Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas

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1 Eercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas ) (ITA-004) Considere todos os números z = + i que têm módulo e estão na elipse + 4 = 4. Então, o produto deles é igual a ) (VUNESP-00) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de, m de largura, separadas por uma pista de m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de ecentricidade 0,94; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaio da lâmpada, no meio da rua; III. o eio menor da elipse, perpendicular à calçada, tem eatamente a largura da rua (calçadas e pist. Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas etremidades dos eios maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproimadamente: Dado: 0,94 0, 889 e 0, 0, ) (UFC-00) A elipse F do plano cartesiano obtida da elipse E: = 0 por uma translação que leva os focos de E em pontos eqüidistantes da origem e sobre o eio o admite uma equação igual a: = + + = + = 49 4) (Unicamp-99) Dada uma elipse de semi-eios a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eios da elipse. ) (ITA-00) A distância focal e a ecentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (, 0) e (0, -)são, respectivamente, e e e e e ) (UEL-00) Um quadrado está inscrito em uma elipse cujos semi-eios medem a e b. Sabendo-se que cada lado do quadrado é paralelo a um dos eios da elipse, calcule a área do quadrado. a b a a b b 4a b 4a b a b a b 4a b ) (Vunesp-000) Considere a elipse de equação 9. Mostre que o ponto P = (, ) pertence à elipse e calcule a distância de P ao eio das abscissas. Projeto Rumo ao ITA

2 Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eio das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, onde P = (, ). 8) (FGV-00) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas = cost e = sent com t R é: uma senóide uma cossenóide uma hipérbole uma circunferência uma elipse 9) (ITA-99) Tangenciando eternamente a elipse e, tal que e : =0, considere uma elipse e, de eio maior sobre a reta que suporta o eio menor de e e cujos eios têm a mesma medida que os eios de e. Sabendo que e está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de e é: (,) (8,) (8,) (9,) (9,) 9 0) (Fuvest-00) A elipse + = 4 e a reta = +, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é: (-/, -/) (/, -/) (/, -/) (-/, /) (-/4, /) ) (VUNESP-008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproimadamente pela equação +, com e em milhões de 00 quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede 4. A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: ) (UFPB-00) A planta baia de um projeto paisagístico encontra-se ilustrada na figura ao lado. A região hachurada corresponde à parte gramada e está limitada: internamente, pela circunferência que passa pelo ponto (,0), com centro na origem; e, eternamente, pela elipse centrada na origem, com dois de seus vértices nos pontos (4,0) e (0,). A região hachurada pode ser descrita pelo conjunto: { (, ) R + 4 } { (, ) R } { (, ) R + 4 e } { (, ) R + 4 ou } { (, ) R + 4 e } f) { (, ) R + 4 } ) (Vunesp-00) A equação da elipse de focos F = (-, 0), F = (, 0) e eio maior igual a é dada por : Projeto Rumo ao ITA

3 ) (Unifesp-004) A área sombreada na figura, limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é ( ) ( ) 9 (-) + (-) ( ) 9 ( ) ( ) ( 4) ) (AFA-998) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente com os pontos A(-,) e B(,), determina triângulos com perímetro p cm é uma elipse. parábola. hipérbole. circunferência ) (UFPB-98) As coordenadas dos focos da cônica, de equação, são: (, 0) e (, 0) (0, ) e (0, ) (0, ) e (0, ) (, 0) e (, 0) (0, ) e (, 0) ) (Vunesp-00) A figura representa uma elipse. 8) (AFA-999) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaio, é ( 4) ( ) 9. ( ) ( ) 9. ( ) ( ) 9. ( ) ( ) 9. 9) (UFC-00) O número de pontos de interseção das curvas + = 4 e é igual a: 0 4 0) (Unicamp-99) Uma elipse que passa pelo ponto (0,) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto (0,-) é interior, eterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto (, ). Justifique sua resposta. Projeto Rumo ao ITA

4 ) (Faap-99) BAILADO RUSSO (Guilherme de Almeid A mão firme e ligeira puou com força a fieira: e o pião fez uma elipse tonta no ar e fincou a ponta É o pião com sete listas de cores imprevistas. Porém, nas suas voltas doudas, não mostra as cores todas que tem: - fica todo cinzento, no ardente movimento... E até parece estar parado, teso, paralisado, de pé. Mas gira. Até que, aos poucos, em torvelins tão loucos assim, já tonto, bamboleia, e bambo, cambaleia... Enfim, tomba. E, como uma cobra, corre mole e desdobra então, em hipérboles lentas, sete cores violentas Mas como o poeta qualifica TONTA a elipse, podemos interpretar que ela: descreveu um círculo irregular saltou bruscamente para o alto caiu ao contrário saiu em linha reta descreveu uma diagonal ao solo ) (Cesgranrio-998) O gráfico que melhor representa a curva de equação + é: ) (Unitau-99) A área de uma elipse de semi-eios a e b é dada pela fórmula: S = a + b. S = (a + b ). S = a b S = a/b. S = ab. 4) (UFPE-99) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada: circunferência. parábola. hipérbole. elipse. reta. ) (Faap-99) BAILADO RUSSO (Guilherme de Almeid A mão firme e ligeira puou com força a fieira: e o pião fez uma elipse tonta no ar e fincou a ponta É o pião com sete listas de cores imprevistas. Porém, nas suas voltas doudas, não mostra as cores todas que tem: - fica todo cinzento, no ardente movimento... E até parece estar parado, teso, paralisado, de pé. Mas gira. Até que, aos poucos, em torvelins tão loucos assim, já tonto, bamboleia, e bambo, cambaleia... Enfim, tomba. E, como uma cobra, corre mole e desdobra então, em hipérboles lentas, sete cores violentas "Fez uma elipse tonta no ar... ". Elipse é uma curva: 4 Projeto Rumo ao ITA

5 fechada em que é constante a soma das distâncias de cada um dos seus pontos a dois pontos fios, chamados focos. aberta na qual cada um dos pontos é eqüidistante de um ponto fio e de uma reta fia chamada diretriz. fechada na qual é constante a diferença das distâncias de cada um dos seus pontos a dois pontos fios chamados focos. fechada na qual os pontos se acham todos a igual distância de um ponto fio chamado centro. fechada que se afasta cada vez mais do seu ponto de partida, fazendo certo número de revoluções em volta desse ponto. ) (ITA-998) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas equações são, respectivamente, ( + ) - 4( - ) = -0 e ( - ) = 4( - ) Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T, é: A elipse de equação ( ) 4 ( ) ( ) ( ) A hipérbole de equação 4 O par de retas dadas por = (-) A parábola de equação = 4+ 4 A circunferência centrada em (9, ) e raio 0 ) (UFC-00) No plano cartesiano, a hipérbole intersecta uma circunferência em quatro pontos distintos A, B, C e D. Calcule o produto das abscissas dos pontos A, B, C e D. 8) (AFA-999) O valor da ecentricidade da cônica ( ) ( ) 4 9 é 9) (UFSCar-000) A equação que mais aproimadamente é representada pela curva ao lado é:. + - = 0. = 0. - = = 0. 0) (Mauá-00) Precisa-se projetar um canal retilíneo para a ligação entre dois rios situados numa região plana. Nessa região, a representação matemática do curso de um dos rios é dada pela equação = e a do outro, pela equação = -. Admitindo-se que o canal possa ser construído em qualquer lugar entre os dois rios, qual seu menor comprimento possível? ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola = com a circunferência de centro na origem e raio. Quais as coordenadas dos pontos A e B? Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos A Pˆ B. ) (FUVEST-00) A função f : IR IR tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(+) f() = -, para todo número real. Então, o menor valor de f() ocorre quando é igual a 0 ) (UNIFESP-00) A parábola = - t + tem vértice no ponto ( t, t ). O lugar geométrico dos Projeto Rumo ao ITA

6 vértices da parábola, quando t varia no conjunto dos números reais, é uma parábola. uma elipse. um ramo de uma hipérbole. uma reta. duas retas concorrentes. 4) (Vunesp-00) Fiado um sistema de coordenadas ortogonais em um plano, considere os pontos O(0, 0), A(0, ) e a reta r de equação = -. Se a distância do ponto Q( 0, ) ao ponto A é igual à distância de Q à reta r, obtenha o valor de 0, supondo 0 > 0. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P(, ) desse plano, cuja distância até o ponto A é igual à distância até a reta r. ) (Vunesp-004) O conjunto de todos os pontos P(,) do plano, com 0, para os quais e satisfazem a equação sen 0 é uma família de parábolas. família de circunferências centradas na origem. família de retas. parábola passando pelo ponto Q(0, ). circunferência centrada na origem. 8) (Mack-00) A reta = é tangente à curva = + b, b0. Se m e p são as abscissas dos pontos em que a curva encontra o eio O, m + p vale - - 9) (UFPB-00) Uma reta tem coeficiente angular m=- 4 0 e passa pelo vértice da parábola. Sua equação cartesiana é: f) ) (PUC-PR-00) Na figura seguinte, temos representadas as funções definidas por = e =. A região hachurada é definida por: ) (UNIFESP-00) A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB. A altura do arco em centímetros, em um ponto da base que dista cm de M, é {(,) R 0 e } {(,) R 0 e } {(,) R 0 e } {(,) R 0 e } {(,) R 0 e } ) (UFC-00) Encontre as equações das retas tangentes à parábola = que passam pelo ponto (0, ). Projeto Rumo ao ITA

7 Gabarito ) Alternativa: B ) Alternativa: B ) Alternativa: A 4) Resp: área = 4a a b b ) Alternativa: E (apenas se considerarmos que os eios da elipse são paralelos aos eios coordenados. Caso contrário a elipse não está definid ) Alternativa: D ) Substituindo o ponto (, ) na equação da elipse, obtemos. A distância do ponto P ao eio das abscissas é. Q = (-, 0) e R = (, 0) e a Área pedida é de u 8) Alternativa: E 9) Alternativa: D 0) Alternativa: D ) Alternativa: B ) Alternativa: C ) Alternativa: B 4) Alternativa: C ) Alternativa: C ) Alternativa: B ) Alternativa: A 8) Alternativa: D 9) Alternativa: C ) Alternativa: A ) Alternativa: C ) Alternativa: E 4) Alternativa: D ) Alternativa: A ) Alternativa: E ) Pelas relações de Girard entre coeficientes e raízes de equações polinomiais, segue que seu produto é igual a. 8) Alternativa: B 9) Alternativa: A 0) Resposta: 8 (,4) unidades de comprimento. ) A(, ) e B( -, ) 4 o e o ) Alternativa: C ) Alternativa: A 4) ( + ) ) Alternativa: A ) Alternativa: A ) Resposta: = ou =. 8) Alternativa: D 9) Alternativa: A 40) Alternativa: E 0) O ponto (0, ) pertence à elipse, e o ponto (/;,) é eterno a ela. Isso é facilmente comprovado obtendo-se a equação da elipse, e substituindo-se os pontos dados. No primeiro caso, a substituição resulta em, portanto pertence à elipse. No segundo caso, a substituição resulta em valor maior que portanto é eterno. Projeto Rumo ao ITA