Curso: Engenharia de Produção PPNL. Min (Max) f(x)

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2 PPNL Min (Max) f(x). a. g i (x) (,, ) b i, i 1,,m onde x (x 1,,x n ) T é o veto n-dimenional da vaiávei de decião; f (x) é a função objetivo; g i (x) ão a funçõe de etição e o b i ão contante conhecida.

3 Conjunto Convexo Definição: Um conjunto S R n é convexo e cada ponto, no egmento de linha conectando doi ponto quaique x, y em S, etá também em S. Fomalmente: z x (1 - λ)y S paa todo λ tal que 0 λ 1.

4 Exemplo x x y x y y

5 Otimização e Conjunto Convexo Seja S { x R n : g i (x) b i, i 1,,m } Se g i (x) é uma função convexa paa cada i 1,, m, então S é um conjunto convexo.

6 Teoema da Pogamação Convexa: Seja x R n e eja f (x) uma função convexa definida obe um um conjunto convexo S. Se exite uma olução finita paa o poblema Min (Max) { f (x): x S } Então todo o ótimo local é global. Se f(x) é etitamente convexa então a olução ótima é única.

7 Pogamação Convexa Min (Max) f (x 1,,x n ). a g i (x 1,,x n ) b i paa i 1,,m e x 1 0,, x n 0 é um poblema convexo e f é convexa (côncava) e cada g i é convexa (côncava).

8 Exemplo Max f (x) z (x ) (y ) Sujeito a 3x y x y 3 x y 7 x 3y 4 x x 1

9 Poblema Não Convexo Min f (x) -14x -0,9y. a 3x 13/x 0,8y 1,7 x y 30 x 7 x, y 0

10 Condiçõe de Otimalidade de Pimeia Odem Min (Max) {f (x): g i (x) bi, i 1,,m } Lagangiano: L(x, λ) f(x) Condiçõe de Otimalidade λ i g Etationaidade: L(x, λ) f(x) λ i g i (x) 0 Complementaidade: λ i g i (x) 0, i 1,,m Viabilidade: g i (x) bi, i 1,,m ( (x) b) Não negatividade: λ i 0, i 1,,m m i 1 i i m i 1

11 Impotância do Poblema Convexo Softwae de otimização comeciai não podem gaanti que a olução é globalmente ótima e o poblema não é convexo. O algoitmo de PNL tentam enconta um ponto onde o gadiente da função Lagangiana é zeo um ponto etacionáio e exita uma folga completmenta.

12 Dado L(x, µ) f(x) µ(g(x) b) Queemo L(x, µ) f(x) µ g(x) 0 λ(g(x) b) 0 g(x) b 0, λ 0 Paa um poblema convexo, toda a olução local é um ótimo global.

13 Exemplo: pacote potal Um pacote potal é uma caixa de dimenõe x, y, z, que deve atende a eguinte etição paa pode e enviado via coeio. A altua e mai o peímeto da bae não pode excede 108 cm. O objetivo é obte um pacote com o maio volume poível cuja dimenõe atendam a epecificaçõe do coeio.

14 Solução via Lagangiano Max V(x, y, z) xyz. a. x y z 108 x 0, y 0 e z 0

15 L(x, y, z, λ) xyz λ(x y z 108) Deivando e igualando a zeo a deivada paciai em elação a cada vaiável, incluive λ.

16 L x L y yz xz λ λ L z L λ xy λ x y z 108 Igualando ea expeõe a zeo, tem-e:

17 yz λ 0 λ yz xz λ 0 λ xz xy λ 0 λ xy x y z x y z 108 Aim, concluí-e que: z y e z x. Logo x y. Subtituindo ee eultado na quata equação, tem-e:

18 x y z 108 x x x 108 x 108 x18. Logo y 18 e z 3.

19 Exemplo: pojeto de um tanque Queemo contui um tanque na foma de um cilindo fechado tanto em cima quanto embaixo. O volume do tanque deve e máximo e a áea da upefície total não deve e upeio a unidade.

20 Modelagem Max V(, h) h. a. h 0, h 0 h

21 Solução via Cálculo 1/ h egue que :,. Subtituindo h Como 0 d dv 0 d dv. h V h

22 Ea é uma olução global ótima? Em eumo 3 / 3 / 1/ 1 1/ 1/ 1/ V é :,ito h V eá : o volume que foma egue Dea. h e

23 Tete de Convexidade Temo V ito é,v() dv() Aim d d d V() h paa todo 0.. Como V( ) é côncava em R 3, a olução encontada é um máximo global. d d V() 3

24 Reolução pelo Lagangiano Dado o poblema: Max V(, h) h. a. h O Lagangiano eá: L(, h) h λ( h ). Deivando ea expeão em elação a, h e λ, tem-e:

25 L L h L λ h 4λ λh λ h Igualando ea expeõe a zeo, tem-e: h 4λ λh λ 0 h 0 0 Manipulando a egunda equação: ( λ λ 0 λ) 0

26 Subtituindo ee eulltado na pimeia equação, egue que: h 4λ λh 0 (h 4λ λh) 0 h 4λ λh 0 h h 0 h 0 h Subtituindo agoa na teceia equação, vem:

27 Como h, egue que: 1/ 4 h 0 h 1/ h

28 Solução pelo Solve h 1,30,1 3 Max 13,90 Sinal LD R 3 3 Paa utiliza o Solve o valo de deve e fixado. Nee cao: 3.

29 Execício: áea de decano O depatamento de Etada e Rodagen planeja contui uma áea de decano paa o motoita ao longo de uma longa autoetada. Ela deve e etangula, com uma áea de 5000 meto quadado, e deveá e cecada no tê lado nãoadjacente à etada. Qual é a meno quantidade de ceca que eá neceáia paa completa o tabalho?

30 Modelagem Min x y. a. xy 5000 x 0, y 0 Reolve po cálculo e via Lagangiano.

31 Refeência BERTSEKAS, Dimiti P. Nonlinea Pogamming. Belmont (MA): Athena Scientific, WINSTON, Wayne L. Opeation Reeach: Application and Algoithm. 3 ed. Belmont (CA): Duxbuy Pe, 1994.