Aula 5 Perpendicularidade e paralelismo

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1 MÓULO 1 - UL 5 ula 5 Pependiculaidade e paalelimo Objetivo Intoduzi o conceito de pependiculaidade e de paalelimo. Intoduzi o quinto potulado de uclide, ealtando ua gande impotância hitóica e teóica. peenta o pimeio eultado decoente do quinto potulado. Intodução icutiemo neta aula o impotante conceito de pependiculaidade e paalelimo ente eta. Já vimo, na aula 1, que dua eta ão paalela quando não e inteectam. egui, veemo o que ignifica dize que dua eta ão pependiculae. efinição 12 ua eta ão dita pependiculae e ela e inteectam fomando ângulo eto. Obeve o deenho abaixo. eta ão paalela ou não? (a) (b) eta ão paalela. Veifique com uma égua. Fig. 68: a) Reta paalela. b) Reta pependiculae. Uando o eultado da aula anteioe, é poível pova a eguinte popoiçõe: 55 RJ

2 Popoição 7 ado uma eta e um ponto P, exite uma única eta pependicula a paando po P. P Fig. 69: Reta pependicula a paando po P. Popoição 8 ado uma eta e um ponto P foa de, exite uma eta paalela a contendo P. P Fig. 70: Reta paalela a contendo P. pova dea popoiçõe etão no pêndice que apaece no final da aula, e você deve etudá-la num egundo momento, apó te dominado o uo deta popoiçõe paa eolve poblema. Obeve a figua 71. P Q T Fig. 71: O ponto Q é o pé da pependicula. O ponto Q é chamado de pé da pependicula baixada do ponto P à eta e o ponto T petencente à eta é chamado de eflexo do ponto P em elação à eta, dede que P Q QT. RJ 56

3 MÓULO 1 - UL 5 Note que a palava única no enunciado da popoição 7 não apaece no enunciado da popoição 8. Na vedade, não é poível pova, uando apena o axioma e o eultado anteioe, que ó exite uma eta com a popiedade deejada. peentamo, agoa, o axioma que é conhecido como o Quinto Potulado de uclide. Quinto Potulado de uclide Po um ponto foa de uma eta paa uma única eta paalela à eta dada. nte de obte alguma coneqüência do Quinto Potulado de uclide, definiemo o impotante conceito de mediatiz de um egmento. efinição 1 mediatiz de um egmento é a eta pependicula a ee egmento em eu ponto médio (veja figua 72). Fig. 72: eta é mediatiz do egmento. goa conidee dua eta e ; uponha que t é uma eta que cota a dua. eta t é chamada tanveal à eta e. onidee o oito ângulo indicado na figua 7, numeado paa facilita a explicação. Você abia que... unicidade da paalela (chamado de Quinto Potulado de uclide) foi popota po uclide como um axioma. Po muito ano (mai de 2.000!) váio matemático tentaam pova, em uceo, que a unicidade da paalela decoia do outo axioma. Foi omente na pimeia metade do éculo XIX que o matemático chegaam à concluão de que o quinto potulado não ea demontável a pati do outo quato. Io ocoeu com a decobeta da chamada geometia não-euclidiana em que o quinto potulado de uclide é ubtituído po uma outa afimação que lhe é contaditóia. a decobeta etá aociada ao nome de doi matemático que a obtiveam independentemente: Jáno olyai ( ) e Nikolai I. Lobachevky ( ) Fig. 7: Paalela cotada po uma tanveal. t 57 RJ

4 Você abia que... O ângulo ˆ e ˆ6, bem como o ângulo ˆ4 e ˆ5, ão chamado alteno inteno (poi ficam em lado altenado de t, ente a eta e ), enquanto o pae ˆ1 e ˆ8 e ˆ2 e ˆ7 ão dito alteno exteno. hamam-e coepondente o eguinte pae de ângulo: ˆ1 e ˆ5, ˆ2 e ˆ6, ˆ e ˆ7, e ˆ4 e ˆ8. Note que, e um do pae acima fo conguente, o outo também o eão. Popoição 9 Se dua eta cotada po uma tanveal deteminam um pa de ângulo alteno inteno conguente, então a eta ão paalela. Pova: Jáno olyai d.., Romênia. Jáno olyai naceu na Tanilvânia, naquela época pate da Hungia e do Impéio utíaco. nte 1820 e 182, ele pepaou um tatado obe um itema completo de Geometia não-euclidiana. nte de o tabalho e publicado, ele decobiu que Gau tinha antecipado muito do eu tabalho. mboa Gau nunca tivee publicado eu tabalho nea áea, io ea um ponto de hona paa olyai. Poém, o tabalho do olyai foi publicado em 182 como apêndice de um enaio, po eu pai. onulte: t-nd.ac.uk/~hitoy/ Mathematician/olyai. html Suponha que e ão cotada po t, como na hipótee da popoição. Se e não foem paalela, ela teiam um ponto em comum, como na figua 74. t Fig. 74: Popoição 9. Teíamo então um tiângulo paa o qual um ângulo exteno eia igual a um ângulo inteno não adjacente, o que eia contaditóio com o teoema do ângulo exteno. Logo e ão paalela. Q... Na popoição eguinte utilizaemo pela pimeia vez o Quinto Potulado de uclide. popoição 10 é quivalente à popoição 29 do livo I do lemento, em que uclide uou o Quinto Potulado pela pimeia vez. Popoição 10 Se dua eta paalela ão cotada po uma tanveal, o ângulo alteno inteno ão conguente. Pova: Sejam e dua eta paalela cotada po uma tanveal t no ponto e, epectivamente. Sejam e F ponto de e G e ponto de dipoto como na figua 75. RJ 58

5 MÓULO 1 - UL 5 t G Povaemo que o ângulo Fig. 75: t é tanveal à eta paalela e. ˆ e F ˆ ão conguente. Paa io, vamo upo que tal fato não aconteça, ou eja, que  > ˆ ou ˆ > Â. m qualque cao, no emiplano deteminado po t que contém, taçamo a emi-eta tal que ˆ, ˆ como na figua 76. O lado equedo da figua 76 epeenta o cao  > ˆ, enquanto que o lado dieito, o cao ˆ > Â. G t F Fig. 76: Popoição 10. eta e ão cotada po t de foma que o ângulo alteno inteno ˆ e ˆ ão conguente. Uando a popoição 9, concluímo que é paalela a, e potanto exitem dua paalela a ( e ) paando pelo ponto, o que contaia o Quinto Potulado de uclide. hegamo a ea contadição poque aumimo que  não é conguente a ˆ. Logo, devemo te  ˆ. Q... G t F Você abia que... Nikolai I. Lobachevky ( d.., Rúia) foi o pimeio a publica um elato obe Geometia não-euclidiana (1829). Seu tabalho ataiu pouca atenção quando apaeceu poque foi publicado em uo e o uo que o leam fizeam evea cítica. m 1840, ele publicou um tatado em alemão, atavé do qual ua decobeta chegaam ao conhecimento de Gau. m uma cata a Schumache, Gau elogiou o tabalho de Lobachevky, ma ao memo tempo eiteou ua pioidade nee aunto. Lobachevky não teve o meecido econhecimento duante ua vida. e fato, em 1846 ele foi demitido da Univeidade de Kazan, apea do vinte ano de notávei eviço petado como pofeo e adminitado. Somente apó a mote de Gau (1855), quando ua coepondência foam publicada, o mundo começou a econhece o tabalho de Lobachevky obe Geometia não-euclidiana. O teoema a egui é um do mai utilizado da Geometia euclidiana. 59 RJ

6 Lei ngula de Tale oma do ângulo inteno de qualque tiângulo é 180 o. Você abia que... onideado o pimeio filóofo gego, intoduto da Geometia na Gécia. omo ico negociante de azeite da cidade de Mileto, litoal da Áia Meno (atual Tuquia), Tale pecoeu inúmea veze o litoal do Mediteâneo, ente 600 a.. e 550 a.., e conheceu a oba de váio matemático e atônomo da egião, pincipalmente no gito. o apoenta-e, dedicou-e à Matemática e etabeleceu o pimeio potulado báico da Geometia. É atibuído a ele o cálculo da altua de uma piâmide a pati do compimento de ua omba, em deteminado hoáio do dia e dependendo da poição do ol. Na Filoofia, Tale defendeu a exitência de uma ubtância fundamental que dá oigem ao movimento e à tanfomação da vida. Paa ele, o pincípio de tudo é a água. O moto eeca, enquanto o geme ão úmido, e o alimento cheio de eiva, ele dizia. té Tale, toda a explicaçõe obe o Univeo eam mitológica. onulte: t-nd.ac.uk/~hitoy/ Mathematician/Tale.html Pova: Seja um tiângulo e eja a eta que paa po e é paalela à eta, como na figua 77. Fig. 77: Reta paalela à eta que contém o ponto e. Sobe maque ponto e. omo a eta é tanveal à eta paalela e, podemo conclui, a pati da popoição 10, que ˆ Â. nalogamente, conideando a tanveal, podemo conclui que Ĉ Â. Logo, Nota: ˆ +  + Ĉ =  +  +  = 180o Q... 1) omo o ângulo inteno de um tiângulo equiláteo têm todo a mema medida, egue da Lei ngula de Tale que cada um dele mede 60 o. 2) Se doi tiângulo e F ão tai que F, ˆ Ê e  ˆ, então F. e fato, como  + ˆ + Ĉ = ˆ + Ê + ˆF = 180, então  ˆ, ˆ Ê e Ĉ ˆF e etamo no cao.l.. de conguência, a veze é efeida como cao.l.. (lê-e ângulo, lado, ângulo opoto). RJ 60

7 MÓULO 1 - UL 5 Reumo Neta aula você apendeu... O que ignifica dize que dua eta ão paalela ou pependiculae. Que ó exite uma eta paando po um ponto e pependicula a uma eta dada. Que ó exite uma eta paando po um ponto e paalela a uma eta dada. Que ângulo alteno inteno ão conguente. Que a oma do ângulo inteno de um tiângulo é 180 o. xecício 1. (PU-SP, 198) onidee a entença: Num plano, e dua eta ão..., então toda eta... a uma dela é...à outa altenativa que peenche coetamente a lacuna é: (a) Paalela, pependicula, paalela (b) Pependiculae, paalela, paalela (c) Pependiculae, pependicula, pependicula (d) Paalela, paalela, pependicula (e) Pependiculae, paalela, pependicula 2. (UFMG, 1992) om bae no dado da figua 78, pode-e afima que o maio egmento é: o o o o Fig. 78: xecício 2. (a) (b) (c) (d) (e) 61 RJ

8 . etemine o ângulo x e y indicado na figua 79 onde ˆ = 25 e e ão egmento de eta. (Lembe-e de que a indicaçõe dada pelo taço cuto tanveai ignificam que e ). x y Fig. 79: xecício. 4. etemine ˆP na figua 80, endo ˆ = 20. P Fig. 80: xecício Na figua 81,  é eto, é bietiz de ˆ e etemine a medida de ˆ F. é bietiz de Ĉ. F Fig. 81: xecício etemine o valo do ângulo  no tiângulo da figua 82. Fig. 82: xecício 6. RJ 62

9 MÓULO 1 - UL 5 7. Na figua 8, Â é eto e é o ponto médio de. Mote que m() = m(). 2 Fig. 8: xecício etemine a medida de na figua o 10 o 0 Fig. 84: xecício etemine a medida do ângulo ˆ e Ĉ na figua Fig. 85: xecício Na figua 86, o ângulo etemine o valo de ˆNM. Â é eto e MN é bietiz do ângulo ˆM. N M Fig. 86: xecício RJ

10 11. Na figua 87, MÂN. Â é eto e M é o ponto médio de. etemine 0 o o 60 M N Fig. 87: xecício Na figua 88,. etemine o valo de Â. F Fig. 88: xecício onidee o tiângulo T 1, T 2,..., T 12 da figua 89. inale o pae de tiângulo conguente e indique o cao de conguência. T 70 o T2 60 o o T 5 o 10 T 4 25 o 5 o T 5 8 T T7 60 o 2 T 8 70 o 20 o T T 9 80 o 4 T 12 T11 25 o 5 o 80o 20 o 10 Fig. 89: xecício 1. 5 RJ 64

11 MÓULO 1 - UL Na figua 90 tem-e m() = m(p R) = 4, m() = m(rs) = e m() = 6. P 4 R 4 6 S Fig. 90: xecício 14. onidee o cao: a) Ĉ ˆP, b) ˆ Ŝ e c) Ĉ ˆR m que cao podemo detemina a medida de PS? 15. Seja um tiângulo iócele de bae. Pove que a mediatiz de paa pelo ponto. 16. (itância de ponto a eta) Sejam uma eta e P /. Se Q é o pé da pependicula baixada de P à eta, pove que Q é o ponto de mai póximo de P. medida do egmento P Q é definida como a ditância de P a. 17. Pove que a medida de um ângulo exteno de um tiângulo é igual à oma da medida do ângulo inteno a ele não-adjacente. 18. (eafio) Na figua 91, a eta e ão pependiculae. Fig. 91: xecício 18. Qual é o caminho mai cuto paa i do ponto ao ponto tocando-e na dua eta? 65 RJ

12 19. Seja um tiângulo e uma eta que não cota. Sejam, e o eflexo de, epectivamente,, e em elação a, como na figua 92. ' ' ' Fig. 92: xecício 19. Pove que o tiângulo é conguente a. 20. (FUVST-2001) Na figua 9, tem-e que, F e. F 80 o Fig. 9: xecício 20. Se o ângulo ˆF mede 80 o, então o ângulo ˆ mede: (b) 0 o (c) 50 o (d) 60 o (e) 90 o (a) 20 o RJ 66

13 MÓULO 1 - UL 5 pêndice: Paa abe mai... Nete pêndice vamo apeenta uma pova da popoiçõe 7 e 8 que enunciamo neta aula. Popoição 7 ada uma eta e um ponto P, exite uma única eta pependicula a paando po P. Pova: Temo doi cao a conidea: P e P /. O cao em que P pode e demontado facilmente a pati do axioma obe medição de ângulo (veja a aula 2). No cao em que P /, tome ponto ditinto e em e tace P. No outo emiplano deteminado po, tace uma emi-eta de modo que  P  (figua 94). P Fig. 94: Sobe maque o ponto tal que P. Seja o ponto em que P inteecta. Pove que P. Segue daí que P Ê Ê. Logo, P Ê é eto e, potanto, P é pependicula a. tá povado, aim, que exite uma eta paando po P e pependicula a. Falta pova que não exite outa eta com ea popiedade. Suponha que exita outa eta P F que eja pependicula a (figua 95). P F Fig. 95: Ue o teoema do ângulo exteno paa mota que io é um abudo. 67 RJ

14 Popoição 8 ado uma eta e um ponto P foa de, exite uma eta paalela a contendo P. Pova: Sejam uma eta e P /. Seja P a eta paando po P e pependicula a. Tace a emi-eta P tal que Pˆ é eto. Pove, po contadição, que P é paalela a. (Se P e não foem paalela, ela e inteectaiam em um ponto, fomando um tiângulo com doi ângulo eto). RJ 68