π (II.c) Dualidade em Programação Linear c T Seja o PPL apresentado na forma abaixo: (PRIMAL) Max x (I.a) (I.b) (I.c)

Transcrição

1 1 Dualidade em Pogamação Linea Sea o PPL apesentado na foma abaio: (PIMAL) Ma (I.a) s.a: A b (I.b) 0 (I.) Então sempe é possível ontui o PPL que se segue: (DUAL) Min b π (II.a) s.a: A π (II.b) π (II.) 0 O PPL Pimal elaiona-se om o PPL Dual atavés das seguintes poposições: PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

2 2 Poposição 1 i) Sea a solução ótima do PPL Pimal. Sea π a solução ótima do PPL Dual. Então ii) Se o PPL Pimal tem solução ilimitada, então o PPL Dual não tem solução. iii) Se o PPL Pimal não tem solução, então o PPL Dual tem solução ilimitada. b π. Poposição 2 Sea a solução básia ótima do PPL Pimal, e a base π é a solução ótima do oespondente. Então PPL Dual. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

3 3 Algoitmo SIMPLEX Pimal-Dual (G.. DANIG, 1956) Passo 0 Monte o PPL em sua foma padão. Esolha um onunto de m vaiáveis básias quaisque, e patiione o poblema omo segue: Ma + + b Passo 1 Calule Calule. ˆ b. Calule z. Passo 2 Detemine Detemine ˆ min ˆ. i z min z. ˆ < i Se z e z 0, então vá ao passo 3. ˆ ˆ < Se < z e 0, então vá ao passo 4. ˆ Se 0 e z 0, então PAE. A solução atual é ótima. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

4 a. Se 0 Passo 3 Iteação Pimal. Calule / a i >, então PAE. O poblema tem solução ilimitada. Em aso ontáio, detemine a vaiável que deveá sai da base: a 4 θ ˆ mini θ min i i i ai > 0 ai Vá ao passo 5. Passo 4 Iteação Dual. Calule a e, onde e é o - ésimo veto linha unitáio. Se a < 0, então PAE. / O poblema não tem solução viável. Em aso ontáio, detemine a vaiável que deveá enta na base: α z ma < α ma a 0 a Passo 5 oa de base. Efetue a toa de base ente as vaiáveis. Detemine a nova patição paa o PPL e etone ao passo 1. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

5 5 Eemplo de Apliação do Algoitmo Simple Pimal-Dual Ma 2 3 s.a: , 2, 3 0 Montando o poblema na foma padão, obtém-se as seguintes matizes e vetoes: X1 3 X2 2 X X3 C 4 S1 0 S2 0 S A b PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

6 6 Iteação 1 S Xb S S X X X X Cb' C' S Xb S S d d Obsevando os esultados veifia-se que as ondições de otimalidade e viabilidade não são satisfeitas e que a ealização de uma iteação dual é eomendada, esolhendo-se a segunda vaiável básia paa sai da base a Alfa 3? 1 e potanto a pimeia vaiável não-básia enta na base. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

7 7 Iteação 2 S Xb X S S X X X Cb' C' S Xb X S d d Obsevando os esultados veifia-se que a solução é viável e que as ondições de otimalidade não são satisfeitas e potanto a ealização de uma iteação pimal é eomendada, om a esolha da pimeia vaiável não-básia paa enta na base a eta?? 4 e potanto a teeia vaiável básia sai da base. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

8 8 Iteação 3 S Xb X S S X X X Cb' C' S Xb X S d d Veifia-se que as ondições de viabilidade ontinuam sendo satisfeitas, o que ainda não aontee om as ondições de otimalidade. Potanto, é eomendada uma iteação pimal, esolhendo-se a teeia vaiável não-básia paa enta na base a eta? 16? e a segunda vaiável básia é esolhida paa sai da base. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

9 9 Iteação 4 S Xb X S S X X X Cb' C' S Xb X S d d e a solução é ótima. O valo da função obetivo podeá se alulado po: PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

10 10 Intepetação dos esultados Ma (Luo) s.a: (Subpoduto 1) (Subpoduto 2) (Mão de Oba) , 2, 3 0 X1, X2, X3 são quantidades dos poessos de podução Va. Valo d X1 0 1 X2 0 2 X S S S PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

11 11 Análise de Pós-otimalidade Sea o PPL na foma padão Ma s.a: e sea ( ), A b 0 a sua solução básia ótima. Se algum paâmeto do modelo sofe alteação, uma nova solução deveá se deteminada. Ente as alteações mais signifiativas, tem-se: 1. Alteação de um oefiiente do veto b 2. Alteação de um oefiiente do veto a) assoiado a uma vaiável não-básia b) assoiado a uma vaiável básia 3. Inlusão e elusão de estição a) estições não-ativas b) estições ativas 4. Inlusão e elusão de vaiável a) vaiáveis básias b) vaiáveis não-básias Obs. Em algums sistemas omputaionais (Lindo, MPSX, Eel) eiste a opção de efetua a análise sobe os oefiientes de b e de. PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

12 12 Caso 1 - Alteação de um oefiiente do veto b Os valoes das vaiáveis básias na solução ótima do PPL é dada, a pati dos valoes po: ( b ) 1 Dado que um oefiiente do veto b sofeu alteação, isto é, dado que o novo veto b é dado po b b + e, onde e é o -ésimo veto oluna unitáio tem-se: ( b ) [( b + e ) ] ( b ) + e + e 1 Paa que esta nova solução ontinue sendo ótima é neessáio que: ou i + i + e i 0 0, i 1,..., m Desta epessão obtém-se os limites paa vaiação de ada omponente do veto b, na foma apesentada abaio. i i i i i i se se i i > 0 < 0 PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS

13 13 PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS Caso 2 - Alteação de um oefiiente do veto Paa a solução ótima de um PPL, tem-se: 0 1, se 0 ˆ No aso do -ésimo oefiiente do veto modifia, isto é, se +, tem-se paa o aso da solução básia pemanee ótima: , ou

14 14 PESQUISA OPEACIONAL UFSC / CC / EPS Caso 3 - Alteação de um oefiiente do veto No aso do -ésimo oefiiente do veto modifia, isto é, se e +, onde e é o -ésimo veto linha unitáio, temse, paa o aso da solução básia pemanee ótima: ( ) e e 0, onde e < > 0 se 0 se