Material Teórico - Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 1. Conceitos Geométricos Básicos. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

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1 Mateial Teóico - Módulo Elemento áico de Geometia Plana - Pate 1 Conceito Geomético áico itavo no Pof. Ulie Lima Paente

2 1 Conceito pimitivo ideia de ponto, eta e plano apaecem natualmente quando obevamo a geometia em noo cotidiano. Po exemplo, numa patida de futebol, podemo pena o vinte e doi jogadoe em campo como ponto, a linha que dividem o campo como eta, e o campo de jogo como um plano. ( = ) ( ) Figua 3: poiçõe elativa de doi ponto. Em elação a um ponto e uma eta, dua coia podem acontece: ou o ponto etá obe a eta, ou não. quado abaixo coloca ea dua poibilidade com um pouco mai de detalhe. Figua 1: a geometia num campo de futebol. Matematicamente falando, um conceito pimitivo é um conceito que não neceita de uma definição fomal. Em Geometia, admitimo a noçõe de ponto, eta e plano como conceito pimitivo. Denotaemo o ponto do plano po leta latina maiúcula e a eta po leta latina minúcula. im é que, na figua 2,, e C ão ponto, ao pao que, e t ão eta. C t Dado, no plano, um ponto e uma eta, ou petence à eta, em cujo cao ecevemo, ou não petence à eta, em cujo cao ecevemo /. figua 4 iluta o doi cao acima. ( ) ( / ) Figua 4: poiçõe elativa de uma eta e um ponto. Figua 2: ponto e eta no plano. Começamo noo etudo de Geometia examinando a poiçõe elativa de doi ponto: Dado doi ponto e no plano, ou e ão coincidente (i.e., e denotam um memo ponto) ou ditinto (i.e., difeente). No pimeio cao, ecevemo = ; no egundo, ecevemo. figua 3 iluta ea dua poibilidade: à equeda, temo o ponto coincidente e, ao pao que à dieita e ão ponto ditinto. Dado doi ponto ditinto no plano, noa expeiência com a geometia do dia-a-dia ugee que deve exiti uma eta que paa po ambo, e que tal eta deve e única. Ee é de fato o cao, e tal popiedade é uma da bae paa todo o deenvolvimento da Geometia. Po io, a iolamo no quado a egui: Dado ponto no plano, exite uma única eta que o contém, e que eá denotada, po veze, po. figua 5 mota a eta =, deteminada pelo ponto ditinto e do plano. 1 matematica@obmep.og.b

3 Figua 5: eta deteminada pelo ponto e. Figua 7: egmento de eta. 2 Semieta e egmento de eta Dado uma eta e um ponto, temo que divide em doi pedaço, conhecido como a emieta de oigem. Se ecolhemo ponto e em cada uma dea emieta, podeemo denotá-la po e, de tal foma que é o pedaço de que começa em e contém, enquanto é o pedaço que começa em e contém. Veja a figua 6. Dado, no plano, doi ponto ditinto e, definimo a ditância ente ele como a medida do egmento. ponto médio de um egmento é o ponto M, tal que M = M. (Veja a figua 8.) M Figua 8: ponto médio do egmento. Figua 6: emieta definida po. Dado ponto, podemo conidea a eta que o contém. egmento de eta é a poção da eta delimitada pelo ponto e. Em paticula, conideamo o ponto e como integante do egmento. ponto e ão a extemidade do egmento. Na figua 7, macamo de peto a poção da eta coepondente ao egmento. medida ou compimento do egmento de eta é denotada po. Paa compaa a medida de doi egmento dado, podemo pocede confome decito a egui. Dado doi egmento de eta, paa abe qual dele tem medida maio, ou e o doi têm medida iguai, bata toma a medida de um dele utilizando um compao e compaa com a medida do outo. 3 Poiçõe elativa de dua eta o analiamo a poívei poiçõe elativa de dua eta ditinta e no plano, obevamo dua poibilidade podem ocoe: ou e têm algum ponto em comum, ou e não têm ponto em comum. Se a eta ditinta e têm algum ponto em comum, afimamo que ela têm exatamente um ponto em comum. ealmente, e ee não foe o cao, então e teiam pelo meno doi ponto em comum, e, digamo. Ma, confome vimo anteiomente, exite uma única eta paando po doi ponto ditinto, de foma que deveíamo te = =. Como ee não é o cao, concluímo que e têm exatamente um ponto em comum. doi quado a egui detacam a dua poiçõe elativa poívei de dua eta ditinta do plano. Se a eta e não têm ponto em comum, dizemo que ela ão eta paalela. Ecevemo paa denota que e ão paalela. 2 matematica@obmep.og.b

4 4 Cicunfeência e cículo Dadoumegmento, cujamedida é, e umponto no plano, definimo o cículo λ (lê-e lambda), de cento e aio, como o conjunto fomado pelo ponto P do plano, tai que a medida do egmento P é igual à medida do egmento. De outa foma, λ = {P; P é ponto do plano e P = }. Figua 9: a eta paalela e. Se a eta e pouem um único ponto em comum, digamo = {}, dizemo que e ão concoente em. Io equivale a dize que o cículo λ, de cento e aio é o conjunto do ponto do plano cuja ditância ao ponto vale. figua12eboçaocículoλ, decento eaio. Paa taçá-lo maque, com a ajuda de um compao, a abetua doegmento; emeguida, centeocompaoem e, mantendo a abetua, faça o lápi do compao deceve uma cuva em tono de, a qual é, peciamente, o cículo λ. λ P Figua 10: eta e, concoente em. Se e não foem neceaiamente ditinta, há ainda a poibilidade de que ejam coincidente, ito é, que ejam uma mema eta, denotada de dua maneia difeente: Se a eta e têm mai de um ponto em comum, então ela ão, neceaiamente, iguai. Nete cao, dizemo também que e ão coincidente, e ecevemo =. = Figua 11: a eta coincidente e. Figua 12: cículo λ, de cento e aio. inteio do cículo λ, de cento e aio, é o conjunto do ponto P do plano cuja ditância ao cento é meno do que. exteio de λ é o conjunto do ponto do plano cuja ditância a é maio do que. figua 13 mota o inteio e o exteio de λ. dico de cento e aio é a eunião do cículo de cento e aio com eu inteio, ou eja, é o conjunto do ponto do plano cuja ditância ao ponto é meno ou igual a. Uma coda do cículo λ é qualque egmento de eta cujo extemo petençam a λ. Um diâmeto de λ é qualque coda que contenha o cento de λ. beve que a medida de um diâmeto é o dobo do aio do cículo. Na figua 14, o egmento e CD ão coda do cículo deenhado, endo que é um diâmeto. Um diâmeto de um cículo o cículo em dua pate iguai, denominada o emicículo de diâmeto. Mai gealmente, doi ponto obe um cículo λ deteminam doi aco de cículo. Um dele é chamado aco meno e o outo aco maio, e ambo eão denotado po. Cao haja peigo de confuão obe a qual 3 matematica@obmep.og.b

5 λ Exteio de λ Inteio de λ Dica paa o Pofeo ecomendamo que eja utilizada uma eão de 50min paa a eçõe 1 e 2, e outa eão de 50min paa a eçõe 3e4. olongodetodaaaula, pocuecompaaoconceito geomético apeentado com objeto da vida cotidiana do aluno, explicando como ituaçõe que no ocoem na vida diáia podem e epeentada geometicamente. poveite paa apeenta o aluno à égua e ao compao, eninando-o a faze uo de tai intumento, uma vez que ele eão de gande utilidade na aula ubequente. Figua 13: inteio e exteio do cículo λ. Sugetõe de Leitua Complementa C D 1.. Caminha. Tópico de Matemática Elementa, Volume 2: Geometia Euclidiana Plana. io de Janeio, Editoa S..M., Caminha. Geometia. io de Janeio, Editoa S..M., Dolce e J. N. Pompeo. Fundamento da Matemática Elementa, Volume 9: Geometia Plana. São Paulo, tual Editoa, Figua 14: coda em um cículo. aco etamo no efeindo, podemo ecolhe um outo ponto obe o aco ao qual queemo no efei. Po exemplo, na figua 15, Y denota o aco maio. X denota o aco meno X e Y Figua 15: aco em um cículo. 4 matematica@obmep.og.b