte: Wikipédia: a enciclopédia live. Disponível em:< Acesso em: 1 jul CECIER J Extensão

354 Conheça mais sobe o físico, matemático, filósofo e invento Aquimedes de Siacusa (87 a.c. - 1 a.c.) atavés do link: AULA 8 ATIVIDADES 5. Um submaino tem uma massa total de, Kg, incluindo a tipulação e os equipamentos. A embacação consiste de duas pates, o casco tipulado da embacação, que tem um volume de, m 3, e os tanques de megulho, que têm um volume de 4,0 10 m 3. Quando o submaino viaja pela supefície da água, o tanque de megulho fica cheio de a. Quando o submaino viaja abaixo da supefície da água, uma pate do tanque fica peenchida com água do ma. a. Qual fação do volume do submaino que fica acima da supefície da água quando os tanques estão cheios de a? b. Qual é o volume de água, dento dos tanques, necessáio paa deixa o submaino em equilíbio? Despeze a massa de a dento do tanque e use a densidade da água do ma valendo 1, kg/m 3. RESPOSTAS COMENTADAS a. Na descição deste poblema, vemos que um submaino consiste de uma embacação com espaço paa a tipulação e um espaço paa os tanques. Estes tanques podem esta com a ou pacialmente peenchidos com água do ma. Note que o volume total da embacação, isto é, o volume do casco tipulado mais o volume dos tanques vale V s =, m 3. CECIER J Extensão 355

355 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática Você deve pimeio detemina a densidade do submaino. A pati da massa total do submaino, m s =, Kg, e do volume total, V s =, m 3, você vai enconta a densidade do submaino m s ρ s = = Vs 6 (, 4 10 kg) 3 3 = 1, 0 10 kg/m. 3 3 (, 4 10 m ) Vamos agoa analisa a situação na qual o tanque de megulho está cheio de a. Neste caso, o submaino ficaá com pate de seu volume submeso, que você pode denota po V, e uma outa pate que ficaá acima da supefície da água. Dessa foma, a pate do submaino que fica paa foa da água tem um volume igual a V s V. No equilíbio, ente a foça peso P = ρ s gv s e a foça de empuxo E = ρ a gv, você pode esceve a seguinte igualdade: P = E c ρ gv = ρ gv. s s a Note que a pati da equação dada você pode calcula a azão V/V s, ou seja, a azão ente o volume submeso V e o volume total do submaino V s. Esta elação é dada pela azão ente as densidades ρ s e ρ a, V V s s = ρ ρ. a No entanto, você deve calcula a fação f do volume do submaino que fica acima da supefície da água. Você sabe como calcula o volume do submaino que está acima da supefície, V s - V. Melho ainda, você pode calcula a esposta do item (a) usando somente a azão ente a densidade do submaino ρ s e a densidade da água do ma ρ a, A esposta que você deve calcula é Vs V V s f = = 1 = 1 ρ V V ρ. s 3 ρs ( 1, 0 10 ) f = 1 = 1 0, ρ ( 1, ) a s a Essa esposta que você encontou tem um significado simples: com o tanque de megulho do submaino cheio de a, somente,4% do volume total da embacação não estaá submesa. b. Neste segundo item vamos discuti a situação na qual o tanque de megulho está pacialmente peenchido com água do ma e o submaino está completamente submeso. Vamos denota po Vt o volume de água 356 CECIER J Extensão

356 do ma que deve se colocado dento do tanque. Aqui você deve pecebe que a foça de empuxo execida sobe o submaino é devida a um volume V s V t de água do ma. Paa equiliba a foça peso P = psgvs com a foça de empuxo E = ρ a g(v s V t ), é necessáio que a seguinte igualdade seja vedadeia: AULA 8 P = E c ρ gv = ρ g( V V ). s s a s t Você pode eesceve esta elação de maneia que a esposta paa o volume do tanque de água possa se expessa como V t s = Vs 1 ρ ρ. a Basta que você use os valoes das densidades s e a, bem como do volume V s, paa enconta a esposta, ( 1, 0 10 kg/m ) 3 V t = (, 4 10 m ) 1 59m. 3 3 ( 1, kg/m ) Neste momento você já deve esta se peguntando: pois bem, consigo entende como o submaino se mantém em equilíbio, mas como seá que ele aumenta ou diminui a sua pofundidade? A esposta a esta pegunta pode se entendida com base no Pincípio de Aquimedes. Paa afunda, basta coloca água do ma nos tanques de megulho, isso poque o módulo da foça de empuxo execida sobe o submaino fica meno do que o módulo da foça peso. Paa imegi, a água do ma contida dento dos tanques deve se etiada, e como conseqüência, o módulo da foça de empuxo fica maio do que o módulo da foça peso. 6. Um objeto cúbico cuja aesta mede L = 0,60m e cujo peso é P = 4, N, no vácuo, pende da extemidade de um fio dento de um tanque abeto cheio de um líquido de densidade ρ = 9,44 10 kg/m 3, como mosta a Figua a. Detemine a foça total paa baixo, execida pelo líquido e pela atmosfea, no topo do objeto. b. Detemine a foça total paa cima, aplicada no fundo do objeto. c. Detemine a tensão no fio. d. Calcule a foça de empuxo sobe o objeto, aplicando o pincípio de Aquimedes. Que elação existe ente todas essas quantidades? CECIER J Extensão 357

357 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática L/ L Figua 8.14: Objeto cúbico submeso dento de um tanque. RESPOSTAS COMENTADAS Devemos pimeio dize quais são as foças que atuam sobe o objeto. Note que o cubo está em equilíbio estático, isto é, a foça esultante é nula. Vamos usa o eixo vetical z, como está mostado na Figua De acodo com o enunciado do poblema, sabemos que a foça peso do objeto, com dieção vetical e sentido -z, tem um módulo P = 4, N. Dado que a aesta supeio do cubo está atada a um fio, sobe o objeto também atua uma foça de tação T, com sentido +z. Mais ainda, a foça Fs, execida pelo líquido e pela atmosfea no topo do objeto, tem o sentido -z, enquanto que a foça F i, aplicada no fundo do objeto, tem o sentido +z. Veja na Figua 8.15 o diagama de copo isolado do objeto cúbico. 358 CECIER J Extensão

358 F s T z AULA 8 F i P Figua 8.15: Diagama de copo isolado do objeto cúbico. a. Você pode calcula F s a pati da elação ente a pessão em um ponto com a foça execida neste ponto. A foça F s, execida na pate supeio do objeto, é igual à pessão total nessa pofundidade, p s, multiplicada pela áea da pate supeio do copo, A = L = 3, m : Paa calcula o valo da pessão na pate supeio do objeto, ps, você deve usa a equação que desceve a vaiação da pessão em um fluido em função da pofundidade. A pessão total na pate supeio do copo é igual à soma da pessão atmosféica, p 0 = 1, Pa, e da pessão execida pelo líquido à pofundidade L/, Devido a esta pessão, o objeto sofe uma foça F s na vetical e com o sentido do eixo -z. Ao substitui a equação na elação ente a pessão e a foça, você vai enconta Com a fómula, você deve calcula o seguinte esultado: F s = p A. p = p + g L s 0 ρ. F = p + g L s A ρ 0. F s 3, N. s b. Paa você calcula a pessão total na pate infeio do objeto, pi, é necessáio usa a equação que desceve a vaiação da pessão em um fluido em função da pofundidade: p p g L i = + + L p gl = ρ 0 ρ. CECIER J Extensão 359

359 Movimentos: Vaiações e Consevações Hidostática Uma vez que p i > p s, a foça execida na pate infeio do objeto, F i, é maio em módulo do que a foça execida na pate supeio do objeto, F i > F s. Agoa, você pode multiplica a pessão p i pela áea da pate supeio do cubo paa enconta Ao coloca os dados do poblema na equação, você iá detemina um valo igual a c. Você deve nota que o objeto cúbico está em equilíbio estático. A pati dessa constatação, você podeá calcula a tação no fio, T, po meio da condição de equilíbio estático do copo. Considee a seguinte condição de equilíbio paa o eixo coodenado z: 3 Fi = pi A = p0 + gl A ρ. F i 3, N. Fz = T + Fi Fs P = 0. A igualdade pemite que você calcule a foça de tação a pati dos valoes já conhecidos p, F i e F s. Paa faze isto, você deve isola T na igualdade, T = P + F F s i 3 3 = P ρgl, 0 10 N. d. De acodo com o Pincípio de Aquimedes, você pode afima que o módulo da foça de empuxo E é igual ao peso do volume V = L 3 do fluido deslocado pelo objeto cúbico. A foça de empuxo, que tem o sentido do eixo + z, neste poblema vale 3 3 E = ρgv = ρgl, 0 10 N. Você já deve te pecebido que a foça de empuxo E é dada pela difeença (vetoial) ente as foças execidas na pate infeio e supeio do objeto cúbico. Confome foi discutido, Fi > Fs, e, assim, a foça de empuxo sempe teá sentido paa cima. Potanto, a elação ente as quantidades envolvidas neste poblema é dada po E = F F. i Você pode veifica esta elação analiticamente calculando F i F s = (p i p s )A. s 360 CECIER J Extensão

360 R E S U M O Nesta aula, vimos como um fluido exece pessão sobe as paedes do ecipiente que o contém. Em seguida, definimos a densidade de um fluido homogêneo, quando conhecemos a sua massa e o volume que ele ocupa. Também calculamos a pessão manomética na supefície de um fluido incompessível em um campo gavitacional e vimos como podemos medi a pessão com um baômeto de mecúio. Além disso, vimos como o Pincípio de Pascal pode se usado na constução de uma pensa hidáulica. Finalmente, definimos o empuxo como a foça paa cima, execida po um fluido sobe um copo megulhado e mostamos como sabemos se esse copo bóia, afunda ou pemanece imóvel. AULA 8 CECIER J Extensão 361

361 Vetoes Texto adaptado po Lizado H. C. M. Nunes e Licinio Potugal das apostilas: - SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. Apêndice

362 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes DEFINIÇÃO DE UM VETOR Considee dois pontos distintos P 1 e P. Eles deteminam uma única eta que passa po eles. Além disso, o segmento de eta ente os pontos P 1 e P também é único. Nesse segmento de eta, são possíveis dois sentidos de pecuso: o de P 1 paa P e o de P paa P 1. O segmento de eta ao qual atibuímos um sentido é chamado de segmento de eta oientado. Paa abevia a linguagem, chamamos um segmento de eta oientado simplesmente de seta. Ao faze o desenho de uma seta, indicamos que ela tem sentido, ou oientação, de P 1 paa P, desenhando uma ponta no seu ponto final, como mosta a Figua A.1. P P 1 uuuu P 1 P uuuu Figua A.1: Segmento de eta oientado ou seta P 1 P. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.3, p Nesse caso, o ponto P 1 é chamado de ponto inicial da seta, ou oigem da seta, e o ponto uuuu P, de ponto final da seta. Vamos epesenta a seta acima po P 1 P. A eta na qual está uma seta (como a eta na figua acima) é chamada de eta supote da seta. Essa eta tem uma dieção com elação a outos objetos, como, po exemplo, a dieção hoizontal, ou vetical, ou inclinada de um ângulo com elação a outa eta. Definimos a dieção da seta como sendo a dieção de sua eta supote. Em cada dieção há dois sentidos, po exemplo: na dieção vetical, há os sentidos paa cima e paa baixo, e na hoizontal, o que chamamos de sentidos paa a esqueda e paa a dieita (especificados, é clao, em elação à supefície da Tea e ao obsevado). Uma seta ou segmento de eta oientado tem sempe um dos sentidos ente os dois possíveis ao longo de sua dieção. 364 CECIER J Extensão

363 Uma seta tem também um ceto compimento, dado em alguma unidade. Esse compimento é também chamado de módulo da seta. Talvez agoa você possa esta se peguntando: Seá que uma seta e um veto são a mesma coisa? A esposta é: Não são! Pelo menos, não necessaiamente. Mas talvez você queia agumenta: Oa, mas uma seta não é definida po seus módulo, dieção e sentido!? Isso não é exatamente o mesmo que um veto, um segmento de eta oientado? Bem, deixe-nos explica isso dieito: Vamos dize que setas com a mesma dieção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são setas uuuu eqüipolentes. Considee agoa o conjunto de todas as setas eqüipolentes à seta P 1 P, algumas estão ilustadas na Figua A.. APÊNDICE a a a a a a Figua A.: Setas eqüipolentes que epesentam o veto a em difeentes pontos do espaço. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.6, p Todas têm o mesmo módulo, dieção e sentido, mas cada seta tem uma oigem difeente. uuuu Po outo lado, o veto associado à seta P 1 P é justamente esse conjunto, ou seja, o conjunto de todas as setas eqüipolentes é o que chamamos de veto! CECIER J Extensão 365

364 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes! Em nosso cuso, um veto podeá se denotado po uma única leta em negito, po exemplo, a, ou um veto podeá também se epesentado pela conhecida notação: a. Já o módulo de um veto a seá denotado po a ou a. Também podeemos epesenta o módulo de um veto abolindo o negito da leta, ou seja, usando simplesmente a. Agoa considee um veto a. O veto que tem a mesma dieção e o mesmo módulo que a, poém sentido oposto ao de a, é chamado veto oposto a a e é epesentado po a. A Figua A.3 mosta um veto a e seu oposto a. a a Figua A.3: Veto a e seu oposto a. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.7, p Também é conveniente defini o que chamaemos de seta nula. Uma seta nula é simplesmente um ponto. A seta nula constituída pelo ponto P é epesentada po PP uuu. Po definição, uma seta nula tem módulo igual a zeo. Uma vez que não podemos atibui uma dieção e um sentido a uma seta nula, dizemos que ela tem dieção e sentido indeteminados. Cada ponto do espaço é uma seta nula, e todas as setas nulas são, po definição, eqüipolentes ente si. Chamamos o conjunto de todas as setas nulas de veto nulo. Em nosso cuso, o veto nulo seá denotado po 0 ou CECIER J Extensão

365 ADIÇÃO DE VETORES Dados dois vetoes a e b, consideemos uma seta qualque que epesente a. Tomemos o ponto final dessa seta como o ponto inicial de uma seta que epesente b. Definimos soma de a com b, que epesentamos po a + b, como sendo o veto epesentado pela seta que tem po ponto inicial o ponto inicial da seta que epesenta a, e po ponto final o ponto final da seta que epesenta b, como mosta a Figua A.4. A opeação que associa aos vetoes a e b, o veto a + b, é chamada de adição de vetoes, ou adição vetoial. Os vetoes a e b que fomam a soma a + b são chamados componentes vetoiais do veto a + b. Essa ega de obte a soma de dois vetoes é chamada de ega do tiângulo. Na figua a segui, fica clao po que a adição vetoial é chamada assim. APÊNDICE b a + b b a a Figua A.4: Adição de vetoes a e b de acodo com a ega do tiângulo. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.8, p A adição vetoial goza de algumas popiedades muito impotantes que enunciamos a segui. 1. A adição vetoial é comutativa, isto é, paa quaisque vetoes a e b temos: a + b = b + a. (A.1). A adição vetoial é associativa, isto é, paa quaisque vetoes a, b e c temos: ( ) + = + + a + b c a ( b c). (A.) temos: 3. O veto nulo 0 é o elemento neuto da adição vetoial, isto é, paa qualque veto a, a + 0 = a. (A.3) CECIER J Extensão 367

366 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes 4. Paa cada veto a, existe o veto oposto a, que satisfaz a igualdade: a + ( a) = 0. (A.4) A demonstação da popiedade da Equação (A.1) é evidente a pati da Figua A.5. a b b + a a + b b a Figua A.5: a + b = b + a. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.9, p O tiângulo supeio na figua mosta a adição de b com a, e o tiângulo infeio, a adição de a com b. A soma é a mesma e está ao longo do lado comum aos dois tiângulos. Esse lado comum é uma diagonal do paalelogamo fomado pelos dois tiângulos. Essa popiedade nos pemite obte a soma de dois vetoes po meio de uma outa ega, que você já deve conhece, a ega do paalelogamo. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UM VETOR Vamos agoa defini uma opeação que, a pati de um númeo eal e um veto, poduz um veto. Seja λ um númeo eal não nulo e a um veto não nulo. A esse númeo e a esse veto associamos um veto, que simbolizamos po λa: I. com a mesma dieção de a; II. com módulo igual ao módulo de λ vezes o módulo de a; III. com o mesmo sentido de a, se λ é positivo, mas com sentido oposto ao de a, se λ é negativo. Entetanto, se λ = 0 ou se a = 0, definimos λa como sendo o veto nulo. Essa opeação é chamada multiplicação de um númeo po um veto. No contexto dessa opeação, o númeo costuma se chamado de escala. Podemos então chama essa opeação de multiplicação de um escala po um veto. 368 CECIER J Extensão

367 A Figua A.6 mosta alguns exemplos de poduto de um númeo po um veto. APÊNDICE a a 1 a 0a Figua A.6: Exemplos de podutos de um númeo po um veto. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.13, p O poduto de um númeo po um veto também é um múltiplo do veto, com λa = λ a. (A.5) Note que, se λ >1, o veto estica; e, quando 0 < λ < 1, o veto se contai! Uma outa popiedade que vale a pena menciona é que o veto a, oposto ao veto a, pode se obtido como o poduto de 1 po a, isto é, ( 1)a = a. Inteessante também é nota que podemos obte um veto unitáio atavés da multiplicação de um escala po um veto. De fato, um veto é chamado unitáio se o seu módulo é igual a 1 (na unidade de medida que estive sendo usada), isto é, o veto u é unitáio se, e somente se, u = 1. Assim, dado um veto a não nulo, o seu módulo a é um númeo difeente de zeo e, potanto, tem um inveso 1/ a. Multiplicando-se esse númeo po a, obtém-se o veto unitáio (1/ a )a. Logo, pela popiedade vista na Equação A.5, (A.6) a a = a a = CECIER J Extensão 369

368 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes BASES E COMPONENTES DE UM VETOR É fácil ve que, usando-se apenas a opeação do poduto de númeo po veto, demonsta-se que todos os vetoes em uma mesma dieção podem se escitos como múltiplos de um único veto unitáio que tem essa dieção. Podemos expessa essa afimação do seguinte modo: se a é um veto qualque na dieção de um veto unitáio u, então: a = ± a u. (A.7) Vamos usa agoa um sistema de eixos coodenados OXYZ e considea um veto unitáio na dieção de cada eixo, com sentido igual ao sentido positivo do eixo. Vamos denota po u x, u y e u z os vetoes unitáios com a dieção e o sentido dos eixos OX, OY e OZ espectivamente, confome ilustado na Figua A.7. z u z u x u y y x Figua A.7: Os vetoes unitáios u x, u y e u z. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.16, p Qualque veto a no espaço tidimensional pode se escito em temos dos tês vetoes unitáios u x, u y e u z. (Uma demonstação dessa afimação pode se vista na Aula 8 da Apostila Física 1A, Módulo 1.) A pati da Equação (A.7) também é fácil pecebe que um veto a, em temos dos vetoes u x, u y e u z, deve se escito como a = u + a u + a u, a x x y y z z (A.8) 370 CECIER J Extensão

369 onde a x, a y e a z são as componentes escalaes do veto a na base de vetoes u x, u y e u z. Aliás, os vetoes u x, u y e u z fomam uma base otonomal de vetoes tidimensionais. O quê!? Você não sabe o que é uma base de vetoes!? Também não sabe o que é uma base otonomal!? Tudo bem. Dizemos que tês vetoes e 1, e e e 3 fomam uma base quando: APÊNDICE I. qualque veto a pode se escito em temos de e 1, e e e 3, de acodo com a expessão a = a 1 e 1 + a e + a e 3, na qual a 1, a e a 3 são númeos; II. não existe mais do que uma tinca de númeos a 1, a e a 3 que pemita esceve a citada expessão paa a. O conjunto dos vetoes u x, u y e u z satisfazem as duas popiedades acima e, potanto, podemos afima que fomam uma base. Esses tês vetoes também são unitáios e pependiculaes ente si, potanto, fomam uma base otonomal. O uso de uma base eduz váios cálculos que fazemos com vetoes a cálculos com as suas componentes escalaes. Isso constitui uma gande vantagem, pois as componentes escalaes são númeos que podemos manipula matematicamente com mais facilidade. Po exemplo, como a tinca de componentes escalaes é única, dados dois vetoes a e b, escitos na base u x, u y e u z como a = a u + a u + a u e b = b u + b u + b u, x x y y z z x x y y z z (A.9) eles só seão iguais se a = b, a = b e a = b. x x y y z z Se um veto c fo a soma de a e b, isto é, c = a + b, suas componentes na base u x, u y e u z são Se a = λb, temos c = a + b ; x x x c = a + b ; y y y c = a + b. z z z a a a x y z = λb ; x = λb ; y = λb. z (A.10) (A.11) O veto nulo 0 é escito na base u x, u y e u z como 0 = 0u x + 0u y + 0u z, isto é, suas componentes são todas iguais a zeo. CECIER J Extensão 371

370 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes Devemos apecia a impotância do conceito de base. Existem infinitos vetoes no espaço tidimensional, mas todos eles podem se escitos em temos de apenas tês vetoes, os vetoes de uma base. Paa isso, basta sabe como enconta as componentes de um veto qualque na base que se está usando. Você vai apende como faze isso no caso de uma base otonomal na seção seguinte. PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES Dados dois vetoes a e b, escitos na base u x, u y e u z : a = a u + a u + a u e b = b u + b u + b u, x x y y z z x x y y z z o poduto escala ente a e b seá definido como: a. b = a b + a b + a b. x x y y z z (A.1) O poduto escala pode se fomalmente genealizado paa vetoes com n componentes, onde n é um númeo inteio qualque. Nesse caso, os vetoes se escevem como: e o poduto escala fica agoa: a = a u + a u + L + a u e b = b u + b u + L + b u 1 1 n n 1 1 n n a b n. = a b + a b a b = a b 1 1 n n i i i = 1 (A.13) que é a soma dos podutos das componentes. Em paticula, paa um veto bidimensional, temos n = e identificamos x = 1 e y =. Paa um veto tidimensional, temos n = 3 e identificamos x = 1, y = e z = 3.! Pela Equação A.13, é fácil ve que, emboa se tate do poduto de dois vetoes, o esultado do poduto escala ente dois vetoes é sempe um escala, daí o nome de poduto escala. 37 CECIER J Extensão

371 PROJEÇÕES E COMPONENTES DE UM VETOR Sejam a um veto difeente de zeo, u um veto unitáio e θ o ângulo ente eles. Definimos a pojeção do veto a ao longo do veto unitáio u como sendo o númeo dado pelo poduto do módulo do veto a pelo cosseno do ângulo ente os vetoes, APÊNDICE a cos θ. (A.14) A Figua A.8 ilusta o caso em que 0 < θ < π/, com as setas de a e u desenhadas a pati de uma oigem comum, que chamamos de O. P a θ O u P' Figua A.8: Veto a e o veto unitáio u e o ângulo θ ente eles. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.18, p Pelo tiângulo etângulo mostado na figua acima, o compimento do cateto OP é igual à pojeção do veto a ao longo do veto unitáio u. Entetanto, a pojeção não é exatamente um compimento. Emboa no caso em que 0 < θ < π/ a pojeção de a ao longo de u seja um númeo positivo, no caso em que π/ < θ < π a pojeção é um númeo negativo! Além disso, pela definição em (.14 ), se a fo pependicula a u, a pojeção é nula; e, se a fo paalelo a u, a pojeção é a ou a, se a tive o mesmo sentido de u ou o sentido oposto a u espectivamente. Considee agoa a seta OP, e chamemos de a' o veto a ela associado. A Figua A.9, a segui, mosta os vetoes a, u e a' no caso em que 0 < θ < π/, CECIER J Extensão 373

372 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes P a a' u P' Figua A.9: Os tês vetoes a, u e a', ilustando a pojeção de a ao longo de u. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.19, p Usando apenas a definição de poduto de um númeo po um veto, você pode veifica que a a cos θ u. = ( ) (A.15) E podemos aplica o esultado acima aos vetoes unitáios u x, u y e u z, que foam vistos na seção anteio. Considee a Figua A.10 abaixo, que exibe agoa os ângulos θ x, θ y e θ z ente a e u x, u y e u z, espectivamente. z P z u z θ z P θ y u x O u y P y y θ x x P x Figua A.10: Veto a, unitáios vetoes unitáios u x, u y e u z e os ângulos θ x, θ y e θ z. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.0, p CECIER J Extensão

373 Usando a Equação (A.15) não é difícil conclui que a a cosθ u a cosθ u a cosθ u = ( ) + ( ) + ( ) x x y y z z. (A.16) APÊNDICE Potanto, pela Equação (A.8) as componentes escalaes de um veto a escito na base u x, u y e u z são as pojeções deste veto ao longo desta base otonomal, ou seja, a = a cosθ ; a = a cosθ e a = a cos θ. x x y y z z (A.17) Como aplicação, vamos considea uma situação muito comum, na qual todos os vetoes de um poblema estão em um mesmo plano. Vamos escolhe os eixos OX e OY paa epesenta os vetoes nesse plano. Pelo esultado acima, qualque veto a do plano pode então se escito como a a cosθ u a cos θ u, = ( ) + ( ) x x y y (A.18) onde os ângulos θ x e θ y podem se vistos na Figua A.11. y a u y θ y θ z O u x x Figua A.11: Veto a no plano OXY. Fonte: Física 1A v.1 Figua 8.1, p CECIER J Extensão 375

374 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes Analogamente, podemos defini o ângulo θ como sendo o ângulo que o veto a faz com o eixo OX e esceve as componentes de a na Equação A.18 como a x = a cosθ e a = a sen θ, y (A.19) onde usamos o fato de θ = θ x e que θ y = π/ θ x. É possível também enconta o módulo de a e θ quando conhecemos as componentes de a: a y a = ax + ay e tan θ =. a x (A.0) Finalmente, podemos usa as pojeções vetoiais paa simplifica a expessão do poduto escala ente vetoes bidimensionais, como veemos a segui. Considee um veto a, que faz um ângulo θ a com a hoizontal. Como vimos, ele se esceve como a = a cos θ u + a sen θ u. a x a y (A.1) como Da mesma foma, um outo veto b, que faz um ângulo θ b com a hoizontal, se esceve b = b cos θ u + b senθ u. b x b y (A.) Pela Equação A.13, o poduto escala ente a e b fica: a. b = a1b1 + ab = a b (cosθb cos θa + senθ a senθ b) = a b cos( θ θ ), b a (A.3) onde θ b θ é o ângulo ente os vetoes b e a. Assim, é fácil ve que o poduto escala ente vetoes a pependiculaes ente si é nulo, enquanto o poduto escala ente vetoes paalelos é máximo e dado pelo poduto dos módulos. Teminamos esta seção com uma obsevação de caáte pático. Temos pocuado distingui o conceito de veto do conceito de seta. Paa cada veto, há uma infinidade de setas que o epesentam, e é o conjunto de todas elas que define o veto. Entetanto, seguiemos doavante a pática comum de se efei a uma seta como sendo o veto a ela associado, e vice-vesa. 376 CECIER J Extensão

375 Exemplo 1 Um piata enteou seu tesouo em uma ilha que tem cinco ávoes localizadas nos seguintes pontos: A (30,0m, 0,0m), B (60,0m, 80,0m), C ( 10,0m, 10,0m), D (40,0m, 30,0m), e E ( 70,0m, 60,0m). Todos os pontos são medidos com elação a uma ceta oigem, como na Figua A.1. APÊNDICE B E y C X A D Figua A.1: Mapa da ilha que contém cinco ávoes de efeência, localizadas nos pontos A, B, C, D e E. As oientações contidas no mapa dizem: comece no ponto A e mova-se até B, mas pae na metade do caminho ente A e B. Em seguida, vá em dieção ao ponto C, andando um teço da distância ente a sua posição atual e o ponto C. Depois, mova-se em dieção ao ponto D, e ande um quato da distância ente onde você está e o ponto D. Finalmente, mova-se em dieção ao ponto E e ande um quinto da distância ente você e o ponto E. a) Utilize os vetoes unitáios no plano XY paa esceve cada um dos pontos A, B, C, D e E, como um veto. b) Quais são os tês pontos descitos no mapa onde você tem que paa antes de continua? c) Quais são as coodenadas onde o tesouo está enteado? Qual é a distância ente esse ponto e a oigem dos eixos? CECIER J Extensão 377

376 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes Solução a) Os eixos X e Y usados no mapa da ilha pemitem que você esceva cada um dos pontos em temos dos vetoes unitáios u x e u y. Neste caso, você deve pecebe que o veto unitáio u x vai epesenta 1m na dieção x, e o veto unitáio u y vai epesenta 1m na dieção y. As coodenadas do ponto A são (30,0m, 0,0m), ou seja, o ponto está a 30,0m na dieção x e a -0,0m na dieção y. Se você chama de a o veto que epesenta o ponto A, então este deve se escito em temos dos vetoes unitáios da seguinte maneia: a = 30, 0u 0, 0u Da mesma foma, o ponto B, que tem como coodenadas (60,0m, 80,0m), pode se epesentado pelo veto b, b = 60, 0u + 80, 0u x x y y. O ponto C, de coodenadas ( 10,0m, 10,0m), é epesentado na notação vetoial po c, c = 10, 0u 10, 0u x y, e o ponto D, de coodenadas (40,0m, 30,0m), po d, d = 40, 0u 30, 0u x y. Finalmente, o ponto E, de coodenadas ( 70,0m, 60,0m), pode se epesentado pelo veto e, e = 70, 0u + 60, 0u x y. b) A pimeia oientação contida no mapa diz que você tem de i do ponto A até o ponto B, e paa no meio do caminho. Você pode então dize que a dieção deste caminho é epesentada pelo veto b - a. O veto v 1, que epesenta o ponto onde você deve paa, é mostado na Figua A CECIER J Extensão

377 y B APÊNDICE b V 1 b a x a A Figua A.13: O veto v 1 é encontado quando você soma os vetoes a e (b a)/. A maneia de calcula o veto v 1 é a seguinte: v 1 b a = a + = 45, 0ux + 30, 0u A segunda oientação que está no mapa diz paa você anda do ponto onde você paou, v 1, até o ponto C. Desta vez, você deve paa quando tive pecoido 1/3 do caminho. Então, como na pimeia oientação do mapa, você nota que a dieção deste caminho é epesentada pelo veto c - v 1. O veto v, que epesenta o ponto da sua segunda paada, é v = c v v = ( 80, 0u + 50, 0u ) 6, 7u + 16, 7u A penúltima oientação pede paa você anda do ponto v até o ponto D, mas deve paa quando tive pecoido 1/4 do caminho. Então, você nota que a dieção deste caminho é dada pela mesma dieção do veto d - v, e que o veto v 3 epesenta o ponto da sua teceia paada, v y. x y x y d v = v + = 30, 0ux + 5, 00u 4 3 y.. CECIER J Extensão 379

378 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes c) Segundo a última oientação do mapa, você deve anda do ponto v 3 até o ponto E e paa quando tive pecoido 1/5 do caminho. Assim, a dieção que você tem de escolhe é a mesma dieção do veto e v 3. A localização do tesouo do piata é epesentada pelo veto v 4, v e v3 = v + = 10, 0ux + 16, 0uy Paa enconta a distância ente a localização do tesouo e a oigem dos eixos, você tem de calcula o módulo v 4. O esultado que você vai enconta é 10, 0 16, v 4 = ( ) + ( ) m. Exemplo Uma lumináia é constituída po tês hastes e quato junções, como na Figua A.14. A posição da junção A é (30,0cm, 40,0cm) enquanto que as posições das junções B e C são, espectivamente, (-10,0cm, 45,0cm) e (-0,0cm, 30,0cm). a) Ache a localização de cada junção, A, B e C, medida com espeito a oigem O. b) Calcule os ângulos θ 1, θ e θ 3. θ B θ 3 A C O θ 1 Figua A.14: Lumináia que pode se diecionada po meio das junções A, B e C. 380 CECIER J Extensão

379 Solução a) Em cetos casos, o poduto escala ente dois vetoes pode se bastante útil. A definição do poduto escala ente dois vetoes é a seguinte: APÊNDICE a b = a b cos θ. Note que a é o módulo do veto a, b é o módulo do veto b e θ é o ângulo ente os vetoes a e b. Po exemplo, paa os vetoes unitáios u x e u y, otogonais ente si, valem as elações o ux ux = uy uy = cos 0 = 1, ux uy = uy ux = cos 90 o = 0. Vamos epesenta a posição da junção A pelo veto a = 30,0 u x + 40,0 u y. Da mesma foma, vamos epesenta a posição da junção B pelo veto b = -10,0 u x +45,0 u y e a posição da junção C pelo veto c = -0,0 u x + 30,0 u y. b) Cálculo de θ 1 : Note que o módulo do veto a vale a = 30, , 0 = 50, 0cm. Segundo a definição, o poduto escala ente os vetoes a e u x vale a ux = ( 50, 0)( 1, 00)cos θ1 = 50, 0cos θ1. Po outo lado, o poduto escala ente os vetoes a. u x também pode se calculado a pati das componentes. Pimeio, você esceve este poduto como a u = u ( 30, 0u + 40, 0u ). x x x y Depois, você aplica a lei distibutiva da multiplicação. Ao multiplica, você vai enconta que a u = 30, 0( u u ) + 40, 0( u u ). x x x x y Você pode usa a ega do poduto escala paa os vetoes unitáios, isto é, u x u y = 0, poque estes vetoes são otogonais, enquanto que u x u x = u y u y = 1. Se você entendeu bem esta ega, então pecebeu que a ux = 30, 0. CECIER J Extensão 381

380 Movimentos: Vaiações e Consevações Vetoes Finalmente, você pode esceve uma elação que vai pemiti enconta o ângulo θ 1 ente os vetoes a e u x. Quando você iguala o poduto escala calculado das duas difeentes maneias, chegaá à conclusão de que a u = =. x 50, 0 cos θ1 30, 0 Isso significa que o cosseno deste ângulo tem que vale, cosθ = ,. 50, 0 = 0 60 Veja na Figua A.14 que o ângulo deve esta no intevalo 0 o < θ 1 < 90 o. O esultado final que você enconta paa o ângulo θ 1 é o seguinte: θ 1 = cos 1 0, 60 53, 1 o. Cálculo de θ : Em pimeio luga, você deve pecebe que θ é o ângulo ente os vetoes a e b-a. O veto que pate do ponto A e chega a B é escito nas coodenadas catesianas como b-a = -40,0 u x + 5,00 u y. O módulo do veto b-a vale b a = 40, 0 + 5, 00 40, 3. Assim, o poduto escala ente os vetoes a e b-a vale a ( b a) = ( 50, 0)( 40, 3)cos θ. 015cosθ. O poduto escala, em temos das componentes que você vai calcula depois, é dado po a ( b a) = ( 30, 0u + 40, 0u ) ( 40, 0u + 5, 00u ). x y x y Usando a distibuição multiplicativa, você vai enconta b c = 1. 00( u u ) + 150( u u ) ( u u ) + 00( u u ), x x x y y x y y = 1. 00( 1) + 150( 0) ( 0) + 00( 1) = Potanto, o cosseno do ângulo θ tem que vale. cosθ 1 000, Qual é o ângulo cujo cosseno vale 0,5? Isso mesmo, 60 o ou 10 o. Note que o ângulo θ da Figua A.14 está no intevalo 90 o < θ < 180 o. Logo, o ângulo que você deve enconta é θ = 10 o. 38 CECIER J Extensão

381 Cálculo de θ 3 : Agoa você já sabe que o ângulo ente os vetoes c-b e b-a vale θ 3. Vamos calcula o poduto escala destes dois vetoes consideando que c-b = -10,0 u x -15,00 u y. APÊNDICE ( c b) ( b a) = ( 18, 0)( 40, 3)cosθ 75cos θ. 3 3 Usando as componentes catesianas de cada veto, você vai enconta que o poduto escala também vale ( c b) ( b a) = 400( u u ) + 600( u u ) 50, 0( u u ) 75, 0( u u ), = 400( 1) + 600( 0) 50, 0( 0) 75( 1) = 35. x x x y y x y y O cosseno do ângulo θ 3 tem que vale cos θ 35 3, O ângulo encontado pode se 63,3 o ou 116,7 o. Contudo, o ângulo θ 3 está no intevalo 0 o < θ < 90 o, e po causa disso θ 3 = 63,3 o. CECIER J Extensão 383

382 Movimentos: Vaiações e Consevações Refeências

383 Aula 1 ALMEIDA, Maia Antonieta T. de. Intodução às Ciências Físicas. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.3. HALLIDAY, Resnick, Kane. Física ed. Rio de Janeio: LTC,199. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v.1 SERWAY, Raymond A.; Beichne, Robet J. Physics fo scientists and enginees. 6 th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de ; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. TIPLER, P. A.; Mosca, G. Physics fo scientists and enginee. 5 th ed. Extended vesion. Nova Yok: W. H. Feeman & Co, 003. Aula HALLIDAY, David.; RESNICK, Robet.; KRANE, Kenneth S. Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v. 1. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v.1 SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo scientists and enginees. 6 th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. TIPLER, P. A.; Mosca, G. Physics fo Scientists and enginees extended vesion. 5th ed., Extended vesion. New Yok: W H Feeman & Co, CECIER J Extensão

384 Aula 3 HALLIDAY, David; RESNICK, Robet; KRANE, Kenneth S. Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v.1. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v.1. SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo scientists and enginees. 6th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics fo Scientists and Enginees. 5th ed., Extended vesion, New Yok: W H Feeman & Co, 003. Aula 4 HALLIDAY, Resnick, Kane: Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v.. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v.1. SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo scientists and enginees. 6th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1B. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics fo scientists and enginees. 5th ed., Extended vesion. New Yok: W H Feeman & Co, 003. CECIER J Extensão 387

385 Aula 5 HALLIDAY, David; RESNICK, Robet; KRANE, Kenneth S. Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v. 1. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v. 1. SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo Scientists and Enginees, 6 th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1B. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics fo scientists and enginees. 5 th ed., Extended vesion. New Yok: W H Feeman & Co., 003. Aula 6 KHOURY, Antonio Zelaquett; FRANCESCHINI FILHO, Dante Feeia. Física A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. HALLIDAY, David; RESNICK, Robet; KRANE, Kenneth S. Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v. 1. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v.. SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo Scientists and Enginees, 6 th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1B. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics fo scientists and enginees. 5 th ed., Extended vesion. New Yok: W H Feeman & Co., CECIER J Extensão

386 Aula 7 HALLIDAY, David; RESNICK, Robet; KRANE, Kenneth S. Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v. 1. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v. 1. SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo scientists and enginees. 6 th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. SOUZA, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1B. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics fo scientists and enginees. 5 th ed., Extended vesion. New Yok: W H Feeman & Co., 003. Aula 8 KHOURY, Antonio Zelaquett; FRANCESCHINI FILHO, Dante Feeia. Física A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. HALLIDAY, David; RESNICK, Robet; KRANE, Kenneth S. Física. 4. ed. Rio de Janeio: LTC, 199. v. 1. NUSSENZVEIG, Hech Moysés. Cuso de Física básica. São Paulo: Edgad Blüche, v.. SERWAY, Raymond A.; BEICHNER, Robet J. Physics fo Scientists and Enginees, 6 th ed. Pacific Gove, CA: Books/Cole Publishing Company, 000. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics fo scientists and enginees. 5 th ed., Extended vesion. New Yok: W H Feeman & Co., 003. CECIER J Extensão 389