Mudança de Coordenadas

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1 Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais 13 de deembro de Rotação e Translação k U 3 P (,, ) U 1 O U 2 i j Figura 1: OP i + j + k Figura 2: Dois sistemas de coordenadas {O, i, j, k} e {O, U 1, U 2, U 3 } Se as coordenadas de um ponto P no espaço são (,, ), então as componentes do vetor OP também são (,, ) e então podemos escrever OP (,, ) (, 0, 0) + (0,, 0) + (0, 0, ) (1, 0, 0) + (0,, 0) + (0, 0, 1) i + j + k, em que i (1, 0, 0), j (0, 1, 0) e k (0, 0, 1). Ou seja, as coordenadas de um ponto P são iguais aos escalares que aparecem ao escrevermos OP como uma combinação linear dos vetores canônicos. Assim, o ponto O (0, 0, 0) e os vetores i, j e k determinam um sistema de coordenadas (cartesiano), {O, i, j, k}. Para resolver alguns problemas geométricos é necessário usarmos um segundo sistema de coordenadas determinado por uma origem O e por 1

2 vetores U 1, U 2 e U 3 unitários e mutuamente ortogonais. 1 Por eemplo, se O (2, 3/2, 3/2), U 1 ( 3/2, 1/2, 0), U 2 ( 1/2, 3/2, 0) e U 3 (0, 0, 1) k, então {O, U 1, U 2, U 3 } determina um novo sistema de coordenadas: aquele com origem no ponto O, cujos eios, e são retas que passam por O orientadas com os sentidos e direções de U 1, U 2 e U 3, respectivamente. As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas {O, U 1, U 2, U 3 } é definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O P como combinação linear dos vetores U 1, U 2 e U 3, ou seja, se O P U 1 + U 2 + U 3, então as coordenadas de P no sistema {O, U 1, U 2, U 3 } são dadas por [P {O,U 1,U 2,U 3 }. Vamos considerar inicialmente o caso em que O O. Assim, se OP (,, ), então U 1 + U 2 + U 3 OP pode ser escrito como [ U 1 U 2 U 3 Multiplicando-se à esquerda pela transposta da matri Q [ U 1 U 2 U 3, obtemos U1 t U U2 t [ U 1 U 2 U 3 1 t U t U3 t 2 U3 t Mas, como U 1, U 2 e U 3 são unitários e mutuamente ortogonais, então U t Q t 1 U1U t 1 U1U t 2 U1U t 3 U 1 U 1 U 1 U 2 U 1 U 3 Q U2 t [ U 1 U 2 U 3 U2U t 1 U2U t 2 U2U t 3 U 2 U 1 U 2 U 2 U 2 U 3 U3 t U3U t 1 U3U t 2 U3U t 3 U 3 U 1 U 3 U 2 U 3 U 3 I 3 Assim, a matri Q [ U 1 U 2 U 3 é invertível e Q 1 Q t. Desta forma as coordenadas de um ponto P no espaço em relação ao sistema {O, U 1, U 2, U 3 } estão bem definidas, ou seja,, e estão unicamente determinados e são dados por [P {O,U1,U 2,U 3 } Q t Q t [P {O, i, j, k}. Também no plano temos o mesmo tipo de situação que é tratada de forma inteiramente análoga. As coordenadas de um ponto P no plano em relação a um sistema de coordenadas 1 Um sistema de coordenadas podemo definir um sistema de coordenadas pode ser determinado por um ponto O e três vetores V 1, V 2 e V 3 não coplanares que não necessariamente são ortogonais e unitários (veja o Eercício 1.6 na página 8). 2

3 {O, U 1, U 2 }, em que U 1 e U 2 são vetores unitários e ortogonais, é definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O P como combinação linear de U 1 e U 2, ou seja, se O P U 1 + U 2, então as coordenadas de P no sistema {O, U 1, U 2 } são dadas por [ [P {O,U 1,U 2 }. Vamos considerar, também no plano, inicialmente o caso em que O O. Assim, se OP (, ), então U 1 + U 2 OP pode ser escrito como [ [ [ U 1 U 2 Multiplicando-se à esquerda pela transposta da matri Q [ U 1 U 2, obtemos [ [ [ [ U t 1 U t [ U 1 U 2 1. U t 2 U t 2 Novamente, como U 1 e U 2 são unitários e mutuamente ortogonais, então [ [ [ U Q t t Q 1 U t [ U 1 U 2 1 U 1 U1U t 2 U1 U U2U t 1 U2U t 1 U 1 U 2 2 U 2 U 1 U 2 U 2 U t 2 I 2 Assim, a matri Q [ U 1 U 2 é invertível e Q 1 Q t. Desta forma as coordenadas de um ponto P no plano em relação a um sistema de coordenadas {O, U 1, U 2 } estão bem definidas, ou seja, e estão unicamente determinados e são dados por [ [ [P {O,U1,U 2 } Q t Q t [P {O,E1,E 2 }, em que E 1 (1, 0) e E 2 (0, 1). Observe que, tanto no caso do plano quanto no caso do espaço, a matri Q satisfa, Q 1 Q t. Uma matri que satisfa esta propriedade é chamada matri ortogonal. Eemplo 1.1. Considere o sistema de coordenadas no plano em que O O e U 1 ( 3/2, 1/2) e U 2 ( 1/2, 3/2). Se P (2, 4), vamos determinar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar e tais que ou U 1 + U 2 O P OP, ( 3/2, 1/2) + ( 1/2, 3/2) (2, 4) A equação acima é equivalente ao sistema linear { ( 3/2) (1/2) 2 (1/2) + ( 3/2) 4 3

4 ou [ 3/2 1/2 1/2 3/2 ou ainda, [ Q [ [ 2 4 [ 2 4 em que Q [ U 1 U 2 com U 1 e U 2 escritos como matries colunas. Como Q t Q [ 3/2 1/2 1/2 3/2 U t 2 [ 3/2 1/2 1/2 3/2 I 2, então as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas são dadas por [ [ [ [ [ [ 2 U [P {O,U1,U2} Q t t 1 2 3/2 1/ / / P U 2 E 2 U 1 E 1 Figura 3: Coordenadas de um ponto P em dois sistemas Eemplo 1.2. Considere o mesmo sistema de coordenadas do eemplo anterior, mas agora seja P (, ) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar e tais que ou U 1 + U 2 O P OP, ( 3/2, 1/2) + ( 1/2, 3/2) (, ) A equação acima é equivalente ao sistema linear nas variáveis e [ 3/2 1/2 1/2 3/2 [ [, 4

5 ou U t 2 [ Q em que Q [ U 1 U 2 com U 1 e U 2 escritos como matries colunas. Como Q t Q I 2, então as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas são dadas por [ [ [ [ [ [ U [P {O,U1,U2} Q t t 1 3/2 1/2 1/2 ( 3 + )/2 3/2 ( +. 3 )/2 [ Eemplo 1.3. Vamos agora considerar um problema inverso àqueles apresentados nos eemplos anteriores. Suponha que sejam válidas as seguintes equações { ou equivalentemente [ 2 1 [ , [ [ entre as coordenadas de um ponto P em relação a um sistema de coordenadas [ {O, U 1, U 2 } e as coordenadas de P,, em relação ao sistema de coordenadas original {O, E 1 (1, 0), E 2 (0, 1)}. Queremos determinar quais são [ os vetores [ U 1 e U Os vetores U 1 e U 2 da nova base possuem coordenadas e, respectivamente, em 0 1 relação ao novo sistema de coordenadas, {O, U 1, U 2 }. Pois, U 1 1 U U 2 e U 2 0 U U 2. Queremos saber quais as coordenadas destes vetores em relação ao sistema de coordenadas original, {O, E 1 (1, 0), E 2 (0, 1)}. Logo, U 1 U 2 [ [ Ou seja, U 1 e U 2 são as colunas da matri Q [ 1 0 [ [ 0 1 [ [ Rotação Suponha que o novo sistema de coordenadas {O, U 1, U 2 } seja obtido do sistema original {O, E 1 (1, 0), E 2 (0, 1)} por uma rotação de um ângulo θ. Observando a Figura 4, obtemos U 1 (cos θ, sen θ) U 2 ( sen θ, cos θ)

6 U 2 cos θ E 2 θ sen θ θ U 1 sen θ cos θ E 1 Figura 4: Rotação de um ângulo θ seja P (, ) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar e tais que U 1 + U 2 OP. A equação acima é equivalente ao sistema linear { (cos θ) (sen θ) (sen θ) + (cos θ) ou [ cos θ sen θ em que R θ e P sen θ cos θ [ [ R 1 θ P Rt θp R θ X P,. A solução é dada por [ cos θ sen θ sen θ cos θ [ O sistema de coordenadas que aparece nos dois primeiros eemplos desta seção podem ser obtidos por uma rotação de um ângulo θ π/6 em relação ao sistema original. A matri R θ é chamada matri de rotação. 1.2 Translação Vamos considerar, agora, o caso em que O O, ou seja, em que ocorre uma translação dos eios coordenados. Observando a Figura, obtemos Assim, se OO (h, k), então. (1) O P OP OO. (2) O P (, ) (, ) (h, k) ( h, k) 6

7 P O O Figura : Coordenadas de um ponto P em dois sistemas (translação) Logo, as coordenadas de P em relação ao novo sistema são dadas por [ [ h [P {O,E 1,E 2 }. (3) k O eio tem equação 0, ou seja, k e o eio, 0, ou seja, h. 7

8 Eercícios Numéricos 1.1. Encontre as coordenadas do ponto P com relação ao sistema de coordenadas S, nos seguintes casos: (a) S {O, (1/ 2, 1/ 2), (1/ 2, 1/ 2)} e P (1, 3); (b) S {O, (1/ 2, 1/ 2, 0), (0, 0, 1), (1/ 2, 1/ 2, 0)} e P (2, 1, 2); 1.2. Encontre o ponto P, se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S, [P S, são: [ 2 (a) [P S 1 (b) [P S 1.3. Sejam [P R 1 1 2, em que S {O, ( 1/ 2, 1/ 2), (1/ 2, 1/ 2)}., em que S {O, (0, 1/ 2, 1/ 2), (1, 0, 0), (0, 1/ 2, 1/ 2)}; as coordenadas de um ponto P em relação ao sistema de coordenadas R {O, i, j, k} e [P S S {O, U 1, U 2, U 3 }. Suponha que temos a seguinte relação: Quais são os vetores U 1, U 2 e U 3? /2 3/2 0 3/2 1/2, em relação ao sistema de coordenadas 1.4. Determine qual a rotação do plano em que as coordenadas do ponto P ( [ 3, 1) são 3. 1 Eercícios Teóricos 1.. Mostre que R θ1 R θ2 R θ1 +θ Podemos definir coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas definido por um ponto O e três vetores não coplanares V 1, V 2 e V 3 da mesma forma como fiemos quando os vetores são unitários e mutuamente ortogonais. As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas {O, V 1, V 2, V 3 } é definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O P como combinação linear dos vetores V 1, V 2 e V 3, ou seja, se O P V 1 + V 2 + V 3,. 8

9 então as coordenadas de P no sistema {O, V 1, V 2, V 3 } são dadas por [P {O,V 1,V 2,V 3 }. Assim, se O P (,, ), então V 1 + V 2 + V 3 O P pode ser escrito como [ V 1 V 2 V 3 (a) Mostre que a matri Q [ V 1 V 2 V 3 é invertível. (b) Mostre que as coordenadas de um ponto P no espaço em relação ao sistema {O, V 1, V 2, V 3 } estão bem definidas, ou seja,, e estão unicamente determinados e são dados por [P {O,V 1,V 2,V 3 } Q 1 Q 1 [P {O, i, j, k}. 9

10 2 Identificação de Cônicas Vamos determinar um ângulo θ tal que uma rotação de θ elimina o termo na equação transformando-a em a 2 + b + c 2 + d + e + f 0 (4) a 2 + c 2 + d + e + f 0. () Ou seja, faendo a mudança de coordenadas em (4) dada por [ [ [ cos θ sen θ sen θ cos θ para um ângulo θ adequado, obtemos a equação (). A equação (4) pode ser escrita na forma X t AX + K X + f 0, (7) [ a b/2 em que A, K [ d e [ e X. Faendo a mudança de coordenadas b/2 c [ dada por (6) (ou seja, X R θ X, em que X ) em (7) obtemos a equação X t BX + K X + f 0, [ a b em que B /2 b /2 c Rθ t AR θ e K [ d e KRθ. Agora, como a inversa de R θ é Rθ t, então a matri identidade I 2 Rθ t R θ e daí podemos deduir que det(b λi 2 ) det(r t θar θ λi 2 ) det(r t θar θ λr t θr θ ) det(r t θ(a λi 2 )R θ ) det(r t θ) det(a λi 2 ) det(r θ ) det(a λi 2 ). Assim, escolhido θ de forma que b 0, 2 obtemos que [ a det(a λi 2 ) det(b λi 2 ) det λ 0 0 c (λ a )(λ c ). λ Logo, os coeficientes a e c são as raíes da equação de 2 o grau [ a λ b/2 p(λ) det(a λi 2 ) det 0 (8) b/2 c λ Vamos, agora, determinar o ângulo θ. Observe que a matri R θ é tal que B R t θar θ. Multiplicando-se à esquerda pela matri R θ, obtemos R θ B AR θ. 2 Deiamos como eercício a verificação de que sempre eiste um ângulo θ tal que a mudança de coordenadas dada por X R θ X é tal que b 0 10 (6)

11 Por um lado, [ cos θ sen θ AR θ A sen θ cos θ [ [ cos θ A sen θ [ sen θ A cos θ, por outro lado [ cos θ sen θ R θ B sen θ cos θ [ a 0 0 c [ a [ cos θ sen θ c [ sen θ cos θ Como R θ B AR θ, então segue das das duas últimas equações acima que U 1 que Mas, esta equação pode ser escrita como ou AU 1 a U 1 AU 1 a I 2 U 1 (A a I 2 )U 1 0. Logo, U 1 é uma solução de norma igual a 1 do sistema linear [ cos θ sen θ é tal (A a I 2 )X 0 [ sen θ e U 2 é obtido de U cos θ 1 trocando-se as componentes de posição e depois o sinal da 1 a componente. Portanto, com a mudança de coordenadas dada por X R θ X, em que R θ [ U 1 U 2, a equação (4) se transforma em (). Os vetores U 1 e U 2 dão a direção e o sentido dos novos eios e U 2 U Figura 6: Elipse do Eemplo 2.1 Vamos resumir no próimo resultado o que acabamos de provar. 11

12 Teorema 2.1. Considere a equação a 2 + b + c 2 + d + e + f 0, (9) com a, b, c, d, e, f R, sendo a, b e c não simultaneamente nulos. Então por uma rotação do sistema de coordenadas, ou seja, por um mudança de coordenadas da forma em que X [ transformada em, X em que a, c são raíes de Mais ainda, U 1 [ cos θ sen θ [ X R θ X, [ cos θ sen θ e R θ a equação (9) pode sempre ser sen θ cos θ a 2 + c 2 + d + e + f 0, [ a λ b/2 p(λ) det b/2 c λ. é uma solução de norma igual a 1 do sistema linear [ a a b/2 b/2 c a [ [ 0 0. Eemplo 2.1. Vamos eliminar o termo na equação (10) através de uma rotação. Esta equação pode ser escrita da forma [ em que A X t AX 36 0,. Pelo que vimos, a e c são as raíes da equação [ λ 2 p(λ) det(a λi 2 ) det 2 8 λ λ 2 13λ Assim, podemos tomar a 4 e c 9. Para determinarmos os vetores U 1 e U 2 e por conseguinte o ângulo θ temos que resolver o sistema linear ou [ que tem solução geral (A 4I 2 )X [ [ 0 0 W 1 {(2α, α) α R} 12

13 Como (2α, α) 1 se, e somente se, α ±1/, então podemos tomar os vetores U 1 (cos θ, sen θ) (2/, 1/ ) U 2 ( sen θ, cos θ) ( 1/, 2/ ) para caracteriar os novos eios. Portanto a mudança de coordenadas dada pela rotação de θ arccos(2/ ) aplicada na equação (10) fornece a equação , que é a equação de uma elipse. Para faer o esboço do gráfico, em primeiro lugar temos traçar os eios e. O eio passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido do vetor U 1 e o eio passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido que U 2 (Figura 6). 7 6 " 4 3 " 2 1 U 2 U Figura 7: Elipse do Eemplo 2.2 Eemplo 2.2. Considere a cônica cuja equação é dada por (11) Vamos eliminar o termo através de uma rotação. Os coeficientes a, b e c são os mesmos do eemplo anterior. Pelo eemplo anterior, a 4 e c 9 e os vetores U 1 e U 2 que dão a direção e o sentido dos novos eios são dados por U 1 (cos θ, sen θ) (2/, 1/ ) U 2 ( sen θ, cos θ) ( 1/, 2/ ) O coeficiente f f e os coeficientes d e e são dados por K [ d e KRθ [ d e R θ [ [ [

14 Portanto a mudança de coordenadas dada pela rotação de θ arccos(2/ ) aplicada na equação (11) fornece a equação Ou ainda, Completando os quadrados, obtemos ou Faendo mais uma mudança de variáveis obtemos ou ( 2 2 ) + 9( 2 4 ) [( ) 1 + 9[( ) ( 1) 2 + 9( 2) e (12) 2 (13) que é a equação de uma elipse cujo esboço é mostrado na Figura 7. Para faer o esboço do gráfico, em primeiro lugar temos que traçar os eios e, que por sua ve são translações dos eios e. O eio tem a direção e o sentido do vetor U 1. O eio tem a direção e o sentido do vetor U 2. O eio tem equação 0. Usando a equação (12) obtemos 2. O eio tem equação 0. Usando a equação (13) obtemos 1. Deiamos como eercício para o leitor a demonstração do seguinte resultado que classifica o conjunto solução de todas as equações de segundo grau em duas variáveis. Teorema 2.2. Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfaem a equação a 2 + b + c 2 + d + e + f 0, com a, b, c, d, e, f R, sendo a, b e c não simultaneamente nulos. Sejam a e c raíes de [ a λ b/2 p(λ) det. b/2 c λ (a) O produto a c ac b 2 /4. (b) Se a c > 0, então C é uma elipse, um ponto ou o conjunto vaio. (c) Se a c < 0, então C é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes. (d) Se a c 0, então C é uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vaio. 14

15 2 a b 2 1, a > b Elipse 2 a b 2 1, a > b (0, a) (b, 0) ( a, 0) (a, 0) ( b, 0) (b, 0) ( b, 0) (0, a) b a 2 a 2 2 b 2 1 Hipérbole 2 a 2 2 b 2 1 b a a b a b (0, a) ( a,0) (a, 0) (0, a) 2 4p, p > 0 Parábola 2 4p, p > 0 r : p r : p 2 4p, p < 0 2 4p, p < 0 r : p r : p Figura 8: Cônicas não degeneradas com equações na forma padrão 1

16 Eercícios Numéricos Identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utiliado e faça um esboço do gráfico ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Eercícios usando o MATLAB Comandos do pacote GAAL: >> subst(epr,[;,[a;b) substitui na epressão epr as variáveis, por a,b, respectivamente. >> elipse(a,b) desenha a elipse a 2 b 2 >> elipse(a,b,[u1 U2) desenha a elipse 2 em relação à base ortonormal U1 e U a 2 b 2 1, em que e são as coordenadas >> elipse(a,b,[u1 U2,X0) desenha a elipse , em que e são as a 2 b 2 coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> hiperb(a,b) desenha a hipérbole 2 a 2 2 b 2 1. >> hiperb(a,b,[u1 U2) desenha a hipérbole 2 coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. a 2 2 b 2 1, em que e são as >> hiperb(a,b,[u1 U2,X0) desenha a hipérbole 2 2 1, em que e são as a 2 b 2 coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> hiperb(a,b) desenha a hipérbole 2 a 2 2 b 2 1. >> hiperb(a,b,[u1 U2) desenha a hipérbole 2 coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. 16 a 2 2 b 2 1, em que e são as

17 >> hiperb(a,b,[u1 U2,X0) desenha a hipérbole 2 2 1, em que e são as a 2 b 2 coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> parab(p) desenha a parábola 2 4p. >> parab(p,[u1 U2) desenha a parábola 2 4p, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. >> parab(p,[u1 U2,X0) desenha a parábola 2 4p, em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0. >> parab(p) desenha a parábola 2 4p. >> parab(p,[u1 U2) desenha a parábola 2 4p, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. >> parab(p,[u1 U2,X0) desenha a parábola 2 4p, em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X Use o MATLAB para resolver os Eercícios Numéricos Eercícios Teóricos Considere o polinômio p(λ) det(a λi 2 ), em que A [ a b/2 b/2 c. (a) Mostre que p(λ) tem somente raíes reais. (b) Mostre que se b 0, então as raíes são distintas, ou seja, a c. (c) Sejam a e c raíes distintas de p(λ). Mostre que se X 1 é solução de (A a I 2 )X 0 e X 2 é solução de (A c I 2 )X 0, então X 1 e X 2 são ortogonais. (Sugestão: Mostre que a X 1 X 2 c X 1 X 2 ) (d) Mostre que se X (, ) é ortogonal a V (v 1, v 2 ) com X V, então X ( v 2, v 1 ) ou X (v 2, v 1 ). [ a (e) Mostre que sempre eiste um ângulo θ tal que Rθ t AR 0 θ 0 c e portanto tal que a mudança de coordenadas dada por X QX transforma (4) em ( na página Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfaem a equação a 2 + b + c 2 + d + e + f 0, com a, b, c, d, e, f R, sendo a, b e c não simultaneamente nulos. Sejam a e c raíes de [ a λ b/2 p(λ) det. b/2 c λ [ a b/2 (a) Mostre que a c ac b 2 /4 p(0) det. b/2 c 17

18 (b) Mostre que se a c > 0, então C é uma elipse, um ponto ou o conjunto vaio. (c) Mostre que se a c < 0, então C é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes. (d) Mostre que se a c 0, então C é uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vaio. 18

19 3 Identificação de Quádricas Vamos determinar uma mudança de coordenadas que elimina os termos, e na equação transformando-a em a 2 + b 2 + c 2 + d + e + f + g + h + i + j 0, (14) a 2 + b 2 + c 2 + g + h + i + j 0. (1) Ou seja, faendo uma mudança de coordenadas em (14) dada por Q, (16) em que Q [ U 1 U 2 U 3, para vetores U 1, U 2 e U 3 unitários e ortogonais, escolhidos adequadamente, obtemos a equação (1). A equação (14) pode ser escrita na forma X t AX + K X + j 0, (17) a d/2 e/2 em que A d/2 b f/2, K [ g h i e X. Faendo a mudança de e/2 f/2 c coordenadas dada por (16) (ou seja, X QX, em que X ) em (17) obtemos a equação X t BX + K X + j 0, a d /2 e /2 em que B d /2 b f /2 Q t AQ e K [ g h i KQ. Agora, como a inversa e /2 f /2 c de Q é Q t, então a matri identidade I 2 Q t Q e daí podemos deduir que det(b λi 3 ) det(q t AQ λi 3 ) det(q t AQ λq t Q) det(q t (A λi 3 )Q) det(q t ) det(a λi 3 ) det(q) det(a λi 3 ). Assim, escolhida a matri Q de forma que d e f 0, 3 obtemos que a λ 0 0 det(a λi 3 ) det(b λi 3 ) det 0 b λ 0 (λ a )(λ b )(λ c ). 0 0 c λ Logo, os coeficientes a, b e c são as raíes da equação de 2 o grau a λ d/2 e/2 p(λ) det(a λi 3 ) det d/2 b λ f/2 0 (18) e/2 f/2 c λ 3 Pode-se mostrar que sempre eiste uma matri Q tal que a mudança de coordenadas dada por X QX é tal que d e f 0. Deiamos como eercício a prova da eistência de uma tal matri Q no caso em que p(λ) det(a λi 3 ) tem três raíes reais distintas. A demonstração do caso geral pode ser encontrada por eemplo em [4. 19

20 Vamos, agora, determinar a matri Q. Observe que a matri Q é tal que B Q t AQ. Multiplicando-se à esquerda pela matri Q, obtemos Por um lado, por outro lado QB AQ. AQ A [ U 1 U 2 U 3 [ AU 1 AU 2 AU 3, QB [ U 1 U 2 U 3 Assim, U 1, U 2 e U 3 satisfaem as equações A 1 a equação pode ser escrita como ou a b c [ a U 1 b U 2 c U 3 AU 1 a U 1, AU 2 b U 2 e AU 3 c U 3. AU 1 a I 3 U 1 (A a I 3 )U 1 0. Logo, U 1 é uma solução de norma igual a 1 do sistema linear (A a I 3 )X 0. Analogamente, U 2 é uma solução de norma igual a 1 do sistema linear (A b I 3 )X 0, que seja ortogonal a U 1. Análogo também é o caso do terceiro vetor U 3. Mas como já temos dois vetores ortogonais U 1 e U 2, então U 3 pode ser tomado igual ao produto vetorial de U 1 por U 2, U 3 U 1 U 2. Portanto com a mudança de coordenadas dada por X QX, para Q [ U 1 U 2 U 3, a equação (14) se transforma na equação (1). Os vetores U 1, U 2 e U 3 dão a direção e o sentido dos novos eios, e. Vamos resumir no próimo resultado o que acabamos de provar. 20

21 Teorema 3.1. Considere a equação a 2 + b 2 + c 2 + d + e + f + g + h + i + j 0, (19) com a, b, c, d, e, f, g, h, i, j R, sendo a, b, c, d, e e f não simultaneamente nulos. Então por uma mudança de coordenadas tal que em que X transformada em, X em que a, b, c são raíes de X QX, e Q [ U 1 U 2 U 3 a equação (19) pode sempre ser a 2 + b 2 + c 2 + g + h + i + j 0, p(λ) det a λ d/2 e/2 d/2 b λ f/2 e/2 f/2 c λ Mais ainda, U 1 é uma solução de norma igual a 1 do sistema linear a a d/2 e/2 0 d/2 b a f/2 0, e/2 f/2 c a 0 U 2 é uma solução de norma igual a 1 do sistema linear a b d/2 e/2 d/2 b b f/2 e/2 f/2 c b e U 3 U 1 U Eemplo 3.1. Considere a quádrica de equação Esta equação pode ser escrita como em que A 2 2 (20) X t AX 0,

22 U 2 U 3 U 1 Figura 9: Cone circular do Eemplo 3.1 As raíes de p(λ) det(a λi 3 ) det 1 λ λ λ (1 λ)λ 2 (1 λ) (1 λ)(λ 2 1) são a b 1 e c 1. A forma escalonada reduida de A I Portanto a solução geral de (A I 3 )X 0 é é W 1 {(β, α, α) α, β R}, Agora, (α, β, β) α(1, 0, 0) + β(0, 1, 1). Assim, toda solução do sistema é combinação linear de V 1 (1, 0, 0) e V 2 (0, 1, 1). Como a b teremos que encontrar dois vetores U 1 e U 2 unitários e ortogonais que são solução de (A I 3 )X 0. Os vetores V 1 e V 2 já são ortogonais e assim podemos tomar ( ) 1 U 1 V 1 V 1 (1, 0, 0) U 2 V 1 ( 1 V 2 U 3 U 1 U 2 ) V 2 (0, 1/ 2, 1/ 2) ( 0, 1/ 2, 1/ ) 2. Portanto com a mudança de coordenadas dada por X QX, para Q [ U 1 U 2 U 3, a equação (20) se transforma em , 22

23 ou , que é a equação de um cone circular no novo sistema de coordenadas. Eemplo 3.2. Considere a quádrica de equação (21) Esta equação pode ser escrita como X t AX 6 0, em que As raíes de A p(λ) det(a λi 3 ) det λ λ λ (7 λ) 2 (10 λ) + 8 (10 λ) 8(7 λ) (10 λ)[(7 λ) 2 1 8(6 λ) (10 λ)(6 λ)(8 λ) 8(6 λ) (6 λ) 2 (12 λ) são a b 6 e c 12. A forma escalonada reduida de A 6I Portanto a solução geral de (A 6I 3 )X 0 é é W 1 {( α + 2β, β, α) α, β R}, Agora, ( α + 2β, β, α) α( 1, 0, 1) + β(2, 1, 0). Assim, toda solução do sistema é combinação linear de V 1 ( 1, 0, 1) e V 2 (2, 1, 0). Como a b teremos que encontrar dois vetores U 1 e U 2 unitários e ortogonais que são solução de (A 6I 3 )X 0. O vetor W 2 V 2 proj V1 V 2 (1, 1, 1) é ortogonal a V 1 e assim podemos tomar ( ) 1 U 1 V 1 ( 1/ 2, 0, 1/ 2) V 1 ( ) 1 ( U 2 W 2 1/ 3, 1/ 3, 1/ ) 3 W 2 U 3 U 1 U 2 ( 1/ 6, 2/ 6, 1/ 6). 23

24 Portanto com a mudança de coordenadas dada por X QX, para Q [ U 1 U 2 U 3, a equação (21) se transforma em ou /2 1, que é a equação de um elipsóide de revolução no novo sistema de coordenadas. U 1 U 2 U 3 Figura 10: Elipsóide de revolução do Eemplo 3.2 Figura 11: Novo sistema de coordenadas do Eemplo 3.2 Deiamos como eercício para o leitor a demonstração do seguinte resultado que classifica o conjunto solução de todas as equações de segundo grau em três variáveis. Teorema 3.2. Seja S o conjunto dos pontos do espaço que satisfaem a equação a 2 + b 2 + c 2 + d + e + f + g + h + i + j 0, com a, b, c, d, e, f, g, h, i, j R, sendo a, b, c, d, e e f não simultaneamente nulos. Sejam a, b e c raíes de a λ d/2 e/2 p(λ) det d/2 b λ f/2. e/2 f/2 c λ (a) Se a, b e c tiverem mesmo sinal, então S é um elipsóide, um ponto ou o conjunto vaio. (b) Se a, b e c forem não nulos e não tiverem mesmo sinal, então S é uma hiperbolóide de uma folha, de duas folhas, ou um cone elíptico. (c) Se apenas um entre a, b e c for nulo, então S é um parabolóide elíptico, hiperbólico, um cilindro elíptico, hiperbólico, dois planos concorrentes, uma reta ou o conjunto vaio. (d) Se eatamente dois entre a, b e c forem nulos, então S é um cilindro parabólico, um par de planos paralelos ou um plano. 24

25 Elipsóide 2 a b c 1 2 Hiperbolóide de Uma Folha 2 a b 2 2 c 1 2 Hiperbolóide de Duas Folhas 2 a 2 2 b c 2 1 Parabolóide Elíptico c 2 a b 2, c > 0 Parabolóide Hiperbólico 2 c a 2 2 b, c < 0 2 Cone Elíptico 2 2 a b 2 Figura 12: Algumas Quádricas não degeneradas com equações na forma padrão 2

26 Eercícios Numéricos Identifique a quádrica, ache a equação no último sistema de coordenadas utiliado e faça um esboço do gráfico ; ; ; ; ; Eercícios usando o MATLAB Comandos do pacote GAAL: >> subst(epr,[;;,[a;b;c) substitui na epressão epr as variáveis,, por a,b,c, respectivamente. >> elipso(a,b,c) desenha o elipsóide a 2 b 2 c 2 >> elipso(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o elipsóide 2 as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U a 2 b 2 c 2 1, em que e são >> elipso(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o elipsóide , em que a 2 b 2 c 2 e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> hiperbo1(a,b,c) desenha o hiperbolóide de uma folha a 2 b 2 c 2 >> hiperbo1(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o hiperbolóide de uma folha 2 1, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. >> hiperbo1(a,b,[u1 U2 U3,X0) desenha o hiperbolóide de uma folha a 2 b 2 c 2 a b 2 c 2 1, em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> hiperbo1(a,b,c) desenha o hiperbolóide de uma folha a 2 b 2 c 2 >> hiperbo1(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o hiperbolóide de uma folha 2 1, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. >> hiperbo1(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o hiperbolóide de uma folha a 2 b 2 c 2 a b 2 c 2 1, em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> hiperbo1(a,b,c) desenha o hiperbolóide de uma folha a 2 b 2 c 2 >> hiperbo1(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o hiperbolóide de uma folha 2 1, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U a 2 b 2 c 2 >> hiperbo1(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o hiperbolóide de uma folha a 2 b 2 2 1, em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas c 2 determinado pela base ortonormal U1,U2 e U3 e pelo ponto X0. 26

27 >> hiperbo2(a,b,c) desenha o hiperbolóide de duas folhas a 2 b 2 c 2 >> hiperbo2(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o hiperbolóide de duas folhas 2 1, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U a 2 b 2 c 2 >> hiperbo2(a,b,[u1 U2 U3,X0) desenha o hiperbolóide de duas folhas 2 2 a 2 b 2 2 1, em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas c 2 determinado pela base ortonormal U1,U2 e U3 e pelo ponto X0. >> hiperbo2(a,b,c) desenha o hiperbolóide de duas folhas a 2 b 2 c 2 >> hiperbo2(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o hiperbolóide de duas folhas a 2 b 2 c 2 1, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U3. >> hiperbo2(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o hiperbolóide de duas folhas 2 + a , em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas b 2 c 2 determinado pela base ortonormal U1,U2 e U3 e pelo ponto X0. >> hiperbo2(a,b,c) desenha o hiperbolóide de duas folhas a 2 b 2 c 2 >> hiperbo2(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o hiperbolóide de duas folhas a 2 b 2 c 2 1, em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U3. >> hiperbo2(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o hiperbolóide de duas folhas 2 a , em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas b 2 c 2 determinado pela base ortonormal U1,U2 e U3 e pelo ponto X0. >> parabo1(a,b,c) desenha o parabolóide elíptico a 2 b c 2. >> parabo1(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o parabolóide elíptico a 2 e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2. b c 2, em que >> parabo1(a,b,[u1 U2 U3,X0) desenha o parabolóide elíptico a 2 + 2, em b 2 c 2 que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. >> parabo1(a,b,c) desenha o parabolóide elíptico b a 2 c 2 >> parabo1(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o parabolóide elíptico b 2 que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U a 2 c 2 1, em >> parabo1(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o parabolóide elíptico b , a 2 c 2 em que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1,U2 e U3 e pelo ponto X0. >> parabo1(a,b,c) desenha o parabolóide elíptico c a 2 b 2 >> parabo1(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o parabolóide elíptico c 2 e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U3. a b 2, em que >> parabo1(a,b,c,[u1 U2 U3,X0) desenha o parabolóide elíptico c 2 + 2, em a 2 b 2 que e são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1,U2 e U3 e pelo ponto X0. >> parabo2(a,b,c) desenha o parabolóide hiperbólico a 2 b 2 2 c 2 1. >> parabo2(a,b,c,[u1 U2 U3) desenha o parabolóide hiperbólico a 2 em que e são as coordenadas em relação à base ortonormal U1,U2 e U3. 27 b 2 2 c 2 1,