Material Teórico - Módulo de Geometria Espacial 1 - Fundamentos. Pontos, Retas e Planos - Parte 1. Terceiro Ano do Ensino Médio

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1 ateial Teóico - ódulo de Geometia Epacial 1 - Fundamento Ponto, Reta e Plano - Pate 1 Teceio Ano do Enino édio Auto: Pof. Angelo Papa Neto Revio: Pof. Antonio Caminha

2 1 Axioma da geometia no epaço Em noo etudo de geometia epacial, vamo conidea o epaço E como um conjunto cujo elemento eão chamado ponto. No que e egue, ponto eão denotado po leta latina maiúcula: A, B, C etc. Um ubconjunto F de E é denominado uma figua do epaço. No epaço E há doi tipo epeciai de figua: eta, que denotaemo uando leta latina minúcula:,,t etc. e plano, que eão denotado po leta gega minúcula:,,γ etc. Obeve que não definimo ponto, eta ou plano. A pincípio, eta e plano ão meamente conjunto de ponto, ou eja, figua de E. Ee conjunto ão caacteizado não po uma definição, ma po ceta popiedade báica que ele pouem. Objeto matemático caacteizado dea maneia ão denominado noçõe pimitiva. Po outo lado, a popiedade báica da noçõe pimitiva de ponto, eta e plano, litada a egui, ão aumida como válida em neceidade de demontação (i.e., de jutificativa); po io, dizemo que e tatam do axioma elativo a ponto, eta e plano do epaço E. (E-1) Po doi ponto do epaço paa uma e omente uma eta. (E-2) Dada uma eta t no epaço, exitem ponto que petencem a t e ponto que não petencem a t. (E-3) Po tê ponto do epaço, não ituado em uma mema eta, paa um e omente um plano. (E-4) Dado um plano no epaço, exitem ponto que petencem ao plano e ponto que não petencem ao plano. (E-5) Se doi plano ditinto pouem um ponto em comum, então ele pouem pelo meno mai um ponto em comum, logo, pelo meno uma eta em comum. Também vamo aumi a validade do eguinte fato: (E-6) O eultado da geometia plana continuam válido paa figua que etejam contida em um plano de E. Com o axioma acima, já podemo obte algun eultado impotante. Teoema 1. Se doi plano ditinto têm pelo meno um ponto em comum, então ele têm exatamente uma eta em comum. Pova. Sejam e doi plano ditinto, com pelo meno um ponto em comum. Pelo axioma (E-5), e têm pelo meno uma eta em comum. Po contadição, uponha que. Entãopodemotomaum pontoc em, tal que C /. Sendo A e B doi ponto de, temo que A,B e C não etão ituado obe uma mema eta (uma vez que C / ). Logo, egue do axioma (E-3) que A,B e C deteminam um único plano γ. a, como A,B,C,, concluímo que = γ =, o que é um abudo. Teoema 2. Se uma eta tem doi de eu ponto em um plano, então ela etá contida nee plano. Pova. Seja uma eta e um plano com doi ponto em comum. Sejam A,B ee ponto. Da geometia plana, abemo que exite uma única eta no plano, contendo o ponto A e B. Chamemo ea eta de t, de modo que t. Pelo axioma (E-1) acima, exite uma única eta no epaço que paa po A e B. a, como e t paam po A e B, temo que = t. Teoema 3. Po uma eta e um ponto P paa um único plano. Pova. Sejam A e B doi ponto ditinto obe a eta. Então A, B e P ão tê ponto ditinto e não colineae. Logo, pelo axioma(e-3), exite um único plano contendo ee tê ponto. Em paticula, como contém A e B, temo pelo Teoema 2 que. ai algun comentáio obe o axioma: (E-2) e (E-4) gaantem que o epaço E tem uma abundância de ponto. ai peciamente, (E-2) gaante que não exitem eta vazia e que o epaço todo não é meamente uma eta. Da mema foma, (E-4) gaante que não exitem plano vazio e que o epaço E não é meamente um plano. A unicidade exigida em (E-1) e (E-3) gaante que o objeto eta e plano que etamo etudando coepondem à noção intuitiva que temo obe ele. Do axioma (E-5), podemo infei que doi plano no epaço podem ocupa apena tê poiçõe elativa: (i) ou ão coincidente (ituação em que, pelo axioma (E-3), têm pelo meno tê ponto em comum); (ii) ou ão paalelo (quando não têm ponto em comum); (iii) ou ão ecante (ituação em que têm exatamente uma eta em comum). Exemplo 4. Seja F uma figua tal que quaique quato de eu ponto petencem a um memo plano. ote que F etá contida em um plano. Solução. Se F tem no máximo tê ponto, então F etá contida em algum plano. Vamo, então, upo que F tem pelo meno quato ponto. Se todo o ponto de F etiveem em uma mema eta, ele etaão contido em qualque plano que contenha ea eta. Podemo upo, então, que em F há pelo meno tê ponto não colineae A,B e C. Seja o plano deteminado po ee tê ponto. Se P F é um ponto difeente de A,B e C, então A,B,C e P etão contido em um memo plano, que tem que e o plano, pelo axioma (E-3). 1 matematica@obmep.og.b

3 2 Poiçõe elativa de eta no epaço O axioma vito na eção anteio gaantem que exitem em E dua eta que não etão contida em um memo plano. De fato, pelo axioma (E-2) podemo conidea tê ponto não colineae A, B e C. Seja π o plano deteminado po ee tê ponto (de acodo com o axioma (E-3)). Seja P um ponto foa do plano π (o qual exite, pelo axioma (E-4)). Afimamo que a eta BC e AP não etão contida em um memo plano. De fato, e ea eta etiveem contida em um memo plano, então ee plano conteia o ponto A, B, C e P, o que não é poível, poi, po contução, P não petence ao plano que paa po A,B e C. Dua eta que não petencem a um memo plano ão chamada eta evea (veja a figua 1). Po outo lado, e dua eta etão ituada em um memo plano ma não e inteectam, dizemo que ela ão eta paalela. Ecevemo paa indica que a eta e ão paalela. Finalmente, e dua eta ditinta e inteectam, dizemo que ela ão eta concoente. Nee último cao, a inteeção ente a eta é fomada po um único ponto, dito o ponto de inteeção ente a eta. Note que, e e têm pelo meno doi ponto em comum, então = pelo axioma (E-1). Figua 1: a eta e ão evea. Como dua eta paalela ão neceaiamente coplanae, ito é, etão contida em um memo plano, podemo afima que, e, então exite um único plano que contém e. O teoema a egui mota que o memo eultado vale e e ão concoente. Teoema 5. Dua eta concoente deteminam um único plano. Pova. Sejam e a dua eta, e eja = {A}. Sejam B e C, com B A e C A. Então, A,B e C não ão colineae, poi do contáio teíamo =, o que não ocoe. Pelo axioma (E-3), exite um único plano paando pelo tê ponto A,B e C; logo, é o único plano que contém a eta e. Exemplo 6. Conidee um conjunto de eta do epaço, contendo pelo meno tê eta ditinta. ote que, e dua quaique dea eta ão concoente, então ela etão toda em um memo plano ou paam toda po um memo ponto. Pova. Seja C ee conjunto de eta e ejam, C dua eta ditinta. Se t C e t, t, então, po hipótee, abemo que t = {A} e t = {B}, paa ceto ponto A e B. Se A = B, então, e t paam po A. Se A B, então t etá contida no plano deteminado po e, poi tem doi ponto (A e B) em comum com ee plano (veja o Teoema 2). Agoa,enemtodaaetadeC paampoummemo ponto, então exitem eta ditinta,, t C, tai que = {A} e = {B} e t = {C}, com A, B e C doi a doi ditinto. Seja também o plano deteminado pelo ponto A, B e C, e u uma quata eta em C. Como u concoe com, e t, temo u = {D}, u = {E} e u t = {F}, paa ceto ponto D,E e F. Veja que não podemo te D = E = F poi, do contáio ee ponto eia comum a, e t, o que não é o cao. Suponha, poi, em peda de genealidade, que D E. Então D,E ão ponto ditinto de, de foma que u. A elação de paalelimo de eta é imética, ou eja, e, então. O teoema a egui gaante que a elação de paalelimo também é tanitiva, ito é, que e t e t, então. Teoema 7. Se dua eta ditinta ão paalela a uma teceia, então ela ão paalela ente i. Pova. Sejam, e t tê eta dada, dua a dua ditinta, e uponhamo que t e t. Queemo mota que. Se a tê eta etão ituada em um memo plano, digamo, então a concluão do teoema é vedadeia, poi e tata de uma popiedade da geometia plana, aplicada ao plano. Potanto, é uficiente analiamo o cao em que a eta, e t não ão coplanae. l A Figua 2: tanitividade do paalelimo. t 2 matematica@obmep.og.b

4 Seja o plano que paa pela eta e t e o plano deteminado pela eta e t. Uma vez que a tê eta não etão contida em um memo plano, exite um ponto que petence à eta ma não petence ao plano. Seja γ o plano deteminado pela eta e pelo ponto. Como e γ, temo que γ. O plano e γ ão ditinto, poi a eta etá contida em γ ma não em. Aim, pelo axioma (E-5), a inteeção ente o plano e γ é uma eta, que vamo chama de l. Vamo, agoa, mota que l =. Paa tanto, veja pimeiamente que l e t etão contida no plano e é a única eta de que paa po e é paalela a t. Potanto, e l, então l e t não podem e paalela e, daí, têm um ponto em comum, digamo A. Aim, o plano γ contém a eta e o ponto A. Pelo Teoema 3, omo foçadoa conclui que = γ. a io é uma contadição, poi γ e. A contadição obtida acima vem de temo upoto que l. Logo, l = e, em paticula, a eta e etão contida em um memo plano (o plano γ). Vamo, po fim, mota que e ão paalela. Suponhamo o contáio, ito é, que e e inteectam em um ponto B. Então, o plano paa po t e po B e o plano paa po t e po B. Novamente pelo Teoema 3, =, o que contadiz noa hipótee de que a tê eta,,t não ão coplanae. Io mota que e ão paalela. Exemplo 8. Seja uma eta qualque e uma eta não paalela a. ote que toda a eta paalela a e concoente com etão contida em um memo plano. Solução. Se e não ão paalela, então e ão concoente ou evea. Cao ejam concoente, o Teoema 5 gaante que ela deteminam um plano. Ainda nee cao, eja t uma eta paalela a e tal que t = {P}. A eta t e deteminam um plano que contém e P. a o plano contém e, logo, também contém e P. Dea foma, pelo Teoema 3, = e a eta t etá contida em. Vamo upo agoa que e ejam evea. Sejam t 1 e t 2 dua eta paalela a e concoente com no ponto P 1 e P 2, epectivamente. Pelo Teoema 7, t 1 é paalela a t 2, de foma que, em paticula, P 1 P 2. Além dio, t 1 e t 2 deteminam um plano que contém, poi ea eta tem o ponto P 1 e P 2 em comum com. Agoa, e t é uma eta qualque, paalela a e concoente com, motemo que t. Inicialmente, como t e t 1, egue novamente do Teoema 7 que t é paalela a t 1 (e a t 2 ). a, endo t = {P} e o plano contendo t e t 1, teíamo t 1, e (uma vez que P,P 1 ),t 1,. Como t 1 (poi, do contáio, teíamo = t 1 ), o Teoema 1 gaante que =. Logo, t. 3 Poiçõe elativa ente eta e plano Aimcomonocaodapoiçãoelativaenteduaeta, a poiçõeelativaenteuma eta e um plano dependem da inteeção. Se uma eta e um plano têm pelo meno doi ponto em comum, então, pelo Teoema 2, etá contida em. Se uma eta tem um único ponto em comum com um plano, dizemo que e ão ecante. Nee cao, o ponto P tal que = {P} é chamado ponto de inteeção de e. Se uma eta e um plano não têm ponto em comum, ito é, e =, dizemo que a eta é paalela ao plano. Teoema 9. Sejam e doi plano cuja inteeção é a eta l, e eja uma eta contida em e paalela ao plano. Então a eta l e ão paalela. Pova. Como é paalela a, temo =. Logo, l = e, daí, l =. a, como e l ão coplanae (poi etão amba contida em ), concluímo que l. A egui, exibiemo um citéio paa o paalelimo ente uma eta e um plano. Teoema 10. Paa que uma eta eja paalela a um plano, é neceáio e uficiente que eja paalela a uma eta de. Pova. Inicialmente, uponhamo que, ito é, =. Sejam P e (pelo Teoema 3) o plano deteminado po e P (veja a figua 3). Como P e (poi e = ), o Teoema 1 gaante que é uma eta, que vamo chama de. Então, e, poi e etão contida em um memo plano (o plano ) e =. P Figua 3: eta paalela a plano. Recipocamente, uponhamo que exita uma eta, contida em e paalela a (veja novamente a figua 3). Po contadição, uponhamo que exita um ponto 3 matematica@obmep.og.b

5 . Então, em paticula, o ponto petence ao plano, deteminado pela eta paalela e. Aim, =, de modo que =, um abudo. Io mota que e não têm ponto em comum, ou eja, ão paalelo. Exemplo 11. Sejam A,B,C e D quato ponto não neceaiamente coplanae. Sejam,N,P e Q o ponto médio do egmento AB, BC, CD e DA, epectivamente. ote que NPQ é um paalelogamo. Solução. A figua 4 iluta a ituação decita no enunciado do exemplo. Como o ponto A,B,C e D não ão neceaiamente coplanae, o quadiláteo que o tem po vétice também não etá neceaiamente contido em um plano (denominamo um tal tipo de quadiláteo não contido em um plano de quadiláteo eveo). A Q D Figua 4: um quadiláteo eveo. Queemo mota que o ponto médio,n,p e Q ão vétice de um paalelogamo. Em paticula, io implicaá que,n,p e Q ão coplanae. A Q D B P B N C Figua 5: o paalelogamo fomado pelo ponto médio do lado de um quadiláteo eveo. P N C Paa tanto, obeve que o egmento N (em vede, na figua 5) é bae média do tiângulo ABC, elativa ao lado AC. Logo, pelo Teoema da Bae édia, N é paalelo a AC. Damemafoma, oegmentopq(tambémem vede) é bae média do tiângulo ACD elativa ao lado AC. Potanto, novamente pelo Teoema da Bae édia, PQ é paalelo a AC. Potanto, pela tanitividade do paalelimo (veja o Teoema 7), egue que N é paalelo a PQ. Em paticula, o quato ponto,n,p e Q petencem a um memo plano, o deteminado pela eta paalela N e PQ. Aplicando aciocínio análogo ao egmento coloido em vemelhona figua5(o quaiãoa baemédiaelativa ao lado BD do tiângulo ABD e CBD), concluímo que Q é paalelo a NP. Potanto, o quadiláteo plano de vétice,n,p e Q tem pae de lado opoto paalelo, logo é um paalelogamo. 4 Plano paalelo Doi plano ão dito paalelo e não têm ponto em comum. Uamo a notação paa indica que o plano e ão paalelo. Aim, =. O teoema a egui elaciona o conceito de paalelo paa eta e plano. Teoema 12. Se doi plano paalelo ão inteectado po um teceio plano, então a eta de inteeção ão paalela. Pova. Sejam e plano paalelo e eja γ um plano tanveal, que inteecta e egundo a eta e, epectivamente (veja a figua 6). Figua 6: plano paalelo inteectado po um plano tanveal. γ 4 matematica@obmep.og.b

6 Como =, a eta e, que etão contida em um memo plano (o plano γ), não podem te ponto em comum, poi um tal ponto eia comum ao plano paalelo e. Potanto, e ão eta paalela. Continuando, exibimo agoa um impotante citéio paa o paalelimo de doi plano. Teoema 13. Sejam e doi plano ditinto. Suponha que exitam eta concoente e contida em, e eta concoente e contida em, com e (veja a figua 7). Então,. Figua 7: pae de eta concoente em plano paalelo. Pova. Suponhamo, po contadição, que. Pelo Teoema 1, temo = l, onde l é uma eta. Po outo lado, uma vez que e, egue do pelo Teoema 10 que. De modo análogo, e implicam. Agoa, pelo Teoema 9, temo que l e l. a aí, pela tanitividade do paalelimo de eta contida em um memo plano, teíamo neceaiamente, o que não ocoe, po hipótee. Como chegamo a um abuda, concluímo que o plano e não podem e inteecta. Logo, ão paalelo. Vamo ua o Teoema 13 paa mota como contui um plano paalelo a um plano dado e paando po um pontodado. Paaio, conideamoduaeta e, contida em e que e inteectam em. Em eguida, taçamo o plano que paa po e e o plano γ paa po e. Em, eja a eta paalela a e paando po ; em γ, eja a eta paalela a paando po. A eta e e inteectam em e deteminam um plano. Pelo Teoema 13, o plano e ão paalelo. O agumento do paágafo anteio demonta pate do eguinte eultado. l Teoema 14. Po um ponto não ituado em um plano dado, pode-e taça um único plano paalelo ao plano dado. Pova. Confome comentamo, a exitência de tal plano é gaantida pelo agumento delineado na dicuão que pecede o enunciado do teoema. Paa a unicidade, ejam dado um plano e um ponto. Po abudo, uponhamo que, po, paem doi plano e, ambo paalelo a. Seja B um ponto petencente a ma não petencente a. Po, B e um ponto qualque A, paa um único plano γ; eja a eta obtida como inteeção ente o plano e γ. Pelo Teoema 12, a eta = γ é paalela à eta = γ e também é paalela à eta = γ. Logo, a eta, e, toda contida no plano γ, ão tai que e, o que foça. a io é impoível, poi amba a eta paam pelo ponto. O abudo vem de temo upoto a exitência de doi plano ditinto, paalelo ao plano e paando po. Logo, tal plano paalelo é, de fato, único. Dica paa o Pofeo A abodagem axiomática ou Euclidiana da geometia epacial exige mai tempo e dedicação do pofeo. Você pode opta po egui ee texto ou po exibi o eultado em a demontaçõe, ou, ainda, po omiti alguma demontaçõe que julga mai elaboada. Cao opte po egui o texto à ica, deve eta pepaado paa dedica um bom tempo a ele. Paa emo mai pecio, etimamo que ejam neceáia 4 ou 5 aula de 50 minuto cada paa cobi todo ee mateial. Ee tempo pode aumenta ou diminui confome o endimento da tuma. Cao deeje omiti alguma, ou toda a demontaçõe, o tempo neceáio pode e eduzido a, no máximo, 3 aula de 50 minuto cada. Um fato extemamente impotante na abodagem Euclidiana da geometia epacial é que a figua ão mea epeentaçõe do objeto geomético. De outa foma, emboa a intuição geomética naça do objeto fíico que no odeiam, a figua geomética que definimo e etudamo no texto não fazem, em pincípio, pate do mundo fíico: não encontamo eta ou plano em um paeio pelo paque. Ee objeto, então, exitem apena em noa mente, eóoaociamoaobjetodomundo fíicoque noodeia pela comodidade de contuimo epeentaçõe mentai familiae paa o memo. Dea foma, é inteeante encaa a geometia como um jogo, onde o axioma ão a ega e a demontaçõe ão agumentaçõe que ó podem utiliza tai ega (ou eja, o axioma) e aquilo que já foi demontado. Aim, o fato de que o teoema da geometia efletem popiedade inteeante e útei do objeto fíico eai que no cicundam é ecundáio. Ee modo peculia de penamento (axiomático, lógico e dedutivo) é uma heança da antiguidade cláica gega, talvez a maio que ecebemo dela. Qual é a vantagem dee modo de penamento? Longe de e uma limitação, ele é uma libetação: não há neceidade de tabalhamo com 5 matematica@obmep.og.b

7 epeentaçõe conceta (eboço de figua) paa contuimo toda uma teoia geomética. De outa foma, cao um deteminado conjunto atifaça o axioma, ele também atifaá todo o eultado da teoia. ai infomaçõe obe a abodagem axiomática da Geometia podem e encontada na ugetão de leitua complementa [2], p Sugetõe de Leitua Complementa 1. A. Caminha. Geometia. Rio de Janeio, SB, H. B. Giffith e P. J. Hilton, atemática Cláica, uma Intepetação Contempoânea, vol. 2. São Paulo, Editoa Edgad Blüche/Ed. USP, P. C. P. Cavalho Intodução à Geometia Epacial, quata edição. Rio de Janeio, SB, matematica@obmep.og.b